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  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     El alumno al término de la unidad deberá:

    1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios enque se encuentre.

    2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en  ! as" como la deducción de todas las formasde representación.

    !. #ormular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y planos, as" como la proyección $eométrica de dic%as relaciones.

     En 1&'', (a$ran$e publicó su obra )*écanique +nalytique), que mostró la $ran flexibilidad y $randes alcances de utilizar métodos anal"ticos en el estudio de la mecánica. osteriormente, -illiam o/an 0amilton 1'341'536, introdu7o su )8%eory of 9uaternions), la cual contribuyó a la comprensióndel +l$ebra y de la #"sica. (a unión de las más notables caracter"sticas del análisis de los cuaterniones y dela $eometr"a cartesiana, se deben, en $ran parte, a los esfuerzos de . -. ;ibbs 1'!

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     (a idea de emplear un n@mero para situar un punto + A a1 6 en una recta fue conocida por los anti$uos $rie$os fi$ura 2.1 a66. En 15!&, Descartes extendió esta idea utilizando un par de n@meros + A a1 ,a2 6

     para situar un punto en el plano fi$ura 2.1 b66, y una terna de n@meros + A a1 ,a2 ,a! 6 para situar el puntoen el espacio fi$ura 2.1 c66. En el si$lo BCB, los matemáticos +. ayley 1'2141'és de la letramay@scula +, de forma anal"tica a tra>és de sus coordenadas a 1 ,a2 ,....,an 6 y mediante su forma $eométricarepresentada en la #i$. 2.1 d 

     Estamos acostumbrados a considerar ma$nitudes, tanto en ;eometr"a como en #"sica, que puedan ser caracterizadas por un @nico n@mero real referido a una unidad de medida apropiada: el per"metro de una fi$ura, el área de una superficie, el >olumen, la temperatura, el tiempo, etc. + dic%as ma$nitudes se les llamamagnitudes escalares , denominándose escalar el n@mero real asociado a cada una de ellas.

     Existen otras ma$nitudes f"sicas y $eométricas en las que inter>iene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un @nico n@mero real: la fuerza, la >elocidad, la aceleración,etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes vectoriales , denominándose vector  al ob7eto matemáticoutilizado para describir cada una de ellas.

     Las características fundamentales de un vector son: su módulo , su dirección y su sentido. Es, por tanto,natural representar un >ector $eométricamente por medio de un se$mento orientado, correspondiendo la

    lon$itud, dirección y sentido del se$mento orientado al módulo, dirección y sentido del >ector.

     Descripción de un vector : por ser un se$mento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremoinicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido , a larecta que lo contiene o sustrato del >ector: recta de acción que me define la dirección , y a su lon$itud  Norma , o Módulo , como se ilustra en la fi$ura si$uiente:

     

    30

     y

    O2 

    a6 b6 c6 d6

     

    a1

    a1

    a2  y

     x

     z

     A

    a3

    3O1

    x  A

    n

     A

     A

    a1

    x

    a2 

     + A a1 , a2 ,....,an 6, para todo entero n ∈ G 

     L A

     ! "ecta de acción 

    #Dirección$

     A %lecha #&entido$

    O #cola$

    #Norma$   ''A'' 

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     (os >ectores que >amos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo lar$o de su recta deacción o trasladarse paralelamente a si mismo.

    H Definiremos un vector A como el con(unto de todos los segmentos orientados del espacio n)dimensional *ue poseen una longitud, dirección + sentido dados-

      +l >ector que coincide con un se$mento orientado cuyo extremo inicial es el ori$en de coordenadas y suextremo final en el punto +, se llama >ector posición OA. 9ue llamaremos simplemente +, y cuyaexplicación la >eremos más adelante.

    a$ AL./0"AA! los >ectores se desi$nan con las letras may@sculas:  A , 0,   , D , ...

    $ ./OM45"A! En base a su representación $ráfica en un sistema de coordenadas sólo es posible%asta en tres dimensionesI >er fi$ura 2.J6. ara los sistemas de J ó más dimensiones con precisión solo podr"amos representar el ori$en del sistema, y la flec%a del >ector definida por el punto + que lotomar"amos de manera arbitraria como se muestra en la fi$ura. ara representar $eométricamente al >ector +, en primer lu$ar es necesario definir el punto +, como se mostró en la fi$ura 2.1, lue$o el >ector + será el >ector que tiene su cola en el ori$en y su flec%a en el punto +, >emos que la fi$ura 2.J solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.

    c$ ANAL65A! e realiza %aciendo uso de las letras min@sculas llamados componentes del >ector: 

     + A a1 , a2 ,...,an 6, K A b1 , b2 ,...,bn 6 y A c1 , c2 ,...,cn 6

     ara con>ertir  n en una estructura al$ebraica, introducimos la i$ualdad de >ectores y dos operaciones: laadición  de >ectores, la multiplicación por escalares + un cuerpo de n7meros reales "-  (a palabra escalar  se usa aqu" como sinónimo de n@mero real.

     Dos >ectores  A  y  0  de  n  son i$uales, si son i$uales todas sus componentes que ocupan la misma posición. Esto es, si  A A a1 , a2 ,..., an 6 y  0 A b1 , b2 ,..., bn 6

    31  

    =

    ==

    =

    ≡∀==   ∈

    nn

    n..., , , 7 yi 7i

    ba

    ....

    ba

    ba

    ba

    aa si K + Entonces 33

    22

    1

    21

    8omemos un e7emplo en el espacio bidimensional para entender me7or esta definición. i  8 191  y  8 292  son dos se$mentos orientados con lamisma lon$itud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo>ector. Fn se$mento orientado tiene una ubicación particularI un >ector no. (as lec%as en la i ura 2.! re resentan el mismo >ector.

     9

    1

    92

     8 1

     8 2

     y

    =2 

    a6 b6 c6 d6

    a1

    a1

    a2  y

     x

     z

     A

    a3

    3O1

     A

    n

     A A

    a1  x

     y 

    a2 

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    cA

    On

     8"O8/DAD/&!

    1 - "efle:iva: 8odo >ector es i$ual a s" mismo, esto es + A +2. &imetría: i + A K entonces K A +!. 5ransitiva: i + A K y K A entonces + A  

     

    i c es un escalar tal que c∈  y + un >ector tal que +∈  n , el producto c+ se define como el >ector queresulta de multiplicar cada componente de + por el escalar c, esto es:

     AN;L&& D/L

    <=>

    0

    0:)

    var )

    1

    1var 

    1

    :)

    c si +deal opuesto Es

    c si si +deal i$ual  Esentido El c

     ctodo para"anodirección (ab

    c sicontraee

    c si"a Go

    c sidilatae

     *ódulo El a

     =8or tanto podemos descriir al vector cA como el vector *ue tiene su cola en la cola de A #origen$ +su flecha en cual*uier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2->- 

    32

    cA ? #ca1 , ca2 , ca3 , --- , can $

      42+ 4!+L2 4+ 4+L2 +L2 + !+L2 2+

    4' 45 4 J 42 2 J 5 '

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      a$ 8A"AL/L&MO /N5"/ DO& ector son: u módulo o lon$itud LLLLA, su dirección la misma del >ector que loori$ina, ya que lo que el escalar no podrá 7amás es sacar al >ector + de su recta de acción, es importante queel alumno >ea que como el >ector + es un >ector cualquiera de  n , y por lo anterior el >ector cero tiene ladirección del >ector que lo ori$ina, en consecuencia el >ector tiene todas las direcciones posibles. O su sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero ±  A, dado que por cualquier n@mero es cero. Desde el punto de >ista $eométrico el >ector cero está representado por un punto, esto es,. el ori$en del sistema.. Es además el >ector que sumado a un >ector + me da el >ector +, or esto, al >ector cero se le llama elemento neutro en la suma de >ectores, como se >erá más adelante.

      c$ ector 4+ es la de ser el >ector que sumado al + me da el >ector cero, yque la estudiaremos después de estudiar la suma de >ectores.

    33

     (as caracter"sticas de este >ector son: Es un >ector que existe porque existe el >ector +, tiene el mismomódulo y dirección que +, pero sentido opuesto.

     +

    n4+

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     Dados dos >ectores + y K de  n distintos del >ector cero, tal como + A a1 ,a2 ,...,an 6 y K A b1 ,b2 ,...,bn 6

     Definición: (a suma de + P K se define como el >ector cuyas componentes se obtienen sumando lascomponentes de los >ectores parciales como se ilustra a continuación:

     +demás la suma de >ectores cumple la regla del paralelogramo , de modo que el >ector suma + P K serepresenta $eométricamente como la dia$onal del paralelo$ramo que se forma al trazar por cada flec%ade los >ectores parciales, paralelas a las rectas de acción del otro, como se muestra en la fi$ura si$uiente:

     

    omo se trata de >ectores libres podemos trasladar el >ector + paralelamente a s" mismo, %asta que su colacoincida con la flec%a de K, pero podemos %acer lo mismo con K, de modo que el vector suma A0, tendrBsu cola en la cola del primero + su flecha en la flecha del segundo- Dado *ue el primero puede ser A o puede ser 0, + lo mismo sucede con el segundo-

     (os datos del problema son los >ectores + y K, por tanto conocemos su norma , su dirección y sentido y por consi$uiente conocemos el án$ulo definido por + y K, es decir θ .. En la fi$ura 2.' trasladamos al >ector + paralelamente a s" mismo %asta que su cola coincida con la flec%a de K, formándose el trián$ulo =n M K 4 +PK6, en donde conocemos dos lados LL+LL y LLKLL y el án$ulo comprendido será π   4θ  , porque es suplementario a un án$ulo que es i$ual a θ   por ser correspondiente al án$ulo formado por + y K, como semuestra en la fi$ura 2.'.

    a$ Ahora vamos a calcular la norma ''A 0''!  +plicando la (ey del oseno:

    del  (eyla por  6cos1  K + K + K +:deduce se. fi$urala De   θ  π    −−+=+   2C2  222

    θ π θ π θ θ π    cos sen sencoscos 6 osqueabemos   −=+=−

    b6  Definida la norma pasamos a definir la dirección , para esto, basta definir su recta de acción por consi$uiente necesitamos un punto de paso y una dirección, lo primero ya lo tenemos >iene a ser el =n ,lue$o nos queda definir su dirección.

     (as rectas de acción de los >ectores + y K al pasar por el ori$en del sistema =n determinan un plano, endonde se encuentra también el paralelo$ramo definido por éstos, al trazar por cada una de las flec%as paralelas a las rectas de acción del otro. or lo tanto el >ector suma + P K por ser la dia$onal de dic%o paralelo$ramo también se encuentra en dic%o plano. En la fi$ura 2.' obser>amos que , la recta de acciónde + P K forma un án$ulo ∝  con la recta de acción de +. De modo que la recta de acción de + P K, será

    la recta que pasa por el ori$en =, se encuentra en el plano definido por (a y (b y forma un án$ulo ∝   con (a..

    34

    θ  cos K + K + K +: primeralaenemplazando e   2222 ++=+

     A 0 ? # a1 1 , a2 2 ,--- --- , an n  $

    =n

     0

     ''0''θ

    π

     )θ

     

     ''A'' 

     

     A

     A0

     

     ''A0''

     ''A'' 

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    a$ 8"M/" A&O: cuando los vectores tienen igual dirección +sentido 

     NO"MA! Del esquema $eométrico se desprende al compararlo con elcaso $eneral que el án$ulo θ A, por tanto cosθ A1, reemplazando en laexpresión de la norma.

