Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas
Señales y Sistemas2013
Señales y Sistemas2013
Objetivos
• Aprender las bases de la identificación de sistemas.• Obtener una visión general sobre problemas
relacionados (optimización, filtrado adaptativo...)• Conocer las técnicas más utilizadas.• Reconocer ventajas, desventajas y posibilidades de
aplicación.• Aplicar los conocimientos ya adquiridos.• Presentar algunos ejemplos reales.
Organización
• Introducción• Técnicas:
– Convencionales:• Análisis de respuesta• Predicción lineal (LPC)
– Métodos estáticos y adaptativos• Estimación del orden
– No convencionales:• Algoritmos genéticos (GA)
Introducción
“Identificar un sistema consiste en encontrar un conjunto de reglas y/o parámetros asociados que describan un modelo aceptable para el proceso que en él se está llevando a cabo.”
Introducción
¿H(a)?u s
No tengo acceso al interior
CAJANEGRA
No tengo acceso a
la entrada
¿Qué tipo de sistema es?¿Qué reglas lo gobiernan?¿Cuantas entradas y salidas tengo?
¿Qué orden tiene?¿Qué valores tienen sus parámetros?
Supongo alguna forma paramétrica
Introducción
• Los datos obtenibles del sistema son: su señal de salida y, en algunos casos, su señal de entrada.
• Los resultados de la identificación son: la estructura y el conjunto de parámetros característicos del modelo.
• En algunos casos la estructura del sistema puede ser conocida o supuesta “a priori” y la identificación se reduce a la búsqueda de los parámetros.
• En el caso más general tanto la estructura como los parámetros deben ser encontrados minimizando algún criterio de error o de costo.
Paramétrica vs. No Paramétrica
• Paramétrica: se supone un modelo a priori con parámetros ajustables, y el problema consiste en hallar los parámetros óptimos del mismo para aproximar los datos.
• No Paramétrica: aquí no se supone ningún modelo a priori, y el problema consiste en hallar una función o regla de comportamiento que concuerde o se desprenda de los datos.
Planteo general
+
-
ef(e)
arg min ( ( ))f ea
a
H(a)
Hest(aest)
aest
u s
s
Sistema real
Sistema estimado
Superficie de error en función de los parámetros
Método para hallar el óptimo
Criterio
( ( ))f e a
a
¿Cómo es la superficie de error?
??Técnicas disponibles
• Convencionales– Análisis de respuesta:
• Temporal• Frecuencial
– Predicción lineal:• Métodos estáticos• Métodos adaptativos
• No convencionales– Algoritmos genéticos– Otros: Recocido simulado.
Análisis de la respuesta...
• Estimulo el sistema con una función conocida.
• Del análisis gráfico de la forma de la salida determino los parámetros
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo
Am
plitu
d
Solo sirve para sistemas de orden pequeño
Análisis de la respuesta…
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo
Am
plitu
d
ζ: Tiempo que tarda el sistema enalcanzar el 63.7 % del valor final
ωn: frecuencia natural de oscilación,ξ: coeficiente de amortiguamiento y k: la ganancia de estado estacionario
Respuesta a un escalón (t)
Primer orden (s):
Segundo orden (s):
Análisis de la respuesta...
• En el caso frecuencial se intenta estimar la respuesta espectral
• Se pueden utilizar dispositivos analógicos o digitales
• Generalmente es útil como identificación no paramétrica del punto de vista cualitativo
SistemaVCO
Rampa
Predicción Lineal
Predicción Lineal
• La denominación predicción lineal proviene del modelo que se utiliza en la aproximación del sistema real a identificar.
• Decimos que “la salida es predecible a partir de una combinación lineal de las entradas y salidas pasadas”.
El modelo ARMA
q
llnl
p
kknkn ubGsas
01
.
1
1
1( )
1
ql
llp
kk
k
b zH z G
a z
El modelo AR
)()()()(
zCG
zAzBGzH
Cuadrados mínimos
nnn sse ˆ
222 ˆ asTnnnnn ssse
Sistema de Wiener-Hopf...
• Señales determinísticas
ECTen
n 22
2 0
Tn n n n
n ns
s s a s raR
Ecuación que relaciona los
parámetros y la salida del sistema
Sistema de Wiener-Hopf...
• Señales aleatorias estacionarias
raR
Rss TE
2 2 2 ...
2
n n
T Tn
E e E s
E s E
s a a s s a
2 0T
nE E s
s s a s
Superficie de error
Superficie de error cuadrático para un sistema AR de orden 2.
E
a1
a2
Resolución Wiener-Hopf
• Métodos estáticos:– Atacan directamente la resolución del sistema de
ecuaciones lineales mediante métodos numéricos. • Inversión de Matrices• Matriz Toeplitz: Levinson-Durbin
Resolución Wiener-Hopf
• Métodos adaptativos: – Buscan minimizar el error cuadrático instantáneo
mediante una adaptación permanente de los parámetros.
• Realizan sucesivas aproximaciones a la raíz de la función en el sentido del gradiente negativo
• Función: error cuadrático instantáneo.
Sistemas variantesen el tiempo
Método adaptativo de Widrow
knnkk seaann
21
Estimación del orden
• Se fija un criterio que depende del orden y del error.
• Se busca conseguir simultáneamente un orden pequeño y buena aproximación
0 5 10 15 20
Am
plitu
d re
lativ
a
Orden
Vp
Ip
Método de Akaike Método de Error de Predicción Final (FPE)23/04/2013 26
Ejemplo: Tracto Vocal
Cavidadoral
Cuerdasvocales
Laringe
Traquea ybronquios
Cavidadfaringea
Salidanariz
Salidaboca
Pulmones
Fuerzamuscular
Velo
Lengua
Cavidadnasal
Diafragma
Tracto vocal
Tracto respiratorio
Ener
gía
Frecuencia
Ener
gía
Frecuencia
Pres
ión
Tiempo
Ener
gía
FrecuenciaTiempo
Pres
ión
Ener
gía
Frecuencia
|X( f )|
|H( f )|
|L( f )|
|Y( f )|
y( t )
x( t )
Ejemplo: Tracto Vocal
Wolfgang von Kempelen, 1791:• Máquina que reproducía la mecánica del aparato fonador.
23/04/2013 27
Cavidadoral
Cuerdasvocales
Laringe
Traquea ybronquios
Cavidadfaringea
Salidanariz
Salidaboca
Pulmones
Fuerzamuscular
Velo
Lengua
Cavidadnasal
Diafragma
Tracto vocal
Tracto respiratorio
Ener
gía
F recuencia
Ener
gía
Frecuencia
Pres
ión
Tiempo
Ener
gía
FrecuenciaTiempo
Pre
sión
Ene
rgía
Frecuencia
|X( f )|
|H( f )|
|L( f )|
|Y( f )|
y( t )
x( t )
Ejemplo: Tracto Vocal
Cavidadoral
Cuerdasvocales
Laringe
Traquea ybronquios
Cavidadfaringea
Salidanariz
Salidaboca
Pulmones
Fuerzamuscular
Velo
Lengua
Cavidadnasal
Diafragma
Tracto vocal
Tracto respiratorio
Ene
rgía
F recuenciaE
nerg
ía
Frecuencia
Pres
ión
Tiempo
Ene
rgía
FrecuenciaTiempo
Pres
ión
Ener
gía
Frecuencia
|X( f )|
|H( f )|
|L( f )|
|Y( f )|
y( t )
x( t )
Ejemplo: Tracto Vocal¿Cómo encontrar los coeficientes del filtro del tracto vocal?
Problema de Identificación de Sistemas
• Filtro todo-polos (AR)
• Conexión con predicción lineal:
sn = -Sk ak sn-k + G un
• Podemos encontrar G a partir de la energía, así que lo ignoramos…
Filtro AR
?Entrada Salida
Ejemplo: Tracto Vocal¿Cómo encontrar los coeficientes del filtro del tracto vocal?
Problema de Identificación de Sistemas
• Filtro todo-polos (AR)
• Señal NO estacionaria (fonemas diferentes en el discurso) análisis por tramos estacionarios.
• Podemos encontrar G a partir de la energía.
Filtro AR
?Entrada Salida
Ejemplo: Síntesis de voz Ejemplo: ECG
Señal real
Señal sintetizada con LPC
Bibliografía...• Makhoul J., “Linear Prediction: A Tutorial Review,” Proc. IEEE,
vol 63, no. 4, pp. 561-580, apr. 1975.• Deller. J. R., Proakis J. G., Hansen J. H., Discrete-Time
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• Ogata K., Ingeniería moderna de control, Segunda Edición, 1993.• Papoulis A., “Maximun Entropy and Spectral Estimation: A Review,” IEEE Trans.
Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP 29, pp. 1176-1186, dec. 1981.• Rabiner L. R. and Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing,
Prentice Hall, chap. 12, 1975.• Reddy V. U., Egardt B. and Kailath T., “Least Squares Algorithm for Adaptative
Implementation of Pisarenko`s Harmonic Retrieval Method,” IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol ASSP 30, pp. 399-405, jun. 1982.
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• Schroeder M. R., “Linear Prediction, Entropy and Signal Analysis,” IEEE ASSP Magazine, jul.1984.
• Widrow B. and Lehr A., “30 Years of Adaptative Neural Networks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation,” Proc. IEEE, vol. 78, no. 9, pp. 1415-1442, set. 1990.