ESTADISTICA ESPAÑOLANúm. 89, 1980, págs. 139 a 160
Apl^cacián de la metodologia de Box-Jenkins a laprevisión del transporte de pasajeros por Iberia
por JUAN IGNACIfJ PEÑA SANCHEZ DE RIVERA (*)Profesor del Departamento de Estadística
e Investigación OperativaFacultad de Ciencias Económicas UAM
Kjlr^r^^ h^r^-t,^. ^., ^-lr^^rl^^ ^.i t/^ry^ c-a^l bE^ k^l^t^^. thrrl u.re jhdK^^rt^rtt
IG. E. P. Box y G. M. Jenkins«Time Series Anafysis»
RESUMEN
E1 presente trabajo tiene como objetivo el estudic^ de la serie de pasaje-
ros transportados por Iberia, con datos mensuales desde enero de 19b^
hasta diciembre de l y78, med iante la metc^dología de Box y Jenkins y
utilizando los dos primeros niveles de análisis d^ la misma. Se realiza el
análisis univariante y el estudio y mudelización de las anomalías más
significativas mediante el Análisis de Intervención. Finalmente, se generan
previsiones cun los modelos escogidus, comparándolas cun las observacio-
nes reales.
P«lubrus clu ► ^c^: Serie temporal; modelos Box-Jenkins; previsiún.
* EI autur manifiesta su agradec imientu pur sus enseñanzas y colaboración a los profesores
'Timuteu Martínez Aguacfu y Jusé Luis Gascó, así como a Iván Pérez de las Peñas. Así mismu,
yuiere resaltar su prufunda deuda intelectual con 1os profesores Daniel Peña y Arthur B. Tread-
way, y agradecer su cc^nstante enseñanza y estímulo, sin las cuales esta investigación nu hubiera
sidu pc^sible.
140
l. EI_ PROBLEMA EMPIRICU
l . 1. INTRt)DUCCIÓN
ESTrIDiSTICA ESf'AÑOLA
El objeto de nuestro estudío es la serie de «Pasajeros Transportados por Ibería»
( PI}A en adelante) con datas mensuales, durante el período 1/b8- l 2J78, que nos fueron
proporcionados por la Dirección de Investigacián C}peratíva de dicha empresa. El
motivo de escoger esta serie es su interés como representativa del sector del transporte
aéreo, uno de los de mayor crecimiento en los últimos años. Además, creemos que
puede ser un indicador más de la evolución económica general, con especial sensibili-
dad a variaciunes coyunturales, no exclusivamente económicas.
Otro motivo, quizá más secundario, es el interés que despertó en el autor el estudio
de una serie de parecidas caracterísiicas que se realiza en el libro básico de la metudo-
logía Box-Jenkins " y nuestro deseo de comprobar si esta línea de transporte aéreo
seguía pautas similares .
1.2. EL li/^ODELO EST(7CÁSTIC(J I.ĴNIVARIANTE
1.2 .1. Id^nti, f ic•uc•ivn
El análisis visual de la serie original nus señala algunas caracteristicas de interés:
a) La serie es creciente en el tiempo y claramente no estacionaria.
b) Se aprecia un comportamiento estacional muy marcado, con picos en los meses
de verano y descensos a fínales de otoño.
c) Las fluctuaciones de la serie son de mayor amplitud según vamos avanzando en
el tiempo, hecho que nos indica la presencia de heterocedasticidad. E1 diagrama
Rango-Media nos confirma este hecho, por lo que parece adecuado efectuar algún tipo
de transformación Box-Cox-'. En este caso, parece que la más cunveniente puede ser la
logarítmica, esto es ^^ = 0.0. E1 nuevo gráfico de PDA, Fig. 2, no muestra síntamas de
heterocedasticidad y su diagrama Rango-Media, aunque nu nos deja plenamente satisfe-
chos, tampoco muestra evidencias contundentes de heter^cedasticidad, pur 1^ que, con
ciertas precauciones, escogemas esta transfurmación.
Se aprecia una clara falta de estacionariedad, asi cumu un cumportamient^ estacio-nal rnuy marcado.
' Véase Bax y Jenk^ns (197b), págs. 300-329.Z Véase B^x y Cax (1964).
METODOL(XĴiIA DE BOX-JENKINS A L.A PREVISION DEL TRANSF'ORTE POFt IBERtA ^4I
^it^r^nc:ian^l^^ ^il^c.'^u^il^^iCll^.'ntr: t)É^tt'nc'mu^ ^^l tr^ín^t^)rfll^illl?n L'til^i^ll)n^iCl^i `'^^^ . ^.'n
t'[)A.
[^c.̂ t^^tam^^^; un t'utrtc^ v^il^ar anúrn^il^^ ne^ativ^^ c.•n 1 I^ 77. N^^s ^íiri^im^^^ ^i Ihc.^ri^i n^ir^i
^^^m^r^^h^ir I^^^ ^i^^t^^^ y^^: n^^^ ^umuni^ó yti^ n^^ hahí^^ c.^r'r^r^r^^^^ ^n 1^^^ mi^n^^^s. r,c,^r^^ qri^^
es^ m^ti h^ihían cuinc:iciic^u la.^ si^uitnte^ cir^un^tan^ia^:
c^) C^ambiu c1t pintur^i y embltmati ^c: la m;^iy^^ría ^ie lu^ ^ivi^^n^s ^it^ 1a tl^}tti.
h) Huelga de cuatrc^ día^ ciel per^^^nal de ^l^ru^ut^rt^^^ ^^^r m^^tiv«s ^^^I^it'I^ila^, ^^>n
n^^table intlu^n^ia ^n tl tráficu aérc:u.
