Download - Algoritmo de Dijkstra
![Page 1: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/1.jpg)
Caminos más cortos a partir de múltiples
fuentes en un grafo
Joemmanuel Ponce Galindo
![Page 2: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/2.jpg)
¿Qué es un grafo?
![Page 3: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/3.jpg)
Un grafo es…
Una pareja ordenada G(V,E) con las siguientes características:
1. V es un conjunto de vértices
2. E es un conjunto de parejas de distintos vértices, entre los cuales se trazan líneas (aristas)
![Page 4: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/4.jpg)
Grafos ponderados
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
1
3
![Page 5: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/5.jpg)
Entonces
l(a) = peso de la arista ‘a’ l(x,y) = peso de la arista de x a y
![Page 6: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/6.jpg)
¿Y qué podemos modelar?
1
0
3
56
4
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
5
3
86
1
2
43
5
11
11
1
2
4
2
3
3
2
1
3
![Page 7: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/7.jpg)
Problema de la ruta mínima (Single Source)
¿Cómo llego del punto 1 a 4 de la manera más corta posible?
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
1
3
![Page 8: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/8.jpg)
¿Cómo se resuelve?
Existen algoritmos genéricos para ello: Dijkstra Algorithm Floyd Algorithm Bellman-Ford Algorithm
![Page 9: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/9.jpg)
Algoritmo de Dijkstra
Algoritmo glotón (greedy) Punto de inicio s Conjunto S Vector D
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 10: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/10.jpg)
Condiciones iniciales
S={1} V-S={2,3,4,5} D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 11: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/11.jpg)
El algoritmo
Aumentar S agregando el elemento v en V-S tal que Dv sea el mínimo de ese conjunto.
Actualizar los valores de Di para todos los elementos i existentes en V-S.
Di=mínimo( Di, Dv+f(v, i) ) Terminar cuando |S|=|V|
![Page 12: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/12.jpg)
Paso a paso (Iteración 1)
Buscar mínimo Di en V-S
S={1} V-S={2,3,4,5} D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 13: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/13.jpg)
Paso a paso (Iteración 1)
Agregar elemento a S. Actualizar D
S={1,3} V-S={2,4,5} D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 14: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/14.jpg)
Paso a paso (Iteración 2)
Buscar mínimo Di en V-S
S={1,3} V-S={2,4,5} D=[0,2,1,∞,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 15: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/15.jpg)
Paso a paso (Iteración 2)
Agregar elemento a S. Actualizar D
S={1,3,2} V-S={4,5} D=[0,2,1,∞,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 16: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/16.jpg)
Paso a paso (Iteración 3)
Buscar mínimo Di en V-S
S={1,3,2} V-S={4,5} D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 17: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/17.jpg)
Paso a paso (Iteración 3)
Agregar elemento a S. Actualizar D
S={1,3,2,5} V-S={4} D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 18: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/18.jpg)
Paso a paso (Iteración 4)
Buscar mínimo Di en V-S
S={1,3,2,5} V-S={4} D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 19: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/19.jpg)
Paso a paso (Iteración 4)
Agregar elemento a S. Actualizar D
S={1,3,2,5,4} V-S={ } D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 20: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/20.jpg)
Final
|S| = |V| La mejor manera de llegar al vértice u se
encuentra en Du
S={1,3,2,5,4} V-S={ } D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 21: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/21.jpg)
¿Por qué funciona?
Supongamos delta(s,v) = Mejor manera de llegar de s a v
Si Dijkstra funciona: Du=delta(s,u) para toda u en V
![Page 22: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/22.jpg)
Demostración por contradicción
Suponga que u es el primer vértice añadido a S tal que Du≠delta(s,u)
![Page 23: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/23.jpg)
Propiedades que tendría u
u no puede ser s porque Ds = 0 Existe un camino de s a u, de lo contrario
Ds = ∞ Si existe un camino, entonces debe existir el
camino más corto.
![Page 24: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/24.jpg)
Suposición principal
Sea s->(p1)->x->y->(p2)->u el camino más corto de s a u.
![Page 25: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/25.jpg)
Propiedades de x y y
x ya fue insertado en S Dx=delta(s,x) Posteriormente se actualizó el vértice y, así
que Dy=delta(s,y), pero aun no es insertado en S
![Page 26: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/26.jpg)
Entonces
Puesto que y se encuentra antes que u:
Dy=delta(s,y) ≤ Du ≤ delta(s,u) Pero partimos de que u esta siendo insertado
en S, así que se debe cumplir que: Dy ≥ Du
![Page 27: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/27.jpg)
Finalmente
Así que:
Dy=delta(s,y) = Du=delta(s,u)
![Page 28: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/28.jpg)
El Multiple Source Shortest-Path Problem
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
1
3
![Page 29: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/29.jpg)
¿Cuál es el problema?
¿Cuál es la mejor manera de llegar al los puntos T (town o ciudad en naranja) a partir de cualquiera de los puntos S (fuente) ?
![Page 30: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/30.jpg)
Consideraciones
Existe un conjunto de fuentes F En el camino más corto para llegar a u,
existe sólo una fuente: f1->(p1)->f2->(p2)->v > f2->(p2)->v
![Page 31: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/31.jpg)
Un problema más real
Puntos Naranjas: Centros de Distribución Puntos Grises: Ciudades ¿De qué centro de distribución es mejor
partir a la ciudad X de tal manera de que gaste los menos recursos posibles?
5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
3
1
1
3
![Page 32: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/32.jpg)
¿Qué otro problema podemos resolver?
Puntos Naranjas: Centros de Distribución Puntos Grises: Ciudades Quiero construir un nuevo Punto de
Distribución ¿Cuál es el mejor lugar para hacerlo?
1
2
4
3 5
2 4
1
1
3
1
13
![Page 33: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/33.jpg)
¿Cómo lo resolvemos con Dijkstra?
Algoritmo glotón (greedy) Puntos de inicio Conjunto F Conjunto S Vector D
![Page 34: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/34.jpg)
Condiciones iniciales
S=F={1,2} V-S={3,4,5} D=[0,0,1,4,3] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 35: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/35.jpg)
Estado final
S={1,5,4,3,2} V-S={} D=[0,0,1,4,2] 1 2 3 4 5
1
2
4
3 5
2 4
1
1
53
1
13
![Page 36: Algoritmo de Dijkstra](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062307/55827fa3d8b42adf088b532d/html5/thumbnails/36.jpg)
Conclusiones
Complejidad O(v2) pudiéndose reducir a O(nlogn) con Busqueda Binaria
Procesa hasta 10,000 vértices en 1 segundo
El Algoritmo de Dijkstra es rápido Demostramos que resuelve eficazmente
nuestro problema