     De donde! '' A 0 ''2

     ? ''A''2

      ''0''2

      = ''A'' ''0 acando ra"z cuadrada: L LL+PKLL L A L LL+LL P LLKLL L omo las normas son siempre positi>as: LL+LL Q y LLKLL Q  (ue$o LL+LL P LLKLL Q , por tanto:

     LL+ P K LL A LL+LL P LLKLL  =Luego la norma del vector A 0 serB igual a la suma de las normas de los vectores arciales- 

     A+B 

    //A+B// 

    //B// 

    //A/ 

     A 

     or tanto tenemos que calcular ∝ .: ara el cálculo de dic%o án$ulo acudimos nue>amente a la fi$ura 2.',en donde podemos >er que dic%o án$ulo es i$ual al án$ulo que se opone a LLKLL en el trián$ulo =n4K4+PK6 por ser án$ulos alternos internos, lue$o aplicando la (ey de los enos:

    c$ 8or 7ltimo nos *ueda definir el sentido de A 0 , como %emos dic%o el >ector suma tiene su cola en lacola del primero, y su flec%a en la flec%a del se$undo, por lo tanto la flec%a de + P K queda definida por la flec%a del se$undo. +l quedar definida la flec%a de + P K queda definido el sentido de + P K.

     

     Los casos *ue vamos a estudiar se asaran en lo visto en el caso general, es decir, aplicaremos losresultados encontrados a las situaciones concretas definidas en los casos a analiar-

     D"/ON : ara determinar la dirección imponemos la condición θ   A

    i α  A entonces la recta de acción del >ector + P K será i$ual a la recta de acción del >ector +, por lotanto el >ector + P K tendrá la misma dirección de + y de K.

     &/N5DO: or @ltimo, como el >ector suma tiene su flec%a en la flec%a del se$undo, el sentido del >ector  + P K lo dará el >ector K, como + y K tienen el mismo sentido, entonces + P K tendrá el sentido de + o de K.

    a$ &/.@NDO A&O! cuando los vectores tienen la misma dirección pero sentido contrario!

     NO"MA: =bser>ando la fi$ura y comparándola con el caso $eneral podemos afirmar que el án$ulo que forma + y K, esto es θ  Aπ   por tanto cosθ  A 41, reemplazando en la expresión de la norma tendremos:

    35

    0tan00   ===+=+=   α α θ     to por  senlue$o sen K +

     K sen

     K +

     K senR

       

      

     

    +=

    +=

    =−=−

    −+

    ==−

    +

     K +

     K sen.arcdondede sen

     K +

     K sen:emplazando e

     sencos sencos sen 6  senomo

     6  sen K +

     K sen:quededuce sedondede

     sen

     K

     6  sen

     K +

    α θ α 

    θ π θ θ π θ π 

    θ π α α θ π 

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     LL+ P KLL 2 A LL+LL 2 P LLKLL 2  4 2 LL+LL LLKLL 

     De donde: LL+ P KLL 2 A LL+LL   4 LLKLL 6 2

    acando ra"z cuadrada: L LL+ P K LL L A L LL+LL 4 LLKLL L 

     or definición de alor +bsoluto:i LL + LL 4 LL K LL Q S L LL + LL 4 LL K LL L A LL + LL 4 LL K LL 

    i LL + LL 4 LL K LL T S L LL + LL 4 LL K LL L A LL K LL 4 LL +LL 

     De modo *ue la norma del vector A 0 serB igual a la diferencia de las normas parciales

     D"/ON! ara determinar la dirección, debemos calcular el án$ulo α  , como θ Aπ  entonces senθ A,

    reemplazando en la ecuación correspondiente tendremos:

     Este caso presenta a la >ez dos alternati>as que aparecen debido a que la norma de + puede ser mayor quela norma de K y >ice>ersa, como ya se >io en el estudio de la norma.

     En ambos casos la recta de acción del >ector suma + P K coincide con la recta de acción del >ector + por lotanto se concluye que la dirección del >ector suma es i$ual a la dirección de los >ectores parciales.

     &/N5DO: El sentido del >ector + P K lo da el >ector de mayor lon$itud, debido a que al %acer el trasladocorrespondiente de modo que la cola del menor coincida con la flec%a del mayor, el sentido del mayor  pre>alece.

     En la fi$ura 2.11 se puede obser>ar uno de estos dos casos, en donde la norma de + es mayor que la normade K, al realizar la suma %emos trasladado el >ector K %asta que su cola coincida con la flec%a de +, demodo que el >ector suma + P K tendrá su cola en la cola de + y su flec%a en la flec%a de K, pre>aleciendoas" el sentido de +.

    amos a enunciar las propiedades de modo con7unto debido a razones de tipo didáctico, dados los >ectores +, K y de n y c y d ∈ :

     8ropiedad &uma A 0 #sigla$ 8roducto cA #sigla$1- @niformidad  i + y K∈  n →   + P K∈  n

    F6i + ∈  →   c+∈ n FE6

    2- onmutativa  + P K A K P +6

    c+ A +c E6

    3- Asociativa + P K 6 P A+ P K P 6 +6 cd6+ A cd+ 6 A dc+6 +E6E- /lemento Neutro  + P A EG6 i c A 1→   c+ A +

    EGE6>- /lemento  + P 4+6 A EC6 i c A →   c+ A ECE6

    36

    π  α α α    ====+

    =   ototan por  senlue$o sen  K +

     K senR   000

    π α α    =〈=〉 entonces K +cuando yentonces K + 0

     

     0

     A

     0

     ''A0''

     A0

     ''0 '' 

     ''A'' 0 

    Θ = π 

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     nversoF- Distriutividad  ectorial: c + P K 6 A c+ P cK D6

     Escalar: c P d 6+ A c+ P d+ DE6

     Definido el producto de un escalar por un >ector c+, y la suma de los >ectores + P K, podemos determinar el >ector + 4 K, transformando la diferencia en una suma entre el >ector + y el >ector 416K, es decir, el opuesto de K, de modo que + M K A + P 4K 6.

     (os datos del problema son + A a1 ,a2 ,...,an 6 y K A b1 ,b2 ,...,bn 6 lue$o M K A 4b1 ,4b2 ,...,4bn 6

     De modo que:

     ara tener una idea más clara de este >ector >amos %acer un análisis $eométrico de lo explicadoanteriormente, tenemos los >ectores + y K, definimos el opuesto de K, esto es, 4K y se lo sumamos al >ector 

     +, obteniendo de esta manera el >ector + 4 K 

     odemos concluir que el >ector diferencia es el >ector que tiene su cola en K y su flec%a en +, esto es, el >ector que >a de K a +, esta caracter"stica permite explicar la razón por la cual el >ector =+ A +, dado que

    =+ A + 4 A +. AN;L&& D/L ector diferencia +4K será el >ector que sumado al >ector  K me da el >ector +, esto es:

     K P + M K 6 A K P + 4K AK4K6P+ A P+ A+, demodo que el >ector + M K A K+

     0

     +

     A)0

    =n

    4K

     0

     ''A)0''  ''0''

    On  ''A'' A

    H  I

    cA 

     y 

     A 

    dB 

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      B B 

     A 

     or i$ualdad de >ectores: 4c P d, Jc P !d 6 A 41, 1' 6

    =+

    −=+−

    1834

    1

    d c

    d c

     esol>iendo: c A! , d A 2

     or lo que:   A 4!, 126 ,  D A 2, 5 6

     /(emplo 2-2!

     Dado el trián$ulo +K y las relaciones:  0D  A % 0  , /   A %A ,  A%   A % A0 , siendo tales >ectoresrepresentati>os de las direcciones correspondientes y )%) un escalar. Demostrar que:

     AD  P  0/   P %   A

    olución: onstruimos un trián$ulo +K, en el cual >emos que fi$ura2.136:

     K P + P +K A M K 6 P + M 6 P K M + 6 AH A M K 6 P K 4 +6 P + M 6 A L   H A M K P K M + P + 4 A L+   H A P P 4 A LEC   H A M A LEG 

     0 P A P A0 ? '8/&< l**d 

    alcularemos la suma pedida y demostraremos que es el >ector cero:  AD P 0/  P % 

     +plicando las propiedades de la suma de >ectores tenemos:

     AD P 0/  P %  A  D M A 6 P  / M 0 6 P % M  6 A  D M 0 6 P  / M  6 P % M A 6 A 0D P /  P A% 

    A % 0  P %A P % A0 A %  0  P A P A0 6 A % A   . AD P 0/  P %  A l.q.q.d 

     /(emplo 2-3!

     +plicando el ál$ebra >ectorial, demuestre que las medianas de un trián$ulo se cortan en un punto que distade cada >értice 2L! de la lon$itud de la mediana respecti>a.

    olución: Dado el trián$ulo +K, ubicamos los pies de las medianasfi$ura2.156:

     M a A N. 0 P  6 I  M c AN. A P 0 6

     Definimos: AM a A M a4 A A N 0 P N  4 A A  A t  AM a A tL2 6 0 P tL2 6 4 t  AM c A M c 4   A N A P N 0 4    A sM c A sL2 6 A P sL2 6 0 M s

    =bser>amos que:  A  A A  P   A  M A 6 P sL2 6 A P sL2 6 0 M s

    4t  A P tL26 0 P tL26  A sL2 M 1 6 A P sL26 0 P 1 M s 6 

     C$ualando los coeficientes de los >ectores: 

    38

     +

     K

     C 

     *  

     * a

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    −=

    =

    −=−

     st 

     st 

     st 

    12/

    2/2/

    12/

      esol>iendo: s A t A 2L!

     (o cual quiere decir que la lon$itud del se$mento que une un >értice con el punto de intersección de las

    medianas es los 2L! de la mediana respecti>a: A  A 2L!6 AM a  ,   A 2L!6M como se puede traba7ar con cualquier par de medianas, análo$amente:  0  A 2L!6 0M b /(emplo 2-E!

     Demostrar la propiedad commutati>a : + P K A K P +

     + P K A a1 P b1 , a2 P b2 P a! P b! , ........., an P bn 6 L Def. de +PK

     K P + A b1 P a1 , b2 P a2 P b! P a! , ........., bn P an 6 L Def. de +PK

     (ue$o + P K A K P + :

    +=+

    +=+

    +=+

    +=+

    nnnn

    !!!!

    2222

    1111

    abba

    ......................

    .....................

    abba

    abba

    abba

      L C$ualdad de ectores

    omo la suma de n@meros reales es conmutati>a, entonces las n i$ualdades se cumplen, por tanto se cumpleque + P K A K P +

    . /(emplo 2->!

     Demostrar la propiedad de distributi>idad escalar: c P d 6 + A c+ P d+

    c+ A ca1 , ca2 , ca!  , ...........,can 6 y d+ A da1 , da2 , da!  , ...........,dan 6 L Def. de c+

     (ue$o la suma de c+ P d+ A ca1 P da1 , ca2 P da2 , ca! P da2 ,...........,can P dan  6 L Def. de + P KA V c P d 6a1 , c P d 6a2 , c P d 6a! ,..........., c P d 6an  W L DGA c P d 6 + L Def. c+

     or tanto: c P d 6 + A c+ P d+

    16 Dados los >ectores:  A A a,4!p6 y  0 A 2p,4b6, %allar a, b y p para que:  A P 0 A ',4J6 y  A sea

     paralelo a 0

    .26 Demostrar que los tres puntos: 2,,416, !,2,426 y 3,5,4J6 son colineales.

