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Algunas Propiedades del espectro Primo de lasMV-algebras
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
MAESTRIA EN ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ
Director : PhD. YURI ALEXANDER POVEDA QUINONES
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Algunas Propiedades del espectro Primo de lasMV-algebras
MV-algebras
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Algunas Propiedades del espectro Primo de lasMV-algebras
MV-algebras
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MV-algebra
Las MV-algebras son las algebras dela logica difusa
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo
([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y)
= max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y)
= max(0, x − y)
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MV-algebra
Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)
Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :
x ⊕ y = min (1, x + y)
¬x = 1− x .
x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)
x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)
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MV-algebra
Existe una relacion orden parcial definida porx ≤ y ⇔ ∃ z , x ⊕ z = y ,
se sigue quex ≤ y ⇔ x y = 0
0 es mınimo1 es maximo
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APORTES
1 Anillos Conmutativos Vs
MV-algebras
2 Ideales primos de la MV-algebra
libre free2.
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APORTES
1 Anillos Conmutativos Vs
MV-algebras
2 Ideales primos de la MV-algebra
libre free2.
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APORTES
3 Demostracion conjuntista de la
compacidad del espectro co-primo
de las MV-algebras.
4 Presentacion novedosa de los
conceptos basicos
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APORTES
3 Demostracion conjuntista de la
compacidad del espectro co-primo
de las MV-algebras.
4 Presentacion novedosa de los
conceptos basicos
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
IDEALES
Anillos
1 a, b ∈ I , entonces a− b ∈ I
2 Si a ∈ I , x ∈ A, entoncesa.x ∈ I
MV-algebras
1 Si x ∈ I , y ∈ A, y ≤ x ,entonces y ∈ I
2 Si x ∈ I , y ∈ I , entoncesx ⊕ y ∈ I
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
IDEALES
Anillos
1 a, b ∈ I , entonces a− b ∈ I
2 Si a ∈ I , x ∈ A, entoncesa.x ∈ I
MV-algebras
1 Si x ∈ I , y ∈ A, y ≤ x ,entonces y ∈ I
2 Si x ∈ I , y ∈ I , entoncesx ⊕ y ∈ I
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
IDEAL PRIMO
Anillos
x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .
MV-algebras
P.1 Para cada x , y ∈ A, (x y) ∈ P o (y x) ∈ P
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
IDEAL PRIMO
Anillos
x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .
MV-algebras
P.1 Para cada x , y ∈ A, (x y) ∈ P o (y x) ∈ P
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
IDEAL PRIMO
Anillos
x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .
MV-algebras
P.1 Para cada x , y ∈ A, (x y) ∈ P o (y x) ∈ P
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec(A)
AnillosBase de abiertos
a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}
a ∈ A
MV-algebras
Base de abiertos
Wa = {P ∈ Spec(A), a ∈ P}
a ∈ A
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec(A)
AnillosBase de abiertos
a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}
a ∈ A
MV-algebras
Base de abiertos
Wa = {P ∈ Spec(A), a ∈ P}
a ∈ A
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec(A)
AnillosBase de abiertos
a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}
a ∈ A
MV-algebras
Base de abiertos
Wa = {P ∈ Spec(A), a ∈ P}
a ∈ A
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec (A) es un espacio topologico T0
Dado f : A→ B un homomorfimo, entonces
f ! : Spec(B)→ Spec(A)
es una funcıon continua.
Spec(A) es compacto
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec (A) es un espacio topologico T0
Dado f : A→ B un homomorfimo, entonces
f ! : Spec(B)→ Spec(A)
es una funcıon continua.
Spec(A) es compacto
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Spec (A) es un espacio topologico T0
Dado f : A→ B un homomorfimo, entonces
f ! : Spec(B)→ Spec(A)
es una funcıon continua.
Spec(A) es compacto
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Las siguientes condiciones son equivalentes:
1 Todo ideal primo de A es maximal.
2 Spec(A) es T2
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Las siguientes condiciones son equivalentes:
1 Todo ideal primo de A es maximal.
2 Spec(A) es T2
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Dado f : A→ B es un morfismo , entonces :
Anillos
f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c
MV-algebras
f !Spec(B) =⋂
a∈Ker(f )
Wa
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Dado f : A→ B es un morfismo , entonces :
Anillos
f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c
MV-algebras
f !Spec(B) =⋂
a∈Ker(f )
Wa
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Dado f : A→ B es un morfismo , entonces :
Anillos
f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c
MV-algebras
f !Spec(B) =⋂
a∈Ker(f )
Wa
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Dado f : A→ B es un morfismo , entonces :
f !(Spec)(B) = Spec(A),
En anillos se cumple si y solo si Ker(f ) ⊆ rad(A)
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Recordemos:
En la categorıa de espacios compactos Hausdorff sif : X → Y , es una funcion continua tal quef (X ) = Y , entonces f es un epimorfismo
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
Dados A, B ∈M, y f : A→ B un morfismo
f ! : Spec(B)→ Spec(A)
es un epimorfismo en la categorıa de espacioscompactos Hausdorff.
