Download - Algoritmos y Aplicaciones
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
1/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 1
MTODOS DE SOLUCIN DE ECUACIONES NO LINEALES.
ALGORTMOS GENERICOS
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
2/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 2
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
3/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 3
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
4/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 4
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
5/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 5
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
6/16
JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 6
BIBLIOGRAFIA
R. Burden, J.D. Faires.Analisis Numrico.7 Edicin. Thomson Learning. Mexico. 2002.
S. C. Chapra, R. P. Canale. Mtodos Numricos para Ingenieros.5 Edicin. McGraw-Hill. Mexico.
2006.
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
7/16
PROBLEMAS
eficiencia de la conversin algunas veces se mejora recirculando
una porcin de la corriente del producto, de tal forma que regre-
se a la entrada para un paso adicional a travs del reactor (figura
P8.2). La razn de recirculando se define como
R=
volumen de fluido que regresa a la entrada
volumen que sale del sistema
Suponga que se est procesando una sustancia qumica Apara
generar un productoB. Para el caso en queAforma aBde acuerdo
con una reaccin autocataltica (es decir, en la cual uno de los
productos acta como catalizador o estimulante en la reaccin),
es posible demostrar que una razn ptima de recirculacin
debe satisfacer
ln( )
( ) [ ( )]
1 1
1
1
1 1
+=
+
+
R X
R X
R
R R X
A
A A
dondeXAes la fraccin del reactante Aque se convierte en el
producto B. La razn ptima de recirculacin corresponde a
un reactor de tamao mnimo necesario para alcanzar el nivel
deseado de conversin. Utilice un mtodo numrico para deter-
minar la razn de recirculacin necesaria, de manera que se
minimice el tamao del reactor para una conversin fraccional
deXA=0.95.
8.3 En un proceso de ingeniera qumica el vapor de agua (H2O)
se calienta a temperaturas lo suficientemente altas para que una
porcin significativa del agua se disocie, o se rompa, para formar
oxgeno (O2) e hidrgeno (H2):
H2OH2+12 O2
Si se asume que sta es la nica reaccin que se lleva a cabo, la
fraccin molarxde H2O que se disocia se representa por
Kx
x
p
x
t=+1
2
2 (P8.3)
donde K= la constante de equilibrio de la reacci
presin total de la mezcla. Sipt= 3.5 atm y k= 0.04
el valor dexque satisfaga la ecuacin (P8.3).
8.4 La siguiente ecuacin permite calcular la conce
un qumico en un reactor donde se tiene una mezcla
c= cent(1 e0.04t) + c0e0.04t
Si la concentracin inicial es c0= 5 y la concentraci
da es cent= 12, calcule el tiempo requerido para que c
de cent.
8.5 Una reaccin qumica reversible
2A+BC
se caracteriza por la relacin de equilibrio
Kc
c c
c
a b
=2
donde la nomenclatura cnrepresenta la concentraci
ponenteN. Suponga que se define una variablexque
el nmero de moles de Cproducido. La conservacin
se utiliza para reformular la relacin de equilibrio co
Kc x
c x c x
c
a b
=+( )
( ) ( )
,
, ,
0
0
2
02
donde el subndice 0 indica la concentracin inicial de
ponente. Si K =0.016,ca,0= 42, cb,0= 28 y cc, 0= 4,
8.6Las siguientes reacciones qumicas se llevan a
sistema cerrado
2A+B C
A+D C
En equilibrio, stas pueden caracterizarse por
Kc
c c
Kc
c c
c
a b
c
a d
1 2
2
=
=
donde la nomenclatura cnrepresenta la concentraci
ponenteN. Six1yx2son el nmero de moles de Cqucen debido a la primera y segunda reacciones, respec
emplee un mtodo similar al del problema 8.5 para ref
relaciones de equilibrio en trminos de las concentra
ciales de los componentes. Despus, use el mtodo d
Raphson para resolver el par de ecuaciones simu
lineales parax1yx2si K1=4 104, K2= 3.7 10
Figura P8.2Representacin esquemtica de un reactor de fl ujo tipotapn con recirculacin.
Reactor de flujo
tipo tapn
Reciclaje
Alimentacin Producto
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
8/16
218 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES
cb,0= 20, cc,0=5 y cd,0= 10. Utilice un mtodo grfico para pro-
poner los valores iniciales.
8.7 La ecuacin de estado de Redlich-Kwong est dada por
pRT
b
a
b T=
+v v v
( )
dondeR= la constante universal de los gases [= 0.518 kJ/(kg
K)], T = temperatura absoluta (K),p= presin absoluta (kPa) y
v= volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parmetros a y bse
calculan mediante
aR T
pb R
T
p
c
c
c
c
= =0 427 0 08662 2 5
. ..
dondepc=4 580 kPa y Tc=191 K. Como ingeniero qumico, se
le pide determinar la cantidad de combustible metano que se
puede almacenar en un tanque de 3 m3a una temperatura de
50C con una presin de 65 000 kPa. Emplee el mtodo de lo-
calizacin de races de su eleccin para calcular vy luego deter-
mine la masa de metano contenida en el tanque.
8.8 El volumen Vde un lquido contenido en un tanque horizon-
tal cilndrico de radio r y longitud L est relacionado con la
profundidad del lquido hpor
V rr h
rr h rh h L=
2 22cos1
(
Determine hpara r= 2 m,L= 5 m y V= 8.5 m3. Observe que si
usted utiliza un lenguaje de programacin o herramienta de
software, el arco coseno se puede calcular como
cos tan1 1xx
x=
2 1 2
8.9 El volumen Vdel lquido contenido en un tanque esfrico
de radio rest relacionado con la profundidad hdel lquido por
Vk r h
=
2 3
3
( )
Determine hpara r= 1 m y V= 0.75 m3.
8.10 Para el tanque esfrico del problema 8.9, es posible desa-
rrollar las siguientes frmulas para el mtodo de punto fijo:
hh V
r=
+3 33
( / )
y
h rhV
=
3 23
Si r = 1 m y V= 0.75 m3, determine si cualquiera de las dos al-
turas es estable, y el rango de valores iniciales para los que s son
estables.
8.11 La ecuacin de Ergun, que se da abajo, sirve para describir
el flujo de un lquido a travs de un lecho empacado. Pes la
cada de presin, res la densidad del fluido,GOes la vel
msica (el cociente del flujo de masa dividido entre el re
seccin transversal),Dpes el dimetro de las partculas
del lecho,es la viscocidad del fluido,Les la longitud de
y ees la fraccin vaca del lecho.
pG
D
L D Go
p
p o
2
3
1150 1 1 75
( )
( ) .=
+
Dados los siguientes valores para los parmetros encue
fraccin vaca edel lecho.
D G
P D
G L
p o
p
o
=
=
1000
102
8.12 En una seccin de tubo, la cada de presin se calc
=p fL V
D
2
2
donde p= cada de presin (Pa), f= factor de friccilongitud del tubo [m], r= densidad (kg/m3), V= velocidad
y D= dimetro (m). Para el flujo turbulento, la ecuac
Colebrookproporciona un medio para calcular el factor
cin,
12 0
3 7
2 51
f D f= +
. log
.
.
Re
donde e= rugosidad (m), y Re = nmero de Reynolds,
Re=
VD
donde m= viscosidad dinmica (N s/m2).
a) Determine p para un tramo horizontal de tubo 0.2 m de longitud, dadas r= 1.23 kg/m3, m= 1.79
N s/m2,D= 0.005 m, V= 40 m/s, y e= 0.0015 mm.
un mtodo numrico para determinar el factor de fr
Obsrvese que los tubos lisos tienen Re < 105, u
inicial apropiado se obtiene con el uso de la frm
Blasius,f= 0.316/Re0.25.
b) Repita el clculo pero para un tubo de acero comerc
rugoso (e= 0.045 mm).
8.13 El pH del agua tiene gran importancia para los ing
ambientales y qumicos. Se relaciona con procesos que
la corrosin de tubos de lluvia cida. El pH se relaciona
concentracin del ion de hidrgeno por medio de la ec
siguiente:
pH = log10[H+]
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
9/16
PROBLEMAS
Las cinco ecuaciones que siguen gobiernan las concentraciones
de una mezcla de dixido de carbono y agua para un sistema
cerrado.
K
K
K
13
2
232
=
=
=
+
+
[ ][ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
H HCO
CO
H CO
HCO3
w[[ ][ ]
[ ] [ ] [ ]
[
H OH
CO HCO CO
Alk HCO
3
3
+
= + +
=
cT 2 3
2
CO OH H] [ ] [ ] [ ]+ + +2 32
donde Alk = alcalinidad, cT= total de carbn inorgnico, y las K
son coeficientes de equilibrio. Las cinco incgnitas son [CO2] =
dixido de carbono, [HCO3] = bicarbonato, [CO3
2] = carbonato,
[H+] = ion hidrgeno, y [OH] = ion hidroxilo. Resuelva para las
cinco incgnitas dado que Alk = 2 103, cT= 3 103, K1=
106.3, y K2= 1010.3, y Kw= 1014. Asimismo, calcule el pH delas soluciones.
8.14 La ecuacin que se presenta a continuacin, describe la
operacin de un reactor de flujo por inyeccin de densidad cons-
tante para la produccin de una sustancia por medio de una re-
accin enzimtica, dondeVes el volumen del reactor, Fes la tasa
de flujo del reactivo C, Centy Csalson las concentraciones del
reactivo que entra y sale del reactor, respectivamente, y Ky kmx
son constantes. Para un reactor de 500 L, con una concentracin
en la toma de Cent= 0.5 M, tasa de entrada de flujo de 40 L/s,
kmx= 5 103s1, y K= 0.1 M, encuentre la concentracin de C
a la salida del reactor.
V
F
K
k C kdC
C
C
= +ent
sal
mx mx
1
Ingeniera civil y ambiental
8.15 El desplazamiento de una estructura est defi
ecuacin siguiente para una oscilacin amortiguada:
y= 9ektcos wt
donde k= 0.7 y w= 4.
a) Utilice el mtodo grfico para realizar una estim
cial del tiempo que se requiere para que el desp
disminuya a 3.5.
b) Emplee el mtodo de Newton-Raphson para de
raz con es= 0.01%.
c) Use el mtodo de la secante para determinar la
= 0.01%.
8.16 En ingeniera estructural, la frmula de la secan
fuerza por unidad de rea, P/A,que ocasiona la tensi
smen una columna que tiene una razn de esbelte
es:
P
A ec k P EA L k
m=+
1 0 52( / ) [ . /( )sec ( / )]
donde ec/k2= razn de excentricidad, yE= mdulo
dad. Si para una viga de acero,E= 200 000 MPa, ec
sm = 250 MPa, calcule P/AparaL/k = 50. Recuerde
1/cosx.
8.17 Un cable en forma catenaria es aquel que cuelg
puntos que no se encuentran sobre la misma lnea vert
se ilustra en la figura P8.17a, no est sujeta a ms ca
propio peso. As, su peso (N/m) acta como una cargpor unidad de longitud a lo largo del cable. En la figu
se ilustra un diagrama de cuerpo libre de una seccin
y
B
A
TA
W= wsw
y0
x
a) b)
TB
Figura P8.17a) Fuerzas que actan sobreuna seccin ABde un cablefl exible que cuelga. Lacarga es uniforme a lo largodel cable (pero no uniformepor la distancia horizontalx).b) Diagrama de cuerpolibre de la seccin AB.
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
10/16
220 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES
TAy TBson las fuerzas de tensin en el extremo. Con base en los
balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable
el siguiente modelo de ecuacin diferencial:
d y
dx T
dy
dxA
2
2
2
1= +
w
Puede emplearse el clculo para resolver esta ecuacin para la
alturaydel cable como funcin de la distanciax.
yT
Tx y
TA
A
A=
+
w
w
w
cosh0
donde el coseno hiperblico se calcula por medio de la ecua-
cin:
cosh ( )x e ex x= +1
2
Utilice un mtodo para calcular un valor para el parmetro TAdados los valores de los parmetros w= 12 y y0= 6, de modo
que el cable tenga una altura dey= 15 enx = 50.
8.18 En la figura P8.18ase muestra una viga uniforme sujeta a
una carga distribuida uniformemente que crece en forma lineal.
La ecuacin para la curva elstica resultante es la siguiente
(vase la figura P8.18b)
yEIL
x L x L x= + w
0 5 2 3 4
1202( ) (P8.18)
Utilice el mtodo de la biseccin para determinar el pu
mxima deflexin (es decir, el valor dexdonde dy/dx= 0
pus, sustituya este valor en la ecuacin (P8.18) a fin de
minar el valor de la deflexin mxima. En sus clculos,
los valores siguientes para los parmetros:L=600 cm,E=
kN/cm2,I= 30 000 cm4y w0= 2.5 kN/cm.
8.19 En la ingeniera ambiental (una especialidad de la in
ra civil), la ecuacin siguiente se emplea para calcular e
de oxgeno c(mg/L) en un ro aguas abajo de la descarg
drenaje:
c= 10 20(e0.15x e0.5x)
dondexes la distancia aguas abajo en kilmetros.
a) Determine la distancia aguas abajo de la corriente, a
el nivel de oxgeno cae hasta una lectura de 5 mg/L.
mendacin: est dentro de 2 km de la descarga.) En
la respuesta con un error de 1%. Obsrvese que los de oxgeno por debajo de 5 mg/L por lo general son d
para ciertas especies de pesca deportiva, como la tr
el salmn.
b) Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxg
encuentra al mnimo. Cul es la concentracin en
ubicacin?
8.20 La concentracin de bacterias contaminantes cen u
disminuye de acuerdo con la ecuacin
c= 75e1.5t+ 20e0.075t
Determine el tiempo que se requiere para que la concende bacterias se reduzca a 15 con el uso de a) el mtodo gr
b) el mtodo de Newton-Raphson, con un valor inicial d
y criterio de detencin de 0.5%. Compruebe los resultad
obtenga.
8.21 En ingeniera oceanogrfica, la ecuacin de una ol
cionaria reflejada en un puerto est dada por l= 16,
v= 48:
h hx t
e x=
+
0sen
2cos
2
v
Resuelva para el valor positivo ms bajo dex, si h =0.58.22 Suponga el lector que compra una pieza de equ
$25 000 como pago inicial y $5 500 por ao durante 6 ao
tasa de inters estara pagando? La frmula que relac
valor presente P, los pagos anualesA, el nmero de ao
tasa de inters i, es la que sigue:
A Pi i
i
n
n=
++ ( )
( )
1
1 1
w0
L
a)
(x= 0, y = 0)
(x= L , y = 0)
x
b)
Figura P8.18
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
11/16
PROBLEMAS
8.23 Muchos campos de la ingeniera requieren estimaciones
exactas de la poblacin. Por ejemplo, los ingenieros de transpor-
te quizs encuentren necesario determinar por separado la ten-
dencia del crecimiento de una ciudad y la de los suburbios. La
poblacin del rea urbana declina con el tiempo de acuerdo conla ecuacin:
Pu(t) = Pu,mxekut+ Pu,mn
en tanto que la poblacin suburbana crece segn:
p tP
P P es
s
s
k ts( )
[ / ]
,
,
=+
mx
mx1 10
donde Pu,mx, ku,Ps,mx, P0 y ksson parmetros que se obtienen en
forma emprica. Determine el tiempo y los valores corres pondien-
tes de Pu(t)yPs(t) cuando los suburbios son 20% ms grandes
que la ciudad. Los valores de los parmetros son: Pu,mx= 75 000,Ku= 0.045/ao, Pu,mn= 100 000 personas, Ps,mx= 300 000 per-
sonas, P0= 10 000 personas, ks = 0.08/ao. Para obtener las so-
luciones utilice los mtodos a) grfico, b) de la falsa posicin, y
c) de la secante modificada.
8.24 En la figura P8.24 se muestra una viga apoyada en forma
sencilla que est cargada como se ilustra. Con el empleo de
funciones de singularidad, el esfuerzo cortante a lo largo de la
viga se expresa con la ecuacin:
V(x) = 20[x 01 x 51] 15x 80 57
Por definicin, la funcin de singularidad se expresa del modo
que sigue:
=
>
x ax a x a
x a
n
n
( )
0
cuando
cuando
Utilice un mtodo numrico para encontrar el(los) punto(s) en
los que el esfuerzo cortante sea igual a cero.
8.25 Con el uso de la viga apoyada en forma simple del proble-
ma 8.24, el momento a lo largo de ella,M(x) est dada por:
M(x) = 10[x 02 x 52] + 15x 81
+ 150x 70+ 57x
Emplee un mtodo numrico para encontrar el (los)
los que el momento es igual a cero.
8.26 Con el uso de la viga con apoyo simple del prob
la pendiente a lo largo de ella est dada por:
du
dxx x x x
x x
y( ) [ ]
.
=
+
+ +
10
30 5
15
28
150 7 57
2238 25
3 3
1 2
Utilice un mtodo numrico para encontrar el(los
donde la pendiente es igual a cero.
8.27 Para la viga con apoyo simple del problema 8
plazamiento a lo largo de ella est dado por la ecuac
u x x x x
x
y ( ) [ ]=
+
+
5
60 5
15
68
75 7
4 4 3
2 ++ 57
6238 253x x.
a) Calcule el (los) punto(s) donde el desplazamien
a cero.
b) Cmo se usara una tcnica de localizacin de
determinar la ubicacin del desplazamiento mn
Ingeniera elctrica
8.28 Ejecute el mismo clculo que en la seccin 8.3,mine el valor de C que se requiere para que el circuito
de su valor original en t= 0.05 s, dadoR = 280 ,yEmplee a) un enfoque grfico, b) la biseccin, y c) so
encontrar races, tales como Solver de Excel o la fun
de MATLAB.
8.29 La ecuacin i= 9etcos (2pt), describe una cor
latoria en un circuito elctrico, donde tse expresa en
Determine todos los valores de tde modo que i= 3.
20 kips/ft
150 kips-ft15 kips
5 2 1 2
Figura P8.24
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
12/16
222 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES
8.30 La resistividad rde un lubricante de slice se basa en la
carga qen un electrn, la densidad del electrn n, y la movilidad
del electrn m. La densidad del electrn est dada en trminos de
la densidad del lubricanteN, y la densidad intrnseca de acarreo
ni. La movilidad del electrn est descrita por la temperatura T,
la temperatura de referencia T0, y la movilidad de referencia0.
Las ecuaciones que se requieren para calcular la resistividad son
las siguientes:
=1
qn
donde
n N N nT
Ti= + +( ) =
1
242 2 0
0
2 42
y
.
DetermineN, dado que T0= 300 K, T = 1 000 K,0= 1 350 cm2
(V s)1, q= 1.7 1019C, ni= 6.21 109cm3, y un valor desea-ble de r= 6.5 106V s cm/C. Use los mtodos a) biseccin, yb) la secante modificada.
8.31 Una carga total Qse encuentra distribuida en forma uni-
forme alrededor de un conductor en forma de anillo con radio a.
Una carga qse localiza a una distancia xdel centro del anillo
(vase la figura P8.31). La fuerza que el anillo ejerce sobre la
carga est dada por la ecuacin
Fe
qQx
x a=
+1
40
2 2 3 2 ( ) /
donde e0 = 8.85 1012 C2/(N m2). Encuentre la distanciaxdonde la fuerza es de 1.25 N, si qy Qson 2 105C para unanillo con un radio de 0.9 m.
8.32 En la figura P8.32 se muestra un circuito con una re
cia, un inductor y un capacitor en paralelo. Para expr
impedancia del sistema se emplean las leyes de Kirchho
1 1 12
2
Z RC
L= +
dondeZ= impedancia () y w= frecuencia angular. Enla wque da como resultado una impedancia de 75 , contanto del mtodo de la biseccin como el de la falsa po
con valores iniciales de 1 y 1000 y los parmetros siguie
= 225 , C= 0.6 106F, yL= 0.5 H. Determine cuntaciones son necesarias con cada tcnica a fin de encon
respuesta con es= 0.1%. Utilice el enfoque grfico para e
cualesquiera dificultades que surjan.
Ingeniera mecnica y aeroespacial
8.33 Para la circulacin de fluidos en tubos, se descri
friccin por medio de un nmero adimensional, que es ede friccin de Fanning f. El factor de friccin de Fanning
de de cierto nmero de parmetros relacionados con el t
del tubo y el fluido, que pueden representarse con otra c
adimensional, el nmero de ReynoldsRe. Una frmula q
nostica el valor defdado Re es la ecuacin de von Karm
14 0 4
= ( )log10 Re .
Valores comunes del nmero de Reynolds para flujo turb
son 10 000 a 500 000, y del factor de friccin de Fanni
0.001 a 0.01. Desarrolle una funcin que utilice el mt
biseccin con objeto de resolver cul sera el factor de fde Fanningf, dado un valor de Re proporcionado por el u
que est entre 2 500 y 1 000 000. Disee la funcin de mo
se garantice que el error absoluto en el resultado sea de
0.000005.
8.34 Los sistemas mecnicos reales involucran la deflex
resortes no lineales. En la figura P8.34 se ilustra una masa
se libera por una distancia hsobre un resorte no lineal. La
de resistencia Fdel resorte est dada por la ecuacin
x
a
Q
q
Figura P8.31
Figura P8.32
R L C
Figura P8.34
h
a) b)
dh + d
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
13/16
PROBLEMAS
F= (k1d+ k2d3/2)
Es posible usar la conservacin de la energa para demostrar
que
0
2
5
1
22
5 2
1
2= +
k d
k d mgd mgh
/
Resuelva cul sera el valor de d, dados los valores siguientes de
los parmetros: k1= 50 000 g/s2, k2= 40 g/(s
2m0.5), m= 90 g,
g= 9.81 m/s2, y h= 0.45 m.
8.35 Los ingenieros mecnicos, as como los de otras especiali-
dades, utilizan mucho la termodinmica para realizar su trabajo.
El siguiente polinomio se emplea para relacionar el calor espe-
cfico a presin cero del aire seco, cpkJ/(kg K), a temperatura
(K):
cp= 0.99403 + 1.671 104T+ 9.7215 108T2
9.5838
10
11
T
3
+ 1.9520
10
14
T
4
Determine la temperatura que corresponda a un calor especfico
de 1.1 kJ/(kg K).
8.36 En ciertas ocasiones, los ingenieros aerospaciales deben
calcular las trayectorias de proyectiles, como cohetes. Un pro-
blema parecido tiene que ver con la trayectoria de una pelota que
se lanza. Dicha trayectoria est definida por las coordenadas (x,
y), como se ilustra en la figura P8.36. La trayectoria se modela
con la ecuacin
y x g
x= +( ) .tancos2
0
0
2
0
2
21 8
v
Calcule el ngulo inicial q0, apropiado si la velocidad inicial
v0= 20 m/s y la distanciaxal catcheres de 35 m. Obsrvese que
la pelota sale de la mano del lanzador con una elevaciny0= 2 m,
y el catcherla recibe a 1 m. Exprese el resultado final en grados.
Para g, utilice un valor de 9.81 m/s2, y emplee el mt
para elegir valores iniciales.
8.37 La velocidad vertical de un cohete se calcula co
la que sigue:
v =
u m
m qt
gtln 0
0
donde v= velocidad vertical, u= velocidad con la qu
el combustible, en relacin con el cohete, m0= masa
cohete en el momento t= 0, q= tasa de consumo de co
y g= aceleracin de la gravedad hacia abajo (se supo
te e igual a 9.81 m/s2). Si u= 2000 m/s, m0= 150 00
2 700 kg/s, calcule el momento en que v= a 750 m/s
cia: El valor de tse encuentra entre 10 y 50 s.) Calcu
tado de modo que est dentro de 1% del valor
Compruebe su respuesta.
8.38 En la seccin 8.4, el ngulo de fase fentre l
forzada que ocasiona el camino rugoso y el movimient
est dada por la ecuacin:
tan( / )( / )
( / )
=
2
1 2c c p
p
c
Como ingeniero mecnico, le gustara saber si existe
que f= w/3 1. Utilice los otros parmetros de la s
objeto de plantear la ecuacin como un problema de
races, y resulvala para w.
8.39 Se mezclan dos fluidos con temperatura diferen
que alcanzan la misma temperatura. La capacidad ca
fluido A est dada por:
cp= 3.381 + 1.804 102T 4.300 106T2
y la capacidad calorfica del fluido B se obtiene con
cp= 8.592 + 1.290 101T 4.078 105T2
donde cpse expresa en unidades de cal/mol K, y Te
dades de K. Obsrvese que
H c dTT
T
p=
1
2
El fluido A entra al mezclador a 400C, y el B a 700C
al mezclador hay lo doble de fluido A que B. A qu
ra salen los dos fluidos del mezclador?8.40 Un compresor opera a una razn de compresi
(esto significa que la presin del gas en la salida es
mayor que en la entrada). Los requerimientos de e
compresorHpse determinan por medio de la ecuaci
a continuacin. Suponga que los requerimientos de
compresor son exactamente iguales a zRT1/MW, y e
eficiencia politrpica ndel compresor. El parmetroz
presibilidad del gas en las condiciones de operacin d
Figura P8.36
0
v0
y
x
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
14/16
224 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES
sor, Res la constante de los gases, T1es la temperatura del gas
en la entrada del compresor, y MW es el peso molecular del
gas.
HPMW
=
( )zRT n
nRc
n n1 1
11( )/
8.41 En los envases trmicos que se ilustran en la figura P8.41,
el compartimiento interior est separado del medio por medio de
vaco. Hay una cubierta exterior alrededor de los envases. Esta
cubierta est separada de la capa media por una capa delgada de
aire. La superficie de afuera de la cubierta exterior est en con-
tacto con el aire del ambiente. La transferencia de calor del
compartimiento interior a la capa siguiente q1slo ocurre por
radiacin (ya que el espacio se encuentra vaco). La transferencia
de calor entre la capa media y la cubierta exterior q2es por con-
veccin en un espacio pequeo. La transferencia de calor de la
cubierta exterior hacia el aire q3sucede por conveccin natural.
El flujo de calor desde cada regin de los envases debe ser
igual, es decir, q1= q2= q3. Encuentre las temperaturas T1y T2
en estado estable. T0es de 450C y T3= 25C.
q T T
q T T
q T T
1
9
0
4
1
4
2 1 2
3 2 3
4 3
10 273 273
4
1 3
= + +
=
=
[( ) ( ) ]
( )
. ( ) /
8.42 La forma general para un campo tensorial de tres dimen-
siones es la siguiente:
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
en la que los trminos en la diagonal principal represen
fuerzos a la tensin o a la compresin, y los trminos fuediagonal representan los esfuerzos cortantes. Un campo te
(en MPa) est dado por la matriz que sigue:
10 14 25
14 7 15
25 15 16
Para resolver cules son los esfuerzos principales, es ne
construir la matriz siguiente (de nuevo en MPa):
10 14 25
14 7 1525 15 16
s1, s2y s3se obtienen con la ecuacin
3 2 0 + =I II III
donde
I
II
III
xx yy zz
xx yy xx zz yy zz xy xz yz
xx yy zz xx yz yy xz zz xy xy xz
= + +
= + +
= +
2 2 2
2 2 2 2
I,IIyIIIse conocen como las invariantes de esfuerzos. En
s1, s2y s3por medio de una tcnica de localizacin de ra
8.43 La figura P8.43 ilustra tres almacenamientos cone
por medio de tubos circulares. Los tubos estn hechos de
T0
T2
T3
T1
Figura P8.43
Figura P8.41
Q1
h2
h1
Q3
Q2
1
2
3
A
B
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
15/16
PROBLEMAS
fundido recubierto con asfalto (e= 0.0012 m), y tienen las ca-
ractersticas siguientes:
Tubo 1 2 3Longitud, m 1800 500 1400Dimetro, m 0.4 0.25 0.2
Flujo, m3/s ? 0.1 ?
Si las elevaciones de la superficie del agua en los almacenamien-
tos A y C son de 200 m y 172.5 m, respectivamente, determine
la elevacin que alcanza en el almacenamiento B y los flujos en
los tubos 1 y 3. Obsrvese que la viscosidad cinemtica del agua
es de 1 106m2/s, y utilice la ecuacin de Colebrook para ob-
tener el factor de friccin (consulte el problema 8.12).
8.44 Un fluido se bombea en la red de tubos que se muestra en
la figura P8.44. En estado estacionario, se cumplen los balances
de flujo siguientes:
1 2 3
3 4 5
5 6 7
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
= +
= +
= +
donde Qi= flujo en el tubo i[m3/s]. Adems, la cada de presin
alrededor de los tres lazos en los que el flujo es hacia la derecha
debe ser igual a cero. La cada de presin en cada tramo de tubo
circular se calcula por medio de la ecuacin:
=P fL
DQ
16
22 52
donde
P= cada de presin [Pa],f= factor de friccin [adimen-sional],L= longitud del tubo [m],r= densidad del fluido [kg/m3],
yD= dimetro del tubo [m]. Escriba un programa (o desarrolle
un algoritmo en algn paquete de software de matemticas) que
permita calcular el flujo en cada tramo de tubo, dado que
Figura P8.44
Q1
Q10
Q9
Q8
Q3
Q5
Q7
Q6
Q4
Q2
Q1= 1 m3/s y r= 1.23 kg/m3. Todos los tubos tiene
mm yf= 0.005. Las longitudes de los tubos son:L3
L9= 2 m;L2=L4=L6= 4 m; yL7= 8 m.
8.45 Repita el problema 8.44, pero incorpore el hech
factor de friccin se calcula con la ecuacin de von K
es:
14 0 410
ff= log (Re ) .
donde Re = nmero de Reynolds
Re =
VD
donde V= velocidad del fluido en el tubo [m/s], y=
dinmica (N s/m2). Obsrvese que para un tubo circul
pD2. Asimismo, suponga que el fluido tiene una vis
1.79
10
5
N
s/m
2
.8.46 Sobre el trasbordador espacial, al despegar de la
actan cuatro fuerzas, las que se muestran en el di
cuerpo libre (vase la figura P8.46). El peso combin
dos cohetes de combustible slido y del tanque exter
es de WB= 1.663 106lb. El peso del orbitador con
pleta es de WS= 0.23 106lb. El empuje combinado
cohetes de combustible slido es TB= 5.30 106lb.
combinado de los tres motores de combustible lquid
tador es de TS= 1.125 106lb.
Al despegar, el empuje del motor del orbitador s
un ngulo qpara hacer que el momento resultante que
el conjunto de la nave (tanque exterior, cohetes de c
slido y orbitador) sea igual a cero. Con el momento
igual a cero, la nave no girara sobre su centro de gra
despegar. Con estas fuerzas, la nave experimentar
resultante con componentes en direccin vertical y
La componente vertical de la fuerza resultante, es la q
que la nave despegue de la plataforma y vuele vertica
componente horizontal de la fuerza resultante hace q
vuele en forma horizontal. El momento resultante que
la nave ser igual a cero cuando qse ajusta al valor
Si este ngulo no se ajusta en forma adecuada y hub
momento que actuara sobre la nave, sta tendera a gira
de su centro de gravedad.
a) Resuelva el empuje del orbitador TSen las co
horizontal y vertical, y despus sume los moment
del punto G, centro de gravedad de la nave. Ig
la ecuacin del momento resultante. Ahora,
resolverse para el valor de q que se requiere
despegue.
b) Obtenga una ecuacin para el momento resu
acta sobre la nave en trminos del ngulo q.
-
5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones
16/16
226 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES
momento resultante como funcin del ngulo qen e
de 5 radianes a +5 radianes.
c) Escriba un programa de computadora para resolver
nguloqpor medio del mtodo de Newton para enco
raz de la ecuacin del momento resultante. Con el e
de la grfica, elija un valor inicial para la raz de i
Interrumpa las iteraciones cuando el valor de qya no
con cinco cifras significativas.
d) Repita el programa para el peso de la carga mni
orbitador, que es WS= 195 000 lb.
Tanque externo
Cohete de
combustible
slido
Orbitador
38
4
28
WB W
S
TS
TB
G
Figura P8.46