En cada uno de los temas de estos apuntes, se desarrollan algunos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ZARAGOZA

Carrera:

INGENIERIA QUIMICA

CURSO DE ALGEBRA ELEMENTAL

(REQUISITO PARA MATEMTICAS I)

CONTENIDO:

I. INTRODUCCIN

II. TERMINOLOGIA III. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACINIV. FRACCIONESV. POTENCIAS, EXPONENTES Y RACESVI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES GENARO ALTAMIRANO G. 2012I. INTRODUCCION.

Estos apuntes de algebra son la sntesis de la experiencia que se ha tenido al impartir la asignatura de Matemticas I. Aunque estos temas propuestos no forman parte de la asignatura, son elementos con los que los estudiantes normalmente tienen problemas.A pesar de las generaciones de alumnos de nuevo ingreso son diferentes, de acuerdo a las estadsticas, los estudiantes siguen con un cierto patrn de conocimientos y de deficiencias (que se vienen arrastrando desde los aos anteriores), que es comn en las diferentes generaciones.

El objetivo de estos apuntes, entonces, es el de hacer un repaso a los temas fundamentales del lgebra del bachillerato, temas que son requisitos mnimos para Matemticas I. Hay que aclarar que no solo se traen deficiencias de algebra, sino de otras reas de las matemticas; pero este curso tiene bien definidos los objetivos: superar las deficiencias de algebra elemental, planificado para dos semanas de trabajo.

Antes de iniciar con los contenidos del curso, queremos destacar algunos obstculos que se presentan en el proceso de enseanza aprendizaje de las matemticas, varios vicios que tenemos como alumnos los cuales debemos de ir eliminando para poder avanzar con el conocimiento, algunos de estos son: Ocultamos nuestros errores. En nuestro sistema educativo, el error es un hecho aislado, indeseado, descalificado y castigado. En algunos docentes existe el temor de que al exponer a la clase los errores cometidos por algunos alumnos, se fijen en ellos esos conceptos equivocados, y entonces se concluye que hay que ocultarlos, obviarlos, mejor ni mencionarlos, como si fuera un pecado cometer un error. Pareciera que lo nico til es hablar de la respuesta correcta, premiarla, mostrarla, valorarla y ensalzarla. Lo que importa es el resultado final perfecto. Y esta postura no es un invento nuevo: viene enraizada en la teora conductista del aprendizaje (por cierto, muy practicada por nuestros profesores). Como de formar y no de adiestrar personas se trata, los partidarios de la teora constructivista del aprendizaje caracterizamos al error como la materia prima con la que se debe trabajar para la construccin del conocimiento. De ah la importancia de que los alumnos manifiesten continuamente las ideas y conceptos de los diferentes temas, para estudiar las causas que originan el error. Todo lo hemos aprendido a partir de superar errores. Confundimos el aprendizaje con la memorizacin. Dentro del campo de las matemticas como de otros campos en los que se tienen que resolver problemas, se requieren capacidades (capacidad es el potencial para hacer algo) que se tienen que desarrollar. Entre estas cualidades estn: analizar, crear, definir, discriminar, evaluar, expresar, memorizar, percibir, sintetizar, etctera. En la escuela, fundamentalmente nos ensean a desarrollar la memoria, pero muy poco las dems capacidades. Al final de estos apuntes pusimos una seleccin de problemas de las matemticas recreativas con la finalidad de desarrollar algunas de estas capacidades. Algunas definiciones en forma breve.1. Analizar: Es decomponer un todo en sus partes y entender sus relaciones.

2. Crear: Es generar ideas o soluciones novedosas u originales (para el que las crea).

3. Definir: Es percibir o establecer un objeto y sus circunstancias relevantes a partir de una situacin.

4. Discriminar: Es diferenciar o seleccionar unos estmulos de otros.

5. Evaluar: Es confrontar resultados con objetivos.

6. Expresar: Es saber escribir o enunciar en forma clara (lgica) y concreta una idea o razonamiento previamente entendida o desarrollado.

7. Memorizar: Es recordar un dato o concepto previamente aprendido.

8. Percibir: Es saber interpretar un conjunto de datos de una situacin.

9. Sintetizar: Es formar un todo coherente que cumpla con un propsito a partir de partes

aparentemente inconexas.