* En anillos se debe cumplir ker(f ) ⊆ rad(A)
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras
F : MVM // COMP
A� //
f
��
Spec(A)g !
&&LLLLLLLLLL
C
g
;;vvvvvvvvvvv
f ◦g##H
HH
HH
H Spec(C )
B� // Spec(B)
f !
OO
g !◦f !
88rr
rr
r
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebras libres
freen
≈
##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn
γ
��
⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}
Mcn
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Funciones de McNaughton
f : [0, 1]n → [0, 1] es de McNaughton en n variables (Mcn ) sobre [0, 1]n siy solo si f es continua y existen polinomios lineales p1, ...pk concoeficientes enteros,
pi (x0, ..., xn−1) = bi + mi0x0 + ...mi(n−1)xn−1, (bi ,mit ∈)...
0
1y
x1
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Funciones de McNaughton
f : [0, 1]n → [0, 1] es de McNaughton en n variables (Mcn ) sobre [0, 1]n siy solo si f es continua y existen polinomios lineales p1, ...pk concoeficientes enteros,
pi (x0, ..., xn−1) = bi + mi0x0 + ...mi(n−1)xn−1, (bi ,mit ∈)...
0
1y
x1
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebra free2
f : [0, 1]2 −→ [0, 1]
Figura: free2
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
MV-algebra free2
f : [0, 1]2 −→ [0, 1]
Figura: free2
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Ideales Primos de free1
El ideal I{x0} = {f (x) ∈ free1 : f (x0) = 0, x0 ∈ [0, 1]} es maximal.
0
1
y
xx0 1
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free1
Ideales Primos no maximal de free1
Todo ideal primo no maximal de free1 es de la forma:
0
1
y
xx0 x0 + ε 1
Ix+0
= {f ∈ free1 : f (x) = 0 ∀x ∈ [x0, x0 + ε]}
0
1
y
xx0x0 − ε 1
Ix−0
= {f ∈ free1 : f (x) = 0 ∀x ∈ [x0 − ε, x0]}
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free1
Ideales Primos no maximal de free1
f (x0) = g(x0), ∀x0 ∈ [x, ε]
x ε
f
g
f (x0) < g(x0), ∀x0 ∈ [x, ε]
x ε
f
g
g(x0) < f (x0), ∀x0 ∈ [x, ε]
x ε
f
g
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
I{P} = {f (x , y) ∈ free2 : f (P) = 0} es maximal, para todoP ∈ [0, 1]2
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Los ideales del conjunto de funciones que se anulan en dos puntosfijos no son primos.
I{( 13, 1
3),( 2
3, 2
3)} = {f (x , y) ∈ free2}
∣∣f ( 13, 1
3) = 0,∧, f ( 2
3, 2
3) = 0
}no es un ideal primo.
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
1-simplex
Il(P,S)={
f ∈ free2|f (PQ) = 0 para alg un PQ ∈ l(P, S) que depende de f}
es ideal primo no maximal, donde
l(P, S) ={
PQ∣∣∣Q ∈ PS, P 6= Q
}JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
1-simplex
P
Q
S
S0
l(P, S)
P
Q
S0
Sl(P, S)
Q PS0S
l(P, S)
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
2-simplex1) Si P es un punto racional, rect(P, S) racional:
I∆A(P,S) = {f ∈ free2 |f (∆PQR) = 0 para alg un ∆PQR ∈ ∆A(P, S) que depende de f }
es un ideal primo no maximal, donde
∆A(P, S) ={
∆PQR| R ∈ A◦, PQ ⊆ PS, P 6= Q}
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
2-simplex1) Si P es un punto racional, rect(P, S) racional:
P
Q R
A
S
S0∆A(P, S)
P
QR
A
S
S0∆A(P, S)
PQ
R
A
S S0
∆A(P,S)
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
2) Si P es un punto racional, rect(P, S) no racional:
I∆(P,S) = {f ∈ free2 |f (∆PQR) = 0 para alg un ∆PQR ∈ ∆(P, S) que depende de f }
es un ideal primo no maximal, donde
∆(P, S) ={
∆PQR| Q ∈ A◦, R ∈ (A)c , PS ∩ ∆PQR 6= P}
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
2) Si P es un punto racional, rect(P, S) no racional:
P
Q R
(A)c
A
S
S0
∆(P, S)
P
QR
(A)cA
S0
S
∆(P, S)
En este caso no existe ningun plano de McNaughton que se anule exactamentesobre la lınea no-racional rect(P, S)
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
3) Si P es un punto no racional, rect(P, S) racional:
I∆A(P) = {f ∈ free2 |f (∆TQR) = 0 para alg un ∆TQR ∈ ∆A(P) que depende de f }
es un ideal primo no maximal, donde
∆A(P) ={
∆TQR| R ∈ A◦,TQ ⊆ rect(P, S), P ∈ TQ}
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
3) Si P es un punto no racional, rect(P, S) racional:
T
P
Q R
A
S
S0
∆A(P)
T
P
QR
A
S
S0
∆A(P)
Q P T
R
A
S S0
∆A(P)
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
4) Si no existen lineas racionales que cruzan por P, decir P es un punto noracional, rect(P, S) no racional:
I∆S (P) ={f ∈ free2 |f (∆PTQR) = 0 para alg un ∆PTQR ∈ ∆(P) que depende de f }
es un ideal maximal, donde:
∆(P) ={
∆PTQR|P ∈ (∆TQR)◦,T ∈ A◦, R ∈ (A)c ,Q ⊆ PS
}JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
4) Si no existen lineas racionales que cruzan por P, decir P es unpunto no racional, rect(P, S) no racional:
Q
P
TR
(A)c
A
S0
S∆(P)
Q
T
P
R
(A)cA
S
S0∆(P)
Si dado P un punto no racional tal que existe rect(P, S) racional, I∆S (P) no es primo.
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
TEOREMA
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Ideales Primos de free2
Los unicos ideales primos no maximales de free2 son de la forma I∆con ∆ un 1-simplex o un 2-simplex.
X
Q
S
S0Il(X ,S)
X
Q R
A
S
S0I∆A(X ,S)
X
Q R
(A)c
A
S
S0I∆(X ,S)
T
XQ R
A
S
S0I∆A(X )
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Los unicos ideales primos no maximales de free2 son de la forma I∆con ∆ un 1-simplex o un 2-simplex.
X
Q
S
S0Il(X ,S)
X
Q R
A
S
S0I∆A(X ,S)
X
Q R
(A)c
A
S
S0I∆(X ,S)
T
XQ R
A
S
S0I∆A(X )
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Los unicos ideales primos no maximales de free2 son de la forma I∆con ∆ un 1-simplex o un 2-simplex.
X
Q
S
S0Il(X ,S)
X
Q R
A
S
S0I∆A(X ,S)
X
Q R
(A)c
A
S
S0I∆(X ,S)
T
XQ R
A
S
S0I∆A(X )
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Los unicos ideales primos no maximales de free2 son de la forma I∆con ∆ un 1-simplex o un 2-simplex.
X
Q
S
S0Il(X ,S)
X
Q R
A
S
S0I∆A(X ,S)
X
Q R
(A)c
A
S
S0I∆(X ,S)
T
XQ R
A
S
S0I∆A(X )
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Ideales Primos de free2
Dado I un ideal primo definimos,
I = {f ∈ I |Zf es un simplex}
entonces < I >= I
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Ideales Primos de free2
Demostracion
Sea I primo no maximal, I ⊂ IX , y no existe f ∈ I tal que Zf es un0-simplex.
Supongamos X ∈ [0, 1]2 ∩Q2
Si existe g ∈ I y Zg es un 1-simplex entonces g ∈ Il(X ,S) yI = Il(X ,S)
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Ideales Primos de free2
I = Il(X ,S)
⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)
X
gh
Q
S
S0
Zg⊕h = {X}
⊇)f ∈ Il(X ,S)
X
fg
Q
S
S0
Zg ⊆ Zf , f ∈< g >, f ∈ I
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Ideales Primos de free2
I = Il(X ,S)
⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)
X
gh
Q
S
S0
Zg⊕h = {X}
⊇)f ∈ Il(X ,S)
X
fg
Q
S
S0
Zg ⊆ Zf , f ∈< g >, f ∈ I
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Ideales Primos de free2
I = Il(X ,S)
⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)
X
gh
Q
S
S0
Zg⊕h = {X}
⊇)f ∈ Il(X ,S),Zf ⊆ Zg
X
gf
Q
S
S0
Zq = Zg − Zf , Zf∧q = Zg , f ∧ q ∈ I
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Ideales Primos de free2
Si no existe g ∈ I tal que Zg es un
1-simplex entonces existe g ∈ I , tal que
Zg es un 2-simplex.
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Ideales Primos de free2
Si no existe g ∈ I tal que Zg es un
1-simplex entonces existe g ∈ I , tal que
Zg es un 2-simplex.
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Ideales Primos de free2
Construccion de l = XS
Consideremos los 2-simplex con extremo racional A,B,C ,D :
gA ∧ gB ∧ gC ∧ gD
= [0, 1]2, alguno esta enI , ya que I es primo, supongamos g
D∈ I .
Dividamos D en D1 y D2.
0
1
D
C
B
AX
1
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Ideales Primos de free2
Construccion de l = XS
Consideremos los 2-simplex con extremo racional A,B,C ,D :
gA ∧ gB ∧ gC ∧ gD
= [0, 1]2, alguno esta enI , ya que I es primo, supongamos g
D∈ I .
Dividamos D en D1 y D2.
0
1
D
C
B
AX
1
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
Construccion de l = XS
Consideremos los 2-simplex con extremo racional A,B,C ,D :
gA ∧ gB ∧ gC ∧ gD
= [0, 1]2, alguno esta enI , ya que I es primo, supongamos g
D∈ I .
Dividamos D en D1 y D2.
0
1
D
C
B
AX
1
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Ideales Primos de free2
0
1D1D2
X
1
0
1 D3 D4
X
1 0
1 D5 D6
X
1
Obtenemos una sucesion de 2-simplex con un vertice en X , tal que
D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...
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Ideales Primos de free2
0
1D1D2
X
1 0
1 D3 D4
X
1
0
1 D5 D6
X
1
Obtenemos una sucesion de 2-simplex con un vertice en X , tal que
D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras
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Ideales Primos de free2
0
1D1D2
X
1 0
1 D3 D4
X
1 0
1 D5 D6
X
1
Obtenemos una sucesion de 2-simplex con un vertice en X , tal que
D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...
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Ideales Primos de free2
0
1D1D2
X
1 0
1 D3 D4
X
1 0
1 D5 D6
X
1
Obtenemos una sucesion de 2-simplex con un vertice en X , tal que
D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...
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Ideales Primos de free2
Por el teorema de encaje de Cantor existe un segmento
XS =⋂
ZgDi
0
1
y
x
X
S
1
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Ideales Primos de free2
Si l = XS es racional:
I = I∆A(X ,S)
⊇ f ∈ I∆A(X ,S)
Zf = ∆PQX
X
P
Q
B
D
C
A
S
S0
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Ideales Primos de free2
Si l = XS es racional:
I = I∆A(X ,S)
⊇ f ∈ I∆A(X ,S)
Zg = ∆DEX = DZg1 = ∆DSX = C1
Zg2 = ∆ESX = C2
C1 ∩ C2 = XSC1 ∪ C2 = Dg1 ∧ g2 ∈ I
X
PE D
B
D
C
A
S
S0
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Ideales Primos de free2
Si l = XS es racional:
I = I∆A(X ,S)
⊇ f ∈ I∆A(X ,S)
Zf⊕g1 = ∆PRX ∈ ∆A(X ,S)
X
P
QR
D
B
D
C
A
S
S0
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Ideales Primos de free2
Si l = XS es racional:
I = I∆A(X ,S)
⊇ f ∈ I∆A(X ,S)
Zf⊕g1 = ∆PRX ∈ ∆A(X ,S)Zg3 = �(PSDR)Zg3∧(f⊕g1) = C1
g3 ∧ (f ⊕ g1) ∈ Ig3 /∈ I(f ⊕ g1) ∈ If ∈ I ya que ( f ≤ (f ⊕ g1))
X
PR
D
B
D
C
A
S
S0
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Ideales Primos de free2
Si l es no-racional
I = I∆(X ,S)
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Ideales Primos de free2
Si X un punto no racional y XS es una recta racional
I = I∆A(X )
XA B
S
S0gA ∧ gB = 0, gA ∈ I , Zf ⊆ A
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Ideales Primos de free2
Si X un punto no racional y XS es una recta racional
I = I∆A(X )
T
X
QR
A B
S
S0X ∈ Zf , f ∈ I∆A(X )
Q X T
R
f
A
Zh = A− Zf
S S0
Zh∧f = A, h ∧ f ∈ I , f ∈ I
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Ideales Primos de free2
En este trabajo se realizaron demostraciones nuevasy adaptaciones del caso general al caso free2, dandoun enfoque con un mayor componente geometrico ,queda por investigar hasta que punto este enfoquese puede generalizar al caso freen.
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Ideales Primos de free2
En la actualidad se estan encontrando bastantesresultados algebraicos y geometricos dentro de lateorıa de MV-algebras que constituiran parteimportante dentro de las teorıas que se pretendandesarrollar a futuro, este tipo de resultados abren elcamino a una clase de algebras con un grancontenido geometrico que hasta ahora empiezan aestudiarse.
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Ideales Primos de free2
GRACIAS
JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras