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Problemas resueltos Luis Zegarra Agramont
ALGEBRA LINEAL
Problema 1.
Dado el sistema B +B B B ," # $ % B ,B #B B -" # $ % B -B #B #B +" # $ % B B B B + , -" # $ %
i) Determine los valores de y para que el sistema dado admita como+ , -solucin a:
, para un valor del parmetro fijo.\ > >
" "# !! "" #
ii) Determine condiciones entre y para que el sistema dado tenga solucin+ , -
exctamente con un parmetro, luego encuentre una solucin particular y lasolucin del sistema homogeneo asociado en este caso.
Solucin.
i) qu sea solucin del sistema\ > \ \
" " " ># ! #! " >" # " #>
dado es que lo satisfaga es decir,
" + " " " > ," , # " # -
" - # # > +" " " " " #> + , -
#+ , # #, - > ! + #- $> " + , - %> #
-
Resolviendo resulta: y + , - > #$ " "$ *
## "" ## ##
ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtenerexctamente un parmetro en la solucin,
" + " " ," , # " -
" - # # +" " " " + , -
luego se debe tener
a b a b
a b a ba b
" #+ - ! ! #, +
! , - ! " + -
! + $, #- " ! #+ , $-
! + #, #- " ! ! $ + -
" "$ $
" "$ $
as+ #, #- " ! $ + - ! + - , - "a b a b"# resulta la solucin
parmetro.\ > >
#, -
!
$- "
!
-
"
- $
- "
a ba b a ba b
"$
"'
"$
"'"#
Problema 2.
Dado el sistema
#B B B B '" # $ & B B (B 5B %B $" # $ % & $B B B B :" # $ %
a) Determine y de modo que y en este caso obtenga y5 : \ B B B PF # % & .Yb) Resuelva por para la base PY \ B B B F # $ &
Solucin.
a) , la exigencia de supone \ B B B F \ F" ! "
" 5 %" " !
F # % & F
no
singular B 0 l l $ 5 ! 5 $
-
Se debe hacer prviamente con TF T " ! " " ! !" " ! ! ! "
" 5 % ! " !
con el fn de no imponer condiciones no necesarias para excepto as5 5 $
y Y P
" ! " " ! !! " " " " !! ! 5 $ " 5 "
b) Ntese que la matriz asociada a la base es singular, porF \ B B B F # $ & lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.
Problema 3.
Dada la matriz E
" # $ *# $ & "%$ % ( "*% & * #%& ' "" #*
a) Determine una base para el subespacio .M7E
b) Determine una base para el subespacio dondeO/ #B C #> ! a b Solucin.
a) El espacio est generado por los vectores columna de entoncesM7E E
1
E
" # $ * # $ * " # $ *# $ & "% ! " " % ! " " "$ % ( "* ! # # ) ! ! ! !% & * #% ! $ $ "# ! ! ! !& ' "" #* ! % % "' ! ! ! !
a b
luego, una base para es {M7E " # $ % & # $ % & ' a b a b b) De a b a b O/ B D (> !
C D > ! por tanto O/ B D (> !a b C D > ! #B C #> !
-
As, a O/
" ! " ( !! " " " !# " ! # !
! ! a b de donde resolviendo se obtiene, , B > C > D >
% "% "(
$ $ $
con lo que y una base del subespacioO/ " ## #a b a) Determine la matriz de cambio de base, de: T W W # "
b) Si [ determine: y : > : > : > "!#!$!
a b a b a b W W# 1 Solucin.
a) # > $ " " " > ! " >a b a b# $ $ " ! " > ! " >a b# " > # " # " > " " ># #a b a b de donde T
$ $ # " ! #! ! "
b) De inmediato : > "! # > #! $ $! " > ""! "!> $!>a b a b a b# #por tanto se debe tener
""! "!> $!> "&! " (! " > $! " > # #a b : >
"&! (!$!
a b W1
Otra forma, es : > T : > $ $ # "! "&!
" ! # #! (!! ! " $! $!
a b a b W W1 #
Problema 5.
Una empresa elabora 4 tipos de productos y T T T T" # $ %
-
requiere 10 hrs. de diseo, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detallesT "T # $ " " # requiere hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detallesT # ! " $ requiere 1 hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detallesT & $ " % % requiere hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detalles
Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseo, 334 hrs. de armado, 288 hrs.de pulido y 172 hrs. para detalles.
a) Determine el nivel de produccin de modo, de ocupar todos los recursos.
b) Los costos por hora para el diseo es de $10, los costos por hora para el armadoes de $20, los costos por hora en las mquinas de pulido es de $12 y por terminarlos detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad paraelaborar los productos: y .T T T T" # $ %
c) Hay ms demanda por el producto que por el producto esto obliga aT T % "cambiar el nivel de produccin acostumbrado. Se impone la produccin de 20 deT #! T & T T " # $ %de de y 25 de Determine usando matrices, si es necesarioadquirir ms recursos.
Solucin.a) "!B #B B &B '"!" # $ % %B $B #B $B $$%" # $ % &B B B #))" # % #B B B %B "(#" # $ %
\ E , \
&!$!"!)
"
Se deben producir 50 unidades de de de y 8 de T $! T "! T T " # $ %
b) E -
"! % & # "! #&!# $ " " #! *(" # ! " "# '#& $ " % & "%#
>
c) E\
"! # " & #! $(!% $ # $ #! ##&& " ! " & "% " " % #& "'&
w
Como y no es necesario$(! '"! ##& $$% "%& #)) "'& "(#
-
adquirir ms recursos.
Problema 6.
Gas-Chile, tom los siguientes datos sobre la eficiencia de combustible (97 octanos)en Km / lt. para automviles (de alto rendimiento) en un tramo de la carretera delNorte.
Ao Km / lt.1996 15.51997 15.91998 16.71999 17.12000 17.82001 18.22002 18.32003 19.22004 20.0
a) Encuentre una recta que ajuste por mnimos cuadrados y grafquela (B ! representa a 1996 , , representa a 2004). Analice si la recta parece B ) razonable para los datos.
b) Suponga que la tendencia se mantiene, ocupe tal tendencia para predecir el ao en que el promedio ser de 25.
Solucin.a)
E E E
" !" "" #" $" %" &" '" (" )
* $'$' #!%
>
-
E E ] #!% $' $' *
"&&"&*"'("(""()")#")$"*##!!
> " "&%!
\ E E E ] C !&$( B "&%)("&%)(!&$(
> " > La recta es razonable pus la pendiente es positiva lo que indica crecimiento.b) Entre los aos yC #& #& !&$( B "&%)( B "((" #!"$#!"%.
Problema 7.
Sea una transformacin lineal definida porX $ $
X B C D 5B $C B #C D 5B C Da b a ba) Determine de modo que 5 .37O/
-
E E " $ ! " $ $" # " # " "" " " $ # &
" "(
X B C D B $C $D #B C D $B #C &D" "(a b a b c) X " " ! % " # ) ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b"" "!$ $
X " " # # & # "% ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b"" "'$ $ X ! " # $ ! " # ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b& "$ $ luego
F ) "% #
"" "" &$ $ $"! "' "$ $ $
Problema 8.
Dada
E 5 # "# " :" # !
a) Determine y de modo que sea un vector propio para .5 : E"""
b) Sea la base de vectores propios de la matriz , para los valores de y queW E 5 :determin en a). Determine matriz de cambio de base de a siendo laT W W Ww wbase cannica de y verifique que matriz diagonal$ "T ET H H
Solucin.a)
5 # " " "# " : " "" # ! " "
>
5 # " ># " : > > $ 5 ! : #
" # >
b) Valores propios de E > $ > " > $" # $ Vectores propios:
-
, y
" " " # ! "" " "
asociados a , y respectivamente luego> > > " # $
y T T E " " " " # " ! # "
# ! " $ ! $ # " #" " " # # # " # !
" "'
T ET $ ! !! " !! ! $
"
Problema 9.
Encuentre la matriz de proyeccin sobre la recta dondeT [ [
[ B C D B C #D ! a b y verifique que T T ![ [
Solucin.
De inmediato y,[ " " # E "
" #
a b T E E E E T M T
"
'
" " # " " # # # %
[ [> >"
[ $ a b y fcilmente se verifica que T
"
'
& " #" & ## # #
[
T T ![ [
Problema 10.
Demuestre que si entonces tiene! ! ! !!> >"
#
8
3 " + T
+++
rango 1 y que es la matriz de proyeccin al espacio { } .T !
Demostracin.
! !> # # #" # 8 3 " + + + " + ! a 3 considerando ,
-
T
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + ++ + + + + + ! ! !
+ + +! ! !
"#
" # " 8
# " # 8##
8 " 8 ##8
" # 8
" 8#
" # 8
" # 8
si se consideran algunos la demostracin es similar. < T " + !a b 3 De inmediato y E
+++
"
#
8
+ + +E E E E EE T a b> > >" "
" ## #
8#
Problema 11.
Dada una funcin definida porX Q Q X E E E88 88 >a b a) Demuestre que es una transformacin lineal.X
b) Averigue si es biyectivaX c) Encuentre una base para el considere O/< X X Q Q $$ $$
Solucin.
a) X E F EF EF E E F F X E X Fa b a b a b a b a b a b a b> > > X 5E 5E 5E 5E 5E 5 E Ea b a b a b a b> > >
b) peroaE O/< X X E E E ! + ! a 3 " # 8a b > 33Q de aqu se sigue + + ! a 3 5 3 5 " # 8 + + 35 53 35 53
+ O/< X 53 parmetro no necesariamente nulo, lo que prueba que el { }, por) tanto no es biyectiva.X
c) con aE O/< X X E E E ! E + + ++ + ++ + +
a b >"" "# "$
#" ## #$
$" $# $$
Q
y + + + ! + + + + + +"" ## $$ "# #" "$ $" #$ $#
luego 0
00
E + +
+ ++ +
#" $"
#" $#
$" $#
E + + +! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !
#" $" $#
Una base para esO/< X
-
! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !
Problema 12.
Sea una definida porX X P $ %
E
" " "# % )$ * #"% "' %!
con respecto a donde: W W W " " " ! " " ! ! " " # " a b a b a b W " " " " ! " ! " " ! " ! " # " # # a b a b a b a b a) A partir de encuentre una base ortonormal para .W# %
b) Determine la matriz representativa de con respecto a bases cannicas deX respectivamente. $ %c) Encuentre una base para el y otra para la O/< X M7X
Solucin.a) " " "" # $ " " " " ! " ! " " ! " !
"% " # " # " " " " " " " "$ "
# #a b
Base ortonormal para " " " "% " # $ % " " " "
# ## # b) donde F TEU T U
" ! " "" " ! #" ! " "" " ! #
" ! !" " !" " "
"
F
") $' '# ## %% ($ ' "# #! #' )*
c) Una base para M7X * "" $ "$ '# ($ #! )* a b a b Una base para O/< X " " ! a b
Problema 13.
-
Dadas
E ]
% # " # +$ # # " ,# # & % -& # % & .
Determine una base para el subespacio definido por:[
sea compatible [ E\ ] a \ + , B- . B
B
B
"
#
$
%
Solucin.
E\ ]
% # " # + % # " # +$ # # " , " ! $ $ , +# # & % - # ! ' ' - +& # % & . " ! $ $ . +
! # "" "! %, $+" ! $ "! + ,! ! ! ! + #, -! ! ! ! #+ , .
E\ ] + #, - !
#+ , . !
es compatible
luego a \ [ \ + ,- . - + #,. #+ ,
\ + ,+ , " ! ! " + #, #+ , " # # "
[ " ! ! " " # # "
es L.I. por tanto una base para " ! ! " " # # " [
-
Problema 14.
Si es una base para un espacio vectorial V sobre , si y@ - !337
3"
? - @ , @ 4 " # $ 7 "4 4 4 7 con Demuestre que es linealmente independiente pero no una base para V.? 4 4"
47"
Solucin.
Si por demostrar !3"
7"
3 3 3+ ? + ! a 3 " # 7 ")
De la hiptesis se tiene ( !3"
7"
3+ - @ , @ 3 3 7 )
! !4" 3"
7" 7"
4 4 3+ - @ + ,3 7 @ )
Como note que para@ - ! 3 3"37 es L I. y + ! a 3 " # 7 "3
estos valores se verifica que !3"
7"
3+ ,3 !
No es una base pues son solo vectores y la dimensin de es .7 " Z 7
Problema 15.
Discutir segn sean los valores de los parmetros reales y el sistema lineal de+ ,8 " 8 "ecuaciones con variables, y resolver el sistema cuando seacompatible.
B +B +" 8" B +B +# 8" B +B +8 8" + B B ,!
3"
8
3 8"
Solucin.
E " ! ! ! +! " ! ! +! ! " ! + ! ! ! " ++ + + + "
-
" ! ! ! +! " ! ! +! ! " ! + ! ! ! " +
! ! ! ! " 8+
# E " 8+#
Si 0 y cualquier real el sistema tiene nica solucin" 8+ + ,# "8
que resulta ser y B B B B 8 " + , 8+
8+ " " 8+" # 8 8"# #
#
Si y el sistema tiene infinitas soluciones (con un parmetro) que+ , ""8
resulta ser: parmetro.B " B 3 " # 8 B"
83 8" 8"
Si y el sistema es+ , "
-
b) Hallar ( ocupando la matriz que obtuvo en a)..
.B% (B 'B ")B # $
Solucin.
a) Note que es una T.L. pues:0
0:B ;B :B ;B : B ; B 0:B 0;Bw w w
05 :B 5 :B 5 : B 5 0:Bw w
As,
0" ! ! B ! B # ! ##
0" B " ! B ! B # ## "#
0" B #B ! B # B # # ## #
0 B $B $ B ! B # ! #$ # #
de aqu se obtiene
E ! ! ! $! ! # !
! # !
"
#
b) Sea como se tiene:B % (B 'B ")B 0:B E :B # $W W# "
:B "( " ( " B ' " B ") B# $
0:B ! ! ! $ &%! ! # ! "#
! # !
"( ( '")
W#
" $"# # luego ( % (B 'B ")B &% B "# B # #
. $"
.B ## $ #
&%B "# B (#
Problema 18.
E " ! ,! , $+ , # "
-
a) Determine y tal que sea un vector propio de + , E#"!
b) Determine y tal que sea un valor propio de (no invierta )+ , > E E"#"
c) Si determine de modo que no sea diagonalizable.+ ! , E
Solucin.
a)
" ! , # #! , $ " "+ , # " ! !
> +
> "
, "
$#
b) valor propio de es un valor propio de as> E > # E"
#"
" ! , B B! , $ C C+ , # " D D
# + ! , ! , #
c) Para que no sea diagonalizable se debe pedir que un valor propio, tengaE multiplicidad algebraica 2 o 3 en este caso, y luego verificar su multiplicidad geomtrica(que debe ser diferente)
Notemos que obligandoT > > " > , > " $ , # > "E "
a que por tanto resulta> " " , ! $, # ! , ##
para cuya multiplicidad algebraica es 2 y su geomtrica es 1> > " , #" #
Por otra parte tambien se pueden obtener races repetidas imponiendo que
tenga su discriminante nulo, es decir> , > " $ , # !
en este caso:J , " % #, ' ! ,
y su multiplicidad geomtrica es 1.> " > > #" # $
Finalmente ntese que en este caso la multiplicidad algebraica de un valor propio no
puede ser 3, pues como para que necesriamente y esto> " > " , #" #
implica que > #$
Problema 19.
-
Dado , donde [ \ Q E\ ! &"
1 2
2E
" " # - " + , -# # + + , % %
a) Determine los valores de y de modo que la dimensin del subespacio+ , -
[ sea: i) 3 ii) 4.
b) Encuentre tres valores para y para los cuales la dimensin de sea 2,+ , - [
exiba una base en tal caso.
Solucin.
a)
1 2
2E
" " # - " + , -# # + + , % %
" " " # -! + " , " ! !! ! #+ # + , % #-
Para obtener es necesario que se anule la fila 2 o la fila 3 (pero no.37[ $ambas) en caso que sea la fila 2 lo que obliga a que + " , - #
Si se anula la fila 3 y en este caso la dimensin de es 4. + " , - # [
b) Basta tomar por ejemplo: (no es el nico caso), as:+ , - !
" " " # ! " ! ! # !! " " ! ! ! " ! ! #! ! # ! % ! ! " ! #
B #B
B #B
B #B
" %
# &
$ &
As a \ [ \ B B
#B # !#B ! #
#B ! #B " !B ! "
%
&
&
%
&
% &
-
una base para resulta ser , [
# !! #! #" !! "
Problema 20.
Sea una transformacin linealX Z [
a) Demuestre que es un subespacio de O/< X Z
b) Es verdad? que si es una base para entonces lo es para@ Z X @ 3 338 383" 3" [
Solucin.
a) Como X O/< X O/< X g) ) )Z [ Z
a O/< X X X
! " ! )
" )[
[
Sumando miembro a miembro resulta:
X X X O/< X ! " ) ! " ) ! "[ [
Tambien se tiene
5 X 5 X5 5 O/< X ! ) ) ! ) ![ [ [
b) Es falso, pues basta tomar la base cannica de y si se supone que$
no es una baseX" ! ! #X ! " ! X" ! ! X ! " ! X ! ! "
para el espacio de llegada de X
Problema 21.
Sea determine una[ " " " " " " # $ % & " % * "' #& base ortogonal para [
Solucin.
De inmediato por Gram Schmidt se tiene:
-
"" " " " " "
"# "&& " # $ % & " " " " " # " ! " #
"$ " % * "' #& """ " " " " ' # " ! " #
# " # " #
luego una base ortogonal para resulta[
" " " " " # " ! " # # " # " #
Problema 22.
Sea una transformacin lineal definida porX % %
XB C D > B $B C $D > B $C D >" ") ) ") (B C D $>
a) Determine la matriz representativa de con respecto a las bases cannicasE X de %
b) Determine los valores y vectores propios de E
c) Justifique porque? es diagonalizable y calcule E Elim8_
8
Solucin.
a) De inmediato E
) ! ! ! $ " $ "" $ " "
( " " $
")
b) > " #" # & $!" "!
> ! " " "# #") !
> ! " " #$ $"# !
> ! " " !% %"# !
c) es diagonalizable pues existe una base de vectores propios para E %
Note que E T H T8 8 "
-
#" ! ! ! # " " "& " " "
$! " # !
" ! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
!
")
"#
"#
"#"* " " "#" $ $ $" " " "# ' ' $" " "' # #
8
8
8
8
tomando el lmite resulta finalmente
=
" ! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
##""$!#"
Problema 23.
Determine (si es posible) de modo que los conjuntos5
W " # " " # ! " " $ 5 ! # " a b a b a b W % % & " ! % $ " # a b a b generen al mismo subespacio de .%
Solucin.
Como tiene solo 2 vectores L.I., entonces genera un subespacio de dimensin W ##por tanto debemos probar dos cosas:
1) Determinar de modo que sea L.D. y que para dicho valor sean5 W"exactamente vectores L.I.#
2) Se debe probar que los generadores L.I. de generen al mismo espacio que# W"los dos generadores de para el valor de encontrado.W 5#
En efecto 1) B " # " " B # ! " " B $ 5 ! # ! ! ! !" # $a b a b a bB B B 5 #" # $y no todos nulos a la vez implica 2) Por probar que a b a b a b a b " # " " # ! " " % % & " ! % $ " a B C D > " # " " # ! " " a b a b #B C %> ! #B D $> ! "a b
a B C D > % % & " ! % $ " a b a b
-
#B C %> ! #B D $> ! #a bComo entonces ambos conjuntos generan al mismo subespacio.a b a b" #
Problema 24.
Sea sobre ,Q88
a) Sea sobre , definido por[ Q88
[ E Q >< ! ! [ Q Q 9 ii) a EF [ > >
1) [ [ # [ [ Q" # " # 88)
sumando" a E [ [ E [ E [ E E E E" # " # > >
estas dos ecuaciones miembro a miembro resulta #E ! E ! Q Q [ [ " # )# a E Q E E E E E Como en donde88 " "# #
> >
" "# #> >
" # " # 88E E [ E E [ [ [ Q
Problema 25.
Dado el sistema que tiene por solucin aE\ , E$&
-
\ > > >
% $ # "" ! " #! " ! "
" # # #! ! " #
" # $
a) Determine una base ortogonal para O/ > Solucin.
a) Una base para el es , por Gram SchmidtO/< X
$ #! "" !# #! "
" "" # "! ""% (
$ # $ "! " ! (" ! " # # %! " ! (
luego una base ortogonal es ,
$ "! (" %! (
b) Como .37O/< X # .37M7X & # $ M7X $
c)
\ > >
% $ #" ! " " ! $ ! # %! " ! ! " ! ! " "
" # # ! ! # " # "! ! "
" #
-
" ! ! + " ! ! +! " ! , ! " ! ,
$ ! # - ! ! ! $+ - #.! ! " . ! ! " .
# " # / # " # #+ , #. /
$+ - #. ! #+ , #. / !
Problema 26.
Sean y polinomios en Averiguar si:: B ; B T a b a b # a b a b a b a b a b:B ;B : ! ; ! : " ; " es un producto interior en T #
Solucin.No es un producto interior pus por ejemplo, si : B B B a b #
a b a b a b a b a b a b:B :B : ! : ! : " : " ! " " ! : B !# # lo que contradice que si 0 debe ser 0.a b a b:B :B : B
Problema 27.
Sea una base ortonormal para un espacio con producto Z! ! !" # 8interior. Demuestre que si es un vector cualquiera de entonces! Z
|| ||! ! !#5"
8
5# !a b
Solucin.
! ! ! ! ! ! ! + + ! !a b a b5" 5"
8 8
5 5 5 5 5 5 note que
|| || ( por propiedad! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#5" 5"
8 8
5 5 5 5 a b a b a ba b! !distributiva del producto interno, por tanto se tiene que || ||! ! !#
5"
8
5# !a b
Problema 28.
-
Sea E
" " ! !! " " "" ! " "! ! " !
a) Factorice en E UV
b) Aprovechando la factorizacin hecha en a) resuelva el sistema enE\ , que ., "! #! "! "!> c d
Solucin.a) Por Gram-Schmidt "" " ! " !a b "# " "# # " " ! ! " ! " ! " # " !a b a b a b "$ " " "# ' $ ! " " " " ! " ! " # " ! # # # $a b a b a b a b "% " " %# ' #" ! " " ! " ! " ! " # " ! # # # $a b a b a b a b " " " ##( a b As, resultaU
y U V U E ! !
! !
! !
! ! !
" " # " # " " "
# #" ( # # # #'# # " $ " "
' ' ' '#" (" " # "
# #" ('$ #
#" (
>( %
#" #"#
(
b) E\ , UV\ , V\ U , U , !" > #! %! (!# #"'>
De donde : #B B B B #!" # $ % $B B B %!# $ % (B %B (!$ % B !% Finalmente, facilmente se obtiene: B #! B "! B "! B !" # $ %
Problema 29.
Sea una T. L. definida porX $ $
E " $ %$ % (
# # !
a) Describa la imagen y el nucleo de X
-
b) Describa el nucleo de la transformacin lineal cuya matriz representativa es E>
Solucin.a) Sea ] M7X
y b + + + ] + + +B " $ %C $ % (D # # !
" # $ " # $
" $ % B$ % ( C
# # ! D
" $ % B
! " " $B C
&
! ! ! #B D C $B
) &
La existencia de y obliga a de donde se obtiene+ + + !#B D C $B
) &" # $
"% B )C &D ! que representa a un plano por el origen.
*Tambin es vlido el argumento siguiente: la imagen est generada por losvectores columna de y como de los tres dos son L.I. entonces generan un planoEpor el origen.
Para el nucleo de X a\ O/< X \ B " $ % !C ! " " !D ! ! ! !
B C D \ D" ! " ! D "! " " ! D "! ! ! ! D "
que s la ecuacin paramtrica de una recta que pasa por el origen.
b) Tambin es una recta por el origen, que es perpendicular al plano generado porla imagen de pus .E O/
Procediendo en forma similar a la parte a) se llega
note que la direccin de esta recta coincidea\ O/< X \ > "% ) &
con el vector normal del plano obtenido en la parte a) y que afirma lo dichoanteriormente.
Problema 30.
Sea una funcin definida porX Q Q#$ $#
-
; 41
X E E F a E Q F " " ## #
" "a b > #$
a) Pruebe que es una transformacin linealX b) Determine una base para el O/< X c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases: cannicas deX y a la baseQ#$
" " " " " " " " " " " !" " " " " " " ! ! ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! ! !
Solucin.
a) i) X E E E E F F E E F E Ea b a b a b a b" # " # " #> > > > >> " # F E F E E F E F X E X E> > > > > >" # " # " #a b a b ii) X 5E 5EF F 5E 5 F E 5EF 5 X E a b a b a b> > > > > >b) a E O/< X X E ! E F ! EF !a b > con de donde resulta sistemas homogeneos del tipoE B B B
C C C " # $" # $ dos B #B B !" # $ B #B B !" # $ #B %B B !" # $ cuyas soluciones son: por tantoB #B B ! C #C C !" # $ " # $
E B C #B B ! # " ! ! ! ! #C C ! ! ! ! # " ! # ## # # #
luego una base del resulta O/< X # " ! ! ! !! ! ! # " !
c) Como ; 41
X E F E a E Q F " " ## #
" "a b > > #$
X ! # # " " " " !" !# !
a b % . . . . . ." " # $ % & '
X ! % % # # # # !# !% !
a b % . . . . . .# " # $ % & '
-
X ! " " " " " " !" !" !
a b % . . . . . .$ " # $ % & '
X # # " " " " ! "! "! #
a b % . . . . . .% " # $ % & '
X % % # # # # ! #! #! %
a b % . . . . . .& " # $ % & '
X " " " " " " ! "! "! "
a b % . . . . . .' " # $ % & ' donde:
. . . . ." # $ % & " " " " " " " " " "" " " " " " " ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! !
y .' " !! !! !
luego la matriz de transformacin pedida es
G
! ! ! # % "# % " # % "
# % " " # "" # " " # "
" # " " # "" # " " # "
Problema 31.
a) Sea una matriz cuadrada de y y matrices tales queE 8 8 U FE U FU a 5 E U F U demuestre que " 5 " 5
b) Si es diagonalizable, existe tal que E U T E T HT"
Sea se define por: > > - > - > - : Ea b a b8 8"8" " ! : E E - E - E - Ma b 8 8"8" " ! 8 i) Demuestre que si es un valor propio de entonces es un valor- -E :a b propio de : E a b ii) Demuestre que es diagonalizable: Ea b
-
iii) Aproveche para resolver en forma apropiada E T HT E\ ,"
Solucin.a) Sea con 5 5 ! Por induccin, para lo que es verdadero por hiptesis5 " E U FU"
Sea vlido para o sea se cumple 5 E U F U LM5 " 5
Por demostrar para o sea 5 " E U F U X 5" " 5" a bEn efecto, E E E U F U U FU U F U U FU5" 5 " 5 " " 5 "
U F FU U F U" 5 " 5"
Si se cumple 5 ! E M U U U F U! " " !8 Si asumiendo que es no singular(y por tanto lo s), entonces5 ! E F se tiene: (ya demostrado) entonces7 5 ! E U F U7 " 7
E E U F U U F U U F U5 7 " " 7 " " 7 " " 5
b) i) Si es un valor propio de asociado al vector propio entonces- E @ : E @ E - E - E - M @a b 8 8"8" " ! 8 E @ - E @ - E@ - @8 8"8" " ! @ - @ - @ - @- - -8 8"8" " ! - - - @- - -8 8"8" " ! : @a b- con lo que es un valor propio de : : E a b a b-
ii) Como es diagonalizable entonces existe tal que luegoE T E T HT"
: E E - E - E - Ma b 8 8"8" " ! 8 T HT - T HT - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " ! T H T - T H T - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " ! T H - H - H - M T" 8 8"8" " ! 8 T : H T" a b Lo que implica que es diagonalizable, pus: Ea b es diagonal por: H H - H - H - Ma b 8 8"8" " ! 8 ser una combinacin lineal de matrices diagonales.
iii) Sea un sistema. Asumiendo que y que esE\ , E T HT H"diagonal,
-
se cumple: E\ , T HT\ , HT\ T, HT\ T, "
H] T, T\ ] Pero como es diagonal, resolver para es muy simple de resolverH H] T, ] pus, si
y H ] T,
. ! ! C - ! . ! C - ! ! . C -
"" " "
33 3 3
88 8 8
entonces donde para cada 1 se tiene] 3 8
C . C . C .
" "
3 3
8 8
si
arbitrario si .
, !
C , !3
-, 33
3 33 333
Obtenido ya para resolver basta con ya que ] T\ ] \ T ] T" "existe y se asume conocida.
Problema 32.
Sea la transformacin lineal cuya matriz con respecto a las bases cannicas deX% es .E
E
"& '' %% $$! "$ #" "&" "& #" "## ") ## )
a) Encuentre una base para con respecto de la cul la matriz representativaW %
de sea diagonal.X b) Calcule X '" ( "% "& "!a b
Solucin.a) Valores propios: > & > # > > %" # $ % Vectores propios asociados, respectivamente:
y ! ! ! !" # $ %
"" ! $! $* $ $ ( &% $ $ !% # ! $
-
luego la base pedida es W ! ! ! !" # $ %
b) Expresamos el vector en C.L. de los vectores propios de laa b'" ( "% "&base W
'" "" ! $! $* ( $ $ ( &"% % $ $ !"& % # ! $
# # ! "
X #X #X "X
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
X # & # # " %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
X # & # # " %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
# # # #
X # & # # " %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
"! "! "! "!
X
'" ( ' & ' # & %"%"&
## & $* %
) & ' #
) & ' # $ %
"!
"! "!
"! "! "!
"! "!
"! "! "!
Problema 33.
a) es una matriz de con dos valores propios. Un espacio propio esE & &tridimensional y el otro bidimensional. Es diagonalizable? ,porque?.E
b) Demuestre que si es un vector propio de y entonces es? EF F? F?)un vector propio de FE
c) Sea una forma cuadrtica dada por siendo el vectorJ J \ E\ \a b! >coordenada del vector con respecto a una base de ! ! ! ! W " # 8 8donde es una matriz simtrica diagonalizable.E
-
Sean los valores propios de > 3 " # 8 E3
es definida positiva J > ! a 3 " # 83 es definida negativa J > ! a 3 " # 83 es semidefinida positiva y algn J > ! a 3 " # 8 > !3 3 es semidefinida negativa y algn J > ! a 3 " # 8 > !3 3 es indefinida existen y J > ! > !3 4Segn lo anterior encuentre la forma cuadrtica asociada a las siguientes matrices yclasifquelas
E F G $ # % $ # !# ! # # % #% # $ ! # &
% ! #
% # !
! # %
# ! %
$#
$#
$#
$#
Solucin.a) Si es una matriz de con dos valores propios, entonces un valor propioE & &es de multiplicidad algebraica y el otro de multiplicidad algebraica 2 y se dice que$un subespacio es de dimensin 3 y el otro de dimensin 2, con lo que lasmultiplicidades algebraica y geomtrica de ambos valores propios son iguales, portanto E es diagonalizable.
b) Por hiptesis yEF ? >? FEF ? F>? FEF ? >F?adems , entonces es un vector propio de F? F? FE)
c) Para sus valores propios son: , y adems el valorE > > " > )" # $propio es de multiplicidad geomtrica por tanto es diagonalizable, " # Eentonces es indefinida yJ J \ E\ $B $B %B B )B B %B Ba b! > # #" $ " # " $ # $Para sus valores propios son: , y ambos valoresF > > > > " # $ %$ "$# #propios tienen multiplicidad geomtrica 2 igual a su multiplicidad algebraica,entonces es diagonalizable, y como los valores propios son todos positivos F Jdefinida positiva y 4 4 4J B %B B B $B B %B B %B B $B Ba b! # # # #" # $ % " # " % # $ $ %Para analogamente sus valores propios son: 1, 4 y todosG > > > (" # $distintos entre si, luego es diagonalizable, y por tanto es definida positiva yG J
J $B %B &B %B B %B Ba b! # # #" # $ " # # $Problema 34.
Sea una T. L. definida porX Q Q" ## ##
-
X + , #- + -- . , #- ."
y sea otra T.L. definida por la matrizX Q Q# ## ##
" # ! !# $ " !! " ! #! ! # "
con respecto a la base W " " " " " " " !" " " ! ! ! ! !
a) Determine los valores y vectores propios de Es diagonalizable?X "
Justifique.
b) Usando cambio de base determine los valores y vectores propios de X X" #
Solucin.a) Sea la matriz representativa de con respecto a cannicas de , es decirE X" %
E
! ! # !" ! " !! " # !! ! ! "
Valores propios: y > > " > " > #" # $ % Vectores propios:
y
0001
@ @ @ @
# # "$ " !" " "! ! !
" " " "
es diagonalizable pus existe una base de vectores propios con respecto de laEcual, puede ser representada por una matriz diagonalX"b) Sea la matriz representativa de con respecto cannicas de G X W # w %y como F W W T T G TFT"
W Ww w
G
-
donde de dondeT T
" " " " ! ! ! "" " " ! ! ! " "" " ! ! ! " " !" ! ! ! " " ! !
"
G
$ # $ "# $ & "! " ' #! ! # "
Con lo que, la matriz de es X X EG
! # "# %$ $ * $# " ( $! ! # "
" #
Valores propios de : EG > !&"! #! 3 > !"$'#" #
y > * )%#* > !&"! #! 3$ % Vectores propios:
y
000
1
@ @ @
"'"" ' ')& 3 #)( '%)*'(%! '#!* 3 '"! $%!)!#%% "!#' 3 %$" %%#"
" "
" # $
@
"'"" ' ')& 3'(%! '#!* 3!#%% "!#' 3
"
%
Problema 35.
Sean y W " -9=> -9= > -9= > W " -9= > -9= #> -9= '> " ## '
Suponga las siguientes identidades trigonomtricas-9= #> # -9= > "#
-9= $> % -9= > $ -9= >$
-9= %> ) -9= > ) -9= > "% #
-9= &> "' -9= > #! -9= > & -9= >& $
-9= '> $# -9= > %) -9= > ") -9= > "' % #
Sea el subespacio generado por las funciones en [ W"a) Escriba los vectores coordenada de los vectores de con respecto a yW W# "selos para demostrar que es un conjunto linealmente independiente en W [#b) Explique por qu es una base para W [#
-
c) Determine la matriz de cambio de base de a W W # "
Solucin.a) Sean: , entonces% % % %" # $ (# ' " -9=> -9= > -9= >
" " ! ! ! % % % %" # $ (
-9=> ! " ! ! % % % %" # $ (
-9=#> " ! # ! % % % %" # $ (
-9=$> ! $ ! % ! % % % % %" # $ % (
-9=%> " ! ) ! ) ! % % % % % %" # $ % & (
-9=&> ! & ! #! ! "' ! % % % % % % %" # $ % & ' (
-9='> " ! ") ! %) ! $# % % % % % % %" # $ % & ' (
" -9=> -9=#> -9=$>
" ! "! " !! ! #! ! !! ! !! ! !! ! !
W W W W" " " "
! $!%!!!
-9=%> -9=&> -9='>
" ! "! & !
) ! ")! #! !) ! %)! "' !! ! $#
W W W" " "
Como
por tantoE < E (
" ! " ! " ! "! " ! $ ! & !! ! # ! ) ! ")! ! ! % ! #! !! ! ! ! ) ! %)! ! ! ! ! "' !! ! ! ! ! ! $#
a b
W# es L.I.
b) Son LI. , pertenecen al espacio generado por por la parte a) y son que sW ( " la dimensin de [c) La matriz de cambio de base es la matriz mostrada en la parte a).E
-
Problema 36.
a) Sea un conjunto ortonormal en Verifique la : 8 ! ! ! " # : 8
desigualdad de que se cumple para todo en :F/==/6 ! 8
|| || ! ! !# #3"
:
3 "b) Demuestre que la linea de mnimos cuadrados para los datos: a b a bB C B C " " # # B C B C B B C C
" "
8 8a b a b " "8 8 3 3
3" 3"
8 8
debe pasar por donde y
Demostracin.a) Extendiendo el conjunto ortonormal dado a una base ortonormal de se tiene8{ as ,! ! ! ! ! ! " # : :" 8 8 a
luego entonces! ! ! ! ! ! ! ! B B ! !a b a b3" 3"
8 8
3 3 3 3 3
|| || ( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#3" 3" 3"
8 8 8
3 3 3 3 3# a b a b a ba b a b" " "
por tanto, la desigualdad
|| || es evidente.! ! !# #3"
:
3 "
b) La linea de mnimos cuadrados para los datos: a b a bB C B C " " # # B C C , +Ba b8 8 est dada por en donde] \ \ E E E ] E
C " BC , " B + C " B
a b
" "
# #
8 8
> >" as
+ , 8 B C B C B C B C
8 B B 8 B B
! ! ! ! ! ! !! ! ! !
3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"
8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3
3" 3" 3" 3"
8 8 8 8# #3 33 3
# #
#3
Demostraremos que satisface a es decir, que , en efectoa b a bB C " +B , C
+B , B 8 B C B C B C B B C
8 B B 8 B B
"
8
! ! ! ! ! ! !! ! ! !"
3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"
8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3 3
3" 3" 3" 3"
8 8 8 8# #3 33 3
# #3"
8
3
#3
-
B B C B C B C B B C
8 B B
! ! ! ! ! ! ! !! !
3" 3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"
8 8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3 3 3"8
# #3
3" 3"
8 8#3 3
#
C CC 8 B B
8 B B
"
8
"83" 3" 3"
8 8 8
3 3# #3
3" 3"
8 8#3 3
# 3"
8
3
! ! !! ! "
Problema 37.
En el espacio vectorial sobre , considere el producto internoT#
a b (:> ;> :> ;> .>!
"
a) Calcular con a b:> ;> :> # > ;> % $> ># b) Determine la matriz del producto dado respecto a la base cannica de yT#
compruebe el clculo hecho en a) ocupando dicha matriz.
c) Determine la proyeccin ortogonal de sobre el subespacio de " > [ T#generado por y .:> # > ;> % $> >#
Solucin.
a) a b ( ( :> ;> # >% $> > .> ) #> > > .> )$"#
! !
" "# # $
b) La base cannica de es, entoncesT W " > > # #
G " " " > " >
> " > > > >
> " > > > >
" a b a b a ba b a b a ba b a b a b
#
#
# # # #
" "# $
" " "# $ %" " "$ % &
Comprobando la parte a) note que c d # " ! $G %
"
)$"#
c) Forma 1 donde es una base: 0 0 " > 0 0 0 0
[a b a b a b" " # # " #
ortonormal para [ Por Gram-Schmidt
0 # >" as0 % $> > # > "$) $""> ('> # # #)$ $ ""# "* ('a b a b
-
es una base ortonormal para # > "$) $""> ('> [" "#&"( ')#a b a b
luego, : # > # > [a b a b a b " "#&"( #&"(
a b a b" > "$) $""> ('> "$) $""> ('>" "') ')# #: ('>
[ # #a b a b a b" #$ "#&"( ' ') #( )
:[a b #
Problema 38.
a) Sea una matriz de demuestre que E 7 8 O/
-
Demostracin.
a) Si entonces Esto demuestra que a b E\ ! E E\ E ! ! O/ >est contenido en O/
Si entonces As que a b E E\ ! \ E E\ \ ! ! E\ E\ !> > > > > E\ll ! E\ !lo que implica que || y por lo tanto Esto demuestra que#O/
-
Problema 39.
Encontrar la forma de la transformacin lineal que representa la proyeccinXortogonal de un punto en el espacio sobre el plano y su matriz+B ,C -D !representativa con respecto a alguna base de , tambin demuestre que$X X X
Es lineal la transformacin si el plano es de la forma con+B ,C -D . !. !?
Solucin.
Primera forma
Suponiendo + ! B C D 5 C : D , -
+ +
5 C : DCD
!
! C D 5 : 5 :" ! " !! " ! "
por tanto el plano esta generado por: y , luego
As M7E [ E X \ E E E E \ a\ 5 : B" ! C! " D
a b a b> >"
Segunda Forma
[ E X \ M E E E E \ + +, ,- -
> >$
" a b a bAs con+ ! , ! - !
De inmediato de aqu, la matriz representativa de esX
"+ , -
# #
# #
# ## # #
, - +, +-
+, + - ,-
+- ,- + ,
X X E E E E E E E E E E E E E E E E Xa b a b a b a b> > # > > > > > >" " " " Si el plano no pasa por el origen no se verifica que luego no es unaX ) )
X P.
Problema 40.
Sea una transformacin lineal definida porX $ %
-
X \ E\ \ E BCD
" 5 #55 " 5#5 #5 "
#5 " $5 #5 "
a b
donde es un parmetro real dado.5
a) Demuestre que para un vector de la imagen, los valores y a b+ , - . + , - .satisfacen una ecuacin homogenea independiente de que define a la 5 M7X
b) Determine y la nulidad de < X X a b c) Halle los valores de para los cuales se tiene que 5 < X $a b d) Calcule para X " ! " ! 5 ""a b Solucin.
a) Recordemos que la Imagen de esta generada por los vectores columna de X Eentonces
" 5 #5 +5 " " ,#5 #5 " -
#5 " $5 #5 " .
Es suficiente hacer para obtener J% J J . + - !" $
b) Como adems de la operacin anterior hacemos < X < E J Ja b a b J" # $
" 5 #5 $5 " $5 " $5 "5 " 5 5 " 5#5 #5 " #5 #5 "
#5 " $5 #5 " ! ! !
< X # 5 X $ < X $ # ""
$a b a b a b(
Si haciendo y posteriormente 5 J 5J #5J"
$5 ""$ " " " J J# $
1 1
$5 " $5 " $5 " "5 " 5 ! " 5 !#5 #5 " ! ! " #5! ! ! ! ! !
< X # 5 " 5 X $ < X $ # "
"
#a b a b a b(
< X $ 5 5 " 5 X $ < X $ $ !" "
$ #a b a b a b(
-
c) < X $ 5 5 " 5 " "
$ #a b
d) considerando seX X 5 "
" "! !
" "! !
B BC CD D
"
tiene
" " # " " " ! "" " " ! ! ! " "# # " " ! ! ! !$ $ $ ! ! ! ! !
parmetroX >
"!
"!
" >>"
"
Problema 41.
a) Demuestre que todas las races del polinomio caracterstico de una matriz realsimtrica son nmeros reales.
b) Si es una matriz simtrica de entonces los vectores propios queE 8 8corresponden a valores propios de distintos entre si, son ortogonales.E
Demostraciones
a) Sea una raz del por demostrar que > + ,3 T > , !E con T > ! l + ,3 M El ! E E + a 3 4E 8 34>a b a b Ahora el sistema homogeneo [ ] ( , noa b a b+ ,3 M E 3 ! !3 8 8! " ! " nulos a la vez) tiene solucin distinta de la trivial de aqu se sigue +M E ,8! ! M +M ,M E ! !38 8 8" " ! "a b +M E ,8! ! M ! +M ,M E !8 8 8" " ! " de donde " +M E ,8! ! M ! + M E , M ! "8 8 8" " ! " ! " "a b a b a b a b a b a b a b a b+M ,M E ! + M E , M ! #8 8 8 8" ! " ! " ! " ! ! !pero como, a b a b a bM M M M 8 8 8> > > >8" ! " ! " ! " ! " M8!y tambin a b a b a bE E E E E" ! " ! " ! " ! " !> > > >remplazando en y y restando miembro a miembro resultaa b a b" #, M , M ! , ll ll ll ll ! a b a b8 8 # #! ! " " ! " , !
-
b) Sean dos vectores propios asociados a los valores propios y con! !" # " # > > , por tanto se debe tener: con > > E > E > " # " " " # # # " #! ! ! ! ! ! )Ahora, como como > > E E E E E" " # " " # " # " # #> > > >"a b a b a b! ! ! ! ! ! ! ! ! ! de donde E E > > ! ! ! ! ! ! ! !>" # " # " # # " ##a b a b a b pero como entonces> > ! > > ! " # " # " # " # " #a b a b! ! ! ! ! ! ) y son ortogonales.! !" #
Problema 42.
a) Para que valores de y es posible encontrar una matriz de orden 4,5 : Esimtrica real, tal que sus valores propios sean: con vectores propios:# " " "a b a b a b a b% # 5 " " " # ! " : " " ! % # ' respectivamente.
b) En caso que sea posible determinar y encuentre la matriz mediante una5 : Ematriz ortogonal que la diagonalice, en caso contrario haga caso omiso de estaTparte.
Solucin.
a) Por la parte b) del problema 3 deben ser ortogonales necesariamente los paresde vectores siguientes: % # 5 " " " # ! ! 5 " "a b a b a b % # 5 " " : " " ! % #: 5 " ! : #a b a b % # 5 " ! % # ' ! ) #5 ' ! 5 "a b a b " " # ! " : " " ! " : # ! : $ a b a b
por tanto no es posible encontrar una matriz simtrica, pues los vectores propiosasociados deben ser ortogonales.
b) Se omite.
Problema 43.
Sea una y sea su matriz representativa con respectoX Q Q XP E## ##a las bases cannicas de (partida y llegada), dada porW Q" ##
E
( $ # " #$ "& ( #"$ * & "* ' $ !
"$
-
a) Determine X " #! "
"
La inversa de la matriz representativa es , por lo2 00 1 4
E
" ! " "# " ! "" $
"
"
tanto para obtener lo pedido, calculamos .
E
" !# $! &
" #
"
Entonces = 0 35 2X
" #! "
"
b) Determine ( ) si [ ] dondeX
"#!
"
"W! ! #
}W " " " " " " " !
" " " ! ! ! ! !#
! " # ! " " " " " " " " ! # $" " " ! ! ! ! ! $ "
por tanto =
0
E X
# !$ ) # $ )$ "( $ " "( %" %
" "
c) Encuentre matriz representativa de con respecto a la base partida yF X W #
llegada).
De inmediato con asF T ET T
" " " "" " " !" " ! !" ! ! !
"
luego T F
! ! ! "! ! " "! " " !" " ! !
# # " $
"
( ) % "#' ( % "!
"# " %$ $ $
Problema 44.
-
En , dado el subespacio % [ " ! # # " " " " $ " & $ a b a b a b a) Determine una base ortonormal para [
b) Determine una transformacin lineal X % %
tal que el y O/< X [ M7X [
Solucin.a) Una base para es } pus el vector[ " ! # # " " " "a b a b es C.L. de los otros dos vectores.a b$ " & $ Por Gran Schmidt "" " ! # #a b "# " "* * " " " " " ! # # ) * ( ""a b a b a b Una base ortonormal resulta { " "$ $"&a b a b" ! # # ) * ( "" b) Tomamos una base para que incluya a los vectores y% a b" ! # # por ejemploa b" " " " {a b a b" ! # # " " " " " ! ! ! ! ! ! "
por otra parte de[ B C D > B #D #> ! B C D > ! a b donde resulta [ # " " ! # $ ! " a b a b As: X " ! # # ! ! ! !a b a b X " " " " ! ! ! !a b a b X " ! ! ! # " " !a b a b X! ! ! " # $ ! "a b luego a b a b a b a bB C D > D C C #B C D > D #C" "# #" # $ %& & & & X B C D > a b " "# #" # $ %a b a b a bD C X C X #B C D X > D #C X & & & & X B C D > #B C D # " " ! > D #C # $ ! "a b a ba b a ba b"# X B C D >
#B $C $D #>
B C D $>
B C D
> D #C
a b
"$ (# #
" "# #
Problema 45.
-
Sea una base para y sea dado un producto interno enW ! ! ! " # 8 8 ! !8 34 3 4 34 - G 3 4 " # 8 G-tal como y sea note que sc dsimtrica
Si y , entonces: donde y ! " ! ! " ! + , + ,83" 3"
8 8
3 3 3 3 3 3! !son determinados en forma nica, as se define e a b! " ! " \ G] \ ] >
W W
a) Es necesario imponer alguna condicin para que sea un producto internoa b! "bien definido.b) Con atencin a su respuesta en a) se puede afirmar que es un productoa b! "interno si la base esW W " " " " ! # " " " a b
y calcule y la si y a b a b a b! " ! ! " ll ll " # ! # $ " Solucin.
a) Las tres primeras propiedades de un producto interno se cumplen sin dificultad(debe verificarlo), para la cuarta propiedad esa b! ! \ G\>necesario que y esto verifica solo si es definida positiva.\ G\ ! G>
b) Debemos obtener la matriz y comprobar si es de finida positivaG
As, G G $ $ "$ & $" $ $
$ $ " $ $ "! # # ! # #
! # ! !
) #
$ $
todos los pivotes positivos, por tanto es definida positiva luego es unG a b! "producto interno considerando la base W
\ ] # %
" $! "
! "W W
a b c d ! " )# " ! $ & $ $$ $ " %
" $ $ "
ll ll " ! $ & $ "$ $ " #
" $ $ !! ! !a b c d
"#
Problema 46. Sea una T. L. con valores propios reales, se sabe queX % %
-
[ B C D > B #C > !a b #B D $> ! es un subespacio propio de tambin se sabe que que la imagen> > >< E ) 1 #del vector por es y por ltimo que |a b a b" " " " E $ $ $ $ El #"
a) Determine los valores y vectores propios de Eb) Es posible determinar de modo que sea definida positiva? (justifique)Ec) Sin determinar el indique cul es su dimensin. (justifique)O/< X d Calcule E &
Solucin.a) pus >< E ) # > $ > ) " E " " " " $ " " " "" % a b a b a b | El #" > > > > " > $ > #" #" # $ % %#" a bDe y se obtiene dea b a b a ba b" # # > &> ( ! > " #> (> ( !$ # #" " "" "donde las otras dos races son complejas entonces > " > (" %Por tanto los valores propios son: y > > " > $ > (" # $ %
Vectores propios: De se obtienen y [ # " % ! ! " ' #! !" #a b a b vectores propios asociados a , asociado a > > " " " " " > $" # $ $! a b
para consideramos > ( ! ! ! "% %! a b b) Es imposible pus tiene al valor propio que es negativo. "
c) Como | entonces El #" .37O/< X !
d) Existen varias matrices pus el vector propio puede ser cualquiera queE !%sea con los otros tres, para el caso en que se tiene quePM ! ! ! "!% a b
T T
# ! " ! & " " !" " " ! $ # " !% ' " ! # "# # !! # " " ) "' ! )
" "
)
H
" ! ! !! " ! !! ! $ !! ! ! (
E THT
# ' " ! " & " ! " ' # !( "! " (
"
-
d) E TH T& & "
Problema 47.
Sea
E
" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $
y [ \ E\ !&
a) Encuentre los valores de y de modo que la sea: + , - .37[ " # $ 9 %b) Encuentre una base para para el caso de y tal que [ + , - .37[ $
Solucin.a)
E
" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $
0 0 " # + " $
+ % ! + , $! ! $+ - % ! + , $! ! ! ! !
.37[ " es imposible
.37[ $ + % , " - )y y para cualquier otro caso diferentede estos valores para y en el que , entoces + , - .37[ $ .37[ #
Problema 48.
Sea una definida porX Q Q XP## %"
E
" # $ "! " " #" ! " "
" # ! #
con respecto a: W W" #
-
y W W " " " " " " " ! ! " ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! " !
" ! ! !
! ! ! "
" #
a) Determine una base ortogonal para M7X
b) Encuentre tal que
B C B C #D > D > !
Q X
"
5
##W#
Solucin.a) Note que la est generada por los vectores columna de < E % M7X Ea bentonces por Gram Schmidt " "" # " ! " " # " ! # a b a b "$ % ( "$ * * $ " " ! " ! " " # " ! # " # $ #a b a b a b a bb) Primero determinamos el vector coordenado de en la base es decir! W "
B C " " " " " " " !D > " " " ! ! ! ! ! > D > C D B C
X B C ! " " # D > #D > " ! " " C D !
" # $ " > "
" # ! # B C 5W#
Como el el sistema anterior es consistente para todo real.< E % 5a bProblema 49.
Sea una transformacin lineal definida porX $ $
X B C D 5B $C B #C D 5B C Da b a b a) Determine de modo que 5 .37O/< X "
b) Considere y encuentre una base para la es invertible? en5 " M7X X caso afirmativo determine una frmula para X "
c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases X W W " #
dondeW " " ! " " # ! " # W " " # " ! " " $ " #a b a b a b a b a b a by 0 .Considere 5 "
Solucin.
- a) a O/
-
encontrados en a).
Solucin.a) Se debe tener que
y " # # ! " "! " # + " "! # " , " "! # # - " "
" + # , # - $
b) Valores propios y T > ! > > " > > "E " # $ %a b Vectores propios Para y > > " " ! ! ! ! " " "" # " #! !a b a b y > > " # " " ! " " ! "$ % $ %! !a b a b Como existe una base { de vectores propios para entonces ! ! ! ! " # $ % % E es diagonalizable.
c) Como con:E TH T E TH T 8 " 8 " "!! " "!! "
H T
" ! ! ! " ! # "! " ! ! ! " " "! ! " ! ! " " !! ! ! " ! " ! "
notemos que en este caso luegoH H # ! # %" >! c d E # ! # % TH T"!! " "!! "!
Problema 51.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso que surespuesta sea verdadera demustrela, y en caso de ser falsa muestre un contraejemplo.
a) Sea el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden sobreZ 8un cuerpo y sea formado por todas las matrices que conmutan con unaO [matriz dada, entonces s un subespacio de [ Z
b) / s un espacio vectorial. $
c) En / todos los vectores ortogonales a un plano, que no pasa por el origen, $ forman un subespacio de .$
Solucin. a) Sea matriz fija.Verdadera. [ \ Z \E E\ E
-
y a\ \ [ 5 O \ 5\ [" # " # En efecto a\ \ [ \ E E\ "" # " " a b \ E E\ 5\ E 5E\ ## # # # a b Sumando miembro a miembro y se tiene:a b a b" # \ E 5\ E E\ 5E\ \ 5\ E E\ 5\ " # " # " # " # entonces , lo que prueba que es un subespacio de \ 5\ [ Z " #
b) Falsa. No se cumple el axioma 1 de la ponderacin, por ejemplo tomando
3B C D 3B 3C 3D pues no son componentes reales.$ 3B 3C 3D
c) Sea la normal del plano que no pasa por el origen entonces Verdadera. 8t
[ ? ? >8 > t t t $
o tambin [ ? ? 8 ! t t t t$
En efecto: luegoa ? ? [ ? > 8 ? > 8 > > t t t t" # " " # # " #
a 5 ? 5 ? > 8 5 > 8 > 5> 8 >8 > > 5> t t t t t t " # " # " # " #
lo que nos demuestra que es un subespacio de .[ $
Problema 52.
Sea espacio vectorial sobre linealmenteE E Z Z O E! ! !" # 8independiente, demuestre que si entonces se escribe de manera nica" " Ecomo combinacin lineal de los vectores de E
Solucin. Supongamos que hay dos formas distintas de expresar , es decir sean:"
y " ! " ! B C! !3" 3"
8 8
3 3 3 3
restando miembro a miembro estas expresiones se tiene,
) ! ! ! B C B C ! ! !3" 3" 3"
8 8 8
3 3 3 3 3 3 3
pero los son L.I. entonces !3 3 3 3 3B C ! B C a 3 " # 8 lo que prueba que se escribe de manera nica en C.L. de los vectores " E
Problema 53.
En dados:T #
-
: B # B ; B " B < B " B B = B B Ba b a b a b a b# # #Sean y determine un vector W : B ; B W < B = B ? B W " # #a b a b a b a b a btal que T W ? B # " a b
Solucin. Sea se debe verificar que? B = B B B a b a b # es un conjunto L.I., pues de ser as, entonces# B " B B B # #
y W ? B T W ? B " # "a b a b) Por tanto: conduce a+ # B + " B + B B !" # $# #
#+ + !" # + + !" $ + + !# $ cuya solucin es , resultado que se pretenda.+ + + !" # $
Problema 54.
Demuestre que toda funcin que proyecta vectores de , ortogonalmente, sobre unZsubespacio del espacio vectorial , es una transformacin lineal.[ Z
Demostracin.
Sea tal que en que en que lasX Z [ X B T B T EE E Ea b[ [
> " >
columnas de esta formada por una base de E [
As: 1) X B B T B B T B T B X B X Ba b a b a b a b" # " # " # " #[ [ [ 2) X5B T 5B 5T B 5 X B
[ [a b
luego es una transformacin lineal.X
Problema 55.
En dado Q [
" !" "" #" "
%"
a) Factorice en y ocupe y para determinarE UV U V
" !" "" #" "
C +B , ! " " # # ! " % que mejor representa a los puntos: y a b a b a b a b
b) Encuentre un vector no nulo, tal que . . .T
-
c) Determine el vector en el espacio columna de ms cercano al vector" Ec d# $ " ! > Solucin
a) De inmediato U
"
"
"
"
"#
"
&"
&$
&$
&
como E UV U E U UV M V V U E # "
! &> > >
# donde C +B , \ \ E E E ] ] , #
+ !
"
%
> " >
\ UV UV UV ] V U ]> " > " >
\ "
!
" " " ""# %' #$! ## ""%
" "% #!
"
&
" " $ $
& & & &
finalmente: C ""B #$
b) puede ser cualquiera de los vectores generadores de . [
c) con " ! ! :
-
Solucin.El sistema E\ , debe ser compatible, y como:
% % * * "' ) ( & && ( % * &
* "" "' ( &
! ! "
" !
! "
! ! ! ! !
( "$ $
"( $( # #
"" #* # #
esta matriz nos indica que el sistema en cuestin es compatible, por tanto est en,el espacio imagen de Hay infinitos cuya imagen bajo sea uno de ellosX \ X ,
se obtiene para y resulta ser B ! \ "
$" # " !%
>c d
Problema 57.
Sean las bases de ;$
W " ! ! ! " ! ! ! " " a b a b a b W " " " ! " " ! ! " # a b a b a b W $ # " % " $ " " " $ a b a b a by dada la transformacin representada en la base porW$
E " # "! " ## $ !
a) Determine las imgenes de los vectores bsicos de la base W #b) Determine la matriz de transformacin en la base W "c) Determine la matriz de la transformacin inversa en la base W #
Solucin. a) Primero determinamos los vectores coordenada de los vectores de la base W#
con respecto a la base resolviendo el sistema simultaneo:W $
$ % " " ! ! " ! ! ' "! $# " " " " ! ! " ! # $ " " $ " " " " ! ! " "" ") &
As:
" # " ' "! $ "$ ## '! " # # $ " #% $* ""# $ ! "" ") & ") #* *
-
Las vectores columna de esta matriz, representan los vectores coordenada de lasimgenes pedidas pero con respecto a la base , por tanto tales imgenes resultanW$finalmente:X " " " "$ $ # " #% % " $ ") " " " $* #! "!$a b a b a b a b a bAnalogamente, y X ! " " '" $% "') X ! ! " "( "! %)a b a b a b a b
b) E
W W$ $ T T F TET"
W W" " F
donde: T T $ % " % ( $# " " " # "
" $ " ( "$ &
"
luego resulta F ## %% "("% #% "!
'& "#! %)
c) F"
W W" " U U G U F U" " "
W W# # G"
donde: U U " ! ! " ! !" " ! " " !" " " ! " "
"
F G %) (# $# &' "!% $#
## %* ") "!" "(" &!"#! ##! )) #$$ $(& "!'
" "" ""' "'
As
Problema 58.
-
Sea es un vector propio de con valor propio correspondiente y sea un" E > 5escalar, demuestre que es un vector propio de con valor propio" E 5M8correspondiente > 5
Demostracin. Por hiptesis de aqu se tieneE > " " E 5 > 5 E 5M > 5 " " " " " "8" es un vector propio de con valor propio E 5M > 58
Problema 59.
Sean
, y E ? @ ) # * # "' % ) " "% ! % # "
a) Averigue a cul de los subespacios: , o a ninguno pertenecen losO/ " >" "
- efectuando clculos se obtiene: B :
-
Resolviendo resultta: parmetro. B D C # D D"% "$ $& "! #
Problema 61.
Sea E % $# "
a) Determine los valores y vectores propios de E
b) Resuelva X X X B " $C " #
#! #" "" c) Si es la matriz representativa de una T. L. de con respecto aE # #
. Determine frmulas para y para W X X " $ B +" # C ,"
" Solucin. a) Valores propios:
T > l>M El > $> # ! > " > #> % $ # > "E # " #
#a b Vectores propios:
> " $ $ ! " " ! # # ! ! ! !" " ! ""
> # $## #
! b) Note que existe X X X X B " $
C " #" %! " *
E E E TH T TH T TH TB " $C " #
%! " * %! " " " * " donde; y H T T \ " ! " $ # $ B
! # " # " " C "Problema 62.
a) Sea una base ortonormal para un espacio vectorial W Z ! ! !" # 8
a Z B! ! !3"
8
3 3! Demuestre que || || es igual a ! # #3"
8
3!B
b) Encuentre un vector ortogonal a todos los vectores del plano generado por:
y y muestre que dicho vector tiene la direccin del+ " # # , " " "t t
- vector donde :
- Como ;
-
E " " "! # %! ! %
b) Sean: y W " B B W " B " B B " ## #
E W W" " T T F T ET "
W W# #
donde luegoT T " " ! " " !" " ! " " !! ! " ! ! #
"
#
"
F "
#
# ! $ # % &! ! )
Problema 65.
Sea la funcin tal queJ Q ## %
J " ! ! " J " # $ %" " " "" " " !
y J % $ # & J ! " " "" " " !! ! ! !
a) Determine y demuestre que define un isomorfismo de J Q ## %
b) Determine el vector de que tiene por imagen al vector Q " ! % $## a b Solucin.
a)
J ! " " " J % # " %" ! ! "! ! ! !
y J $ " " " J ! # $ $! ! " !" ! ! !
Sea matriz de con respecto a las bases cannicas de asE J Q ## %
-
E
! % $ !" # " #" " " $" % " $
Como | es epiyectiva, y por el teorema de la dimensinEl " ! J
.37Q .37M7J .37O/< J % % .37O/< J##
entonces es inyectiva, por tanto es una biyeccin. .37O/< J ! J J
Ahora la funcin se puede expresar por donde es el vectorJ J\ E\ \
coordenada de con respecto a la base cannica de , y es claro que + ,- . Q## J\ 5] E\ 5] E\ E5] E\ 5E] J \ 5J ]a b a b lo que prueba que es una transformacin lineal, luego define unJ J
isomorfismo de Q ## %
b) Como es un isomorfismo entonces existe luegoJ J "
J " ! % $ E
" ( $ "! ) " &(! # ! $ $ ! "*
% $ ! % % % #&$ % " ' & $ $&
" "
entonces
J " ! % $ &( "*#& $&
" Problema 66.
Sea una matriz de con vectores propiosE $ $
@ @ @ " " "! " "! ! "
" # $
correspondientes a los valores propios
y respectivamente y > > > " B #"#
" # $" "$ $
a) Encuentre E B#!
b) Determine Qu pasa cuando crece( es decir, ?E B 8 8 _8
-
Solucin.
a) E TH T " " " " " ! #! " " ! " " "! ! " ! ! " #
! !
! !
! ! "
#! #! "
"$
"$
#!
#!
###
E TH T "
! "
! ! "
8 8 "
" " " "$ $ $ $
8 8
" "$ $
8 8
8 8
lim lim lim8_ 8_ 8_
8 8
" "$ $
8
"$
E B E # #" ## #
#
#
#
a b
8
8
Problema 68.
Sea [ B C D > B #D > ! B C $D #> ! a b #B C $D 5> !el subespacio asociado a un valor propio de multiplicidad y sean# > > " #> # > " E$ %y dos valores propios de cuyos vectores propios asociados son respectivamente y y ? " " " " ? " ! " # >< E )$ %a b a ba) Determine 5b) Averigue si existe la matriz y en caso afirmativo encuntrela s diag.?E E
Solucin. a) debe ser de dimensin 2, luego[
" ! # " ! " ! # " ! " " $ # ! ! " " " !# " $ 5 ! ! " " 5 # !
" ! # " !! " " " !! ! ! 5 " !
5 " ! 5 "
b) Valores propios:
> > > > ) #> # " ) > > " # $ % " " # (#
-
Vectores ptopios asociados a: son> > " # (#
y ? # " " ! ? " " ! "" #a b a b As: E THT"
E
# " " " ! " # "" " " ! " $ & $" ! " " " " $ #! " " # " # % $
! ! !
! ! !
! ! # !! ! ! "
(#
(#
es diagonalizable pues existe unaE "
#
"$ "& #( #" $ "! * '' "& $% #""& $$ '$ %"
base de vectores propios para .%
Problema 69.
Dada la matriz
E
# $ & # # %! 5 "% ' :
a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# 5 " : "!>
b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E #c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ , 5 :
pertenezca al c d+ , " 5/Solucin. a) Se debe resolver el sistema
# $ & ' # $ & ' # # % # ! " " )! " " ) ! " " )% ' "! "# ! ! ! !
\ > >
# ! # ")! " " )! ! ! !! ! ! !
* " ) "! "
b)
-
# $ & # $ & # # % ! " "! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!
< E # 5 " : "!
# $ &! " "! ! " 5! ! : "!
a bluego y
c) Se debe tener que:
# $ & ! #+ $, & ! # # % ! #+ #, % !! 5 " ! 5, " !% ' : ! %+ ', : !
+,"
de donde se obtienen: y + " , " 5 " : "!
Problema 70.
a) Demuestre que toda matriz simtrica e idempotente es una matriz de proyeccin sobre un subespacio de [ 8
b) Determine el subespacio de y adems descrbalo geomtricamente tal[ $
que la matriz
T [ "'
" " # " " # # # %
es su matriz de proyeccin
Solucin. a) Sea una matriz simtrica e idempotente de , es decir:F 8 8
y F F F> #F
Se debe demostrar dos cosas:
1) Para cualquier sea y Z entonces\ ] F\ \ ] 8
es ortogonal a ] ^
2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ M7F F \ vector de y un vector de [ [
-
En efecto: 1) ] ^ F\\ ] F\\ F\ \ F\F\ >
\ F \ F\ \ F \ F F\ \ F\ F \> > > > > > #
\ F\ F\ !>
2) Descomposicin unica)\ ] ^ ] [ ^ [
Sea una base ortonormal para ? ? ? [" # : As a\ \ B ? B ? B ? B ? B ?8 " " # # : : :" :" 8 8
es inmediato que , a esteB [3 3 3 3 \ ? " 3 : \ ? ?as ] !3"
8
vector se suele llamar :
-
@ 5? 5 t tB # B #5C $ C $5D % D %5
Con lo que: #5 $5 %5 " 5 "
#*
# # # As: y B C D
# $ %
#* #* #*
Problema 72.
a) Utilice la factorizacin para encontrar una solucin por mnimos cuadradosUV de dondeE\ ,
y E ,
" # # # " " # $ " ! " #" " # &
b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 8 F T ET"
alguna matriz invertible.T Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.Solucin. a) E\ , E E\ E , \ E E E , E UV > > > " > pero \ UV UV UV , V U UV V U , V U ,> " > > > " > > " >
Por Gram-Schmidt se obtienen
" " "" # $
"# "# $ &"! "#"#
$ &"!
&"!
&"!
''!
''
'$
As:
y U V U E
"# $ &"! ''
"# $ &"! !
"# &"! ''
"# &"! '$
# " "#
! & $
! ! '#
>
-
\ V U , U , "# &"! ''
! && '#
! ! '$
# #"!$
" > >
b) lFl lT ET l lT llEllT l lEl" "
pero entonces< F
-
X ! " ! ! " " " " "$ $ # " # $ X ! ! " ! " " " "% $ " # $
as la matriz de con respecto a a esX W W" #
E " " ! !! " " !! ! " "
ahora por cambio de base
E W W" # M T F T E "
W W" $ F
F "
#
" " " " " ! ! " " " ! " " !" " " ! ! " "
F "
#
" ! # " " # ! "" # # "
c) X F
"""!
"
#
""! ! !" # $ W$
X " " "
# # #! ! ! " " " " " " "" # $ " # # $ $ " $
Problema 74.
Sea el plano en con ecuacin [ B C #D !$
a) Encuentre la matriz representativa de la transformacin que proyecta ortogonalmente vectores de , sobre el plano $ [
b) Determine la matriz representativa de otra transformacin, que transforme los vectores del plano en los vectores de un plano cuya normal sea el vector[ a b" " "
Problema 75.
Sean y dos transformaciones lineales definidas por:X X " ## # # $
-
X C B"#transforma todo vector de en una reflexin con respecto a la recta
y definida por la matrizX#
E " "" "
" !
con respecto a , donde y cannicas de .W W W W" "" !1 # " #
$ a) Determine una frmula par X X # "b) Encuentre la matriz representativa de , e indique su efecto geomtrico enX"" plano de .#
Problema 76.
Sea una matriz ortogonal de y sea una transformacinE 8 8 X 8 8
definida por XB EB aB 8
Demuestre que: i) ll X B ll llBll ii) X B X C B C
Demostracin. i) ll X B ll llEBll EBEB EB EB B E EB > > > B M B B B B B llBll > >8ii) X B X C EBEC EB EC B E EC B C B C> > > >
Problema 77.
a) Si y son vectores propios de asociados con el valor propio entonces? @ E > para cualquier vector no nulo en .A ? @ EA >Ab) Sea una matriz diagonalizable, entonces demuestre que la matriz diagonalizadaE tambin satisface el polinomio caracterstico de H E
Solucin. a) Dado que: y E? >? E@ >@ ? @ A ? @ A 5? :@)
As: EA E5? :@ 5E? :E@ 5>? :>@ >5? :@ >A b) diagonalizable no singular tal que entoncesE bT E THT "
por Cayley HamiltonT > > + > + > +E 8 8"8" " ! de aquE + E + E + M !8 8"8" " ! 8
-
THT + THT + THT + TT !" 8 " 8" " "8" " !T H + H + H + M T ! 8 8" "8" " ! 8
H + H + H + M ! H T >8 8"8" " ! 8 Esatisface a .
Problema 78.
a) Mediante la factorizacin de determine una solucin por mnimosUV E cuadrados de EB ,
E ,
" # " "" $ # ## & $ !# ! " "$ " " #
b) Mediante Cholesky muestre que 0 B C D ! a B C D a b a b $ 0 B C D *B &C 'D "#BC 'BD #CDa b # # # Solucin.
a) B V U , #$ "&$$ #) ")'''% %#''
" > ""&
donde
V "* (*#$ #!)&
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#! "$ &* "# $&(*#$ #'%" (*#$ #'%" (*#$( ' ")$% '*& %"(!
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"$*! %"(! #!)& #!)&
b)
E Y P * ' $ * ' $' & " ! " "
$ " ' ! ! %
" ! !
" !
" "
#$"$
H $ ! !! " !! ! #
-
0 B C D \ E\ \ P H HP P H \ P H \a b > > > > > >
$ # " B $ # " B! " " C ! " " C! ! # D ! ! # D
>
$B #C D C D #D C D$B #C D
#Dc d
$B #C D C D %D !# # #
Problema 79.
Para la matriz
E # " "" # "" " #
a) Determine su descomposicin espectral
b) Muestre que las matrices de la descomposicin espectral de corresponden aE las matrices de proyeccin ortogonal de cualquier vector de , sobre los$
los subespacios y [ [ > > ># $ "Solucin. a) Valores propios: > % > > "" # $ Vectores propios asociados:
1 1 11 11 1
, y !
!
base ortonormal
y 1 1 111 1 1
" " "
$ '#
! #
E > ; ; > ; ; > ; ;" " # # $ $" # $> > >
% " "!
! ! !
!
" " " " " "$ $ $ ' $ '" " " " # "$ $ $ $ $ $" " " " " "$ $ $ ' $ '
" "# #
" "# #
Ahora vamos a determinar la matriz de proyeccin de [>"
-
111
T UU " " " " " "" " "
" " "[
> " " "
$ $ $
c d
entonces T M T # " "
" # " " " #
[ $ ["$
!
! ! !
!
" "# #
" "# #
" " "' $ '" # "$ $ $" " "' $ '
Problema 80.
a) Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de
E " " # "# $ ' ## " $ "" " # "
b) Suponga que es ortogonal a y Demuestre que es ortogonal a? @ A ?t t t t cualquier vector de la forma donde y son escalares< @ =A < =t t
Solucin. a) Note que E M O/
-
por tanto es B B B ! E@ E@ E@ PM" # 8 " # 8
Problema 82.
Sean y bases para dondeW @ @ X A A T " # " # "
A > " A > "" #
Si la matriz de cambio de base de a esX W
" ## $ determine los vectores de W
Solucin.
Sea matriz de cambio de base de a , entoncesU X W" ## $
A " @ # @" " # A # @ $@# " #
de donde se obtienen: @ $A #A $> " #> " > &" " #
@ #A A #> " > " > $# " #
As los vectores de son: y W @ > & @ > $" #
Problema 83.
Responda con falso o verdadero cada una de las proposiciones siguientes, en casode ser verdadero demuestre y en caso de ser falso justifique.
a) En , || || || || para todo 8 8-@ - @ @
b) El espacio solucin del sistema homogeneo EB ! es generado por las columnas de Ec) Todo conjunto ortonormal de cinco vectores en es una base para . & &
d) Si , entonces E 8 8 < E 8es una matriz simtrica de a b Solucin.
a) Falso.
|| || || ||.-@ -@ -@ - @ @ l-l @ @ l-l @ # b) Falso.
Si es el espacio columna esta generado por vectores de E # $ # "
-
en tanto que la solucin de genera vectores de E ! $ "B
c) Verdadero.
Pus son cinco vectores y todo conjunto ortogonal es LI., .37 &&
por tanto forman una base para .&
d) Falso.
Como un contraejemplo basta tomar la matriz simtrica yE " "" "
sta es de rango 1 y no 2.
Problema 84.
De las afirmaciones que se indican, determine cules son verdaderas y cules sonfalsas. Para las que sean verdaderas debe hacer una demostracin y para las falsasbastar un contraejemplo o una justificacin adecuada.
a) Si
E + $ # " " + "! ! "
entonces el nico valor de para el cual el sistema lineal tiene una+ EB ! solucin no trivial es + #
b) Si un sistema lineal admite por soluciones a y a , entonces admiteEB , B B" #infinitas soluciones.
c) Una matriz simtrica siempre es diagonalizableE
d) Si entonces es el conjunto de todos los vectores de la[ ["!"
forma donde es cualquier nmero real.0
>! >Solucin.
a) Falso.
+ $ # " " + "! ! "
++ $ # ! + # + " por tanto
+ # no es el nico valor
-
b) Verdadera.
Si y son soluciones de y B B EB , EB , EB ," # " #
por tanto tambin es solucin puesB :B B " # "
EB :B B EB :EB EB , :, , ," # " " # "
Como es un real arbitrario, entonces el sistema admite infinitas soluciones.:
c) Falso.
La matriz que es simtrica no es diagonalizable, pues el valor propio " " !" " !! ! "
es de multiplicidad algebraica y su multiplicidad geomtrica es 1.> " #
d) Falsa.
Pues el vector tambin pertenece a y no es precsamente de la forma #"#
[
0, >
!>
Problema 85.
Determine una base ortonormal para el espacio solucin del sistema homogeneo
B B B #B !" # $ % #B B #B B !" # $ %
y encuentre el vector ms cercano al vector en el complementoa b" # ! " ortogonal de este espacio solucin
Solucin.
Sea el espacio solucin del sistema[
a? [ ? B B B B " " " # !# " # " !" # $ %
y B B B B $B" ! " " !! " ! $ ! " $ % # %
luego, ? B B B B B B $B B B " # $ % $ % % $ %
B " ! " ! B " $ ! "$ %
-
[ " ! " ! " $ ! "
"" " ! " !
"# " "# # " $ ! " " ! " ! " ' " #
As, es una base ortonormal para " ! " ! " ' " # [" "# %#
El vector ms cercano es :
-
porque
0000
( " # " $ (& # " " $ &"* % & " * "** ! $ $ $ *
O/< X
pues
0000
# " # " $ #
"# # " " $ "#( % & " * (& ! $ $ $ &
O/< X
b)
donde y F T ET E T
" # " $ " " " "# " " $ ! " " "% & " * ! ! " "! $ $ $ ! ! ! !
"
Problema 87.
a) Indique si es posible que los vectores
" " "" ! #" " "
formen una base de vectores propios asociados a los valores propios % " # tal que es diagonalizable y simtrica. No calcule E Eb) Demuestre que una matriz de proyeccin ortogonal sobre un subespacio [
solo admite por valores propios a: 0 y 1.
Solucin.a) Como los valores propios son reales distintos y sus vectores propios son ortogonales, entoces existe una matriz simtrica y diagonalizable.Eb) Sea una matriz de proyeccin ortogonal sobre un subespacio se sabe queE [
E E Ees idempotente ( .#
Si es un valor propio de y su vector propio asociado, entonces> E ? con de aqu E? >? ? E ? >E? E? >E? ) #
como >? > ? > > ? ? > > ! > ! > "# # # " #) )
Problema 88.
1. Dada la matriz
-
E
# $ & # # %! 5 "% ' :
a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# 5 " : "!>
b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E #c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ , 5 :
pertenezca al c d+ , " 5/ Solucin.
a) Se debe resolver el sistema
# $ & ' # $ & ' # # % # ! " " )! " " ) ! " " )% ' "! "# ! ! ! !
\ > >
# ! # ")! " " )! ! ! !! ! ! !
* " ) "! "
b)
# $ & # $ & # # % ! " "! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!
< E # 5 " : "!
# $ &! " "! ! " 5! ! : "!
a bluego y
c) Se debe tener que:
# $ & ! #+ $, & ! # # % ! #+ #, % !! 5 " ! 5, " !% ' : ! %+ ', : !
+,"
de donde se obtienen: y + " , " 5 " : "!
Problema 89.
-
a) Demuestre que toda matriz simtrica e idempotente es una matriz de proyeccin sobre un subespacio de [ 8
b) Determine el subespacio de y adems descrbalo geomtricamente tal[ $
que la matriz
T [ "'
" " # " " # # # %
es su matriz de proyeccin
Solucin. a) Sea una matriz simtrica e idempotente de , es decir:F 8 8
y F F F> #F
Se debe demostrar dos cosas:
1) Para cualquier sea y Z entonces\ ] F\ \ ] 8
es ortogonal a ] ^
2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ M7F F \ vector de y un vector de [ [
En efecto: 1) ] ^ F\\ ] F\\ F\ \ F\F\ >
\ F \ F\ \ F \ F F\ \ F\ F \> > > > > > #
\ F\ F\ !>
2) Descomposicin unica)\ ] ^ ] [ ^ [
Sea una base ortonormal para ? ? ? [" # : As a\ \ B ? B ? B ? B ? B ?8 " " # # : : :" :" 8 8
es inmediato que , a esteB [3 3 3 3 \ ? " 3 : \ ? ?as ] !3"
8
vector se suele llamar :
-
Que representa a una recta en $
Problema 90.
Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores:
y ? @ t t# B$ C% D
para determinar el mximo de la funcin sujeta a la0 B C D #B $C %Da brestriccin Cul es el punto donde se produce este mximo?B C D "# # #
Solucin.La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice: luego? @ l? @l ll?ll ll@llt t t t t t
#B $C %D # $ % B C D #* # # # # # # el mximo de es 0 B C D #*a b Ahora, como y es mx. cuando? @ ll?ll ll@ll-9=> ll?ll -9=> ? @t t t t t t t
es paralelo a entonces es vlido suponer que-9=> " ? @t t
@ 5? 5 t tB # B #5C $ C $5D % D %5
Con lo que: #5 $5 %5 " 5 "
#*
# # # As: y B C D
# $ %
#* #* #* Problema 91.
a) Utilice la factorizacin para encontrar una solucin por mnimos cuadradosUV de dondeE\ ,
y E ,
" # # # " " # $ " ! " #" " # &
b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 8 F T ET"
alguna matriz invertible.T Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.
-
Solucin. a) E\ , E E\ E , \ E E E , E UV > > > " > pero \ UV UV UV , V U UV V U , V U ,> " > > > " > > " >
Por Gram-Schmidt se obtienen
" " "" # $
"# "# $ &"! "#"#
$ &"!
&"!
&"!
''!
''
'$
As:
y U V U E
"# $ &"! ''
"# $ &"! !
"# &"! ''
"# &"! '$
# " "#
! & $
! ! '#
>
\ V U , U , "# &"! ''
! && '#
! ! '$
# #"!$
" > >
b) lFl lT ET l lT llEllT l lEl" "
pero entonces< F
-
a) Si y son matrices cuadradas de orden n, tales que y E F EF E FE Fdemuestre que es una matriz idempotente.E>
b) Sea demuestre que F EE E E E Q F F #> " > # >78 F
Solucin. a) Por demostrar que E E> # >
En efecto E E E EF EF F E F E F > # > > > > > > > > > FE E> >
F F E F EF F E EF E> > > > > > > > >
b) F F EE E E EE E E EE E E # > > " > > " > > " > >
EM E E E EE E E8 > " > > " > >
EE E E EE E E> " > > > " >
EE E E EE E E F F #F> " > > " >
Problema 94.
Encontrar de manera que la siguiente matriz sea ortogonal! " #
E "
$
# & &
" # &
# % &
!
"
#
Solucin. Por definicin es ortogonal si y solo si entonces se debe cumplirE E E> "
EE E E M > > $
EE M "
*
# & & # " #
" # &
# % & & & # & % &
>$
!
"
#
! " # de donde
se obtiene el sistema de ecuaciones, que sigue:
"
*% & " ! !! ! !# #
"
*# # ! !!" !"
"
*% % " !!# !#
" % $' '
* & &" "
&" " "# #
" ) $
* !
&"# #
-
" "' $
* &% "
##
As resultan dos ternas de valores para y que son:! " #
! " ! " ! ! ' $ ' $
& & & & Problema 95.
Si
y P E " ! ! " # " #
# " ! + # " "$ " " , - ! "
a) Determine y c de modo que + , E PYb) Ocupe y para resolver en los siguientes casos de P Y E\ G G 3 3
y G G ! " #! " "! # %
" #
Solucin.
a) Se debe tener que : , as resulta+ ,
" " # + # $ , $
E " # " # " # " #
# # " " ! # " $$ - ! " ! - ' $ &
entonces
- '
# " - )
b)
E Y" # " # " # " #! # " $ ! # " $! # $ & ! ! % )
Por tanto donde: E\ G PY\ G P] G Y\ ]3 3 3
P] G " ! ! ! " # ! " #
# " ! ! " $ ! " "$ " " ! # & ! # %
3
Y\ ] " # " # ! " #! # " $ ! " $! ! % ) ! # &
B C DB C DB C DB C D
" " "
# # #
$ $$
% % %
-
De aqu se obtienen:
\ \ \
B
B
#BB
C
C D
#C
C
" D
#D
D
" # #
%"# %
%
%
%" " ( "% # ) #% %"# %
%
%
&% %
%
Problema 96.
La solucin de un sistema lineal est dado por
parmetros\ > > > >
# # &! " !
$ $ $! ! "
" # " #a) Cuantas variables tiene el sistema?, cules estan cons