    !6 Demostrar que los puntos J,,16, 3,1,!6, !,2,36 y 2,1,!6 son los >értices de un paralelo$ramo.

    J6 Demostrar que si  D A 0 P   , 0 LL  A  y  D LL  A , entonces  LL  A.

    36 ean:  A  A a1 ,a2 6 y  0  A b1 ,b2 6 dos >ectores del plano que no tienen la misma dirección ydistintos del >ector cero. robar que para cada >ector   A x A P y 0 , existen los escalares x e y, yexpresar x e y por medio de c1  y c2.

    56 i un cuadrilátero =+K de  2  es un paralelo$ramo que tiene a  A y    como >értices opuestos,demostrar que:

    39

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    e da un paralelo$ramo +KD. e sabe que  /   es un punto medio de D y %   está a 2L! de  A/   en el sentido de A  %acia  / . onsiderando el sentido de  0  %acia   ,

    demostrar que %   está a 2L! de  0   >er fi$ura 2.136.

      A  P N.  4 A 6 A N 0. X9ué teorema relati>o a los paralelo$ramos puede deducirse de estai$ualdadY Enunciarlo.

    &6

    '6 Dados dos >ectores:  A A a1 ,a2 6 y 0 A b1 ,b2 6, demostrar que: 4a1b2 P a2b1 A si y sólo si  A y 0 son paralelos. En los e7ercicios del ector. Decir cuál es el >ector correspondiente encada caso.

    értices de un paralelo$ramo. alcular las tres posibles posiciones del cuarto >értice.

    136 Demostrar >ectorialmente que las dia$onales de un paralelo$ramo se bisecan mutuamente.

    156 Demostrar >ectorialmente que el se$mento de la recta que une los puntos medios de dos lados de untrián$ulo es paralelo al tercer lado, y su lon$itud es la mitad de este @ltimo.

    1&6 Demostrar que los puntos 2, értices de un paralelo$ramo.

     En los e7ercicios del 1'422, sean  A A 1, 2, !6, 0 A 2, 2, 416 y   A J, , 4J6. 0allar:

    1'6  A 4 0  y  0 4 A

    1ector A A ', ', 56 y %allar un >ector 0 tal que:

    a6  0 tiene i$ual dirección y sentido que A , pero la mitad de su módulo.

    b6  0 tiene i$ual dirección, pero sentido opuesto a A , siendo su módulo la cuarta parte de A.

    2J6 Demostrar que si D A  0 P    y  0 es paralelo a A , entonces D es paralelo a A , si y sólo si   es paralelo a A. Clustrar este resultado $ráficamente.

    40

    E D

     + K

     # 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    236 Dibu7ar los >ectores + A 2, 16 y K A 1, !6 partiendo del ori$en en el plano. En la misma fi$uradibu7ar el >ector A + P tK para cada uno de los >alores si$uientes de t: t A 1L!, t A N, t A 1, t A 2, t A 41, t A 42.

    256 En una nue>a fi$ura dibu7ar los >ectores + y K del e7ercicio anterior. ea A x+ P yK donde x e y son n@meros reales.

    a6 Dibu7ar el >ector para los si$uientes pares de >alores: 1L2, N6, 1LJ, Z6, 1L!, 2L!6, 2,416, !, 426, 41L2, !L26, 41, 26.

    b6 D"$ase cual es el lu$ar $eométrico de cuando x e y recorren independientemente losinter>alos T x T 1, TyT1 y dib@7ese este lu$ar.

    2&6 ean + A1, !, 56, K AJ, 4!, !6,, y A2, 1, 36 tres >ectores de  !. Determinar los componentesde cada uno de los >ectores:

     a6 + P KI b6 + 4 KI c6 + P K 4 I d6 &+ 4 !I e6 2+ P! K M  

    2'6 ean + A2, 16 y K A1, !6. Demostrar que todo >ector Ac1 , c2 6 de  2 puede expresarse en la

     forma Ax+ P yK. Expresar x e y en función de c1 y c2.

    2ectores de  ! y D Ax+ P yK P z, donde x, y , z son escalares.

      a6 Determinar las componentes de D.

      b6 0allar x, y , z tales que D A1 2, !6

      c6 i D A, demostrar que x A y A z A

    !6 ean + A1,1,16, KA,1,16 y A2,1,16 tres >ectores de  ! , y D A x+ P yK P z, en donde x, y y z son escalares.

      a6 Determinar los componentes de D

      b6 0allar x, y ,z no nulos tales que D A

      c6 Demostrar que nin$una elección de x, y y z %ace D A1, 2, !6

    !16 ean + A1,1,1,6, K A,1,1,16, A1,1,,6 tres >ectores de  J , y D Ax+ P yK P z siendo x, y y z escalares.

      a6 Determinar los componentes de D.

      b6 i D A, demostrar que x A y A z A

      c6 0allar x, y y z tales que D A1, 3, !, J6

      d6 Demostrar que nin$una elección de x, y z %ace D A1, 2, !, J6

    !26 En  n  demostrar que dos >ectores paralelos a un mismo >ector son paralelos entre s".

    !!6. Dados cuatro >ectores no nulos +, K, , D de  n tales que A+ P K y + es paralelo a D. Demostrar que es paralelo a D si y sólo si K es paralelo a D.

    41

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    !J6 a6 Demostrar, para los >ectores de  n las propiedades de la adición y de la multiplicación por escalares.

      b6 *ediante >ectores $eométricos en el plano representar el si$nificado $eométrico de las dos

    leyes distributi>as c P d6+ A c+ P d+ y c+ P K6 A c+ P cK.

    !36. i un cuadrilátero =+K de  2 es un paralelo$ramo que tiene + y como >értices opuestos,demostrar que + P 4 +6L2 A KL2. X9ué teorema relati>o a los paralelo$ramos puedededucirse de esta i$ualdadY

     Cntroduzcamos un nue>o tipo de multiplicación, llamado producto escalar o interior de dos >ectores en  n.i + A a1 , ... , an 6 y K A b1 , ... , bn 6 son dos >ectores de  n , su producto escalar se representa por +.K y sedefine con la i$ualdad:

     

    a6 + . K A K . + Hconmutati>a[ E6b6 +. K P 6 A +.K P +. Hdistributi>a[ DE6c6 c+ . K 6 A c+ 6. K A + . cK 6 H%omo$énea[ 0E6d6 + . + Q si + \ Hpositi>idad[ E6e6 + . + A si + A Hnulidad[ GE6

     Demostraremos dos de Jstas propiedades para facilitar al alumno la demostración de las otras!

    a6 +.K A K.+

     K. +de. Def  L baba........baba K. +n

    1iiinn2211   ∑

    =

    =+++=

     

    lqqd  +. K K. +: (ue$o sumatoriade. Def  L  +. Kab K. +

     G L abba K. +

    i

    n

    1i

    i

    i

    n

    1i

    i

    n

    1i

    ii

    ===

    ==

    ∑∑

    =

    ==

     d6 + . + Q si + ≠   L E positi>idad6

    lqqd  +. +totan or n ,........, ,itodo paraaentoncesa +. +

     sumatoriade. Def  L aa +. +

    i

    n

    i

    i

    n

    i

    ii

    212

    1

    2

    1

    >=>=

    =

    =

    =

    42

    ∑=+++=n

    iinn   babababa K + 2211   .........

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    i + y K son dos >ectores de  n, , tenemos: +.K6] ≤   +.+6K.K6

     +demás el si$no de la i$ualdad es el >álido si y sólo si uno de los >ectores es i$ual al producto del otro por un escalar, esto es, si + A cK.

     Demostración!

     0aciendo: A x+ 4 yK, donde x A K.K e y A +.K

    eamos la naturaleza del >ector :

    omo K es un >ector cualquiera de  n, , entonces K . K ≥   →   x ≥   L E y GE 

    i y A   K. + bi yacomoba K. + in

    i

    ii   ∈→∈= ∑=1

     →   y∈ 

    i x ≥   e y∈  →   \ y A

     8"M/" A&O! cuando ? !

    e da cuando + A K A y también si M yK es el opuesto de x+, esto @ltimo exi$e que + y K sean paralelos,esto es, que + A cK ó K A c+, ya que un >ector y su opuesto tienen la misma dirección.

     ero podemos comprobar que esta @ltima condición incluye a la primera, dado que el >ector cero se $enera a tra>és del >ector c+, o cK, cuando %acemos c A , esto es, el >ector cero es paralelo acualquier >ector de  n , por lo tanto si + A ó K A ó si los dos son i$uales al >ector cero, esequi>alente a decir que + A cK

     + . K A cK 6 . K A c K.K 6I + .+ A c K 6 . cK 6 A ).(2  K Kc I

     K . K A K . K eemplazando en la desi$ualdad de auc%y M c%/arz:

    [ ]   2222 ).().)(.().(   K Kc K K K Kc K Kc   ==  

     or tanto cuando + A cK se cumple la i$ualdad.

     &/.@NDO A&O! si K !

    e dará cuando + ≠   cK y cuando + y K ≠  

    i es as" entonces . Q L E 

    . A x+ M yK 6 . x+ M yK 6 A x] + . +6 4 2xy + . K6 P y] K . K6 Q L DE y E 

     eemplazando los >alores de )x) e )y) en la desi$ualdad y operando:

    K . K6]+ . +6 4 2K . K6+ . K6] P K . K6+ . K6] A K . K6]+ . +6 4 K . K6+ . K6] Q

     K . K6+ . K6] T K . K6]+ . +6

    omo K . K Q →   + . K6] T K . K6+ . +6 lqqd 

     

    43

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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      3a 

    2a  

    1a  

     y 

     A 

    amos a dar la definición de Gorma de un >ector, estudiando en primer lu$ar los casos más particulares para lue$o inducir el caso $eneral.

