Download - Apuntes de de Los Temas III y IV SEP UVA
Escuela de Ingenierías Industriales Dpto. de Ingeniería Eléctrica Universidad de Valladolid UVa
Grado: GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES
Asignatura: SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Curso: 2013/2014
Temas III y IV
Sección A.- MÉTODO DE CÁLCULO EN VALORES POR UNIDAD.
1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.).
1.1.-Sistemas monofásicos.
1.2.-Sistemas trifásicos.
2. Cambios de base
Sección B.- LÍNEAS ELÉCTRICAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL.
1. Introducción
2. Parámetros de líneas
2.1. Resistencia del conductor
2.2. Efecto inductivo
2.3. Efecto de Capacidad en las líneas
2.3.1. Caso de Cables aislados
2.4. Pérdidas de aislamiento y Efecto corona
3. Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas
4. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal. Aplicabilidad
4.1. Modelo general de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes en y T
4.2. Línea sin pérdidas. Circuitos equivalentes en y T
4.3. Modelos simplificados: Línea larga, media y corta
5. Caída de tensión. Influencia del factor de potencia
6. Modelo de líneas eléctricas en valores p.u.
7. Las cargas. Modelo en valores p.u.
Sección C.- LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS EN LOS SISTEMAS DE
ENERGÍA ELÉCTRICA.
1. Introducción
2. El generador síncrono. Modelo en valores por unidad (p.u.)
3. Transformador de dos devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)
4. Transformadores trifásicos. Modelo en valores por unidad (p.u.)
5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia. Protocolo de
actuación
6. Transformador de tres devanados Modelo en valores por unidad (p.u.)
7. Transformadores de regulación. Modelos en valores por unidad ( p.u.)
Bibliografía
[Alamo] José Luis del Alamo. Sistemas Eléctricos de Potencia. El autor. 1987
[Barrero] Fermín Barrero. Sistemas de Energía Eléctrica. Thomson. 2004
[Duncan] J. Duncan Glover & Mulukutla S. Sarma. Sistemas de Potencia. Análisis y Diseño. 3ª Edición. Thomson. 2004.
[Exposito] Antonio Gómez Expósito y otros. Análisis y Operación de Sistemas de Energía Eléctrica. McGraw Hill. 2002
[Kothari] Kothari, D. P.; Nagrath, I. J. Sistemas Eléctricos de Potencia. McGraw Hill. 2008
[Moreno] Jorge Moreno; Fernando Garnacho; Pascual Simón; José Rodríguez. Reglamento de Líneas de Alta Tensión y sus fundamentos técnicos. Paraninfo 2010
[Simon] Pascual Simón; Fernando Garnacho; Jorge Moreno; Alberto González. Cálculo y Diseño de Líneas Eléctricas de Alta Tensión. Garceta. 2011
Sistemas Eléctricos de Potencia
Cálculo en valores p.u. 3 de 77
Sección A.- MÉTODO DE CÁLCULO EN VALORES POR UNIDAD.
1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.).
1.1.-Sistemas monofásicos.
1.2.-Sistemas trifásicos.
2. Cambios de base
1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.)
Es habitual en el análisis de redes eléctricas, debido a la existencia de elementos con
distintos niveles de tensión, realizar una normalización de sus ecuaciones.
De este modo todas las variables y parámetros que intervienen en los cálculos se
encuentran en torno a la unidad y serán adimensionales.
Esta normalización se denomina valores por unidad (p.u.) y se establece a través del
cociente entre el valor de la variable o parámetro y un valor definido como base
(obviamente de dicha magnitud).
. .
El método de cálculo en valores por unidad, no constituye ningún nuevo
procedimiento para, tratar eléctricamente un circuito ; se trata solamente de, una nueva
herramienta para tratar numéricamente las magnitudes que intervienen en un circuito.
1.1. Ecuaciones en valores (p.u.) en régimen permanente senoidal monofásico
Los valores base se corresponden con los valores del módulo de las magnitudes
eléctricas básicas.
Así por ejemplo tendremos como valores base:
EB tensión eficaz (V),
IB intensidad eficaz (A),
SB potencia aparente (VA),
ZB módulo de la impedancia () y
YB módulo de la admitancia (1/).
Y por tanto las magnitudes en valores por unidad, serán por ejemplo:
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4 de 77. Cálculo en valores p.u.
. . . . . . . .
En régimen permanente senoidal, las variables eléctricas no son todas independientes,
sino que están relacionadas entre si. Así, por ejemplo, para una impedancia compleja
y para la potencia , para las referencias de la figura, se verifican las siguientes
relaciones en valores reales:
Ω (1.1)
Para que las ecuaciones en valores (p.u.) conserven su validez, los valores base deben
verificar las mismas leyes que las variables reales en un circuito. Así, en un
sistema monofásico se cumplirá que:
(1.2)
La transformación de las ecuaciones en valores reales a valores p.u. se efectúa
dividiendo la relación en magnitudes reales por las correspondientes valores base. Esto
es:
(1.3)
Con lo que podemos escribir:
. . . . . . . . . . . . (1.4)
La extensión de la normalización a valores por unidad a otras relaciones es inmediata.
Así:
. . . . . . . . . . . . (1.5)
donde
. . . . . . . . (1.6)
El análisis de un circuito podrá realizarse, obviamente, a través de las ecuaciones en
función de las variables reales (1.1) o bien, utilizando las expresiones en valores (p.u.)
correspondientes (1.4).
Obsérvese las relaciones entre las cantidades base dadas por (1.2); al igual que ocurre
con las variables reales, está claro que especificando dos cualesquiera de esas
+
Z E
‐
I
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Cálculo en valores p.u. 5 de 77
cantidades las otras quedan determinadas. Por ejemplo, si se toman EB y SB que es lo
habitual en el análisis de redes eléctricas, las otras cantidades base vendrán dadas por:
/
1
(1.7)
Téngase en cuenta que cualquier pareja de valores puede tomarse como valores base.
Ver tabla 1.1.-
Tabla 1.1.‐ Otros valores base monofásicos
Base elegida SB EB IB ZB
[ SB , EB ] SB EB
[ SB , IB ] SB IB
[ SB , ZB ] SB ZB
[ EB , IB ] EB IB
[ EB , ZB ] EB ZB
[ IB , ZB ] IB ZB
1.2. Caso de circuitos trifásicos
Cualquier circuito trifásico funcionando en régimen equilibrado tiene un esquema
equivalente de conexión estrella-estrella. Su análisis puede realizarse considerando el
circuito monofásico equivalente
E
E
E
V
V V
I
I
I
+
Z E
‐
I Z
Z
Z
V = 3 E
+
‐
+
‐
+
‐
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6 de 77. Cálculo en valores p.u.
El análisis por unidad de un circuito trifásico se reduce al análisis por unidad del
circuito monofásico equivalente.
Es aconsejable utilizar como valores base los nominales del circuito:
tensión base:
Tensión fase-neutro EB, para las tensiones simples Tensión entre fases VB, para las tensiones compuestas, y tal que VB = 3 EB
potencia base: la potencia trifásica SB = 3 EB IB = 3 VB IB
La corriente base y la impedancia base se calculan como sigue (Ver tabla 1.2.- ):
3
/33
(1.8)
Tabla 1.2.‐ Otros valores base trifásicos
Base elegida SB EB VB IB ZB
[ SB , EB ] SB EB √3 3
3
[ SB , IB ] SB 3
√3
IB 3
[ SB , ZB ] SB 3
3
ZB
[ EB , IB ] 3 EB √3 IB
[ EB , ZB ] 3
EB √3 ZB
[ IB , ZB ] 3 √3 IB ZB
[ SB , VB ] SB √3
VB √3
[ VB , IB ] √3 √3
VB IB √3
[ VB , ZB ] √3
VB √3
ZB
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Cálculo en valores p.u. 7 de 77
Es importante observar que, en valores (p.u.), tomando como base valores
relacionados como un sistema trifásico, la potencia compleja puede escribirse:
. .3
3. .
(1.9)
y también que el módulo de la tensión de línea en un punto "i" del sistema puede
expresarse por:
. .√3
√3. .
(1.10)
igualmente para la potencia aparente (módulo de la potencia compleja) se puede
escribir que:
. .
33
. . . .
√3
√3. . . .
(1.11)
Por tanto, numéricamente no hay distinción entre las cantidades por fase y
trifásica cuando se expresan en valores por unidad tomando como base valores
relacionados como un sistema trifásico.
2. Cambio de base
Teniendo en cuenta que, por definición es
. .·
es decir, por ejemplo: . . , . . ,
Se justifica, entonces, que para el cambio de base utilicemos:
. . . . ,
, (1.12)
Y análogamente:
. . . . ,
, . . . . ,
,
,
, (1.13)
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Sección B.- LÍNEAS ELÉCTRICAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL.
1. Introducción
2. Parámetros de líneas
2.1. Resistencia del conductor
2.2. Efecto inductivo
2.3. Efecto de Capacidad en las líneas
2.3.1. Caso de Cables aislados
2.4. Pérdidas de aislamiento y Efecto corona
3. Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas
4. Las cargas. Modelo en valores p.u.
5. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal. Aplicabilidad
5.1. Modelo general de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes en yT
5.2. Línea sin pérdidas. Circuitos equivalentes en y T
5.3. Modelos simplificados: Línea larga, media y corta
6. Caída de tensión. Influencia del factor de potencia
7. Modelo de líneas eléctricas en valores p.u.
1. Introducción
Las líneas eléctricas son los elementos básicos que constituyen las redes eléctricas. Su
función es el transporte de la energía eléctrica entre dos puntos en las mejores
condiciones posibles.
Constructivamente, en Alta Tensión (> 1kV), las líneas eléctricas pueden realizarse
mediante:
a) Líneas Subterráneas con cables aislados (ITC-LAT-06)
b) Líneas Aéreas con conductores desnudos (ITC-LAT-07)
c) Líneas Aéreas con cables aislados (ITC-LAT-08)
a) Las líneas Subterráneas con cables aislados deben realizarse, en general, atendiendo
a la instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre Condiciones Técnicas y
Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión, ITC-LAT-06 y a las
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normas UNE incluidas en al ITC-LAT-02 que les sean aplicables. En la Fig.1.1.-,
puede apreciarse la configuración típica de un cable aislado, en este caso, tripolar.
b) Las líneas aéreas con conductores desnudos en AT deben realizarse, atendiendo a la
instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre Condiciones Técnicas y
Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión, ITC-LAT-07 y a las
normas UNE incluidas en al ITC-LAT-02 que les sean aplicables. En particular, los
conductores de estas líneas, deberán estar de acuerdo con dicha instrucción y con la
norma UNE EN 50182:2002, para conductores de aluminio y acero, y la UNE
207015:2005 para conductores de cobre.
En la Fig.1.2-, puede apreciarse la estructura básica de un conductor desnudo para
líneas aéreas de AT y su aspecto exterior.
c) Para MT (hasta 30 kV), Las líneas aéreas pueden realizarse mediante conductores
aislados, atendiendo a la instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre
Condiciones Técnicas y Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión,
ITC-LAT-08. Dichas líneas pueden realizarse mediante conductores unipolares
reunidos en haz con cable fiador según la norma UNE-EN 60228:2005, o bien,
Acero
Cobre; Aluminio; Aleaciones
Fig.1.2.‐‐ Conductor desnudo para AT
1.‐ Conductores circulares rígidos, cableados de cobre o aluminio.2.‐ Capa semiconductora interior. 3.‐ Aislamiento individual. 4.‐ Capa semiconductora externa. 5.‐ Pantalla individual. 6.‐ Envoltura aislante común. Cubierta interior. 7.‐ Armadura. Protección mecánica. 8.‐ Cubierta exterior formada por materias textiles, derivados del
caucho, sustancias termoplásticas, etc,. Evita corrosión.
