INSTITUTO POLITECNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniera y ArquitecturaUnidad Ticomn

MATERIA: Caracterizacin Roca-Fluidos

PROFESOR: Ing. Mendoza de la Cruz Jos Luis

TRABAJO: ANLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIN DE DARCY

Presenta: Cruz Rodrguez Jos JordyBOLETA: 2013390025GRUPO: 2PM4

La teora de flujo laminar y lento a travs de un medio poroso homogneo se basa en un experimento clsico originalmente desarrollado por Darcy (1856). Un diseo esquemtico del experimento se muestra en la siguiente figura. Un filtro homogneo de alturahes limitado por secciones planas de similar rea superficialA.

El filtro es llenado con un lquido incomprensible. Manmetros abiertos son colocados para medir la presin en los puntos inferior y superior del filtro, ofreciendo las alturash1yh2, respectivamente. Por la variacin de las varias cantidades involucradas, Darcy dedujo la siguiente relacin:

(2.2)Donde Q es el volumen total de fluido que atraviesa el filtro por unidad de tiempo [L3T-1] yK[LT-1] es una constante que depende de las propiedades del fluido y del medio poroso. La ecuacin (2.2) es conocida como Ley de Darcy. El smbolo negativo en la expresin para Q indica que el flujo es en la direccin opuesta de presin creciente.La Ley de Darcy puede ser restringida en funcin de la presin p y de la masa especfica del lquido. En el punto superior del filtro (con elevacin z2), la presin esp2 =rg(h2 z2) y en el punto inferior (con elevacin z1), la presin esp1 =rg(h1 z1). Comoz2 z1 =h, aplicando en (2.2) se obtiene:

(2.3)

introduciendo una nueva constanteK =K/g[L3 T M-1] y suponiendoygconstantes,

(2.4)La ley de Darcy en su forma original (2.4) es de utilidad restringida. La primer tarea es elucidar el significado fsico de la constanteK. Esta constante depende tanto de las caractersticas geomtricas del medio poroso cuanto de las propiedades fsicas del fludo en cuestin. Nutting en 1930 y luego Wyckoff en 1933 consideraron que esta constante puede ser escrita como:

(2.5)donde es la viscosidad dinmica del fluido yk[L2] es la permeabilidad especfica del medio poroso. Como la velocidad mediaupuede ser definida como:

(2.6)La ley de Darcy se transforma en:

(2.7)Esta ecuacin puede ser generalizada en la forma diferencial, hacindose quehtienda a cero.

(2.8)

Donde g es el vector en la direccin de la gravedad y con la magnitud de la aceleracin de la gravedad. Cuando los efectos gravitatorios no son relevantes, entonces se llega a la forma de la ecuacin que es utilizada genricamente.

En el caso ms general, el medio puede ser anisotrpico, situacin en que la permeabilidad es una magnitud tensorial (y no escalar como aqu) y estadsticamente no homognea, situacin en que la permeabilidad vara espacialmente.

Dimensiones de la PermeabilidadLa unidad de la permeabilidad es el darcy, en honor a Henry Darcy. En las normas del Instituto Americano del Petrleo (API), la permeabilidad se define como el rgimen de flujo en mililitros por segundo de un fluido de un centipoise de viscosidad que pasa a travs de una seccin de un centmetro cuadrado de roca, bajo un gradiente de presin de una atmsfera (760 milmetros de mercurio), en condiciones de flujo viscoso. Como el darcy es una unidad bastante alta para la mayora de las rocas productoras, la permeabilidad generalmente se expresa en centsimas de darcy, es decir, milidarcys (0,001 darcy).Obviando el signo negativo de la ecuacin 2.14 y despejando la permeabilidad (K) tenemos:

Si realizamos un anlisis dimensional a la ecuacin 2.17 para deducir las dimensiones de la permeabilidad nos queda:

Por lo tanto la permeabilidad tiene unidades de longitud al cuadrado.