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VISIÓN INSTITUCIONAL
La Cooperativa de Servicios Educacionales “Santa Felicia” es una
institución que apelando a su tradición solidaria y de servicio, con el
aporte y decisión de sus asociados, docentes y trabajadores brinda
una formación integral de calidad a niños y jóvenes, constituyéndose
en una entidad educativa líder en el ámbito local, nacional e
internacional
MISIÓN INSTITUCIONAL
Formar niños, adolescentes y jóvenes que en búsqueda de la
excelencia logran aprendizajes significativos que les permiten ser
personas seguras, autónomas, con; una alta autoestima y
reconocimiento de los demás, creatividad, firmes valores éticos y
morales, manejo de alto nivel de conocimientos, capacidad
competitiva para solucionar problemas y enfrentar con éxito los
retos de una sociedad que requiere cambios o transformaciones a fin
de mejorar la calidad de vida.
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I N D I C E
1. CUATRO OPERACIONES…………………………………………………..( )
• Método del Cangrejo • Método de la falsa suposición(Rombo) • Regla Conjunta • Método del Rectángulo
2. OPERACIONES MATEMATICAS EN Z ……………………………….( )
Operadores matemáticos
Tipos de operadores matemáticos
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Para resolver los problemas de este capítulo, no necesitamos más que conocer los principios fundamentales que rige las cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división.
“Los cielos cuentan la gloria de Dios y el
firmamento anuncia la obra de sus manos”
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METODO DEL CANGREJO
Este método nos permite encontrar las soluciones de un problema, en forma
directa; para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada caso, empezando
desde el final hacia el comienzo.
OPERACIONES DIRECTAS
1. Número inicial 2. Multiplicamos por 5 3. Dividimos entre 4 4. Y obtenemos 13
OPERACIONES INVERSAS
5. Cantidad final
4. La inversa de dividir entre 4 es la multiplicación por 4
Es decir: 13 x 4
3. La inversa de añadir 7, es restar 7, o sea:
52 – 7 = 45
2. La inversa de multiplicar por 5 es dividir entre 5, o sea:
45 95
=
1. El número inicial es: 9
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Ejemplo: A un cierto número lo multiplicamos por 9, al resultado le añadimos 12 y a dicha suma la dividimos entre 5 obteniendo finalmente 6. ¿Cuál es el número? Solución: Empezamos por la última operación: - Obtenemos: 6 - Dividimos entre 5 multiplicamos por 5 : 5x6 = 30 - Añadimos 12 restamos 12: 30 – 12 = 18 - Lo multiplicamos por 9 lo dividimos entre 9: 18÷9 = 2 Entonces el número es 2. Problemas para la Clase 01.- A un cierto número lo dividimos entre 4, al resultado hallado le sumamos 8, a este resultado lo multiplicamos por 3, a este nuevo resultado le restamos 8, a este resultado le extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 5. Hallar dicho número. Respuesta: …………… 02- A un cierto número le restamos 13, al resultado hallado lo dividimos entre 5 a este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado, a este resultado le sumamos 6, obteniendo finalmente 22. ¿Cuál es el número inicial?
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Respuesta: …………… 03.- Una piscina se ha estado desocupando durante 3 días hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía la mitad mas 4 galones de lo que había el día anterior. ¿Cuál es el volumen de la piscina? Respuesta: …………… 04.- Nataly gasta de su sueldo: los 2/5 en un par de zapatos, 3/7 de lo que queda en un pantalón y por último gasta los 2/3 de lo que le quedaba en alimentos; quedándose aun 60 soles?. Decir cual es el sueldo de Nataly? Respuesta: ……………
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METODO DEL ROMBO
Para que un problema se pueda resolver aplicando el método del rombo debe tener las
siguientes características:
a) Que tenga 2 incógnitas b) Que presenta un valor numérico producido por la suma de dos incógnitas (número total
de elementos). c) Valor unitario de cada una de las incógnitas. d) Además, tenga otro valor numérico producido por el número total de elementos. Este método nos permite encontrar la solución del problema en forma directa. Para su mejor comprensión veamos algunos problemas: Problemas para la Clase 01.- En un teatro las entradas de adultos costaban S/.5.00 y la de niños S/.2.00 concurriendo 326 espectadores y se recaudaron S/.1090. ¿Cuántos eran adultos? Solución:
326(5) 1090 1630 1090 540#niños5 2 3 3
− −= = =
−= 180 niños
02.- En un corral hay 92 patas y 31 cabezas, si lo único que hay son gallinas y conejos. ¿Cuál es la diferencia entre el número de gallinas y conejos existentes? Respuesta: ……………
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03.- En un examen un alumno ha contestado 50 preguntas obteniendo 110 puntos,. Por cada respuesta buena gana 4 puntos y por cada respuesta mala pierde 1 punto. ¿Cuántas respuestas malas ha contestado? Respuesta: …………… 04.- Dedo pagar 2150 soles con 26 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 100 soles debo emplear? Respuesta: ……………
MÉTODO DEL RECTANGULO
Aplicación Un comerciante tiene cierta cantidad de dinero con la cual va a comprar camisas. Si compra 5 camisas le sobrarían 40 soles y si compra 9 camisas le faltarían 48 soles. ¿Cuál es el precio de cada camisa? ¿Cuál es la cantidad de dinero?