Fig.1.1.‐‐ Conductor aislado para AT (fuente:FACEL)
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simplemente con conductores unipolares con cubierta de material aislante, según
UNE-EN 50397. En este último caso, el aislante de la cubierta es de poco espesor y no
proporciona suficiente aislamiento para la tensión de servicio, por lo que deben
instalarse sobre aisladores; no obstante, necesitan menos distancias de aislamiento que
los conductores desnudos.
Desde el punto de vista eléctrico, el funcionamiento de las líneas eléctricas vendrá
caracterizado por cuatro parámetros fundamentales, uniformemente repartidos a lo
largo de su longitud: la resistencia y la inductancia serie; la conductancia y la
capacidad en derivación.
Estos parámetros nos permitirán modelar una línea mediante un circuito eléctrico. En
función de su longitud, dicho circuito podrá ser caracterizado como de parámetros
concentrados o, necesariamente, de parámetros distribuidos.
2. Parámetros de líneas
2.1. Resistencia del conductor
Considérese un conductor cilíndrico de longitud l. Si circula por él una corriente
continua, la distribución de corriente en la sección transversal del conductor será
uniforme; la resistencia que presenta se conoce como resistencia en corriente
continua, se mide en ohmios (Ω) y viene dada por la conocida expresión:
es la resistividad del material conductor, en Ω mm2/m;
l es la longitud del conductor, en m;
S es la sección transversal del conductor, en mm2
En corriente alterna la distribución de la corriente no es uniforme en toda la sección
del conductor, debido al denominado efecto pelicular (o efecto skin en inglés), que da
Fig.1.3.‐‐ Conductor aislados para redes aéreas de MT
c1.‐ conductores aislados en haz (fuente:FACEL) c2.‐ conductor con cubierta
fiador
fases
Conductor de aleación de aluminio
Cubierta
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lugar a que la densidad de corriente sea mayor en las zonas próximas a la periferia del
conductor e inferior en el interior del mismo, produciéndose por esta razón una
disminución de la sección efectiva del conductor y aumentando su resistencia, que se
denomina en este caso resistencia en corriente alterna (Rca).
Además del efecto pelicular, producido por la propia corriente que circula por el
conductor, la presencia de conductores cercanos, como consecuencia del efecto de
inducción mutua, provoca una modificación de la distribución de corriente, y, por
tanto, un incremento añadido de la resistencia efectiva. Este fenómeno se conoce con
el nombre de efecto de proximidad. En las líneas aéreas, dadas las grandes distancias
entre conductores, este efecto se desprecia; sin embargo, en cables aislados puede
tener importancia y ha de ser valorado.
Tipo de conductor Ks Kp
Cobre ó Aluminio circular cableado 1 0,81
Cobre circular segmentado 0,435 0,37
Aluminio circular 4 segmentos 0,28 0,37
Aluminio circular 5 segmentos 0,19 0,37
Aluminio circular 6 segmentos 0,12 0,37
Fuente: [Simon] Tabla 2.1.‐ Coeficientes pelicular y de proximidad
En la tabla 2.1.- se han recogido los coeficientes para determinar los factores pelicular
(Ks) y de proximidad (Kp) de varios tipos de cables aislados.
Por otro lado, conviene recordar que, tanto en corriente continua como en corriente
alterna, el valor de la resistividad depende mucho de la temperatura, aumentando de
forma lineal (en primera aproximación) con ésta. Así, para los materiales conductores
metálicos la siguiente expresión relaciona la resistividad que presenta un conductor a
diferentes temperaturas,
1
donde:
es la resistividad del conductor a la temperatura 1 en Ω mm2/m
es la resistividad del conductor a la temperatura 0 en Ω mm2/m;
es el coeficiente de temperatura del material conductor, en ºC-l.
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En la tabla 2.2.- se resumen algunas propiedades de los materiales utilizados en la
fabricación de conductores.
Cobre Aluminio Almelec Acero
Resistividad a 20ºC (Ω mm2/m) 0,0172 0,0283 0,0326 0,15
Coeficiente de temperatura (ºC-1) 0,00393 0,00403 0,0036 despreciable
Fuente: [Simon] Tabla 2.2.‐ Propiedades de materiales
En conjunto, teniendo en cuenta todos los fenómenos que se han visto, la resistencia
efectiva de un conductor podría ser calculada mediante una expresión como la
siguiente:
1 · 1 · 1
donde, como ya hemos dicho, Ks y Kp son coeficientes que expresan el incremento
debido a los efectos skin y proximidad, respectivamente.
Código Código antiguo Rcc20ºC(/km) Rca20ºC(/km) Rca50ºC(/km)
242 AL1/39-ST1A LA 280 HAWK 0,119 0,119 0,131
337 AL1/44-ST1A LA 380 GULL 0,085 0,085 0,091
402 AL1/52-ST1A LA 455 CONDOR 0,072 0,073 0,083
Fuente: [Exposito] Tabla 2.3.‐Resistencias de algunos conductores de líneas aéreas más utilizados en España
Debido a los efectos comentados, habitualmente, los valores de resistencia de los
distintos conductores se encuentran tabulados y son suministrados por los fabricantes
para diferentes condiciones de funcionamiento, (ver tabla 2.3.-)
2.2. Efecto inductivo (Inductancia)
Una corriente eléctrica circulando a través de un conductor, crea un campo magnético
que se pone de manifiesto mediante líneas de campo en forma de lazos circulares que
rodean al conductor. Si la corriente i(t) es variable con el tiempo, el campo magnético
también lo será y en cualquier circuito eléctrico que concatene una porción del flujo
magnético se inducirá una tensión dado por la ley de Faraday-Lenz:
donde (t) es el flujo concatenado por el circuito.
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14 de 77. Líneas eléctricas
El flujo concatenado es proporcional a la corriente que lo crea, siendo la constante de
proporcionalidad el denominado coeficiente de inducción o inductancia L, que
únicamente depende de la geometría de los circuitos:
En general, en el caso de una línea trifásica esta inductancia se corresponderá con una
matriz con coeficientes de inducción propios y mutuos entre cada dos fases, ya que
cada fase estará afectada en parte, por el flujo que provoca la intensidad que circula
por ella y, también por los flujos como consecuencia de las intensidades que circulan
por las otras dos fases.
Supondremos además que la línea es simétrica (conductores en los vértices de un
triángulo equilátero) o bien ha sufrido transposiciones regulares a lo largo de su
recorrido
Línea simétrica Transposiciones regulares en un línea trifásica
En estas condiciones puede obtenerse una inductancia única por fase que engloba los
acoplamientos inductivos mutuos entre las diferentes fases. A esta inductancia se la
denomina Inductancia de servicio (o inductancia por fase) Lb, y vendré dada (para
líneas de simple circuito) por la siguiente expresión:
2 · 10 ln (2.1)
donde:
DMG es la distancia media geométrica entre las fases: para el
caso de una línea trifásica.
r
R
Tríplex
Rr
Cuadruplex
Rr
DuplexFase a
Fase b
Fase cdab dbc
dca
a c
b
D D
D c
c
c
a
a
a
b
b
b Posición 1
Posición 2
Posición 3
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RMG es el radio medio geométrico efectivo de los n0 conductores de cada fase
(equivale a la distancia media geométrica entre conductores de la misma fase), y, para
las distintas configuraciones, vendrá dado por la expresión:
En la que r e / r para el caso de conductores de 1 sólo hilo (UNE 21028), es el
radio aparente, que nos permite englobar el efecto del flujo interno en la expresión
general del flujo externo. Para conductores de más hilos los valores del radio aparente
son diferentes, pero los errores que se cometen son despreciables.
Para profundizar sobre el tema pueden consultarse las referencias [Exposito],
[Barrero], [Simon] y [Alamo].
2.3. Efecto de Capacidad en las líneas
Del mismo modo que el fenómeno de la inductancia de las líneas se establecía a partir
del campo magnético creado por las intensidades, la capacidad está ligada al campo
eléctrico generado por la carga eléctrica existente en los conductores.
Es sabido que un sistema de conductores cargados da lugar a una distribución de
potenciales sobre los mismos que dependen de su tamaño, configuración geométrica,
disposición relativa entre ellos, medio en que se encuentran etc.
Inversamente, si en un sistema de conductores, no cargados, se aplica un potencial a
cada uno de ellos, aparecerá una distribución de cargas sobre los mismos, que
dependerá de las magnitudes enunciadas anteriormente. Esto es lo que entendemos por
"efecto de capacidad".
El análisis del campo eléctrico en el entorno de un conductor permite relacionar la
carga eléctrica existente en dicho conductor con su potencial o tensión respecto a un
punto de referencia, a través de lo que denominamos coeficiente de capacidad o
simplemente capacidad:
En una línea trifásica interpretaremos este "efecto" de capacidad como si, a lo largo de
la línea y tanto entre conductores como entre conductores y tierra, existiesen todo un
conjunto de condensadores uniformemente repartidos, cuyo efecto total intentaría ser
equivalente al efecto de capacidad real (Fig. 2.1-). Esto equivale a decir que la
capacidad "C", al igual que lo que ocurría con el efecto inductivo, en una línea
trifásica, es una matriz con coeficientes de capacidad propios y mutuos entre fases.
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16 de 77. Líneas eléctricas
No obstante, con la intención de estudiar el comportamiento de una línea trifásica a
través de su circuito monofásico equivalente, estaremos interesados en un único
coeficiente que englobe a los anteriores, lo denominaremos capacidad industrial o de
servicio por unidad de longitud, Cb.
Bajo ciertas hipótesis, para una línea aérea trifásica equilibrada y/o regularmente
transpuesta, esta Capacidad de Servicio, a tierra o a neutro real o imaginario vendrá
dada por la expresión:
0,02422
√4
(2.2)
DMG = 3 d1 d2 d3
HMG = 3 h1 h2 h3
donde:
CM
CM
CM
CE CE CE
h1
h2
h3
Cb = CE + 3 CM
r
R
Cuadruplex
rR
Triplex
r
R
Duplex
req = no r no R(no‐1)
no conductores por fase
Fig 2.1.‐ Efecto de capacidad en una línea aérea (fuente: [Alamo])
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En definitiva, la existencia del efecto de capacidad se va a traducir (de forma
simplista) en la presencia, en la línea, de una susceptancia capacitiva por unidad de
longitud: .
El efecto de capacidad sobre las líneas,
es una "fuga" de corriente en sentido
"transversal" a la línea, tanto mayor
cuanto más elevada es la tensión de
servicio. Para una determinada
configuración geométrica y una línea
de longitud “l”.
Se deduce entonces que si bien el "efecto de capacidad" existirá siempre como término
geométrico, será tanto más importante cuanto más elevada sea la tensión y/o mayor sea
el coeficiente de capacidad de servicio y la longitud de la línea. Resulta evidente que
dichas corrientes de pérdidas sólo serán importantes en redes de alta tensión y/o con
coeficientes de capacidad elevados en líneas largas.
2.3.1.- Caso de Cables aislados
La Fig. 2.1.-, nos puede inducir a pensar que el efecto de capacidad solo se considera
en las líneas aéreas. Nada más lejos de la realidad, puesto que para las líneas con
conductores aislados, los coeficientes de capacidad tienen valores superiores a los que
resultarían de un tendido aéreo con conductores desnudos, separados a la distancia
apropiada.
Armadura y Cubierta de protección
Conductor
Aislamiento
Pantalla
Fig.2.2.‐ Configuración básica de un cable aislado
fase
referencia de tensiones
dx
+
-
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18 de 77. Líneas eléctricas
En la Fig. 2.2.-, se muestran las secciones transversales de conductores aislados típicos
de alta tensión: tripolar y unipolar.
Campo eléctrico.
