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Vector  

Segmento  de  recta  dirigido  que  representa  el  desplazamiento  desde  su  punto  A  hasta  otro  punto  B.  ‘A’  se  conoce  como  el  punto  inicial  u  origen  y  ‘B’  como  punto  terminal  o  punta.  

*Cuando  ‘A’  esta  en  el  origen  se  considera  que  esta  en  posición  estándar.  

• Notación:  𝐴𝐵;  v  =  𝐴𝐵;  𝑣  =  𝐴𝐵    Para  encontrar  el  vector  𝐴𝐵  se  tiene  que  restar  B  menos  A.  

• Forma  de  escribir:    o Si  𝐴𝐵  =  (2,  1)  entonces  𝐴𝐵  =  𝑣  =  [2,  1]  (vector  renglón)  o   21  (vector  

colúmna).    o Las  coordenadas  individuales  (1,  1)  son  conocidas  como  componentes  

del  vector  𝑣.    • Características:    

o Magnitud:  conocido  también  como  longitud,  norma  o  tamaño.    

 o Dirección:  medida  en  radianes.    

 

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Operaciones  con  vectores:  

• Suma  Sean  𝑥 = [𝑥!, 𝑥!]  y  𝑣 = [𝑣!, 𝑣!]se  define  la  suma:  

o 𝑥 + 𝑣 = 𝑥! + 𝑣!, 𝑥! + 𝑣!  o Propiedades  de  la  suma  de  vectores:  

§ 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑:  𝑥 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑥  § 𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑:   𝑥 + 𝑣 + 𝑤 =  𝑥 + (𝑣 + 𝑤)  § 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜(𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑐𝑒𝑟𝑜):  𝑥 + 0 = 𝑥  § 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜  𝐴𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜:  𝑥 + −𝑥 = :  0  § 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖butiva:  𝑐(𝑥 + 𝑣) = 𝑐𝑣 + 𝑐𝑥  § Distributiva:  𝑥(𝑑 + 𝑐) = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥  

§  • Multiplicación  por  un  escalar  

Sea  c  un  escalar  y  𝑥 =  [𝑥!, 𝑥!]  :  o c𝑥 = [𝑐𝑥!, 𝑐𝑥!]  o Propiedades  

§ Asociativa:  𝑐 𝑑𝑥 =  𝑥 𝑐𝑑    § Distributiva:  𝑐(𝑥 + 𝑣) = 𝑐𝑣 + 𝑐𝑥  § Distributiva:  𝑥(𝑑 + 𝑐) = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥  § Elemento  Neutro:  1𝑥 = 𝑥  

o Característica:  § Misma  dirección  que  el  vector.  § El  mismo  sentido  del  vector  si  la  constante  es  positiva.  § Sentido  contrario  si  la  constante  es  negativa.  § Si  0<𝑥<1  se  disminuye  la  magnitud  del  vector.  

 

   

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• Resta  Sean  𝑥 = [𝑥!, 𝑥!]  y  𝑣 = [𝑣!, 𝑣!]se  define  la  resta:  

o 𝑥 + −𝑣 = 𝑥 − 𝑣 = 𝑥! − 𝑣!, 𝑥! − 𝑣!  

 

Vectores  iguales:  son  vectores  que  tienen  la  misma  magnitud  y  la  misma  dirección.  

Vectores  paralelos:  𝑥 ∥ 𝑣  si  son  múltiplos  escalares  mutuos.  

Vectores  octogonales  /  perpendiculares:  𝑥 ⊥ 𝑣  si  el  ángulo  entre  ellos  de  90°.  

Vector  unitario:  es  un  vector  con  longitud  de  1.    

Normalizar  un  vector  

• Es  el  proceso  de  encontrar  un  vector  unitario  en  la  misma  dirección  que  el  vector  dado.  

o 𝑥 = 𝟏𝑣 𝑣  

Magnitud  de  un  vector  

• 𝑣 =   𝑥! + 𝑦!  

Dirección  de  un  vector  

• tan𝜃 = !!  à  𝜃 = tan!! !

!  

Dados  dos  vectores,  𝒙 = [𝒙𝟏,𝒙𝟐]  y  𝒗 = [𝒗𝟏,𝒗𝟐]:  

• Distancia  entre  𝒙  y  𝒗:    o d(𝑥,  𝑣)  =   𝑥 − 𝑣  =   𝑥! − 𝑣!, 𝑥! − 𝑣! = 𝑥! − 𝑣! !  + 𝑥! − 𝑣! !  

• Ángulo  entre  𝒙  y  𝒗:    o El  ángulo  debe  ser  el  menor  entre  los  dos  vectores.  o cos𝜃 =   𝑥∙𝑣

𝑥 𝑣  *se  puede  dar  en  radianes  o  grados.  • Producto  punto/escalar:  

o 𝑥 ∙ 𝑣 =   𝑥!, 𝑥! ∙ 𝑣!, 𝑣! = 𝑥!𝑣! + 𝑥!𝑣!        

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• Proyección  de  𝒙  sobre  𝒗:  o El  punto  terminal  del  vector  que  se  quiera  proyectar  debe  tener  90°  

con  el  vector  donde  se  proyectará.      

o Cuando  el  ángulo  entre  los  vectores  sea  agudo  la  dirección  del  vector  resultante  será  la  misma.    

o Cuando  el  ángulo  entre  los  vectores  sea  obtuso  la  dirección  del  ángulo  resultante  irá  en  dirección  contraria.    

o 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑥 =𝑥∙𝑣𝑣∙𝑣 𝑣  

 

Ecuaciones  en  una  recta  en  R2      

• Forma  general  ax  +  by=c  

• Forma  normal  (con  solo  dos  componentes)  𝑛   ∙  𝑥 = 𝑛   ∙  𝑝  *𝑛 =   𝑎𝑏  es  el  vector  normal  perpendicular  a  la  recta.  𝑥  es  el  vector  en  posición  estándar  correspondiente  a  cualquier  punto  sobre  la  recta.  𝑝  es  el  vector  en  posición  estándar  correspondiente  a  un  punto  conocido  sobre  la  recta.    

• Forma  vectorial  𝑥 = 𝑝 +  𝑡𝑑  *𝑑  es  el  vector  dirección  

• Forma  paramétrica  𝑥 = 𝑝! +  𝑡𝑑!  𝑦 = 𝑝! +  𝑡𝑑!    

Ecuaciones  en  un  plano    P  en  R3  

• Forma  general  ax  +  by  +  cz  =  d  

• Forma  normal  (con  solo  tres  componentes)  

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𝑛   ∙  𝑥 = 𝑛   ∙  𝑝  • Forma  vectorial  

𝑥 = 𝑝 +  𝑠𝑢 + 𝑡𝑣  (tiene  2  parámetros  y  2  componentes  de  dirección)  *donde  𝑢  ∦  𝑣  

• Forma  paramétrica  𝑥 = 𝑝! +  𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  𝑦 = 𝑝! +  𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  𝑧 = 𝑝! +  𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  

 

Ecuaciones  en  una  recta  en  R3    

En  R3  ,  una  recta  es  la  intersección  de  dos  planos,  por  lo  que  se  expresa  la  ecuación  de  una  recta  en  R3  en  sus  formas  general  y  normal.    

• Forma  general  ax  +  by  +  cz  =  d  (plano  1)  ax  +  by  +  cz  =  d  (plano  2)  

• Forma  normal    𝑛!   ∙  𝑥 = 𝑛!   ∙  𝑝!  𝑛!   ∙  𝑥 = 𝑛!   ∙  𝑝!  

• Forma  vectorial  𝑥 = 𝑝 +  𝑡𝑑  

• Forma  paramétrica  𝑥 = 𝑝! +  𝑡𝑑!  𝑦 = 𝑝! +  𝑡𝑑!  𝑧 = 𝑝! +  𝑡𝑑!  

• Ecuaciones  simétricas  𝑡 =

𝑥 − 𝑝!𝑑!

 

𝑡 =𝑥 − 𝑝!𝑑!

 

𝑡 =𝑥 − 𝑝!𝑑!

 

*cuando  una  componente  del  vector  dirección  es  cero(ej:  𝑑! = 0)  las  ecuaciones  simétricas  se  dan  así:  

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𝑥 − 𝑝!𝑑!

=𝑥 − 𝑝!𝑑!

  ; 𝑧 = 𝑝!  

     

Distancia  desde  un  punto  F(fuera)  hasta  una  recta  ℓ𝓁  

1. Encontrar  𝑃𝐹  (vector  entre  un  punto  conocido  y  el  punto  de  fuera)  

2. Encontrar  𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹  3. Encontrar  𝑃𝐹 − 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹  4. Calcular  magnitud  del  vector  

𝑃𝐹 − 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹  

Distancia  desde  un  punto  F(fuera)  hasta  una  recta  𝓟  

• 𝑝𝑟𝑜𝑦!𝑃𝐹      

Producto  cruz  o  producto  vectorial  

• Notación:  𝑢  ×  𝑣  Importante:  el  producto  cruz  esta  definido  sola  para  R3  el  resultado  es  otro  vector  en  R3  que  es  perpendicular  a      𝑢  y    𝑣.    

• Definición:    

𝑢 =𝑢!𝑢!𝑢!

 y  𝑣 =𝑣!𝑣!𝑣!

 

 

à  𝑢!𝑢!𝑢!

 ×  𝑣!𝑣!𝑣!

=𝑢!𝑣! − 𝑢!𝑣!𝑢!𝑣! − 𝑢!𝑣!𝑢!𝑣! −  𝑢!𝑣!

 


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