UNIVERSIDAD DE VALPARASO

UNIVERSIDAD DE VALPARASO

ESCUELA DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

APUNTES Y EJERCICIOS DE LGEBRA FUNDAMENTAL

(Primera Parte)

a) Trminos semejantesb) Simplificacin

c) Factorizacin

d) Operatoria con expresiones fraccionarias

e) Potencias

f) Races

HUMBERTO CCERES MILNES

Nota: En el resto del anlisis supondremos que todas las expresiones son reales.

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una combinacin de nmeros y letras relacionados con operaciones

de suma, resta, multiplicacin, divisin y a veces tambin por medio de

potencias, races, exponenciacin y logaritmacin.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

TRMINO

Las partes que se suman o restan de una expresin algebraica se llaman

trminos. El trmino es la unidad fundamental operativa del lgebra. El

trmino contiene las operaciones bsicas de multiplicacin y divisin.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4

3. PARTES DE UN TRMINO

Consta de una parte numrica y otra literal

-9 representa el coeficiente numrico.

EMBED Equation.DSMT4 -9xy4

xy4 representa el coeficiente literal.

El coeficiente literal se ordena alfabticamente.

TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que poseen la misma parte literal, es decir, los mismos

literales elevados a los mismos exponentes.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4

NMERO DE TRMINOS DE UNA

EXPRESIN ALGEBRAICA

Segn el nmero de trminos que posee una expresin algebraica

tenemos:

MONOMIOS 5x xyz3 4ab

BINOMIOS a - b 7x 1 8m + 3n

TRINOMIOS x + y z a2 + 2ab + b2

MULTINOMIOS a + 3b 4c + 1

Importante: Los trminos se separan con los signos + y/o -

POLINOMIOS

Los polinomios estn formados por trminos cuyos coeficientes literales

contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.

Forma general de un polinomio:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn.

en donde ai EMBED Equation.DSMT4 R, i = 0, 1, 2, ..., n. n EMBED Equation.DSMT4 N0

x5 2x3 + 7x2 4x + 1 Es polinomio

EMBED Equation.DSMT4 No es polinomio.

PARNTESIS (Signos de agrupacin)

TIPOS SIMBOLOGIA EJEMPLOS

Redondo EMBED Equation.DSMT4 - ( 5x + 2 )

PARENTESIS

Corchete EMBED Equation.DSMT4 [ 3x - 8 ]

Llaves { } { 6 - x }

Angular EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

ELIMINACIN DE PARNTESIS

CASO I Cuando el signo ( + ) antecede al parntesis no interviene en la

operacin:

+(x-3y) = x-3y

CASO II Cuando el signo ( - ) antecede al parntesis si interviene en la

operacin:

-(4x-1) = -4x (-1) = -4x + 1

CASO III Presencia de parntesis dentro de parntesis. Estas expresiones se

resuelven desde el interior hacia el exterior de los parntesis:

- {8x-[x-4(3-x)+1]} = - {8x-[x-12+4x+1]} =

= - {8x-[5x-11]} = - {8x-5x+11} =

= - 8x+5x-11 =

= - 3x-11.

9. REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numricos conservando el factor

literal comn.

REDUCIR:

(3x-1)+(x+1)-(2x-3)+4

Eliminando parntesis: 3x-1+x+1-2x+3+4

Ordenando : 3x+x-2x-1+1+3+4

Reduciendo : 2x + 7.

[2(a-b)-(a+b+3)]-(2a-5b+4)

Eliminando parntesis: 2a-2b-a-b-3-2a+5b-4

Ordenando : 2a-a-2a-2b-b+5b-3-4

Reduciendo : -a + 2b 7.

-{-3+4x-y-2[z+y-2x+(7-3z)-4(x-y)-3]}

Eliminando parntesis : -{-3+4x-y-2[z+y-2x+7-3z -4x+4y-3]}

: -{-3+4x-y-2z-2y+4x-14+6z+8x-8y+6}

: 3-4x+y+2z+2y-4x+14-6z-8x+8y-6

Ordenando : -4x-4x-8x+y+2y+8y+2z-6z+3+14-6

Reduciendo : -16x + 11y 4z + 11.

Con una mayor prctica, el proceso de reduccin se puede ir efectuando a medida que se van eliminando los parntesis.

PRODUCTOS NOTABLES

Representan casos de inters de multiplicacin de polinomios

Monomio por polinomio a(c + d e) = ac + ad - ae

Binomio por binomio (a + b)(c d) = ac ad + bc - bd

Polinomio por polinomio ( a + b c)(d e) = ad ae + bd be cd + ce

Cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cubo del binomio (a - b)3 = a3 3a2b + 3ab2 - b3

Suma por diferencia (a + b)(a b) = a2 b2

Ejercicios:

(-6x3y)(-2xy4) = (-6)(-2) (x3x)(yy4) = 12x4y5.