T^^ctu r:llu, uniciu a que n^^vi^mhrc^ t^ tl m^^ c:n ^l qu^^ ^e ^t^c^^tú^in I^i^ revi^i^.^nt^
^tnk'r^i^f:S }^ rt ^^iC^ll'll)ntS l^t ^i^^ir^itl)ti, Ct)n rt'l.^Ul`L IUn (jt', tit'I'^'ll I`1, nUti C^lin ^^í t'X j^^ll^i^ 1{,111
c^e la anumalía.
l.^i ^r^^^nc:iti ^i^ un^i ^iistc^r^iún t^ln fuc.^rtc.^ ( - ^i rs ) ^a ^i ^it^^^t^ir ^i I^i ,Jc^.^^ Y .t^^/^uscurr<^ic:nc^u la i^lentifi^aciún, h^^^h^^ ytre hahr^i cí^ tent ►-ti^ c:n ^uc:nt^i.
iUtra ^aract^rístic:a im^vrtantt es yuc.^ el ^t^c:t^^ ^^.i,^ua ^r; manit^ic;^;t^i, ^^^r I^^ mc.'nu^
^n prin^i^iu, en e^ta ^trie y^u^:cte sc,^r ^u^^^^tihl^ i^c.x m^)^lc.°liz^i^ic^n.
` Véase Sanz ( ly7y) y^iuyu y 'I'tr^c^iru ( 1y7^).
F:s^r,^ar^rrc•A r-sr^,q^r^r..^
:^i c)hsc.'r^.fmus ^.•I ^r^il^i^c) ctc.' ^^^^,Y In E'().^l It`i^;. 71, c^'stri ^art^e t•^ta^i^)n^rrí^i. hc:^hu
yil^' ^^^nt`irm^t suti ,,irr., (t`i^. K). Un ^riteri^) ^r^1i^:í^^n^il ^^ira haher ^yl^'^;í^i^) ^*^t^i trantit'^)rma-
^ i^^n c;^ I^r ^ic.' ^^)sc.^c'r mínim^r ^ ^iri^inra ^: ^in c'mh^ir^;^), l^l lit^'r^itllr^i ^^)hrc.' !3 J ti^ne
^^hr,n^^in^c^s ^_^tnl^lt)^ cn ^l)^ ytl^ ^tí tr'^^ntit`^)rmíil'IUn t'^tiil.'ll)níirlít i^^ ) t'.rii ^ii (.^C 1711nt1'Tlíi
varianz^^, Pur Ic) yu^' c:i únicu ^c>'ntr^^^tc.' t`i^h^^' c.'ti ^.'I c.'stucliu c: ui^t^^^1c)tiu clel ^;r`^ífi^c) y I^i
%us `.
+2^
0
-^ 2 c^
12
IIIIIIIIIII^-------_--__-------------------------
„^us In PDAt Frv. 3
+2c^
0
-2r^
^i^^^^i111^n^^^^^^,^^„^12 24 36
,Jus Q^^ ln PC^A^ FtG. 4
0
-2c^
+ 2cs
12-,
i
^us C7 In PDA t F'rG.
^ Véase Ancitrsun ( ly7K).
s Véase Treadwdy et dl (1 y7H).
ME^:T()D()l.(X;IA I)E: f3()X-JFNKIN;S A[.A k'RF:^'ttil(^N C^FI. ^RAN^F^)k"^-F: }^C)R fE3F:RIA
+ 2 c^
0
-2^
Puru lct ^^urtc^ rc^,^^trlur
1rl
3fi^^ ^^ ^
.fus V^^ ` In PDAt F1G. K
143
F 1 examtn de la •/cts^ y,fŭ/^ su^iere un MA ( 1) c«n cuefitiente pu^itivu. l.a e^tructurae interaceión^ dpuya est^.i iciea.
Pctru lu /^urtc^ c^stctc•rc^jtctl
La situarión nu está tan clara cc^mc^ en el puntc^ anteric^r, aunyue lc^s candidatus másplau^ibles tiun, u hien un MA (1 > de c^^eficiente pusitivc^, c^ bien un AR (2) de raíces
cc^mpleja^.
Nuestr^^s canciiciatus para la fase cle estimación sun p^ar tantu:
ct} ARIMA (0, 1. 1} x(0, I, 1},^.
h} ARIMA (0, l, 1) x(?. 1, 0), ,.
-------------- ------_L-l^_ i__ 1 2 _^1^ _ 2a^ T_ - - ---T __ _ -^ T --^ . ._-^
^ Véase Hamiltc^n y Watts (197K) y Peña ( ly7y).
^^a
I.?.^. f-.^^1 ►^^tttc^t^i^t
;1^[c ►^1^'I^^ ct 1
t-^^r.^t^t^rtc^.^ t^s^,^► +.vcyt.A
^'^' , , ln E'I^A, ^ { 1 ^^ .^7I3) { 1 ^^ .7ót3' ' ► tt,( .OK) ( .U5 )
^ ^, '^ I O0 : 4. 3í^
t^ { 3 7} ^^= 21. 7
^^ - 0.0
N1^^^1^I^^ h1
1 1 ^.f^ 1^3'' +. 3?B'^' 1^^^, , ln E'[)Ac 1 I .53B} {r,
{ .()^) { .(ly) ( .()y}
^„ ^^^ I (}{) ^. ^K
{,^ (3(^} I K.f^,
E^ {^U^, il ► ,} .^I
O.(}
+2^r
0
-2^
I . ^__ 24 _ ^
.tu.s ^ V ,: In PDA c F'iG. y
I.?.3. (^^,trt ►-ct.^^tc^.^^ clict,^^ttci.t'tic^^^,ti^
(^'c^n t'^.'s^«;tu ^tl mu^í'Ic^ {cr) hay yuc.' ^c.'ñ^^lit ►': '
--- l.c^^ ^i^^^ rur^^mc:tr^^^ ^itl mi^m^^ r^'^^tlt^in ^^^hra^itrm^nt^ ^;i^nit^i^ativc^s.
