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TRABAJO COLABORATIVO 2
CALCULO DIFERENCIAL
ADRIANA XIMENA CARVAJAL CUTIVA
CODIGO: 67.031.001
OLGA LUCIA MORA CUADROS
CODIGO: 65715807
HECTOR JAVIER OSPINA VALLEJO
GRUPO 100410_395
TUTOR:
EDGAR MAYOR CARDENAS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCI
ESCUELA BASICA DE CIENCIA, TECNOLOGIA E INGENIERIA
SEPTIEMBRE 29 2014
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Introducción
El presente trabajo permite afianzar los conocimientos basados en problemas, mediante el
desarrollo de ejercicios de Análisis de límites y continuidad con el propósito de alcanzar un
mayor conocimiento en la solución de esta clase de problemas los cuales servirán en el desarrollo
de la vida cotidiana y el laboral.
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Pasos para desarrollar el trabajo colaborativo.
El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:
Resuelva los siguientes límites.
limx→0
√9+x−3x
=√a+0−30
=00
limx→0
(√9+x−3 )∗(√9+ x+3 )x (√9+x+3 )
=(√9+8 )2−32
x (√9+ x+3 )=
9+x−9
x (√9+x+3 )
lim ¿x→0
x
x (√9+x+3 )= 1
√9+x+3
limx→0=
1
√9+0+3=
1
√9+3=
13+3
=16
¿
2.
lim x→ 4
= √x−2x3−64
=00
limx→4
(√x−2 ) (√x+2 )( x−4 ) (x2+4 x+16 ) (√x+2 )
lim =x→4
x−4
( x−4 ) (x2+4 x+16 ) (√x−2 )= 1
(x2+4 x+16 ) (√x+2 )
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lim ¿x→4
1
(42+4 (4 )+16 ) (√4+2 )= 1
(16+16+16 ) (2+2 )
lim ¿x→4
1(48 )∗( 4 )
= 1192
3.
limx→0
1x+3
−13
x=
00
limx→0
3−( x+3 )( x+3 ) (3 )x
=
3−x−3( x+3 ) (3 )x
=
−x( x+3 ) (3 )x1
= −x( x+3 ) (3 ) ( x )
limx→ 0=
1( x+3) (3 )
=1
(0+3 ) (3 )
¿
lim =x→0
1(3 )∗(3 )
=19
4.
lim ¿x→ 4
√1+2x−3√ x−2−√2
=√1+2 (4 )−3
√4−2−√2=√1+8−3
√2−√2=√9−3
0=0
0
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lim ¿x→4
(√1+2 x−3 )(√ x−2−√2 )
∗(√1+2 x+3 )
(√1+2x )+3∗√ x−2+√2
√x−2+√2
lim ¿x→4
[ (√1+2 x )2−(3 )2 ] (√x−2+√2 )
[ (√ x−2 )2− (√2 )2 ] (√1+2 x+3 )=
(1+2 x−9 ) (√x−2+√2 )( x−2−2 ) (√√1+2 x+3 )
lim ¿x→4
(2 x−8 ) (√ x−2+√2 )( x−4 ) (√1+2 x+3 )
=2 ( x−4 ) (√ x−2+√2 )
(x+4 ) (√1+2x+3 )
lim ¿x→4
2 (√x−2+√2 )(√1+2x+3 )
=2 (√4−2+√2 )(√1+2 x+3 )
=2 (√2+√2 )
√9+3
limx→4=
2 (2√2)6
=4√2
6=
2√23
¿
5. limx→π ( π−xsin x )
❑
Evaluamos el lim
( π−πsin π )=00
Forma Indeterminada Aplicamos L`Hospital
limx→π ( −1
cos x )❑
Evaluamos el lim
−1cos π
= −1−1
=1
6. limx→0
TanxSen4 x
= tan 0Sen0
= 00
Esto es una indeterminación por lo tanto se debe cambiar la expresión
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SenxCosx = Tan X
limx→0
Sen Xcos XSen 4 X
1
= limx→0
Sen XCosX∗Sen 4 X
Aplicamos la siguiente propiedad
limx→0
Sen KXKX =1
lim X→0
X∗¿ Sen XX
cos x∗¿ 4 XSen4 X
4 X
Repartimos en límite en todos los componentes
limX→0
X∗( limX→0
Sen XX
)
( limX→0
cosx)∗limX→0
4 X∗( limX→0
Sen 4 X4 X
)
limX→0
X∗1
1∗limX→0
4 X∗1
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limX→ 0
X4 X
=limX→ 0
14= 1
4
7. limx→∞
√x2−33√ x3+1
=limx→∞
1x√ x2−3
1x
3√ x3+1=limx→∞
√ x2
x2
❑
− 3
x2
3√ x3
x3
❑
+ 1x3
=limx→∞
√1❑− 3
x2
3√1❑+ 1
x3
=¿ Evaluamos el límite
√1− 3∞
3√1+ 1∞
= √1−03√1+0
=√13√1
=11=1
8. limx→∞
√ x2+4 x−x= limx→∞
√x2+4 x−x . √x2+4 x+x
√x2+4 x+x
limx→∞
(√x2+4 x¿) ²−x ²
√x2+4 x+x= x
2+2x−x ²
√x2+4 x+x¿ =
2x❑
√x2+4 x+x
limx→∞
1 .4 xx
1x
√x2+4 x+1.xx
= 4
√ x2
x2 +4 x
x2 +1
= 4
√1+ 4x+1 Evaluamos el límite
=
4
√1+ 4∞
+1
= 4
√1+0+1= 4
√1+1= 4
1+1=4
2=2
9. limx→∞
11x
x ²−3 x Dividimos por
1x ²
ya que es el de mayor exponente
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limx→∞
1
x2.1x
x2
x2−3 xx2
=
1
x3
x−3x
=
1
x2
x−3 =
1
x2(x−3)= 1
x3−3 x2 Evaluamos el limite
=1
∞3−3∞ ² = 1∞
= 0
10. Demuestre que limx→∞
sin x
x=1
A∆ ABC<AABC ¿ A∆ ADC Hallamos las áreas de cada triangulo
A∆ ABC=12
(1 ) . sen x
AABC= x2
ABC ¿ A∆ ADC=12
(1 ) tan x
Concluimos que el área del triangulo ABC es menor que el área del triangulo del sector circular
ABC y a su vez este es menor que el área del triangulo ADC.
sen x2
< x2< tan x
2 Multiplicamos todo por 2 y nos da
sen x< x< tan x Como esto es un límite lo que estamos averiguando son distancias
sen x < x < tan x Invertimos las desigualdades
A C
D
B
PX
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1 sen x ¿ 1 x > 1 tan x Multiplicamos todos los numeradores por sen x sen x sen x ¿ sen x x > sen x tan x =1> sen x x ¿
sen x tan x El termino sen x tan x = cos x
cos x <¿ sen x x ¿1Por la forma como esta ubicado el ángulo sobre el valor absoluto
cos x< sen xx
<1
Calculamos el límite de cuando x tiende 0 de la función cos
limx→0
cos x❑=cos 0=1
Calculamos el límite de cuando x tiende 0 de la función 1
limx→0
1=1
Con esto queda demostrado que aplicando el teorema de sanduche la cual dice que si los limite
externos son iguales el termino central es igual a los otros dos.
1¿ sen xx
<1 Así queda demostrado que:
limx→∞
sin x
x=1
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Conclusiones
Este trabajo permitió hacer el desarrollo de los ejercicios propuestos por parte del grupo
colaborativo su interacción y correcta explicación y asesoramiento por parte del tutor; además el
grupo colaborativo desarrollo destrezas en la solución de límites y progresiones que pueden ser
aplicables a la vida cotidiana y el desempeño en cada una de las carreras que los integrantes
cursan y sus trabajos cotidianos.
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Referencias
Duran, J. E., Carrillo, O., & Cepeda, W. (junio 2010). calculodiferencial. Bogota: Universidad Nacional Abierta y a Distancia.