En un cable unipolar, el campo eléctrico existente entre el conductor y la envoltura
metálica o pantalla es de tipo radial. Lo mismo puede decirse en el caso de cables
multipolares, donde cada uno de los conductores está rodeado por una envoltura
metálica o pantalla individualmente. En este caso, en la zona del cable que queda entre
los diferentes conductores el campo eléctrico será nulo. Sin embargo, existen cables de
tipo multipolar con una única envoltura metálica o pantalla, que recubre a todos los
conductores al mismo tiempo. En estos cables el campo eléctrico ya no es radial y las
líneas del campo presentan formas irregulares, en consecuencia, los materiales de
relleno entre los diferentes conductores están sometidos a esfuerzos dieléctricos, para
los que están menos preparados. Esto limita la utilización de este tipo de cables a
tensiones más reducidas «15 kV).
En el caso de campo eléctrico radial es fácil llegar a una expresión sencilla para
evaluar la capacidad por unidad de longitud de dicho cable aislado
C2πε
ln Rr
F m (2.3)
donde
= 0 r es la constante dieléctrica del aislante en cuestión, con r la
permitividad relativa del aislante (un valor que depende del material entre 2,34) y
10 la constante dieléctrica del vacío.
y siendo r el radio interior de la capa aislante y R el radio exterior de dicha capa.
El estudio del campo eléctrico en un cable tripolar con una única carcasa metálica o
pantalla no es tan sencillo como el caso anterior. Como ya se ha dicho, en estas
condiciones el campo no es radial con lo que el estudio se complica enormemente. Por
ello, en este tipo de cables es conveniente obtener las diferentes capacidades a partir de
medidas directas en diferentes ensayos. En este caso, se distinguen seis capacidades
entre los conductores y la pantalla, tal y como se muestra en la Fig.2.3.-
En estas circunstancias, la capacidad a neutro para cada conductor o capacidad por
fase será
3
Sistemas Eléctricos de Potencia
Líneas eléctricas 19 de 77
En resumen, de lo anterior, y además, podemos extraer las siguientes conclusiones:
1.- Que el efecto de capacidad se encuentra uniformemente repartido a lo largo de las
líneas, ya sean éstas aéreas o subterráneas (más importante en estas últimas) y que,
como consecuencia, admitirá un tratamiento como circuito eléctrico a base de
condensadores uniformemente repartidos a lo largo de las líneas.
2.- Los coeficientes de capacidad son tanto más elevados cuanto mayor es la longitud
de la línea y menor es la distancia entre conductores; serán más importantes en las
líneas con cables aislados que en las aéreas con cables desnudos.
3.- El efecto de capacidad da lugar a unas corrientes de fuga transversales, que serán
tanto más importantes cuanto mayor sean la tensión de la línea y/o más elevados los
coeficientes de capacidad. Será, por tanto más importante en AT y en redes con
cables aislados.
4.- El efecto capacidad será, por tanto, despreciable en líneas de baja tensión y en
algunas líneas aéreas cortas de alta tensión con cables desnudos.
Para profundizar sobre el tema pueden consultarse las referencias [Expósito],
[Barrero], [Simón] y [del Alamo].
2.4. Conductancia. Pérdidas de aislamiento y efecto corona
Además de la pérdidas longitudinales asociadas a la resistencia, al efecto inductivo y
capacitivo en las líneas eléctricas, pueden existir corrientes de fuga a través de los
aisladores y del aíre que originen pérdidas transversales. Estas pérdidas
fundamentalmente son debidas a la conductancia de los aislamientos y al efecto
corona.
Sobre la Fig.2.4.-, se ha dibujado una representación de un elemento de circuito a que
da lugar la presencia de esta conductancia transversal sobre las líneas de transmisión
C1
C2
C1 C1
C2
C2
C1
3C2
C1 C13C2
3C2
Fig.2.3.‐ Efecto de capacidad en un cable subterráneo de campo no radial
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20 de 77. Líneas eléctricas
de energía eléctrica, para una frecuencia dada. Esta representación es válida tanto para
líneas aéreas con conductores desnudos, como para líneas con conductores aislados
subterráneos o no.
La presencia de la conductancia transversal da lugar a una corriente de pérdidas que
existirá siempre aunque no haya carga receptora alguna derivada del sistema, o de la
línea. Esta corriente de carga, para una línea de longitud "l", vendrá dada por la
expresión:
Conductancia de aislamiento
En los cables subterráneos el aislamiento no es perfecto lo
que motiva unas fugas de corriente por unidad de longitud.
En las líneas aéreas, los elementos que realizan la tarea de
unir los conductores de la línea a sus apoyos, manteniéndolos
al mismo tiempo eléctricamente separados, son los aisladores.
Si los aisladores fuesen ideales, su resistencia eléctrica sería
infinita y no sería posible el paso de corriente a través de
ellos. Sin embargo, la resistencia de aislamiento, aunque muy elevada, tiene en
realidad un valor finito y, por tanto, existirá una cierta circulación de intensidad entre
los conductores y tierra.
En cualquier caso, dicha resistencia de aislamiento se suele expresar en forma de una
conductancia de valor:
donde Ip es la intensidad de fuga y V la tensión entre el conductor y tierra.
fase
referencia de tensiones
dx
+
-
Fig.2.4.‐ Conductancia transversal
conductor
herraje
aislador
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Líneas eléctricas 21 de 77
Esta intensidad de fuga está en fase con la tensión y por tanto provoca pérdidas de
potencia activa definidas por:
La conductancia de aislamiento varía mucho en función de factores tales como la
humedad del ambiente, la suciedad de los aisladores, el número de ellos, etc., y por
tanto, difícil de determinar siendo en la mayoría de los casos despreciable.
Como idea de órdenes de magnitud pueden ser útiles en líneas aéreas y para tensiones
superiores a los 120 kV los datos siguientes:
• ambiente seco, Gu = 1 10 10-8 S / km por fase
• ambiente húmedo, hasta 30·10-8 S / km por fase.
Efecto Corona
El efecto corona que consiste en la ionización del aire que rodea a los conductores de
una línea de alta tensión.
Este fenómeno se produce cuando un conductor adquiere un potencial en su superficie
lo suficientemente elevado, como para que el gradiente de tensión entre este y el aíre
de su entorno supere el valor de la rigidez dieléctrica del aire. Si los conductores están
próximos entre sí, podría establecerse un arco entre ellos con el consiguiente defecto
de aislamiento, pero si las distancias son elevadas, como ocurre en el caso de líneas
aéreas, es difícil que llegue a producirse, y en ese caso la descarga tiene lugar sólo en
las proximidades de cada conductor.
El efecto corona se manifiesta en forma de crepitación sonora que se traduce en un
zumbido como el de una abeja y, bajo determinadas condiciones puede llegar a ser
visible en la oscuridad.
Se denomina tensión crítica disruptiva o umbral a la tensión en que se inicia el
fenómeno y se corresponde con aquella en la que el gradiente en la superficie del
conductor iguala a la rigidez dieléctrica del aire (el campo eléctrico crítico equivale a
una tensión eficaz de 21 kV/cm en condiciones normales de presión y temperatura). El
fenómeno se hace visible cuando la tensión alcanza la denominada tensión crítica
visual, apareciendo una tenue corona violacea (blanco-azulada) que rodea al
conductor, acompañada de formación de ozono.
Consecuencias desfavorables de este fenómeno son, además de las pérdidas
transversales, las perturbaciones radioeléctricas a que da lugar.
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
22 de 77. Líneas eléctricas
En lo que respecta al diseño de las líneas de transmisión, resulta antieconómico
proyectarlas de tal forma que se elimine el efecto corona en cualquier circunstancia.
Sin embargo, es preciso limitar su nivel para evitar excesivas pérdidas y
perturbaciones. Es importante poner de relieve que, para líneas a muy altas tensiones,
el efecto corona puede constituir el factor determinante de la sección de los
conductores.
Una forma de reducir en la práctica las consecuencias del efecto corona es utilizar
haces de conductores. En efecto, si se analiza el caso de una línea trifásica con un
único conductor por fase, podemos obtener el valor del campo eléctrico en la
superficie de cada conductor (de radio r), considerando únicamente la carga propia de
cada uno y, por tanto, despreciando el efecto de los demás, según:
donde C es la capacidad por fase de la línea, V el valor de la tensión de fase y
10 la constante dieléctrica del vacío.
Si la línea tiene sus fases constituidas por dos o más conductores agrupados en haces,
el campo eléctrico en cada conductor es menor, si tenemos en cuenta que la carga de
cada fase se reparte entre ellos. En una agrupación de dos conductores (dúplex)
separados una distancia d=2R (pequeña en comparación con la distancia entre distintas
fases), el valor máximo del campo eléctrico en cada uno será la resultante de los
campos debidos a ambos:
Teniendo en cuenta que r « 2R se observa como el campo eléctrico para una
agrupación dúplex es prácticamente la mitad que para un conductor solo. Similar
desarrollo podría hacerse para tres o más conductores obteniéndose mayores
reducciones del campo eléctrico y, por tanto, del efecto corona.
/22
/22 2
22
12
R
r
r
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Líneas eléctricas 23 de 77
Igual que las pérdidas por conductancia de aislamiento, las pérdidas por efecto corona
son de potencia activa, muy variables y dependen principalmente de factores tales
como:
(a) la disposición relativa de los conductores y de sus diámetros;
(b) la tensión y la frecuencia;
(c) la naturaleza de las superficies de los conductores y su estado;
(d) las condiciones atmosféricas (presión, temperatura, humedad ... ).
Los factores mencionados en (c) y (d) son difíciles de predecir, por lo que, al igual que
las pérdidas por conductancia de aislamiento, no suelen tenerse en cuenta en los
estudios analíticos de los sistemas de energía eléctrica por tal motivo, así como por su
escasa importancia relativa
F. W. Peek, ingeniero de la compañía General Electric, allá por el año 1910 propuso
unas fórmulas de utilidad práctica, contrastadas experimentalmente, entre otras:
24425 10 /
donde: f es la frecuencia, en Hz; r es el radio del conductor, en cm; D es la distancia media geométrica entre fases, en cm; U es la tensión nominal fase-neutro, en kV; Uc es la tensión crítica fase-neutro de la línea, en kV.
δ-densidad relativa del aire ,
con h la presión relativa (altura) en cm de
Hg y es la temperatura en ºC
Suele ser práctica común elegir un tamaño de conductor que, para la tensión nominal
de trabajo y tiempo seco, corresponda a unas pérdidas máximas por efecto corona de 1
kW /km para las tres fases, en zonas despobladas, y de 0,1 kW /km en el caso de líneas
que atraviesan zonas habitadas.
La conductancia por fase y por km asociada a estas pérdidas será:
/
y la conductancia total en siemens
· º · í
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24 de 77. Líneas eléctricas
3. Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas
A modo de ejemplo, en la tabla 3.1, se proporcionan algunos valores típicos de los
parámetros de configuraciones de líneas eléctricas reales.
Reactancia
Inductiva (Ω/km)
Relación R/X Capacidad fase neutro (nF/km) [AT] [MT] [BT]
Líneas aéreas 0,3 0,4 0,1 0,3 1,2 2,7 8 15
Cables aislados 0,1 0,15 0,7 2 3 5,8 200 350
Nota: [BT]: 0,4 kV; [MT]: 20 kV, [AT]: 220 400 kV Fuente: [Barrero]
Tabla 3.1.‐ Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas
4. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal
El funcionamiento de una línea eléctrica viene caracterizado por los cuatro parámetros
fundamentales ya definidos en apartados anteriores y que se encuentran distribuidos a
lo largo de toda su longitud, esto es: resistencia, inductancia, capacidad y
conductancia. Los dos parámetros serie (resistencia e inductancia) constituyen la
denominada impedancia serie de la línea. Asimismo, los parámetros paralelo
(capacidad y conductancia) constituyen la denominada admitancia transversal.