     En la fi$ura 2.1' se tiene un >ector + A )( 1a  en  1

     En donde 001     ó ser  puedea  

     or tanto la LL+LL A L    1a  L

     (ue$o: 21a LL  + LL    =

     (a fi$ura 2.1< muestra el >ector posición del punto + en  2I por el teorema de itá$oras sabemos que:

     itá$oras8 aa +   ./////   2221

    2 +=

     (ue$o: 2221 aa LL  + LL    +=  

     (a fi$ura 2.2 extiende el caso a  !:

     itá$oras8 aad    ./22

    21

    2 +=

    23

    22

    21

    23

    22

    23

    22

    ////:Re

    ////

    aaaad  +emplazando

    ad  +

    ++=+=

    +=

    23

    22

    21   aaa LL  + LL donde De   ++=

    8eniendo en cuenta los casos particulares >istos anteriormente, es muy fácil afirmar que, si + es un >ector en  n , su lon$itud o norma que se desi$na con ^+^ se define como la ra"z cuadrada de la suma de loscuadrados de sus componentes, mediante la i$ualdad:

     + +aaaa +entoncesaaa +i

    n

    i

    inn n.............:).........,,,(

    1

    2222121 2

    ==+++== ∑=

     De donde:

    i + es un >ector en  n  y )c) un escalar, se cumplen las si$uientes propiedades:

    16    +   Q si + ≠   Hpositi>idad[ G626    +    A si + A Hnulidad[ GG6!6   c+    A _c_    +   H%omo$énea[ 0G6J6    + P K    ≤      +    P    K   Hdesi$ualdad trian$ular[ D8G6 

     ara un par de >ectores cualesquiera + y K de  n , se cumple que:

    44

     + +

      a   o

     

    A+B

    B

     

     LL+PKLL 

     + + +   .2 =

     LL+LL

    a2

     +

     LL+LL 

     y

     xa1

    O

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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        +PK   ] A +PK6.+PK6 A +.+ P 2+.K P K.K A     +   ] P    K   ] P 2+.K 16

    0.0.2:tan

    ////////.2////////  2222

    ==

    +=++

     K +entonces K +tolo or 

     K + K + K +

     (ue$o:

     

     /(emplo 2-F!

    i: + A 2,1,416 y K A 5,41,26, determinar un >ector de modo que: LL+ y K. A 1'

    i LL +: A c+ A c 2, 1, 416 A 2c, c, 4c6i K . A 1' K . A 5,41,26 . 2c, c, 4c6 A 12c Mc 42c A

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    /)(/............/)(//)(//)(/)(. 2221111

    nnn

    n

    i

    ii  cbacbacbacibaD  K +   ++++++=+=+   ∑

    =

     ,D,G.cabacbaomoiiiiiii

      ////)(/:   +=+

    r d8rian$ula Desi$ualdacabacabaiiiiiiii

      ///////   +≤+

    D + K +cabacabacabacba

    n

    i

    ii

    n

    i

    ii

    n

    i

    iiii

    n

    i

    iiii

    n

    i

    iii  ../)////)//////)(/

    11111

    +=+=+=+≤+   ∑∑∑∑∑=====

     (ue$o:

    ...)(.   cumpleno  + K +  K +   +≤+

    c $ 8ositividad! &i A≠

      A-A

    ∑==

    n

    i

    ii   Def aa + +

    1

    .///.

    0//022 >=→>= iiiiiiii aaaaa yaaaomo

     or tanto: cumple. L aa L n

    i

    ii∑=

    >1

    0

     /(emplo 2-C!

     Demostrar la propiedad homogJnea + la desigualdad triangular para la norma de un vector-

    a6  omogJnea:   c+    A c      +  

       c+   2 A V c+ 6. c+ 6W L Def. de LL+LL 

       c+    A V c] + . + 6 WN  L 0EA c]6N+.+6N  L DG

     (ue$o:    c+    A c      +     dado que LL+ LL Q 

    c$ Desigualdad triangular!

    T    +PK     ≤      +    P    K    como las normas son siempre positi>as

     Ele>ando al cuadrado:     + P K   ] ≤       +    P    K    6] el si$no de la desi$ualdad no >ar"a. 16

     Desarrollando ambos miembros de la desi$ualdad:    +PK   ] A + P K6 .+ P K6 A + . + P 2+ . K P K . K A    +   ] P 2+.K P    K   ] 26

    46

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    19/56

         +    P    K    6] A    +   ] P 2    +      K    P    K   ] !6

     eemplazando 26 y !6 en 16:     +   ] P + . 2+ . K P    K   ] ≤      +   ] P 2    +      K    P    K   ]

    implificando:

     + . K≤   LL + LL LL K LL y nuestro problema se reduce a demostrar esta @ltima desi$ualdad. 

     8or la desigualdad de auch+)&chPar saemos *ue!

    + . K6] + . +6K . K6 de donde: + . K6] ≤      +   ]    K   ] , sacando ra"z cuadrada:

      + . K  ≤      +      K  

     or propiedad del >alor absoluto: 4 LL+LLLLKLL ≤   + . K ≤   LL+LLLLKLL 

     Esta desi$ualdad corresponde a la de auc%y M c%/arz, expresada en función de la norma, >emos que

    ésta incluye a la desi$ualdad trian$ular, por lo tanto podemos afirmar que es >erdadera. /(emplo 2-Q!

    e tiene que + A m,2m6, K A 2m,p6, KLL+. Determinar    K    , si 'A +K LL    //

    i K A t+ A tm,2m6 A mt,2mt6 A 2m,p6

    =

    =

     pmt 

    mmt 

    2

    2  LC$ualdad de >ectores

     esol>iendo: t A 2 y p A Jm entonces: K A 2m, Jm6 +KAK4+A2m, Jm64m, 2m6Am, 2m6

        K4+   ] A+K . +K A m] P Jm] A 3m] A ' por tanto m A J entonces K A ',156

     (ue$o: 3'A!2A235 P5JA K LL    //  

     /(emplo 2-1!

    ean +, K y >ectores de  n  diferentes al >ector cero. i + y K son paralelos y + es orto$onal a ,demostrar que K también es orto$onal a .

     (os datos son: +, K, ≠   I K A t+ y + . A

     producto escalar: K. A t+6. A t+.6 A t6 A  omo nin$@n >ector es nulo y el producto escalar es cero, demostramos que K y son orto$onales.

     /(emplo 2-11!

     Dados los >ectores + A 2, 41, 16, K A 1, 2, 416, y A1, 1, 426 de  !.. 0allar los >ectores D de la forma xK P y orto$onales a + y de lon$itud unidad.

    omo D A xK P y A x1, 2, 416 P y1, 1, 426 A x P y, 2x P y, 4x 4 2y 6

    omo D ⊥   +: D . + A →   2x P y6 M 2x P y6 P 4x 4 2y6 A

    4x 4 y A →   x A 4y por tanto: D A , 4y, 4y6

    47

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    20/56

    i LLDLLA1 →   LLDLL A 222  y y y   =+

     or la transiti>a: 2 y A1 →   y A2

    2± I En consecuencia: D A ,

    2

    2±  ,

    2

    2±  6

     /(emplo 2-12 !

    i + A 1, 41, 26 y K A 2, 1, 416. 0allar un >ector no nulo de  !  que sea orto$onal a + y a K.

    i + ⊥   →   + . A y si K ⊥   →   K . A

    i %acemos A x, y, z6: + . A x M y P 2z A y K . A 2x P y M z A

     0aciendo z A t:

    =+−=−

    t  y x

    t  y x

    2

    2

     esol>iendo en función de t: x A 4tL! e y A x P 2t A 4tL! P 2t A 3tL! or lo tanto: A 4tL!, 3tL!, t 6 A t 41L!, 3L!, 1 6 siendo t un n@mero real cualquiera.

     /(emplo 2-13!

     Demostrar si es o no cierta la si$uiente proposición referente a >ectores de  n. i + . K A + . A y + ≠  , entonces K A .

    i + . K A + . →   + . K M + . A →   + . K M 6 A LDE  ara que esta i$ualdad sea cero, + A ó K M A , como + ≠   por %ipótesis entonces K M A lue$o K A que es lo que quer"amos demostrar.

     /(emplo 2-1E!

     Demostrar si es o no cierta las si$uientes proposiciones:

    a6 i + es orto$onal a K, LL + P xK LL ≥   LL + LL para todo real x.

    i + ⊥  K →   + . K A  

    omo LL + P x K LL ≥   LL + LL Q LG si ele>amos al cuadrado el si$no de la desi$ualdad no cambia:

    normade. Def  L  LL  + LL  +. + 6 xK +.  6 xK +  LL  + LL  LL  xK + LL   222 =≥++→≥+

    normade. Def  y E  L  LL  + LL  LL  K LL  x 6 K. +  x LL  + LL  6 xK +.  6 xK + 

    normade. Def  y 0E  L  6 K. K  x 6 +. K  x 6 K. +  x LL  + LL  6 xK +.  6 xK + 

     DE  L  6 xK 6.  xK  + 6. xK  6 xK.  + +. + 6 xK +.  xK 6 xK +.  + 6 xK +.  6 xK + 

    2222

    22

    2   ≥++=++

    +++=+++++=+++=++

    . xde>alor 

     p>erdaderaesd desi$ualdala ,cuadradoal ele>adosestáncomo LL  K LL  x K. +omo

     LL  K LL  x 6 K. +  x:ndoimplifica

    2

    22

    22

    ≥→=

    ≥+

    b6 i LL + P xK LL ≥   LL + LL para todo real x, + es orto$onal a K

     or el apartado anterior tenemos que: 0////).(2 22 ≥+  K x K + x

    48

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    21/56

      8 

     +

    9FR 

    9 : 

    [ ]

    −os sonambos siimero

     si K x K + x

     (ue$o el con7unto solución será:

    −ector no nulo de modo que: + . A K . A

    !'6 i: + A 2, 41, 26 y K A 1, 2, 426:

    a6 0allar dos >ectores y D de  !  que satisfa$a todas las condiciones si$uientes: + 4 D A , K.D A y que ten$a la misma recta de acción que K.

    b6 0allar los >alores posibles de x e y tales que A x+ P yK y que K. A

    !ectores + A a1 ,a2 6 y K A b1b2 6 conla fórmula:  +.K A 2a1b1 P a2b2 P a1b2 P a2b1

    a6 Demostrar que son >álidas las propiedades distributi>a y de positi>idad.

    b6 XEs >álida la desi$ualdad de auc%y4c%/arzY

    J6 e tienen los >ectores: + A r, K A t9 y A 4!, 2   2  6. alcular    +     y     K     si A r P t9 >er fi$ura 2.226

    J16 8res >ectores de  n  +, K y 6 si se cumple que     + P K 4      A     + P K P     . Determinar cuanto >ale + P K6. y di$a que se puede afirmar de estos >ectores.

    J26 X9ué punto sobre el e7e y equidista de !, 426 y 3, 56Y

    J!6 Demostrar la >erdad o falsedad de la si$uiente proposición relati>a a >ectores de  n: ) si + esorto$onal a K, entonces     + P xK    ≥      +     para todo n@mero real x ).

    49

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    JJ6 Fn >ector de + de  n  tiene lon$itud 5 y otro K tiene la propiedad de que, para todo par deescalares x e y, los >ectores x+ P yK y Jy+ 4 ectorialmente que el án$ulo inscrito en una semicircunferencia es ectores + A2, J,  4&6, K A2,  5, !6, y   A!, J,  436. En cada una de lasexpresiones si$uientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener unaexpresión que ten$a sentido. Cntroducir dic%os paréntesis y efectuar las oper aciones .

      a6 + .  K  I b6 + .  K P I c6 + P B .I d6 +  K . C 

    3ectores en  n: i +.K A +. y +≠ , es K A .

    56 Demostrar si es o no cierta la proposición si$uiente que se refiere a >ectores en  n: i +.KA paratodo K, es + A Y

    516 i + A1, 42, !6 y K A1, 2, 426, %allar los escalares x e y tales que A x+ P yK es un >ector nonulo y que . K A

    50

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    526 i + A2, 41, 26 y K A41, 42, !6 y A1, 41, 16 tres >ectores de  ! . alcular la norma de cada unode los si$uientes >ectores:

      a6 + P KI b6 + 4 KI c6 + P K 4 I d6 + M K P  

    5!6 i + A1, 2, !, J, 36 y K A1, 1L2, 1L!, 1LJ, 1L36, %allar dos >ectores y D de  3 que satisfa$an

    todas las condiciones si$uientes: K A P 2D, D . + A y paralelo a +.5J6 S ean + A2, 41, 36, K A41, 42, !6 y A1, 41, 16 tres >ectores de  3. alcular la norma de cada

    uno de los si$uientes >ectores:

      a6 + P KI b6 + 4 K: c6 + P 2KI d6 + 4 2KI e6 2+ 4 K

    536 En cada caso %allar un >ector K de  2  tal que K . + A y LLKLL A LL+LL si:

      a6 + A 1, 16I b6 + A1, 416I c6 + A2, 4!6I d6 + Aa, b6

    556 ean + A 1, 42, !6 y K A!, 1, 26 dos >ectores de  !. En cada caso, %allar un >ector de lon$itud unidad paralelo a:

      a6 + PKI b6 + 4 KI c6 + P 2KI d6 + 4 2KI e6 2+4 4K

    5&6 Dados los >ectores de  !  + A J, 1, 4!6, K A1, 2, 26, A1, 2, 426, D A2, 1, 26 y E A2, 42,416. Determinar todos los pares orto$onales.

    5'6 0allar todos los >ectores de  2 que tienen la misma lon$itud que + y le son orto$onales si:

    a6 + A 1, 26, b6 + A 1, 426I c6 + A2, 416I d6 + A42, 16

    5ector no nulo de  3 orto$onal a + y a K.

    &6 Dados los >ectores + A2, 41, 16, K A1, 2, 416, y A1, 1, 426 de  !. 0allar los >ectores D de la forma xK P y orto$onales a + y de lon$itud unidad.

    &16 Demostrar que para dos >ectores + y K se tiene la identidad:

     + K + K + K y por tanto + K si y sólo si + K + K+ − − = = + = −2 2 4 0. .

     Cnterpretar este resultado $eométricamente en  2I las dia$onales de un paralelo$ramo son i$uales si y sólo si el paralelo$ramo es un rectán$ulo.

    &26 Fn >ector de  n tiene lon$itud 5. Fn >ector de  n tiene la propiedad de que para todo par deescalares x e y los >ectores x+ P yK y y+ 4 ectores + y K no nulos y no paralelos, demostrar que existen >ectores y D que satisfacen las tres condiciones del e7ercicio 21 y expresar y D en función de +y K.

    &J6 Demostrar si es o no cierta cada una de las proposiciones si$uientes relati>as a >ectores en n:

    a6 i + es orto$onal a K,, LL+ P xKLL ≥   LL+LL para todo n@mero real x.

    b6 i LL+ P xKLL ≥   LL+LL para todo n@mero real x, + es orto$onal a K.

    51

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     A0 ''0'' A

     ''A0'' 

    8 0

     ''A''

    8 0

     + 

     ''A''

    θ 

     El án$ulo que forman dos >ectores, es aquel que tiene en su >értice la cola de los dos >ectores, como semuestra en la fi$ura 2.2!.

     

     +l estudiar el >ector suma + P K, se dedu7o que su módulo era i$ual a:

    θ cos////////2////////////  222

     K + K + K +   ++=+

     or definición de norma sabemos que:  K + K + K + K + K +   .2////////)).((////   222 ++=++=+

     +plicando la propiedad transiti>a, tenemos:

    θ cos////////2//////// 22  K + K +   ++ =   K + K +   .2////////   22 ++

     De donde se deduce que: + . K A LL+LL LLKLL cos θ 

      (ue$o:

     Dados dos >ectores + y K de n, tal que +≠  cK, definimos >ector proyección de + sobre el >ector K, como el >ector que tiene su cola en la cola de K y su flec%a en el pie de la perpendicular ba7ada de la flec%a de + a larecta de acción de K.

     Eliminando al >ector +, multiplicando ambos miembros de la i$ualdad por K:

     K . + A K . cK P +6 A K . cK6 P K . + A cK . K6 P L +⊥   K y 0E 

     K K

     K +  to por  K

     K +cquededuce sedonde De     

       

    == 22 ////.

    tan////

    .:

    52

    e$@n la definición el >ector proyección de + sobre K, es un >ector cK, como se muestra en la fi$ura 2.2J, de donde se deduce que, A

    cK, lue$o nuestro problema se reduce a calcular c.  ara poder relacionar este >ector con el >ector +, nos in>entamos el >ector +, que es orto$onal al >ector K, y por lo tanto + . KA. Este>ector permite afirmar que el >ector + A P +

    omo A cK: + A cK P +

    =→=   cos.////////.

    cos   arc K +

     K +θ  θ  

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    25/56

     a$ Módulo del vector pro+ección!

     K

     K + K

     K

     K + K

     K

     K + K

     K

     K + K

     K

     K + , 

    .....////

    2222  ==== 

     

     

     

     

     =

     K

     K +   (ue$o

    .:   =

     

     En consecuencia tenemos que:

    o será:c

    ::

    c$ Dirección del vector pro+ección: como A cK, entonces la dirección del >ector proyección . erá i$ual a la dirección del >ector K.

     

    H(os >ectores coordenados unitarios son aquellos que tienen su cola en el ori$en, tienen como recta deacción los e7es coordenados, su sentido coincide con el positi>o de éstos y su lon$itud es la unidad. or lotanto %abrá tantos >ectores como e7es y si el sistema es orto$onal los >ectores coordenados unitarios serán

    orto$onales entre si.[

    8eniendo en cuenta la descripción anterior, los >ectores coordenados unitarios en  n , serán los )n) >ectores E 1 A 1, , , ... , , 6, E 2 A , 1, , ......, , 6,...... E n A , , , ... , , 16, en donde el 4ésimo componentede E    es i$ual a 1 y todos los demás componentes son cero.=bsér>ese que:

    ≠===

      7i si E  E  sientre sorto$onaleon

    n   para E unitaruioai$ual módulo8ienen

     7i

      

    0.:

    .......,3,2,11////:)(1

    5eorema!

      H(os >ectores coordenados unitarios permiten expresar todo >ector B A x1  x2 ,....,xn 6 de  n  comocombinación lineal de ellos, esto es[:

    53

    $ &entido del vector pro+ección!

    omo el >ector proyección, es un >ector A cK, su sentido

    dependerá del si$no de c, como c es i$ual a2////

    .

     K

     K +c   =   y

    como  + . K A LL+LL LLKLL cos θ :

    θ  θ  

    cos////

    ////

    ////

    cos////////2  K

     +

     K

     K +c   ==

    omo las normas son siempre positi>as, el si$no de cdependerá exclusi>amente del cosθ  , lue$o para facilitar >er la >ariación del coseno, %acemos su $ráfica, que sead7unta.

    0 π/2 π 3 π/2 2 π xx 

    1

    -1

     y = cosx 

     y 

    (+) (+)( + )

    (-) - )

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    26/56

     En  2  en cambio se tiene dos e7es y todo >ector formarácon cada uno de los e7es un án$ulo, por lo tantotendremos dos án$ulos directores. Dado el >ector + A a1 , a2 6

    emos que el >ector + forma con el e7e BB un án$ulo R1 y con el e7e OO R2, que corresponden a sus án$ulosdirectores.

      ( 1

    7 y O i

      

     : 

     +

    S 1

    1

    #$

    1(a) i

    i

    1

     +

    5esis  ∑=

    =+++==n

    iiinnn   E  x E  x E  x E  x x x x B i

    1221121   ..........),..........,,(  

     Demostración! Determinando los productos xE:

    =

    =

    =+++=

    ==

    ==

    ====

    n

    i

    iinn

    n

    i

    nii

    nnnn

    lqqd  E  x E  x E  x E  x B  (ue$o

     B  x x x E  x

    i$ualdadeslasmiembroamiembroumando x x E  x

     x x E  x x x E  x

    1

    2211

    1

    21

    2222

    1111

    ........:

    ).......,..........,,(

    :)........,,0,0,0()1,.......,0,0,0(

    ............................

    )0........,,0,,0()0,.......,0,1,0()0........,,0,0,()0,.......,0,0,1(

     Debido a que los sistemas más usuales son el bidimensional y el tridimensional, >amos a con>enir la si$uiente simplificación, llamando a   E a y 7 E i E    ===   321   ,  , de modo que:

    4 En  2  : i A 1,6 , 7 A ,16 fi$ura 2.23 a

    4 En  !  : i A 1,, 6 , 7 A ,1,6 , A ,,16 fi$ura 2.23 b

    1

     

     (ue$o un >ector + A 2, !6 A 2i P !7 y si K A 2, 4!, 36 A 2i 4 !7 P 3 

     

    on los án$ulos que un >ector forma con cada uno de los e7es coordenados. or lo tanto %abrá tantosán$ulos como e7es ten$a el sistema, p.e. si estamos en  n tendremos Hn[ e7es y por lo tanto el >ector formarácon cada uno de estos e7es Hn  án$ulos, llamados directores, debido a que definen la dirección del >ector.

     AnBlisis: >amos a realizar un estudio inducti>o acerca de este tema y empezaremos en  1: En  1  todoslos >ectores de dic%o espacio tienen la misma recta de acción y por lo tanto todos ellos forman con su@nico e7e un solo án$ulo cuyo >alor es ` ó π  , no se da otra alternati>a. En la fi$ura si$uiente se ilustraconsiderando el >ector + Aa1 6 y el >ector K A b 1 6, de modo que el >ector + tiene como án$ulo director R1  A y K R1 A π .

     

    54

     0 O1  A

      b1  a1

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     A

    a1  : 

    I2 I1

     ''A'' 

    a2

     

    O as" podemos se$uir %asta lle$ar al espacio  n , demodo que un >ector en dic%o espacio formará nán$ulos directores.

     Dic%os án$ulos serán: α 1 , α 2 , α ! , ............, α n respecti>amente.

    Hienen a ser los cosenos de los án$ulos directoresH.

     El >alor de dic%os cosenos se puede inducir, %aciendo un análisis de los casos particulares.

     En ectores de este espacio son i$uales a 1 ó M1.

     or tanto se puede decir que cos α 1 A

    1

    1

    a

    a el cual será 1 o M1 dependiendo del >alor que ten$a la

    componente, si a1 T el cosα 1A 41 y si a1 Q entonces cosα 1 A 1

     En iene usar la desi$nación R, , y cuando traba7amos en  2  y en  !.

    55

     El >ector unitario de un >ector dado + Aa1 , a2 ,......., an 6 de  n ,es aquel >ector que tiene la misma dirección y sentido que + pero sumódulo es la unidad. Dic%o >ector se desi$na como +u 

     or lo anterior se tiene que +  LL + lue$o:

     +u A c+ y LL +u LLALL c+ LLA LcL LL + LL y LL +u LL A 1

     + licando la transiti>a : LcL LL + LL A 1

     En  !  tenemos tres e7es lue$o el >ector formará tresán$ulos y serán: a1 , a2 y a! como se muestra en la fi$ura2.2'

    a1

    a3 

    a2 

     y 

    //A// 

     A 

    α 1

    α 2

      α !

     A 

     A U 

    1

    nii

    i

     +

    a......,,2,1cos

    =∀=α 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    !

     De donde se deduce que: +

    c  1=   como cQ entonces LcL A c A

     +

    1

     or lo tanto: +u  A c+ A

    ( )nn

     +

    a

     +

    a

     +

    a

     +

     +α α α    cos.....,,cos,cos..,..........,

    ..,, 21

    21 =   

      

     =  

    !

    8res >ectores +, K y de  n  satisfacen las condiciones si$uientes: LL + LL A LL LL A 3, L L K LL A 1, LL+4 K

    P LL A LL + P K P LL. i el án$ulo que forman + y K es π  L', %allar el que forman K y . &olución!

     (lamando θ   al án$ulo que forman K y , y ele>ando al cuadrado la @ltima i$ualdad para e>itar ra"cescuadradas tenemos

     LL + M K P LL] A + M K P 6. + M K P 6 A +.+ P K.K P . 4 2+.K 4 2K. P 2+. LL + P K P LL] A + P K P 6. + P K P 6 A +.+ P K.K P . P 2+.K P 2K. P 2+. 

     C$ualando y simplificando: 4 +.K A K. 

    4LL+LL LLKLLcos π  L'6 A LLKLL LLLLcosθ   entonces cos θ  A 4cos  π  L'6 lue$o θ  A & π  L'

     /(emplo 2-1F!

    a6 ean: + A a, b, c 6 y α  , , γ   los án$ulos que + forma con los >ectores coordenados unitarios i, 7 y , respecti>amente. alcular cosα   , cos , cos γ . Estos se llaman cosenos directores de +.

    b6 0allar todos los >ectores de  !  de lon$itud 1 paralelos a +.

     &olución!

    a6 + .i A a, b, c 6 . 1, , 6 A a 16

     + .i A LL+LL LLiLLcos α  LL+LL 1001////   222 =++=i ycPbPaA   222  

    56

      +u  A

    (naaa

    α α    ...,cos,cos..,..........,..,

    , 2121 = 

      

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    29/56

     +.i A α coscba   222 ++   26

     C$ualando 16A26 se deduce:cPbPa

    a A

    222α cos  

     +nálo$amente:cPbPa

    b A

    222β cos   I

    cPbPa

    c Acos

    222γ  

     

    b6 ea: +u A t+ un >ector unitario de +:

    1AcPbPagt gA LL  + LL gt gA + LL   222

    u //   de donde

    cPbPa

    1 At 

    222±

     or lo que:cPbPa

    c6b,a, A +

    222u  ±  A  

      

      

     

    ++++++±

    222222222,,

    cba

    c

    cba

    b

    cba

    a

     

     (ue$o:  6 , , A +u   φβα±   coscoscos

     /(emplo 2-1 

     Determinar la proyección de + sobre K si + A 1,2,!6 y K A 1,2,26

     or definición sabemos que A cK, y que P + A + siendo +⊥   K

     Eliminando al >ector +, multiplicando ambos miembros por K:

     K . P + 6 A K . +

     K . P K . + A K . + sabemos que K . + A

    O como A cK: K . cK6 A K . + despe7ando:

    ( )

    )2,2,1(9

    11tan

    9

    11

    441

    641.22

    =

    =++

    ++==

      to or 

     K

     K +c

    &36 En cada uno de los si$uientes casos, expresar + como la suma de un >ector paralelo a K y un >ector orto$onal a K.

    a6 + A 43,'6 , K A 1,16b6 + A 1,2,!6 , K A ,,16c6 + A 1,2,!6 , K A 1,1,6d6 + A 2,1,16 , K A 1,2,6

    &56 En cada uno de los si$uientes casos, calcular el componente y la proyección de + sobre K.

    a6 + A 1,1,16 , K A 1,,16b6 + A 1,,16 , K A 1,1,16c6 + A 1,2,4!,56 , K A 1,,1,6

    57

      8 0

      +

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    30/56

    d6 + A a1 ,a2 ,a! 6 , K A ,a2 ,6 

    &&6 Dados tres >ectores no nulos +, K y de  n , suponer que el án$ulo que forma + y es i$ual al que forman K y . Demostrar que es orto$onal al >ector LLKLL + 4 LL+LL K

    &'6 #ormando el producto escalar de los dos >ectores cos a, sen a6 y cos , sen 6, deducir la

    identidad tri$onométrica: cosa46 A cos a.cos P sen a.sen . &ectores: F A !i47 y A aiPJ7 ,

    a6 Determinar )a) de forma que F y sean orto$onales.b6 Determinar )a) de forma que F y ten$an sentidos opuestas.

    '6 Dados tres >ectores +, K y de  2 , siendo + orto$onal a del mismo módulo, demostrar que:  LL+LL]LLKLL] A +.K6] P .K6]

    a6 robar que: F A    22  ,   22  6iP    22  67 y A4   22  6iP    22  67,son >ectores unitarios perpendiculares.

      b6 Expresar i en la forma xF P y.c6 Expresar 7 en la forma xF P y.

    d6 Expresar 42i P !7 en la forma xF P y.

    '16 Demostrar que para >ectores cualquiera +,K y de  n , siendo LLKLL ALLLL A 1 y K. A , se cumple:

      + A K.+6K P .+6 

    '26 Demostrar que para tres >ectores coplanares +, K y de  n , , siendo K y perpendiculares, y LLKLLALLLL, se cumple:

    a6 LLKLL]+ A K.+6K P .+6 b6 LLKLL ]LL+LL] A K.+6] P .+6] 

    '!6 ara dos >ectores cualesquiera + y K de  n , demostrar que:

    a6 i: + A tK y t Q , entonces +.K6 L LL+LL LLKLL6 A 1.  b6 i: + A tK y t T , entonces +.K6 L LL+LLLL LLKLL6 A 41.

    'J6 ean: + Aa1 ,a2 6, K Ab1 ,b2 6 y Ac1 ,c2 6. Demostrar que b1Ac1 , si +.K A +. y + es paralelo al e7e B.

    '36 8res >ectores +, K, de  ! satisfacen las propiedades si$uientes: LL+LLALLLLA3I LLKLLA1I  LL + M K P LLALL + P K P LL. i el án$ulo que forman + y K es π  L', %allar el que forman K y .'56 Demostrar que el án$ulo que forman + A 1, 2, 16 y K A 2, 1, 416 es el doble del que forman

    A 1, J, 16 y D A 2, 3, 36.

    '&6 Demostrar >ectorialmente que las dia$onales de un rombo son perpendiculares.

    ''6 Dados dos >ectores + A cosa, 4 sena 6 y K A sena, cosa 6 de  2.

    a. Demostrar que + y K son orto$onales de lon$itud unidad. 0a$a un dibu7o en el que + y K formen un án$ulo θ  A π  L5.

    b.0allar todos los >ectores x, y6 de  2 tales que x, y6 A x+ P yK. +se$urarse de que se considerantodos los posibles >alores de θ .

    'ectores en un n M espacio. ean + y K dos >ectores del n Mespacio. Demostrar que:

    58

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    31/56

      a6 1.

    1   ≤≤− K +

     K +

      b6 Existe exactamente una U, h U h tal que + . K A LL+LL LLKLL cos U. Esta U se denominaán$ula entre + y K.

    c6 XEs >álida la (ey del oseno en un n M espacioY

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     Es necesario %acer notar que la $eneracióndel >ector cero de modo no tri>ial, se ori$ina por el %ec%o de que + y K son paralelos,

    esto es, + A eK. 8eniendo en cuenta lo queestamos estudiando podemos decir que el >ector  + es un >ector $enerado por K, o que el >ector +depende linealmente de K, por lo tanto + y K sondos >ectores dependientes, en consecuencia el con7unto & ? TA, 0U serB un con(unto de vectoreslinealmente dependiente.

     (ue$o decimos que B depende linealmente de los >ectores de , ó también que B es una combinación lineal de los >ectores de , son formas de decir lo mismo y que el alumno deberá familiarizarse con esaterminolo$"a.

    uando estudiamos el >ector c+, >imos que cuando c A entonces c+ A , esto es, $eneramos el >ector ceroa partir del >ector c+ %aciendo c A . En nuestro caso $eneraremos al >ector cero a tra>és de B, lue$o B A si ci A para todo i A 1,2,....,., esto es, si c............cc  21   ==== .

     (ue$o B A ci A1, + ci A2+ ci A3, …………,+ ci Ak   A +1 P +2 P jj.P +  A P P jjjP A

     + esta $eneración del >ector cero se le llama forma tri>ial, y la disfruta todo con7unto de >ectores de  n. Oaque su $eneración depende exclusi>amente del escalar ci , esto es, de %acer c i A y no de los >ectores que

    conforman . =8or tanto afirmamos *ue, todo con(unto & finito de vectores de ector $enerado por será B A c+ P dK, lue$o decimos que B es un >ector que depende linealmente de + y K, o que B es un >ector $enerado por + y K.

     +%ora si + y K son >ectores distintos del >ector cero, el con7unto podrá $enerar al >ector cero de dos

    maneras, que corresponden a las dos operaciones presentes, el producto de un escalar por un >ector y la suma de >ectores.

    1. (a primera se da por el producto de un escalar por un >ector y que corresponde a la forma tri>ial, que esel modo de $enerar al >ector cero que $oza todo con7unto . Es decir si %acemos que c A d A entonces B A+ P K A por tanto B A .

    2. (a otra manera de $enerar al >ector cero se da por la suma de >ectores, dado que B A c+ P dK, esnecesario que el >ector dK sea el opuesto del >ector c+. ero para que esto sea posible + y K debentener la misma dirección + A eK 6, ya que lo que 7amás podrá %acer el escalar sobre el >ector escambiarle la dirección. or tanto si dK es el opuesto de c+, entonces resulta que B A c+ P dK A ,en este caso el alumno podrá obser>ar que c y d son distintos de cero, y por lo tanto la $eneración no serealiza del modo tri>ial. ara que el alumno lo entienda me7or lo %aremos de otra manera.

    =perando matemáticamente tendr"amos:i B A c+ P dK, y como + A eK, entonces: B A c eK 6 P dK A ceK P dK A ce P d 6K

    omo la $eneración del >ector cero me exi$e que B A entonces ce P d A , dado que K ≠  ,entonces ce A 4 d. Es decir, basta que se cumpla esta i$ualdad para que B A . En este caso >emos queel con7unto $enera al >ector cero, de un modo no trivial  , dado que los escalares c y d son distintos decero.

    60

     

     &i A ? e 0, e:iste un real eV tal *ue ) A ? eV0 Luego A eV0 ? A # ) A $ ?

     &i A ? e0

     A 

    eV0

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     ero si + ≠   eK , es decir, tienen diferentedirección, esto %ace imposible que el >ector c+ sea el opuesto de dK. or tanto no existen>alores reales de c y d distintos de cero que%a$an que B A

     En este caso el con7unto $enera al >ector cero de una sola manera, y esa manera es la forma tri>ial, esto es, cuando los escalares c y d son i$uales a cero.  /n este caso decimos*ue el con(unto & genera al vector cero conunicidad--

     +l ser + ≠  eK, decimos que + no es $enerado por K y por lo tanto + y K son dos >ectores linealmenteindependientes, en consecuencia el con7unto & ? T A, 0 U serB un con(unto de vectores linealmenteindependiente-.

     De esta manera %emos introducido dos conceptos nue>os, la $eneración del >ector cero con unicidad y laindependencia lineal de un con7unto finito de >ectores.

     

    1- =Decimos *ue un con(unto & de S vectores de ector $enerado

    omo la $eneración del >ector cero debe %acerse a tra>és de B A ,,6

     Entonces por la transiti>a: c, d, e6 A , , 6

    =

    =

    =

    e

    c

      por i$ualdad de >ectores

     or tanto la $eneración del >ector cero me exi$e que c A d A e A , lue$o la $eneración se realiza demodo tri>ial, en consecuencia el con(unto & es linealmente independiente.

     /(emplo 3!

    61

     

    omo el escalar nunca podrB camiar ladirección a A ó 0, cA no podrB ser opuesto de d0

     0

     A

    On

     &i A≠

     e0

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     Dado el con7unto A k i, 7, 2i M 7 de  2 , se pide estudiar el con7unto y decir si es linealmenteindependiente o no.

     El >ector $enerado por será: B A c i P d 7 P e 2i 4 76 L Def. de >ector $enerado

    =perando tenemos: B A c P 2e6i P d 4 e67 A c P 2e, d 4 e6

    omo la $eneración del >ector cero debe %acerse a tra>és de B A A , 6

     Entonces por la transiti>a tenemos:

     c P 2e, d4e6 A , 6

    =−

    =+

    0

    02

    ed 

    ec L por i$ualdad de >ectores

     esol>iendo tenemos que d A e y que c A 42e, lue$o para $enerar el >ector cero basta que se cumplandic%as i$ualdades.

     +%ora como c, d y e son escalares, existen infinitos >alores de c, d y e que satisfacen dic%as condiciones.

     or e7emplo si %acemos e A 1 entonces d A 1 y c A 4 2, estos >alores al ser reemplazados en nuestro >ector nos deberá dar el >ector cero: B A c P 2e, d 4 e6A4 2 P 2x1, 1416 A , 6 y as" podr"amos se$uir dando>alores reales a e y obtener >alores de d y c, que también %acen B A , lue$o existen infinitas formas de $enerar al >ector cero.

    =&i el con(unto & no genera con unicidad al vector cero, decimos *ue & es linealmente dependiente- 

     Este estudio nos permite >er que existe dos tipos de con7untos finitos de >ectores, los que son linealmenteindependientes y los que son linealmente dependientes.

    amos a >ol>er a considerar al >ector B definido al inicio del apartado, para poder entender me7or esteconcepto.

     AnBlisis del vector ∑=

    i

    ii +c B 

    1

     ara conocer bien el >ector B estudiaremos su $eneración. emos que B es un >ector que se obtiene sumando>ectores c+. omo sabemos un >ector c+, se caracteriza por tener su cola en el ori$en y su flec%a encualquier punto de la recta de acción de +.

     (ue$o el primer sumando supone infinitos >ectores que tienen que ser sumados con infinitos >ectorescorrespondientes al se$undo sumando y as" sucesi>amente %asta el 4ésimo sumando.

     Esto nos lle>a a >islumbrar que se $eneran infinitos >ectores B, que resultan de todas las combinaciones posibles de sumar las infinitas alternati>as de cada uno de los sumandos entre si.

     

    H(a En>ol>ente (ineal de un con7unto finito de >ectores se define, como el con7unto de todos los >ectores $enerados por .. e desi$na como (6 A k B [

    { }   ∑=

    == 

    i

    iin  ,   +c B  Entonces de +..,.......... , + , + i

    1

    21

    { }

    == ∑

    =

     

    i

    ii +c B  6   (totanlo por  y

    1

     (a en>ol>ente de se puede desi$nar de tres maneras diferentes:

    62

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    8omamos una alternati>a c2 K por e7emplo si c2 A 1entonces c2 K A K y le sumamos todos los >ectoresc1 +, trasladándolos paralelamente a si mismos%asta que su cola coincida con la flec%a de K,entonces: los >ectores K P c1 + tendrán su cola en lacola de K, esto es, en el ori$en y su flec%a encualquier punto de la recta de acción de +, pero en lanue>a posición ya que %a sido trasladada, esto es

     ( +.

     Desde el punto de >ista $eométrico lo que %emos %ec%oes, %acer pasar por el punto K una recta ( + paralela a

    1. +l$ebraica: (6

    2. +nal"tica simplificada: {  B }  

    amos a tratar de explicar este concepto debido a la dificultad que presenta su concepción, para estoempezaremos su estudio, >iendo los casos más simples:

     /(emplo E-

     8rimer aso: i A {  + }  de  n

     Entonces B A c+ por tanto ( 6 A {  B }  A{  c+ } 

     En este caso la en>ol>ente lineal del con7unto es el con7unto de todos los >ectores c+, que se caracterizan por tener su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de su recta de acción, esto es, un espacioequi>alente al unidimensional. En este caso la recta de acción de + %ace de soporte de la en>ol>ente.

     Desde el punto de >ista $eométrico decimos que todos los >ectores de dic%a en>ol>ente son colineales.

     

    8ambién podemos obser>ar que la $eneración del >ector cero, se da cuando c A , esto es, c+ A si c A, lue$o $enera con unicidad al >ector cero y por lo tanto es un con7unto de >ectores linealmenteindependiente.

     /(emplo >-

     &egundo aso: i A {  +, K de  n 

     Entonces B A c1 + P c2 K por tanto (6 A {  B }  A{  c1 + P c2 K

    omo se >io en el e7emplo 1, se dan dos situaciones:

    1. uando es linealmente independiente.2. O cuando no lo es.

    eamos el primero, cuando + \ tK, esto es, cuando tiene distinta dirección, por lo tanto el con7unto es (inealmente Cndependiente.

     En este caso >emos que ya no es tan fácil definir la en>ol>ente. ara determinar la naturaleza de los >ectores B se %ace necesario un análisis pre>io. rocedemos a definir a cada uno de los sumandos, esto es, c1 + y c2 Kcomo aparecen en el esquema $ráfico ad7unto. 8eniendo en cuenta que los >ectores se suman punta concola y que todos los >ectores c1 + tienen su cola en el ori$en, %acemos lo si$uiente:

    63

    ∑ =

     

    i   ii +cdadesarrolla +nal"tica!.

    1

    c 2 B

    c 1 A 

     A 

    0 n

     M 0 

    c 1 A

     A 

    B + cA

    L B 

    L A 

    L  A 

     A B 

    0  

    L  A= L 

    0 n

     A cA 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    omo B A c+ P dK y + A tK, entonces: B A c tK6 P dK A c t Pd6 Kcomo c, t y d son escalares, c t P d será otro escalar que llamaremos He[,lue$o B A e K

     or tanto la en>ol>ente lineal de , (6 A k eK que corresponde a la En>ol>ente (ineal de K, a%ora como + A t K, también podemos decir quees i$ual a la en>ol>ente lineal de +, esto es, (+6, en consecuencia (6 A (+6 A (K6.

    análisis pre>io, y de modo análo$o al  caso anterior, sedefine en primer lu$ar a cada uno de los sumandos de B, esto es c1 +, c2 K y c! , como se ilustra en la fi$ura.

     El estudio del caso anterior nos permite saber como sonlos >ectores c1 + P c2 K, , lue$o nos quedar"a sumárselosa los >ectores c! . ara %acer esto, procedemos demanera similar. onsideramos una primera alternati>ade c!, esto es c! A1 de modo que c! A y le sumamos a este >ector los infinitos >ectores c1 + P c2 K,trasladándolos de modo que la cola de estos >ectorescoincida con la flec%a de , de modo que los >ectores suma P c1 + P c2 K, tendrán su cola en el ori$en y su

     Es importante tener en cuenta, que en la suma el primer >ector es K, y todos estos >ectores tienen su cola enel ori$en, por lo tanto la cola de los >ectores suma K P c+, tendrán su cola en la cola del primero, esto es, de

     K y su flec%a en cualquier punto de la recta ( +. +%ora bien, lo que %emos %ec%o con K lo tenemos que %acer con todos los >ectores dK. Esto implicar"a, yaque cada punto de la recta de acción de K ( K 6 es una flec%a de un >ector dK, desde el punto de >ista $eométrico %acer pasar por cada punto de dic%a recta una recta paralela a la recta de acción de + ( + 6.

     0acer esto es equi>alente a ima$inar lo si$uiente, manteniendo a ( K  como $u"a, deslizamos ( + paralelamente a si misma apoyándose sobre ( K , %acer esto supondr"a la $eneración del plano *. El alumnodeberá tener presente que los puntos de cada una de éstas rectas me definirán las flec%as del >ector suma, yaque c+ es el se$undo y adopta las posiciones descritas.

     De ese modo los >ectores suma dK P c+ tendrán su cola en la cola de dK, esto es el ori$en, y su flec%a encualquier punto del plano * definido por ( + al deslizarse paralelamente a si misma apoyándose en ( K. En

    este caso el soporte de la en>ol>ente es el plano *. (ue$o la en>ol>ente lineal de ser"a, el con7unto de todos los >ectores que tienen su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al bidimensional, esto es, el plano * definido por ( + y ( K. En este caso todos los >ectores ser"an coplanares.

    eamos la se$unda situación, que se da cuando + A tK, esto es, cuando tienen la misma dirección. or lotanto el con7unto es (inealmente Dependiente.

    emos que en este caso la en>ol>ente lineal del con7unto formado por los >ectores + y K, se reduce a laen>ol>ente lineal de un con7unto de >ectores formado sólo por + o sólo por K. Esto se explica por el %ec%o deque uno de los >ectores depende del otro.

     /(emplo F-

    5ercer aso: i A {  +, K, de  n ,

     Entonces B A c+ P dK P e y (6 A {  B Este estudio presenta dos situaciones:

    a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes.

    b6 i los >ectores de son (inealmente Dependientes, ésta contiene dos situaciones:

    1. i son colineales2. i son coplanares

    a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes: (a definición de la en>ol>ente lineal requiere de un

    64

     

     M

    L B 

    Bc 2  B  M 0 

    L C 

    c 3 C 

      C 

     

     A

    C 2 B 

    L B 

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     Desde el punto de >ista $eométrico lo que %emos %ec%o es %acer pasar por un plano * paralelo a * .omo cada punto de (c es una flec%a de un >ector c! , si$nifica que debemos %acer pasar por cada unode los puntos de (   un plano paralelo al plano * definido por ( + y ( K , la realización de esto supondr"a la $eneración dentro del espacio  n , un espacio equi>alente al espacio  !.

    =8or tanto la envolvente lineal de & sería el con(unto de todos los vectores *ue tienen su cola en el origen +su flecha en cual*uier punto de un espacio e*uivalente al espacio tridimensional-

     El alumno deberá realizar un esfuerzo para ima$inar lo que acabamos de definir, debido a que el espaciotridimensional prácticamente satura nuestra >isión espacial. Go podemos ima$inar como ser"a un espacio decuatro dimensiones, y de i$ual manera no sabemos como seria el espacio n4dimensional  n , sin embar$oanal"ticamente si podemos traba7ar en esos sistemas.

     uede ayudar a entender un poco me7or si %acemos la si$uiente analo$"a, que  ! es a  n como  1 es a  !. Deteniéndonos en lo @ltimo podemos >er que  1 esta contenido en  ! , esto es, estando en  ! yo puedotraba7ar como si estu>iese en  1 , esto lo consi$o si %a$o que la se$unda y tercera componente del >ector sean permanentemente i$uales a cero 6. or e7emplo + A a,,6 siendo a un n@mero real cualquiera, de esamanera el >ector + tiene como recta de acción el e7e BB, y por lo tanto los >ectores que estudiaré tienen lamisma dirección, que corresponde a un espacio equi>alente al espacio unidimensional.

     De la misma manera el espacio  !  contiene al espacio  2 , si %acemos permanentemente la terceracomponente i$ual a cero, esto es en un >ector + A a, b, 6, lue$o este >ector se mo>er"a en el plano BO, quees lo equi>alente al espacio  2. +s" como  1  y  2 se encuentran contenidos en  ! , todos los espaciosinferiores al n4dimensional, están contenidos en  n.. ol>iendo al caso tercero, cuando decimos que (6 es el con7unto de todos los >ectores que tienen su cola enel ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al  ! , definido por ( + , ( K y (  , tenemos que pensar que por el %ec%o de que nos mo>emos en  n , el espacio mencionado es una porción de este. Dic%aen>ol>ente no satura al espacio n4dimensional, aunque no podamos ima$inar $eométricamente como es.

    b16 i son colineales:

     En este caso se dan los si$uientes subcasos:

    a6 + A f y K A $b6 + A fK y A $Kc6 K A f+ y A $+

     esol>iendo para a6:

    omo B A c+ P dK P e :

     B A c f 6 P d $ 6 P e A cf P d$ P e 6 

    omo c, d, e, f y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto cf P d$ P e A %

     En consecuencia B A % y la en>ol>ente de , esto es , ( 6 A k % A ( 6

    65 O 

     A 

    O n

     A 

    C  L  A = L B = L C 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    i resol>emos para los otros casos, si$uiendo el mismo proceso, tendremos que (6 será también i$ual a (+6 y (K6.

     or tanto: (6 A (+6 A (K6 A (6.

    b26 i son coplanares se dan los si$uientes subcasos:a6 A f+ P $Kb6 K A f+ P $c6 + A f P $K

     esol>iendo para a6:

    omo B A c+ P dK P e : B A c+ P dK P e f+ P $K6

     Entonces: B A c P ef 6+ P d P e$ 6 K

    omo c, d, e, f y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P ef A %1  y d P e$ A %2 

     En consecuencia B A %1 + P %2 K. y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k %1 + P %2 K A ( +, K 6.

     +%ora si resol>emos los otros casos tendremos que (6 también será i$ual a ( K, 6 y ( +, 6.

     or tanto: ( 6 A ( +, K 6 A ( K, 6 A ( +, 6

     /(emplo -

    uarto aso: i A {  +, K, , D de n,

     (ue$o B A c+ P dK P e P fD y ( 6 A {  B , en este estudio presenta dos situaciones:

    a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes.b6 i los >ectores de son (inealmente Dependientes, ésta contiene, a la >ez, tres subcasos:

    1. i son colineales2. i son coplanares!. i son tridimensionales

    a6 i son (inealmente Cndependientes:

    8eniendo en cuenta todo lo anterior podemos inducir que la en>ol>ente lineal de , es el con7unto de todos los>ectores que tienen su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al espaciotetra4dimensional.b16 i son colineales: En este caso se presentan cuatro subcasos:

    a6 + A fDI K A $D y A %Db6 + A fI K A $ y DA %c6 + A fKI A $K y DA %Kd6 K A f+I A $+ y DA %+

     esol>iendo para a6

    omo B A c+ P dK P e PuD:

     B A cfD6 P d$D6 P e%D6 P uD A cf P d$ P e% P u6 

    omo c, d, e, f , $ ,% y u son escalares la suma de ellos

    66

    O n

     A 

    C  L  A = L B = L C 

     A 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    me dará otro escalar, por tanto cf P d$ P e% P u A >

     En consecuencia B A >D y la en>ol>ente de , esto es , ( 6 A k >D A (D6.

     +%ora si resol>emos el problema para los casos b, c y d se tendr"a que (6 será i$ual a (+6 y (K6 y a (6,

     or tanto: (6 A (+6 A (K6 A (6A (D6. (os >ectores de la en>ol>ente lineal de depender"an de unode los >ectores que conforman dic%o con7unto.

    b26 i son coplanares se presentan los si$uientes subcasos: a6 D A f+ P $K y A f+ P $Kb6 D A f  1 + P $ 1 y K A f 1+ P$1 c6 K A f  2 + P $ 2 D y K A f 2+ P$2 Dd6 + A f  ! K P $ ! y DA f !KP$! e6 + A f  J K P $ J D y A f JKP$J D f6 + A f ! K P $ ! y DA f !KP$!  $6 + A f 3  P $ 3 D y DA f 3P$3 D

     esol>iendo para a6:

    omo B A c+ P dK P eP uD :

     B A c+ P dK P e f+ P $K6 P uf+ P $K 6

     Entonces: B A c P ef P uf 6+ P d P e$Pu$6 K

    omo c, d, e, f , $ , f, y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P ef Puf A  1  yd P e$Pu$ A  2 ,

     En consecuencia B A  1 + P  2 K y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k %1 + P %2 K A (+, K,6

    i %acemos lo mismo para los otros subcasos >eremos que (6, también será i$ual a (K, 6 y (+, 6, (, D6, (+, D6, y (K, D6 esto es:

     (6 A (+, K,6 A (K, 6 A (+, 6A (+,D6A (K, D6A (, D6

     Es decir, que los >ectores de la en>ol>ente lineal de , dependerán de dos >ectores cualesquiera de y por lotanto serán coplanares.

    b!6 i son tridimensionales se dan los casos si$uientes:

    a6 D A f + P $ K P % b6 A f + P $ K P % D

    c6 K A f + P $ P % Dd6 + A f K P $ P % D

     esol>iendo para a6:

    omo B A c + P d K P e P u D :

     B A c + P d K P e P u f + P $ K P % 6

     Entonces: B A c P u f6+ P d P u $6 K P e P u %6 

    omo c, d, e, f , $ , % y u son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P u f A  1  , d P u $ A  2  y e P u % A  X

    67

    O n

     A 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     En consecuencia B A  1 + P  2 K P  !. y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k % 1 + P %2 K P  ! A (+, K, 6.

    i resol>emos los otros casos tendremos que (6 también será i$ual a (K, , D6 y (+, , D6, (+, K, D6,

     or tanto: (6 A (+, K, 6 A (K, , D6 A (+, , D6A (+, K, D6 lue$o los >ectores de la en>ol>ente serán>olumétricos

    .eneraliando!  Hi es un con7unto de >ectores { }   nn    de + + +    ......,........., 21=linealmente independientes su en>ol>ente lineal (6 será el con7unto de todos los >ectores que tienen su colaen el ori$en y su flec%a en cualquier punto del espacio n4dimensional. Esto si$nifica que (6 A n.[

     

    Fn con7unto A k  A1 , ... ,  A   de >ectores de  n  $enera a  W   con unicidad si se cumplen estas doscondiciones:

    16 i $enera a  W .

    26 ∑∑==

    == 

    1i

    ii

     

    1i

    ii   +d  B  y +c B i   implica ci A d i 

     Esta definición lle>a al si$uiente teorema:

     

    gHFn con7unto $enera con unicidad a todo >ector de (6 , si y sólo si $enera con unicidad al >ector cero.[ Demostración:

    i (6 A k B y si $enera con unicidad a todo >ector B:   ∑∑==

    == 

    i

    ii

     

    i

    ii   +d  B  y +c B 

    11

     para

    todo ci A d i  or la definición anterior. omo la $eneración del >ector cero se realiza a tra>és de B: B M B A 16

     eemplazando el >alor de B con las formas que asume este  en 16:

    ∑∑∑ === −=−=− 

    i

    iii

     

    i

    ii

     

    i

    ii   + 6d c  +d  +c B  B 

    111

    A L + 

    omo ci  y d i son dos escalares: ci M d i A ei  será otro escalar.

     or tanto: 11

    ==− ∑∑==

     

    i

    ii

     

    i

    iii   +e + 6d c 

    omo ci A d i  para todo i: ci M d i A lue$o ei A para todo i

     En consecuencia la $eneración del >ector cero se da cuando e i A por tanto $enera al >ector cero conunicidad.

     

    68

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    Hea A k A1 , ... , A  un con7unto linealmente independiente de >ectores de  n , y sea (6 la en>ol4>ente lineal de . 8odo con7unto de P 1 >ectores de (6 es linealmente dependiente.[

     Demostración!

     rimero, >amos a demostrar que los >ectores de pertenecen a (6.

     El >ector $enerado por es:    

    i

    ii   +c.............. +c +c +c B    +++==∑=

    2211

    1

     (ue$o si %acemos c1 A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ 1: B A +1 (ue$o si %acemos c2 A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ 2: B A +2jjj.. (ue$o si %acemos c  A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ : B A + 

    omo los >ectores del con7unto pedido debe tener P 16 >ectores de (6, y estos son >ectores B, entonces la situación más desfa>orable para el con7unto   P 16  es que los H[ primeros >ectores sean los H[ >ectores de, dado que estos son (inealmente Cndependientes por 0ipótesis y el P 164 ésimo >ector tiene que ser un>ector B, por tanto:

      P 16 A k +1 , +2 , jjj, +  , B

    omo    

    i

    ii   +c.............. +c +c +c B    +++==∑=

    2211

    1

     , esto es, depende de los H[

    >ectores de , entonces el con7unto   P 16  será (inealmente Dependiente. (qqd.

    Fn con7unto A k A1 , ... , A  de  n  se denomina orto$onal si  Ai. A 7 A siempre que i \ 7. Dic%o de otromodo, dos >ectores distintos cualesquiera de un con7unto orto$onal son perpendiculares.

     

    ualquier con7unto orto$onal de >ectores A k A1 , ... , A  no nulos de  n  es linealmente independiente.

     +demás, si $enera un >ector B A ci

    n

    1Ai

    ∑  +i  entonces los escalares c1 ,.....,c   >ienen dados por la fórmulas:

      c 7 A 7 7

     7

     +. +

     B . +  para 7 A 1, ...,  

     Demostración!

    omo el con7unto es orto$onal se cumple que: +i . + 7 A para todo los i \ 7

     (ue$o si se quiere calcular c1 se multiplica a B por +1:

     B . + A 1221111

     + 6. +c.............. +c +c  + 6. +c    

     

    i

    ii   +++=∑=

    A

     B . +  A

    11

    1

    11111122111 +. +

     +. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c      ==+++

     (ue$o si se quiere calcular c2 se multiplica a B por +2:

    69

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     B . +2 A 2221121

     + 6. +c.............. +c +c  + 6. +c    

     

    i

    ii   +++=∑=

    A

     B . +  A

    22

    2

    22222222211 +. +

     +. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c      ==+++

     (ue$o si se quiere calcular c  se multiplica a B por + :

     B . +  A      

    i

    ii   + 6. +c.............. +c +c  + 6. +c    +++=∑=

    2211

    1

    A

     B . +   A

      

              

     +. +

     +. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c   ==+++   2211

     De donde se puede inducir como ley $eneral, lo si$uiente: c 7 A 7 7

     7

     +. +

     B . +  para 7 A 1, ...,  

    Fn con7unto A k A1 , ... , A  de >ectores de  n  es una base para  n  si $enera todo >ector de  n  conunicidad. i, además, es orto$onal, entonces se denomina base orto$onal.

     Es decir, una base es un con7unto linealmente independiente que $enera todo el espacio de  n. Fn e7emplode base es el con7unto de >ectores coordenados unitarios que, además, es una base orto$onal.

     

     En un espacio >ectorial dado  n , las bases tienen las propiedades si$uientes:

    a6 8oda base contiene exactamente n >ectores.

    b6 ualquier con7unto de >ectores linealmente independiente es un subcon7unto de una cierta base.

    c6 ualquier con7unto de n >ectores linealmente independiente es una base.

    ectores 1Pt,14t6 y 14t,1Pt6 de  2  seanlinealmente independientes.

    116 0allar todos los n@meros reales t para los cuales los tres >ectores si$uientes de  !  sonindependientes: t,1,6,1,t,16, ,1,t6

    126 a6 Demostrar que un con7unto de tres >ectores de  !  es una base para  !  si y sólo si suen>ol>ente lineal (6 contiene los tres >ectores coordenados un


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