ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 1
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.- ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO
4.1.- Efecto de los polos en el comportamiento del sistema.4.2.- Estabilidad.
4.3.- Análisis de la respuesta de un sistema de 1er orden.4.5.- Análisis de la respuesta de un sistema de 2º orden.4.6.- Respuesta en frecuencia.4.7.- Análisis de Comportamientos.
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 2
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.1.- EFECTO DE LOS POLOS EN EL COMPORTAMIENTODEL SISTEMA
Polos reales
Polos imaginarios conjugados
1s p–( )
---------------- {p>0 (Ej: p=3)
1s s 3–( )------------------
p>0 (Ej: p=-3)1
s s 3+( )------------------- 1
3--- 1 e
3t––( )
13--- 1 e
3t+( )
Entrada escalón
circulo virtuoso
realim. negativa
1s jω–( ) s jω+( )
--------------------------------------- (Ej: ω = )1
s s2
9+( )----------------------Entrada escalón { j3+−
19--- 1 3t( )cos–( )
comportamiento oscilario
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 3
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Polos complejos conjugados
1s p– jω–( ) s p– jω+( )
---------------------------------------------------------
(Ej : )1
s s2
2s– 10+( )------------------------------------
Entrada escalón{1 j3+−p > 0
(Ej: )1
s s2
2s 10+ +( )-------------------------------------1– j3+−p < 0
110------ 1 e
t–3t ϕ+ )( )sin+( )
circulo virtuoso
realim. negativa
110------ 1 e
t3t ϕ+ )( )sin+( )
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 4
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.2.- ESTABILIDAD
4.2.1.- Estabilidad Entrada-Salida (Descripción Externa)
Definición: Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si:
Señal entrada acotada ==> señal salida acotada ESTABILIDAD BIBO
Teorema de estabilidad:
Si G(s) es la función de transferencia de un sistema, ésta seráestable si todos los polos de G(s) están en el semiplano izquierdodel plano complejo
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 5
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.2.2.- Estabilidad Descripción Interna
Definición de Estado de Equilibrio:
Sea la ecuación de estado se denomina estado de equilibrioa la configuración que cumple:
En un sistema L.T.I hay un solo estado de equilibrio si la matriz [A] no es singular
Concepto de equilibrio estable
Se dice que un estado de equilibrio xe es global y asintóticamenteestable, si para un valor de la entrada constante o cero, toda soluciónconverge asintóticamente hacia xe al incrementar indefinidamente la
variable tiempo ( t ).
x· g x f t( ),( )=
x· g xe f t( ),( ) 0 t∀= =
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 6
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Autovalores de la matriz A:
Raíces de la ecuación: det (I·s-A) = 0
Condición de estabilidad sistema lineal
Un estado de equilibrio de un sistema L.T.I es asintóticamenteestable si los autovalores de la matriz A tienen parte realnegativa. (salvo cancelación interna de polos).
Autovalores de la matriz A = Polos del sistema
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 7
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.2.3.- Tipos de respuesta y clasificación de comportamientos.-El comportamiento de un sistema viene dado por las trayectorias de susvariables de estado.
-Las trayectorias seguidas por las salidas de un sistema reciben elnombre de respuesta temporal.
-En algunos casos, es posible dividir la respuesta temporal en dos partes:
-Respuesta estacionaria: Se corresponde con la respuesta del sistemacuando tiende el tiempo tiende a infinito, para sistemas estables:
Representación externa.-Teorema del valor finalRepresentación interna.-Punto de Equilibrio
-Respuesta transitoria: Se corresponde con la respuesta del sistemadesde que se aplica una señal hasta que alcanza un valor próximo a larespuesta estacionaria.
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 8
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Los comportamientos suelen clasificarse en:
Oscilatorio: La evolución de las variables de estado y la respuestatemporal consisten en oscilaciones que no decrecen con el tiempo,Ejemplo: el movimiento de un muelle sin fricción.
Subamortiguado: La evolución de las magnitudes fundamentales delsistema realizan una serie de oscilaciones de amplitud decrecienteantes de alcanzar el estado estacionario. Ejemplo: muelle conamortiguación.
Sobreamortiguado: Se alcanza el régimen estacionario sinoscilaciones.
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 9
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.2.4.- Esquema general de actuación- Diagrama causal ==> Identificación de estructuras.
-Ecuaciones diferenciales:* Función de transferencia.* Modelo de estado.
- Tipos de polos ==>¿estable inestable?
- Respuesta transitoria, Respuesta estacionaria ==>tipos de polos
- Simulación ==> respuesta temporal para la entrada deseada.
-¿Coinciden las predicciones con lo obtenido?
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 10
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.3.- Análisis de la respuesta de un sistema de 1er orden.