Solución: Una manera gráfica de resolver el problema es usando barras: El comerciante tiene :
Costo de 5 camisas :
Costo de 9 camisas :
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¡Observar! De acuerdo al gráfico : 9 – 5 = 4 camisas cuestan:
S/.40 + S/.48 = 88 soles Luego : precio de cada camisa: 88 ÷ 4 = S/.22
Además: Si compra 5 camisas (5 x S/. 22 = S/.110) y sobra S/.40 entonces el comerciante tiene: S/. 110 + S/. 40 = S/.150 O también: Si compra 9 camisas (9 x S/.22 = S/. 198) y falta S/. 48 entonces el comerciante tiene: S/. 198 – S/.48 = S/. 150
EJEMPLO:
Para ganar S/.200 en la rifa de una grabadora ; se imprimieron 640 boletos sin
embargo; solo se vendieron 210 boletos; originándose una pérdida de S/.15. Hallar
el valor de la grabadora.
a) S/.180 b) S/.150 c) S/.120 d) S/. 80 e) NA
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REGLA DE CONJUNTA
Los problemas de regla de conjunta se resuelven aplicando la siguiente regla:
REGLA PRÁCTICA
Problemas para la Clase 01.- Sabiendo que 6 manzanas cuestan lo mismo que 8 plátanos y que 4 plátanos cuestan 2 soles. ¿Cuánto costarán 12 manzanas? Respuesta: …………… 02.- En un trueque, por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos? Respuesta: ……………
Se forma con los datos una serie de igualdades, poniéndose en el primer miembro de la
primera la incógnita (x), y procurando que el segundo miembro de cada igualdad sea de la
misma especie que el primero de la siguiente y de este modo el segundo miembro de la
última igualdad será de la misma especie que el primero de la primera. Se multiplican
ordenadamente estas igualdades y se halla el valor de (x)
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03.- En la avícola “Don Nilsito”, por tres patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas, por 12 gallinas dan 8 monos; 5 monos cuestan 750 soles. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos? Respuesta: …………… 04.- En un mercado 4 naranjas cuesta lo mismo que 15 plátanos, 10 plátanos lo mismo que 3 manzanas, 12 manzanas lo mismo que una papaya, ¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo que 3 papayas? Respuesta: …………… 05.- En una feria, 8 manzanas cuestan lo mismo que 10 duraznos; 16 duraznos lo mismo que 2 piñas y 4 sandias lo mismo que 3 piñas. ¿Cuántas manzanas cuestan lo mismo que 15 sandias? Respuesta: …………… 06.- En cierto lugar de la serranía se acostumbra hacer trueques. Si 3 alpacas equivalen a 2 burros, 3 burros equivalen a 5 caballos y 8 caballos equivalen a 9 ovejas. ¿Cuántas alpacas se pueden intercambiar por 15 ovejas? Respuesta: ……………
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07.- En una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan S/.32. ¿Cuánto cuesta cada plátano? Respuesta: ……………
PROBLEMAS CUATRO OPERACIONES
NIVEL I
01.- ¿Cuál es el número que
multiplicado por 6, añadiendo 18 a
este producto y dividiendo esta suma
entre 3, se obtiene 24?
A) 6 B) 9 C) 8
D) 2 E) 4
02.- Manuel le dice a Sara, si quieres
saber mi edad realiza las
operaciones siguientes: mi edad por
2, luego a ese resultado réstale 2, a
este nuevo resultado divídelo entre
2, al cociente hallado agrégale 2 y
por último extrae la raíz cuadrada al
resultado de la operación anterior y
obtendrás como resultado final 5
años. ¿Cuál es mi edad?
A) 20 años B) 25 años
C) 24 años D) 30años
E) 40 años
03.- Un tanque se demora 4 días
para vaciarse completamente. En
cada día se desocupa la mitad más
1 litro de lo que había el día anterior.
¿Cuántos litros contenía el tanque?
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A) 45 B) 30 C) 20
D) 35 E) 40
04. En un corral en que se crían
conejos y gallinas se cuenta en
total 90 cabezas y 280 patas.
¿Cuántos animales de cada tipo se
cría?
a) 40 y 90 b) 30 y 60
c) 45 y 45 d) 20 y 70
e) 40 y 50
05.-En una billetera hay 24 billetes
que hacen un total de 560 soles.
Si solo habían billetes de 50
soles y de 10 soles. ¿Cuántos
eran de cada clase?
a) 16 y 8 b) 14 y 10
c) 9 y 16 d) 15 y 9
e) 13 y 11
06.-En un teatro las entradas de
adultos costaban 4 soles. Y los
de niños 2 soles. Concurrieron
560 espectadores y se
recaudaron 1800 soles.
¿Cuántos eran adultos y cuantos
niños?
a) 220 y 340
b) 250 y 110
c) 240 y 120
d) 200 y 160
07.-En un corral hay 80 patas y 35
cabezas, las únicas especies que
hay son palomas y gatos
¿Cuántos hay de cada especie?
a) 20 y 15
b) 18 y 17
c) 30 y 5
d) 21 y 14
08.-Un señor al regresar de cacería
le dice a su esposa traigo en la
canasta 31 cabezas y 102 patas.
¿Cuántos conejos más que
gallina llevaba este señor?
