Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre 1
Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión
Actividad 7: Problemas
Problemas con medidas de tendencia
central y dispersión Instrucción: Realiza lo siguiente para cada problema.
Elabora las tablas de frecuencias correspondientes para obtener las medidas de
tendencia central y dispersión.
Medias de tendencia central y dispersión por frecuencias simples, para el problema 1.
Medidas de tendencia central y dispersión por intervalos para el problema 2.
1. Un profesor de educación física desea hacer un estudio sobre el desempeño de sus
alumnos(as) en la prueba de atletismo de 100 metros planos. Seleccionó una muestra de
20 alumnos(as) y registró los tiempos que éstos marcaron. Los tiempos, en segundos,
registrados fueron:
18.71, 21.41, 20.72, 28.1, 19.29, 22.43, 20.17, 23.71, 19.44, 20.55, 18.92, 20.33, 23.00,
22.85, 19.25, 21.77, 22.11, 19.77, 18.04, 21.12.
1: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Y DISPERSIÓN (Frecuencias Simples)
Tiempos Frecuencia Absoluta( fi)
Frecuencia Absoluta Acumulada(Fi)
Frecuencia Relativa( hi)
Frecuencia Relativa Acumulada( Hi)
18.71 1 1 0.05 0.05
21.41 1 2 0.05 0.10
20.72 1 3 0.05 0.15
28.1 1 4 0.05 0.20
19.29 1 5 0.05 0.25
22.43 1 6 0.05 0.30
20.17 1 7 0.05 0.35
23.71 1 8 0.05 0.40
19.44 1 9 0.05 0.45
20.55 1 10 0.05 0.50
18.92 1 11 0.05 0.55
20.33 1 12 0.05 0.60
23 1 13 0.05 0.65
Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre 2
Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión
Actividad 7: Problemas
22.85 1 14 0.05 0.70
19.25 1 15 0.05 0.75
21.77 1 16 0.05 0.80
22.11 1 17 0.05 0.85
19.77 1 18 0.05 0.90
18.04 1 19 0.05 0.95
21.12 1 20 0.05 1.00
Media
Como nuestros datos no están agrupados usamos la fórmula para obtener la media aritmética en
nuestra población completa:
∑
µ=18.71+ 21.41+ 20.72+ 28.1+ 19.29+ 22.43+ 20.17+ 23.71+ 19.44+ 20.55+ 18.92+
20.33+ 23.00+ 22.85+ 19.25+ 21.77+ 22.11+ 19.77+ 18.04+ 21.12 20
Por lo tanto la media µ=21.0845
Mediana
Cantidad de datos par en el conjunto=20, se ordenan: 18.04,18.71,18.92,19.25,19.29,19.44,19.77,20.17,20.33,20.55,20.72,21.12,21.41,21.77,22.11,22.43,22.85,23.00,23.71,28.10 y los valores que separan en dos el conjunto son 20.55 y 20.72, se suman 41.27, al dividirlos entre 2 obtenemos la mediana es 20.64 Me=20.64
Moda
El conjunto no tiene datos repetidos por lo que la frecuencia de cada uno de sus elementos es 1, se trata de un conjunto amodal. Mo=amodal
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Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión
Actividad 7: Problemas
1: MEDIDAS DE DISPERCIÓN
Rango
Fórmula para calcular el recorrido o rango
Dónde :
es el valor máximo de la variable
es el valor mínimo de la variable
Ordenando los número obtenemos que
=28.10
Por lo tanto
Varianza
Fórmula para calcular la varianza en una población
∑
De la actividad Medidas de Tendencia Central, tenemos que la
media aritmética es µ= 21.0845
Entonces sustituyendo los valores del problema 1 en la fórmula:
(18.71-21.0845)2+(21.41-21.0845)2+(20.72-21.0845)2+(28.1-21.0845)2+(19.29-21.0845)2+(22.43-21.0845)2+(20.17-21.0845)2+(23.71-21.0845 2+(19.44-21.0845) 2+(20.55-21.0845)
2+(18.92-21.0845)2+(20.33-21.0845)2+(23.00-21.0845)2+(22.85-21.0845)2+(19.25-21.0845)2+(21.77-21.0845)2+(22.11-21.0845)2+(19.77-21.0845)2+(18.04-21.0845)2+(21.12-21.0845)2
20
98.7701/20
4.9385
Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre 4
Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión
Actividad 7: Problemas
Desviación Típica
Fórmula para calcular la desviación típica en datos no agrupados
√ √∑
De la actividades anteriores, tenemos que la media aritmética es
µ= 21.0845, la varianza =4.9385
Entonces tenemos:
√ = √ =2.2222
2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Y DISPERSIÓN POR INTERVALOS
2. Un ambientalista está haciendo una investigación sobre la cantidad de basura que se
genera en su colonia. Para ello registró cuántos kilos de basura recolectó el camión
durante veinte días consecutivos en su calle. Los resultados fueron:
227, 122, 172, 228, 217, 225, 182, 216, 229, 221, 192, 142, 152, 211, 192, 182, 203,
205, 187, 195.
De acuerdo a lo visto en la Unidad 2
Para calcular el rango primero identificamos el número mayor Xn=889 y el menor X1=810 y
sustituimos en la formula R=Xn-X1 por lo tanto tenemos:
R=229-122=107
Como no existe restricción para crear el número de intervalos (podemos crear entre 5 y 20) vamos
a crear 5 intervalos k=5, entonces la amplitud del intervalo la obtenemos al dividir el rango entre
el número de intervalos deseado en este caso quedaría: 107/5= 21.4, como no es un número
entero redondeamos a 21 por la tanto
Amplitud de intervalo=21
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Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión
Actividad 7: Problemas
Los intervalos se forman comenzando un número antes del primer dato.
Límite inferior X1=122
Límite Superior Xn=229
Rango R=229-122=107 Numero de Intervalos k=5
Amplitud intervalo R/k=107/5=21.4 redondeando =21
Valor inicial intervalo X1-1=121
Numero
de
intervalo
Limites de clase Intervalo de clase Marca
de Clase
Frecuencia
Absoluta( fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada(Fi)
Frecuencia
Relativa( hi)
Frecuencia
Relativa
Acumulada( Hi)
1 121 142 121-142 131.5 2 2 0.1000 0.1000
2 143 164 143-164 153.5 1 3 0.0500 0.1500
3 165 186 165-186 175.5 3 6 0.1500 0.3000
4 187 208 187-208 197.5 6 12 0.3000 0.6000
5 209 230 209-230 219.5 8 20 0.4000 1.0000
Media
Se utiliza la siguiente fórmula para calcular la media con datos agrupados en intervalos
Fórmula:
∑
Sustituyendo:
(131.5*2) + (153.5*1) + (175.5*3) + (197.5*6) + (219.5*8)
20
=263+153.5+526.5+1185+1756
20
194.2
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Actividad 7: Problemas
Mediana
Fórmula:
entonces toma el
intervalo 4 (187−208), porque
es en su frecuencia acumulada
donde se encuentra 10
Li=187 es el límite inferior del
intervalo donde se encuentra la
mediana
=6 es la frecuencia
acumulada anterior al intervalo
de la mediana
=6 es la frecuencia absoluta
del intervalo donde se
encuentra la mediana
es la amplitud del
intervalo
Sustituyendo:
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Actividad 7: Problemas
Moda
Usando la misma tabla.
El intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta es el
intervalo 5 (209-230) es un conjunto UNIMODAL
Moda
Li=209 es el límite inferior del intervalo
=8 es la frecuencia del intervalo modal
=6 es la frecuencia del intervalo anterior al intervalo
modal
=0 es la frecuencia del intervalo siguiente al
intervalo modal
es la amplitud del intervalo
Sustituyendo en la fórmula para obtener la
primera moda:
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Actividad 7: Problemas
2: MEDIDAS DE DISPERCIÓN
Recorrido
Dónde :
es el valor máximo de la variable
es el valor mínimo de la variable
Ordenando los número obtenemos que
=22
Por lo tanto
Varianza
i Mc fi Mc-µ (Mc-µ)2 (Mc-µ)2*fi
121-142 131.5 2 -62.7 3931.29 7862.58
143-164 153.5 1 -40.7 1656.49 1656.49
165-186 175.5 3 -18.7 349.69 1049.07
187-208 197.5 6 3.3 10.89 65.34
209-230 219.5 8 25.3 640.09 5120.72
Total 15754.2
∑
: Es la frecuencia del intervalo. Es la marca de clase del intervalo : Es la media de la distribución de datos es el número total de datos de la distribución
De la actividad Medidas de Tendencia Central, tenemos que la
media aritmética es µ= 194.2
Entonces Sustituyendo en la fórmula los valores de la tabla de
arriba:
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Actividad 7: Problemas
Desviación Típica
√ √∑
: Es la frecuencia del intervalo. Es la marca de clase del intervalo : Es la media de la distribución de datos es el número total de datos de la distribución
De la actividad Medidas de Tendencia Central, tenemos que la
media aritmética es µ= 194.2
Entonces Sustituyendo en la fórmula los valores de la tabla de
arriba:
√
√ √