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CAPITULO 6 LA ELIPSE

6.1 Definición

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, en forma tal que la suma de las distancias del punto a otros dos puntos fijos sea una constante (2a).

Los puntos fijos se llaman focos , el punto medio del segmento que los une es el centro de la elipse y la recta que pasa por ellos es el eje.

6.2 Construcción

Para construir una elipse, trazamos su eje y se localizan los focos F, F´ y los vértices V, V´ . Ahora, elegimos cualquier punto Q del segmento F´F . Trazamos arcos por encima y por debajo del eje , usando los focos como centros y con un radio igual a QV. A continuación, usando los mismos centros y con radio igual a QV´ , trazamos arcos que corten a los arcos anteriores, obteniéndose cuatro puntos sobre la elipse. Se pueden hallar otros puntos variando la posición del punto Q.

Figura 6.1

Se demuestra la validez de esta construcción, observando que para el punto P se cumple:

F´P + FP = QV + QV´ = VV´= 2a

6.3 Ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen.

a) Eje mayor el eje X. Con el propósito de hallar una forma sencilla de la ecuación de la elipse, supondremos, que los focos son los puntos fijos F(c, 0) y F´(-c, 0) sobre el eje X y como centro el punto medio de FF´ en el origen 0, como se pude observar en la figura 6.2.

Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 139


Figura 6.2

Observamos que la distancia entre los focos es 2c unidades, siendo c 0. Si P(x, y ) es un punto cualquiera sobre la elipse y si 2a ( a c ) es la suma de la distancias del punto a cada uno de los focos , entonces, de acuerdo a la definición de la elipse tenemos:

Despejando el primer radical y elevando al cuadrado la ecuación resultante:

Volviendo a despejar el radical y simplificando:

Elevando al cuadrado la ecuación anterior:

La expresión a2 - c2 es positiva y la podemos hacer igual a b2, para obtener:



Dividiendo la expresión anterior entre a2b2 obtenemos finalmente:

que es la ecuación de la elipse en forma ordinaria con centro en el origen y eje focal sobre el eje X.

Despejando a c2 de la expresión b2 = a2 - c2 , hallamos que la cantidad a2 - b2 = c2 es positiva, por lo tanto , se cumple que, en valor absoluto a b .

Dado que la ecuación (6.1) sólo contiene potencias pares de x e y , se puede probar, mediante los criterios de simetría, que la elipse se es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y , y con respecto al origen.

Si en la ecuación (6.1) se despeja y en función de x y x en función de y, obtenemos.

La primera ecuación nos indica que la variable y, toma valores reales, sólo si, el subradical a2 - x2 es no negativo, es decir :

La variable x, sólo puede tomar valores comprendidos entre -a y a y se excluyen aquellos valores para los cuales x | a. Si x = a , entonces y = 0 , es decir, la elipse, corta al eje X en ( a, 0), como se muestra en la figura 6.3

La segunda ecuación señala que la variable x , adquiere valores reales, sólo si, el subradical b2 - y2 es no negativo, esto es:

Es decir, la variable y, sólo puede tomar valores comprendidos entre -b y b y se excluyen aquellos valores para los cuales | y | b. Si y = b, entonces x = 0 , esto es, la elipse corta al eje Y en (0, b), según se muestra en la figura 6.3



Figura 6.3

Al segmento de recta V´V de longitud 2a que pasa por los focos de la elipse se le llama eje mayor; a la cuerda B´B de longitud 2b que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor , se le llama eje menor. Las longitudes correspondientes al semieje mayor y semieje menor se representan por a y b respectivamente. Los puntos extremos V y V´ del eje mayor son los vértices de la elipse ; los puntos extremos B´ y B del eje menor son los covértices de la elipse.

Al deducir la ecuación de la elipse, se utilizó la relación b2 = a2 - c2 , la cual, se puede escribir como:

cuya interpretación geométrica es: La longitud del segmento, trazado desde un foco hasta un extremo del semieje menor es igual a la longitud del semieje mayor, es decir FB = OV.

A la cuerda LR ( L´R´ ) perpendicular al eje mayor que pasa por el foco F ( F´ ) se le llama Lado recto. Si en la ecuación (6.1) sustituimos las coordenadas ( c , y ) que corresponden a uno de los extremos del lado recto, hallamos:

de donde, se obtiene que, la longitud del lado recto LR, es igual a:

Otra cantidad importante en el estudio de una elipse es su excentricidad , que se representa por e y está dada por la expresión:

Esta cantidad proporciona información acerca de la forma que tiene una elipse. Si suponemos que a tiene un valor fijo, observamos que, conforme c a entonces e 1 y b 0, esto es, la elipse se



achata, degenerando en un segmento de recta de longitud 2a. Si c 0 entonces, e 0 y b a, es decir, la elipse degenera en una circunferencia de radio a. En una elipse , siempre se cumplirá la desigualdad 0 e 1.

b) Eje mayor el eje Y. De manera semejante , se demuestra que la ecuación de una elipse con centro en el origen , eje mayor el eje Y y focos en los puntos (0, c), está dada por:

siendo a b.

La longitud del lado recto LR y la excentricidad e , también están dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3). Las coordenadas de los demás elementos se muestran en la figura (6.4).

Figura 6.4

A las expresiones (6.1) y (6.2) se les conoce como formas ordinarias de la ecuación de la elipse. En estas ecuaciones, el término con mayor denominador, nos indica en su correspondiente numerador, el eje ( X o Y ), con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Ejemplo1. Hallar: a) la longitud del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los vértices y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 25y2= 400.

Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 400, se tiene:



la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje X. Por lo tanto, es una ecuación de la forma (6.1), entonces:

Elementos de la elipse:

Vértices: V(a,0) = V(5,0) y V´(-a,0) = V´(-5,0)Covértices: B(0,b) = B(0,4) , B´(0,-b) = B´(0,-4)Focos: F(c,0) = F(3,0) y F´(-c,0) = F´(-3,0)Extremos del lado recto: L(3, -16/5) y R(3, 16/5) , L´(-3,-16/5) y R´(-3,16/5)Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 32/5Excentricidad : e = c / a = 3 /5

Gráfica:

Ejemplo 2.- Hallar: a) las longitudes del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los vétices y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 9y2= 576.

Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 576, se tiene:

la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y. Por lo tanto, es una ecuación de la forma (6.4), entonces:



Elementos de la elipse :Vértices: V(0, a) = V(0,8) y V´(0,-a) = V´(0, -8) Covértices: B(b,0) = B(6,0) y B(-b,0) = B´(-6, 0) Focos: F( 0, c) = F(0, 27) y F´( 0, - c) = F´(0, -27)Extremos del lado recto: L (-9/2, 2 y R(9/2, 2 , L´(-9/2, -2 y R´(9/2, -2Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 72 / 8 = 9Excentricidad : e = c / a = 27 / 8 = 7 / 4

Gráfica:

Ejemplo 3.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 4, 0) , vértices en ( 5, 0).

Solución: Si localizamos los vértices y focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con centro en el origen y eje mayor el eje X . Por lo tanto:

y dado que la ecuación de la elipse es de la forma (6.1), hallamos:




Vértices: V(5,0), V´(-5,0)Covértices: B(0,3) , B´(0,-3)Focos: F(4,0), F´(-4,0)Extremos del lado recto: L(4,-9/5) y R(4, 9/5) , L´(-4, -9/5), R´(-4, 9/5)Longitud del lado recto: LR = 18/5Excentricidad: e = c / a = 4 / 5

Gráfica:

Ejemplo 4.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 0,) , semieje menor igual a 8.

Solución: Si localizamos los focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con centro en el origen y eje mayor el eje Y . Por lo tanto:

y dado que la ecuación de la elipse es de la forma (6.4), hallamos:



Elementos de la elipse:Vértices: V(0,10) , V´(0,-10)Covértices : B( 8, 0) , B´(-8, 0)Focos: F(0,6) , F´(0,-6)Extremos del lado recto: L( -32/5 , 6) y R( 32/5, 6) , L´(-32/5, -6) , R´(32/5 ,-6)Longitud del lado recto: LR = 64/5Excentricidad : e = c / a = 3 / 5

Gráfica :

Ejemplo 5.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen , semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje Y , y la longitud del lado recto igual a 9/2.

Solución: Conociendo la longitud del semieje mayor a = 4 y la longitud del lado recto , podemos determinar la longitud del semieje menor b.



dado que, el eje mayor, está sobre el eje Y , la ecuación de la elipse tiene la forma (6.4). Por lo tanto.

6.4 Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen.

a) Eje mayor paralelo al eje X. Cuando el centro C( h, k ) se encuentra fuera del origen del sistema de coordenadas y el eje mayor es paralelo al eje X, podemos determinar la ecuación, considerando a un sistema de coordenadas X´0Y´ , cuyo origen se encuentra en el centro de la elipse, según se muestra en la figura (6.4).

Figura 6.4

La ecuación de la elipse con respecto a al sistema de coordenadas X´0Ý´, está dada por :

en donde xý y´ representan las coordenadas de un punto P de la elipse, con respecto a este sistema. Para expresar esta ecuación con respecto al sistema X0Y , usaremos una traslación de ejes.

De la figura 6.4 observamos que:

que al sustituir en la ecuación de la elipse con centro en X´0Ý´:



que es la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje X. Las coordenadas de sus elementos se muestran en la figura 6.4. La longitud del lado recto LR y La excentricidad e están dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3) respectivamente.

b) Eje mayor paralelo al eje Y. De manera semejante, se demuestra que la ecuación de una elipse con centro C( h, k ) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje Y esta dada por:

La longitud del lado recto LR y la excentricidad están dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3). Las coordenadas de sus elementos se muestran en la figura (6.5).

Figura 6.5

6.5 Forma general de la ecuación de la elipse

Si desarrollamos las operaciones y simplificamos de tal forma que desaparezcan los denominadores, hallaremos una expresión semejante a :

que representa la forma general de la ecuación de una elipse, y en donde, los coeficientes A y B tienen el mismo signo con A B.



6.6 Reducción de la forma general a la forma ordinaria

La ecuación de una elipse en su forma general, se puede reducir a su forma ordinaria, completando los términos en x y y a trinomio cuadrado perfecto:

Haciendo:

se obtiene:

que se puede escribir como:

la cual representa la forma ordinaria de la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje X o al eje Y, dependiendo si H K o H K.

Ejemplo 6.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en C(5,1) y vértice en V(5,4), con un extremo del eje menor en B(3,1).

Solución: Al localizar los elementos dados en el plano cartesiano, nos daremos cuenta que, se trata de una elipse con eje mayor paralelo al eje Y , entonces, su ecuación es de la forma (6.6). De los datos, sabemos que: h = 5 y k = 1 .Hallemos a , b y c.

Los demás elementos de la elipse son:



La ecuación es :

La gráfica es :

Ejemplo 7.- Determinar la ecuación de la elipse con vértices V´(-5, 2) y V(3, 2) y covértices B(-1, 5) y B´(-1,-1).

Solución: Se trata de una elipse con eje mayor paralelo al eje X , entonces, su ecuación es de la forma (6.5). El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento formado por V´V ó B´B , esto es:

Hallemos a, b y c.




La ecuación es :

La gráfica es :

Ejemplo 8.- Determinar la ecuación de la elipse con vértices V(6, 8) y V´(6, -2) y covértices B(10, 3) y B´(2, 3).

Solución: Es una elipse con eje mayor paralelo al eje Y , entonces, su ecuación es de la forma (6.6). El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento formado por V´V ó B´B , entonces:

Hallemos a, b y c:




La ecuación es:

La gráfica es:

Ejemplo 9.- Hallar la ecuación de la elipse, siendo la longitud de uno de los ejes de 18 unidades y las coordenadas de los extremos del otro eje (2,5) y (2, -3).

Solución: Se trata de una elipse con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje X.

El centro está en el punto medio, entre los extremos del eje:

Los elementos de la elipse son:



La ecuación de la elipse:

Gráfica:

Ejemplo 10.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en (5, 1) , vértice en (5, 4), con un extremo del eje menor en (3, 1).

Solución: Las longitudes del semieje mayor y semieje menor, están dadas por las distancias del centro al vértice y covértice respectivamente:

Por ser una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje X , tiene por ecuación:




Vértices: V( 5,4) , V´(5, -2)Covértices: B´(3,1) , B(7,1)Focos: F( 5, 1+ 5 ) , F´(5,1-5 ) Extremos del lado recto: L( 11/3, 1+ 5) y R(19/3, 1+ 5) , L´(-11/3, 1- 5) y R´(19/3, 1- 5)Excentricidad : e = c/a = 5 / 3

Gráfica:

Ejemplo 11.- Hallar la ecuación de la elipse con vértice en (6,3), focos en (-4,3) y (4,3).

Solución: El centro de la elipse se localiza en el punto medio del segmento que une los focos:

La longitud del semieje mayor y distancia focal, se obtienen a partir de la distancia del centro al vértice y al foco respectivamente:

La ecuación de la elipse:


Vértices: V(6,3) , V´(-6,3)Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 155


Covértices: B(0, 3 + 25) , B´(0, 3 - 25)Extremos del lado recto: L(4, -1/3) y R(4, 19/3) , L´(-4, -1/3) y R´(-4, 19/3)Longitud del lado recto: LR = 20/3Excentricidad: e = c / a = 2/3

Gráfica:

Ejemplo 12.-Determinar la ecuación de la elipse con extremos del eje menor en (3,5) , (3,-3) y vértice en (-2,1).

Solución: El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento que une los extremos del eje menor:

Las longitudes del semieje mayor y menor, se obtienen a partir de la distancia del centro al vértice y covértice respectivamente:

Ecuación de la elipse:


Vértices: V(8,1) , V´(-2,1)



Covértices: B(3, 5) , B´(3,-3)Focos: F(6,1) , F´(0,1)Extremos del lado recto: L(6,-11/5) y R(6,21/5) , L´(0, -11/5) , R´(0,21/5)Longitud del lado recto: LR = 32/5Excentricidad: e = c/a = 3/5

Gráfica:

Ejemplo 13.- Dada la ecuación de la elipse 4x2 + 9y2 - 48x + 72y +144 = 0 , hallar su centro, semiejes, vértices y focos. Graficar.

Solución: Agrupando y factorizando los términos que contienen a x y y:

Completando cuadrados en las expresiones dentro del paréntesis:

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 144 y simplificando:

La cual representa a una elipse con centro en C(6, 4) y eje mayor paralelo al eje X. Por lo tanto:



Elementos de la elipse:Vértices: V(12,-4) , V´(0,-4)Covértices: B(6,0) , B´(6,-8)Focos: F(6+25,-4) , F´(6-25,-4)Extremos del lado recto: L(6+25,-20/3) y R(6+25,-4/3), L´(6-25,-20/3) y R´(6-25,-4/3)Longitud del lado recto: LR = 16/3Excentricidad: e = c / a = 5 / 3

Gráfica:

Ejemplo 14.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos Q(3,1) y R(5,-1) sea igual a 10.

Solución: Aplicando la condición que debe cumplir el punto P, tenemos:

Despejando a cualquiera de los radicales y elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación resultante:

Despejamos el radical y simplificamos:



Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y simplificando:

Completando cuadrados en los términos que contienen x y y :

Por lo tanto, se trata de una elipse con centro en C(-1,1) y eje mayor paralelo al eje X , longitud del semieje mayor igual a 5, longitud del semieje menor igual a 3.

Ejemplo 15.- Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, -1), uno de sus focos en (1,-1) y que pase por el punto (8,0).

Solución: Se trata de una elipse con centro en C(4, -1) y eje mayor paralelo al eje X. La semidistancia focal se obtiene mediante la distancia del centro al foco.

Además, el punto (8,0) debe satisfacer una ecuación de la forma (6.5), esto es:

Hagamos simultáneas las ecuaciones (1) y (2). Despejando b2 de la ecuación (1) y sustituyendo en la ecuación (2):



Al sustituir en la ecuación (1) a = 8 , hallamos b = -1 que es una cantidad imaginaria.

Sustituyendo a = 18 en la ecuación (1), encontramos b = 3.

Por lo tanto, la ecuación de la elipse en forma ordinaria es:

o en forma general:

La gráfica es:

Ejemplo 16.- Hallar la ecuación de la elipse con centro (3,1), uno de los vértices en (3, -2) y excentricidad e = 1 / 3 .

Solución: Se tiene una ecuación de la forma (6.6) y la longitud del semieje mayor es la distancia del centro (3,1) al vértice(3,-2):



Por lo tanto, la ecuación de la elipse en forma ordinaria es:

ó en forma general:

Ejemplo 17.- Un arco semielíptico tiene 80 metros de luz. Sabiendo que su altura es 30 metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 20 metros del centro:

Solución: Supóngase el centro de la elipse en el origen del sistema de coordenadas, entonces, se trata de una ecuación de la forma (6.1), en donde a = 40m. (2a = 80m.) y b = 30m. Por lo tanto, para x = 20m. tenemos:

La altura correspondiente a x = 20m. es de y = 153m.

Ejemplo 18.- La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol, en donde éste ocupa uno de los focos. La longitud del semieje mayor es de 149.5 millones de kilómetros y la excentricidad tiene un valor de 0.017. Hallar la distancia máxima (afelio) y la distancia mínima (perihelio) del Sol a la Tierra.

Solución: Se puede determinar que la mínima y la máxima distancia del Sol a la Tierra está dada por :



en donde se utilizó la relación: e = c/a

Por lo tanto, sustituyendo los datos hallamos que:

en donde las cantidades están dadas en millones de kilómetros.

Ejemplo 19.- Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1,-1), (2,2) ,(4,0) y cuyos eje son paralelos a los ejes coordenados.

Solución: Supóngase que la ecuación de la elipse en forma general está dada por:

Con los cuatro puntos dados, podemos formar un conjunto de cuatro ecuaciones independientes con cinco parámetros por determinar, por lo tanto, al hacerlas simultáneas, sólo podremos eliminar a cuatro de ellos , los cuales estarán en términos de un parámetro que se toma como referencia.

Al sustituir los puntos dados obtenemos las siguientes ecuaciones:

Tomemos como referencia al parámetro F

Eliminemos E, sumando la ecuación (1) con la ecuación (2):

Eliminemos E, multiplicando la ecuación (2) por 2 y sumando con la ecuación (3):

Formemos un sistema de ecuaciones con (4), (I) y (II)

Eliminemos D, multiplicando la ecuación (4) por -4 y sumando con la ecuación (II):



Eliminemos D, multiplicando la ecuación (4) por -1 y sumando con la ecuación (II):

Finalmente formemos un sistema de ecuaciones con (III) y (IV)

Eliminemos A, multiplicando la ecuación (III) por 5 y sumando con la ecuación (IV):

Sustituyendo en la ecuación (III):

Sustituyendo los parámetros A y B en la ecuación (I):

Sustituyendo A, B y D en la ecuación (1):

Sustituyendo en la forma general de la ecuación de la circunferencia:



Multiplicando por -4 y dividiendo entre F:

que es la ecuación de la elipse que pasa por los puntos dados.

La gráfica correspondiente es:



PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Para cada una de las siguientes elipses hallar a) las longitudes del semieje mayor y menor , b) las coordenadas de los vértices , covértices y focos, c) los extremos de cada lado recto, d) longitud de cada lado recto , e) la excentricidad. Construir la gráfica

2.- Dadas las condiciones siguientes, determinar la ecuación de la elipse.

a) Vértices (4, 0) , focos (3, 0)b) Vértices (06), focos (0, 4)c) Vértices (5, 0) , focos (4 ,0)d) Vértices (017), focos (0, 8)

3.-Las siguientes ecuaciones, representan a una elipse. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

a) 9x2 + 4y2 = 36 b) 4x2 + 9y2 = 144c) 16x2 + 25y2 = 400 d) 9x2 + 25y2 = 225

4.-Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0), y su excentricidad es igual 2 / 3.

5.- Los focos de una elipse son los puntos (), y la longitud de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse.

6.- Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X . Hallar la ecuación sabiendo que pasa por los puntos (6, -1) y (2,

Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto (5 , 14/3).

8.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:a) a = 5 , b = 3, eje mayor paralelo al eje X, centro en (2,1)b) a = 13 , b = 5, eje mayor paralelo al eje X, centro en (-1, 5)c) a = 25 , c = 7, eje mayor paralelo al eje Y, centro en (-4,3)d) a = 17 , c = 8, eje mayor paralelo al eje Y, centro en (4, -2)

9.- Obtener las ecuaciones de las elipses siguientes:



a) Eje mayor paralelo al eje X con centro en (-1,3) y ejes mayor y menor de longitudes 10 y 6 respectivamente.b) Eje mayor paralelo al eje Y con centro en (3,-4) y ejes mayor y menor de longitudes 34 y 30 respectivamente.c) Vértice en (5,4) y uno de los extremos del eje menor en (3,1)d) Vértices en (8,2) y (-2,2) , uno de sus focos en (6,2)e) Un vértice en (6,3) y sus focos en (-4,3) y (4,3) f) Un vértice en (6,3) y sus focos en (-4,3) y (4,3) g) Centro en (-3,1), vértice en (14,1) y un foco en (5,1)h) Centro en (2,1), vértice en (2,-12) y un foco en (2,6) 10.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:a) Extremos del eje menor en (-2,2), un vértice en (1,1)b) Extremos del eje menor en (3,5) y (3,-3) , un vértice en (-2,1)c) Extremos del eje menor en (-3,-2) y (1,-2), un vértice en (-1,1)

11.-Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria y hallar las coordenadas del centro, focos, vértices y covértices. Determinar la longitud del lado recto y la excentricidad.a) x2 + 4y2 -6x + 16y +21 = 0b) 4x2 + 9y2 + 32x - 18y +37 = 0c) 25x2 + 9y2 -200x + 90y +400 = 0d) 2x2 + 3y2 -8x - 18y +29 = 0e) 3x2 + 2y2 -24x + 12y + 60 = 0

Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que cumplen con las siguientes condiciones:

12.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (-2,3) y (6 , 3) es 10.13.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (3,-4) y (3, 12) es 34.14.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (2,-3) y (2,7) es 12.

15.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3,2) es la mitad de la correspondiente a la recta x + 2 = 0 . ¿ Qué curva representa dicho lugar ?


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