(ab)(4a2b3)(-7ab4) = -28(aa2a)(bb3b4) = -28a4b8.

4x(3-x) = 4x3 4xx = 12x-4x2.

-8(3a -2b) = -83a - 8(-2b) = -24a + 16b.

(7x 2y)(4x y2) = 28x2 7xy2 8xy + 2y3.

(2c + b)(3c b) = 6c2 -2bc +3bc b2 = 6c2 + bc b2

(4p q)2 = 16p2 24pq + q2 = 16p2 8pq + q2.

(5x + 7y2)2 = 25x2 + 25x7y2 + 49y4 = 25x2 + 70xy2 + 49y4.

(4c d)(4c + d) = (4c)2 (d)2 = 16c2 d2.

(5x +2y)(5x 2y) = (5x)2 (2y)2 = 25x2 4y2.

(3x 2z)3 = (3x)3 3(3x)22z + 3(3x)(2z)2 (2z)3 =

= 27x3 18x2z + 36xz2 8z3.

DESCOMPOSICIN EN FACTORES

FACTORIZAR

Factorizar una expresin algebraica consiste en expresarla slo a travs

de productos. Los casos ms comunes son los siguientes:

Factor comn monomio ab ac + ad = a(b c + d)

a2 2ab + b2 = (a b)2

Trinomio cuadrado perfecto 9x2 24xy + 16y2 = (3x 4y)2

a2 - b2 = (a + b)(a b)

Forma a2 EMBED Equation.DSMT4 b2

a2 + b2 no es factorizable en R.

Trinomio tipo:

x2 + bx + c x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Forma a3 EMBED Equation.DSMT4 b3

a3 b3 = (a b)(a2 + ab +b2)

EJEMPLOS:

6x 3y = 3(2x y)

9a2 + 27ab = 9a(a + 3b)

5x3y 10x2y2 = 5xy(x2 2xy)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

x2 14x + 49 = (x 7)2

9x2 y2 = (3x + y)(3x y)

4x2 -49 = (2x + 7)(2x 7)

x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)

p6 64 = (p2)3 43 = (p2 4)(p4 +4p2 + 16) =

= (p + 2)(p 2)(p4 + 4p2 + 16)

x2 7x + 6 = (x -1)(x - 6)

x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

6x2 + 17x + 12 = (2x + 3)(3x + 4)

2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)

6x2 11xy 10y2 = (3x + 2y)(2x 5y)

3x3 + 9x2 + x + 3 = 3x2(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(3x2 + 1)

3x 2y + 15xz 10yz = 3x 2y + 5z(3x 2y) =

= (3x 2y)(1 + 5z).

EJERCICIOS: Factorizar las siguientes expresiones:

1.) 7x 14x3 2.) 8x3 + 4x2 16x

3.) 6x6 + 12x5 18x4 + 30x2 4.) 12y9 4y6 + 6y5 + 8y4

5.) x3 + 3x2 + x + 3 6.) 4x3 + 6x2 + 2x + 3

7.) 6a 5b + 12ad 10bd 8.) x2 y 3x2z + 3yz

9.) x2 + 10x + 21 10.) y2 - 4y 12

11.) x2 12x + 27 12.) x2 + 13x + 22

13.) 4y2 11y + 6 14.) 6x2 + x 12

15.) 36y2 12y 15 16.) 18y2 21y 9

17.) 12x2 + 28xy + 8y2 18.) 3x2 + 13xy 10y2

19.) 6ab2 + 5ab + a 20.) 6bc2 + 13bc + 6b

21.) 6x5y + 25x4y2 + 4x3y3 22 ) 12p4q3 + 11p3q4 + 2p2q5.

23.) 16x2 81 24.) 81x2 25y2

25.) x4 1 26.) 16x6 9

27.) EMBED Equation.DSMT4 28.) EMBED Equation.DSMT4

29.) 7t3 63t 30.) 2y3 72y

31.) 27r3 8s3 32.) 8x5 x2y3

33.) 64y3 + 27x9 34.) 125m6n9 + 1

REGLAS DE LA OPERATORIA CON

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Son las mismas usadas en la operaciones bsicas de las fracciones aritmticas:

EMBED Equation.DSMT4

Se destaca la regla: El valor de una fraccin no se altera al multiplicar o dividir el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que sta sea diferente de cero.

EJEMPLO:

EMBED Equation.DSMT4

12 FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones algebraicas a estudiar en este punto son las fracciones racionales, es decir, aquellas que no tienen exponentes fraccionarios tanto en el numerador como en el denominador.

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

14. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES (Reduccin)

Consiste en transformar una fraccin en otra que sea equivalente y que se caracterice por ser irreductible. El procedimiento fundamental es factorizar cada fraccin al mximo y, posteriormente, simplificar los factores comunes.

Ejemplo: Simplificar: EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

NOTA: Es importante establecer la condicin EMBED Equation.DSMT4 para efectuar la simplificacin ya que EMBED Equation.DSMT4 no es una expresin definida en los reales.

Ejercicios. Simplificar al mximo:

1.) EMBED Equation.DSMT4 2.) EMBED Equation.DSMT4 3.) EMBED Equation.DSMT4

4.) EMBED Equation.DSMT4 5.) EMBED Equation.DSMT4 6.) EMBED Equation.DSMT4

7.) EMBED Equation.DSMT4 8.) EMBED Equation.DSMT4 9.) EMBED Equation.DSMT4

10.) EMBED Equation.DSMT4 11.) EMBED Equation.DSMT4 12.) EMBED Equation.DSMT4

SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIN

Signo de la fraccin signo del numerador

EMBED Equation.DSMT4

Signo del denominador

Ejemplos: 1.) EMBED Equation.DSMT4

2.) EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: simplificar:

1.) EMBED Equation.DSMT4 2.) EMBED Equation.DSMT4 3.) EMBED Equation.DSMT4

4.) EMBED Equation.DSMT4 5.) EMBED Equation.DSMT4 6.) EMBED Equation.DSMT4

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Caso 1 : Igualdad de denominadores

Ejemplo:

EMBED Equation.DSMT4

Se observa que si el denominador es comn, ste se unifica.

En el numerador se ubican las cantidades presentes en cada

fraccin, atendiendo el signo adelante de dicha fraccin.

Caso 2 : Distinto denominador

Mediante el uso del Mnimo Comn Mltiplo (M.C.M.), las fracciones con diferentes denominadores se transforman en fracciones equivalentes de denominador comn.

Ejemplo: EMBED Equation.DSMT4

a.) Solucin (Mtodo 1)

Clculo del M.C.M.:

MCM (5ab ; a2 ; 15b2) = 15a2b2

EMBED Equation.DSMT4

Solucin (Mtodo 2)

En este caso, hallado el MCM: 15a2b2, se multiplica cada fraccin

(numerador y denominador) por los trminos que faltan para completar el MCM.

EMBED Equation.DSMT4 =

= EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Operar y reducir:

1.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

2.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

3.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

4.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

5.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

6.) EMBED Equation.DSMT4 R: 0

7.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

8.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

9.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

10.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

11.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

12.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

13.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

MULTIPLICACIN DE FRACCIONES

En general se aplican las reglas:

EMBED Equation.DSMT4

Ejemplos: Operar y reducir:

EMBED Equation.DSMT4

= EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios:

1.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

2.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

3.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

4.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

5.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

6.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

7.) EMBED Equation.DSMT4 R: 1

8.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

9.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

10.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4

DIVISIN DE FRACCIONES

En general se aplican las reglas:

EMBED Equation.DSMT4

Ejemplos: Operar y reducir:

1.) EMBED Equation.DSMT4

2.) EMBED Equation.DSMT4

3.) EMBED Equation.DSMT4

4.) EMBED Equation.DSMT4

5.) EMBED Equation.DSMT4

FRACCIONES COMPUESTAS

Una fraccin compuesta est formada por una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operacin de reduccin de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1.- EMBED Equation.DSMT4

2.- EMBED Equation.DSMT4

3.- EMBED Equation.DSMT4

4.- EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Operar y reducir:

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

POTENCIAS

Cuando un nmero se multiplica muchas veces por s mismo, se obtiene la potencia del nmero.

Ejemplo: EMBED Equation.DSMT4

Generalizando: Potencia es el producto de varios factores iguales.

exponente bn = bbbb, n veces.

bn EMBED Equation.DSMT4

base

Reglas de las potencias: Para cualquier nmero real a y b y nmero positivo m y n, se tiene que:

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Operar y reducir:

EMBED Equation.DSMT4

SIGNOS DE UNA POTENCIA

1.) Base positiva: Si la base es positiva, la potencia es positiva, es decir, no importa el signo del exponente.

EMBED Equation.DSMT4

Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4

Base negativa: Si la base es negativa, el signo de la potencia depende de si el exponente es par o impar.

bn > 0 , si n es par

EMBED Equation.DSMT4

bn < 0 , si n es impar

Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4

En resumen:

EMBED Equation.DSMT4

NOTACIN CIENTFICA

La notacin cientfica se usa para expresar en forma abreviada cantidades muy grandes o muy pequeas, tal como se expone a continuacin:

Forma general: EMBED Equation.DSMT4

Escribir un nmero en notacin cientfica: x10n

Mueva la como decimal del nmero

dado de tal modo que haya slo un dgito significativo ( diferente de cero ) a su

izquierda. El nmero resultante es x.

Ej.: 163.800.000 1,63800000

0,000836 8,36

2) Cuente los lugares que movi la coma decimal en el paso 1. Si la coma decimal corri hacia la izquierda, n es positivo. En cambio si la coma se movi hacia la derecha, n es negativo.

Segn los ejemplos:

163.800.000 = 1,638108

0,000836 = 8,3610-4

Se escribe por lo tanto el nmero:

X10n

Procedimiento

Ejercicios

Cifra Paso intermedio Notacin

Convencional ilustrativo cientfica

9.000.000 106 9.000.000 9106

5.300.000.000 109 5.300.000.000 5,3109

0,000000147 10-7 0,000000147 1,4710-7

La distancia aproximada de la Tierra al Sol es de 149.600.000 Km. y la longitud de onda de su luz ultravioleta es de 0,000035 cm. Exprese estas cantidades en notacin cientfica:

149.600.000 Km. = 1,496108 Km.

0,000035 cm. = 3,510-5 cm.

Un jet jumbo tiene un peso de 7,75105 libras, mientras que una araa casera pesa 2,210-4 libras. Exprese estas cantidades en notacin estndar:

7,75105 lbs. = 775.000 lbs.

2,210-4 lbs. = 0,00022 lbs.

RADICALES Y EXPONENTES RACIONALES

Races: Un proceso muy relacionado con la potenciacin es la extraccin de races.

De la geometra se sabe que si una arista de un cubo mide x unidades, su volumen ser x3 unidades cbicas. Si se invierte este proceso, determinamos que si el volumen de un cubo est dado por V unidades cbicas, la longitud de su arista deber ser la raz cbica de V, lo que se expresa por:

EMBED Equation.DSMT4 unidades.

Partes de una raz: Indice de la raz

Signo radical

EMBED Equation.DSMT4 .......... Raz n-sima de A.

Cantidad subradical

Ejemplos:

Raz cbica de 8 = EMBED Equation.DSMT4 = 2, dado que: 23 = 8.

Raz cuarta de 81 = EMBED Equation.DSMT4 = 3, puesto que: 34 = 81.

Raz cuadrada de 25 = EMBED Equation.DSMT4 = 5, ya que: 52 = 25.

Raz quinta de 243 = EMBED Equation.DSMT4 = 3, dado que: 35 = 243.

Raz cbica de 1.000 = EMBED Equation.DSMT4 = 10, puesto que: 103 = 1.000.

Nota: Para un nmero real a y un nmero impar n, slo un nmero real satisface a EMBED Equation.DSMT4 . Este nico nmero se le conoce como la n-sima raz principal de a, o simplemente raz n-sima de a.

En cambio, para un ndice par n, existen dos casos posibles:

1.-Para a negativo, no hay ningn nmero real igual a EMBED Equation.DSMT4 .

Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

2.-Para a positivo, existen dos nmeros reales cuya n-sima

potencia es igual a a.

Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Importante: Con el fin de tener una raz n-sima, definimos la

raz (principal) EMBED Equation.DSMT4 , como el valor positivo b que satisface a

bn = a.

Se resume este anlisis como sigue:

La raz (principal) n de un nmero real se define como:

EMBED Equation.DSMT4

sujeto a las condiciones:

Nota: Cuando se nos pide la raz de un nmero, damos la raz principal.

a = 0 a > 0 a < 0

n par EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

n impar EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

Propiedad de los exponentes racionales.

EMBED Equation.DSMT4

Propiedades de las races:

EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Operar y reducir cada expresin siguiente:

1.- EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Operar y reducir al mximo:

EMBED Equation.DSMT4

Respuestas:

EMBED Equation.DSMT4

Operaciones de racionalizacin :

Al proceso de eliminar un radical de un denominador se le llama racionalizacin del denominador.

Para racionalizar el denominador se multiplica al numerador y al denominador por un factor adecuado que racionalice al denominador, es decir, que deje al denominador libre de radicales. Al factor se le llama factor de racionalizacin.

Los siguientes productos especiales se utilizan para encontrar algunos factores de racionalizacin:

EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Racionalizar los denominadores:

EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios: Racionalizar los denominadores:

EMBED Equation.DSMT4

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