L Pu0 t( )[ ]Ps---=
Si a < 0 (polo real positivo, equilibrio inestable):
dxdt------ ax+ f t( )= P
Ecuación diferencial f t( ) Pu0 t( )=X s( )F s( )----------- 1
s a+( )----------------=
dxdt------ a– x f t( )+=
{Función de Transferencia
Modelo de estado
Respuesta a la señal escalón
xe
Pa---=
dxdt------ x– 1–=Ej.- xe 1= (Si x(0) > xe círculo virtuoso; si x(0) < xe círculo vicioso)
x(0)= 1.1
x(0)= 0.9
x(0)= 1
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 11
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
x t( ) L1– P
s s a+( )------------------- P
a--- 1 e
at––( ) 1 e
t––( )====
Si a>0 (polo real negativo, equilibrio estable): xe
Pa--- τ P⋅= =
Teorema valor final: x ∞( ) s Ps s a+( )-------------------
s 0→lim P
a--- xe===
Respuesta forzada:
x t( ) L1– x 0( )
s a+( )---------------- x 0( )e
t–==Respuesta Libre:
Ej.- dxdt------ x+ 1= xe 1= (Cualquiera que se el valor de x(0) la salida tiende a xe)
x τ( ) Xe 1 e1–
–[ ] Xe 0 63,⋅ 23---Xe≅
==
Si x(0)
τ 1a---=
Constante de tiempo
x τ 2
3---xe=
x τ( )23---=
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 12
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er Orden
Condiciones Iniciales: x(0)
Punto de equilibrio
tddx
A x⋅ B f⋅+=
xe
B f⋅A
---------–=f cte=
tddx
x
Punto de equilibrio
x(0)x(0)
tddx
x
Punto de equilibrio
x(0)
x(0)
Equilibrio Estable A < 0 Equilibrio Inestable A > 0
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 13
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.4.- Análisis de la respuesta de un sistema de 2o orden.
Ecuación diferencial
{Función de Transferencia
Modelo de estado
a 2ξωn=
d2x
dt-------- adx
dt------ bx bf t( )=+ +
b ωn2
=
d2x
dt-------- 2ξωn
dxdt------ ωn
2x ωn
2xf t( )=+ +
ωn2
s2
2ξωns ωn2
+ +-----------------------------------------
x·1
x·2
0 1
ω– n2
2– ξωn
x1
x2
0
ωn2
f t( )+=
Ecuación característica
s2
2ξωns ωn2
0=+ + x1E
f ωn2⋅
ωn2
------------- f= =x2E 0=
Punto de Equilibrio
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 14
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Típicos sistemas de 2º orden
ViV0------
1LC-------
s2 R
L---s
1LC-------+ +
--------------------------------=ωn2 1
LC-------=2ξωn
RL---=
vi(t)V. Entrada V. SalidaR L
C
v0(t)
L Cd
2v0
dt-----------⋅ R C
dv0dt
--------⋅ ⋅ v0 vi=+ +
d2v0
dt----------- R
L---
dv0
dt--------⋅ 1
LC------- v0⋅ 1
LC------- v⋅
i=+ +
mf(t) x(t)
kµ
V. Entrada V. Salida
md2y
dt-------- µ
m----dy
dt------ ky f t( )=+ +
d2y
dt-------- µ
m----dy
dt------ k
m----x
fm----=+ +
f f2 k⋅=
f2fk--=
d2y
dt-------- µ
m----dy
dt------ k
m----y k
m----f2=+ +
ωn2 K
m----= 2ξωn
µm----=
X s( )F s( )-----------
km----
s2 µ
m----s
km----+ +
-----------------------------=
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 15
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Respuesta a la señal escalón
x t( ) L1– ωn
2
s2
2ζωns ωn2
+ +( )s-----------------------------------------------=
t
2
dd x
2ζωt∂
∂x ωn2
+ + ωn2
u t( )•=
x t( ) L1– ωn
2
s a+( ) s b+( )s------------------------------------
ωn2
ab------- 1 1
a b–------------ be
at–ae
bt––( )+= =
s2
2ξωns ωn2
0=+ +
Ecuación característica
a) Dos polos reales: Sobreamortiguado
b) Un polo real doble: Críticamente amortiguado ζ 1=
x t( ) L1– ωn
2
s ωn+( )2
s------------------------- 1 e
ωnt–– ωte
ωnt––= =
ζ 1>
x t( ) 1 eζωnt–
1 ζ2
–
------------------- ωn 1 ζ2
– t ϕ+sin– ;= ϕ 1 ζ
2–ζ
-------------------atan=
ζ 1<c) Dos polos complejos conjugados: Subamortiguado
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 16
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
x t( ) L1– ωn
2
s s2 ωn
2+( )
------------------------- 1 t ω⋅ n( )cos–= =
El sistema oscila con una frecuencia ωn
ωn Frecuencia natural de oscilación⇒
ζ 0=c) Dos polos imaginario conjugados: Oscilatorio
La pate real de los polos es igual a cero, se dice que el sistema es Marginalmente Estable
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 17
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
ESPECIFICAIONES TEMPORALES SISTEMA SUBAMORTIGUADO
Ts π φ–ωd
------------ φ; 1 ζ2
–ζ
-------------------… ωd;atan ωn 1 ζ2
–= = =
M e
πφtan
-------------–=
Tp
πωd-------=
Tiempo de subida
Sobreimpulso máximo
Tiempo de pico
te53
ζωn----------≅
te24
ζωn----------≅
Tiempo de establecimiento: al 5% al 2%
Tiempo de establecimiento Critic. Amortiguado: al 5% al 2%te54 74,ωn
------------≅ te2
5 83,ωn
------------≅
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 18
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Puntos de Equilibrio en sistemas lineales de 2º Orden
Condiciones Iniciales:
x· A x⋅ B U⋅+=
x 0( ) x· 0( ),
x·
x
Condiciones Iniciales
x(0)
x· 0( )
Trayectoriaen el Espacio de Estados
x
t
x 0( )
x·
t
x· 0( )
Respuesta Temporal
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 19
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Puntos de Equilibrio Estable en sistemas lineales de 2º Orden
jw
σ
Dos Polos Reales
jw
σ
Polos Complejos Conjugados
jw
σ
Polos Imaginarios Conjugados
Punto de Equilibrio: Configurción de Centro
Negativos
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 20
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Puntos de Equilibrio Inestable en sistemas de 2º Orden
jw
σ
Polo Real Positivo
jw
σ
Polos Complejos Conjugados
Dos Polos RealesPositivosPolo Real Negativo
inestable
jw
σ
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 21
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Teorema del valor final
En el caso de estudiar sistemas estables, el valor de la salida en estado deequilibrio debe coincidir con el valor estacionario obtenido medianteun modelo externo.Para obtener el valor estacionario se aplica el Teorema del Valor Final:
Ejemplo: Valor estacionario cuando se aplica la entrada escalón unitaria al sistema:
f t( )t ∞→
lim s F s( )⋅s 0→lim=
7
s2
2s 3+ +---------------------------
x·1
x·2
0 1
3– 2–
x1
x2
0
7f t( )+= x1e
f 7⋅3
--------- 73---= = x2e 0=
x ∞( ) s 7
s s2
2s 3+ +
---------------------------------⋅s 0→lim 7
3---= =
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 22
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.5.- Respuesta en frecuencia
X s( ) G s( ) F s( )⋅=
G s( )F s( ) X s( )
Se puede demostrar que si f(t) se de la forma:
x(t) es de la forma:
f t( ) P ω t⋅( )sin⋅=
x t( ) xt t( ) xe t( )+=
con xe(t) en la forma: xe t( ) P G j ω⋅( ) ω t ϕ+⋅( )sin⋅ ⋅=
Respuesta transitoria
Respuesta estacionaria
ϕ Imag G j ω⋅( )( )Real G j ω⋅( )( )--------------------------------------------atan=Con
G j ω⋅( ) Sustitución de s por jω en G(s)
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 23
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Representación de la respuesta en Frecuencia: Diagrama de Bode, Diagrama Polar
arg(G(jw))
|G(jw)|
w=0w=inf
G jw( )1
jw( )2
2 jw( ) 2+⋅+------------------------------------------------=
Se representa en el plano complejo el valor de G(jw) para cada frecuencia w
Se representa: - El valor del módulo de G(jw), expresado en db, frente al valor de la frecuencia - El valor de la fase de G(jw) frente al valor de la frecuencia
G jw( )3
jw( )2
jw( ) 9.5+( )+--------------------------------------------------=
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 24
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
4.6.- ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTOS
Sistemas LinealesComportamiento Estable 8Punto de Equilibrio estable 8Estructura de relimentación negativa
Comportamiento Oscilatorio8Equilibrio Configuración de centro8Relimentación negativa: *Polos imaginarios puros
Comportamiento Inestable 8Punto de Equilibrio Inestable 8Estructura de relimentación positiva: *Círculos Viciosos*Círculos Virtuosos
D
T
+
_+
TR
P+
D
X
++
F+ D
X
_
_
F_
C_
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 25
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Sistemas No LinealesComportamientos más complejos:
*Más de un punto de equilibrio*Alternancia de bucles de realimentación positiva y negativa
Ecuación Logística:
Otros Modelos: Despensación Críticatd
dx N M0 x0+–( ) x⋅– x2–=
Nacimientos
+
+Muertes+
_Población
Contagios
+
+Población Sana
+
_
Población Enferma
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 26
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er Orden No Lineales
Condiciones Iniciales: x(0)Pueden existir más de un punto de equilibrio
tddx
f x( )=
tddx
x
Punto de equilibrio estable
Punto de equilibrio inestable
Ejemplo:
tddx
B A+ x x2
–⋅=
x
tddx
Linealización en torno al equilibrio
ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 27
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva