Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiançaIntervalos de confiançaIntervalos de confiançaIntervalos de confiança
para a médiapara a médiapara a médiapara a média
(amostras grandes)(amostras grandes)(amostras grandes)(amostras grandes)
Seção 6.1
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Estimativa pontual
DEFINIÇÃO:Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média amostral .
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Exemplo: estimativa pontual
A média amostral é:
A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.
A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens
(em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a
estimativa pontual para a média populacional, �F.
99101107
102109
98
105103101
10598
107
10496
105
959894
100104111
11487
104
108101
87
103106117
94103101
10590
3.562101,77
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Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional.
•101,77
Estimativa pontual
( )•101,77
O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão.
Estimativas intervalares
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0 z
Distribuição amostral de
Para c = 0,95
0,950,0250,025
95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = –1,96 e z = 1,96.
Distribuição demédias amostrais
Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal.
–1,96 1,96
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O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor doparâmetro que se está estimando,a dado nível de confiança, c.
Quando n $30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de .
Usando zc = 1,96, s = 6,69 e n = 35,
Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ 2,22.
Erro máximo da estimativa
Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69.
6,696,691,96
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Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é:
Intervalos de confiança para
Você encontrou = 101,77 e E = 2,22.
•101,77( )
Extremo esquerdo
99,55
Extremo direito
103,99
Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99.
Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.
101,77 – 2,22 = 99,55 101,77 + 2,22 = 103,99
99,55 103,99
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Tamanho da amostraDados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar , a média populacional, é:
Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8.
Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?
1,96 6,6942,98
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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança
para a médiapara a médiapara a médiapara a média
(amostras pequenas)(amostras pequenas)(amostras pequenas)(amostras pequenas)
Seção 6.2
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0t
n = 13g.l. = 12c = 90%
0,90
A distribuição t
–1,782 1,782
O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782.
0,05 0,05
Distribuição amostral de
Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.
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O intervalo de confiançaem amostras pequenas
2. O erro máximo da estimativa é
1. A estimativa pontual é = 4,3 libras.
Erro máximo da estimativa:
Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para .
1,782 0,1480,3
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•4,3
O intervalo de confiançaem amostras pequenas
4,15 < < 4,45
(
Extremo esquerdo
4,152)
Extremo direito
4,448
Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.
2. O erro máximo da estimativa é:
1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras
1,782 0,1480,3
4,3 – 0,148 = 4,152 4,3 + 0,148 = 4,448
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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança
para proporções para proporções para proporções para proporções
populacionaispopulacionaispopulacionaispopulacionais
Seção 6.3
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Se e , a distribuição amostral para é normal.
Intervalos de confiançapara proporções populacionais
é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde
A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra
(Lido como p chapéu.)
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Intervalos de confiançapara proporções populacionais
O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é:
Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:
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1. A estimativa pontual para p é:
2. Como 1.907(0,235) $ 5 e 1.907(0,765) $ 5, a distribuição amostral é normal.
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
3.
1.9070,235
0,235 0,765
2,575(0,235)(0,765)
0,0251.907
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0,21 < p < 0,26
(
Extremo esquerdo
0,21•0,235
)
Extremo direito
0,26
Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%.
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
0,235 – 0,025 = 0,21 0,235 + 0,025 = 0,26
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Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é:
Tamanho mínimo da amostra
Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para .e
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Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415 acidentes.
Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para
Exemplo: tamanhomínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%.
.e
2,575(0,5)(0,5)
0,024.414,14
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Com uma amostra preliminar você precisa den = 2.981 para sua amostra.
Exemplo: tamanhomínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235.
2,575
0,02(0,235)(0,765) 2.980,05
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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança
para variância e desvio para variância e desvio para variância e desvio para variância e desvio
padrãopadrãopadrãopadrão
Seção 6.4
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A estimativa pontual para é s2 e para é s.
A distribuição qui-quadrado
Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição qui-quadrado χ 2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c.
A área à direita de χR2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à
direita de χL2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975
χR2 = 28,845χL
2 = 6,908
6,908 28,845
0,95
Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l.
Determine χR2, ó valor crítico da cauda à direita, e χL
2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17.
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Um intervalo de confiança cpara uma variância populacional é:
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e .
Intervalos de confiança para
28,845 6,908
12.480,50 52.113,49
e
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Intervalos de confiança para
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Determine a raiz quadrada de cada parte.
Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre 12.480,50 e 52.113,49 e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.
12.480,50 52.113,49
US$ 117,72 US$ 228,28
e