RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ENUNCIADOS_SOLUCIONES
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A2 Y B2 RECTAS Y PLANOS ESPACIO
JULIO 2010 B2 Calcular la distancia del punto ๐ = (3,2, โ1) a la recta que pasa por los puntos ๐ด(0,1,2)๐ฆ๐ต = (1,0,2).
Describir de forma razona los pasos seguidos para dicho calculo.
Soluciรณn: โ17 Geometrรญa_1_C2EBAU (https://youtu.be/-q-gIuywuaI )
JULIO 2010 A2 Se consideran los puntos del espacio ๐ด = (4,1,1)๐ฆ๐ต = (2, ๐ข, 3). Los puntos A y B son simรฉtricos respecto a un plano.
Calcular de forma razonada la ecuaciรณn de dicho plano en funciรณn de u.
ยฟExiste algรบn valor de u para el cual el punto (0,0,0) pertenezca al plano?
Soluciรณn: Geometrรญa_2_C2EBAU (https://youtu.be/ohYiUW0qVW0 )
JUNIO 2010 B2 Dado el plano que pasa por los puntos ๐ด = (1,0,2),
๐ต = (0,โ1,3)๐ฆ๐ถ(๐, 2, โ4) ยฟEs posible calcular el valor del parรกmetro a para que dicho plano contenga al punto ๐(โ2,3,0)? En caso afirmativo calcular dicho valor.
JUNIO 2010 A2.-Sean A y B los puntos del espacio, de coordenadas
๐ด = (3,4,1 + 2๐), ๐ต(โ3, ๐, 0).
Calcular la ecuaciรณn paramรฉtrica de la recta que pasa por A y por B.
Contestar de forma razonada a la siguiente pregunta: ยฟExiste algรบn valor de a para el cual dicha recta contenga al punto (9,4,6)?
JUNIO 2011 A2.- Sean r y s las siguientes rectas:
๐ = 8๐ฅ = 3 + ๐ก๐ฆ = โ4 + 3๐ก
๐ง = 0๐ฆ๐ = =๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = 1
๐ฅ โ ๐ฆ = โ6
Hallar la ecuaciรณn de la recta perpendicular a las rectas r y s y tal que contenga al punto ๐ =(3,โ1,2).
JUNIO 2011 B2.- Sea el plano de ecuaciรณn ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = 0y sea P el punto (2,1,3).
Calcular el punto simรฉtrico de P respecto del plano, explicando el proceso seguido para dicho calculo.
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JULIO 2011 A2.- Hallar las coordenadas del punto simรฉtrico de ๐ด = (0,โ1,1) con respecto a la recta r dada por
๐ฅ โ 52
= ๐ฆ =๐ง โ 23
Describir de forma razonada el procedimiento seguido.
JULIO 2011 B2.- Calcular, de manera razonada, la ecuaciรณn del plano que contiene a la recta
๐ = 8๐ฅ = 1 + ๐ก๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ง = 3 + 2๐ก
Y al punto ๐ = (0,2,5)
JULIO 2012 A2.- Dados los puntos ๐ด(โ1,3,2), ๐ต(2, โ1,โ1)๐ฆ๐ถ(๐ โ 2,7, ๐)
โข Determinar los valores de los parรกmetros a y b para que dichos puntos estรฉn alineados. โข Para los valores calculados en el apartado anterior, obtener la ecuaciรณn del plano que
pasa por el punto ๐(0,โ3,5)y es perpendicular al vector AC.
JULIO 2012 B2.- Se consideran los planos
3๐ฅ + 4๐ฆ + 5๐ง = 0, 2๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 0๐ฆ๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐ด(โ1,2,1).
Halla el plano que pasa por el punto A y por la recta intersecciรณn de los planos anteriores.
Calcula un plano que pasa por el punto ๐ต(0,0, โ3) y que sea paralelo al plano del apartado anterior.
JUNIO 2012 B2.- Se sabe que el plano ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo divide en dos partes iguales. El punto A es (1,0,0)
Halla las coordenadas del punto B y calcula la intersecciรณn del segmento AB con el plano.
JUNIO 2012 A2.- Dados los puntos ๐ด(1,2,3), ๐ต(1, โ2,4)๐ฆ๐ถ(1, โ3, ๐):
โข Calcular el valor del parรกmetro a, de tal manera que los tres puntos estรฉn alineados. โข En el caso ๐ = 5 hallar la recta que pasa por el origen y que ademรกs sea perpendicular
al plano que contiene a los puntos.
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JUNIO 2013.- Considera la recta r definida por
๐ฅ โ 2๐
=๐ฆ โ 14
=๐ง + 12
Y el plano 2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐๐ง = 0.
Determinar los valores de a y b en los siguientes casos:
โข La recta r es perpendicular al plano โข La recta r esta contenida en el plano.
JUNIO 2013 B2.- Sean ๐ด(2,1,0)๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐2๐ฅ + 3๐ฆ + 4๐ง = 0
โข Hallar el punto del plano que este a la mรญnima distancia del punto A. โข Encontrar el punto B simรฉtrico de A respecto al plano
JULIO 2013 A2.- Dados el punto ๐(1,0, โ2)๐ฆ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =2๐ฅ + ๐ฆ โ 4๐ง = 72๐ฅ โ ๐ฆ = 5
โข Determinar la recta que corta a r, es perpendicular a r y pasa por el punto P. โข Halla la distancia entre el punto P y su simรฉtrico Q respecto de la recta r.
JULIO 2013 B2.- Se consideran los puntos ๐ด = (1,โ1,0)๐ฆ๐ต = (2,0,3)
โข ยฟEs posible encontrar un plano que sea perpendicular a la recta que une A y B y que ademรกs pase por el punto ๐ถ = (2,2,3)?En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn de dicho plano, en caso negativo razonar la respuesta.
โข ยฟEs posible encontrar una recta que pasa por A, B y C? En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn de la recta, en caso negativo razonar la respuesta.
JUNIO 2014 A2.- Dada la recta ๐ = =4๐ฅ โ 3๐ฆ + 4๐ง = โ13๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง = โ3 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ด๐ง = 0
โข Calcular el valor de A para que la recta y el plano sean paralelos. โข Obtener un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el origen de coordenadas.
JUNIO 2014 B2.- Calcular las coordenadas de un punto de la recta:
๐:๐ฅ โ 22
=๐ฆ + 13
=๐ง โ 22
Que equidiste de los planos 3๐ฅ + 4๐ฆ โ 1 = 0๐ฆ4๐ฅ โ 3๐ฆ + 9 = 0
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JULIO 2014 A2.- Dado el punto ๐(2,โ1,3)๐ฆ๐๐๐๐๐๐ก๐๐: !"= #$%
&= '()
)
โข Calcular la proyecciรณn del punto P sobre la recta r. โข Calcular la distancia de P a r. โข Obtener el simรฉtrico del punto P respecto a la recta r.
JULIO 2014 B2.- Dada la recta =2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = 0๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง = 1 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐3๐ฅ โ 5๐ฆ + ๐ด๐ง = โ31
โข Calcular el valor del parรกmetro A para que la recta y el plano sean paralelas. โข Para ๐ด = 12 calcular la intersecciรณn de la recta y el plano.
JUNIO 2015 A2.- Hallar la ecuaciรณn del plano que pasa por el punto ๐(โ1,2,3) y es paralelo a los vectores ๐ผ(โ1,โ2,โ3)๐ฆ๐ฝ(1,3,5).
Calcular el valor de m para que el plano calculado en el apartado anterior y el plano ๐๐ฅ โ ๐ฆ +5๐ง = 8 sean perpendiculares.
JUNIO 2015 B2.- Encontrar la recta que tiene como vector director el vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ(1,2,3) y pasa por el punto Pโ, siendo Pโ el punto simรฉtrico del punto ๐(0,โ2,0) respecto al plano:
๐: ๐ฅ + 3๐ฆ + ๐ง = 5
JULIO 2015 A2.- Considera los puntos ๐ด(2,1,2), ๐ต(0,4,1) y la recta de ecuaciรณn
๐ โก ๐ฅ = ๐ฆ โ 2 =๐ง โ 32
Calcular un punto P de la recta que equidiste de los puntos A y B.
Hallar la ecuaciรณn del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto A.
JULIO 2015 B2.- Considera los puntos ๐ด(2,1,2), ๐ต(0,4,1)๐ฆ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐
๐: ๐ฅ = ๐ฆ โ 2 =๐ง โ 32
โข Calcular un punto P de la recta que equidiste de los puntos A y B. โข Hallar la ecuaciรณn del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto A
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JUNIO 2016 A2.- Determinar el plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo a la recta de ecuaciรณn
๐ฅ โ 11
=๐ฆ โ 1โ1
=๐ง โ 11
Y tambiรฉn es paralelo a la recta que pasa por los puntos (0,1,1)๐ฆ(1,1,0).
JUNIO 2016 B2.- Dado el plano ๐ฅ โ 3๐ฆ + 2๐ง = 7
Determina el punto simรฉtrico del (3, โ8, 4) respecto a dicho plano.
Calcular la distancia entre los dos puntos simรฉtricos.
JULIO 2016 A2.- Calcular la distancia del punto A de coordenadas (4,4,3) al plano que pasa por los puntos de coordenadas ๐ต(1,1,0), ๐ถ(1,0,1)๐ฆ๐ท(0,1,1).
JULIO 2016 B2.- Sea r la recta que pasa por los puntos ๐(1,2,3)๐ฆ๐(โ1,0,1)
a) Determina la ecuaciรณn del plano perpendicular a la recta r y que pase por el punto ๐ด(4,โ2,โ1)
b) Determina la ecuaciรณn del plano perpendicular a la recta r y que pase por el punto ๐ต(2,1, โ3)
c) Calcular la distancia que hay entre ambos planos.
JUNIO 2017 A2.- Dado el punto ๐(1,โ3,7) , obtener su simรฉtrico respecto a la recta que pasa por los puntos ๐ด(1,โ3,4)๐ฆ๐ต(0, โ4,1).
JUNIO 2017 B2.- Calcula la ecuaciรณn de la recta que corta perpendicularmente a la recta
๐:๐ฅ2=๐ฆ โ 3โ2
=๐ง โ 13
Y que pasa por el punto ๐ด(14,3,3).
JULIO 2017 A2.- Dada la recta que pasa por los puntos ๐ด(0,2,3)๐ฆ๐ต(โ1,1,1) encontrar un punto P de dicha recta tal que la distancia de P al punto M(1,0,1)sea la misma que la distancia de P al punto N(0,4,2)
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JULIO 2017 B2.- Encontrar la ecuaciรณn de la recta que es paralela a los planos de ecuaciones
๐ฅ โ 3๐ฆ + ๐ง = 0๐ฆ2๐ฅ โ ๐ฆ + 3๐ง โ 5 = 0
Y que pase por el punto ๐(2,6,5)
Encontrar la distancia del primer plano a la recta obtenida.
JUNIO 2018 A2.- Dados los puntos ๐ด(3,3,3), ๐ต(2,3,4), ๐ถ(0,0,4)๐ฆ๐ท(3,0,1)
โข ยฟEstรกn en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn del plano. En caso negativo razonar la respuesta.
โข Calcular a para que el punto ๐(๐, ๐, 8) este en la recta que pasa por los puntos A y C.
JUNIO 2018 B2.- Hallar la ecuaciรณn del plano que contiene al punto ๐(2,โ1,2)๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐ก๐
๐:๐ฅ2=๐ฆ โ 31
=๐ง โ 1โ1
JULIO 2018 A2.- Sea el plano de ecuaciรณn ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 1sea la recta de ecuaciones paramรฉtricas
r:8๐ฅ = 1๐ฆ = ๐ก๐ง = ๐ก
y sea el punto P(1,1,0)
โข Hallar la ecuaciรณn del plano perpendicular a r y que contenga a P. โข Hallar el punto simรฉtrico de P respecto al plano.
JULIO 2018 B2.- Determina el punto simรฉtrico de ๐ด(โ3,1, โ7)respecto a la recta de ecuaciรณn paramรฉtricas.
๐: 8๐ฅ = โ1 + ๐ก๐ฆ = 3 + 2๐ก๐ง = โ1 + 2๐ก
JUNIO 2019 A2.- Sean la recta
๐: =4๐ฅ โ 3๐ฆ + 4๐ง = 13๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง = 0 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ด๐ง = 0
โข ยฟExiste algรบn valor de A para que el plano sea paralelo a r? โข Encontrar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,0,0)
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JUNIO 2019 B2.- Se consideran los tres puntos ๐ด(0,0,1), ๐ต(1,1,1)๐ฆ๐ถ(โ1,โ1,2). ยฟEstรกn alineados? En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.
JULIO 2019 A2.- Hallar la ecuaciรณn de una recta paralela al plano ๐ฅ + 2๐ฆ + 3๐ง = 6 y que contenga al punto ๐(1,0,0).ยฟEs รบnica dicha recta? Razonar la respuesta.
JULIO 2019 B2.- Se considera la recta r
๐:๐ฅ โ 11
=๐ฆ โ 22
=๐ง โ 33
Y el punto ๐(1,2,5) exterior a la misma. Hallar la ecuaciรณn del plano que contiene a r y a P.
JUNIO 2020 A2.- Hallar la ecuaciรณn del plano que pasa por el punto (โ1,2,3)๐ฆ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ (โ1,โ2,โ3)๐ฆ(1,3,5)
Hallar el valor de A para que le plano calculado en el apartado anterior y ๐ด๐ฅ โ ๐ฆ + 5๐ง = 8 sean perpendiculares.
JUNIO 2020 B2.- Sea el plano 2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ด๐ง = 0. Sea r la recta dada por =4๐ฅ โ 3๐ฆ + 4๐ง = โ13๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง = โ3
Hallar A para que r y el plano sean paralelos. Ademรกs, obtener el plano perpendicular a r y que pase por el origen.
JULIO 2020 A2.- Dada la recta
๐ = = 3๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 4๐ง = 1 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐3๐ฅ + (๐ + 1)(๐ฆ + 1) + ๐๐ง = 1
โข Hallar a para que la recta y el plano sean paralelos. โข Determinar si el punto ๐(1,1,2) pertenece al plano hallado en el apartado anterior.
JULIO 2020 B2.- Hallar el punto Q, simรฉtrico de
๐ = (1,2,3)๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 0 , explicando los pasos seguidos para su calculo.
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SOLUCIONES
JULIO 2010 B2 Calcular la distancia del punto ๐ = (3,2, โ1) a la recta que pasa por los puntos ๐ด(0,1,2)๐ฆ๐ต = (1,0,2).
Describir de forma razona los pasos seguidos para dicho calculo.
Lo primero que tenemos que hacer es crear la recta que pasa por el punto A y B:
๐ด๐ตWWWWWโ = ๐ต โ ๐ด = (1,โ1,0)
๐: 8๐ฅ = ๐ก
๐ฆ = 1 โ ๐ก๐ง = 2
Ahora para poder calcular la distancia entre la recta y el punto, podemos utilizar la formula, para eso la recta tiene que estar expresada en su forma general. En esta ocasiรณn, vamos a utilizar el procedimiento, donde entendemos lo que se pide y lo que necesitamos:
Tenemos que crear el plano con el punto P y como vector normal, el director de la recta, es decir;
๐(3,2, โ1)๐ฆ๐Wโ = (1,โ1,0) โ 1(๐ฅ โ 3) โ 1(๐ฆ โ 2) + 0(๐ง + 1) = 0
๐ฅ โ ๐ฆ โ 1 = 0 โ ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐.
Ahora vamos a calcular la intersecciรณn de la recta con el plano, porque la distancia entre la recta y el punto P es lo mismo que la distancia del punto P al punto de intersecciรณn (recta y plano).
๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ฆ๐๐๐๐๐ โ ๐ก โ (1 โ ๐ก) โ 1 = 0 โ ๐ก = 1
๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ 8๐ฅ = 1๐ฆ = 0๐ง = 2
๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐(๐, ๐๐) = Z(1 โ 3)) + (0 โ 2)) + (2 โ (โ1))) = โ4 + 4 + 9 = โ17
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JULIO 2010 A2 Se consideran los puntos del espacio ๐ด = (4,1,1)๐ฆ๐ต = (2, ๐ข, 3). Los puntos A y B son simรฉtricos respecto a un plano.
Calcular de forma razonada la ecuaciรณn de dicho plano en funciรณn de u.
ยฟExiste algรบn valor de u para el cual el punto (0,0,0) pertenezca al plano?
El plano que queremos o tenemos que crear es perpendicular a la recta, por tanto, el vector
normal del plano es el director de la recta ๐Wโ = ๐ด๐ตWWWWWโ = (โ2, ๐ข โ 1,2)
Un punto del plano puede ser el punto medio entre A y B, ya que, al ser simรฉtricos respecto del plano el punto medio debe de pertenecer al plano:
๐๐ =(4,1,1) + (2, ๐ข, 3)
2= (3,
1 + ๐ข2
, 2)
Ahora con el punto medio y el vector normal creamos el plano con la siguiente ecuaciรณn:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
โ2(๐ฅ โ 3) + (๐ข โ 1) \๐ฆ โ1 + ๐ข2 ] + 2(๐ง โ 2) = 0
Ahora para que el punto (0,0,0) pertenezca al plano debe de cumplir la ecuaciรณn del plano:
โ2(0 โ 3) + (๐ข โ 1) \0 โ1 + ๐ข2 ] + 2(0 โ 2) = 0
6 โ๐ข) โ 12
โ 4 = 0 โ 12 โ ๐ข) + 1 โ 8 = 0 โ ๐ข) = 5 โ ๐ข = ยฑโ5
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JUNIO 2010 B2 Dado el plano que pasa por los puntos ๐ด = (1,0,2),
๐ต = (0,โ1,3)๐ฆ๐ถ(๐, 2, โ4) ยฟEs posible calcular el valor del parรกmetro a para que dicho plano contenga al punto ๐(โ2,3,0)? En caso afirmativo calcular dicho valor.
Primero tenemos que calcular el plano que pasa por esos tres puntos:
๐ด๐ตWWWWWโ = (โ1,โ1,1)
๐ด๐ถWWWWWโ = (๐ โ 1,2, โ6)
Ahora para calcular el vector normal tenemos que hacer el siguiente procedimiento:
_๐ค ๐ฅ ๐Wโโ1 โ1 1๐ โ 1 2 โ6
_ = 4๐ + (๐ โ 7)๐ + (1 โ ๐)๐ โ (4, ๐ โ 7,1 โ ๐)
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
4(๐ฅ โ 1) + (๐ โ 7)(๐ฆ โ 0) + (1 โ ๐)(๐ง โ 2) = 0
4๐ฅ โ 4 + ๐๐ฆ โ 7๐ฆ + ๐ง โ 2 โ ๐๐ง + 2๐ = 0
Para que el punto P pertenezca al plano debe de cumplir la ecuaciรณn de este, es decir,
4(โ2) โ 4 + ๐(3) โ 7(3) + (0) โ 2 โ ๐(0) + 2๐ = 0 โ
โ8 โ 4 + 3๐ โ 21 โ 2 + 2๐ = 0 โ 5๐ = 35 โ ๐ = 7
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JUNIO 2010 A2.-Sean A y B los puntos del espacio, de coordenadas
๐ด = (3,4,1 + 2๐), ๐ต(โ3, ๐, 0).
Calcular la ecuaciรณn paramรฉtrica de la recta que pasa por A y por B.
Contestar de forma razonada a la siguiente pregunta: ยฟExiste algรบn valor de a para el cual dicha recta contenga al punto (9,4,6)?
๐ด๐ตWWWWWโ = (โ6, ๐ โ 4,โ1 โ 2๐)
Ahora escribimos la recta en forma paramรฉtrica:
๐: 8๐ฅ = โ3 โ 6๐ก
๐ฆ = ๐ + (๐ โ 4)๐ก๐ง = +(โ1 โ 2๐)๐ก
Para que el punto pertenezca a la recta:
9 = โ3 โ 6๐ก4 = ๐ + (๐ โ 4)๐ก6 = +(โ1 โ 2๐)๐ก
โ๐ก = โ2
4 = ๐ โ 2๐ + 8 โ ๐ = 46 = dโ1 โ 2(4)e(โ2) โ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐.
No existe un valor de a que haga que el punto pertenezca a la recta.
JUNIO 2011 A2.- Sean r y s las siguientes rectas:
๐ = 8๐ฅ = 3 + ๐ก๐ฆ = โ4 + 3๐ก
๐ง = 0๐ฆ๐ = =๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = 1
๐ฅ โ ๐ฆ = โ6
Hallar la ecuaciรณn de la recta perpendicular a las rectas r y s y tal que contenga al punto
๐ = (3,โ1,2).
Lo primero debes de calcular los vectores directores de la recta r y la recta s:
๐,WWWWโ = (1,3,0)
๐- = _๐ค ๐ฅ ๐Wโ1 1 โ21 โ1 0
_ = โ2๐ค โ 2๐ฅ โ 2๐Wโ โ (โ2,โ2,โ2) โ (1,1,1)
๐Wโ = _๐ค ๐ฅ ๐Wโ1 3 01 1 1
_ = 3๐ค โ ๐ฅ โ 2๐Wโ โ (3,โ1,โ2)
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
3(๐ฅ โ 3) โ 1(๐ฆ + 1) โ 2(๐ง โ 2) = 0 โ 3๐ฅ โ ๐ฆ โ 2๐ง โ 6 = 0
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JUNIO 2011 B2.- Sea el plano de ecuaciรณn ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = 0y sea P el punto (2,1,3).
Calcular el punto simรฉtrico de P respecto del plano, explicando el proceso seguido para dicho calculo.
Lo primero que debemos hacer es crear la recta que es perpendicular al plano, es decir, ๐,WWWWโ = ๐Wโ
Y que pase por el punto P:
๐: 8๐ฅ = 2 + ๐ก๐ฆ = 1 โ ๐ก๐ง = 3 + ๐ก
Cuando ya tenemos la recta creada, debemos calcular el punto de intersecciรณn que actuara como punto medio, en los prรณximos cรกlculos:
2 + ๐ก โ (1 โ ๐ก) + 3 + ๐ก = 0 โ 2 + ๐ก โ 1 + ๐ก + 3 + ๐ก = 0 โ 4 + 3๐ก = 0 โ ๐ก = โ43
El punto de intersecciรณn:
โฉโชโจ
โชโง๐ฅ = 2 โ .
"
๐ฆ = 1 + ."
๐ง = 3 โ ."
โ
โฉโชโจ
โชโง๐ฅ =
)"
๐ฆ = %"
๐ง = &"
Como ya te he dicho anteriormente, el punto de intersecciรณn actรบa como punto medio en los siguientes cรกlculos:
Si queremos calcular el punto simรฉtrico de P respecto del punto medio:
๐๐ =๐ + ๐โฒ2
โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2\23,73,53]โ (2,1,3) โ ๐/ = \
โ23,113,13]
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JULIO 2011 A2.- Hallar las coordenadas del punto simรฉtrico de ๐ด = (0,โ1,1) con respecto a la recta r dada por
๐ฅ โ 52
= ๐ฆ =๐ง โ 23
Describir de forma razonada el procedimiento seguido.
Lo primero que debemos de hacer es crear el plano que es perpendicular a la recta, es decir,
๐Wโ = ๐,WWWWโ y para por el punto A:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
2(๐ฅ โ 0) + 1(๐ฆ + 1) + 3(๐ง โ 1) = 0 โ 2๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง โ 2 = 0
Ahora debemos de calcular el punto de intersecciรณn entre la recta del enunciado y el plano que hemos creado, pero para eso, la recta debe de estar en forma paramรฉtrica:
๐: 8๐ฅ = 5 + 2๐ก๐ฆ = ๐ก
๐ง = 2 + 3๐ก
2(5 + 2๐ก) + ๐ก + 3(2 + 3๐ก) โ 2 = 0 โ
10 + 4๐ก + ๐ก + 6 + 9๐ก โ 2 = 0 โ 14๐ก + 14 = 0 โ ๐ก = โ1
El punto de intersecciรณn โ 8๐ฅ = 5 + 2(โ1)
๐ฆ = โ1๐ง = 2 + 3(โ1)
โ๐ฅ = 3๐ฆ = โ1๐ง = โ1
Ahora que ya tenemos el punto de intersecciรณn, lo utilizaremos como el punto medio para hallar el punto simรฉtrico de A con respecto a la recta:
๐๐ =๐ + ๐โฒ2
โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2(3,โ1,โ1) โ (0,โ1,1) โ ๐/ = (6,โ1,โ3)
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JULIO 2011 B2.- Calcular, de manera razonada, la ecuaciรณn del plano que contiene a la recta
๐ = 8๐ฅ = 1 + ๐ก๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ง = 3 + 2๐ก
Y al punto ๐ = (0,2,5)
Si una recta esta contenida en el plano eso quiere decir que el punto de la recta esta dentro del plano, entonces con el punto de la recta y el punto P podemos crear un vector que este contenido en el plano:
๐, = (1,2,3)
๐๐,WWWWWWโ = (1,0, โ2)
Ahora, con este vector y el vector director de la recta ๐,WWWWโ = (1, โ1,2) podemos crear el vector normal del plano.
๐Wโ = _๐ค ๐ฅ ๐Wโ1 0 โ21 โ1 2
_ = (โ2,โ4,โ1)
Con este vector normal del plano y el punto P podemos crear la ecuaciรณn del plano en su forma general:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
โ2(๐ฅ โ 0) โ 4(๐ฆ โ 2) โ 1(๐ง โ 5) = 0
โ2๐ฅ โ 4๐ฆ โ ๐ง + 13 = 0
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JULIO 2012 A2.- Dados los puntos ๐ด(โ1,3,2), ๐ต(2, โ1,โ1)๐ฆ๐ถ(๐ โ 2,7, ๐)
โข Determinar los valores de los parรกmetros a y b para que dichos puntos estรฉn alineados. โข Para los valores calculados en el apartado anterior, obtener la ecuaciรณn del plano que
pasa por el punto ๐(0,โ3,5)y es perpendicular al vector AC.