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a) 23 b) 13 c) 14
d) 9 e) 16
09.-En un establecimiento comercial
se cuenta 25 vehículos ente
bicicletas y triciclos si en total se
cuentan 65 llantas. ¿Cuantos
triciclos hay?
a) 8 b) 10 c)15
d) 12 e) 16
10.- Al comprar 20 naranjas, me
sobran S/.4,8 pero al adquirir 24
naranjas, me faltarían S/.1,20.
¿Cuánto cuesta cada naranja?
A) S/.1,50 B) S/. 0,30
C) S/. 3,00 D) S/.0,15
E) S/.0,25
11.- Para ganar S/.150 en la rifa de
un radio se imprimieron 550 boletos,
pero sólo se vendieron 150
originando una pérdida de S/.250.
¿Cuál fue el precio del radio?
A) S/.200 B) S/. 300 C) S/. 400
D) S/. 250 E) S/. 350
12.- Miguelito tiene 34 animales
entre gallitos y perritos. ¿Cuántos
perritos tiene Miguelito? Si en total
hay 100 patas (extremidades)
A) 14 B) 16 C) 18
D) 20 E) 22
13.- Carlos gasta diariamente la
mitad de su dinero más 25 soles. Si
al término del tercer día gastó todo
su dinero. ¿Cuánto tenía
inicialmente?
A) 350 B) 300 C) 350
D) 450 E) 500
14.- Las edades de María y Susana
suman 56 años, si la edad de María
es los 3/5 de la edad de Susana.
¿Qué edad tiene María?
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A) 21 años B) 35 años
C) 12 años D) 36 años
E) 23 años
15.- En un zoológico hay leones y
gorriones si en total hay 20 cabezas
y 62 patas. ¿Cuántos leones hay?
A) 28 B) 11
C) 6 D) 7 E) 12
NIVEL II
01.- Un profesor de “RM” entra a una
iglesia donde existe un Santo
Milagroso, donde cada vez que entra
a la iglesia le triplica el dinero que
lleva; con la condición que cada vez
que le hace el milagro de triplicar su
dinero le deje de limosna 25 soles. Si
después de haber entrado 2 veces
sale con 35 soles. ¿Cuál era su dinero
inicialmente?
a) S/.12 b) S/.15 c) S/.18
d) S/.16
02.- Fidel gasta de su sueldo: los 2/3
en un par de zapatos, más 2/7 de lo
que le queda en un pantalón y por
último gasta los 3/5 del nuevo resto en
alimento: quedándole aún 300 soles.
¿Decir cual es el sueldo de Fidel?
a) S/.3501 b) S/.3510
c) S/.3150 d) S/.3050
03- Un estudiante escribe cada día, la
mitad de las hojas en blanco más 25
hojas; si al cabo de 3 días gastó todas
las hojas. ¿cuántas hojas tenía el
cuaderno?
a) 250 b) 350
c) 300 d) 450
04.- En una granja donde existen
vacas y gallinas, se contaron 80
cabezas y 220 patas (extremidades).
¿Cuántas gallinas hay en la granja?.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 60 e) 50
05.- En un concurso de Admisión en
la prueba de Razonamiento
Matemático que trae 100 preguntas,
por las respuestas correctas se le
asigna un punto y por la incorrecta
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tiene un puntaje en contra de un
cuarto de punto. Arturo ha obtenido en
dicha prueba 50 puntos habiendo
respondido la totalidad de preguntas
planteadas. ¿en cuantas se equivocó?
a) 30 b) 40 c) 60
d) 70 e) 80
06.- Debo pagar 2 050 soles con 28
billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos
billetes de 50 soles debo emplear?
a) 15 b) 17 c) 16
d) 13 e) 14
07.- A una fiesta entran un total de
350 personas entre niños y niñas,
recaudándose S/.1550, debido a que
cada niño pagaba S/.5 y cada niña
S/4. ¿Cuál es la diferencia entre niñas
y niños?
a) 200 b) 300 c) 150
d) 50 e) 350
08.- Un barril contiene 154 litros de
vino que debe ser envasado en 280
botellas, unas de 0,75 litros y otras de
0,40 litros. ¿Cuántas botellas de 0,75
litros se van a necesitar?
a) 160 b) 140 c) 120
d) 200 e) 160
09.- Sara al comprar 20 manzanas, le
sobran 4,8 soles, pero al adquirir 24
manzanas; le faltarían 1,2 soles.
¿Cuánto cuesta cada manzana?
a) 1,2 b) 1,5
c) 1,4 d) 1,6
10.- Para ganar S/.200 en la rifa de
una grabadora ; se imprimieron 640
boletos sin embargo; solo se
vendieron 210 boletos; originándose
una pérdida de S/.15. Hallar el valor
de la grabadora.
a) S/.180 b) S/.150
c) S/.120 d) S/. 80
11.- Una persona quiere repartir cierto
número de caramelos entres sus
sobrinos. Si les da 11 caramelos a
cada uno, le sobran 116, y si les da 24
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caramelos a cada uno le falta 27
caramelos. ¿Cuántos caramelos
quieren repartir?
a) 237 b) 273 c) 723
d) 372 e) 327
12.- Sabiendo que 6 varas de paño
cuestan lo mismo que 5 metros y que
2 metros valen 30 soles. ¿Cuánto
costarán 4 varas?.
a) S/.50 b) S/.60
c) S/.40 d) S/.80
13.- Sabiendo que 2 kilos de frijoles
cuestan lo mismo que 3 kilos de
azúcar; que 4 lápices valen lo mismo
que 5 kilos de azúcar; que 3
cuadernos valen 30 soles y que 8
lápices cuestan lo mismo que 4
cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos
de frijoles?
a) S/.63 b) S/.24
c) S/.36 d) S/.48
14.- ¿El trabajo de cuantos hombres
equivaldrá el trabajo de 8 niños, si el
trabajo de 4 niños equivale al de 3
niñas, el de una mujer al de 2 niñas y
el de tres mujeres al de un hombre?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
15.- En una feria agropecuaria 7
gallinas cuestan lo mismo que 2
pavos; 14 patos cuestan lo mismo
que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo
mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán
4 gallinas si un conejo cuesta 30
soles?
a) S/.28 b) S/.36
c) S/.42 d) S/.54
16.- Una persona participó en 3
apuestas; en la primera duplicó su
dinero y gastó 30 soles. En la
segunda triplicó lo que le quedaba y
gastó 54 soles, en la tercera
cuadriplicó la suma restante y gastó
72 soles. Al final le quedo 48 soles.
¿Cuánto tenía al comienzo?
a) 30 b) 31 c) 29
d) 28 e) 51
17.- En un estacionamiento para
bicicletas y triciclos, habían 70
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timones y 170 llantas. ¿Cuántos
triciclos había?
a) 30 b) 20
c) 10 d) 40
18.- A un número se le multiplica por
3, se le resta 6, se multiplica por 5, se
le divide por 8, se eleva al cuadrado,
se le resta 171 y se le extrae raíz
cúbica, obteniéndose 9. ¿Cuál es
dicho número?
a) 18 b) 24
c) 36 d) 16
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OPERADOR MATEMATICO
Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones
matemáticas, sujetas a una estructura o una ley de formación.
OPERADORES OPERACIÓN
CONVENCIONALES
+ Adición
– Sustracción
x Multiplicación
÷ División
√ Radicación
Los símbolos que se indican son la base para crear nuevas operaciones de
diferentes reglas o leyes de operar.
A continuación mostramos otros tipos de operadores no convencionales:
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% = operador porcentaje
α = operador alpha
* = operador asterisco
@ = operador arroba
= operador rectángulo
# = operador grilla
& = operador = operador triángulo
PROBLEMA GENERAL
Para realizar los ejercicios de esta parte de nuestro curso, es necesario tener
presente lo siguiente:
• Todas las operaciones están definidas dentro del campo de los números enteros.
• Cada ejercicio consta de tres partes bien establecidas. • A. Ley de Formación B. Datos auxiliares C. La Incógnita
a @ b = a² + b²
OPERADOR Regla de Formación
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Ejemplo:
01.- Si a # b = a² -b² . Hallar : (1#2) # (3#4)
Solución
(1#2) = 1² - (2)² = 1 – 4 = -3
(3#4) = 3² - (4)² = 9 – 16 = -7
⇒ -3 # -7 = (-3)² - (-7)² ⇒ = 9 – 49 ⇒ = -40 ...... Rpta
02.- Si:
x - 7 = x + 2
Calcular: 7y + 2 .
Solución:
Encontremos la definición (que está media oculta).
x - 7 = x + 2
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a
Es decir si: = a + 9 ; el operador rectángulo suma 9 unidades a lo que
se encuentra dentro
7y + 2 = 7y + 2 + 9 = 7y + 11 …… Respuesta
PROBLEMAS
NIVEL I
01.- Si: a b = a2 + b2. Calcular el
valor de: 2 3
a) 12 b) 15 c) 13
d) 26 e) 16
02.- Si: M # N = 12M2 – 25N3
Calcular el valor de: 2 # 1
a) 11 b) 23 c) 13
d) 15 e) 16
03.- Se define la operación entre los
números “m” y “n” como sigue
m β n = m 1n+
El valor de: (6 β 2) β 2 ; es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
04.- Si se sabe: A B = A BA.B− ;
hallar el valor de: E = 2 35 4ΔΔ
A) 3/10 B) 3/5 C) 6
D) –10/3 E) 5/3
05.- Se define:
M# = 2m3 ; si: M>0
M# = 3m2 ; si: M<0
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Hallar el valor de:
R = (9–7)# – (5–6)# + (193–192)#
a) 0 b) 8 c) 12
d) 16 e) 15
06.- Si se sabe que: n m = 2n–3m
Calcular el valor de
P = (2 5) (5 –2)
a) 86 b) –86 c) –68
d) –70 e) 48
07.- Si:
a b = 3a b2− y 4 x = 12
Hallar el valor de “x”
a) –12 b) 12 c) 16
d) 14 e) –14
08.- Si: A α B = A2 + B2 – AB – BA
Hallar el valor de:
M = (12α10) α (8α6)
a) 0 b) 4 c) 16 d) 2 e) 8
09.- Si:
aθb = a3+3ab2+b3+3a2b
Hallar el valor de: R = (2θ3) + (4θ1)
a) 150 b) 250 c) 350
d) 700 e) 500
10.- Sean las operaciones definidas:
a b = 2a – b
a b = a2 – 3ab + 1
Hallar el valor de: R = (1 2) 2
a) 1 b) –1 c) 2
d) 0 e) 15
11.- Si: a b = a + b + ab ;
hallar el valor de “x” en:
x 3 = 11
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
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12.- Se define la operación ⊆ en los
reales de la manera siguiente:
a ⊆ b = (a+b)/2 ; si: a≤b
a ⊆ b = (a–b)/2 ; si: a>b
Calcular el valor de:
R = (15 ⊆ 3) ⊆ (5 ⊆ 7)
a) 4 b) 5 c) 6
d) 9 e) 2
13.- Sabiendo que: a b = 3a – b
Resolver la ecuación: (3x–1)
(x+1) = 8 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14.- Si: a # b = a2 – 1 ; si: a>b
a # b = b2 – a2 ; si: b>a
Calcular el valor de: 5 # 4 # 17
a) 12 b) 14 c) 24
d) 16 e) 25
15.- Si: a ⊇ b = (a+b)a
Entonces el valor de “m” en la
expresión:
m + (2⊇3) = 3⊇2 ; es
a) 2 b) 8 c) 5
d) –5 e) 1
16.- Se define la operación:
Entonces hallar el producto:
a) 31 b) 62 c) 27
d) 33 e) 36
17.- Si: a b = a bb+
Hallar el valor de “x” en:
3 6 = x + ( 4 12 )
a) 1/3 b) 1/6 c) 2/3
d) 5/12 e) 5/4
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I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
18.- La operación θ es definida por:
a θ b = ab +b
¿Cual es el valor de:
a) 5/6 b) 5/8 c) 3/5
d) 3/4 e) 7/12
19.- Según la tabla:
E = (2 2)(2 2) (3 1)
(3 2) (4 4)
ΔΔ Δ ΔΔ Δ Δ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
a) 1 b) 2 c) 3 3
d) 1/9 e) 1/16
20.- Si: x θ y = (x+y)2 – 1
Calcular el valor de: ( 5θ3 )2 – 1
a) 5150 b) 5032
c) 3970 d) 3968 e) 4321
NIVEL II
01.- Se define: a % b = 2 2a b−
hallar el valor de:
( 13 % 12 ) + ( 5 % 4 )
a) 3 b) 5 c) 8
d) 34 e) 64
02.- Se define:
2ab α 3ba =2 2
2a b a.b
a 1
+ −
+
Calcular el valor de: 16 α 27
a) 3 b) 4 c) 5
d) 8 e) 7/5
03.- Sea: a%b = a2 + b2 – 2ab
Halar el valor de:
E = (4%1) % (5%3)
a) 169 b) 25 c) 13
d) 9 e) 65
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 27
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
04.- Se define:
a b = aa – 125b
Calcular el valor de: 4 2
a) 1 b) 2 c) –3
d) 6 e) 4
05.- Se define:
a2 – b2 ; si “a” es par
a ν b
a2 + b2 ; si “a” es impar
Evaluar: R = (3ν1) ν (2ν3)
a) 125 b) 75 c) 100
d) 85 e) 95
06.- Si: a Ι b = 3b – 2ª
Hallar el valor de “x” en:
3 Ι (x–2) = 9
a) 5 b) 9 c) 11
d) 7 e) 3
07.- Se define: m ≅ n = 7m3 + 5n2
Evaluar: ( –2 ≅ –6)
a) 62 b) 128 c) 132
d) 142 e) 124
08.- Si:
Calcular el valor de:
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 0
09.- Si: a ## b = ba+1 . Hallar el
valor de “x” en:
2x ##3 = 243
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.- Si se sabe que:
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 28
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
= 3x + 5 ........ (x>0)
= x+4 ........ (x<0)
Hallar:
a) 5 b) –5 c) 6
d) –4 e) –3
11.- Se define:
Hallar el valor de:
a) 12 b) 10,5 c) 12,9
d) 12,8
12.- Si se sabe:
a b = a b : (3a–3b)
a b = 3a – b
Hallar el valor de:
H = (5 3) – (8 2)
a) –5/10 b) 3/10
c) –10/7 d) –7/10
e) 7/9
13.- Si:
Además :
calcular el valor de:
a) 2/3 b) 6/4 c) ¾
d) 5/2 e) 1/4
14.- En el conjunto de los números
enteros se define la operación # del
siguiente modo:
a# = 2a ; si: “a” es impar
a# = a ; si: “a” es par
El valor de: E = (3#)# + [ (5#)# + 5 ]#
es:
a) 32 b) 21 c) 36
d) 13 e) 42
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 29
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
15.- Se define:
= x2 – 4 ....... cuando: x>4
= 2x ....... cuando: x<4
Calcular el valor de: R =
a) 497 b) 5037 c) 5210
d) 4969 e) 5067
16.- Si: (x+3) % 3y = x(y+2)
Hallar el valor de: 9%6
a) 18 b) 20 c) 24
d) 26 e) 22
17.- Si:
Calcular el valor de: 16#9
a) 4 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
18.- Si: = ad – bc . Calcular
el valor de “y” en:
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 30
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
I N D I C E
1. SUCESIONES Y SERIES ………………………………………..( )
2. ANALOGIAS y DISTRIBUCIONES GRAFICAS…………………( )
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 31
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
SUCESIÓN
Llamamos así a un conjunto de números y/o letras que se generan a partir de
una ley de formación.
Sucesión Propiedad Ley de Formación o fórmula
2; 4; 6; 8 ; .......
Todos son
números pares
consecutivos
2n
3; 6; 9; 12 ; ........
Todos son
números
múltiplos de 3
3n
1; 3 ; 5; 7 ; .......
Todos son
números impares
consecutivos
(2n – 1)
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 32
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
SUCESIONES NUMÉRICAS
Son aquellas cuyos elementos son números que respetan una relación entre
ellos. Dicha relación puede encontrarse generalmente de manera: aritmética o
geométrica
Ejemplo 1: Determinar “x”
7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 ; x
Ejemplo 2: Determinar “x”
–8 ; –3 ; 2 ; 7 ; 12 ; x
Ejemplo 3: Determinar “x”
1 ; 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; 120 ; x
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 33
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo 4: Determinar “x”
x;60;12;3;1;21;
21 x;60;12;3;1;
21;
21
Ejemplo 5: Determinar “x”
–8 ; 7 ; –4 ; 3 ; 0 ; –1 ; 4 ; x
Ejemplo 6: Determinar “x”
3 ; 6 ; 11 ; 19 ; 31 ; x
Ejemplo 7: Determinar “x”
1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 12 ; x
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 34
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo 8: Determinar “x”
4 ; 7 ; 12 ; 15 ; 36 ; 23 ; x
Ejemplo 9: Determinar “x+y”
–2 ; 5 ; 3 ; 3 ; 8 ; 1 ; 13 ; –1 ; x ; y
Ejemplo 10: Determinar “x–y”
6 ; –4 ; 0 ; 2 ; –6 ; 8 ; –12 ; x ; y
Ejemplo 11: Determinar “2y–z”
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 9 ; 8 ; z; y
Ejemplo 12: Determinar “x–y”
192 ; –6 ; 48 ; –4 ; 12 ; –2 ; y ; x
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 35
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo 13: ¿qué número sigue?
9 ; 16 ; 24 ; 34 ; 47 ; x
Ejemplo 14: ¿qué número sigue?
10 ; 13 ; 20 ; 32 ; 50 ; x
Ejemplo 15: Determinar “x”
–8 ; 7 ; –4 ; 3 ; 0 ; –1 ; 4 ; x
NOTA:
No necesariamente los métodos usados para resolver los ejercicios anteriores
son suficientes para resolver todas las sucesiones; porque algunas ordenaciones
miden la habilidad operativa y el conocimiento de la teoría de números. Veamos:
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 36
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo:
¿Qué número sigue?
3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; y
3x2+1 7x2+1 15x2+1 31x2+1 .....
La ley de formación para este ejercicio ha consistido en multiplicar por 2 cada
término y sumarle la unidad para que así resulte el término siguiente:
y = 63 x 2 + 1
y = 127 ... Rpta.
Ejemplo
¿Qué número sigue?
2 ; 3 ; 8 ; 63 ; x
a) 3869 b) 3698 c) 3968 d) 6398 e) 6938
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 37
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
SUCESIONES ALFABÉTICAS
Los ejercicios sobre sucesiones alfabéticas se resuelve como si se trataran
sobre sucesiones numéricas. Para esto le asignamos a cada letra del alfabeto un
número que corresponda con su posición sobre la recta alfabética
No considere la existencia de las letras compuestas: ch y ll
Entonces:
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
F
6
G
7
H
8
I
9
J
10
K
11
L
12
M
13
N
14
Ñ
15
O
16
P
Q
R
19
S
T
U
V
W
X
Y
26
Z
27
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 38
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo:
En la siguiente sucesión: ¿Qué letra continua?
C ; G ; K ; Ñ
a) S b) R c) Q d) T e) V
Solución:
Ubiquemos en la recta alfabética con la posición que cada letra ocupa en ella,
así:
la serie será: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ?
van de 4 en cuatro entonces el siguiente es: 19, que representa la letra: R.
Entonces la respuesta es “R”.
Ejemplo 1: Indicar las letras que continua en la sucesión:
Y ; S ; Ñ ; K ; .......
Ejemplo 2: Indicar las letras que continua en la sucesión:
A ; C ; F ; J ; Ñ ; …….
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 39
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo 3: Indicar las letras que continua en la sucesión:
E ; G ; K ; P ; ..........
Ejemplo 4: Indicar las letras que continua en la sucesión:
A ; D ; I ; O ; ...........
Ejemplo 5: Indicar las letras que continua en la sucesión:
B ; F ; I ; M ; O ; …….
Ejemplo 6: Indicar las letras que continua en la sucesión:
H ; L ; O ; S ; …..
Ejemplo 7: Indicar las letras que continua en la sucesión:
B ; E ; H ; K ; N ; .........
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 40
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Ejemplo 8: Indicar las letras que continua en la sucesión:
C ; D ; F ; I ; …….
Ejemplo 9: Indicar las letras que continua en la sucesión:
B ; D ; F ; H ; …….
Ejemplo 10: Determinar “x”
C ; D ; G ; L ; …..
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 41
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
PROBLEMAS
BLOQUE I
01.- Hallar “x”
4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; x
a) 46 b) 48 c) 45
d) 48 e) 50
02.- Hallar “x”
6 ; 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; ......
a) 45 b) 50 c) 51
d) 45 e) 20
03.- Hallar “x”
–10 ; –8 ; –3 ; 5 ; 16 ; ......
a) 28 b) 25 c) 30
d) 27 e) 20
04.- Hallar “x”
2 ; 2 ; 2 ; 4 ; ........
a) 20 b) 21 c) 24
d) 15 e) 28
05.- Hallar “x”
1 ; 4 ; 3 ; –1 ; 9 ; –4 ; 27 ; ......
a) 2 b) –6 c) –5
d) –10 e) –1
06.- Hallar: 7
zy − en:
1 ; 1 ; 1 ; –2 ; 2 ; –5 ; y ; z
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
07.- Hallar “x+y”
1 ; 5 ; 4 ; 8 ; 9 ; 11 ; x ; y
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 42
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
a) 25 b) 20 c) 30
d) 26 e) 24
08.- Hallar “x”
6 ; 7 ; 13 ; 20 ; 33 ; 53 ; .......
a) 86 b) 87 c) 68
d) 56 e) 21
09.- Hallar “x”
1 ; 2 ; 5 ; 26 ; ......
a) 675 b) 676 c) 677
d) 700 e) 800
10.- Hallar “x”
1 ; 1 ; 2 ; 6 ; x
a) 24 b) 12 c) 18
d) 2 e) 6
11.- Indicar la letra que continua
E ; G ; I ; K ; M ; ……..
a) O b) N c) Ñ
d) P e) Q
12.- Indicar la letra que continua
H ; L : O ; S ; .........
a) Z b) W c) Y
d) V e) U
13.- Indicar la letra que continua
B ; E ; H ; K ; N ; .......
a) Q b) P c) R
d) S e) M
14.- Indicar las letras que continúan
C ; D ; F ; I ; ……
a) N ; P b) Ñ ; O c) M ; Q
d) O ; Q e) M ; P
15.- ¿Qué número sigue?
100 ; 99 ; 98 ; 96; 88 ; ........
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 43
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
a) 14 b) 64 c) 24
d) 20 e) 52
BLOQUE II
01.- ¿Qué número sigue?
4 ; 1 ; 1 ; 4 ; 64 ; x
a) 1024 b) 2048 c) 4096
d) 80192 e) 16384
02.- Hallar “x” en:
4 ; 3 ; 1 ; –2 ; x
a) 2 b) 6 c) –4
d) –5 e) –6
03.- Hallar “x+y”
–2 ; –6 ; 3 ; –4 ; 8 ; –2 ; x ; y
a) 11 b) 13 c) 15
d) 14 e) 9
04.- ¿Qué número sigue?
1 ; 1 ; 3 ; 15 ; .........
a) 75 b) 105 c) 85
d) 125 e) 95
05.- ¿Qué número sigue?
2 ; 9 ; 18 ; 31 ; x
a) 35 b) 39 c) 46
d) 50 e) 52
06.- Hallar “y+z”
12 ; –6 ; 12 ; –2 ; 24 ; 2 ; y ; z
a) 87 b) 78 c) 54
d) 85 e) 48
07.- ¿Qué número sigue?
1/3 ; 1 ; 5/3 ; 7/3 ; 3 ; 11/3 ; x
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 44
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
a) 4 b) 13/3 c) 6
d) 16/3 e) 9
08.- ¿Qué número sigue?
81 ; 64 ; 25 ; 6 ; ......
a) 0 b) 1 c) 3
d) –1 e) 7
09.- ¿Qué número sigue?
6 ; 17 ; 50 ; 149 ; ......
a) 296 b) 644 c) 464
d) 456 e) 456
10.- Hallar: “x–y”
1 ; 4 ; 7 ; 12 ; 49 ; 36 ; x ; y
a) 335 b) 235 c) 325
d) 532 e) 253
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 45
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
Las distribuciones numéricas son arreglos de números en forma de filas y columnas o en forma gráfica. Los arreglos en filas y columnas sirven para deducir una ley o regla para encontrar un número incógnita. Los arreglos en forma gráfica, se deducen a partir de la forma de las figuras. Ejemplos: 1) 28(16)12 34(x)14 Solución: 28 = 16 + 12 34 = x + 14 x = 20 2) Calcular x
8 (30) 4 7 (40) 6 9 (x) 7
Solución: 8 x 4 – 2 = 30 7 x 6 – 2 = 40 9 x 7 – 2 = x x = 61
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 46
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
3) Hallar el número que falta
Solución: 156 = 12 x 13 78 = 6 x 13 68 = 4 x ? ? = 17
4)
3 25 4
7 32 5
4 ….. 13
Solución:
En la primera fila: 2 23 4 25+ =
En la segunda fila: 2 27 5 32+ =
En la tercera fila: 224 13 29+ = ……. Respuesta
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 47
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
PROBLEMAS
NIVEL I
01.- Hallar el valor de “x”
4 (7) 25
16 (x) 49
a) 9 b) 11 c) 10 d)13 e) 8
02.- Hallar el valor de “x”
91 (13) 78
111 (20) 289
41 (x) 103
a) 14 b) 15 c) 12 d) 11 e) 10
03.- Hallar el valor de “x”
27 (26) 25
38 (40) 42
64 (45) x
a) 36 b) 54 c) 26 d) 61 e) 62
04.- Hallar el valor de “x”
15 (36) 6
18 (43) 7
21 (46) x
a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 16
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 48
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
05.- Hallar el número que falta:
a) 16 b) 4 c) 7 d) 15 e) 14
06.- Hallar el número que falta en la analogía
a) 98 b) 64 c) 72 d) 78 e) 56
07.- Hallar el número que falta:
a) 15 b) 17 c) 14 d) 18 e) 19
08.- Hallar el número que falta:
a) 36 b) 47 c) 13 d) 16 e) 31
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 49
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
09.- Hallar el número que falta:
a) 36 b) 48 c) 72 d) 63 e) 96
10.- Hallar el número que falta:
a) 10 b) 13 c) 15 d) 18 e) 20
11.- Hallar el valor de “x”
26 (10) 14
38 (15) 22
21 (x) 15
a) 20 b) 9 c) 28 d) 18 e) 30
12.- Hallar “x” en:
5 (4) 21
8 (3) 17
9 (x) 45
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 50
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
13.- Hallar “x” en:
4 (5) 13
5 (2) 17
6 (3) x
a) 21 b) 25 c) 27 d) 23 e) 19
14.- Hallar “x” en
13 (8) 19
17 (4) 20
19 (9) x
a) 21 b) 24 c) 22 d) 28 e) 32
15.- Hallar “x”
1 (2) 3
4 (3) 2
2 (9) x
a) 8 b) 16 c) 7 d) 13 e) 10
16.- Hallar el valor de “x”
16 (24) 24
32 (72) 36
28 (x) 4
a) 5 b) 9 c) 7 d) 11 e) 13
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 51
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
17.- Hallar el valor de “x”
12 (8) 3
28 (12) 7
36 (x) 12
a) 16 b) 20 c) 24 d) 12 e) 1
18.- Hallar el valor de “x”
17 (14) 21
15 (10) 32
19 (x) 43
a) 14 b) 11 c) 12 d) 13 e) 6
NIVEL II
01.- Hallar el número que falta:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
02.- ¿Cuál es el número que falta?
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16
03.- ¿Qué número debe colocarse en el signo de interrogación?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 25 e) 12
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 52
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
04.- ¿Qué numero falta?
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 24
05.- ¿Cuál es el número que falta?
a) 6 b) 3 c) 2 d) 31 e) 43 06.- Hallar “x”
a) 81 b) 25 c) 41 d) 64 e) 36
07.- Hallar “x”
a) 30 b) 33 c) 34 d) 38 e) 40 08.- Hallar “x” a) 18 b) 15 c) 12 d) 21 e) 24
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 53
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
09.- ¿Cual es el número que falta?
a) 486 b) 485 c) 584 d) 458 e) 548
10.- ¿Cuál es el número que falta?
a) 96 b) 93 c) 95 d) 94 e) 97
11.- ¿Cuál es el número que falta?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12.- Hallar “a-b”
a) 30 b) 24 c) 36 d) 38 e) 31
13.- Escribe el número que falta
a) 42 b) 24 c) 21 d) 28 e) 32 f)
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 54
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
14.- Escribe el número que falta
a) 30 b) 42 c) 24 d) 36 e) 2
15.- Escribe el número que falta
a) 6 b) 8 c) 12 d) 14 e) 10 NIVEL III 01.- Hallar el valor de “x”
31 (11) 25
43 (10) 12
27 (x) 14
a) 14 b) 12 c) 10 d) 17
02.- Hallar el valor de “x”
144 (10) 44
46 (6) 10
25 (x) 9
a) 1 b) 4 c) 5 d) 2
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 55
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
03.- Hallar el valor de “x”
8 (39) 5
7 (33) 4
10 (x) 6
a) 40 b) 48 c) 64 d) 36
04.- Hallar el valor de “x”
24 (70) 17
13 (35) 21
9 (x) 6
a) 4 b) 75 c) 60 d) 46
05.- Hallar el valor de “x” + “y”
19 (26) 7
26 (30) 9
33 (x) y
a) 38 b) 45 c) 47 d) 54 e) 29
06.- Hallar el valor de “x”
6 (21) 13
7 (12) 11
1 (x) 18
a) 51 b) 57 c) 17 d) 21 e) 19
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 56
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
07.- Hallar el valor de “x”
24 (12) 12
38 (14) 18
62 (x) 23
a) 16 b) 15 c) 17 d) 25 e) 18
08.- Escribe el número que falta:
a) 18 b) 9 c) 27 d) 40 e) 19
09.- Escribe el número que falta:
a) 3 b) 9 c) 6 d) 4 e) 7 10.- Escribe el número que falta:
a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 11.- Escribe el número que falta: a) 6 b) 9 c) 2 d) 18 e) 27
Iº SECUNDARIA
P á g i n a | 57
I.E.G COOP.“SANTA FELICIA “
12.- Escriba el número que falta:
a) 6 x 23 b) 3 x 2 5 c) 6 x 32 d) 6 x 43 e) 3 x 5 2
13.- Hallar el valor de “x”
4 (9) 20
8 (11) 14
10 (3) x
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 32
14.- Hallar el valor de “a + b”
34 (77) 25
21 (38) 53
45 (ab) 15
a) 15 b) 16 c) 9 d) 12 e) 6