Download - Agrimensura. Levantamientos con cinta
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora
9
d
a a
d
2.1. PROBLEMAS DE CAMPO QUE SE RESUELVEN
CON CINTA, EXCLUSIVAMENTE.
2.1.2. PERPENDICULARES. El levantamiento y/o trazo de
perpendiculares con cinta, se puede realizar a través de diferentes
procedimientos como los que a continuación se describen.
LEVANTAMIENTO DE PERPENDICULARES.
1) MÉTODO DEL 3, 4, 5.
Utilizando el Teorema de Pitágoras se forma un triángulo con la
longitud de cinta necesaria; apoyando uno de los catetos en el
terreno sobre la línea de referencia se ubica el punto por donde sube
la perpendicular en la intersección de la hipotenusa y el otro cateto.
Para esto se necesitan tres personas.
2) MÉTODO DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES. Para este método
se requiere fijar dos puntos auxiliares equidistante (a) al punto
donde se pretende levantar la perpendicular, después con la ayuda
de tres personas, se toma la longitud de cinta necesaria y se divide
en dos partes iguales (d). Apoyando los extremos de la cinta en las
dos marcas auxiliares equidistantes se estira la cinta y la
perpendicular sube por el punto medio.
3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS.
Este método es sumamente útil cuando se tiene algún obstáculo
que no permita trazar con facilidad la perpendicular.
Primeramente se forma un triángulo isósceles “ABC” cuyos lados
iguales sean de una distancia “d” y la suma sea lo más cercano a
lo longitud total de cinta. La base del triángulo se apoya en la
línea de referencia y se coloca una baliza en el punto “B”. cuando
la cinta esté bien estirada la persona ubicada en “C”, se mueve
hacia “arriba de la línea” hasta un punto “D” y alinearse
perfectamente con el balicero localizado en “B”. La perpendicular
se levanta del punto “C”, hasta el punto “D”.
UNIDAD TEMÁTICA 2. USO DE LA CINTA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS
5K3K
90°
4K K5c
K25c
K16K9c
)K4()K3(c
22
222
222
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10
COMPROBACIÓN DE LA PERPENDICULAR
TRAZO DE PERPENDICULARES.
1) MÉTODO DE LA DISTANCIA MÁS CORTA.
2) MÉTODO DE BISECCIÓN DE LA CUERDA.
Bd
d
A
90°
d
C
D
Perpendicular
Punto móvil
ç ç
90°-ç
2ç
180°-2çd
d
d
Distancia más corta
Cero de la cinta
A (punto dado)
90
90180
190
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11
B'
d/2
A'
A
d/2
d/2
B
d/2
d
B'
A'
A
d 90°
B
90°
A
B
Q 90°90°
P
90.30125.50
152.10
224.00
217.60
++
A
B
C D
3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS
ISÓSCELES.
2.1.2. LEVANTAMIENTO Y/O TRAZOS DE PARALELAS .
Existen problemas de campo que se resuelven con paralelas. Se
pueden trazar paralelas a otra línea de dos formas diferentes, a
saber:
a). Tomando como referencia la línea base se levantan
perpendiculares equidistantes en dos puntos auxiliares A y B. La
paralela será aquella que una los puntos A’ y B’ de las
perpendiculares.
b)
II ) MEDICIÓN DE LAS DISTANCIAS DE DOS PUNTOS
INACCESIBLES PERO VISIBLES .
II ) OBTENCIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
INACCESIBLES E INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLE
DESDE PUNTOS EXTERNOS .
dd
A
C
B
Punto móvil
Perpendicular
D
d
BQ*PQ
BPBA
BA
PQ
BA
BP
BTANATAN
B.ANGA.ANG
BQ*PQ
BPAB
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12
b=156.70
b = 307.12
A
a =
312.
30
C2
c2 B
d = 307.92
d = 312.30
C1
c1=
226.5
0
D
B
a=156.70
C D
A
c
A
c = 450.30
B a C
b c² = a² + b² 2 a.b.Cos C
Cos C = a² + b² - c²
2ab
Cos C1 = b² + d² - c1²
2bd Cos C1 = (156.70)² + (312.30)² - (226.50)²
2 (156.70) (312.30) Cos C1 = 0.7232
C1 = 43.67°
Cos C2 = a² + b² - c2²
2ab
Cos C2 = (312.30)² + (307.92)² - c2²
2 (312.30) (307.92)
Cos C2 = 192346.0164 - c2²
192326.832
C = C1 + C2 C2 = C – C1
C2 = 149.79° - 43.67°
C2 = 106.11°
C2² = 192346.0164 + (Cos C2) (192326.832)
c2² = 295730.921
c2 = 495.71 m = AB
Cos C = a² + d² - c²
2ad Cos C = (156.70)² + (307.92)² - (450.30)²
2 (156.70) (307.92) Cos C = - 0.8642
C = 149.79°
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Cos D = c² + b² - d²
2cb Cos D = (226.50)² + (156.70)² - (312.30)²
2 (226.50) (156.70) Cos D = - 0.6053
D = 107.77°
d1 = 307.92
b = 450.30
A
B
D2
d2
a=226.5
0a = 156.70
D1C
b = 156.70
d = 312.30
A
C
c = 450.30
c = 226.50
D
B
Cos D1 = a² + c² - d1²
2ac Cos D1 = (156.70)² + (450.30)² - (307.92)²
2 (156.70) (450.30) Cos D1 = 0.9389
D1 = 20.12°
D = D1 +D2 D2 = D – D1
D2 = 107.77° - 20.12°
D2 = 87.65°
Cos D2 = a² + b² - d2²
2ab Cos D2 = (226.50)² + (450.30)² - d2²
2 (226.50) (450.30) Cos D2 = 254072.34 – d2²
203985.9
d2 = 254072.34 - 203985.9 Cos(87.65°)
d2 = 245730.921
d2 = 495.71 m = AB
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14
Se miden lados y diagonales.
LEY DE COSENOS:
Cos A = b² + c² - a²
2bc
Cos B = a² + c² - b²
2ac
Cos C = a² + b² - c²
2ab
Conocido el ángulo A tenemos:
Sen A = h1 / c h1 = c.Sen A
Sen A = h2 / b h2 = b.Sen A
Conocido el ángulo B tenemos:
Sen B = h2 / a h2 = a.Sen B
Sen B = h3 / c h3 = c.Sen B
Conocido el ángulo C tenemos:
Sen C = h1 / a h1 = a.Sen C
Sen C = h3 / b h3 = b.Sen C
B
h1
b
A
C
h3
c
h2a
b
A
c
C
a
B
III
I II
ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS INDIVISIBLES ENTRE
SÍ, PERO VISIBLES DESDE 2 PUNTOS INTERMEDIOS .
ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS LEJANOS E
INDIVISIBLES ENTRE SÍ .
3.1 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CINTA
EXCLUSIVAMENTE .
Poligonal:
3.2.1. POR TRIANGULACIÓN .
Polígono Cerrado
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15
180° - ø
Q
P
ø Sen (180° - ø) = Sen ø
2 PQ Sen (180° - ø) / 2 = Sen (180° - ø)
Área = PQ Sen ø
|| P X Q || = PQ Sen ø
a = 209.72
b = 263.35
C
A
c = 291.50
B
Área = (Producto de 2 lados) X (Seno del ángulo que forman)
2
Área = Base X Altura
2
Área = b.h1 = b.c.Sen A = a.b.Sen C
2 2 2
Área = c.h2 = a.b.Sen A = a.b.Sen B
2 2 2
Área = a.h1 = a.c.Sen B = a.b.Sen C
2 2 2
b.c.Sen A = a.b.Sen C = a.c.Sen B
2 2 2
c Sen A = a Sen C Sen A = Sen C
a c
b Sen C = c Sen B Sen B = Sen C
b c
Sen A = Sen B = Sen C
c b c
EJEMPLO:
Calcular los ángulos interiores y el área del triángulo con la
Ley de los Cosenos.
Poligonal 1:
Cos A = (263.35)² + (291.50)² - (209.72)² = 0.71869
2 (263.35) (291.50)
A = 44.054°
Cos B = (291.50)² + (209.72)² - (263.35)² = 0.48747
2 (291.50) (209.72)
B = 60.826°
Cos C = (209.72)² + (291.50)² - (263.35)² = 0.25678
2 (209.72) (291.50)
C = 75.121°
Area = (263.35) (209.72) Sen C
2
= 26 688.96
Area = 26 689 u²
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c = 550.65
B1
a = 435.70
A1
b = 510.30
I
C1
576.86
550.65
488.32
F
A
IV
C
510.3
0
B I
435.70
III E
600.78479.8
5
II
266.57D
372.41
Poligonal 2:
I )
Cos A1 = (550.65)² + (510.30)² - (435.70)² = 0.66511 A1
= 48.309°
2 (550.65) (510.30)
Cos B1 = (550.65)² + (435.70)² - (510.30)² = 0.48484 B1
= 60.998°
2 (550.65) (435.70)
Cos C1 = (435.70)² + (510.30)² - (550.65)² = 0.33063 C1
= 70.693°
2 (435.70) (510.30)
Area = (435.70) (510.30) Sen C1 = 104 916.7
Area = 104 917 u²
2
II )
Cos C2 = (510.30)² + (266.57)² - (479.85)² = 0.37201
C2 = 68.160°
2 (510.30) (266.57)
Cos A2 = (510.30)² + ( 479.85)² - (266.57)²
2 (510.30) (479.85)
= 0.85680
A2 = 31.041°
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17
Cos D2 = (266.57)² + (479.85)² - (510.30)² = 0.15991 D2
= 80.798°
2 (266.57) (479.85)
Area = (510.30) (266.57) Sen C2 = 63 133.6
Area = 63 134 u²
2
III)
Cos D3 = (479.85)² + (372.41)² - (600.78)² = 0.02241 D3
= 88.716°
2 (479.85) (372.41)
Cos E3 = (600.78)² + (372.41)² - (479.85)² = 0.60198 E3
= 52.988°
2 (600.78) (372.41)
Area = (479.85) (372.41) Sen D3
Area = 89 328 u²
2
IV )
Cos E4 = (600.78)² + (576.86)² - (488.32)² = 0.656797
E4 = 48.944°
2 (600.78) (576.86)
Cos F4 = (488.32)² + (576.86)² - (600.78)² = 0.37326 F4
= 68.083°
2 (488.32) (576.86)
Area = (600.78) (576.86) Sen E4
Area = 130 667 u²
2
600.78
A3
372.41
479.85III
D3
E3
Cos A3 = (479.85)² + (600.78)² - (372.41)²
2 (479.85) (600.78)
= 0.78482
A3 = 38.296°
IV
488.32
A4
F4
576.86
600.78
E4
Cos A4 = (600.78)² + (488.32)² - (376.86)²
2 (600.78) (488.32)
= 0.45441
A4 = 62.973°
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18
B
60°5
9'1
9"
138°51'10"
C
101°55'35"
F
68°04'59"A
180°38'08"
169°30'50"E
D
Suma de ángulos interiores:
A = 48.309° + 31.041° + 38.296° + 62.993° = 180.619°
B = 60.998°
C = 70.693° + 68.160° = 138.853°
D = 80.798° + 88.716° = 169.514°
E = 52.988° + 48.944° = 101.932°
F = 68.083°
Suma = 719.999°
Suma de ángulos teórica:
180° (n – 2) = 180° (6 – 2) = 720°
Suma de áreas:
Área1 = 104 917
Área2 = 63 134
Área3 = 89 328
Área4 = 130 667
Suma = 388 046 u²
Área Total = 38 - 80 - 46 Ha.
Dibujo de la poligonal
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19
576.86
550.65
488.32
F
A
IV
C
510.3
0
B I
435.70
III E
600.78
479.8
5
II
266.57D
372.41
FÓRMULA DEL SEMIÁNGULO
EJEMPLO:
Encontrar los ángulos internos y el área del
polígono con la fórmula del semiperímetro.
I )
s = 435.70 + 510.30 + 550.65
2
s = 748.325 m
SenAl/2=((748.325–550.65)(748.325 – 510.30) / (550.65)(510.30))1/2
A1 = 48.309°
SenBl/2=((748.325–435.70)(748.325 – 550.65) / (550.65)(550.65))1/2
B1 = 60.998°
SenCl/2=((748.325–435.70)(748.325 – 510.30) / (437.70)(510.30))1/2
C1 = 70.693°
Área=(748.325(748.325-510.30)(748.325-435.70)(748.325-
550.65))1/2=104916.5u2
Área = 104 917 m²
s = a + b + c
2
s = Semiperímetro
ab
)cs)(bs(
2
ASen
ac
)cs)(as(
2
BSen
ab
)bs)(as(
2
CSen
c)-b)(s-a)(s-s(sÁrea
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20
II )
s = 266.57 + 479.85 + 510.30
2
s = 628.360 m
SenAl/2=((628.360–479.85)(628.360 – 510.30) / (479.85)(510.30))1/2
= 0.26759
A2 = 31.041°
SenC2/2=((628.360–266.57)(628.360–510.30) / (266.57)(510.30))1/2
= 0.56035
C2 = 68.160°
SenD2/2=((628.360–266.57)(628.360–479.85) / (266.57)(479.85))1/2
= 0.64811
D2 = 80.798°
Área=(628.36(628.36 - 266.57)(628.36 - 479.85)(628.36-510.30))1/2
= 63133.8m2
Área = 63 134 m²
III )
s = 372.41 + 600.78 + 479.85
2
s = 726.520 m
SenA3/2 =((726.52 - 600.78)(726.52 - 479.85) / (600.78)(479.85))1/2
= 0.320801
A3 = 38.296°
SenD3/2 =((726.52 – 372.41)(726.52 - 479.85) / (372.41)(479.85))1/2
= 0.69914
D3 = 88.716°
SenE3/2 =((726.52 – 372.41)(726.52 – 600.78) / (372.41)(600.78))1/2
= 0.44611
E3 = 52.988°
²m4.89075)78.600520.726)(85.479520.726)(41.372520.726(520.726Área
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21
a (Lado de Liga)
A A
k
k
Cos A = k² + k ² - a² = 2k² - a² 2 (k) (k) 2k²
= 2k² - a² 2k² 2k²
Cos A = 1 - a² 2k²
Sen (A/2) = a / 2 K = a 2k
Área = 89 075 m²
IV )
s = 576.86 + 488.32 + 600.78
2
s = 832.98 m
SenA4/2 =((832.98-488.32)(832.98-600.78) / (488.32)(600.78))1/2
= 0.52230
A4 = 62.973°
SenE4/2 =((832.98-576.86)(832.98-600.78) / (576.86)(600.78))1/2
= 0.41425
E4 = 48.944°
SenF4/2 =((832.98-576.86)(832.98-488.32) / (576.86)(488.32))1/2
= 0.55980
F4 = 68.084°
Área=(832.98(832.98-576.86)(832.98-488.32)(832.98-600.78))1/2
= 130666.8m2
Área = 130 667 m²
3.2.2. MÉTODO DEL LADO DE LIGA .
Se recomienda para levantamientos preliminares.
Donde a y k son conocidos.
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22
D
C3
E3
9.20 m
E E1
E2
C
C2
B
B2
B1
A1
11.50 m
k = 20 m
A
EJEMPLO:
Se pretende levantar un terreno de 5 lados y el
arroyo crecido no permite medir las distancias AE y AB; pero
ayudándose de las prolongaciones de las líneas se midieron los
lados de liga en los vértices E y B. Calcule los datos faltantes y el
área del terreno. Sugerencia: considere la suma de los ángulos
interiores del triángulo AEB forzada a 180° para obtener el ángulo
A.
EST. P.V. DISTANCIA ANG. INTERIOR
A B 119° 59’ 24”
B C 345.60 81° 32’ 53”
C D 175.50 133° 51’ 21”
D E 263.60 90° 00’ 00”
E A 114° 36’ 00”
B E 415.20
E C 316.68
Sen B1/2= (11.50)/(2(20)) = 0.2875
B1 = 33.42°
Sen E1/2= (9.2)/(2(20)) = 0.23
E1 = 26.59°
A1 + B1 + C1 = 180°
A1 = 180° - 33.42° - 26.59°
A1 = 119.99°
Aplicamos la Ley de los Senos:
Sen 119.99° = Sen 33.42° = Sen 26.59°
415.20 AE AB
AE = (415.20) Sen 33.42° AB = (415.20) Sen 26.59°
Sen 119.99° Sen 119.99°
AE = 264.01 m AB = 214.60 m
A1
E E1
415.20
264.01
B1 B
214.60
A
Área = (264.1) (214.60) Sen 119.99° 2
Área = 24 535 m²
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23
D 175.50
C3
C
263.60 d
E3
E
)²50.175( ² (263.60) d
e² c² ² d
d = 316.68 m
316.68 345.60
C
C2
415.20
E2
E
B2
B
Cos E3 = (263.60)² + (316.68)² - (175.50)² = 0.83239 E3
2 (263.60) (316.68)
E3 = Tan-1 (175.50/263.60) = 33.655°
E3 = 33.655°
Cos D3=(263.60)² + (175.50)² - (316.68)² = 1.0942X10-5
2 (263.60) (175.50)
D3 = 90.000°
Cos C3 = (175.50)² + (316.68)² - (263.60)² = 0.55420
2 (175.50) (316.68)
C3 = Tan-1 (263.6/175.50) = 56.345°
C3 = 56.344°
Area = (175.50) (263.60) Sen D3 = 23 130.9
Area = 23 131 m²
2
Cos E2 = (316.68)² + (415.20)² - (345.60)² = 0.58272 E2
2 (316.68) (415.20)
E2 = 54.358°
Area = (415.20) (345.60) Sen B2 = 53 427.4
2
Area = 53 427 m²
Cos B2 = (415.20)² + (345.60)² - (316.68)² 2 (415.20) (345.60) = 0.66743 B2 = 48.131°
Cos C2 = (316.68)² + (345.60)² - (415.20)² 2 (316.68) (345.60) = 0.21625 C2 = 77.511°
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora
24
b'2
Bb
c 3
C f
Aa
E
D d
F f
a1 f d' 4
Ángulos:
A = 119.99°
B = 33.417° + 48.131° = 81.548°
C = 77.511° + 45.345° = 133.856°
D = 90°
E = 26.59° + 54.358° + 33.655° = 114.60°
Suma = 539.994°
180° (n – 2) = 180° (5 – 2) = 540°
Área:
A1 = 24 535 m²
A2 = 53 427 m²
A1 = 23 131 m²
AT = 101 093 m²
3.2.3. MÉTODO DE RADIACIONES .
3.2.4. MÉTODO DE PROLONGACIÓN DE
ALINEAMIENTOS .
3.3. LEVANTAMIENTO DE DETALLES DE
REFERENCIACIÓN .
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora
25
A
Cadenamiento @30 m, (excepto r = 25 m)
A7
r
A8
y6
7y
Ay
73.50 m
5
6
3A
AA
5
4
2A
1
Ø
Ø = 24.37°
2y
3
y4
yA
0
0y
1
yA
LEVANTAMIENTO DE ÁREAS IRREGULARES .
A0 = (yo + y1) d A3 = (y3 + y4) d
2 2
A1 = (y1 + y2) d An-2 = (yn-2 + yn-1) d
2 2
A2 = (y2 + y3) d An-1 = (yn-1 + yn) r
2 2
suma A = A0 + A1 + A2 + A3 + ... + An-2 + An-1
2 AT = (y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + y4 + ... + yn-2 + yn-1) d +
(yn-1 + y0) r
r)yy(d)yy(y2 A2 n1n1n0
2n
1iiT
2
r)yy(
2
d)yy(yA n1n1n0
2n
1i
iT
2 AT = (y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + ... + yn-1 + yn-1 + yn + yn) d
2 AT = 2 d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d
AT = d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d
n
1iiT ydA
EJEMPLO:
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora
26
la cintaCero de
b
A
c
Línea de referencia
a
Línea que pretende trazarse
A0 = (70.00) (73.50) Sen (24.37°) = 1061.4 m² A0
2
= 1061 m²
A1 = (y1 + y2) d = (70.00 + 65.30) (30.00) = 2029.5 m²
2 2
A1 = 2030 m²
A2 = (y2 + y3) d = (65.30 + 59.90) (30.00) = 1878 m²
2 2
A2 = 1878 m²
A3 = (y3 + y4) d = (59.90 + 56.20) (30.00) = 1741.5 m²
2 2
A3 = 1742 m²
A4 = (y4 + y5) d = (56.20 + 43.80) (30.00) = 1500 m²
2 2
A4 = 1500 m²
A5 = (y5 + y6) d = (43.80 + 35.20) (30.00) = 1185 m²
2 2
A5 = 1185 m²
A6 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m²
2 2
A6 = 920 m²
A7 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m²
2 2
A7 = 920 m²
A8 = (15.00) (25.00) = 187.5 m²
2
A8 = 188 m²
Área Total = 11 120 m²
TRAZO DE ÁNGULOS CON CINTA .
Datos conocidos ángulo A y k (largo de la cinta).
a + b + c = k
Sen A = a c . Sen A = a
c
Cos A = b c . Sen A = b
Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora
27
c
c . Sen A + c . Cos A + c = k c = k______
c (Sen A + Cos A + 1) = k Sen A + Cos A + 1
EJEMPLO :
y 30.00 m
Marca de cero Marca de 8.786 m
45°
Marca de 17.573 m
A = 45°, k = 30 m c = 30 = 12.4264 m Sen (45°) + Cos (45°) + 1
a = 12.4264 Sen (45°) = 8.786 m
b = 12.4264 Cos (45°) = 8.786 m
COMPROBACIÓN: a + b + c = k 2(8.7867) + 12.4264 = 30 m a² + b² = c²
c = 12.426 m