En este apartado se considerará que las líneas trifásicas son equilibradas, lo que nos
permite analizarlas mediante un circuito monofásico equivalente más simple. Para ello,
se utilizarán esos parámetros distribuidos para construir un modelo general, por fase,
para el régimen permanente senoidal y obtener las expresiones que permiten calcular
la tensión y la intensidad en un punto cualquiera de la línea, supuestos conocidos los
valores en otro punto de la misma, normalmente el extremo receptor.
La consideración de pérdidas nulas lleva a un modelo simplificado respecto del
anterior, aunque manteniendo el carácter distribuido de los parámetros, que permite
apreciar mejor ciertas características de su comportamiento eléctrico.
La consideración de la longitud de la línea lleva, para el caso de menores longitudes
relativas, a modelos aún más simplificados de los que desaparece el carácter
distribuido de los parámetros; son los modelos denominados línea media y línea corta,
frente al modelo exacto general de línea larga.
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Líneas eléctricas 25 de 77
4.1. Modelo general exacto de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes
Con carácter general, consideremos una de las fases de una línea trifásica de longitud l
entre dos nudos 1 (emisor o principio de línea) y 2 (receptor o final de línea).
Aislemos un elemento Δx de la misma situado a una distancia x medida desde el final
de la línea (punto 2) (Fig. 4.1).
Eléctricamente, en el domino del tiempo, este elemento diferencial de línea vendrá
caracterizado por una impedancia serie y una admitancia transversal donde Ru , Lu , Gu
y Cu , son respectivamente, los parámetros resistencia, inductancia, conductancia y
capacidad por unidad de longitud.
Aplicando las leyes de Kirchhoff y los modelos matemáticos de los componentes
individuales podemos escribir:
∆ , , ∆ , ∆ ,
∆ , , ∆ ∆ , ∆ ∆ ,
Dividiendo por Δx y haciendo el lim∆ podemos escribir:
lim∆
∆ , ,∆
lim∆
, ,
lim∆
∆ , ,∆
lim∆
∆ , ∆ ,
y en definitiva
,, (4.1)
,, (4.2)
2
Fig.4.1.‐ Elemento diferencial de una línea con parámetros distribuidos
1 ∆ ,
,
∆ ∆
∆ ∆
,
+
-
+
-
∆
∆
∆ ,
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26 de 77. Líneas eléctricas
Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se denominan ecuaciones generales de transmisión.
Estas ecuaciones pueden expresarse de forma desacoplada. Para ello
De (4.1) , , ,
Como de (4.2) , , ,
sustituyendo se llega a
,,
, , (4.3)
Y análogamente
,,
, , (4.4)
Las ecuaciones (4.3) y (4.4) suelen denominarse ecuaciones de ondas.
En líneas trifásicas simétricas funcionando en régimen estacionario senoidal,
usaremos el circuito monofásico equivalente y pasaremos de estas variables en función
del tiempo a sus fasores y de las derivadas parciales a derivadas totales. Así:
Dado que los parámetros característicos de una línea eléctrica se encuentran
uniformemente distribuidos a lo largo de toda su longitud, una representación
adecuada de la línea debería estar constituida por una sucesión de infinitos elementos
de longitud dx, como se muestra en la Fig. 4.2
2
Fig.4.2.‐ Circuito equivalente monofásico de una línea con parámetros distribuidos
+ +
- -
1
+
-
+
-
e(x,t)
i(x,t) (x)
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En estas condiciones las ecuaciones (4.1) y (4.2) se traducen directamente en las
ecuaciones siguientes teniendo en cuenta que en el campo complejo:
(4.5)
(4.6)
Son las ecuaciones generales de transmisión en el dominio complejo
Los números complejos
y representaran,
respectivamente, a la impedancia serie y a la admitancia paralelo por unidad de
longitud.
Al igual que antes, las ecuaciones (4.5) y (4.6) pueden escribirse de forma
desacoplada, derivando y sustituyendo una en otra, como:
(4.7)
(4.8)
Se corresponden con las ecuaciones de ondas en el campo complejo y donde γ
Z Y (con dimensiones de m-1) es la llamada constante de propagación que, en
general, es un número complejo, γ α jβ. La parte real se conoce como constante
de atenuación y la parte imaginaria como constante de fase o distorsión.
Por tanto, el comportamiento de la línea queda definido por las dos ecuaciones
diferenciales lineales (4.5 y 4.6) o por las ecuaciones (4.7 y 4.8).
La ecuación (4.7) es una ecuación diferencial lineal, homogénea de segundo orden
cuya solución será de la forma:
Donde son constantes de integración.
Esta ecuación deberá verificar tanto la ecuación diferencial (4.7) como la (4.5), por
esto último, podremos escribir:
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28 de 77. Líneas eléctricas
De donde despejando
/
donde es la llamada impedancia característica o natural de
la línea, llamada así porque depende de características de las líneas.
Las constantes de integración se obtienen a partir de las condiciones de
contorno. En efecto en x=0 se verifica que
0
0
Y además en x=0
Despejando
2
2
Y en definitiva
2 2 (4.9)
2 2(4.10)
Estas ecuaciones nos proporcionan los valores de la tensión y la intensidad en un punto
de la línea a una distancia “x” del final de la misma, y en función de los valores de
tensión e intensidad en dicho extremo.
Como · , y · ,
El término cambia (aumenta o disminuye respectivamente) en magnitud
conforme x cambia,
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El término siempre tiene como magnitud la unidad y origina un adelanto o
retraso de fase de radianes por unidad de longitud de la línea. De aquí, el nombre de
los coeficientes α y .
Interpretación en el dominio del tiempo
La ecuación (4.9)
2 2
Se puede escribir como
2 2
Donde
En el dominio del tiempo la tensión y se puede escribir como
√22
√22
Esta tensión instantánea consta de dos términos cada uno de los cuales es una función
de dos variables: el tiempo y la distancia. Por lo tanto, representan dos ondas viajeras,
es decir
Ahora
√22
cos
En cualquier instante del tiempo t, se distribuye senoidalmente a lo largo de la
distancia del extremo receptor con una amplitud que crece exponencialmente con la
distancia, como se muestra en la Fig. 4.3 (>0 para una línea que tenga resistencia).
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30 de 77. Líneas eléctricas
Después de un tiempo Δt, la distribución avanza una distancia (Δx = - wΔt/). Así, esta
onda viaja hacia el extremo receptor a una ∆
∆ y se denomina onda
incidente.
Las pérdidas en la línea hacen que su amplitud disminuya exponencialmente al ir del
extremo emisor al extremo receptor.
Ahora
√22
cos
Después del tiempo Δt la distribución de tensión se retrasa una distancia en (Δx =
wΔt/). Ésta es la onda reflejada que viaja del extremo receptor al extremo emisor
con una a una ∆
∆ y una amplitud que decrece exponencialmente al ir
del extremo receptor al emisor, como se muestra en la Fig. 4.4.
0
Extremo de la línea
En el instante “t”
∆∆
∆
Dirección de la onda
En el instante “t+Δt”
Fig.4.3.‐ Onda móvil incidente
Origen de la línea
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En cualquier punto a lo largo de la línea, la tensión es la suma de las ondas de tensión
incidente y reflejada presentes en el punto que se propagan a la misma velocidad y en
sentido contrario. Lo mismo ocurre para las ondas de corriente.
Si reagrupamos los términos de las ecuaciones (4.9) y (4.10) tendremos:
2 2
12 2
y al reconocer en ellas las funciones hiperbólicas de cosh y senh, obtenemos las
ecuación matricial (4.11) que nos permite obtener la tensión y la intensidad en
cualquier punto de la línea, en función de los fasores tensión e intensidad en el
extremo receptor.
cosh1
cosh (4.11)
En el caso particular de x = l, las ecuaciones anteriores representan las relaciones entre
las variables eléctricas tensión e intensidad en los terminales 1-2 de la línea, esto es:
0
∆∆
∆
Dirección de la onda
Origen de la línea
Extremo de la línea
En el instante “t”
En el instante “t+Δt”
Fig.4.4.‐ Onda móvil reflejada
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32 de 77. Líneas eléctricas
cosh1
cosh (4.12)
La línea como cuadripolo
Las ecuaciones (4.12) anteriores pueden ser vistas como la relación matricial entre las
variables eléctricas de entrada y salida de un cuadripolo en la forma de parámetros de
transmisión ABCD.
Esto es, la línea se comporta como un cuadripolo pasivo y simétrico, donde:
cosh
1
2
Fig.4.5.‐ Cuadripolo equivalente a una línea con parámetros distribuidos
+ +
--
1
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Circuito equivalente en
Para obtener los parámetros del circuito equivalente en no hay más que escribir las
ecuaciones que relacionan las variables de entrada y salida en el mismo e identificar
coeficientes.
Así, utilizando la técnica de cuadripolos en cascada, para el circuito de la Fig. 4.6, las
ecuaciones que relacionan las variables eléctricas de entrada en función de las de
salida son:
1 01
10 1
1 01
(4.13)
y en definitiva
1
2 1(4.14)
comparando con (4.12): cosh
cosh
y teniendo en cuenta que
resulta que:
1
2 (4.15)
Expresiones que se pueden reescribir como
(4.16)
/2 2
/2 2
2
/2 2
2
/2
Con Z R jwL Ω y Y G jwC S
Fig.4.6.‐Circuito equivalente en de una línea con parámetros distribuidos
+ +
--
1 2
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34 de 77. Líneas eléctricas
Circuito equivalente en T
Para obtener los parámetros del circuito equivalente en T no hay más que escribir las
ecuaciones que relacionan las variables de entrada y salida en el mismo e identificar
coeficientes.
Así, utilizando la técnica de cuadripolos en cascada, para el circuito de la Fig. 4.7, las
ecuaciones que relacionan las variables eléctricas de entrada en función de las de
salida son:
10 1
1 01
10 1
(4.17)
y en definitiva
1 2
1(4.18)
comparando con (4.12): cosh
cosh
y teniendo en cuenta que
resulta que:
2 (4.19)
Expresiones que se pueden reescribir como
(4.20)
/22
/2 2
2
/2 2
2
/2
Con Z R jwL Ω y Y G jwC S
+
‐
+
‐
1 2
Fig.4.7.‐Circuito equivalente en T de una línea con parámetros distribuidos
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4.2. Líneas sin pérdidas (ideales)
En las líneas de transporte la resistencia serie es mucho menor que la inductancia serie
y la conductancia paralelo es siempre despreciable. Por tanto, en el nivel de transporte,
en las aplicaciones del modelo de la línea, se suelen despreciar las pérdidas, con lo que
el modelo es más simple.
En efecto, en una línea sin pérdidas será
Ru = Gu =0
y por tanto
,
y ,
y en consecuencia
· · ,
y · · ,
siendo · la inductancia total de la línea y · la capacidad total.
Con lo que la impedancia característica y la constante de propagación de la línea son:
Z / YLC
γ Z Y j L C jβ
Observese que es un número real y γ un imaginario puro (atenuación nula).
En las líneas aéreas de transporte de energía en España, la impedancia característica
oscila entre 300 y 400 . Para líneas subterráneas su impedancia característica es del
orden el 10% del valor de las aéreas.
Las ecuaciones para el cálculo de la tensión y la intensidad del modelo general quedan
ahora de la siguiente manera, sin mas que tener en cuenta que:
cosh /2 cos
senh /2 sen
cos1
cos (4.21)
De acuerdo con estas ecuaciones, los módulos de las tensiones y de las intensidades a
lo largo de la línea varían senoidalmente.
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36 de 77. Líneas eléctricas
Longitud de onda
Esta variación senoidal da pie a definir el concepto de longitud de onda () como la
distancia de la línea correspondiente a un ciclo completo (360º ó 2 radianes); es decir
a un período.
Analíticamente será tal que
2 es decir 2 con lo que L C L C
La velocidad de propagación de la onda en km/seg será el producto de la longitud de
onda en km por la frecuencia en Hz; es decir
11
L C √LC
Obviamente coincide, en módulo, con la velocidad de propagación de las ondas
incidentes y reflejadas vistas anteriormente (v = w/)
Para líneas de potencia a 50 Hz, la longitud de onda está en torno a 6.000 km y la
velocidad de propagación es muy cercana a la velocidad de la luz en el aíre ( 3 105
km/seg). En la práctica, sólo unas pocas líneas en el mundo superan /10 (600 km); es
decir su longitud es una pequeña parte de la longitud de onda.
La línea ideal como cuadripolo
Sustituyendo x por l en las ecuaciones (4.21) obtendremos las relaciones entre las
tensiones e intensidades al principio de la línea en función de sus valores al final de la
misma:
cos1
cos (4.22)
Estas ecuaciones pueden interpretarse como la relación matricial entre las variables
eléctricas de entrada y salida de un cuadripolo en la forma de parámetros de
transmisión ABCD.
2
Fig.4.8.‐ Cuadripolo equivalente a una línea sin pérdidas
+ +
--
1
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Líneas eléctricas 37 de 77
Esto es, la línea se comporta como un cuadripolo pasivo y simétrico, donde ahora:
cos son nos reales
son imaginarios puros 1
Circuito equivalente en de la línea ideal
De la misma forma que hacíamos en el caso general; para la línea sin pérdidas
podemos obtener los parámetros del circuito equivalente en sin más que comparar
las ecuaciones (4.14), adaptadas al cuadripolo de la Fig. 4.9, con las (4.22); es decir:
1
2 1(4.23)
cos1
cos(4.22)
Entonces podemos escribir directamente que:
1 1 cos 1
2 (4.24)
Obsérvese que para ; es decir /2 , la impedancia serie del cuadripolo en
es inductiva pura y la admitancia paralelo capacitiva pura: Si la longitud de la línea
supera ese valor, la impedancia pasa a ser capacitiva y la admitancia inductiva.
Estas expresiones se pueden reescribir como:
(4.25)
+ +
--
1 2
′
′
Fig.4.9.‐Circuito equivalente en de una línea sin pérdidas
′
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38 de 77. Líneas eléctricas
/2 2
/2 2
2
/2 2
2
/2
Con y
Circuito equivalente en T de la línea ideal
De la misma forma que hacíamos en el caso general; para la línea sin pérdidas
podemos obtener los parámetros del circuito equivalente en T sin más que comparar
las ecuaciones (4.18) adaptadas al cuadripolo de la Fig. 4.10, con las (4.22); es decir:
1
2 1(4.26)
cos1
cos(4.22)
Entonces podemos escribir directamente que:
2 (4.27)
Estas expresiones se pueden reescribir como:
(4.28)
/22
/2 2
2
/2 2
2
/2
Con y
+
‐
+
‐
1
1’ 2’
2
Fig.4.10.‐Circuito equivalente en T de una línea sin pérdidas
′′′
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Líneas eléctricas 39 de 77
Para análisis rápidos y resultados aproximados se recomienda utilizar el modelo sin pérdidas, dejando el modelo exacto para análisis más precisos por computadora.
4.3. Modelos simplificados
Antes de abordar este apartado, resumiremos aquí el modelo exacto de transmisión de
parámetros distribuidos de una línea eléctrica y sus circuitos equivalentes en y T,
desarrollados en el apartado anterior.
LÍNEA REAL Ecuaciones generales exactas de transmisión
cosh 1
cosh
Con γ Z Y
Z / Y Ω
Siendo
Equivalente en Equivalente en T
12 2
2
/2
2 2
2
/2
Con Ω
Y G C S
Con Ω
Y G C S
1
2 1
1 2
1
+
‐
+
‐
1
1’ 2’
2
+ +
--
1 2
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
40 de 77. Líneas eléctricas
LÍNEA IDEAL(Sin pérdidas) Ecuaciones generales exactas de transmisión
cos 1
cos
L
C
β L C
Equivalente en Equivalente en T
12 2
2
/2
Con Ω y C S
2 2
2
/2
Con Ω y C S
1
2 1
1 2
1
Modelos en y en T nominal
Para longitudes de línea relativamente pequeñas (γl 1), es razonable admitir ciertas
simplificaciones respecto del modelo general exacto, como consecuencia de que para
valores pequeños de se cumplen las aproximaciones siguientes:
2 2
(4.29)
Con γl 1, se puede despreciar el efecto de parámetros distribuidos, considerando
sólo circuitos de parámetros concentrados. A estos modelos se les denomina circuitos
nominales en y en T. Así, las ecuaciones (4.14) y las (4.16), para el circuito en y
las (4.18) y (4.20) para el correspondiente en T, con esta simplificación, dan lugar a
los siguientes modelos:
+
‐
+
‐
1
1’ 2’
2
′′′
+ +
--
1 2 ′
′ ′
Con
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Líneas eléctricas 41 de 77
LÍNEA REAL
Modelo de línea en nominal Modelo de línea en T nominal
2
2
Con Ω y Y G C S Con Ω y Y G C S
1 2
22
21
2
1
2 22
2
1 2
(4.30) (4.31) El caso particular de una línea ideal (sin pérdidas) se traducirá en que R = G = 0, con
lo que los anteriores modelos se transformaran en los siguientes:
LÍNEA IDEAL(Sin pérdidas)
Modelo de línea ideal en nominal Modelo de línea ideal en T nominal
2
C2
2
L2
C
1 2
22
21
2
1
2 22
2
1 2
(4.32) (4.33)
+
‐
+
‐
1
1’ 2’
2
2
2
+ +
--
1 2
2 2
+
‐
+
‐
1
1’ 2’
2
2
2
+ +
--
1 2
2 2
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42 de 77. Líneas eléctricas
Dipolo Pasivo
Habrá escenarios en los que la longitud de las líneas sea pequeña y/o la tensión
nominal de servicio sea baja. En esas circunstancias podrá considerarse despreciable la
capacidad y la conductancia paralelo de la línea. Por tanto, Y 0 mientras que
Z R jwL. En dichos supuestos el modelo de línea se transforma en un simple
Dipolo Pasivo cuyo circuito equivalente podemos ver en la Fig.4.11.
LÍNEA REAL
Ecuaciones de Transmisión
10 1
(4.34)
En el caso particular de poder considerar la línea como ideal (sin pérdidas), el
modelo queda reducido a una reactancia serie jwL.
LÍNEA IDEAL (Sin pérdidas)
Ecuaciones de Transmisión
10 1
(4.35)
Recuérdese que la resistencia puede despreciarse en líneas de transporte donde la
relación R/X es muy pequeña, por ello, este modelo es utilizado en cierto tipo de
análisis de redes de transporte con muchos nudos, que requieren cálculos con
moderado requerimiento de precisión y elevada rapidez.
Aplicabilidad
Con carácter general, en función de la longitud de la línea, puede establecerse el
siguiente criterio de aplicabilidad de los modelos obtenidos. Por supuesto que los
valores de longitudes que determinan esta clasificación son orientativos.
+ +
--
1 2
Fig.5.12.‐ Circuito equivalente de una
línea ideal como dipolo pasivo
′
+ +
--
1 2
Fig.5.11.‐Circuito equivalente de una
línea como dipolo pasivo
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Líneas eléctricas 43 de 77
Modelo Línea Aérea Subterránea
Línea larga Modelo exacto l > 250300 km l > 1015 km
Línea media Circuitos
nominales en y T 80100 km < l < 250300 km 2 km < l < 1015 k
Línea corta Dipolo pasivo l < 80100 km l < 2 km
Fuente: [Simón] Tabla 4.1.‐ Valores típicos de longitudes de línea
5. Caída de tensión
Se define la caída de tensión como la diferencia de los módulos de las tensiones entre
los extremos de una línea. Normalmente, suele expresarse en porcentaje respecto de la
tensión nominal de la línea. En términos de tensiones compuestas será:
∆ · 100 (5.1)
En AT, en la Tabla siguiente se han recogido los valores de las Tensiones nominales
normalizadas según ITC-LAT-06 y 07, así como la máxima caída de tensión
permitida.
Tensión nominal de la red: Vn(kV)
Tensión más elevada de la red: Vs(kV)
Caída de tensión %:
3 3,6 20%
6 7,2 20%
10 12 20%
15 17,5 17%
20* 24 20%
25 30 20%
30 36 20%
45 52 16%
66* 72,5 10%
110 123 12%
132* 145 10%
150 170 13%
220* 245 11%
400* 420 5%
(*) Tensiones de uso preferente en redes eléctricas de transporte y distribución.
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
44 de 77. Líneas eléctricas
En la práctica, es habitual utilizar un coeficiente de seguridad en el diseño de las líneas
eléctricas y proyectarlas para una caída de tensión del 5%.
Influencia del factor de potencia
Si analizamos una línea a través de su modelo como dipolo pasivo, tendremos los
siguientes casos
θθ
RI
XI
Caso de carga inductiva
Caso de carga resistiva
RI
XI
0
+ +
--
1 2
Fig.5.1.‐ Circuito equivalente de una línea
como dipolo pasivo
′
carga
Sistemas Eléctricos de Potencia
Líneas eléctricas 45 de 77
En la gráfica siguiente podemos ver la variación de la caída de tensión en una línea, en
función del factor de potencia de la carga y de la longitud de la línea en km.
El ejemplo se ha desarrollado para una carga inductiva de 400 MW en una línea con
0,035 /km de resistencia longitudinal, 0,3 /km de reactancia longitudinal, 3,1410-6
(/km)-1 de susceptancia capacitiva y una tensión final de línea de 400 kV entre fases.
La caída de tensión mejora con el factor de potencia para una carga inductiva. La componente reactiva de la carga tiene mucha influencia en la caída de tensión.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0 50 100 150 200 250 300 350 400
caída de tensión en %
longitud en km
fdp=1 fdp=0,95
fdp=0,90 fdp=0,85
fdp=0,80
Zona de tensiones no admisibles
reglamentariamente
θ θ
RI
XI
Caso de carga capacitiva (Efecto Ferranti)
caída de tensión negativa (sobretensión)
Fig.5.2.‐Influencia del factor de potencia
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
46 de 77. Líneas eléctricas
6. Modelo de líneas eléctricas en valores p.u.
Los modelos circuitales serán los correspondientes de las impedancias/admitancias que
las definan y se corresponderán con los modelos matemáticos transformados a valores
p.u.
Los modelos matemáticos se transformarán a modelos en valores p.u., simplemente
dividiendo las variables reales por los valores base correspondientes, o bien, utilizando
la siguiente técnica:
Ω
. . Ω . . . . Ω . .
. . . . p. u. . .
7. Las Cargas
Puesto que las líneas eléctricas son las encargadas de transportar la energía eléctrica
desde los centros de producción a los puntos de consumo, necesitaremos también
analizar las cargas como componentes de un sistema eléctrico de potencia.
Las cargas se encuentran en los nudos de esa red y pueden ser grandes consumidores
(por ejemplo, una gran industria) o, en la mayoría de los casos, son otras redes
eléctricas de distribución, de menor tensión, que van llevando esa energía eléctrica al
resto de consumidores más pequeños.
Aunque en general las cargas evolucionan en el tiempo, consideraremos, siempre que
no se diga lo contrario, el régimen permanente por lo que se admitirá que las cargas no
varían en el tiempo.
En cuanto a su representación dentro del sistema, se distinguen tres tipos de cargas
(Figura 7.1.-):
2
X R
2
I
2
P+jQ
Fig.7.1.‐ Representación de las cargas: (a) de impedancia constante, (b) de potencia constante y (c) de intensidad constante.
(a) (b) (c)
Sistemas Eléctricos de Potencia
Líneas eléctricas 47 de 77
− Cargas de impedancia constante. Son cargas estáticas cuya impedancia, como indica
su nombre, es constante y, por lo tanto, la potencia que consumen depende de la
tensión que haya en cada instante en el nudo en el que están conectadas. Ejemplo de
este tipo de cargas son las baterías de condensadores o de inductancias. Estas cargas se
definen por el valor de su impedancia por fase y se representan mediante los valores
correspondientes de R y X en paralelo, tal y como se recoge en la Fig. 4.1.a (es más
útil esta representación que la de la rama equivalente serie, con R y X en serie, como
se verá más adelante a la hora de construir la matriz de admitancias de nudo en el
análisis de flujos de carga).
− Cargas de potencia constante. Son cargas cuyos valores especificados de P y Q
consumidos son constantes, independientemente de la tensión que exista en cada
momento en el nudo en el que están conectadas. Por este motivo no pueden
representarse mediante una impedancia o una fuente, así que se hace mediante una
flecha indicando los valores de P y Q correspondientes (Fig. 4.1.b). Este tipo de cargas
son las más frecuentes en los sistemas eléctricos de potencia; por ejemplo, se
comportan como cargas de este tipo los grandes consumidores, los motores eléctricos
y otras redes de distribución a menor tensión.
− Cargas de intensidad constante. Este tipo de cargas son bastante escasas y se
caracterizan por presentar una intensidad I consumida constante e independiente de la tensión que exista en cada momento en el nudo en el que están conectadas. Se representan mediante una fuente de intensidad I (Fig. 4.1.c).
Modelo en valores p.u.
Modelo de impedancias
. .Ω Ω Ω
. . . .
Modelo de potencias
. .W
. .VAr
Modelos matemáticos a modo de ejemplo
Ω . . p. u. . .
3 . .33
. . . .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 49 de 77
Sección C.- LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS EN LOS SISTEMAS DE
ENERGÍA ELÉCTRICA.
1. Introducción
2. El generador síncrono. Modelo en valores por unidad (p.u.)
3. Transformador de dos devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)
4. Transformadores trifásicos. Modelo en valores por unidad (p.u.)
5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia. Protocolo de
actuación
6. Transformador de tres devanados Modelo en valores por unidad (p.u.)
7. Transformadores de regulación. Modelos en valores por unidad ( p.u.)
1. Introducción
Suponiendo régimen estacionario equilibrado, en este capítulo se aborda el estudio de
los modelos de el generador síncrono y los transformadores de potencia.
El generador síncrono es el encargado de transformar la energía mecánica
proporcionada por una turbina en energía eléctrica
Los transformadores permiten el trasvase de potencias entre partes de un sistema de
energía eléctrica a diferentes niveles de tensión
2. El generador Síncrono
Básicamente, el principio de funcionamiento del generador síncrono, también
conocido como alternador, es muy simple: la inyección de una intensidad constante en
una bobina instalada en el rotor, induce un sistema de tensiones equilibradas en las
bobinas del estator. (Fig.2.1.-).
N
S
+
+
+
‐
‐
‐
V1
V2 V3
120º 120º
120º
ω
estator
rotor
Fig.2.1.‐ Esquema de funcionamiento de un generador síncrono y tensiones inducidas
120º 120º
V1 V2 V3 E0
2
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
50 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
En la Fig.2.2.- se ha representado el modelo de generador como fuente trifásica y el
circuito monofásico equivalente con su modelo matemático, donde R representa la
resistencia de las bobinas del rotor y del estator y, Xs la reactancia de las mismas,
incluyendo la reactancia de dispersión y la reacción del inducido.
Tecnológicamente hay dos tipos de generadores síncronos (Fig.2.3.-). El esquema de
la Fig. a) se conoce con el nombre de rotor liso al ser éste perfectamente cilíndrico,
siendo utilizado en turbomáquinas de alta velocidad de giro características de centrales
térmicas con turbinas de vapor o gas. En centrales hidráulicas, se utilizan normalmente
generadores de rotor de polos salientes (Fig. b) a velocidades más bajas y, por tanto,
de más de dos polos
El circuito monofásico equivalente de la Fig.2.2.- se corresponde con un alternador de
rotor liso.
El generador de rotor de polos salientes no tiene un circuito equivalente, pero puede
asumirse el mismo considerando que Xs = (Xd + Xq)/2
Los parámetros característicos de los generadores síncronos dependen en gran medida
de su potencia nominal y de su velocidad de giro. La tabla siguiente muestra los
valores típicos y su rango de variación (expresados en valores p.u. respecto a la propia
N
S
a) b)
Fig.2.3.‐ Tipos de generadores síncronos
Fig.2.2.‐ Modelo de Generador trifásico y circuito monofásico equivalente
Z
Z
Z
+
+
+
V
V
V
Ω
+
Z R jX
E E
+
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 51 de 77
base del generador y una frecuencia de 50 Hz) para generadores síncronos de rotor liso
y polos salientes. Puede observarse como la resistencia es normalmente despreciable
frente a la reactancia en el modelo de generador.
Xs Xd Xq R
Rotor liso 1,20 0,95 a 1,45 0,001 a 0,007
Polos salientes 1,25 0,6 a 1,5 0,7 0,4 a 0,8 0,003 a 0,015
Fuente: [Barrero] Tabla 1.1.‐ Parámetros característicos de generadores síncronos
Circuito equivalente en valores p.u.
Para construir el circuito equivalente en valores p.u. se tomará como base:
- tensión eficaz fase-neutro en vacio
SB = potencia nominal trifásica de la máquina
verificándose que
. . . . . . . . (2.1)
correspondiente al circuito de la Fig. 2.4.-
Por ejemplo, datos de la placa de características de un generador: 90 MVA, 22
kV, X = 70 %;
interpretación: impedancia (reactancia) del modelo del generador de valor 70% ó
0,7 por unidad referida a un sistema de cantidades base definido por SB =90MVA
y UB = 22 kV.
3. Transformador de dos devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)
Partamos del circuito equivalente de un transformador monofásico ideal como el de
la Fig. 3.1.-,
+
Z p. u.
E p. u.
Fig.2.4.- Modelo de alternador en valores p.u.
E p. u.
+
I p. u.
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
52 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
Donde es la relación de transformación y
las ecuaciones de definición para las referencia de la Fig.3.1.-
Estas expresiones pueden escribirse en forma más compacta:
Y pueden entenderse como los parámetros de transmisión del transformador
considerado como un cuadripolo
Si consideramos una impedancia de carga, en los terminales "2", podremos escribir:
Lo que significa que:
El transformador real difiere del ideal. El circuito equivalente de un transformador
real de dos devanados será como el de la Fig. 3.2.-
2 10
01
-
+
-
+
0
01
+ +
--
+
-
+
- Np:Ns
1 2
2 1r:1
Fig.3.1.‐Circuito equivalente de un transformador ideal.
+ +
+
-
1
+ +
--
+
-
+
- r:1
1 2
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 53 de 77
donde
• Rp y Rs representan las resistencias asociadas a los conductores reales de los
devanados primario y secundario del transformador.
• Xp y Xs representan las reactancias (de dispersión) asociadas a los devanados
(primario y secundario).
• RFe y Xmg representan, respectivamente, la resistencia cuyas pérdidas son
equivalentes a las pérdidas en el núcleo magnético (pérdidas en el hierro) y la
reactancia de magnetización (el núcleo es un material ferromagnético de
permeabilidad finita).
• representan la intensidad de vacío y sus componentes; es decir, la
asociada a las pérdidas en el núcleo (hierro) y la intensidad de magnetización.
• La relación de espiras coincide con la relación de tensiones
entre el primario y el secundario en vacio.
Dado que en las condiciones de plena carga se suele despreciar (por ser mucho más
pequeño) el valor de la intensidad frente al valor de , resulta el circuito
equivalente aproximado de la Fig. 3.3.-.
+ +
--
+
-
+
-
1 2
r:1
2 1r:1
Fig.3.3.‐Circuito equivalente de un transformador real con la impedancia reducida al primario
21r:1
+ +
+ +
- -
+
-
+
-
1 2
r:1
Fig.3.2.‐Circuito equivalente de un transformador real
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
54 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
En dicho circuito se ha utilizado la impedancia reducida al primario (obviamente
podría haberse obtenido otro circuito equivalente con la impedancia reducida al
secundario).
Siendo con
y obviamente ; ;
De esta forma, como elemento de circuito, el transformador real puede modelarse
como la asociación en serie de una impedancia con un transformador ideal o, desde la
perspectiva de cuadripolos, como la asociación en cascada de un dipolo serie y un
transformador ideal.
Circuito equivalente en .
Podemos obtener un modelo de circuito equivalente en del transformador real, sin
más que aprovechar la característica de cuadripolos en cascada, para obtener sus
parámetros de transmisión.
10 1
0
01
01
(3.1)
Por otro lado, para el cuadripolo en siguiente
Sus ecuaciones de transmisión, mediante la misma técnica, se pueden poner como
1 01
11
0 1 1 0
1
11
1
(3.2)
+ +
--
1 2
21
0
01
-
+
-
+
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 55 de 77
y en definitiva, comparando (3.1) y (3.2), donde
1
Obtenemos el modelo de circuito en de la Fig. 3.4.-
Modelo en valores p.u.
Tómense como valores base para el análisis en valores por unidad:
SB y EB1 en el primario
y SB y EB2 en el secundario,
de tal forma que
siendo “r” la relación de transformación nominal; en vacio (es la de la placa de
características del transformador); es decir ..
Estos valores nos llevan a las siguientes relaciones para las intensidades base en el
primario y el secundario:
1
(3.3)
Igualmente para las impedancias base:
(3.4)
Con ellos se cumple que
. . . . . .
1
1 . . (3.5)
2 1 r:1
+ +
- -
1 2
1
Fig.3.4.‐Circuito equivalente en de un transformador real con la impedancia reducida al primario
2 1
SB SB EB1 EB2
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
56 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
Para obtener el modelo en valores por unidad del transformador dividimos las
ecuaciones de su modelo matemático (3.1), por los valores base correspondientes:
1
1
1 1
1
luego
(3.6)
o de forma más compacta
. .
. .10 1
. .
. . (3.7)
Siendo . . . .
Ecuaciones en valores p.u. del transformador que describen el comportamiento del
circuito de la Fig. 3.5.-.
Por tanto, al analizar en el sistema por unidad un circuito en el que interviene un
transformador, eligiendo como valores base SB (común), EB1 y EB2 en la misma
relación que la relación de transformación nominal, el circuito equivalente del
transformador se reduce a un dipolo pasivo.
En valores p.u., desaparece el acoplamiento magnético, por lo que la impedancia de
cortocircuito va a ser la misma reducida al primario que al secundario.
. . . .
+ +
--
1 . .
. .
. .) 2
Fig.3.5.‐Circuito equivalente en valores p.u. de un transformador real
. . . . . . . .
. . . . . .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 57 de 77
Si, además, las cantidades base elegidas coinciden con los valores nominales; es decir,
son tales que
SB = Sn y
EB1 = En1 en el primario y EB2 = En2 en el secundario
el módulo de la impedancia Zcc(p.u.) coincide con la tensión de cortocircuito en
valor relativo Vcc(p.u.) que se determina en el ensayo de cortocircuito y que aparece
en la placa de características de la máquina; esto es
Zcc(p.u.) = Vcc(p.u.) (3.8)
En la Tabla 3.1 se expresan los valores típicos de la reactancia y de la relación R/X.
Estos datos justifican que en muchas ocasiones se desprecie la Rcc frente a la Xcc
Reactancia inductiva (pu) Relación R/X Hasta 1.000 kVA (transformadores de distribución MT) 0,04 0,08 0,2 0,6
Más de 1.000 kVA (transformadores de transporte) 0,08 0,15 0,02 0,08
Fuente: [Barrero] Tabla 3.1.- Valores típicos de impedancia de cortocircuito de transformadores
Ejemplo de datos característicos de un transformador:
100 MVA; 20/220 kV; Vcc =8%; Pcu=300 kW
Interpretación: Transformador con una Zcc(p.u.) = 0,08 sobre una base de 100 MVA y
una tensiones base de 20 y 220 kV, respectivamente.
4. Transformadores trifásicos. Modelo en valores por unidad (p.u.)
Los transformadores de potencia trifásicos son una extensión del transformador
monofásico, donde ahora los devanados aumentan en número y pueden disponerse en
distintas conexiones (estrella, triángulo).
El análisis de transformadores trifásicos se reducirá al de su circuito monofásico
equivalente.
No obstante, en los transformadores trifásicos, a diferencia de los monofásicos, se
presentan relaciones de transformación entre los devanados tanto de módulo como de
ángulo. La forma de conexión de los devanados primario y secundario (estrella o
triángulo) provoca la aparición de distintos desfases entre las tensiones primarias y
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
58 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
secundarias y da lugar a diferentes relaciones de transformación de los módulos. Las
relaciones de transformación de ángulo se suelen expresar mediante un coeficiente que
indica el ángulo de desfase entre primario y secundario en unidades de 30°. Este
coeficiente recibe el nombre de índice horario debido a la correspondencia que se
puede establecer entre los ángulos y la esfera horaria de un reloj.
Combinando las distintas posibilidades se pueden obtener transformadores con
diferentes tipos de conexión y distintos índices horarios; por ejemplo: Yy6, Yd7, Yd5,
Yd11, Dd6, Dd8, Dd10, Dy7, Dy5, etc..
Por ejemplo, si conectamos tanto el primario como el secundario en estrella, tal y
como se indica en la Fig.-4.1-a), se observa cómo el desfase entre las tensiones del
primario y las correspondientes del secundario es de 0°. Si se considera el diagrama
fasorial situado sobre una esfera horaria, donde la tensión del primario marca las 12, la
correspondiente tensión del secundario señala, en este caso, también las 12 que es
equivalente a las cero horas, por lo que este transformador es denominado Yy0. En
este transformador, las relaciones de módulo y ángulo pueden expresarse
matemáticamente por:
(4.1)
Otro posible caso se obtiene conectando el primario en estrella y el secundario en
triángulo, cómo se indica en la Fig. 4.2.-a). Si a partir de su diagrama fasorial, (Fig.
4.2.-b), se dispone la tensión del primario en las doce de una supuesta esfera
horaria, la tensión marcará la una, siendo, por tanto, su denominación Yd1.
a
b
c
nN
C
B
A
b) Diagrama fasorial con Np>Ns a) Esquema de conexiones
Fig.4.1.- Conexiones del transformador trifásico Yy0 y diagrama fasorial de tensiones
Np Ns
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 59 de 77
La relación de transformación entre las tensiones , se obtiene de forma inmediata
sabiendo que :
√3
√3 √3 (4.2)
Es decir, para el transformador trifásico Yd1 la relación de transformación entre
primario y secundario es 3Np/Ns, con un desfase de 30°.
Desde la perspectiva de tratamiento del transformador como elemento de circuito
de un sistema eléctrico de potencia, al factor 3Np/Ns se le suele denominar "m" y
representa la relación de tensiones (simples de fase a neutro ó compuestas) entre el
primario y el secundario del transformador en vacio y que depende del tipo de
conexión. Es decir,
mN
N x factor que depende del tipo de conexión
y de tal forma que, la relación de tensiones la podamos escribir como
(4.3)
donde = h·30°, siendo "h" el índice horario del tipo de conexión y .
Y el modelo de circuito monofásico de un transformador trifásico ideal será
a) Esquema de conexiones
Fig.4.2.- Conexiones del transformador trifásico Yd1 y diagrama fasorial de tensiones
a
b
c
N
C
B
A
30º1
√330º
b) Diagrama fasorial con Np>Ns
Np Ns
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
60 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
En conclusión, un transformador trifásico real, puede modelarse como la asociación en
cascada de una impedancia ( ) y un transformador ideal de relación de
transformación en vacio “m” índice horario h = /30º, tal como se muestra en la Fig.4.3.- y, en este caso, con la impedancia reducida al primario.
Su modelo matemático será formalmente análogo a las ecuaciones (3.1) pero teniendo
en cuenta el índice horario; es decir, en forma compacta
10 1
0
01
01
(4.4)
Esto es
E mEZm
I e (4.5)
I e1mI
Modelo en valores p.u.
Para pasar al modelo en valores (p.u.) tomamos como valores base
SB y EB1 en el primario
y SB y EB2 en el secundario,
de tal forma que
siendo “m” la relación de transformación nominal; en vacio; es decir .
Con lo que se verificará que y que
Si dividimos las ecuaciones anteriores (4.5), por los valores base correspondientes:
21 : 1
Fig.4.3.‐Circuito monofásico equivalente de un transformador trifásico real con la impedancia reducida al primario
2 1
0
01
-
+
-
+
21 ++
: 1
21
S SEB1 EB2
: 1
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 61 de 77
1
1 1
1
luego
(4.6)
o de forma más compacta
. .
. .10 1
. .
. . (4.7)
Estas ecuaciones se corresponden con el modelos de circuito del transformador
trifásico en valores por unidad mostrado en la Fig. 4.4-(a) sin tener en cuenta el
desfase horario; ó bien (b) teniéndolo en cuenta explícitamente.
5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia
En el análisis de una red eléctrica compleja con diferentes niveles de tensión es donde
tiene sentido práctico la aplicación del cálculo en valores por unidad.
Con carácter general, en un sistema eléctrico de potencia, podemos establecer un
protocolo de actuación basado en los siguientes puntos:
1.- Establecer el circuito monofásico del sistema en valores reales
2.- Obtener el modelo matemático en valores reales y explicitar los datos en términos
de tensiones e intensidades, en general.
. . . .
+ +
--
1 . .
. .
. .) 2
Fig.4.4.‐Circuito equivalente monofásico de un transformador trifásico en valores p.u.
2 1ej:1 . .
(b) (a)
. . . . . . . .
. . . .
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
62 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
3.- Calcular las impedancias de cortocircuito de los transformadores y las reactancias
síncronas de los generadores, en valores reales, en función de sus bases naturales
4.- Dividir el sistema en zonas en función de los transformadores existentes en el
circuito. Elegir una potencia base común para todas las zonas y, unas tensiones base,
en cada zona, relacionadas entre sí a través de las relaciones de transformación, en
vacio, de los transformadores. Calcular, a continuación, otros valores base necesarios
como impedancias e intensidades en las zonas.
5.- Obtener los modelos, en valores (p.u.), de los componentes del sistema. Prestar
especial atención a las impedancias de cortocircuito y las reactancias síncronas por si
hubiera que realizar un cambio de base.
6.- Establecer el circuito equivalente del sistema en valores (p.u.) y aplicar la 1ª y 2ª
ley de Kirchhoff. Esto es equivalente a transformar el modelo matemático en valores
reales, establecido en el punto 2.-, a valores (p.u.)
7.- Resolver según necesidades
8.- Pasar las variables calculadas a valores reales.
Obsérvese que este protocolo sigue los principios de actuación de todos los métodos
transformados.
En efecto, consideremos el circuito de la figura, que representa un sistema trifásico
funcionando en régimen equilibrado con la línea, de impedancia
conocida, regularmente transpuesta. Se trata de establecer, en valores p.u., la relación
que existe entre la tensión y la intensidad al principio de la línea con la tensión y la
intensidad al final de la misma
Solución real Solución p.u.
Circuito
valores reales valores p.u.
Modelo matemático
Modelo matemático p.u.
Circuito p.u.
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 63 de 77
ta: transformador trifásico con las siguientes características
Sa – potencia nominal en VA
ma – relación de transformación en vacio (Epa/Esa)
Vcca - tensión de corto circuito en %
a – desfase horario
tb: transformador trifásico con las siguientes características
Sb – potencia nominal en VA
mb – relación de transformación en vacio (Epb/Esb)
Vccb - tensión de corto circuito en %
b – desfase horario
1º Partimos de su circuito monofásico equivalente en valores reales
2º obtendremos su modelo matemático, por ejemplo, mediante la técnica de
cuadripolos asociados en cascada; es decir
0
01 1
0 110 1
10 1
0
01
operando las matrices
2 1 : 1
+
-
+
-
: 1
21
carga
+
-
+
-
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
64 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
01
o en forma menos compacta
(5.1) 1
3º Calcular las impedancias de cortocircuito de los transformadores y las reactancias
síncronas de los generadores, en valores reales, en función de sus bases naturales
Las impedancias de cortocircuito de los transformadores las obtenemos a través de los
correspondientes ensayos de cortocircuito reflejados en las tensiones de cortocircuito
que aparecen en su placa de características.
Así, suponiendo que Rcc = 0, como Zcc (p.u.) = Vcc(p.u.); podemos considerar que
. . . . . . . . referidos a sus bases naturales; es
decir
de tal forma que y
con lo que
Ω . . %
100 3
Ω . . %
100 3
Y en definitiva
Ω . .3
Ω . .3
4º Dividir el sistema en zonas en función de los transformadores existentes en el
circuito. Elegir una potencia base común para todas las zonas y, unas tensiones base,
en cada zona, relacionadas entre sí a través de las relaciones de transformación, en
2 1
S S Ep Es=1/m Ep
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 65 de 77
vacio, de los transformadores. Calcular, a continuación, otros valores base necesarios
como impedancias e intensidades en las zonas.
Para pasar a formulación en valores p.u., partiendo del esquema unifilar del sistema, lo
dividimos en zonas, según el número de transformadores que forman parte de dicho
sistema. Se elige una potencia base SB común para todo el sistema y una tensión base
EB en una de las zonas. A continuación se calculan las EB de las otras zonas, utilizando
la relación de transformación nominal del transformador correspondiente, y,
posteriormente calculamos otros valores base, fundamentalmente ZB e IB en cada una
de las zonas.
Zona I
Potencia: S
Tensión: EBI
Zona 0
Potencia: S
Tensión:
Zona II
Potencia: S
Tensión: 3
5º Obtener los modelos, en valores (p.u.), de los componentes del sistema en función
de la zona en la que estén. Prestar especial atención a las impedancias de
cortocircuito y las reactancias síncronas por si hubiera que realizar un cambio de
base.
Impedancia de línea
. .3
: 1 : 1
Zona I Zona II Zona 0
3
3
3
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
66 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
Impedancia de los transformadores
p. u.Ω
. .3
1
3 . .
3 3
p. u.Ω
. .3
1
3 . .
3 3
Lo que es equivalente a un cambio de base, de la tensión de cortocircuito, desde la
base natural del transformador a la base de la zona correspondiente del sistema de
potencia.
Tensión e intensidad en la carga
p. u.V p. u.
A A
3
6º Transformar el modelo matemático en valores reales, establecido en el punto 2.-, a
valores (p.u.). Esto es equivalente a establecer el circuito equivalente del sistema en
valores (p.u.) y aplicar la 1ª y 2ª ley de Kirchhoff.
Transformamos el modelo matemático dado por las expresiones (5.1) a valores (p.u.).
Así, la primera de las ecuaciones puede escribirse como
. .
. . . . . . . .
. . . .3
. .
3
. .3
. .
3
. .3
. .
3
Y teniendo en cuenta que
1
1
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 67 de 77
. .1
. .3 1
. .
3 1
. .3 1
. .
3 1
. .3 1
. .
3 1
Y en definitiva
. .
. . . . . . . . . .
. . . .
Y para la segunda ecuación (4.7), teniendo en cuenta que
1. .
1. .
Y en definitiva
. . . .
Salvando los desfases introducidos por los índices horarios de los transformadores,
estas ecuaciones representan la 2ª y 1ª ley de Kirchhoff aplicadas al circuito de la
Fig.5.2.-, tomando una potencia base común para todas las zonas del sistema de
potencia y tensiones base, en cada zona, relacionadas entre sí, a través de las
relaciones de transformación, en vacio, de los transformadores existentes.
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
68 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
7º Resolver según necesidades
8º Pasar las variables calculadas a valores reales.
Las ventajas que reporta la realización del análisis de redes eléctricas en valores por
unidad son notables. Quizá la más importante es el hecho, ya comentado, de que
tomando los valores base adecuados, las relaciones de transformación desaparecen del
problema. Pero hay más, se pueden destacar las siguientes:
• Los parámetros de los distintos elementos son más uniformes. Los valores óhmicos
reales difieren ampliamente para equipos de diferentes tamaños (valores nominales)
pero difieren poco cuando se expresan en valores por unidad. Esto hace que sea
posible estimar impedancias por unidad no conocidas y/o identificar datos erróneos.
• Simplificación en los cálculos y reducción de errores computacionales.
• Los resultados obtenidos en los cálculos tienen valores acotados (por ejemplo, las
tensiones en los nudos en condiciones normales de funcionamiento oscilan alrededor
del valor 1 p.u.) por los que los errores se hacen más evidentes.
• No hay que distinguir entre magnitudes de fase y de línea.
En la práctica, en realidad se opera como indica el esquema siguiente
Solución p.u.
Circuito
valores reales valores p.u.
Modelo matemático
Modelo matemático p.u.
Circuito p.u.
Solución Real
. . 1 . .
+
-
2
. .
+
-
. .
. .
Fig.5.2.‐Circuito equivalente en valores p.u.
. .. .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 69 de 77
6. Transformadores de tres devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)
Un transformador con tres devanados es un transformador con un primario y dos
secundarios
En la Fig.6.1.- se muestra la configuración básica de un transformador ideal
monofásico de tres devanados.
Despreciando las pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización, para las
referencias de polaridad de la figura, sus ecuaciones de definición serán:
Para pasar a valores por unidad tomamos como valores base una potencia común SB
y seleccionamos las tensiones base en proporción a las tensiones nominales de los
devanados; es decir:
con lo que las intensidades base verificarán:
3
3 3
3 3
y las ecuaciones de su modelo matemático en valores p.u. se corresponderán con las
siguientes:
. . . .
Es decir
N1
N2
N3
+
+
+
‐
Fig.6.1.‐Configuración básica
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
70 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
. . . .
Y en definitiva
. . . . . . (6.1)
Idem para las tensiones
. . .
. . .
Y en definitiva
. . . . . . (6.2)
Su circuito equivalente se corresponderá con el de la Fig.6.2.-.
Por extensión, el modelo monofásico equivalente de un transformador trifásico real
de tres devanados, despreciando las pérdidas en el hierro y la reactancia de
magnetización, se muestra en la Fig.6.3.-(a).
b) valores p.u.
. .
1
+
-
3
. .
. . +
-
2
+
-
. . . .
. .
. .
. .
. .
Fig.6.3.‐Circuitos equivalentes monofásicos del transformador real de tres devanados
+
-
1
+
-
2
+
-
3
a) valores reales
. .
1
+
-
3
. .
. .+
-
2
+
-Fig.6.2.‐Circuito equivalente en valores p.u.
. . . .
. .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 71 de 77
En valores reales, las impedancias representan la resistencia y la reactancia de
dispersión de cada devanado.
El circuito equivalente en valores p.u. de la Fig.6.3.- b) se obtiene, con análogo
razonamiento al utilizado para los transformadores de dos devanados, eligiendo una
potencia base común y unas tensiones base de primario, secundario y terciario de tal
manera que guarden la misma relación que sus respectivas tensiones nominales.
Obsérvese que ya no aparecen los acoplamientos magnéticos.
Las impedancias del circuito equivalente se definen a partir de tres ensayos de
cortocircuito.
Ensayo de cortocircuito alimentando el primario con tensión para que circule
la corriente nominal por el secundario en cortocircuito y con el terciario abierto.
Se mide una impedancia desde el primario .
Ensayo de cortocircuito alimentando el primario con tensión para que circule
la corriente nominal por el terciario cortocircuito y con el secundario abierto. Se
mide una impedancia desde el primario .
1
. .
+
-
2
3
. .
. .
. .
. .
. .
1
. .
+
-
2
3
. .
. .
. .
. .. .
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
72 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
Ensayo de cortocircuito alimentando el secundario con tensión para que
circule la corriente nominal por el terciario en cortocircuito y con el primario
abierto. Se mide una impedancia desde el secundario .
Si seleccionamos como valores base:
potencia base potencia nominal, supuesta común para los tres devanados tensiones base tensiones nominales de cada devanado.
De forma análoga a lo que ocurría en los transformadores de dos devanados, con los de
tres también se cumplirá que
. . . . . . . . . . . .
No obstante, hay que tener en cuenta que en los transformadores de tres devanados, a
diferencia de lo que ocurre en los de dos:
normalmente las potencias nominales de cada devanado son distintas
los valores de las impedancias de los ensayos, que normalmente aparecen en la
placa de características de la máquina, están expresadas en tanto por ciento
respecto:
de la potencia nominal del devanado que se pone en cortocircuito en el
ensayo correspondiente
y de una tensión base que es la del terminal desde el que se mide la tensión.
Por tanto, en general, habrá que hacer los cambios de base oportunos, para referir
todas las impedancias a una misma base común.
Una vez que todas las impedancias estén referidas a una base común, de las
condiciones de los ensayos, se deduce el cumplimiento de las siguientes igualdades:
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
(6.3)
1
. .
+
-
2
3
. .
. .
. .
. .
. .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 73 de 77
De las cuales, se determinan las tres impedancias a incluir en el circuito equivalente.
. .12
. . . . . .
. .12
. . . . . .
. .12
. . . . . .
(6.4)
Ejemplo: transformador Yy0d11, 130/110/66 kV, 45/30/20 MVA, con Xcc12 = 10 %
(referida a 30 MVA), Xcc13 = 6 % (referida a 20 MVA) y X cc23 = 10,5 % (referida a 20
MVA). Como suele ser habitual se desprecian las resistencias.
Tomando como base común 100 MVA, y las tensiones nominales, resultan Xl =
0,0525; X2 = 0,2775 y X3 = 0,2475.
7. Transformadores de regulación
Los transformadores de regulación, son transformadores que permiten variar la tensión
en módulo y/o en fase (en una pequeña cantidad alrededor de su valor nominal,
típicamente menor que 0,1 p.u.). La diferencia entre las tensiones de las tomas
extremas se llama margen de regulación y la diferencia entre dos tomas consecutivas
escalón de tensión.
Básicamente hay dos tipos
Transformadores reguladores del módulo de la tensión (TRM). En ellos, se
establecen varias derivaciones, llamadas 'tomas', en uno de los arrollamientos y
TR
∆
∆
∆a
b c ∆
∆
∆
Fig.7.1.‐Esquemas de transformadores con regulación
carga
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
74 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
además se dispone de un medio para conmutar entre ellas. De esta forma, se
obtienen relaciones de transformación distintas de la nominal. Por ejemplo,
transformador de distribución con tomas en el lado de alta tensión, con relación
20 ± 5% kV/ 400 V.
Transformadores reguladores que ajustan el desfase de la tensión (TRD)
Cuando las tomas pueden ser modificadas en todo momento se les llama
transformadores de regulación en carga. Cuando son fijadas para un tiempo más o
menos largo se las llama de regulación en vacío, puesto que para su modificación es
necesario poner el aparato fuera de servicio.
Dichos transformadores, pueden utilizarse en alta tensión, de forma individual o en
combinación con otras técnicas de compensación de potencia reactiva, para compensar
las caídas de tensión provocadas por variaciones lentas de las cargas.
7.1. Modelo general en valores p.u. de transformadores de regulación.
Dado que el TRD no tiene un modelo circuital equivalente y representa únicamente un
desfase, nos centraremos en este apartado en el TRM por lo que no arrastraremos, en
la formulación, el operador horario.
Por analogía con un transformador trifásico normal, un transformador con regulación
de tensión, también llamado con regulación en carga, funcionando en régimen
estacionario equilibrado, puede modelarse como un transformador ideal de relación de
transformación variable "mt" en serie con una impedancia
Dado que, en general la impedancia del transformador varía poco al cambiar la toma
sobre el devanado (véase no obstante UNE 20101-75), para los márgenes de
regulación habituales, puede admitirse que tal impedancia es constante e igual a la de
la toma media.
Consideraremos que las tomas están en el primario; es decir en el lado “1”.
21
mt:1
+
-
+
-
Fig.7.2.‐Circuito equivalente monofásico de un transformador de regulación
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 75 de 77
Sea la impedancia del transformador referida al secundario.
Sea la tensión nominal del primario (fase-neutro) en la toma media e idem en el
secundario en vacio.
Así será la relación de transformación nominal (placa de características del
transformador) y si cada escalón es del x% y hay "n" escalones1., la relación de
transformación total variable en función de la toma será:
100 1100
·
Como ya sabemos las relaciones entre las variables de entrada y salida se pueden
poner como:
0
01 1
0 1
Que desarrolladas quedarán
1
(7.1)
Para pasar a valores por unidad elegimos las bases correspondientes con las siguientes
relaciones:
; ; ;
Y teniendo en cuenta casos ya desarrollados, llegaremos a las siguientes ecuaciones
que modelan el comportamiento del transformador con regulación en carga en valores
p.u. Efectivamente de (7.1):
. . · . . · . . ·
. . ·1
. . . .1
Y en definitiva 1 Nota:
Así por ejemplo, para un transformador 2540010%/230 en vacio, si cada escalón es
del 1%, cuando se encuentre en el escalón 5 la relación será: 254005·1%/230=
26670/230.
(4.8)
E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica
76 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.
(7.2)
Donde puede ser considerada como la relación de transformación en p.u.
Podemos obtener el modelo de circuito en equivalente sin más que recordar lo que
desarrollamos en el apartado 3 de este capítulo. Entonces, deducíamos que, para el
modelo de circuito en de la Fig.7.4.-, las ecuaciones de transmisión son:
1 01
11
0 1 1 0
1
11
1
(7.3)
Que comparadas con las ecuaciones (7.2), nos permiten establecer las
correspondencias reflejadas en las Fig.7.5.- y 7.6.-, en las que se ha considerado que
. . . .
+ +
--
1 2
21 t:1
. .. . . .
. . . .+ +
. .1
. .
. . . . . . . .
Fig.7.3.‐Representación del transformador con tomas en valores p.u.
Fig.7.4.‐Modelo de circuito equivalente en .
Sistemas Eléctricos de Potencia
Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 77 de 77
. . . .
+ +
--
1 2. .
1 . .
1 . .
. . . .
Fig.7.6.‐Circuito equivalente en Pi de un transformador de regulación en valores
p.u. con la impedancia reducida al primario
21 . .. . . .t:1
. . . .+ +
. . . .
+ +
--
1 2. .
1. .
1. .
1. . . .
Fig.7.5.‐Circuito equivalente en Pi de un transformador de regulación en valores
p.u. con la impedancia reducida al secundario
21 t:1
. .. . . .
. . . .+ +