---- E: I v^►1 ^^ r^1 c.' C,1 ^ s a^ c.' ^ t a h I t.
- I.a mec^ia c^c° I^^s r^^;iciuus c^^ n^^ ^i^;nit^icativamentt ^iistinta ^1c.' ^c^ru.
METODOL4GIA DE B^X-JENKINS A LA P'REVISION DEL TRANSPORTE PoR IBERIA
-- No aparecen retardos significativos en las ^fŭs y,fu^.
-- No hay problemas de correlación entre los parámetrUS.
Con respecto a1 mode{o (b):
145
--- Todos los parámetros son sobradamente significativos.
- F1 valor de Q es aceptable y menor que en (a).
-- La media de los residuos resulta no significativamente distinta de cero, pero con
escasísimo margen. Habida cuenta de que tratarnos con criterios estadísticos, estas
interpretaciones no pueden considerarse restrictivarnente.
No hay retardos significativos en la fas y fap.
-- La correlación entre los parámetrus estacionales es muy baja y no preocupante.
- La varianza de Ios resid uos es casi un 5 por 100 mayor que en (a ).
Tenernos ahora que decid ir c uál de ios dos modebs escogemos en esta primera fase
para continuar el análisis. Lo cierto es que ia parte estacional del (b) nos recuerda
demasiado a una extensión sobr^eparametrizada del (a), ya que es fácil ver que si
tenemos un proceso MA (1)s como el que sigue,
puede representarse:
esto es,
W^ = ( l - E^Bs) al.
(1 -- HBS)-^ W, = a,,
(1 + f^Bs + H^F3^ + (^`B^ + ...) W = u ,r ^
que nos da una representación no escueta det prcx:es^ simple de media móvii. Comu el
valor de ^2 está demasiado cerca del de ^U ;, y además, la varianza residual es mayor,
optamos por escoger inicialmente el modelo (u), que can menor número de parámetros
nos da una explicación similar del proceso. No obstante, señalamos que esta elección es
provisional, y que según vayamos «limpiando» de anomalías la seríe, pueden aparecer
hechos que nos indiquen la conveniencia de una reformulación del modelo, ya que,
la serie tiene gran cantidad de residuos extremos que están distorsionando fuertemente
la estructura básica de la misma.
Por ello se realizaron análisis únivariantes con la serie truncada y sobreparametriza-
ciones del MA ( l, I) x( l, l) por si la estructura era susceptible de reformulación. Como
146 ESTADISTICA ESPAÑC)LA
Ic^s resultadc^s no fueron satisfactoric^s, nc^ lus reflejamos aqui, remitiendo al lectur
interesadu a la vertiión c^riginal cie este trabajc^^`.
1.3. ANÁLIS[S DE ^NTFRYFNCt(3N
^n este apartado comentamos las distintas intervenciones que se efectúan en el
mudelu cun ubjeto de explicar los valores anómalos yue aparecen en los residuc^s del
MEU (*).
Hemos preferidc^ ir e xpc^nienda paso a paso los resultados, ya que creemos yue es
un buen ejemplo de cómo el análisis cuidadoso de los residuos es la clave en la
elaboración de modelos siguiendu la metc^dulogía B/J .
Veíamus en el resumen de residuos anómalos del modelo univariante que aparecen
varios valores extremc^s y, fundamentalmente, el de ll/77 muy fuertemente negativu
(--4,3 cs). Sin ernbargu, no se aprecian valc^res extremos en las Pascuas, en contra de lo
que el examen de la serie inicial nos había indicado. No obstante, y en una primera
etapa, vamos a intentar modelizar el efecto Pascua separadamente, según sea marzo 0
abril el mes de dicha festividad. Asi pues, nuestro primer paso de Análisis de Interven-
ción será el mudelizar las Pascuas y l l/7? cun un pulso al que Ilamaremos «huelga».
Los resu{tadus de la estirnación están en la hoja de resumen núm. 3(*). Queremos
indicar que lc^s prugramas utilizados en la estimación de los parámetros del modelo notienen incorporadu «back-forecasting», por lo que las varianzas resid^uales no son
comparabies con las de los MEU estimados que si poseen esta cualidad. No obstantes,
y para hacernos una idea de cuál va siendo la reducción de varianza residual que
ocasionan las sucesivas intervenciones, recurdemos que en el Anexo t al apartado
anterior, la varíanza del l^ ►^i E U sin retroprevisión era:
^ á = .0020?
cŝ u x 100 = 4. 5 4.
Asi pues, volviendo a la haja núm. 3, son destacables los siguientes aspectos:
a) Resultan signifrcativos los parámetros de «Pascua abril» y« 1 1/?? Huelga» y no
significativc^ el de «Pascua marzo».
^` Tesina de licenciaiura ciel misrno título. Facultad de CC. Económicas. Universidad Autónomade Madrid (1979),
* Véase Bc^x y Tiao (1975).
(*) Para esta tase hemos utilizado hojas de resumen para reflejar los resultadc^s, según eldiseño de Arthur B. Treadway.
METODOLOGIA DE HOX JENKINS A LA P`REVISION DEL TRANSPORTE POR IBERIA ► 147
b) La disminución de varianza residual con respecto a( I) es de casi el 25 por 100.
c) La media de los residuos resulta nu significativamente distinta de cero, al
contrario de lo que sucedía en el rnodelo univariante.
d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venir
explicadas por el efecto de los residuos anómalos de 3/73 y 3/?5, o por defectos de
formulación del ruido Nt.
P) Aparecen varios residuos fuertemente anómalos y, sobre todo, el de 4/69
(- 3.8 a).
,f) E1 valor del estadístico Q es aceptablemente bajo.
HOJA DE RESUMEN NUM. 3
EST AI: PDS vs. Pascua marzo, P. abril, li/77 (huelga)N = 132 (1 /68 - 12178)
IT = 10 converge
5 tt r
Y
`^ 3t1 t= Pasc ua marzo y 1 t= Pasc ua abril
l+
0 t^ Pascua marzo ^ 2` 0 t^ Pascua abril
In P; : - ^ 0165 ^ r + .046^ 2r - .165^, ^r + N r( .15) ( . 013) ( . 02)
^7^i,Nr = ( 1 - .44B)(1 - .41B'^)ar( .08) ( .09)
SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA
a = - .006303 ;
►'^4 (á ) _ - .185 ;
áQ .oo3sbl
s,^,(^) - - .200
RESIDUOS ANOMALOS
6z
1 t = 11 /77
0 t ^ i l/77
_ .001535
cŝ Q x 100 = 3.92
Q(37) = 22.4
µ = 0 .0
2- . 183
119
±
Núm.obs.
FechaValor
unidadesc^^
Distorsionporcentual
de r"saDistorsiones fas
16 4/69 - 3. 8 12 ,1b3 3i73 - 2. 3 4.476 4/74 - 3.0 7.677 5/74 - 2.4 4. S ( 24} -- -.03587 3/75 1. 8 2.794 10/75 - 2.1 3.796 12/75 3. 3 9.2 r
Total: 44.5
148 ESTADIS'rfCA ESPAÑOLA
Parece, pues, que e1 siguiente pasu sería cc^nu^er qué oc:urrió en 4/651 y efectuar la
mudelización currespondiente, ya yue el etiectuar <tintervencíones empíricas» es muy
peligrc^so al nu cunc^ ►cer «a pric^ri» si el tenámenc^ acdecidc^ es de tipo pulsc^, escalón,
rampa, etc., pc^r lo que una mocielización equivc^cada puecie tener desagradables conse-
c uenc ias en el mudelo.
Asi pues, nos dirigimos a Iberia de nuevc^ en busca de alguna información acerca de
esta fecha. Sin embargc^, nada ancarmal había ocurridc^ en ella, según las fuentesconsultadas en la empresa.
Descartada la hipátesis de error en los datus, una vía alternativa era suponer que el
residuu ancímalo podía ser efecto de una causa anterior, ya que, al tomar diferencias enla serie para cunseguir estaciunariedad, las alteraciunes de hechos impc^rtantes se
transmiten a las ubservaciones vecinas y a las posteriores separadas por duce meses.
Puestu de nuevu en contacto con Iberia nus indicarun que en el año 1968 fue cuandola compañía empezó a util izar 1os aviones de gran capacidad DC-8, y que fue precisa-mente a principius de abril cuando ést^s entraron en servicio. Hay que destacar queeste hecho constituyó un auténtico «salto» en el númeru de pasajeros transportados, yaque su gran capacidad (en comparación con los hasta entonces utilizados) y su radio deacción permitía la apertura de nuevas líneas transuceánicas y el reforzamiento de las yaexistentes. Todo lo anteriur indicaba la conveniencia cíe cc^nsiderar un cambio de nivelen la serie a partir de 4^/b8.
Con esta información en nuestro poder, decidimos mudelizar un escalón en 4/b8 alque denominamos «DC_8» .
Los resultados de la estimación están en la huĵa de resumen núm. 4. Hay que señalar
que no eliminamos de momento el efecto «Pascua de marzo» por si con la nueva
intervención puecia verse mcx^ificado en algún sentido.
Con respecto a la hc^ja de resumen núm. 4 destacamos:
u) Todos los parámetros son ampliamente significativos, excepto el de «Pascuamarzu» , que se revela definitivamente no aceptable.
6) Disminuye la varianza residual con respectu a la intervención anterior casi un 14por 100.
c•) L.a media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de eero.
d) Hay valores significativus en el retardu 24 de las fus y fu^ que pueden venirexplicados por el efecto de los residuos anómalos de 3/73, 3/75, 4173 y 4/75, c^ purdefectos en N,.