No tenemos una estrategia para la resolucin de problemas. Para superar esta carencia, recomendamos el libro Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas, de Luz Manuel Santos Trigo, Grupo Editorial Iberoamericana. Polya George (1945) identifica tres etapas principales en las que el uso de los mtodos heursticos juegan un papel importante. De manera general estas etapas son: 1. Entendimiento del problema; 2. Diseo de un plan; 3. Ejecucin del plan.

En cada uno de los temas de estos apuntes, se desarrollan algunos problemas que tratan de ejemplificar lo que se est exponiendo, posteriormente se proponen otros ejercicios con la finalidad de que en la praxis vayamos construyendo nuestro propio conocimiento. De cualquier manera, al final se presenta una seleccin de problemas de la matemtica creativa con la finalidad de desarrollar estas capacidades.Por el momento, antes de continuar con el estudio de lleno de los temas, proponemos el siguiente problema para que se resuelva ya, como un ejercicio de diagnstico. Sugerimos que una vez estudiados todos los temas regresemos a este problema y comparemos las dos respuestas.El problema consiste en contestar lo siguiente 2 es igual a 1?, s o no, por qu?

Planteamiento:

Definimos dos nmeros a y b, tal que:

a = b

Ahora multiplicamos ambos nmeros por a:

aa = ab Que es lo mismo a: a2 = ab

Luego restamos b2 de ambos lados: a2 b2 = ab b2Factorizamos en ambos lados: (a + b) (a b) = b (a b)

Dividimos ambos lados entre a b: (a + b) = b

Pero como a = b, entonces tenemos:

2 b = bFinalmente, dividimos ambos lados entre b:

2 = 1

II. TERMINOLOGALas matemticas son un lenguaje, un lenguaje simblico que se debe dominar para que sea efectiva la comunicacin en el proceso de enseanza aprendizaje.

Por esto es importante que cuando se diga factorizar en trinomio cuadrado perfecto, por ejemplo, todos sepamos de lo que se est hablando.

A continuacin, definiremos algunos trminos fundamentales del lenguaje matemtico.

Expresin algebraica. O simplemente expresin, es una combinacin de nmeros, literales (variables) y smbolos de operacin, por ejemplo:

Se podra decir que las expresiones algebraicas son las palabras con las que est construida la literatura matemtica, palabras que a su vez estn constituidas de su equivalente, las letras que en este caso seran nmeros, literales y smbolos de operacin.

Las partes de una expresin separadas una de otra por un signo + o se llaman trminos de la expresin. Una expresin se llama polinomio tambin, y en particular monomio, binomio o trinomio, segn tenga uno, dos o tres trminos, respectivamente; por ejemplo:

Es un trinomio

Es un binomio

Es un monomio

Los trminos mismos estn formados por nmeros y variables multiplicados entre s, llamados factores. El factor numrico se llama coeficiente numrico o simplemente, coeficiente de los factores. Segn esto, el trmino 5 XY tiene como factores 5, X y Y; 5 es el coeficiente de XY. El signo del trmino generalmente se considera que pertenece al coeficiente numrico. As, el coeficiente de Y2 en el trmino -2 Y2, es -2.

En un sentido ms general de la palabra coeficiente, cualquier grupo de factores de un trmino es coeficiente de los otros. Por ejemplo, al referirnos al trmino 5 XY, 5X es el coeficiente de Y; y 5Y es el coeficiente de X.

Los trminos que difieren solo de sus coeficientes numricos se llaman trminos semejantes. Por ejemplo, son trminos semejantes:

Un trmino puede estar formado por una fraccin, por ejemplo:

Tiene tres trminos

Normalmente no decimos que una fraccin tenga coeficiente.

Teorema. Ley conmutativa y asociativa.

La suma o el producto de cualquier expresin, es independiente de la forma en que se ordenen o se agrupen los trminos, Ejemplo:

Teorema. El producto de un nmero real X por la suma de trminos es igual a la suma de los productos de X por cada uno de los trminos. Ejemplo:

Teorema. Xn = X * X * X * X * * X

n veces

Donde: Xn es una potencia

X es la base

n es el exponente, un nmero natural

Ejemplos:

Operaciones en expresiones

a) Suma y resta.

La suma (o resta) de expresiones se realiza sumando (o restando) los trminos semejantes de cada expresin. Ejemplos:

b) Multiplicacin.

La multiplicacin o producto entre dos expresiones se realiza aplicando el siguiente teorema:

Teorema: X (Y + Z) = XY + XZ X (Y Z) = XY XZ. Ejemplo:

EJERCICIOS. Operaciones elementales de Algebra (suma, resta, multiplicacin)

1. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

2. Efectuar las siguientes operaciones.

3. Efectuar las operaciones y simplificar.

III. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACINProductos notablesSon ciertos productos entre expresiones algebraicas que, por cumplir reglas determinadas pueden realizarse sin llevarse a cabo la multiplicacin por el procedimiento general.

a) Un binomio al cuadrado.

El cuadrado de un binomio es el cuadrado del primer trmino, ms (o menos, segn sea el caso) el doble del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo trmino. Ejemplos:a)

b)

c)

d)

Obsrvese que

b) Producto de binomios conjugados.Binomios conjugados son los que tienen un termino comn y los otros dos trminos son simtricos, es decir, tienen el mismo valor pero de signo diferente. Los siguientes, son ejemplos de binomios conjugados.

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del trmino semejante menos el cuadrado del otro termino.

Ejemplos:

c) Producto de binomios que tienen un trmino comn.

El producto de dos binomios que tienen un trmino comn se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del termino comn, el producto de este termino por la suma algebraica de los trminos no comunes y el producto de estos dos ltimos trminos. Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

Factorizacin

Factorizar una expresin algebraica es convertida en el producto indicado de sus factores.

a) Factorizacin de un polinomio que tiene un factor comn.

b) Factorizacin del trinomio general.

c) Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto.

d) Factorizacin de la diferencia de cuadrados.

e) Factorizacin de la diferencia o suma de cubos.

Ejemplos: (Factorizar)

EJERCICIOS. Productos Notables y Factorizacin

1. Realizar los siguientes Productos Notables.

2. Factorizar completamente las siguientes expresiones.

IV. FRACCIONESUna fraccin X / Y es un cociente de de dos nmeros reales X y Y. A X se le llama numerador y a Y el denominador, ambos son trminos de la fraccin.

Importante: El denominador debe ser diferente de cero, ya que la divisin entre cero no est definida. X / 0 y 0 / 0, NO ESTN DEFINIDOS. Pero, 0 / Y = 0, (Y 0) s est definido.

Decimos que una fraccin comn como 38 / 34 est reducida a sus trminos ms simples, cuando mediante el teorema:

Hemos eliminado los factores que sean comunes a ambos trminos. Ejemplos:

Operaciones con fraccionesPrimero veremos la multiplicacin y la divisin, pues estas operaciones en fracciones son ms sencillas que las sumas y las restas.

a) Multiplicacin y divisin de fracciones.

Teorema: Multiplicacin

Teorema: Divisin

Ejemplos:

El mximo comn divisor (m.c.d.).

Tambin llamado mximo factor comn. Clculo del m.c.d. de varios nmeros. Ejemplo: Hallar el m.c.d. de 120 y 144

Primero descomponemos los nmeros cuadrados:

120=23x3x5

144=24x32Para obtener el m.c.d. hay que hallar el producto de todos los factores primos comunes a estos nmeros con su menor exponente.

24 es el mcd de 120 y 144Otro ejemplo: Calcular el m.c.d. de 3960, 270 y 1755.

El mcd de los nmeros es 32x5=45El mnimo comn denominador (MCD).

Tambin llamado mnimo comn mltiplo. Clculo del MCD de varios nmeros. Ejemplo: Hallar el MCD de 120, 144 y 68.

Descomponer los nmeros en factores primos

120=23x3x5

144=24x32

68=22x17 Para obtener el MCD hay que hallar el producto de todos los factores primos, comunes y no tomados con el mayor exponente que tengan en las descomposiciones.

El MCD de 120, 144 y 68 es 12 240: 24x32x5x17=1224012 240 es el nmero meno de los nmero divisibles por 120, por 144 y po 68.

b) Suma y resta de fracciones.

Teorema: Comn denominador.

Teorema: Diferente denominador.

Ejemplos:

Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos, tambin se puede hacer convirtiendo las fracciones en una que tenga el menor comn denominador MCD posible.

Por ejemplo, si queremos sumar las fracciones: 1 / 12, 1 / 20 y 1 / 35, primero determinamos el MCD. Para estas tres fracciones el MCD es 420, luego convertimos las fracciones en unas que tengan el denominador comn 420, finalmente sumamos las fracciones y simplificamos.

Convertimos las fracciones

Aplicamos el teorema de la suma de fracciones con comn denominador

Sumamos

Simplificamos

Otro ejemplo con literales.

Sumar:

Solucin; Factorizamos cada denominador y determinamos el MCD:

Factorizamos X2-2X+1

Factorizamos X2-1El MCD es:

A continuacin escribimos cada fraccin con su denominador en forma factorizada y convertimos las fracciones que tengan el denominador comn (X 1)2 (X + 1). Por ltimo, sumamos las fracciones.

c) Fracciones complejas.

Una fraccin compleja es aquella que tiene por lo menos una fraccin en su numerador, en su denominador o en ambos. Los siguientes son ejemplos de fracciones complejas:

Simplificacin de fracciones complejas.

Para simplificar la siguiente fraccin compleja podemos utilizar dos mtodos

En el primero, se eliminan las fracciones en el numerador y el denominador escribiendo la fraccin compleja como un divisin, y posteriormente se aplica la regla de la divisin de fracciones, Ejemplo

Mtodo 1

En el segundo mtodo se eliminan las fracciones el numerador y el denominador multiplicando cada fraccin por uno, estando este en la forma b2 / b2. Usamos b2 / b2 por que b2 es el mnimo comn denominador de 3 a / b y 6 ac / b2. Ejemplo:

Mtodo 2

Otro ejemplo; Simplificar la fraccin compleja:

Mtodo 1: Sumamos las fracciones de numerador y procedemos como sigue:

Mtodo 2: Para eliminar X del denominador multiplicamos el numerador y el denominador, por X que es el MCD de ambos trminos.

EJERCICIOS. Fracciones1. Es correcta la solucin?

2. Encontrar el mnimo comn denominador MCD para cada uno de los conjuntos de expresiones dadas.

3. Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado como una fraccin reducida a sus trminos ms simples.

4. Simplifica las fracciones complejas de los siguientes ejercicios.

IV. POTENCIAS, EXPONENTES Y RAICES.

1. Exponentes.

Como se mencion anteriormente, la potencia Xn se define como:

Xn = X * X * X * X * * X

n factores de X

La expresin exponencial se llama potencia de X, y se lee X a la ensima potencia, o X a la potencia n. X es la base y n el exponente.

No confundir: -Xn con (-X)n

-Xn = -(X * X * X * X * * X)

n factores de X

(-X)n = (-X) (-X) (-X) (-X) (-X)

n factores de X

Leyes de los exponentes:1. El producto de dos potencias con la misma base es igual a la base y se suman los exponentes:

Ejemplos:

2. El cociente de dos potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base, elevada al exponente del numerador menos el del denominador:

Ejemplos:

3. Reglas de potencia de los exponentes:

Ejemplos:

4. Si X = 0, entonces: X0 = 1. O0 est indefinido.

Ejemplos:

5. Exponentes negativos:Si X 0, entonces:

Ejemplos:

6. Si n es un nmero entero, entonces:

Ejemplos:

2. Races y radicalesDefinicin

Y se llama raz n-sima principal de X, y se denota por Si y solo si, Yn = X, en donde X, Y R, n N, bajo la condicin de que si n es par, entonces: X 0, Y 0.

El smbolo se llama radical, X se llama radicando o subradical y n es el ndice. Cuando el ndice es 2, por convenio no se escribe.

Ejemplos:

Definicin: X1/n = nX, X R, n N (X 0 cuando n es par).

Ejemplos:

Definicin

Xm/n = n Xm = (n X)m, X R, m l, n N, con la condicin de que si n es par, X debe ser positivo.

Ejemplos:

Teorema 1:

Teorema 2:

Ejemplos:

Definicin de X2. Si X es cualquier nmero real entonces: X2 = | X |.

Ejemplos:

EJERCICIOS. Potencias, exponentes y radicales.1. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

2. Simplificar cada expresin, suponiendo que ninguno de los denominadores es igual a cero.

3. Encontrar el valor numrico de cada expresin con X = -3 y Y = 2.

4. Si es posible, calcula las races cuadradas de los siguientes ejercicios.

5. Simplificar las expresiones siguientes:

VI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Sistemas consistentes

Cuando un sistema de ecuaciones tiene una solucin, el sistema se llama sistema consistente o sistema compatible.Resolucin de un sistema de ecuaciones de primer grado por mtodos algebraicos elementales. El objetivo es eliminar ecuaciones e incgnitas hasta llegar a una ecuacin y una incgnita. A este proceso se le lama eliminacin algebraica. Existen tres mtodos:a) Reduccin o Suma-resta

b) Sustitucin

c) Igualacin

a) Reduccin (suma-resta)

Consiste en igualar coeficientes de una misma incgnita, despus sumar (o restar) ambas ecuaciones para eliminar la incgnita elegida. Ejemplo:

Resolver:

Multiplicar la ecuacin (2) por 3 y el resultado sumarlo a la ecuacin (1), quedando:

X = 3

Por lo tanto: X = 51 / 17 = 3

Sustituyendo X = 3, en la ecuacin (1), obtenemos Y:

5 (3) + Y = 16, de aqu: Y = 1

b) SustitucinConsiste en elegir una ecuacin, y de sta, despejar una incgnita, para ponerla en funcin de la otra, esta expresin sustituirla en la otra ecuacin y de aqu obtener el valor de la segunda incgnita, Ejemplo:

De la ecuacin (2): X = 6 2Y

Sustituyendo X = 6 2Y, en la ecuacin (1):

Haciendo operaciones:

Sustituyendo Y en la ecuacin (1):

c) Igualacin

Consiste en despejar una misma variable de las ecuaciones, y posteriormente obtener el valor de la otra incgnita de la expresin resultante, ejemplo:

De ambas ecuaciones despejamos X y la ponemos en funcin de Y

De la ecuacin (1):

De la ecuacin (2):

Igualando ambas ecuaciones:

Multiplicando ambos lados de la ecuacin por 6, que es el MCD de ambas fracciones, resulta:

Finalmente:

Como Y = 1, la sustituimos en la ecuacin (1):

EJERCICIOS. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1. Resolver por los 3 mtodos de eliminacin algebraica los siguientes sistemas de ecuaciones.

2. Un par de zapatos y un suter cuestan $98. Si el suter cuesta $16 ms que los zapatos, cunto cuesta el suter?3. En un tringulo recto, uno de sus ngulos agudos mide 15 ms que dos veces el otro ngulo agudo, cules a diferencia entre los ngulos?

4. Resolver el sistema

5. La suma de tres enteros es 18, el tercer entero es cudruple de segundo, y el segundo entero es igual a seis veces el primero. Determina cules son estos enteros.

EJERCICIOS. Matemticas recreativas.

1. El Abuelo y el nieto. Esto sucedi en 1932. El nieto tena entonces tantos aos como expresan las dos ltimas cifras del de su nacimiento. Con la edad del abuelo ocurra lo mismo. Cuntos aos tena cada uno en 1932?

2. Un ciclista calcul que, si hacia 10 km por hora, llegara al sitio designado una hora despus del medioda; si la velocidad era de 15 km por hora, llegara una hora antes del medioda. A qu velocidad debera correr para llegar al sitio exactamente al medioda?

3. Dos obreros. Uno viejo y otro joven, viven en un mismo departamento y trabajan en la misma fbrica. El joven va desde la casa a la fabrica en 20 minutos; el viejo, en 30 minutos. En cuntos minutos alcanzara el joven al viejo, si ste sale de la casa 5 minutos antes que el joven?

4. A un estudiante de la FES Zaragoza (que cursa matemticas), en el autobs universitario, le preguntaron cuntos aos tena, la respuesta fue: Toma tres veces los aos que tendr dentro de tres aos, rstale tres veces los aos que tena hace tres aos y resultar exactamente los aos que tengo ahora. Cuntos aos tiene?

5. Boris, Carlos y Jos son: bibliotecario, profesor y electricista, no necesariamente en ese orden. El bibliotecario es primo de Jos. Carlos vive en la siguiente casa del electricista. Boris, quien sabe ms hechos que el profesor, tiene que manejar 45 minutos para visitar a Carlos. Cul es la ocupacin de cada persona?6. En los crculos del tringulo de abajo coloca los nueve dgitos (cifras significativas) en forma tal que la suma de cada lado sea 20.

7. hay que redistribuir los dgitos en los crculos del mismo tringulo anterior de modo que la suma de cada lado sea 17.La estrella numrica de seis puntas, dibujada ms adelante tiene una propiedad mgica: las seis lneas de nmeros dan una misma suma:

4 + 6 + 7 + 9 = 26,

9 + 5 + 10 + 2 = 26,

etc.

Pero la suma de los nmeros colocados en las puntas es diferente: 4 + 11 + 9 +3 + 2 + 1 = 30. Se podra perfeccionar la estrella, colocando los nmeros en los crculos de modo que no slo las lneas sumen la misma cantidad 26, sino que esa misma cantidad 26 sea la suma de los nmeros de las puntas?

9. Un seor tiene un corral lleno de pollos y cerdos. Entre todos los animales las cabezas sumas un total de 100, y las patas 250, Cuntos pollos y cerdos hay en el corral?.

10. Qu ngulo se forma entre las manecillas de un reloj que indica las 4:00?, y la 1:30?

11. Si una persona (de 1.75m de altura), pudiera recorrer la Tierra siguiendo el Ecuador, la coronilla de su cabeza describira una lnea ms larga que la lnea de las plantas de sus pies. Qu magnitud tendr esta diferencia?, Qu diferencia habra si recorriera por el permetro de la luna?

12. Un hombre y una mujer estn de pie, uno al lado de la otra, ambos lados cargando el peso sobre el pie derecho. Empiezan a caminar, saliendo con el pie izquierdo: la mujer de tres pasos por cada dos del hombre. Cuntos pasos da el hombre antes de que el pie derecho de ambos llegue simultneamente al suelo?

13. Una hoja grande de papel, del grosos de esta pgina, se dobla para formar dos capas. Vuelve a ser doblada, y as se tienen cuatro capas. Si contina doblndola sobre s misma cincuenta veces, Qu grosos tendr el papel doblado estas cincuenta veces?14. Se disponen de doce palitos de modo que formen tres cuadrados. Redistribuya los palitos para formar ocho cuadrados.

15. En este problema, solo una afirmacin es cierta. Determina mediante la informacin dada quien la ha hecho:

A dijo: B lo hizo

B dijo: D lo hizo

C dijo: Yo no lo hice

D dijo: B minti cuando dijo que yo lo hice.

BIBLIOGRAFA

GUSTAFSON, R. D. (1997)

ALGEBRA INTERMEDIA

International Thompson Editores, S. A. de C. V.

Mxico, D. F.

JOUETTE, A. (2000)

EL SECRETO DE LOS NMEROS

Ediciones Robinbook, S. l.

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LOVAGLIA F. M., et al (1972)

ALGEBRA

Ed. HARLA, Mxico, D. F.

MESERVE, B. E. y SOVEL, M. A. (1976)

INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS

Editorial REVERT, Mxico, D. F:

PERELMAN, y. i. (1976)

MATEMTICAS RECREATIVAS

Ediciones de Cultura popular

Mxico D. F.

RUIZ R. C. y RUIZ, s (2000)

EL PIROPO MATEMTICO

Ed. Lectorum

Mxico, D. F.

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Un trinomio cuadrado perfecto, TCP, es un trinomio (expresin algebraica con tres trminos) que proviene del cuadrado de un binomio, por ejemplo a2 + 2ab + b2 es un TCP, ya que: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.

Se llama nmero (natural) primo aquel que solo es divisible por s mismo y por la unidad: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, el nmero primo ms grande descubierto hasta la fecha es el 21398269-1. este nmero alcanzara na longitud de 947 metros, escrito en todas sus cifras y mecanografiado sin espacios.

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