Para que tres puntos estรฉn alineados, los vectores tienen que ser proporcionales:
๐ด๐ตWWWWWโ = (3, โ4,โ3)
๐ด๐ถWWWWWโ = (๐ โ 1,4, ๐ โ 2)
Ahora para que estรฉn alineados, se tiene que cumplir lo siguiente:
๐ โ 13
=4โ4
=๐ โ 2โ3
โ
๐ โ 13
=4โ4
โ ๐ โ 1 = โ3 โ ๐ = โ2
4โ4
=๐ โ 2โ3
โ ๐ โ 2 = 3 โ ๐ = 5
Ahora con el vector que hemos creado ๐ด๐ถWWWWWโ y sustituyendo los valores de a y b que hemos calculado, vamos a crear un plano con dicho vector y el punto P.
๐ด๐ถWWWWWโ = (โ3,4,3)
๐(0,โ3,5)
El plano, al ser perpendicular a la direcciรณn ๐ด๐ถWWWWWโ actรบa como vector normal del plano:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
โ3(๐ฅ โ 0) + 4(๐ฆ + 3) + 3(๐ง โ 5) = 0
โ3๐ฅ + 4๐ฆ + 3๐ง โ 3 = 0
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JUNIO 2012 B2.- Se sabe que el plano ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo divide en dos partes iguales. El punto A es (1,0,0)
Halla las coordenadas del punto B y calcula la intersecciรณn del segmento AB con el plano.
Como el plano es perpendicular a la recta AB eso quiere decir que el vector director de la recta coincide con el vector normal del plano.
Tambiรฉn conocemos un punto de la recta, el punto A, por tanto, podemos crear la recta perpendicular al plano y que pasa por A.
๐,WWWWโ = (1,1,1) = ๐Wโ
๐: 8๐ฅ = 1 + ๐ก๐ฆ = ๐ก๐ง = ๐ก
Sabiendo cual es la recta, ahora tenemos que calcular la intersecciรณn de la recta con el plano, de esta forma obtendremos el punto medio del segmento AB.
1 + ๐ก + ๐ก + ๐ก = 4 โ 3๐ก = 3 โ ๐ก = 1
๐ธ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ 8๐ฅ = 2๐ฆ = 1๐ง = 1
Sabiendo el punto de intersecciรณn, que ademรกs actรบa como punto medio, podemos calcular B , ya que es el punto simรฉtrico de A respecto del punto de intersecciรณn (punto medio).
๐๐ =๐ + ๐โฒ2
โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2(2,1,1) โ (1,0,0) โ ๐/ = (3,2,2)
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JUNIO 2012 A2.- Dados los puntos ๐ด(1,2,3), ๐ต(1, โ2,4)๐ฆ๐ถ(1, โ3, ๐):
โข Calcular el valor del parรกmetro a, de tal manera que los tres puntos estรฉn alineados. โข En el caso ๐ = 5 hallar la recta que pasa por el origen y que ademรกs sea perpendicular
al plano que contiene a los puntos.
Para que tres puntos estรฉn alineados se tiene que cumplir que los vectores sean perpendiculares:
๐ด๐ตWWWWWโ = (0, โ4,1)
๐ด๐ถWWWWWโ = (0, โ5, ๐ โ 3)
Ahora comprobamos si son proporcionales:
00=โ4โ5
=1
๐ โ 3
โ4โ5
=1
๐ โ 3โ โ4๐ + 12 = โ5 โ โ4๐ = โ17 โ ๐ =
174
Ahora tenemos que crear una recta que sea perpendicular al plano que crean los puntos cuando ๐ = 5
Para ello tenemos que calcular el vector normal del plano que sea el vector director de la recta:
๐Wโ = k๐ ๐ ๐0 โ4 10 โ5 2
k = (โ3,0,0)
Con este vector y el origen de coordenadas, creamos la recta:
๐: 8๐ฅ = โ๐ก๐ฆ = 0๐ง = 0
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JUNIO 2013.- Considera la recta r definida por
๐ฅ โ 2๐
=๐ฆ โ 14
=๐ง + 12
Y el plano 2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐๐ง = 0.
Determinar los valores de a y b en los siguientes casos:
โข La recta r es perpendicular al plano โข La recta r esta contenida en el plano.
Cuando la recta y el plano son perpendiculares, esto quiere decir que sus vectores, el vertor director de la recta y el vector normal del plano son paralelos, por tanto, tienen que ser proporcionales, es decir,
๐, = (๐, 4,2)
๐Wโ = (2,โ1, ๐)
Para que sean perpendiculares recta y plano:
๐2=
4โ1
=2๐
๐2=
4โ1
โ โ๐ = 8 โ ๐ = โ8
4โ1
=2๐โ 4๐ = โ2 โ ๐ = โ
12
Para que la recta este contenida en el plano, los vectores, vector normal del plano y el vector director de la recta deben de ser perpendiculares, por tanto, se debe cumplir que la multiplicaciรณn escalar de dichos vectores sea cero:
๐, = (๐, 4,2)
๐Wโ = (2,โ1, ๐)
๐, โ ๐Wโ = 0 โ (๐, 4,2) โ (2, โ1, ๐) = 0 โ 2๐ โ 4 + 2๐ = 0 โ ๐ = 2 โ ๐
A esto tenemos que aรฑadir que si la recta esta contenida en el plano, el punto de la recta debe de cumplir la ecuaciรณn del plano, por tanto,
๐(2,1, โ1)
2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐๐ง = 0
๐ผ๐๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ 2(2) โ (1) + ๐(โ1) = 0 โ ๐ = 3
Sabiendo que ๐ = 3 โ ๐ = โ1
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JUNIO 2013 B2.- Sean ๐ด(2,1,0)๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐2๐ฅ + 3๐ฆ + 4๐ง = 0
โข Hallar el punto del plano que este a la mรญnima distancia del punto A. โข Encontrar el punto B simรฉtrico de A respecto al plano
Para hallar el punto que esta a la mรญnima distancia, lo primero que vamos a hacer, es crear la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta es igual al vector normal del plano, es decir,
๐, = ๐Wโ
๐, = (2,3,4)
Por tanto, la recta que debemos crear es:
๐: 8๐ฅ = 2 + 2๐ก๐ฆ = 1 + 3๐ก๐ง = 4๐ก
Ahora debemos de calcular el punto de intersecciรณn de la recta con el plano, ya que este punto serรก el punto que esta a la mรญnima distancia de A.
