Download - 4ª SECUNDARIA MODULO DE TRIGONOMETRÌA
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR
I. ANGULO TRIGONOMÈTRICO
De esta forma vamos a distinguir dos tipos de rotación:
Obviamente cuando no hay rotación, el ángulo es nulo.
O A
B
Sentido horario
O
C
A
Sentido antihorario
Observaciones:1. La medida de un ángulo trigonométrico, hecha
la mención a los tipos de rotación en que se pueden generar; es
Sentido horario: medida negativaSentido antihorario: medida positiva
2. La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues esta dependerá de la magnitud de la rotación.
3. Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
- - 10º
Por ejemplo :
10º -
- - 10º
Por ejemplo:
10º -
1. De acuerdo al gráfico, señale "x" en función de y .
x
Resolución:
Homogenizando el tipo de rotación; tenemos:
-
x x = + ( - ) x = -
2. De acuerdo al gráfico, hallar "x" en función de los ángulos trigonométricos mostrados.
x
Resolución:Homogenizando el tipo de rotación tenemos:
- x
+ (-x) + = 180° - x + = 180° + - 180° = x
x = + - 180°
3. Del gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
Resolución:Homogenizando el tipo de rotación, tenemos:
( - ) + ( ) + ( - ) = 90°
- - = 90°
-
-
4. Si en el gráfico, OD es bisectriz del <AOC;
señale el valor de:
3
2sen
.
1 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
D
C
B
A
OResolución:
-
D
C
B
A
9 0 º - 9 0 º -
ODel gráfico:<AOD = 90º - = <COD
Luego: 2(90º - ) + (-) = 90º 180º - 2 - = 90º 90º = 2 +
Piden:
2 90º 1sen sen sen30º
3 3 2
Rpta: 1/2
5. De acuerdo al gráfico, si I es el incentro del ABC , hallar "x".
B
C
A
I x
Resolución:Homogenizamos el tipo de rotación y además como AI y CI son bisectrices, decimos:
y = 90º + 2
B
C
A
I - x
y
180º - (-x) = 90º + 2
180° + x = 90° + 2
x = 2
- 90º
6. Calcular "x", si OM es bisectriz del <AOB.
O
A
B
M
(6 - 7x)º
(5x + 6)º
Resolución:Homogenizando el tipo de rotación, tenemos:
(7x - 6)º = (5x + 6)º7x - 6 = 5x + 62x = 12 x = 6
7. Señale la relación respecto a los ángulos trigonométricos mostrados, si se sabe además que: m<AOE = m<BOC y m<BOE = 120º.
A Bo
E
D
C
Resolución:
E
A Box xz y
-
D
C
Note del gráfico:x + y = y + z = -z + x =
(+)
2(x + y + z) = - +
Pero:
M BOE = 120º
x + y + z = 120ºLuego: - + = 2(120)
- + = 240º
EJERCICIOSNivel I
2 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
1. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido:
a. Horario:
O
P
b. Antihorario
O
P
2. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido:
a. Horario:
P O
b. Antihorario:
P O
3. En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo , dibuje un ángulo que mida: (use transportador).
a. 140º
O
P
b. -70º
O P
c. -120º
O
P
4. En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo , dibuje un ángulo que mida: (use transportador).
a. 100º
O
P
b. -50º
P O
c. -160º
O P
5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
x B
C
AO
a) + b) - c) - d) - - e) F. D.
6. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos.
x
B
C
A
O
D
a) + + b) - - c) - - d) - + e) - -
7. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
A
B
C
x
O
a) 90º - b) - 90º c) 180º + d) 90º + e) -90º -
8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
O DA
x
C
B
a) - 90º b) 90º - c) 90º + d) -90º - e) -180° +
9. Del gráfico, calcular "x".
3 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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O BA
5xº
C
(12 - 11x)º
a) 2 b) 4 c) 8d) 12 e) 10
10. Del gráfico, calcular "x".
A
B
(9 - 9x)º
O
(5x + 1)º
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Nivel II
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) + = 180º b) - = 180ºc) = 180º d) + = -180ºe) + = 90º
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
-120º
a) + = 240º b) + = 120ºc) - = 240º d) - = 120ºe) - = 240º
3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) + = 90º b) + = -90ºc) - = 90º d) - = 270ºe) + = 180º
4. Del gráfico, señale lo correcto:
y
x
a) x + y = 300º b) x - y = 300ºc) x + y = 270º d) x - y = 270ºe) x - y = 180º
5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
x
y
a) x + y = 180º b) x + y = 360ºc) x - y = 360º d) x - y = 180ºe) x - y = 270º
6. Del gráfico, señale lo correcto:
x
y
a) x - y = 180º b) x + y = 180ºc) x - y = 300º d) x + y = 300ºe) x - y = 450º
7. Si en el gráfico OP es bisectriz del <AOB; calcular: “x/y”.
4 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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A
P
BO
x - y
3x + 2y
a) 4 b) - 4 c) 1/4d) - 1/4 e) - 1/2
8. Si en el gráfico, OP es bisectriz de <AOB, calcular "x/y".
A
P
BO
2x - 3y
3x - 2y
a) 1 b) - 1 c) 1/2d) - 1/2 e) - 2
9. Del gráfico señale lo correcto, si: OQ es bisectriz del <AOB.
A
B
C
Q
O
a) 2 - = 90º b) 2 - = 180ºc) 2 + = 90º d) 2 + = -90ºe) 2 + = 45º
10. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es bisectriz del <AOB.
C AO
P
B
a) 2 - = 360º b) 2 - = 360ºc) 2 + = 180º d) 2 + = 360ºe) 2 + = 360º
Nivel III
1. Hallar "x" en función de :
D AO
C
B
x
a) - 180º b) + 180º c) + 270ºd) - 270º e) 270º -
2. Halle "x" en función de "".
O
CA
B
x
a) 450º - b) - 450º c) 360º - d) - 360º e) - 270º
3. Halle "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
D
B
A
C
O
x
a) - - 90º b) + - 90ºc) - + 90º d) - + 90ºe) - - 90º
4. Halle "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
D O A
B
C
x
a) 180º + - b) 180º - + c) 270º + - d) 270º - + e) 180º + +
5. Halle "x" en función de "", si es bisectriz del ángulo BOC.
D O A
B
C
x
M
a) 135º + b) 135º - c) - 135ºd) 225º - e) 225º +
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II. SISTEMA SEXAGESIMAL, CENTESIMAL Y RADIAL
Sistemas de medición angular:Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando: al sistema sexagesimal o inglés, el sistema centesimal o francés y el sistema radial o circular o internacional. Los cuales verifican lo indicado en el cuadro adjunto:
Sistem a U nidad 1 vuelta Sub unidades
Sexagesimalo
inglés1º 360º
1° 1' 1°
===
60'60''3600''
Centesimalo
francés1g 400g
Radial ocircular o
internacional1rad 2rad
1 = 100
1 = 100
1 = 10000
g
m
g
m
s
s
Comentario:Sabemos que la reunión de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, determina una circunferencia y cualquier porción de ella se llama arco. Así tendremos:
O
r
P
C
C es la circunferencia de centro O y radio r
(PC : d(O,P) = r)
2r: longitud de la circunferencia
O
A
B
L
AB : arco
L : Longitud del arco AB
O
A
B
AOB : ángulo centralAtendiendo al último dibujo, se define 1 radián como la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.
O
A
B
r
rr
Si: L AB = r
= 1 radián
Equivalencias fundamentales.
1. Como:360°=400g = 2rad180°=200g= rad
2. Como: 180° = 200g 9° =10g3. También: 27' = 50m y 81'' = 250s
Conversión entre sistemas.Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro, es decir, cambiamos sus unidades. El procedimiento lo explicaremos con los siguientes ejemplos:
1. Convertir: = 60º a radianes.Multiplicamos: = 60º =
2. Convertir: = 60g a radianes.Multiplicamos: = 60g =
3. Convertir: = 81º a centesimales.Multiplicamos: = 81º =
4. Convertir: = 70g a sexagesimales.Multiplicamos: = 70g =
Complete usted ahora las siguientes conversiones.
=
5 rad a sexagesimales
= 72º a radianes
=
32 0
rad a centesimales
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= 140g a sexagesimales
Consideración:Cuando se operan (suma o resta) medidas de ángulos que están expresados en grados, minutos o segundos en un mismo sistema; se operan independientemente; primero grados, luego minutos y después segundos, para finalmente simplificar por ejemplo, reducir:
1. = 2º 17' 43'' + 18º 32'14'' + 25º 43' 42''
Operando independientemente:
=
2º 18º25º
17'32'43'
43''14''42''
+
= 45º 92' 99'' = 45º + 92' + 99''
60'' + 39''1'
= 45º + 33' + 39''60'' + 33''
1º
= 45º + 33' + 39''
= 46º 33' 39''
2. = 120º - 17º 43' 54''En este caso, debemos desordenar 120º, de modo que contenga minutos y segundos; así:
120º = 119º + 1º = 119º + 60'
60' 59' + 1'
60''
120º = 119º + 59' + 60'' = 119º 59' 60''
Luego: = 119º 59' 60'' - 17º 43' 54''
119º17º102º
-59'43'16'
60''54''6''
= 1 0 2 º 1 6 ' 6 ' '
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Halle: = 70g -
4 rad; en el sistema
sexagesimal.
Resolución:
Convirtiendo cada ángulo al sistema sexagesimal:
70 .g 9º10 g = 63º
4
rad.180º
rad= 45º
= 63º - 45º
= 18º
2. Calcular: º15
10rad5K
g
Resolución:Convirtiendo a grados sexagesimales para poder operar:
gg
180ºrad. 36º
5 rad36º 9º 45º
K15º 15º
9º10 . 9º
10
K = 3
3. Calcular: C = '5
'5º2
'91
'2º3
Resolución: 180' 120'
3º 2' 2º 5' 3º 2' 2º 5'C
91' 5' 91' 5'180' 2' 120' 5' 182' 125'
C91' 5' 91' 5'
C 2 25
C = 27
4. Del gráfico, calcule "n".C
BA
80g
(7n + 4)º
Resolución:Del gráfico, tenemos:
gg
9ºC 80 . 72º
10
Luego: <A = 18º 7n + 4 = 18
7n = 14
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n = 2C
BA
72º
(7n + 4)º
5. En un triángulo sus ángulos interiores miden
14n°; 9
n160 g
y rad
3
n
¿cuál es el valor de "n"?Resolución:
C
ABSean los ángulos: , y = 14nº
=ºn16
10
º9.
9
n160g
g
= ºn60
rad
º180.rad
3
n
Luego tenemos que: + + = 180º14nº + 16nº + 60nº = 180º 90nº = 180º
n = 2
6. Del gráfico, calcule "x".
(1 - 9x) g
2xº
Resolución:
(9x - 1) g
2xº
Del gráfico se cumple:2xº + (9x - 1)g = 90°
Expresando en grados sexagesimales:2xº + (9x - 1)g (9º/10g) = 90º2x + 81x – 9/ 10 = 9020x + 81x - 9 = 900 101x = 909
x = 9
7. Exprese: =rad
17
en el sistema sexagesimal.
Resolución:
Tenemos: = 17
º180
rad
º180.rad
17
Note el procedimiento:
180º170º
10º
1710º
x 60 600'90'
5'
1735'
x 60 300'’130
110
1717,6''
8Luego, tomando los cocientes:
''18
''6,17'35º10
= 10º 35' 18''
EJERCICIOS
Nivel I
1. Expresar 40º en el sistema circular:
2. Exprese 50° en el sistema circular.
3. Exprese 30g en el sistema radial.
4. Exprese 40g en el sistema internacional.
5. Exprese 6
rad en el sistema sexagesimal.
a) 18º b) 24º c) 30ºd) 36º e) 42º
6. Exprese 9
rad en el sistema sexagesimal.
a) 10º b) 12º c) 18ºd) 20º e) 40º
8 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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7. Exprese 4
rad en el sistema centesimal.
a) 40g b) 36g c) 45g
d) 50g e) 70g
8. Exprese 10
rad en el sistema centesimal.
a) 10g b) 20g c) 30g
d) 18g e) 36g
9. Exprese 54º en el sistema francés.
a) 54g b) 60g c) 63g
d) 70g e) 72g
10. Exprese 90g en el sistema inglés.
a) 100º b) 81º c) 72ºd) 86º e) 96º
Nivel II
1. Reducir: = 2º 40' 32 '' + 3º 31' 52''
a) 6º 12' 34'' b) 6º 12' 16'' c) 6º 12' 24''d) 5º 24' 12'' e) 5º 12' 24''
2. Reducir: = 4º 17' 51'' + 8º 24' 17'' + 5º 32' 20''
a) 18º 16' 32'' b) 18º 14' 26'' c)18º 16' 28''
d) 18º 14' 28'' e) 18º 16' 26''
3. Siendo: 23º 41' 17'' + 17º 32' 56'' = aº b' c''Calcular:
4-c
b-aK
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Siendo:18º 32' 41'' + 21º 14' 22'' + 3º 26' 12'' = aº b' c''Calcular:
c
b-aK
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Calcular:
g100
º5rad12K
a) 1/3 b) 1/9 c) 2/9d) 2/5 e) 3/5
6. Calcular:
6º
20-rad3K
g
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
7. Calcular:
'3
'3º2
'2
'2º1K
a) 23 b) 61 c) 62d) 71 e) 72
8. Calcular:
m
mg
m
mg
20
302
10
101K
a) 21 b) 20,5 c) 22,5d) 21,5 e) 33,5
9. Exprese rad
7
en el sistema inglés.
a) 25º 40' 31'' b) 27º 24' 32'' c)25º 42' 51''
d) 26º 37' 51'' e) 31º 24' 52''
10. Exprese rad
13
en el sistema inglés.
a) 14º 25' 32'' b) 13º 50' 46'' c)13º 5' 17''
d) 15º 27' 32'' e) 12º 18' 43''
Nivel III
1. Si tuviéramos un triángulo donde sus ángulos interiores miden:
rad18
xy)ºx17(;)x20( g
Calcular el valor de:
1-5xE
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
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2. En un triángulo sus ángulos interiores miden:
rad6
xy)ºx14(;
9
x160g
Calcular:
'x
'x)ºx(E
2
a) 161 b) 151 c) 181d) 211 e) 231
3. Del gráfico, calcule "x".A
B
C
(14x + 22)g
(8x - 2)º
O
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
4. Del gráfico calcular "x"; si AOB es una porción de círculo de centro "O", llamado sector circular.
O 3xº (10x)g
B
A
a) 16 b) 18 c) 20d) 21 e) 15
5. Del gráfico, calcular:
6
2x-y3K
O
C
B
AD
5yg 3xº
a) 20 b) 10 c) 30d) 15 e) 40
III. RELACIÒN ENTRE SISTEMAS: SEXAGESIMAL, CENTESIMAL Y RADIAL
Fórmula general de conversión:Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto tenemos el ángulo "" y su medida en cada uno de los sistemas conocidos.
SºCRrad
gen el sistema sexagesimalen el sistema centesimalen el sistema radial
S180
=C
200=
R . .. ( )
De donde: S9
=C
10=
R
20
= kSCR
===
9k10k
20 k
Demostración:Del gráfico, notamos que: = Sº = Cg = Rrad
Luego: .vta1
Rrad
.vta1
C
.vta1
ºS
.vta1
g
De donde:
rad2
Rrad
400
C
º360
ºSg
g
S180
=C
200=
R
A partir de "", podemos decir también que:
# de minutos sexagesimales = 60 S # de segundos sexagesimales = 3600 S # de minutos centesimales = 100 C # de segundos centesimales = 10000 C
10 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Convertir 54º al sistema centesimal.
Resolución:Tenemos: S = 54 y piden: C = ??
Sabemos: 10
C
9
S
200
C
180
S
g60º5460C10
C
9
54
2. Convertir 40º al sistema radial.
Resolución:Tenemos: S = 40 y piden R = ??
Sabemos:
R
180
40R
180
S
rad9
2º40
9
2R
R
9
2
3. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo; reducir:
S-C
2C-S3L
Resolución:Sabemos que: S = 9k y C = 10kLuego:
k
k7
9k-k10
20k-k27
k9-10k
2(10k)-)k9(3L
L = 7
4. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 5S - 3C = 75; siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.
Resolución:En la condición: 5S - 3C = 75 ; S = 9k y C = 10k
5(9k) - 3(10k) = 7545k - 30k = 7515k = 75 k = 5
Piden: k
20R
4R5
20R
rad4
mideel
5. Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un
ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida radial del ángulo?
Resolución:Tenemos para el ángulo
SCR
===
# de grados sexagesimales# de grados centesimales# de radianes
Luego, interpretando el enunciado: S + C = 76Pero: S = 9k y C = 10kLuego: 9k + 10k = 7619k = 76 k = 4
Piden: k
20R
54
20R
rad5
mideel
6. Señale la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que expresan su medida en los tres sistemas conocidos es igual a 383, 1416.
Resolución:Tenemos para el ángulo
SCR
===
# de grados sexagesimales# de grados centesimales# de radianes
Luego, interpretando el enunciado: S + C + R = 383, 1416
Pero: S = 9k, C = 10k y 20
kR
Luego: 9k + 10k + 20
k = 383,1416
19k + 20
k = 380 + 3,1416
38020
)380(k380
20
kk380
Piden: k
20R
2020
R
11 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
radmideel
7. Si los números de minutos sexagesimales y minutos centesimales que contiene un ángulo, sumar 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?
Resolución:Sabemos: S # de grados sexagesimales
C # de grados centesimalesR # de radianes
Además: # de minutos sexagesimales = 60S# de minutos centesimales = 100C
Interpretando:60S + 100C = 15406S + 10C = 154; pero: S = 9k y C = 10k
Luego:6(9k) + 10(10k) = 15454k + 100k = 154154k = 154 k = 1
Piden:
20
kR
2020
)1(R
rad20
mideel
EJERCICIOS
Nivel I
1. Señale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal.
a) 18º b) 20º c) 24ºd) 36º e) 42º
2. Señale el equivalente de 72º en el sistema centesimal.
a) 80g b) 70g c) 60g
d) 90g e) 86g
3. Señale el equivalente de 48º en el sistema radial.
a)rad
15
b) 15
2
c) 5
d) 15
4
e) 15
7
4. Señale el equivalente de 70g en el sistema radial.
a)rad
10
7
b) 20
7
c) 9
7
d) 12
7
e) 15
7
5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
S-C
3C-S4E
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
6. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
S-C
S2-C3E
a) 6 b) 12 c) 18d) 8 e) 16
7. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
R20-S
R20-CE
a) 7/8 b) 7/6 c) 9/7d) 9/5 e) 9/8
8. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
R20C
30R-S2E
a) 1 b) 2 c) 2/3d) 3/2 e) 4/3
9. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
CSC
S-CE
2
22
a) 10 b) 1/10 c) 20d) 1/20 e) 40
10. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
CS-C2
S10C4E
2
22
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
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IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
Nivel II
1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo tales que: S = x + 2 y C = x + 3, ¿cuál es el valor de "x"?
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = 3x + 1 y C = 2x + 3, ¿cuál es el valor de "x"?
a) 5/12 b) 14/13 c) 17/6d) 17/12 e) 17/15
3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n + 1 y C = n + 4; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 18º b) 9º c) 27ºd) 15º e) 36º
4. Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n - 1 y C = n + 1, siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 10º b) 9º c) 18ºd) 36º e) 54º
5. Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 2n + 1 y C = 3n - 16; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 10g b) 20g c) 30g
d) 40g e) 50g
6. Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 7n + 1 y C = 8n; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 10g b) 20g c) 30g
d) 40g e) 50g
7. Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 5, como 19 es a 3. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo?
a) 10g b) 15g c) 18g
d) 21g e) 24g
8. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo?
a) 10g b) 25g c) 35g
d) 45g e) 75g
9. Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la diferencia de los mismos números, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?
a)rad
20
b) 18
c) 30
d) 60
e) 180
10. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la suma de los mismos números, como su número de grados centesimales es a 152. ¿Cuál es la medida radial del ángulo?
a)rad
50
b) 25
c) 10
d) 15
e) 28
Nivel III
1. Se definen las operaciones:a b = a/ba b = 2a - b
Según lo anterior, halle la medida circular que cumple:
S C =S C
80
Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a)rad
20
3
b) 20
7
c) 20
9
d) 20
11
e) 15
2
2. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple:
(2S + C)2 + (S - 2C)2 = 181C
Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 10g b) 20g c) 30g
d) 40g e) 50g
3. Señale la medida en radianes de un ángulo que cumple:
13 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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(C + S) (C3 - S3) - (C - S) (C3 + S3) = 6(SC2 - S3)
Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a)rad
10
3
b) 20
3
c) 200
3
d) 5
2
e) 200
7
4. Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento suman 94. ¿Cuánto mide el ángulo?
a) 18º b) 60º c) 54ºd) 36º e) 30º
5. Si el número de grados centesimales de un ángulo, con el número de grados sexagesimales de su suplemento; se diferencian en 48. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo?
a) 100º b) 90º c) 96ºd) 108º e) 120º
LONGITUDES DE UN ARCO
I. LONGITUD Y AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Problemas Resueltos:
1) En un sector circular, el ángulo central mide
rad3
y el radio 24 cm. ¿Cuánto mide el arco?
Resolución:Graficando y usando la fórmula: L = R
O
B
A
L
24 cm
24 cm
rad3
L = .24
L = 8 cm
3
2) En un sector circular, el ángulo central mide 36º y el radio 25cm. ¿Cuánto mide el arco?
Resolución: Graficamos:
O
B
A
L
25
25
36º
i) = 36º Lo pasamos a radianes
rad
5º180
radº.36
ii) L= R
cm5L25.5
L
3) Halle la medida sexagesimal del ángulo central de un sector circular cuyo arco mide 2cm y el radio 15cm.
Resolución: Graficamos:
O
B
A
2 cm
15cm
15cm
i) Sabemos que: L = R
R
L
Luego:
º24rad
º180.
15
2
rad15
2
4) En un sector circular el arco mide 24cm. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
Resolución: Interpretando y graficando:
14 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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O
B
A
24
R
R
R = 24
O
D
C
L3
2
3
4R5
4R
R
4R5
4R
R
cm20L
)24(6
5L
R6
5
4
R5.
3
2L
5) Del gráfico, calcule: 2
13
L
LLK
O
BDF
AC
E
1L 2L 3L3
22
22
3
Resolución:Del gráfico:
O
BDF
AC
E
1L 2L 3L3
22
22
3
* EOF: L1 = .3 = 3* COD: L2 = .5 = 5* AOB: L3 = .7 = 7
Luego:
7 3 4L
5 5
54K
6) De acuerdo al gráfico, calcule "", si:L1 = L2
A
O
B
C
D
L 2
L1
3
1
Resolución:
A
O
B
C
D
L 2
L1
3
3
1
2
-
4
De acuerdo al gráfico* AOB: L1 = .4 = 4
* COD: L2 =
3
233
2
Luego: L1 = L2
3
234
rad14
32
37
7) Del gráfico, calcule "" en el sistema sexagesimal.
O
C
D
A
B
2
5
5
Resolución: Del gráfico:
O
C
D
A
B
2
5
5
R
R
i. Sector COD: R =
15 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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ii. Sector AOB: (R+5)=2R + 5 = 2 + 5=2 5=
5
180º
rad.5 rad36
Obs:
O
C
D
A
B
m n
s
s
De acuerdo al gráfico: s
mn
EJERCICIOS
Nivel I
1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 24 cm de radio.
a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6
2. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 18 cm de radio.
a) 2 cm b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio.
a) 50 cm b) 35 c) 70d) 140 e) 280
4. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40g en una circunferencia de 25 cm de radio.
a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio mide 45 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?
a) 5(18+) b) 6(18+) c) 5(16+)d) 4 e) 4(25+)
6. En un sector circular, el ángulo central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?
a) 2(+20) b) 2(+40) c) 4(+20)d) 4(+40) e) 2(+25)
7. De acuerdo al gráfico, calcular"L "AB
20º
36 cm
P O
B
A
a) cm b) 8 c) 16d) 4 e) 2
8. De acuerdo al gráfico, calcular "L "PQ
O
20 cm
20 g
Q
P
S
a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6
9. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio. Si se sabe que m= 102º y m= 20g, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo <C?
a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6
10. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio. Si se sabe
16 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
que m= 80g y m= 28º, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo <C?
a) cm b) 2 c) 3d) 16 e) 32
Nivel II
1. En un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 100 cm b) 50 c) 150d) 125 e) 25
2. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se triplica y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 36 cm b) 24 c) 48d) 72 e) 30
3. En un sector circular el arco mide "L". Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 1/6 L b) 2/3 L c) 4/3 Ld) 8/3 L e) 8/9 L
4. En un sector circular el arco mide "L". Si el ángulo cental se incrementa en su mitad y el radio se reduce en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 3/2 L b) 3/4 L c) 2/3 Ld) 3/5 L e) 5/6 L
5. De acuerdo al gráfico, calcular:
3
21
L
LLK
AO
B
C
D
L2 L 1
L3
60º45º
E
a) 7 b) 26/3 c) 17/3d) 4 e) 25/3
6. De acuerdo al gráfico, calcular:
2
31
L
LLK
L 2
L 1
30º
A
D
C
M
BO
N
15º L 3
a) 5/3 b) 7/3 c) 3/2d) 4/3 e) 7/4
7. De acuerdo al gráfico, calcular:
3
21
L
LLK
si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en "O".
L 2 L3L1O
EC
FD
B
A
a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 2/3
8. De acuerdo al gráfico, calcular:
2
31
L
LLK
si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en "O".
L2 L 1L 3O
EC
FD
B
A
3
3
2
2
2
2
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 1
9. Del gráfico, calcular "", si: L AD LBC=
17 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
A
3
D
B
1
C rad
a) 6
b) 14
3
c) 14
d) 7
e) 21
10. Del gráfico, calcular "", si: L AD 2LBC=
rad
B
C
D
O 32A
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Nivel III
1. En Aritmética es común llamar media geométrica de los números a1, a2, a3, ... an a la cantidad:
nn4321 a...a;a;a;amg
Si en un sector circular la media geométrica del radio, arco y ángulo central (su número de rad.) es igual a 4. ¿Cuál es la longitud del arco del sector?
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
2. Cuando se define el sector circular como una porción de círculo, su ángulo central no debe exceser a 360º; es decir, el ángulo central de un sector circular debe estar comprendido entre <0º;360º> ó en radianes entre <0;2rad>. Si en un sector circular el radio mide 8cm y el número de radianes del ángulo central es el máximo entero posible, ¿cuánto mide el arco?
a) 24 b) 48 c) 36d) 2880 e) 3600
3. De acuerdo al gráfico, calcular:
232
232
241
241
)LL()LL(
)LL()LL(K
L2
L 4
L 1
L 3
ºgO
C
D
A
B
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Calcule la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de:
º
'x7
'x3ºx
en una circunferencia donde un cuadrado inscrito tiene sus lados de longitud
cm.
a) cm
10
b) 5
c) 5
2
d) 10
3
e) 9
5. En el gráfico el triángulo comienza a girar en el sentido indicado alrededor de cada vértice hasta tener nuevamente a como base y manteniéndose en todo instante en el mismo plano vertical. Si el triángulo ABC es equilátero, determine la longitud de la trayectoria descrita por el punto "P".
A C A C
B B
P P
2
3
Recuerda para ello triángulo notable de 30º y 60º.
18 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
60°
30°
2
A
C
B
1
3
a) 195
3
2
b) 195
3
c) 193
3
2
d) 194
3
2
e) 191
3
2
II. TRAPECIO Y CORONA CIRCULAR
Fórmulas:La región limitada por un ángulo central y su arco correspondiente en una circunferencia, se denomina sector circular y su superficie se calculará con cualquiera de las siguientes fórmulas:
O
A
B
LS rad
R
RR
2
RS
2
2
LRS
2
LS
2
Donde: # de radianes del ángulo central.R radio del sector.L Longitud del arco correspondiente.
El uso de una u otra fórmula dependerá de los datos que presenten los ejercicios.* Superficie de un trapecio circular:
B
A
Sn m
C
D
O
t
t
La región limitada por los arcos concéntricos AB
y CD ; AC y BD por segmentos y se denomina trapecio circular y su superficie se calcula así:
t.2
nmS
* Problemas resueltos:
1. En un sector circular, el ángulo central mide
60º y el radio mide 32 cm. ¿Cuál es su superficie?
Resolución:
2 3
SO 60º
A
B
2 3
Graficando:
i. q = 60º a radianes
q =60º . º180
rad
= 3
radii.
S = 2
)32(3
2
= 6
3.4.
2cm2S
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2. En un sector circular, el arco mide 2 cm y el radio 10 cm. ¿Cuál es en superficie?
Resolución:Graficando:
L=2SO 60º
A
B
R = 10
R = 10
i. 2
10.2S
2
LRS
2cm10S
3. En un sector circular el arco mide cm y su ángulo central 20º. ¿Cuál es su superficie?
Resolución:Graficando:
SO 20º
A
B
i. rad
9º180
radº.20
ii.
2
9
92
S22
2cm2
9S
4. Del gráfico mostrado, calcular la superficie de la región sombreada.
B
AC
D
O 30º
5
3
Resolución:
B
AC
D
O 30º
5
3
S
i. rad
6º180
radº.30
ii. S = S º º
A C
B D- S
2
3.6
2
5.6S
22
12
16
12
9
12
25S
2u3
4S
5. Del gráfico, calcule el área de la región
sombreada; si la longitud de CD , "n" y la
longitud de AB están dados por tres números en progresión aritmética de razón 2.
B
AC
D
O S
n
n
Resolución:
B
AC
D
O S
n
n
L 1 L 2
i. n
2
LLS 21
pero: L1 = n - 2
L2 = n + 2
Luego:
n.
2
n2n
2
2n2nS
2nS
6. Se tiene un sector circular de área 24 cm2. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte se genera un nuevo sector circular cuya área es:
Resolución:
Graficando:
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i.
SO
A
B
1
R
R
i. 2
R24S
2
1
ii.
SO
C
D
2
R
R
-3 =
3
ii.
222
22
2
cm16S)24(3
2S
2
R.
3
2
2
R3
2S
7. Del gráfico, calcule: 2
1
S
SK
B
AC
D
4
4
S 1 S 2
1
1
O
Resolución:
Del gráfico:
B
AC
D
4
4
S 1 S 2
1
1
O
i. Sector COD: L
C D =.1 =
22
1.S
2
1
ii. Sector AOB: L A B =.5 = 5
iii. Trapecio ABOC:
12S4.2
)5(S 22
Luego:
2
1
S 12K K 24
S2
EJERCICIOS
Nivel I
1. En un sector circular cuyo ángulo central mide 45º y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie?
a) cm2 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
2. En un sector circular cuyo ángulo central mide
36º y su radio 102 cm, ¿cuál es su superficie?
a) cm2 b) 2 c) 4d) 5 e) 10
3. En un sector circular el arco mide 2 cm y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie?
a) 2 cm2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
4. En un sector circular el arco mide /2 cm y el radio 6cm, ¿cuál es su superficie?
a) 3 cm2 b) 2
3
c) 4
3
d) 2
e) 6
5. En un sector circular el arco mide /4 cm y el ángulo central de 30º. ¿Cuál es su superficie?
a) 16
3
cm2 b) 8
3
c) 4
3
d) 2 e) 3
2
6. En un sector circular el arco mide /3 cm y el ángulo central mide 60º. ¿Cuál es su superficie?
a) 2
cm2 b) 3
c) 6
d) 12
e) 3
2
7. Del gráfico, calcular: 2
1
S
SK
21 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui
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S1
S260º 3
O
AB
D
C
1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8/9
8. Del gráfico, calcular: 2
1
S
SK
S1
S230º 3
O
AB
D
C
1
a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8d) 9/2 e) 9/32
9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.
O
A
BD
C6 cm
23 cm
15º
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.
O
A
BD
C7 cm
3 cm
60º
a) cm2 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
Nivel II
1. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:
a) 9S b) 12 S c) 18 S d) 16S e) 15 S
2. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:
a) 4 S b) 6 S c) 9 Sd) 12 S e) 18 S
3. Se tiene un sector circular de superficie 36cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 36 cm2 b) 72 c) 144d) 18 e) 96
4. Se tiene un sector circular de superficie 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 32 cm2 b) 24 c) 16d) 64 e) 18
5. Se tiene un sector circular cuya superficie es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 48 cm2 b) 18 c) 24d) 36 e) 32
6. Se tiene un sector circular cuya superficie es 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 80 cm2 b) 576 c) 72d) 288 e) 144
7. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 36º. Si se reduce el ángulo central en 11º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"?
a) R/2 b) R/4 c) R/5 d) R/6 e) R/9
8. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 49º. Si se reduce el ángulo central en 13º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector
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IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA
generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"?
a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) R/5 e) R/6
9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si DAB es un sector circular con centro en "A".
45ºA
D
C
B
22
22
a) 4 - b) 3 - c) - 3
d)1
2
e) 22
10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.
B
DA
CE F
5
2
a) 10 - b) 5 - c) 2 - 5d) 10 - 2 e) 10 - 3
Nivel III
1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm, ¿Cuál es el mínimo valor entero que puede tomar la superficie de dicho sector circular?
a) 24 cm2 b) 25 c) 12d) 18 e) 28
2. Demostrar que el área de la región sombreada es:
S p
2
nm
= (ABCD: trapecio circular)
O
AC
Sn m
BD
p
p
3. Del gráfico, calcular: 42
31
SS
SSK
D
C
B
A
EF
S1
S2
S3
S4O
a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) √2
4. Calcule la superficie máxima de un sector circular cuyo perímetro es de 4cm.
a) 1 cm2 b) 2 cm2 c) 3 cm2
d) 4 cm2 e) 8 cm2
5. Calcule la superficie máxima de un trapecio
circular cuyo perímetro es de 8cm.
a) 2 cm2 b) 4 cm2 c) 8 cm2
d) 16 cm2 e) 24 cm2
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