METODOLOOIA DE BOX-IENK[NS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR IHER[A 1^i9
HOJA DE RESUMEN NUM. 4
EST AI: PDA vs. Pascua marzu, Pascua abril, 11/77 (huelga), 4/68 (DC-8)
^, 2r
1 t = Pascua marzo
0 t ^ Pascua marzo
1 t = Pascua abril
0 t ^ Pascua abril
ln PDAr = .013 ; Ir + .041^,2r - . 1ó8^3^ + .123^,ar +( . 015 ) ( . 013 ) ( . 020) ( . 020)
V^i^Nr = ( 1 - .42B){1 - .60B'`)ur(.08) (.08)
ĉs `_ .001341; ^s a x 100 ! 3.6ó
N = 132 (1/b8-12/78)
IT = 10 converge
1 t = 11 /77
0 t ^ 11 /77
1 t >_ 4/68
U t ^ 4/68
Q(37} = 23.8
SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA
u - - .004575 ; cŝ a = .003351 µ = 0.0
2r44(á) _ - .186; s^4(ú) - - .199 -^- _ .183
^/^ 119
HOJA RESUMEN NUM. 5
EST AI: PDA vs. Pascua abril, 11 /77 (huelga), 4/68 (DC-8}, 10/75 (boicot),
12/75 (coronación), 3/73 (controladores)
. N = 132 (1/68-12/78)
1T = 13 converge
1 t = Pascua abril
0 t^ Pascua abril^ 2t
1 t = 10l75
^ 4r 0 t ^ 10/75y sr
1 t = 11 /77
0 t ^ 11/77
1 t = 12/75
0 t ^ 12/75
{{
1 t ? 4/b8
0 t ^ 4/68
1 t = 3 /73
0 t ^ 3/73
ln PDAr = .0498^ Ir - .1699^zr + .128.^,^r - .Of^11^^r + .0624;sr - . I06^br + Nr(.011) (.024) (.025) (.023) (.024) (.023)
^^ i ^ N r = ( 1 - . 36B) (1 . - .56B `^ )ar
(.09) (.08) .^
c^` -.UOlU^4; ĉsa x 100 = 3.24 Q(37) ^ 32.2
150 ESTA©ISTICA ESPAÑt)LA
SITUACION DE LA ESTIMACION B1EN DEFINIDA
a = - .0035U7; cŝ Q = .002971
x^4 (á) - - .19 l ; s^d (^a ) - - . 215
N = 0.0
.+ 2.1x3
119
e) Aparecen varios residuos fuertemente extremos, destacando 3/73 (- 2.5 a), 4/74
-2.b a), 5174 (-2.7 cs), 10/75 (-2.4 cs) y i?J75 {3.4 cs).
^ EI valor del estadístic o Q es aceptablemente bajo.
Siguiend© con la modelización de residuos anómalos centramos nuestra atención en
los tres que, en principio, nos parecieron de mayor entidad, los de 3/73, l0/?5 y 12/75.
Nuestras consultas en Iberia y en la Hemeroteca Nacional dieron los siguientes
resultados:
a) Can respectc^ a 3I73: E1 día 20 de febrero comienza una huelga de controladoresaéreos de casi todo el continente europeo (franceses, belgas, etc.). Iberia reduce sus
vuelos europeos aJ 22 por 1QU de lo normal, E1 día 5 de marzo chocan en el aire sobre
la ciudad francesa de Nantes dos aviones españoles, de las compañías Iberia y Span-
tax, ocasionando Ia muerte de 48 pasajeros. A1 día siguiente Iberia suspende todos sus
vuelos con Europa hasta que finalice la huelga de controladores, verdadera responsable
de la catástrofe aérea. E1 día 20 de marzo finaliza la huelga, y el 21 se reanudan los
vuelos europeos de lberia. Parece, pues, justificada una intervencic^n de tipo pulso
negativo a la que llamaremos «CONTROLADORES» .
b) Con respectc^ a 10/75: Al producirse los fusilamientos de Hoyo de Manzanares
de miembros de ETA y FRAP a finales del mes de septiembre de 1975, se produce una
generalizada campaña exterior contra el régimen del general Franco. Durante todo el
mes de octubre, Iberia ve sistemáticamente boicoteados todos sus vuelos internaciona-
les, a los que no acuden pasajeros, problemas en los aeropuertos, etc. Unas declaracio-
nes del entonces presidente de Méjico, señor Echevarría, hacen que Iberia suspenda
todos sus servicios con este país. Durante todo el mes, los efectos de la campaña
internacional se hacen sentir muy fuertemente sobre el número de pasajeros transporta-
dos por Iberia, hecho éste que incluso es destacado en la mernoria que la compañía
publica a final de ejercicio. (Los ejercicios de Iberia no siguen el año natural, sino que
van desde el 1 de noviembre a 3i de octubre del año siguiente.)
Toda ello justifica la introducción de un pulso negativo al que denominaremos«BOICOT» .
MET©DOLOGIA DE BOX,IENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 1BERtA 151
c^) ^c^n respec^tu u 12/75: Fuentes de lberia nos indicarun que ese mes se produjo
un inusitado incrementa det tráfico aéreo, debida a la situación ucasiunada por el
cambio de régimen en España.
Políticos, diplomáticos, exil iados políticos, hombres cie negoc ios, ocdsionan un in-
cremento en el total de pasajeros que Iberia atiende. Por ello, hemos denominado a esta
intervención, en la forma de pulso positivo, como «COR^JNACI+C^N>>.
Queremas destacar que los efectos de 10/7S y 12/75 se mani^estan en algunas otras
series temporales de la economía española, tal como ha puesto de manifiesto J. Alma-
gro én sus estudios sobre las entradas de turistas en España`'.
Visto lo anterior, pasamos a estimar un nuevo modelo que cantenga la información
comentada líneas arriba. Los resultados de la estimación están en la hoja de resumen
núm. 5(se ha suprimido en la estimación la variable «Pascua marzo» al resultar
claramente no significativa).
Puntos destacables de la misma son:
a) Tados los parámetros son significativos.
b) Disminuye la varianza residual can respecto al modelo anterior del orden de un
20 por l0U y más del 50 por l0U con respecta a(I).
c) La media de los residuos sigue siendo na signifícativamente diferente de cero.
d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venir
explicadas por el efecto de los residuos anómalos de 12/76 y 12/^8 o por defectos en Nr.
e) Los principales residuos extremos son el de 5/69 (+2.2 a) y el preocupante
bache negativo de la primavera de l 974: 3/74 ^- 2.0 a), 4/74 (- 2.4 a), S/75 (- 2.3 cs ).
,fl El valor del estadístico Q ha aumentada con respecto a modelos anteriores, pero
sigue siendo aceptable.
Llegados a este punto de la modelización queremos llamar la atención sobre un
problema que nos ha ido preocupando de forma creciente, y es el de la presencia de
retardos significativos en 24 de las fas y,fap de todos los modelos de intervención que,
si bien en un principio pudieron justificarse por la influencia de residuos anómalos, a
este nivel del análisis más bien nos indican que nuestro madelo del ruido Nr necesita
una reformulación; así pues, antes de seguir adelante, vamos a estudiar las posibles vías
de actuación en este sentido.
`' Véase Almagro (1979).
ESTADISTICA ESPAÑOLA
La parte regular no parece presentar problemas, por lo que la dejamos como está.
En la parte estacional la hipátesis más plausible es la de un AR (2) con raíces cumple-
jas, que es la que adoptamos. Pasamos pues a estimar nuestro modelo de intervención,
pero con esta modificación en el ruido N^.
Los resultados de la estimación están en la hoja de resumen núm. 6. Puntos
destacables:
a) Todos los parámetros, tanto del ruido como de las intervenciones, son significa-
tivos holgadamente, excepto el «DC-^3», que está justo en el límite, pero que conside-
ramos aceptable.
b) La varianza residual es ligeramente menor que en cl modelo anterior.
c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.
d) Nca hay valores signíficativos ni en las fas ni en tas fup.
^) Hay muy pocos residuos extremos y el más importante es el de 4/74 (-2.5 cr).
fĵ El valor del estadístico Q es inferior al del modelo anterior.
g) No hay problemas de correlación entre los parámetros.
A la vista de los resultados anteriores, parece claro que esta reformulación del
ruido ha sido adecuada y, por tanto, proseguimos el análisis de los residuos extremos.
Volviendo al resumen de residuos anómalos observamos que las anomalías más preocu-
pantes siguen situándose d urante la primavera de 1974. La informac ión de que dispo-
nemos al respecto (fuente Hemeroteca e lberia) es que desde enero a abril, inclusive,
se produjeron unas fueries alzas de precios en todas las líneas de la compañía, como
consecuencia de la crisis energética y económica, que entonces se agudizaba. Los
incrementos oscilaron del 12 por 100 al 30 por 100 según las líneas y fueron, según la
propia «Memoria 1973174» de Iberia, las más considerables de toda la historia del
transporte aéreo. Hay que añadir que este alza fue general en todas las líneas aéreas del
mundo, con pequeñas diferencias en los porcentajes.
No obstante, el modelizar estos hechos mediante variables de intervención no
parece correcto, ya que sería mucho más fructífera elaborar una función de transferen-cia PRECIOS -► PASAJER(JS que, además^ de tener un evidente sentido económico,
podría ser de indudable interés para comprender los mecanismos de relación de ambasseries. Desgraciadamente, no disponemos de una serie de índices de precios globales de
transporte aéreo de [beria, ya que no está elaborada, por lo que renunciamos a este
camino, que queda como futura línea de investigación.
METODOLOGIA DE BOX-JENKlNS A LA PREVlS10N DEL TRANSPORTE POR 181:R1A 153
Por ello, damos por terminada esta etapa de modelización de intervenciunes y
pasamos a la de construcción del mudelo final sobre la serie cc^rregida.
Como !os prc^gramas que hemos utilizado para todo el A1 carecen de retroprevisión,
consideramos interesante modificar la serie con tas intervenciones halladas y efectuar la
estimación univariantes, ya con retroprevisión, de gran interés sobre todo de cara a la
previsión.
Así pues, una vez corregidos los valores correspondientes, he^nos estimadó el MEU
resultante (esto es, el ruido N^) que presentamos a continuación en la h^ja de resurnen
nŭm. 7.
HOJA DE RESUMEN NUM. b
EST A 1: PDA vs. Pascua abril, 1 l i77 (huelga), 4J68 (D^-8), 10/75 (boicot),
12l7S (coronación), 3l73 (controladores)
N = 132 ( l /68-12/78)
1 T = 13 converge
1 t= Pasc ua abril
0 t^ Pasc ua abril
1 t = 10/75
0 t ^ 10/75`^ S r
1 i = II /77
0 t ^ I1 /77
( I ^ - 12 /75
^ 0 r ^ 12/75
1 t >_ 4/68
0 t < 4/68
( 1 1 = 3/73
^ 0 t ^ 3/73
ln PDA, _ .454.^,lt - .183^2r + .163^^^ - .049^^^ + .Ob7^gr - .092^6r + Nr(.01) (.02) (.08) (.02) (.02) (.02)
(1 + .28812 + .37B```)QO,^Nr = ( 1 - .34B^u,(.11) (.11) (.11)
.001042; c^^ x lUO = 3.22 Q(37) = 2b.6
S[TUACION DE LA FSTIMACION BIEN DEFIN IDA
z^ = -- .0025K4; ^^ _ .003320 -♦ µ = 0.0
154 ESTADISTlCA F.SPAÑCI►LA
HC}JA DE RES[.JMEN NUM. 7
EST MEU: PDA curregidc^ cun intervenciones = PDA'
N = 132 { 1 /ó8-12/7g)
1 T= 7 c un v^e rge
(1 + ,43B' ` + ,40BZ`' )VC7 ^ ^ In PDAr = { 1 - .3oB)ar .(. os) c.os^ (.09)
ĉs `_. OOC^95 47 ; rs a x 100 = 3. 08 Q(36) = 37.ó
SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA p{^r, ^^) =•3?
á = -- . oQ200ó5 ; ĉs =- .002816 µ = 0.0
r^^,(ú) - - .251; s;^,(á} - - .157 ^ 2 - .183. -^^ 119
+e+
P^ri{^do, fr^cuenc•ia y fact^^r d^ amvrti^^c^amiE^ntc, cl^l up^radc^r AR (2)
OPERADOR : ( l + .43B t2 + .40B24)
FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO ► : .b3
FREC UEN+G IA : .305
PERIODO : 39.30? = 3.25 AÑOS
Puntos destacables:
a) Todos los parámetros sun significativos y sin problemas de autocorrelación.
b) La varian^za residual ha disminuido, como era de esperarar, con respecto al
modelo con intervenciones en casi un 14 por lUO.
c•} La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.
d) E1 valor del estadístico Q ► es muy alto y preocupante.
e) Hay un fuerte retardo significativo, el 36 en la fas.
,fl El operadur AR {2) genera un ciclo de 3.25 años.
La situación es delicada, ya que nos han surgido problemas en la fas y con Q quenos señalan que hay que refurmular la estructura de nuestro MEU.
La hipótesis más plausibies son, o bien un AR ( 3) o un ARMA (2, 1). Estimamos enprimer fugar el AR (3}.
Los resultadus de esta operación están en la hoja de resumen núm. 8.
METODOLOGU DE R+DX JENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 18ERIA 1SS
Puntos destacables:
a) Todos los parámetros son significativos y sin problemas de autacorrelación.
b) La varianza residual ha descendido ligeramente con respecto al modelo anterior.
c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.
d) E1 valor del estadístico Q es bajo y aceptable.
e) Hay un retardo significativo en las fas y fup de orden 3 que no nos preocupa
excesivamente, ya que puede ser el fruto de la relación entre los residuos del bac he en la
primavera del 74, o, simplemente, al trabajar con unos intervalos del 95 por 100 de
confianza, un error muestral.
,f^ El operador AR (3) genera un eiclo largo de 4.25 años de un tipo muy común en
series económicas espa.ñol as ^ .
g) Los únicos residuos significativos, aparte de los de primavera 1974, son los de
3/76, 9/76 y 3/78 (Semana Santa). En este último podría haberse hecho un AI y corregir
el^dato, pero el hec ho de que el efecto « Pasc ua marzo» haya sal ido no significati vo, nos
frena en ese sentido y preferimos dejar esta labor para posteríores investigaciones con
funciones de transferencia.
Los resultados de la estimación del ARMA (2, 1) estacional están en la hoja de
resumen núm. 9.
Puntos destacables:
a) Todos los parámetros son signi^icativos y sin problemas de autocorrelación.
b) La varianza residual es menor que en AR (3).
c) La media de los residuos sigue siendo no signi^cativamente distinta de cero.
d) El valor de Q es aceptable.
^) Hay retardos significativos en las fas y fap de orden 3 y 11, explicables por
anomalías.
fĵ El opera.dor AR (2) genera un ciclo de cinco años.
g) Los residuos significativos son similares al modelo anterior.
Lo cierto es que ambos modelos son muy parecidos y la razón más fuerte para optar
por uno o por otro, en este caso, es la diferencia en la varianza residual, que es menor
en e1 segundo. Escogemos, pues, como modelo definitivo el ARIMA (0, 1, 1) x
X (2^ 1, 1)^^•
Hasta aquí la fase de model izac ión de la serie. En el siguiente apartado comentamos
los resultados de las previsiones para 1979 de los modelos univariantes y de interven-
c ión * .
x Véase Sanz (1979).
15b E5TA©ISTICA ESPAÑnL..A
1.4, PREVISIONES GENERADAS Y CC)MPARAC tC^N DE LAS MISMAS
En este punt^^ cc^mentaremos las previsiones yue nos han generado lus modelos
MEU y AI (final) para It^s datas más recientes de yue disponemos, desde enero a julio
de 1979, y tamando como origen único el último dato utilizado para la estimación de los
modelos (diciembre 1978).
En el cuadra adjunto se muestra la previsión puntual de cada modelo junto con sus
intervalas de confan,za del 90 par 100, así como el tanto por ciento de error en laprevisión.
Hay que indicar que en febnera y marzo los valores están fuera de los intervalos de
confianza, posiblemente por algún fenómeno anómalo, cuyas causas desconocemos demomento.
Finalmente, hay que indicar que las previsiones que genera el modelo AI sun, en
general, más precisas que las del MEU, que suele pecar por exceso, como se comprobó
en una simulación dinámica realizada por el autor y cuyos resultados no presentamos.
aqul.
HOJA DE IZESUMEN NUM. 8
EST ME U: PDA (corregido con intervenciones) = PDA`
N = 132 (1/68-12/78)
I T = 14 converge
(1 + .47B' 2 + . S 1 B2`' + .38B3b) oo ^ ^In PDAI' _ (1 - .24B) a f( .08) ( .08) ( .O8) { .09)
. O()09014 ; cŝu x 100 = 3.00 Q( 3 5)= 28 . 2
SITUACION DE LA ESTIINIACION BIEN DEFINIDA
u = - .002336
r; (á) _ - .199
P (^, , ^z) _ .38
a (^2, ^;) _ .33
P (^, , ^;) _ .33
áa = .002718
s ^ (á ) _ - .199 ± 2
µ = 0.0
.183119
METODOLOGU DE IX?X,JENKINS A LA PREVISI4N DEL TRANSPORTE P'C}R 1BERIA
P^ertc^du, fr^cucnc•ia y fuc•t^^r dc amc^rtikuamiento de! np^rudc^r AR (31
OPERADOR: ( 1 - . lóB'` + .61 Bz^)
FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO: .78
FRECUENCIA: .234
PERIODO: S 1.384 = 4.25 AÑOS
HOJA DE RESUMEN NUM. 9
EST MEU : PDA (corregido con intervenciones) = PDA'
N = 132 ( l/68-12/78)
1T = 7 conver^e
(1 - .29B' 2 + . 21 B``' } VV , ^.ln PDA^ = ( I - .25B} (1 - .87B' `) c^(.10) (.09) (.09) (.04)
ĉ̂ a =.0()081339 ; áp x 100 = 2.8b Q(35) = 30.0
SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA
^ _ - .00155 2
fas : r; (á) = - .20ó
cŝ a= . 002551 µ= 0.0
------♦ r , , ( á ) = .197;
fap : .s; (á) _ - .208 ; s, , (U) _ . 1892^.
ti^' 119
Período, frecuencia _y factor de amc^rtiguamientr^ dc^l upcrador AR (2)
OPERADOR: (1 - .29B'^ + .21B^`')
FACTOR DE AMORTIGUAM IENTO: .46
FRECUENCIA: .199
PE R I O DO : 60 . 442 -= 5 A Ñ O S
PREV ISION ES DEL ME U
.183
1S7
1979 Valor Real ^--im. Inf.90 ^^
^-evisión Lim. Sup.90 ^o ^^ error
E 1.001.709 993.ó 14 1.07ó.780 1. l 66.910 7,5F** 831,839 926.826 1.012.81U 1. lOb.760 21,8M** 1.103.217 1.127.280 1.241.270 1.366.790 12,5A 1.322.247 1.223.350 1.356.590 1.504.340 2,6M 1.232.983 1.206.040 1.346.260 1.502.770 9,2J 1.263.485 1.231.170 1.382.890 1.553.310 9,4J l.489.292 1.485 . 370 l.ó78. 300 1.896. 300 12,7
158 ESTrRD1STICA ESPAÑOI..A
PREVISIUNFS I)^.L AI
1979 Valur RealLim. lnf.
9t} ^lprevisián Lim. Sup.
90 °h^QI, errur
E 1.001.709 957. ?62 1.004. 320 1.052. 290 0, 3F* * 831.839 894. 897 949. 712 1.006.ó20 l 4,2M** 1.103.217 1,123.5 l0 1.204.330 1.288.730 9,2A 1.322.247 1.224.783* 1.324.449 1.429.092 0,2M 1.232.983 1.209.320 1.318.130 1.432.940 6,9J 1.2b3.485 1, 234.130 1.355 .000 1.483 .100 7, 2J 1.489.292 1.469.4G10 1.b24.270 !.789.090 9,1
• Corr^egido por efecto pascua." Fuera de los intervalos de confianza dtl 90 por IUO.
1.5. CONCLUSIONES
En las páginas anteriores se ha procedido al estudio univariante y posteriormente
con AI de la serie PDA. Creemos que puede ser un interesante ejercicio en el que
mostramos, tanto el pc^der del anáJisis univariante sencillo, como las indudables mejoras
que las intervenciones han aportado.
Comu ejemplo de ello veamos el siguiente cuadro:
E rror
estándar
°h Mejorarespecto al anterior
% Mejorarespecto a serie univar.
Modelo un ivariante 4,38
Modeto con 3 intervenciones 3. 92 10,5 10,5
Mudeto finat t3,22) * { 17,9)* t2ó,5) *2,Hó 9,7 57,2
` Sin Back-Forecasting.
Utros aspectos de interés son:
u) Según la evidencia disp^nible, parece que el efecta Pascua solamente genera
pasajeros cuandc^ coincide con el mes de- abril, y en un porcentaje alrededor del 5 por
* Por razones de puhlicac ic5n, no hemos pudido incluir en este artículo todo el material gráfic^de fus, fup grá^cos de residuos. AI lector interesadu le remitimus a la Memoria de Licenciatura delmisma título, Universidad Autónuma de Madrid, Facultad de Ciencias 1~^conómicas (1979), quecontiene toda la informac ión complementaria.
METODC3LOGIA DE BOX-JENKINS A LA FREVISION DEL TRAN5PORTE POR IBER[A iS9
100 sobre lo que sería normal e n esas fec has. Una explicac ián de este hecho seria la de
que las expectativas de buen tiempo, dias más largos, etc., pueden ser factores que
refuercen el deseo de viajar, facilitado, en este caso, pc^r la presencia de vacaciones.
Además, hay que tener en cuenta que aunque la Pascua sea en rnarzo, como suele
coincidir con la última semana del mes, los vuelos de regreso se realizarán, normal-
mente, en el mes de abril, por lo que el efecto Pascua marzo se disuelve entre ambos
meses, dificultando la medición del mismo.
Debido a este problema de medida, hemos optado por considerar significativo
solamente el efecto Pascua abril, aunque teniendo presente el hecho de que Pascua
marzo puede, en determinadas circunstancias, ser tomado en consideración.
b) Los efectos de huelgas, catástrofes, etc., son perfectamente detectables y rnedi-
bles, como lo demuestra el trabajo realizado.
c•) Resulta interesante comprobar el efecto de cambio de nivel que supuso para
Iberia la adquisicián de los DC-8, ya que sería esp^erable que hechos como la puesta en
servicio de los Jumba o el puente aéreo Madrid-Barcelona produjesen efectos simila-
res; sin embargo, nosotros no hemos captado esos supuestos efectos, en el caso de que
hayan existido.
d} El modelo final escogido nos muestra con claridad la evolucián ciclica del
número de pasajeros transportados en unos períodos relativamente amplios (cinco años)
si los comparamos con otros más comunes en series españolas.
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SUMMAR^
This paper aims to study the series of Iberia transported passengers,
with the aid of monthly information from January I9ó8 to December 1978
and applying the first two analysis levels of the Box-Jenkins method. The
Intervention Analysis is used to achieve the univariate analysis as well as
the study and modelization of the most important anornalies. Finally, the
selected models give rise to forecastings while comparing them with actual
observations.
Key words: Time-series; Box Jenkins models; forecasting.
AMS, 1970. Subjeet classification: 90A20.