Para hacer la intersecciรณn de la recta y el plano, debemos introducir la ecuaciรณn de la recta en el plano:
2(2 + 2๐ก) + 3(1 + 3๐ก) + 4(4๐ก) = 0 โ 4 + 4๐ก + 3 + 9๐ก + 16๐ก = 0 โ ๐ก =โ729
Ahora con la ๐ก calculada, somos capaces de determinar el punto de intersecciรณn:
๐๐ โ
โฉโชโจ
โชโง๐ฅ = 2 + 2
โ729
๐ฆ = 1 + 3โ729
๐ง = 4โ729
โ
โฉโชโจ
โชโง ๐ฅ =
4429
๐ฆ =829
๐ง =โ2829
Sabiendo el punto de intersecciรณn, que ademรกs actรบa como punto medio, podemos calcular B, ya que es el punto simรฉtrico de A respecto del punto de intersecciรณn (punto medio).
๐๐ =๐ + ๐โฒ2
โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2\4429,829,โ2829 ]
โ (2,1,0) โ ๐/ = \3029,โ1329
,โ5629 ]
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JULIO 2016 A2.- Calcular la distancia del punto A de coordenadas (4,4,3) al plano que pasa por los puntos de coordenadas ๐ต(1,1,0), ๐ถ(1,0,1)๐ฆ๐ท(0,1,1).
Lo primero que debemos de hacer, es crear el plano con los puntos B, C, D:
๐ต๐ถWWWWWโ = (0, โ1,1)
๐ต๐ทWWWWWWโ = (โ1,0,1)
Estos dos vectores que hemos creado estรกn contenidos en el plano, a nosotros nos interesa calcular el vector normal del plano que es perpendicular a estos dos vectores, por tanto, haremos la multiplicaciรณn vectorial para determinarlo:
๐Wโ = k๐ ๐ ๐0 โ1 1โ1 0 1
k = โ1๐ โ 1๐ โ 1๐ โ (โ1,โ1,โ1) โ (1,1,1)
Con este vector y uno de los tres puntos, creamos el plano:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
1(๐ฅ โ 1) + 1(๐ฆ โ 1) + 1(๐ง โ 0) = 0 โ ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง โ 2 = 0
Ahora para calcular la distancia entre el plano que hemos creado y el punto A, haremos la siguiente formula:
๐(๐, ๐) =|๐ด๐ฅ+ + ๐ต๐ฆ+ + ๐ถ๐ง+ + ๐ท|
โ๐ด) + ๐ต) + ๐ถ)
๐(๐, ๐) =|๐ด๐ฅ+ + ๐ต๐ฆ+ + ๐ถ๐ง+ + ๐ท|
โ๐ด) + ๐ต) + ๐ถ)=|4 + 4 + 3 โ 2|
โ3=
9โ3
= 3โ3
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JUNIO 2017 A2.- Dado el punto ๐(1,โ3,7) , obtener su simรฉtrico respecto a la recta que pasa por los puntos ๐ด(1,โ3,4)๐ฆ๐ต(0, โ4,1).
Primero tenemos que crear la recta que pasa por los puntos A y B:
๐ด๐ตWWWWWโ = (โ1,โ1,โ3)
Con este vector y uno de los puntos, creamos la ecuaciรณn de la recta:
๐: 8๐ฅ = โ๐ก
๐ฆ = โ4 โ ๐ก๐ง = 1 โ 3๐ก
Cuando ya tenemos la recta, tenemos que crear el plano que es perpendicular a la recta y que pasa por el punto M, recuerda que, si la recta y el plano son perpendiculares, podemos asumir lo siguiente:
๐,WWWWโ = ๐Wโ = (โ1,โ1,โ3)
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
โ1(๐ฅ โ 1) โ 1(๐ฆ + 3) โ 3(๐ง โ 7) = 0 โ โ๐ฅ โ ๐ฆ โ 3๐ง + 19 = 0
Ahora debemos de calcular el punto de intersecciรณn de la recta con el plano, ya que dicho punto de intersecciรณn actuara como punto medio y de esta forma podremos calcular el punto simรฉtrico de M:
๐๐ โ โ(โ๐ก) โ (โ4 โ ๐ก) โ 3(1 โ 3๐ก) + 19 = 0 โ ๐ก + 4 + ๐ก โ 3 + 9๐ก + 19 = 0 โ ๐ก =โ2011
Por tanto, el punto de intersecciรณn serรก:
๐๐ โ
โฉโชโจ
โชโง ๐ฅ = โ
โ2011
๐ฆ = โ4 โโ2011
๐ง = 1 โ 3โ2011
โ
โฉโชโจ
โชโง ๐ฅ =
2011
๐ฆ =โ2411
๐ง =7111
Sabiendo el punto de intersecciรณn, que ademรกs actรบa como punto medio, podemos calcular B, ya que es el punto simรฉtrico de A respecto del punto de intersecciรณn (punto medio).
๐๐ =๐ + ๐/
2โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2\
2011,โ2411
,7111]
โ (1,โ3,7)) โ
๐/ = \2911,โ1511
,6511]
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JUNIO 2017 B2.- Calcula la ecuaciรณn de la recta que corta perpendicularmente a la recta
๐:๐ฅ2=๐ฆ โ 3โ2
=๐ง โ 13
Y que pasa por el punto ๐ด(14,3,3).
Lo primero que debemos hacer, es calcular el plano que es perpendicular a la recta del enunciado y que pase por el punto A, para esto, recuerda que, si plano y recta son perpendiculares, esto quiere decir que,
๐,WWWWโ = ๐Wโ = (2,โ2,3)
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
2(๐ฅ โ 14) โ 2(๐ฆ โ 3) + 3(๐ง โ 3) = 0 โ 2๐ฅ โ 2๐ฆ + 3๐ง โ 31 = 0
Cuando ya tenemos el plano, necesitamos calcular el punto de intersecciรณn de la recta con el plano, ya que, al calcular dicho punto de intersecciรณn, podremos crear la recta que es perpendicular a la recta r; con el punto A y el punto de intersecciรณn.
