Download - Algunos aspectos de estabilidad
Ejemplo: Sistema masa-resorte
Ley de Newton de movimiento
fuerza = masa*aceleración
Ecuación de segundo orden, un grado de libertad, diferencial lineal
con coeficientes constantes:
donde:m: Masa del bloqueb: Coeficiente de fricciónk: Rigidez del resorte
Ejemplo: Sistema masa-resorte (I)
Representación en el espacio de estados
Se definen los estados:
Resulta:
En forma matricial:
Ejemplo: Linealización por realimentación
Ecuación de orden n, un grado de libertad
Vector de estados:
Se redefine el vector de estados:
Vector de estados:
Ejemplo: Ecuación de error
Ecuación de error
Representación en el espacio de estados
Se definen los estados:
Resulta:
En forma matricial:
Ejemplo: Modelo de referencia
Linealización por realimentación
Ley de control
vdt
xdn
n
=)(
ekekekdt
xdv n
nn
nd
011
1 ...)( ++++= −
− 0... 011
1 =++++ −− ekekeke nn
n
Modelo de referencia yde −=
Sistemas de segundo ordenSistema masa-resorte
Función de transferencia
Ecuación característica
Transformada de Laplace
Sistemas de segundo orden (II)Respuesta del sistema en lazo abierto
u=0
function xt = bloque_resp(t,x)m=2; % masak=2.5; % resorte%b=10*sqrt(4*m*k); % Respuesta sobreamortiguada%b=0.1*sqrt(4*m*k); % respuesta subamortiguadab=sqrt(4*m*k); % Respuesta críticamente amortiguada xt = [x(2); (-b/m)*x(2) - k/m*x(1)]; % Resuelve la ecuación diferencial>>[t,x] = ode45('bloque_resp',[0 50],[1; 0]);>>plot(t,x(:,1))
Sistemas de segundo orden (V)Respuesta críticamente amortiguada
Generalmentemás deseadaen sistemas
de control
Sistemas de segundo orden (VI)
Sistema masa-resorteError de seguimiento de
modelo de referencia
001 =++ ekeke
Ecuación característica:
0012 =++ ksks
Ecuación característica:
Solución: Solución:
2
4
20
211
2,1
kkks
−±−=
Respuesta críticamente amortiguada 4
21
0
kk = 61 =k 096 =++ eee
Sistemas de segundo orden (VII)
096 =++ eee
Representación en el espacio de estados
Error de seguimiento
function et = bloque_resp(t,e)k1=6;k2=9; et = [e(2); -6*e(2) - 9*e(1)];% Resuelve la ecuación diferencial>>[t,e] = ode45('bloque_resp',[0 50],[1; 0]);>>plot(t,e(:,1))
Estabilidad basada en Lyapunov
El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio
Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo
8)()(
)( xxfx
xVxV −=
∂∂=
Estabilidad basada en Lyapunov (I)Ejemplo
5xx −=
Función candidata 425.0)( xxV =
El sistema es estable en el punto de equilibrio5xx −= 0=x
Estabilidad basada en Lyapunov (II)Sistemas lineales
Si para una matriz definida positiva:
Existe una matriz definida positiva:
Que es solución a la siguiente ecuación:
Entonces para una función candidata de Lyapunov:
Su diferencial cumple:
Teorema de KrasovskiiSistema no lineal
Puede representarse por:
Jacobiano:
La función candidata de Lyapunov se define en términos de f(x) y no de x
Si resulta definida negativa:
Una función candidata de Lypunov es:
Si, adicionalmente, se cumple:
El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio
Estabilidad basada en Lyapunov (IV)Ecuación de error
Se define la matriz Q (definida positiva):
Por ejemplo:
Debe encontrarse la matriz P definida positiva solución de:
>> P=lyap([0 1;-9 -6]',[1 0;0 1])P = 1.1667 0.0556 0.0556 0.0926>> eig(P) 0.0897 1.1695
Como existe la matriz P definida positiva, el sistema es global y asintóticamente estable en el punto cero de equilibrio
Estabilidad basada en Lyapunov (V)Sistema masa-resorte
Se desea diseñar un controlador estable de la forma:
Sistema equivalente en lazo cerrado:
Se supone la matriz A:
Respuesta críticamente amortiguada 4
21
0
kk =¿Otra opción?
Estabilidad basada en Lyapunov (VI)Sistema masa-resorte
Se define la matriz Q (definida positiva):
>> P=lyap([0 1;-4 -5]',[1 0;0 1])P = 1.1250 0.1250 0.1250 0.1250>> eig(P) 0.1096 1.1404
Solución de matriz P definida positiva:
Coeficientes del controlador solución de: