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Aplicaciones de las Matemáticas
Ángel Martín del ReyDepartamento de Matemática AplicadaInstituto de Física Fundamental y MatemáticasUniversidad de [email protected]
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XXII Olimpiada Provincial de Resolución de Problemas (Salamanca, 3 de mayo de 2014)
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Ángel MarDn del Rey, 2014
Introducción
2
La Matemática Aplicada consiste en...
Matemáticas Resultados Teóricos
Problemas RealesSociedad
- Algoritmos- Modelos Matemáticos
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Ángel MarDn del Rey, 2014
Introducción
3
Se han desarrollado algoritmos y modelos para dar respuesta a múltiples retos planteados en diferentes situaciones...
• Ingeniería
• Economía
• Medio Ambiente
• Medicina y Salud
• Sociedad de la Información
• etc.
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Aplicaciones: Ingeniería
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• Diseño de superficies
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Aplicaciones: Economía
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• Asesoría fiscal
• Operaciones en el mercado financiero
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Aplicaciones: Medio ambiente
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• Propagación de incendios forestales
• Contaminación
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Aplicaciones: Medio ambiente
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Los modelos matemáticos son de gran utilidad en múltiples disciplinas de la Medicina y la Salud:
‣Propagación de enfermedades infecciosas.
‣ Farmacocinética.
‣Diseño de prótesis.
‣Planificación y evaluación de planes de control y prevención.
‣Control y análisis de experimentos clínicos.
‣ Impacto económico de las medidas sanitarias.
‣Etc.
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Análisis de los niveles de biomarcadores cancerígenos en sangre.
• Simulación del crecimiento de tumores.
• Planificación de la medicación anticancerígena.
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Diseño de prótesis.
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Análisis y procesamiento de imágenes médicas.
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Propagación de enfermedades infecciosas.
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Aplicaciones: Medicina y Salud
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• Propagación de enfermedades infecciosas.
‣ Número reproductivo básico R0 : número de nuevos casos de pacientes infectados que un único individuo enfermo genera en una población enteramente susceptible durante el tiempo que dura la enfermedad.
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• Algoritmo de búsqueda de Google
• Conexión en redes de telefonía móvil 3G
• Telecomunicaciones
• Códigos bidimensionales
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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Aplicaciones: Sociedad de la Información
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• Biometría
• Criptografía y Seguridad de la Información
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Ángel MarDn del Rey, 201416
Aplicaciones: Sociedad de la Información
• En marzo de 2006 comienza la expedición del DNIe.
• Los algoritmos que tiene implementados son los siguientes:
‣Esquema de firma digital RSA.
‣ Función resumen SHA-1.
‣Cifrado en bloque: Triple DES.
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Ángel MarDn del Rey, 2014
¿Qué Matemáticas se utilizan en el protocolo de cifrado RSA?
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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Rivest, Shamir y Adleman
• Cálculo de potencias:
• Cálculo del m.c.d.:
• Cálculo de congruencias:
(c es el resto de dividir me entre n)
me
m.c.d. e,φ( )
c = me modn( )
• n es el producto de dos números primos de 2.048 bits (617 cifras decimales).
• La seguridad del RSA reside en la enorme dificultad que supone factorizar el número n.
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Ángel MarDn del Rey, 2014
¿Qué Matemáticas se utilizan en el Triple DES?
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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• Permutaciones.
• Sustituciones: S-boxes.
• Suma XOR:
0⊕ 0 = 0 1⊕ 0 = 10⊕1= 1 1⊕1= 0
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 ...Codificación
1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ...Generador de secuencias pseudolaeatorias de bits
criptográficamente seguras
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ...
⊕
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Ángel MarDn del Rey, 2014
• Las funciones resumen son funciones de la forma:
de manera que:
‣Es muy sencillo calcular la imagen de un mensaje: f(m).
‣El tamaño de m es variable (Gb, Mb,...) mientras que el de h es fijo (128-512 bits).
‣Es computacionalmente muy difícil encontrar dos mensajes que tengan la misma imagen (resumen).
¿En qué se basan las funciones resumen?
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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f :M!H m! h = f (m)
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Aplicaciones: Sociedad de la Información
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Ángel MarDn del Rey, 2014
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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• Identificación amigo/enemigo.
• Póquer on-line.
• Venta o intercambio de secretos.
• Reparto de secretos.
• Votación electrónica.
• Descubrimiento mínimo o nulo.
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¿Cuál es el organismo, agencia o empresa que más matemáticos contrata y en el que más matemáticos trabajan?
Aplicaciones: Sociedad de la Información
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Aplicaciones: Sociedad de la Información
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• No solo Estados Unidos posee una agencia de este tipo...
Government Communications Headquarters (Reino Unido)
Bletchely Park Colossus
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• Inventores públicos de la “Criptografía de Clave Pública”
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Aplicaciones: Sociedad de la Información
• Ralph Merkle.
• Martin Edward Hellman.
• Bailey Whitfield Diffie.
1976
• Clifford Christopher Cocks.
• Malcolm John Williamson.
• James Henry Ellis
1973
• Inventores reales de la “Criptografía de Clave Pública”
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Aplicaciones: Sociedad de la Información
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• En España también tenemos una agencia similar...
Centro Criptológico Nacional (España)
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¡Muchísimas gracias por vuestra atención!