Necesitamos la recta ๐ en su ecuaciรณn paramรฉtrica:
๐: 8๐ฅ = 2๐ก
๐ฆ = 3 โ 2๐ก๐ง = 1 + 3๐ก
๐๐ โ 2(2๐ก) โ 2(3 โ 2๐ก) + 3(1 + 3๐ก) โ 31 = 0 โ 4๐ก โ 6 + 4๐ก + 3 + 9๐ก โ 31 = 0 โ ๐ก = 2
๐๐ โ o๐ฅ = 2(2)
๐ฆ = 3 โ 2(2)๐ง = 1 + 3(2)
โ 8๐ฅ = 4๐ฆ = โ1๐ง = 7
Con el punto de intersecciรณn y el punto A, creamos la recta:
๐ด๐๐คWWWWWWWโ = (โ10,โ4,4)
๐ : 8๐ฅ = 14 โ 10๐ก๐ฆ = 3 โ 4๐ก๐ง = 3 + 4๐ก
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JULIO 2017 A2.- Dada la recta que pasa por los puntos ๐ด(0,2,3)๐ฆ๐ต(โ1,1,1) encontrar un punto P de dicha recta tal que la distancia de P al punto M(1,0,1)sea la misma que la distancia de P al punto N(0,4,2)
Lo primero que vamos a realizar es el calculo de la ecuaciรณn de la recta que pasa por los puntos A y B:
๐ด๐ตWWWWWโ = (โ1,โ1,โ2)
Ahora, con este vector y el punto A o B, creamos la recta:
๐: 8๐ฅ = โ๐ก๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ง = 3 โ 2๐ก
La idea de este ejercicio es entender el siguiente concepto, cualquier punto de la recta ๐ debe de cumplir la siguiente estructuraโ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = (โ๐ก, 2 โ ๐ก, 3 โ 2๐ก)
Con esta idea tan bรกsica y sabiendo calcular la distancia entre dos puntos seremos capaces de resolver el ejercicio.
๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐ โ Z(1 + ๐ก)) + (๐ก โ 2)) + (2๐ก โ 2))
๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐ โ Z(๐ก)) + (2 + ๐ก)) + (2๐ก โ 1))
Ahora solamente tenemos que igualar el calculo de estas dos distancias:
Z(1 + ๐ก)) + (๐ก โ 2)) + (2๐ก โ 2)) = Z(๐ก)) + (2 + ๐ก)) + (2๐ก โ 1))
(1 + ๐ก)) + (๐ก โ 2)) + (2๐ก โ 2)) = (๐ก)) + (2 + ๐ก)) + (2๐ก โ 1))
1 + 2๐ก + ๐ก) + ๐ก) โ 4๐ก + 4 + 4๐ก) โ 8๐ก + 4 = ๐ก) + 4 + 4๐ก + ๐ก) + 4๐ก) โ 4๐ก + 1
โ10๐ก + 9 = 5
๐ก =25
Ahora con este parรกmetro calculado vamos a saber cual es el punto que esta a la misma distancia de M y de N:
8๐ฅ = โ๐ก๐ฆ = 2 โ ๐ก๐ง = 3 โ 2๐ก
โ ๐ก =25โ
โฉโชโจ
โชโง ๐ฅ = โ
25
๐ฆ = 2 โ25
๐ง = 3 โ 225
โ
โฉโชโจ
โชโง๐ฅ = โ
25
๐ฆ =85
๐ง =115
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JUNIO 2018 A2.- Dados los puntos ๐ด(3,3,3), ๐ต(2,3,4), ๐ถ(0,0,4)๐ฆ๐ท(3,0,1)
โข ยฟEstรกn en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn del plano. En caso negativo razonar la respuesta.
Calcular a para que el punto ๐(๐, ๐, 8) este en la recta que pasa por los puntos A y C.
Para saber si 4 puntos estรกn en el mismo plano tenemos varios procedimientos, en este caso lo haremos utilizando el procedimiento de los determinantes:
๐ด๐ตWWWWWโ = (โ1,0,1)
๐ด๐ถWWWWWโ = (โ3,โ3,1)
๐ด๐ทWWWWWโ = (0, โ3,โ2)
Calculamos ahora el determinante de estos tres vectores:
kโ1 0 1โ3 โ3 10 โ3 โ2
k = โ6 + 0 + 9 โ 0 โ 0 โ 3 = 0
Como el determinante es cero, los cuatro puntos forman un plano.
Ahora tenemos que calcular la recta que pasa por los puntos A y C, para despuรฉs determinar cuales tienes que ser los valores de a para que el punto P pertenezca a la recta.
๐ด๐ถWWWWWโ = (โ3,โ3,1)
๐: 8๐ฅ = 3 โ 3๐ก๐ฆ = 3 โ 3๐ก๐ง = 3 + ๐ก
Para que el punto P pertenezca a la recta debe cumplir la ecuaciรณn de dicha recta:
๐: 8๐ฅ = 3 โ 3๐ก๐ฆ = 3 โ 3๐ก๐ง = 3 + ๐ก
โ (๐, ๐, 8) โ ๐: 8๐ = 3 โ 3๐ก๐ = 3 โ 3๐ก8 = 3 + ๐ก
โ ๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐: ๐ก = 5
Por tanto ๐ = 3 โ 3(5) โ ๐ = โ12
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JUNIO 2018 B2.- Hallar la ecuaciรณn del plano que contiene al punto ๐(2,โ1,2)๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐ก๐
๐:๐ฅ2=๐ฆ โ 31
=๐ง โ 1โ1
Como la recta esta contenida en el plano que queremos crear, su punto tambiรฉn esta contenido en el plano y por tanto, con el punto de la recta y el punto P, podemos crear un vector:
๐, = (0,3,1)
๐(2,โ1,2)
๐๐,WWWWWWโ = (โ2,4, โ1)
Ahora con el vector de la recta, al estar contenida en el plano, tambiรฉn estarรก su vector contenido en el plano.
๐,WWWWโ = (2,1, โ1)
Ahora con los dos vectores que sabemos que estรกn contenidos en el plano creamos el vector normal que serรก perpendicular a los dos vectores anteriores, para eso debemos hacer la multiplicaciรณn vectorial:
๐Wโ = k๐ ๐ ๐2 1 โ1โ2 4 โ1
k = (3,4,10)
Finalmente, con este vector normal del plano y el punto P, creamos el plano:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
3(๐ฅ โ 2) + 4(๐ฆ + 1) + 10(๐ง โ 2) = 0
3๐ฅ + 4๐ฆ + 10๐ง โ 22 = 0
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JULIO 2018 A2.- Sea el plano de ecuaciรณn ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 1sea la recta de ecuaciones paramรฉtricas
r:8๐ฅ = 1๐ฆ = ๐ก๐ง = ๐ก
y sea el punto P(1,1,0)
โข Hallar la ecuaciรณn del plano perpendicular a r y que contenga a P. โข Hallar el punto simรฉtrico de P respecto al plano.
En el primer apartado, si queremos el plano perpendicular a la recta, el vector normal del plano que vamos a crear es el mismo que el vector director de la recta:
๐Wโ = ๐,WWWWโ = (0,1,1)
Y con el punto P:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
0(๐ฅ โ 1) + 1(๐ฆ โ 1) + 1(๐ง โ 0) = 0 โ ๐ฆ + ๐ง โ 1 = 0
En el segundo apartado, para calcular el punto simรฉtrico de P respecto al plano, lo primero que debemos hacer es calcular una recta perpendicular al plano y que pasa por dicho punto P:
Para eso debemos entender que, si recta y plano son perpendiculares, el vector director de la recta es el vector normal del plano:
๐Wโ = ๐,WWWWโ = (1,1,1)
Con el punto P creamos la recta:
๐ : 8๐ฅ = 1 + ๐ก๐ฆ = 1 + ๐ก๐ง = ๐ก
Ahora debemos de calcular el punto de intersecciรณn de la recta con el plano, ya que, gracias a ese punto seremos capaces de calcular el punto simรฉtrico de P, puesto que, el punto intersecciรณn actรบa como punto medio.
Entonces, metemos en la ecuaciรณn del plano, la ecuaciรณn de la recta:
๐๐ โ (1 + ๐ก) + (1 + ๐ก) + (๐ก) = 1 โ 3๐ก = โ1 โ ๐ก =โ13
Con este parรกmetro determinamos el punto de intersecciรณn:
๐๐ โ
โฉโชโจ
โชโง๐ฅ = 1 โ
13
๐ฆ = 1 โ13
๐ง = โ13
โ
๐ฅ =23
๐ฆ =23
๐ง =โ13
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๐๐ =๐ + ๐/
2โ ๐/ = 2๐๐ โ ๐ โ ๐/ = 2\
23,23,โ13 ]
โ (1,1,0)) โ
๐/ = \13,13,โ23 ]
JUNIO 2019 A2.- Sean la recta
๐: =4๐ฅ โ 3๐ฆ + 4๐ง = 13๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง = 0 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ด๐ง = 0
โข ยฟExiste algรบn valor de A para que el plano sea paralelo a r? โข Encontrar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,0,0)
Para que la recta y el plano sean paralelos, la multiplicaciรณn escalar de sus vectores tiene que ser cero. Lo primero que debemos hacer es calcular el vector director de la recta, ya que, tal y como esta representada la recta no lo sabemos:
๐ = k๐ ๐ ๐4 โ3 43 โ2 1
k = (5,8,1)
Este vector director de la recta y el vector normal del plano:
๐Wโ = (1,โ1, ๐ด)
Su multiplicaciรณn escalar debe de ser cero: (5,8,1) โ (1, โ1, ๐ด) = 5 โ 8 + ๐ด = 0 โ ๐ด = 3
Un plano que sea perpendicular a la recta cumple que el vector normal de dicho plano y el vector director de la recta son el mismo, por tanto,
Con el vector (5,8,1)๐ฆ๐๐๐๐ข๐๐ก๐(0,0,0) creamos el plano:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
5๐ฅ + 8๐ฆ + ๐ง = 0
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ENUNCIADOS_SOLUCIONES
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JUNIO 2019 B2.- Se consideran los tres puntos ๐ด(0,0,1), ๐ต(1,1,1)๐ฆ๐ถ(โ1,โ1,2). ยฟEstรกn alineados? En caso afirmativo hallar la ecuaciรณn de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.
Para comprobar si tres puntos estรกn o no alineados debemos de hacer el siguiente procedimiento:
๐ด๐ตWWWWWโ = (1,1,0)
๐ด๐ถWWWWWโ = (โ1,โ1,1)
Para que los puntos estรฉn alineados, los vectores que hemos calculado anteriormente deben de ser proporcionales, si no fuese el caso, no estarรญan alineados y podrรญamos crear el plano:
1โ1
=1โ1
โ 01โ ๐ฟ๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐.
Para crear dicho plano, calculamos previamente el vector normal con los dos vectores que ya tenemos:
๐Wโ = k๐ ๐ ๐1 1 0โ1 โ1 1
k = (1,โ1,0)
Con este vector normal y uno de los tres puntos podemos crear el plano, en esta ocasiรณn utilizare el punto A:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
1(๐ฅ โ 1) โ 1(๐ฆ โ 1) = 0 โ ๐ฅ โ ๐ฆ = 0
JUNIO 2020 A2.- Hallar la ecuaciรณn del plano que pasa por el punto (โ1,2,3)๐ฆ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ (โ1,โ2,โ3)๐ฆ(1,3,5)
Hallar el valor de A para que le plano calculado en el apartado anterior y ๐ด๐ฅ โ ๐ฆ + 5๐ง = 8 sean perpendiculares.
Recuerda que, si un plano es paralelo a dos vectores, podemos calcular su vector normal haciendo la multiplicaciรณn vectorial, ya que, esta operaciรณn nos da un vector perpendicular a los dos vectores que usamos en la operaciรณn.
๐Wโ = k๐ ๐ ๐โ1 โ2 โ31 3 5
k = (โ1,2, โ1)
Con este vector y el punto (โ1,2,3) creamos el plano:
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ*) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ+) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง+) = 0
โ1(๐ฅ + 1) + 2(๐ฆ โ 2) โ 1(๐ง โ 3) = 0 โ โ๐ฅ + 2๐ฆ โ ๐ง โ 2 = 0
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Si dos planos son perpendiculares, eso quiere decir que, la multiplicaciรณn escalar de sus vectores normales es cero, por tanto,
(โ1,2, โ1) โ (๐ด,โ1,5) = 0 โ โ๐ด โ 2 โ 5 = 0 โ ๐ด = โ7
JULIO 2020 A2.- Dada la recta
๐ = = 3๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 22๐ฅ + ๐ฆ + 4๐ง = 1 ๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐3๐ฅ + (๐ + 1)(๐ฆ + 1) + ๐๐ง = 1
โข Hallar a para que la recta y el plano sean paralelos. โข Determinar si el punto ๐(1,1,2) pertenece al plano hallado en el apartado anterior.
Para que la recta y el plano sean paralelos se tiene que cumplir que la multiplicaciรณn escalar de ambos vectores, tanto vector normal como vector director, sea cero.
๐,WWWWโ = k๐ ๐ ๐3 1 โ12 1 4
k = (5,โ14,1)
๐Wโ = (3, ๐ + 1, ๐)
(5, โ14,1) โ (3, ๐ + 1, ๐) = 0 โ 15 โ 14๐ โ 14 + ๐ = 0 โ ๐ =113
El plano por tanto serรก: 3๐ฅ + (๐ + 1)(๐ฆ + 1) + ๐๐ง = 1 โ ๐ = 00"โ 3๐ฅ + 0.
0"๐ฆ + 0
0"๐ง + 0
0"= 0
Para que el punto P pertenezca al plano, debe cumplir su ecuaciรณn:
3๐ฅ +1413๐ฆ +
113๐ง +
113
= 0 โ 3(1) +1413(1) +
113(2) +
113
โ 0 โ ๐ธ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐.