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Manolakis & Ingle Fig2.1
Seal discreta, x[n], secuencia de nmeros definida para cada valor de la variable
entera n
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Manolakis & Ingle Fig2.2
Potencia y Energa
Las seales de soporte finito tienen energa finita y
potencia (energa promedio) nula.
Secuencias elementales
Delta de Kroneker Cajn unitario
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Manolakis & Ingle Fig2.2
Potencia y Energa
Las seales de soporte finito tienen energa finita y
potencia (energa promedio) nula.
Secuencias elementales
Delta de Kroneker Escaln unitario
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Manolakis & Ingle Fig2.3
Secuencias elementales
Sinusoide real
Exponencial real
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Secuencias elementales
Si las variables A y a son complejas
tenemos
Secuencias peridicas
Inversin temporal (plegado)
y[n]=x[-n]
Desplazamiento temporal
y[n]=x[n-no]
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Manolakis & Ingle Fig2.4
Las operaciones de plegado y desplazamiento NO son conmutativas
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Manolakis & Ingle Fig2.5
Sistemas de Tiempo Discreto
Causalidad
Un sistema es causal si el valor actual de la salida no depende de valores
futuros de la entrada.
Estabilidad
Un sistema es estable en el sentido entrada acotada salida acotada (BIBO)
si para toda entrada acotada a un sistema la salida es acotada
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Linealidad
Un sistema es lineal si y solo si para cualquier constante a1, a2 y para
Toda seal x1[n], x2[n] se cumple el principio de superposicin para todo n
Invarianza en el tiempo
Un sistema se denomina invariante en el tiempo si la misma entrada aplicadaen instantes distintos da por resultado la misma salida, pero desplazada
acordemente en el tiempo
Ejemplo
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Resumen de propiedades
Nos restringiremos al estudio de sistemas LIT, que pueden representarse
en funcin de la respuesta a una funcin simple: el impulso
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Manolakis & Ingle Fig2.6
Diagramas en bloques
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Descomposicin de una seal en impulsos
Si llamamos a la respuesta del sistema al impulso tenemos,
por aplicacin de la prop. de linealidad, que
Si adems el sistema es invariante en el tiempo
Por lo que resulta
Que es conocida como sumatoria de convolucin
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Interpretacin grfica de la convolucin
La sumatoria es en la variable k, por lo que n es solo un parmetro.
Graficar x[k] en una grfica con eje de abcisas k
Para graficar h[n-k] primero reflejamos h[k] y definimos la func reflejada
Desplazando g[k] en n muestras tenemos
Luego para n positivos tenemos desplazamientos de g[k] a la derecha y para
n negativos hacia la izquierda
Finalmente multiplicamos x[k] y h[n-k] y sumamos todos los valores de esta
nueva funcin.
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Manolakis & Ingle Fig2.12
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Manolakis & Ingle Fig2.13
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Manolakis & Ingle Fig2.14
La convolucin como una superposicin de rplicas escaladas y desplazadas
En el caso de tener un nmero finito de coeficientes (FIR) la implementacin
puede hacerse asi
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Manolakis & Ingle Fig2.15
Propiedades de la convolucin
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Causalidad y Estabilidad de un SLIT
Un SLIT es causal si su respuesta al impulso satisface
Un SLIT es estable si su respuesta al impulso satisface
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Convolucin de secuencias peridicas
Consideremos que x[n] es peridica, luego reemplazando n por n+M tenemos
Dado que x[n+N-k]=x[n-k] tenemos que y[n+N]=y[n], es decir que la salida es
tambin peridica.
Si en cambio consideramos que h[n] es peridica, el sistema ser inestable.Pero si x[n] es abs sumable por el resultado anterior y la propiedad de
conmutacin la salida ser tambin peridica.
Si tanto x[n] como h[n] son peridicas la convolucin no puede ser finita.
Sin embargo, si los perodos de ambas, digamos L y N, son conmensurables
se puede definir la convolucin sobre un solo perodo. Veremos como tal
convolucin peridica (o circular) ocurre naturalmente ms adelante.
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Respuesta a una exponencial
Consideremos que x[n] es una exponencial
La salida correspondiente a esta entrada est dada por
La cantidad entre parntesis no depende de n y la llamaremos
As la salida de un SLIT excitado por una exponencial es una exponencial
cuya amplitud cambia en funcin del sistema y de a.
En el caso particular en que tenemos y por ende
Al valor se lo conoce como respuesta en frecuencia del sistema
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Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias a coeficientes constantes
Hemos visto que
- todo SLIT est unvocamente caracterizado por su respuesta impulsiva
- la salida est determinada por la sumatoria de convolucin
Existen en la prctica sistemas cuya respuesta impulsiva es infinita (IIR), por lo querealizar la sumatoria de convolucin en tiempo finito se torna imposible en muchos
casos.
Trataremos aqu una subclase de SLIT IIR que son realizables, y donde la salida
y la entrada estn relacionadas por ecuaciones en diferencias a coef. ctes.
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Tomemos por ejemplo un SLIT IIR estable
La salida est dada por
Que implica
Es decir, la salida puede obtenerse en forma recursiva, escalando la salidaprevia y sumando el valor de entrada actual apropiadamente escalado.
(dado que y[n0-1] contiene toda la informacin relevante del pasado necesaria
para obtener la salida en n>n0 se lo denomina estado y provee la memoria
necesaria para separar el pasado del futuro)
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Respuestas de entrada nula y de estado nulo
Al igual que las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en diferencias tiene dos
tipos de soluciones, una homognea (entrada nula) y una forzada (estado nulo).
En el caso particular que estamos tratando tenemos para una entrada causal
Operando resulta
En el caso que la entrada x[n]=0 tenemos la respuesta a entrada nula
En el caso que el estado y[n-1]=0 tenemos la respuesta de estado nulo
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Luego la respuesta total del sistema est dada por dos componentes
Puede apreciarse que esta respuesta coincide con la obtenida por la sumatoria
de convolucin si el estado inicial es cero
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Respuestas de estado estacionario y transitoria
Consideremos una entrada particular x[n]=u[n], la salida del sistema recursivo
est dada por
Si el sistema es estable, |a|
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Sistemas recursivos generales
Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias
El valor N se conoce como el orden del sistema. En caso que N=0 el sistema
se torna no recursivo
Nota: los sistemas no recursivos son FIR, pero hay sistemas FIR que pueden
Implementarse de manera recursiva, como el siguiente ejemplo del promedio
mvil
Puede representarse, luego de algunas manipulaciones, como
Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias
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