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José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .
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Problemas de
Las Olimpiadas
Internacionales
e Física
José Luis Hernández Pérez
Ricardo David Fernández Cruz
Jaime Solá de los Santos
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XLV. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2014.KAZAKHSTAN
PROBLEMA 1
Este problema consta de tr es partes independientes
PARTE A. MecánicaSobre la parte interior de un cil indro hueco de masa M y radio R, conun espesor de pared pequeño, se coloca un disco de masa m.I ni cialmente el ci l indr o está en reposo sobre un suelo horizontal y eldisco se encuentr a locali zado a una altur a R por encima del suelo, talcomo puede observarse en l a figura
Consideramos un sistema de referencia cartesiano ligado al suelo, dicho sistema dereferencia es inercial. Las fuerzas reales que actúan sobre el cilindro son: peso Mg,fuerza de rozamiento del cilindro con el suelo FR , fuerza con que el disco empuja alcilindro Nc, y la fuerza con que el suelo empuja al cilindro N1. Las fuerzas que actúan sobre el disco son: su peso mg y la fuerza con que el cilindroempuja al disco, Nd. (ver la figura A1).
R
M
m
FR
N1
Mgmg
Nd
Nc
+
+
C C
Encontrar la fuerza de interacción entr e el
disco y el ci l indro justamente en el instanteen que el disco pasa por la parte infer ior desu trayectoria.Suponer que entre el disco y la partein ter ior del cil indro no existe rozamiento yque el cil indro se desplaza por el suelo sindeslizar.
F ig. A1
+ O
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Las fuerzas Nc y Nd son de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales: Nc=Nd=N. La fuerza de rozamiento FR se dirige hacia la derecha, porque cuando eldisco se desplaza por el interior del cilindro, éste se mueve hacia la izquierda.Al cilindro de la figura A1, le aplicamos las leyes de Newton, desde los ejes inercialesen O, cuyos sentidos positivos se indican en la figura, (esta cuestión es convencional).
(1)aM2αsen NMaaMαsen NaMR
aR MF
R γacilindroelrodar Por
γR MR
γR M
R
γIF;γIR FM;MaFαsen NF
CCCC
C
R
C
2
R R CCR x
La aceleración del cilindro es un vector paralelo al suelo y dirigido de derecha aizquierda
Procedemos igual con el disco
- (2)amαsen N X ; N cos α – m g = m ay
La aceleración del disco respecto de O, es un vector con dos componentes. Sinembargo como en nuestro estudio consideramos el instante en el que el disco llega alsuelo y entonces su velocidad es solo según el eje X y dirigida de izquierda a derecha,nos basta con tener solo en cuenta la componente según X de la aceleración, sinnecesidad de ocuparnos también de la otra.
Comparando (1) y (2)
CtevmvM2dtdvm
dt
dvM2ama2M XC
XC
xc
En el instante inicial las velocidades del cilindro y del disco son cero, luego Cte=0
(3)vmvM2 XC
El vector velocidad del cilindro es paralelo al suelo y dirigido de derecha a izquierdaAmbos vectores se han determinado con respecto al sistema inercial ligado al suelo.
La fuerza de rozamiento actúa en el sentido de proporcionar un momento de fuerza paraque el cilindro gire, pero no es una fuerza disipativa por no haber deslizamiento.
La energía inicial del sistema es potencial mgR y cuando el disco pase por la parteinferior de su trayectoria, la energía es: cinética de traslación del disco, cinética detraslación del cilindro y cinética de rotación del cilindro. Como no hay rozamiento entreel cilindro y el disco, éste desliza sin rotar.
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(4)vmvM2R gm2
vm2
1vM
R
vMR 2
1vm
2
1vM
2
1Iω2
1vm
2
1vM
2
1R gm
2
X
2
C
2
X
2
C2
2
C22
X
2
C
22
X
2
C
Despajamos vX de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (4).
(5)
m2M
R gM
M
m
m2MM
R gmv
m
2M1M
R gmv
m
M2Mv
m
Mv2vMR gm
m
vM4vM2v
m
M2mvM2R gm2v
m
M2v
2
C
C
22
C
22
C
2
C
2
C
2
2
C
2
C
2
CCX
Sustituyendo (5) en (3)
(6)m2M
gR M2vvm
m2M
gR M
M
mM2 XX
Vamos ahora a determinar la velocidad del disco respecto del cilindro cuando el disco pase por la parte inferior, pero antes explicamos con un ejemplo el proceso.
F ig. A2
O
Y
Y´
H
X´
t = 0
C
X
vC
vH
O
Y
Y´
H
X´
t´= Δt
C
X
vC
vHxC xH
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En la figura A.2, y ligado al suelo se ha considerado un sistema de referencia inercialOXY. C es un carrito que en el instante t=0 tiene una velocidad vC respecto de OXY yligado a él se considera un sistema de referencia O´X´Y´. H representa a un hombre que
se desplaza sobre el carrito con una velocidad vH respecto de OXY. Al cabo de un cortotiempo las posiciones del H y del carrito C se indican en la segunda figura de A2.La posición del hombre respecto del sistema ligado al carrito (O´X´Y´) es:
tvtvvtvtvXXX relHCHCHc
En el problema, el carrito es el cilindro hueco y el hombre el disco, por tanto, lavelocidad relativa del disco respecto del cilindro es la suma de vC y vH = vX
La fuerza que el cilindro ejerce sobre el disco en la parte inferior, es igual y contraria ala suma del peso del disco más la fuerza centrípeta para girar alrededor del punto C,Fig.A1.
M3
m1gm3
M
m3gm
M
gmg2mgm
M
mM2gR
R
mgmF
M
mM2
mM2
R gM
R
mgm2
M
m
mM2
R gM
R
mgmF
mM2
R gM2
mM2
R gM
M
m
R
mgm
R
vmgmF
2
22
22
rel
PARTE B. Física molecular
Una burbuja de radio r= 5,00 cm contiene un gas ideal diatómico, lapelícula jabonosa tiene un espesor h= 10,0 m, dicha burbuj a estásituada en el vacío. La tensión super f icial de la disolución jabonosa es = 4,00.10 -2 N/m y su densidad = 1,10 g/cm 3 . 1) Determinar lacapacidad molar del gas en el proceso de sumini strar le calor de maneramuy lenta de modo que la burbuja permanece en equil ibrio mecánico. 2)Encontrar la expresión de la f recuencia angular de las pequeñasoscil aciones radiales de la burbuja, en el supuesto de que la capacidadcalorífica de la película jabonosa es mucho mayor que la del gas.
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Suponer que el equi l ibr io térmico se alcanza mucho más rápidamenteque el per iodo de las oscil aciones.
Ayu da. Laplace demo stró que existe un a diferencia de presión dentro yfuera de una sup erf ic ie curv ada originad a po r la tensión superf ic ial de la
interfas e entre el líqu ido y el gas, sien dor
σ 2 Δp
1. La película jabonosa tiene dos superficies, debido a tener un cierto espesor h, sinembargo éste lo vamos a considerar muy pequeño frente al radio, por lo que podemoshacer una aproximación considerando a los dos radios, interior y exterior, iguales. En
consecuencia la presión capilar es: .r
σ4 Dado que la presión externa es nula y existe
equilibrio mecánico, esa es la presión del gas contenido en la burbuja.
Aplicamos el primer principio de la termodinámica
(1)dT
dV
n
pCCdV pdTCndTCndQ VV
Aplicamos la ecuación de los gases perfectos al gas que está contenido en la burbuja.
dr r π3
12dVr π
3
4V
nR
dr r π3
32
dTdTnR dr r π3
32TR nr π
3
16nRTr π
3
4
r
σ4
23
23
Sustituyendo en (1)
R 4R 2
3R 2
5R 2
3C
nR
dr σr π
3
32
dr r π3
12
r n
σ4CC V
2
V
2) En principio, al suministrar una cantidad de calor al gas contenido en la burbujaaumentaría su temperatura y además intercambiaría energía calorífica con la solución
jabonosa
JJ
GG
JJGGcm
ΔtcmΔt´Δt´cmΔtcm
Teniendo en cuenta, según el enunciado, que cJ>>cG , t´ tiende a cero, esto significaque la película jabonosa mantiene su temperatura y además el gas también la mantiene,
por tanto, consideramos el proceso isotérmico y a costa de la energía recibida, efectuarátrabajo contra la burbuja que aumenta de volumen, pero como es de comportamientoelástico esta membrana efectuará oscilaciones entre dos posiciones de distintos radios.
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Imaginemos que la burbuja en un instante t, tiene un radio r+x, siendo x pequeñocomparado con r.
La diferencia entre la fuerza debida a la presión del gas (ahora designado con p´) y ladebida a la tensión superficial crea una fuerza resultante que tiende a llevar a la burbuja
a su radio primitivo. En esta situación se producirán un conjunto de oscilacionesradiales de la burbuja. La ecuación diferencial.
(1)dt
xdmxr ·4π4σxr ·4π p;
dt
xdmxr ·4π
xr
2σ2·xr ·4π p
22
22
222
Veamos la relación entre p´ y la presión del gas p, cuando los radios son: r y r+x.
2233
3
3
3
xr 3xr 3xr
r p
xr π3
4
r π3
4
pV´
V p p´ p´V´ pV
Puesto que x
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La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple
PARTE C. Electricidad
En el instante ini cial el interruptor S (ver figura) está abierto y elcondensador 1 de capacidad 2C posee una carga q o ; el condensador 2 decapacidad C está descargado y por las bobinas, de coeficientes deautoinducción L y 2L respectivamente, no pasa corr iente.
Cuando S esté abierto el circuito de la figura superior es un circuito oscilante concapacidad C
E y autoinducción L
E= L+ 2L =3L.
C3
2C
C
1
2C
1
C
1E
E
El periodo de dicho circuito es:
LC2
1ωLC2π2C
3
2L3π2CLπ2T EE
Designamos con t al tiempo transcurrido desde que se ha iniciado la descarga, con q 1 la
carga eléctrica del condensador 1 y con q2 la del condensador 2 y con I la intensidad dela corriente eléctrica que circula por las bobinas.Según el principio de conservación de la carga eléctrica.
21o qqq
Dado que no existen resistencias en el circuito, aplicamos el principio de conservaciónde la energía
1
2
L
2L
2C
C
S
El condensador 1 comienzaa descargarse y justamentecuando la corriente que
circula por las bobinas esmáxima, se cierra de formainstantánea el interruptor S.Determinar la intensidadmáxima de corr iente quecircula por S.
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)1(CL6
q4qq3qI
2
q4qq3q
C2
qq2qq2qq
3LI
IL3C
qq
C2
q
C2
qI3L
2
1
C
q
2
1
C2
q
2
1
C2
q
2
1
1o
2
1
2
o
1o
2
1
2
o1o
2
1
2
o
2
1
2
o2
2
2
1O
2
1
2
o2
2
2
2
1
2
o
Para determinar la intensidad máxima de la corriente derivamos la ecuación (1)respecto de q1 e igualamos a cero
ooo2
01o1
1o
2
1
2
o
o1
1
q3
1q3
2qq
q3
2q0q4q60
qq4q3q2
q4q6
CL6
1
dq
dI
Sustituimos estos valores de las cargas en I.
CL18
q
LC6
q3
2q4q
9
43q
I ooo
2
o
2
o
max
(2)
Al cerrar instantáneamente el interruptor S, en el circuito superior el condensador tiene
una carga (2/3) qo , y la bobina almacena una energía 2maxLI2
1. La intensidad máxima
en el circuito superior IMS, se producirá cuando la energía almacenada en elcondensador pase a la bobina.
max
o
2
o
MS
2
o
2
o2
MS
2
MS
2
o
2
o2
MS
2
max
2
o
I5CL18
q5
CL18
q5I
CL18
q
CL18
q4I
ILCL18
qL
C18
q4IL
2
1IL
2
1
2C
q3
2
2
1
En el circuito inferior la intensidad máxima IMI
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10
max
o
2
o
MI
2
o
2
o2
MI
2
MI
2
o
2
o2
MI
2
max
2
o
I2CL18
q2
CL18
q2I
CL18
q
CL18
qI
IL2CL18
qL2
C9
qI2L
2
1IL2
2
1
C
q3
1
2
1
Las intensidades máximas anteriores no coinciden en el tiempo a través de S.
En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito superior la energía delcondensador supera a la energía almacenada en la bobina.
36C
q
18LC
qL2
1LI2
1E;C9
q
C36
4q
2C
q3
2
2
1E2o
2o2
maxL
2o
2o
2
o
C
Por consiguiente a partir del instante de cierre de S, el condensador 1 se siguedescargando. La ecuación de la intensidad de la corriente en el circuito superior es:
θtωsenI5θtωsenIi maxMSS
En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:
5
52
25
51θcos
5
5
5
1θsenθsenI5Ii maxmaxS
En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito inferior la energía de la bobina es igual que la del condensador
C18
q
18LC
qLI2L
2
1E;
C81
q
C
q3
1
2
1E
2
o
2
o2
max2L
2
o
2
o
C
El condensador sigue recibiendo carga.
tωsenI2tωsenIi maxMSI
En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:
2
2
4
21ψcos
2
2
2
1ψsenψsenI2Ii maxmaxI
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El diagrama rotatorio para las dos intensidades es:
C2L
q
CL18
q33II
02
22
5
55IψsenI2θsenI5(Y)I
3I2
22
5
525IψcosI2θcosI5(X)I
oo
maxS
maxmaxmaxS
maxmaxmaxmaxS
maxI5
maxI2
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PROBLEMA 2. Ecuación de estado de van der Waals
La conocida ecuación de estado de los gases ideales parte de lasuposición de que las moléculas ni tienen tamaño ni interactúan entresí. En real idad sí que tienen un tamaño finito e interaccionan entr eellas.Todas las partes de este problema se refieren a un mol de agua.
Parte A. Ecuación de estado de un gas no ideal
Teniendo en cuenta el tamaño f inito de las moléculas l a ecuación deestado de un gas se escr ibe como
RT b V P P es la presión del gas, V el volumen ocupado por el gas y T latemperatura, R es la constante de los gases, b representa una constanteextraída a par ti r del volumen de las moléculas.
El término b se introduce en la ecuación de los gases ideales restando del volumen V
medido del gas un volumen relacionado con el tamaño de las moléculas. A primera vistase podría restar el volumen de las NA moléculas que existen en el mol de gas, pero estono es correcto porque las moléculas, consideradas como esferas rígidas, no puedenaproximarse tanto como para tocarse entre sí, puesto que aparecen fuerzas eléctricasrepulsivas, esto conlleva a considerar a b mayor que el volumen de las moléculas. Lasestimaciones más sencillas suponen que b es cuatro veces el volumen de lasmoléculas.(Puede consultarse el razonamiento en Química-Física de S.Glasstone,
página 270 .Editorial Aguilar).
3
AA
3
d2N N2
dπ3
44 b
Van der Waals propuso una ecuación, en l a que se incluía un término enla presión para considerar las fuerzas intermoleculares, que de formaaproximada describen los estados gaseoso y líquido de la materia.
T R b V 2 V
a P
En dicha ecuación a es una constante.
A1 . Est imar b y exp resar la en fun ción d el diámetro d de las molécu las
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A una temperatura T inf er ior a la de un valor crítico T C la ecuación devan der Waals, cundo se representa en un diagrama P-V, proporcionauna isoterma (curva 1 de la figura 1) denominada isoterma de van derWaals, En la misma gráfica la cur va 2 representa a un gas ideal para
esa misma temperatura.
La isoterma 1 de la f igura 1 se separa de la isoterma real porque entr eB y A existe una línea recta tr azada a una presión constante P LG Este
segmento recto se localiza entre los volúmenes V L (líquido) y V G (gas) y
Fig.1.- Isoterma de vander Waals de g as líqu ido(curva 1) y la isoterma deun g as ideal (curva 2 ).
Fig.2.- Diferentes isotermasde la ecuación de van derWaals
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representa que en esa zona coexi sten en equi l ibrio las fases líquida ygaseosa. A partir de la segunda ley de la termodinámica J. Maxwelldemostró que P LG debe escogerse cuando las áreas I y II (sombradas enla figura 1) sean iguales.
Si se aumenta la temperatura, el segmento recto AB de la isoterma sereduce a un punto en el que la temperatura y la presión son T c y P GL=P C .Los parámetros T C y P C se denominan críti cos y por la vía experimentalse miden con gran precisión.
La isoterma TC presenta un punto de inflexión lo cual se traduce, desde el punto devista matemático, en dos ecuaciones:
0dV
Pdy0
dV
dP
T
2
C
C
2
TC
C
Despejamos PC de la ecuación de van der Waals y hallamos las derivadas
3C
4
C
C
4
C
3
C
C
4
C
4
C
CC
T
2
C
C
2
2
C
3
C
C
3
C
2
C
C
TC
C
2
CC
C
C
bV
V
TR
a3
V
a6
bV
TR 2
V
a6
bV
bV2TR
dV
Pd
bV
V
TR
a2:0
V
a2
bV
TR
dV
dP;
V
a
bV
TR P
Dividiendo miembro a miembro las dos últimas ecuaciones
b27a8
TR ; b4
27
TR
a2
b b3
b27
TR
a2
b3V
bV
V
2
3
bVV
bV
V
TR 2a
TR
3a
C
C
2
3
C
C
C
C
2
C
3
C
3
C
4
C
C
C
Sustituyendo en la ecuación de van der Waals
A2. Expresar las cons tantes a y b de la ecuación de van d er Waals enfunción de T C y P C
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15
C
2
C
2
C
C
P
TR
64
27a
P8
TR b
2
C
C
C
C
CC
C
C
Cc
2
222C2C
C
2C
P8
TR P27a
b2
TR P3P
b2
TR
P27a9
aP:ecuación primeralaensusttyendo;
27P
a b
b27
a
b9
a
b27
a4P
2b b27
a8
b9
aP
b2
TR
b9
aP
mol
m3,1.10
m
N2,2.108
K 647K mol
m N8,31
b
mol
mPa0,55
mol
m N0,55
m
Nmol
m N
0,55
m
N2,2.10
K 647K mol
J8,31
64
27a
35
2
7
2
6
2
4
2
2
22
2
7
2
2
O2H
O2H
Según el apartado A1
m3,0.10mol6,02.102
mol
m3,1.10
2N
bd
103
123
35
3
A
Parte B. Propiedades de gas y líquido
Esta parte del problema se refiere a las propiedades del agua en losestados gaseoso y líqui do a la temperatura de T = 100ºC. L a presión del
A3. Para el agu a, T C =647 K y P C =2,2.10 7 Pa. Calcular las con stantes a yb del agua
A4. Es tim ar el d iámetr o d e un a mo lécu la de agu a
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vapor saturado a esa temperatura vale P GL= P o = 1,0.10 5Pa y el volumenmolar del agua es = 1,8.10 -2 kg/mol.Estado gaseoso
Resul ta razonable suponer que V G >>b es válida para la descr ipción delas propiedades del agua en el estado gaseoso
A partir de la ecuación de van der Waals
TR bVV
a p G2
G
o
Teniendo en cuenta la suposición del enunciado GG V bV
o
o
22
GG
2
Go
G
Go p2
a p4TR RTV0aTVR V pRT
V
aV p
Para decidir entre el signo más o el menos, apliquemos la ecuación obtenida a un gasideal para el que a =0
RTRTV p2 Go
Si el signo fuese negativo VG =0, lo cual es imposible , por tanto, la solución es.
o
o
22
G p2
a p4TR RTV
(1)
Sustituyendo valores en la ecuación anterior
35
52
G m0,03081,0.102
0,551,0.1043738,313738,31V
Si utilizamos la ecuación de los gases ideales
3
5
o
Go m0,03101,0.10
3738,31
p
RTV
Si empleamos la ecuación de los gasea ideales se obtiene prácticamente el
mismo volumen.
B1. Obtener la formula de V G exp resánd ola en func ión de R, T , p o y a
B2. Obtener el porc entaje de dism inución del volumen debido a las
fuerzas interm oleculares.Go
G Go
Go
G
V
V V
V
ΔV
-
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Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación (1), VG=0,0308 m3
Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación de los gases ideales,VGo=0,0310 m3
%0,651000,0310
0,0308-0,0310%
Si el volumen del sistema se reduce por debajo de V G el gas comienza acondensase. No obstante un gas muy puro puede permanecer en eseestado metaestable, llamado vapor subenfr iado, hasta que el volumenalcanza un cierto valor V G min
En la figura 1, la isoterma de van der Waals penetra en la región en que coexisten lasfases gas y líquido y esa isoterma adquiere un valor máximo. Admitimos que el gas se
puede mantener como tal hasta ese punto, en el que se cumple que 0dV
dP
T
.
Despejamos la presión de la ecuación de van der Waals y hacemos la derivada
0V
2a
bV
TR
dV
dP
V
a
bV
TR P
3
min
2
minGT
2
G
Hacemos la aproximación GminGmin V bV
783,55.10
0,0308
V
V
mol
m.1054,3
K 733
K mol
Nm8,31
mol
m N0,552
TR
a2V
V
2aRT
4
Gmin
G
34
2
4
Gmin
Gmin
Estado líquido
Para el estado líquido resul ta razonable admiti r que P
-
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La ecuación de van der Waals aplicada con la condición del enunciado da lugar a:
TR 2
a
T bR 411a
TR 2
a
T bR 41aa
V
TR 2
T bR a4aaV0abaVRTVRT bV
V
a
L
2
LL
2
LL2
L
Surge la duda sobre qué signo debe utilizarse en la ecuación anterior.La densidad del agua a 100ºC es 0,958 g/cm3 Un mol de agua (0,018 kg) en estadolíquido ocupa un volumen a 100ºC de
35
33 m1,72.10VV
kg0,018
m0,958.10
aguadekg1
El cociente 53
510.72,1
m
kg8,9.10
3738,312
0,55
T2R
a
, por consiguiente el
término incluido en el paréntesis debe ser menor que la unidad y eso conlleva utilizar elsigno menos.Calculemos el volumen que ocupa un mol de agua a 100ºC proporcionado por laecuación deducida anteriormente, empleando el signo menos.
355
L m4,01.100,55
3738,313,1.10411
3738,312
0,55C)(100ºV
Como se observa un valor muy diferente del valor experimental, lo que en definitiva nosdice que la ecuación de van der Waals no puede aplicarse en estado líquido siqueremos obtener valores que se acerquen razonablemente a los experimentales.
Suponiendo que bRT
-
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a/bRT 46 21 14 11 8,6 7,1
La suposición de que a>>bRT se cumple cuando T tiende a cero, si ponemos estacondición en la ecuación de van der Waals, el segundo miembro tiende a cero y el
primero debe hacerlo para mantener la igualdad, luego VL-b tiende a cero, esto es, el
volumen tiende al valor de b
335l m
kg581
mol
m3,1.10
mol
kg0,018
b
μ
V
μρ
Calculamos la densidad del agua líquida a 100ºC
35C100ºm
kg944
10.01,4
0,018ρ
Un resultado que nada tiene que ver con la densidad del agua a 100º C que según lastablas es 958 kg/m3 .Volvemos a lo comentado en el apartado anterior la ecuación de van der Waals no esaplicable al estado líquido a 100ºC
Escogemos la ecuación
a
TR b411
2RT
aVL y representamos VL frente a T a
temperaturas bajas con lo que se obtiene prácticamente una línea recta de ecuación
B6. Exp resar el c oef icien te de exp ans ión térm ica ΔT
ΔV
V
1 α
L
L
en función
a,b, R y dar su valor.
-
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20
y = 2E-08x + 3E-05
R2 = 0,9983
0,0000285
0,000029
0,0000295
0,00003
0,0000305
0,000031
0,0000315
0 50 100 150 200
temperatura en K
Volumenenm
3
14
58
8
8
58
8
l
58
L
K 6,3.103.10752.10
2.10α75K T para
TT´
TT´2.10
3.10T2.10
1αTT´2.10ΔV3.10T2.10V
Para T =20 K ; = 6,6.10-4
K -1
; Para T =293 K , = 5,6.10-4
K -1
El coeficiente del agua a 20 ºC es 2,1.10-4 K -1 .
El término de la ecuación de van der Waals que tiene en cuenta la interacción moleculares: 2La/V , término que tiene las dimensiones de una presión .Veamos la variación de ese
término al pasar del líquido a gas
B7. Expresar el calor de vaporización del agua en función de , a , b ,Ry calcular lo.
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kg
J.1067,0
mol
m4,01.10
mol
kg0,018
mol
m N0,55
L
a
TR b411
2RT
aμ
a
Vμ
aL
V
a
V
a
V
adV
V
aμLE
6
35
2
4
LLLG
2
GV
LV
El calor latente de vaporización del agua que se encuentra en las tablas es 2,26,106 J/kg,como se observa valor muy discrepante de este cálculo.
Suponemos que las moléculas cuando forman una superficie molecular están encontacto entre si. Si hay NA moléculas (imagínese que son cubos) ofrecen una superficie
OHA 2l N2 , siendo OH2l la longitud de la arista y el 2 porque se forman dos superficies
una por arriba y otra por debajo.La tensión superficial se define como la energía que hay que aportar por unidad de
superficie.Si las NA moléculas pasan del estado gaseoso a formar la capa monomolecular laenergía el L (expresado en J/mol). Al suponer que las moléculas se tocan la longitud dela arista coincide con OH2d , obtenido en el apartado A1.
2210123
6
2
OHA m
J0,12
m3.10mol6,02.102
mol
kg0,018
kg
J0,76.10
d N2
Lσ
2
La tensión superficial del agua en contacto con aire y a una temperatura de 20ºC es0,073 J/m2 .
Nosotros opinamos que no deberían haberse incluido estos apar tados en elproblema, dado que los valores obteni dos tan lejos de los reales pueden desorientar alalumno.
Parte C. Sistema líquido – gas
La regla de Maxwell implica que sean iguales las áreas I y I I en laf igura 1 determinadas por la recta AB que corta a la isoterma de van der
Waals junto con las aproximaciones reali zadas en la parte B, conducen
B8. Consid erar una capa monomo lecular de agua, est imar la tensiónsup erf ic ial del agua.
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a que la presión de vapor p LG dependa de la temperatura según laecuación
T
B Ap ln
LG
en l a que A y B son constantes que pueden expresarse en función de a yb
R b
a B ; 1
2 b
a ln A
Designamos con pV la presión del vapor saturado en la superficie libre del líquido y con´
V p , la presión del vapor justamente encima de la superficie del menisco de radio r.
Nos piden la diferencia entre estas presiones, que tiene que ser un valor muy pequeño.
El equilibrio de presiones medidas a la altura del menisco y a la misma altura en ellíquido nos conduce a:
C1. Encon trar el pequ eño camb io de pres ión p T del vapor saturadosobre la superf ic ie cu rvada del líqu ido , exp resándolo en fu nc ión de la
densidad del vapor,S , la den sid ad del líqu ido, L , la tensión
superf ic ial ,
y el radio d e la superf ic ie ,r .
W.Thomson demostró que la presióndel vapor saturado depende de lacurvatura de la superf icie dellíquido. Considérese un líquido que
no moja al capilar (ángulo decontacto 180º), al sumergi r el capi laren el líquido el ni vel disminuyerespecto de la superficie libre dellíquido debido a la tensiónsuper fi cial.(ver la figura 3).
Fig.3.- Un tu bo capilar estásum ergid o en un líqui do queno mo ja al material del capi lar.
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SL
S
SL
LSL
T
SL
L
SLLLTV
´
V
SL
SVLV
´
VLV
ρρ
ρ
r
σ2
ρρ
ρρρ
r
σ2Δp
1ρρ
ρ
r
σ2
r
σ2-
ρρgr
σ2gρ
r
σ2-hgρΔp p p
ρρgr
σ2h
r
σ2hgρ phgρ p
r
σ2 phgρ p
Los estados metaestables considerados en el apartado B3 se utilizanampl iamente en experimentos reales como la cámara de ni ebla empleadaen el registr o de partículas elemental es. También ocurre en fenómenos
naturales, tales como la formación de rocío matinal en donde el vaporsubenf r iado se condensa formando gotas. Las gotas muy pequeñas seevaporan rápidamente pero las que ti enen cierto tamaño pueden creceraún más. .
Calculamos las presiones del vapor saturado a 20º C y a 15º C.
Pa1,32.10C) p(15º11,79288213519,2C) p(15ºLn
Pa1,49.10C) p(20º11,9293
213519,2C) p(20ºLn
21358,313,1.10
0,55B;19,21
3,1.10
0,55lnA
5
5
525
Si la presión de la gota es mayor que la exterior tenderá a evaporarse y si es menortenderá a crecer, en el límite
5
sL
s5
T 1,49.10ρρ
ρ
r
σ21,32.10C) p(20ºΔpC) p(15º
La densidad del vapor la calculamos suponiendo que el vapor se comporta como un gasideal
C2. Supo ner que al anoch ecer y a la temperatura de t e =20ºC, el air e s eencu entra satu rado de v apo r de agua, pero al am anecer del día
sigu iente la temperatura ha descend ido en T=5,0º C. Supo niendo quela presión de vapor n o ha camb iado est imar el radio mínimo de lasgo tas que to davía pued en cr ecer.
Ut i l izar la tensión del vapor del agua de las tablas, cuy o valor es =0,073 N/m
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m.105,89990,17.10
0,990,0732r 0,17.10
0,991000
0,99
r
0,0732
m
kg0,99
288K K mol
m N8,31
mol
kg0,018
m
N1,32.10
TR
μC) p(15ºρ
9
5
5
3
2
5
S
Los valores de las tablas de la presión de vapor de agua saturado son: a 15ºC , 1,71 kPay a 20ºC , 2,34 kPa.
Aplicando estos datos:
m1,9.10
1000
0,0130,0732r
m
kg0,013
8,31.288
0,0181710ρ;630
ρρ
ρ
r
σ2 63S
sL
s
-
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PROBLEMA 3. Un modelo simple de la descarga en un gas
Una cor r iente eléctr ica que cir cula a través de un gas recibe el nombre de
descarga eléctr ica en un gas. Existen diversos ti pos de descargas, comola de las lámparas incandescentes, la descarga en ar co en la real izaciónde soldaduras y la conocida descarga eléctr ica entre las nubes y la tier raen forma de rayo.
Parte A. Descarga en un gas no automantenida
En esta parte del problema se estudia la descarga de un gas noautomantenida. Para mantener la descarga de forma permanente senecesita que actúe un ioni zador externo, Z ext ,el cual crea por pares ionesy electrones libres por unidad de volumen y por unidad de tiempo deforma uniforme en todo el volumen.Cuando el ioni zador externo está en funcionamiento, el número deelectrones e iones en el gas aumenta. El aumento de la densidad deelectr ones y de iones en el gas se contrarresta debido a un pr oceso derecombinación por el que se unen electrones con iones para formar
átomos neutr os. El número de recombinaciones Z rec en el gas por unidadde volumen y de tiempo esta dado por
i n e n r rec Z
En la anterior ecuación, r es una constante denominada coeficiente derecombinación, n e y n i son las densidades de los electrones y los ionesrespectivamente.Suponer que el tiempo t=0, se conecta el ionizador externo y lasdensidades de los electrones y de los iones son nulas. La densidad deelectr ones n e (t) depende del ti empo según la ecuación:
bt tagh αo n (t) e n
n o , a y b son constantes y tagh es la tangente hiperbólica.
Al actuar el ionizador en el seno del gas aparecen iones al mismo tiempo una parte deellos desaparece por recombinación En un principio se producen más iones quedesaparecen, pero a medida que su número crece aumenta la recombinación por lo quetras un tiempo grande, su número permanece constante.La velocidad de variación de la densidad de los iones (o de los electrones) con respectodel tiempo vale;
A1. Expresar n o , a y b en fu nción de Z ext y de r .
-
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ieextrecext nnr ZZZdt
dn
Como se producen los mismos iones que electrones, ne=ni = n(t), al sustituir en laecuación anterior
2
oext
2
ext bt)taghar(nZnr Zdt
dn
Según el enunciado en el tiempo t=0, no hay ni iones ni electrones, por tanto no =0.Cuando transcurra un tiempo grande, t , y ya no varíe la densidad de electrones
sino que se mantiene constante 0dt
dn .
r
Zaar Z
0e
0ear Z
ee
eear Z bttaghar Z0
ext2
ext
2
2
ext
2
2
ext
22
ext bt
bt
bt bt
bt bt
b?
Suponer que existen dos ionizadotes disponibles. Cuando el primerofunciona la densidad de electrones en el gas alcanza un valor deequi li brio de n e1 =12.10 10 cm -3 . Cuando lo hace el segundo el valor deequi l ibrio para la densidad de electrones es n e2 =16.10 10 cm -3 .
Cuando funciona el primer ionizador y se alcanza el equilibrio.
:r
Zan;
r
Za
1
ext
e1
1
ext
Cuando funciona el segundo ionizador y se alcanza el equilibrio.
:r
Zan;
a
Za
2
ext
e2
2
ext
Cuando funcionan los dos ionizadotes simultáneamente
3112102102e2
2
e1e
2
e2
2
e1
2
ext
1
ext2
e
2
ext
1
ext
e
2
ext
1
extext
cm2.1016.1012.10nnn
nnr
ZZn
r
ZZan;
r
ZZ
r
Za
A2. Enco ntrar la densid ad de electron es n e en el equi l ibr io s i los dosionizadores externos func ionan simultáneamente.
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¡Atención! A continuación se supone que el ionizador
externo está funcionando durante un largo periodo de
tiempo de modo que el proceso se encuentra en estado
estacionario , esto es, no depende del tiempo. No se considera
el campo eléctrico de los portadores de carga.
Se supone que el gas l lena un ci l indro que tiene dos platos conductoresen sus extr emos de área S cada uno y separados entre sí una distancia
S L . Por medio de los platos se aplica al ci l indro un voltaje U quecrea un campo eléctr ico E entr e los mencionados platos. Admi ti r que lasdensidades de ambas clases de cargas permanecen prácti camente
constantes a lo largo del cil indro.Debido al campo eléctr ico E, ambos por tadores de cargas (electrones, e,e iones i) tienen la misma velocidad v proporcional al campo v= E,
expresión en l a que es una constante llamada movil idad de la carga.
En el estado de equilibrio dentro del cilindro se están produciendo electrones por unidad
de tiempo: Zext LS. En esa unidad de tiempo desaparecen por recombinación Z rec LS, yademás existe una intensidad de corriente Ie. Si n representa los electrones quedesaparecen al llegar al ánodo (electrodo positivo) que forman parte de la intensidad dela corriente, la carga es ne y por definición de intensidad
e
I
t
n
t
neI ee
El balance por unidad de tiempo en el estado estacionario es:
e
ISLnnr
e
ISLZSLZ eie
e
recext
Como se producen los mismos iones que electrones, el argumento anterior sirve para los
iones
e
ISLnnr
e
ISLZSLZ iie
i
recext
La intensidad de la corriente electrónica esEβSe
InEβSenvSenI eeeee y la
de la corriente iónicaEβSe
InEβSenvSenI iiiii
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores y sumándolas
A3. Exp resar la corrien te eléctric a I en el cil ind ro en fun ción de U, , L,S , Z ext , r y e ( e = carga elemen tal de electricid ad)
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2eII
EβSe
IISLr SLZ
e
II
EβSe
I
EβSe
ISLr 2SL2Z ie
2
ie
ext
ieie
ext
Designamos con I a la intensidad total y como la contribución de la corriente electrónicay la iónica son iguales, resulta que
2
IIIIII ieie . La relación entre el
campo E y el voltaje aplicado es U = E L, sustituyendo en la última ecuación
0SLZIe2
1ISUβe4
Lr
2e
I
SUβe4
ILr
2e
I
UβeS
4
ILr
SLZ ext2
222
3
222
23
2
2
ext
L
Resolviendo la ecuación de segundo grado
3
22
ext
4
22
22
3
ext22
3
222
3
ext22
3
222
3
ext222
3
2
Lr
Uβ
ZLr 411-SUβe
SUβe
Lr
SLZSUβ
Lr 4
11I
SUβe2
Lr
SLZSUβ
Lr 41
e2
1
e2
1
SUβe2
Lr
SLZSUβe4
Lr 4
e4
1
e2
1
I
I tiene que ser positivo por ello se ha elegido el término positivo en la solución.
Si el voltaje aplicado U es suficientemente pequeño 1Uβ
ZLr 422
ext4
, aproximamos el
término de la raíz cuadrada de la ecuación anterior a:
A4. Encontrar la resist iv idad gas cuand o el vol taje apl icado seasu ficien temen te pequeño y expres arlo en func ión de , L , Z ex t , r y e.
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ULr
Zr Sβe2Zr Uβ
L2
Lr
SUβeI
Zr Uβ
L2asaproximamo
Uβ
ZLr 41
ext
ext
2
3
22
ext
2
22
ext
4
La última ecuación es la ley de Ohm I=U/R, de donde deducimos R
extext
gas
ext
gasZ
r
βe2
1
rZβe2
r ρ
Zr Sβe2
Lr
S
Lρ
I
UR
Parte B. Descarga en un gas automantenida
En esta parte del problema se considera cómo la ign ición de unadescarga del gas automantenida conduce a que la corr iente eléctr ica enel ci l indro sea automantenida.
¡Atención! En lo que sigue se supone que el ionizador
continua funcionando con la misma rapidez Zext , se desprecia
el campo eléctrico debido a los portadores de carga por lo
que el campo eléctrico a lo largo del cilindro es uniforme y
la recombinación no se tendrá en cuenta.
En la descarga del gas automantenida existen dos procesos importantesque anter iormente no se habían considerado. El primero es la emisiónsecundaria de electrones y el segundo la formación de una avalancha deelectrones.
La emisión secundar iaocurre cuando los
iones chocan con elelectrodo negativo,l lamado cátodo, y loselectrones rebotanhacia el electrodopositivo, llamado
ánodo. El cocienteentre el número de
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electrones que rebotan por un idad de tiempo Ne, y los que chocan contr ael cátodo Ni es el denominado coeficiente de emisión electróni ca
secundariai
N e N γ .
La formación de la avalancha electrónica se expl ica a continuación. Elcampo eléctr ico acelera a los electrones l ibres, los cuales adquieren lasuf iciente energía cinética para que al chocar contr a los átomos del gaslos ionicen, y como resultado de este proceso, el número de electronesque se desplazan hacia el ánodo aumenta considerablemente. Esteproceso se descri be mediante el denominado coefi ciente de Townsend ,el cual caracter iza un i ncremento en el número de electrones dN e ,debido a los electrones N e que han atravesado la distancia dl
e N αdl e dN
La corr iente total I en una sección normal del cil indro que contiene elgas es la suma de dos corr ientes: una ióni ca I e (x) y una electrónica I e (x).En el estado estacionar io esta última corriente depende de la coordenadax, véase la f igura superior .La corr iente electrónica I e (x) varía a lo largo del eje X según la ecuación
2
x 1
A
1 Ae C (x) e I
Siendo A 1 , A2 y C 1 constantes.
Designamos con (x)Ie la intensidad eléctrica debida a los electrones a la altura x de la
sección del cilindro y dx)I(x la intensidad a una distancia dx de la anterior.
La intensidad dx)I(x > (x)Ie ya que por una parte se han producido nuevos
electrones debido al ionizador externo (Zext) y por otra a los que aparecen debido alefecto de avalancha (efecto Townsend)..
Los electrones viajan a una velocidad v y emplean un tiempo dt en recorrer la distanciadx.. El cociente I/e representa el número de electrones por unidad de tiempo, luego elnúmero de electrones en el tiempo dt es:
dtdxdx
(x)dI
e
1dt
e
I(x)dx)(xIdN eee
(1)
Zext representa el número de electrones (también de iones) que el ionizador externo produce por unidad de tiempo y de volumen, por tanto, en el tiempo dt y en el volumen
Sdx, se producen :los siguientes electrones: dtSdxZdN extext
e .
B1. Encont rar A 1 y A 2 y expresar las en func ión de Z ext , , e, L y S
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Debido al efecto de avalancha y de acuerdo con la ecuación el enunciado:dx NαdN e
α
e
Recordemos que la densidad electrónica es el número de electrones por unidad devolumen, que dx= v dt y que I = ne e S v
dtdxe
(x)IαvdtdxSnαdN
dxS
Nn ee
α
e
e
e
Llevando los resultados de los dos efectos a la ecuación (1) resulta:
(2) (x)IαSeZdx
(x)dI
e
(x)IαSZ
dx
(x)dI
e
1eext
ee
ext
e
Según el enunciado del apartado
x1Ax
1A
eACdx
(x)dIAeC(x)I 11
e21e
Sustituyendo en la ecuación (2)
21ext11 AαeCαSeZeACx1Ax
1A
Para que la igualdad se cumpla
α
SeZAAαSeZ
AαeCαeAC
ext
22ext
1111
x1Ax
1A
La corr iente iónica I i varía lo lar go del eje X según la ecuación
2 x B
1 C e B (x) I 2
i
Siendo B 1 , B 2 y C 2 constantes.
La intensidad de corriente iónica Ii es, en valor absoluto, igual a la intensidad decorriente electrónica Ie, ya que el ionizador externo produce los mismos electrones queiones (véase la parte A del problema), la velocidad de los electrones y de los iones seconsidera igual (véase el enunciado anterior a la pregunta A3), y en el fenómeno de laavalancha, cada electrón al chocar con un átomo neutro da lugar a un electrón y a unión. La diferencia es que la corriente electrónica se desplaza en el sentido positivo deleje X, y la iónica en sentido contrario. Este paralelismo nos permite escribir
(x)IαSeZ
dx
(x)dIeext
i
B2. Encont rar B 1 y B 2 y expresar las en func ión de Z ext , , e, L, S y C 1
-
8/16/2019 45, Olimpiada Internacional Agrupado (2)
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José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .
Madrid 2014
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Hallamos la derivada de Ii(x) respecto de X y sustituimos en la ecuación del enunciado
21ext2121
i AαeCαSeZeBBeBBdx
(x)dI x1Ax
2Bx
2B
En la última ecuación sabemos que 2ext1 AαeSZyAα , luego.
111112
12121121
CBCααByαAB
xAxByCαBBeCαeBBx1Ax
2B
1
Los iones se mueven hacia el electrodo negativo (cátodo) y son rechazados por elelectrodo positivo (ánodo), en consecuencia no puede haber corriente registrada en este
electrodo:0(L)I i .
Cuando x=0 nos encontramos en el cátodo donde llegan los iones positivos que alchocar contra el electrodo dan lugar a electrones que justamente lo abandonan. El
enunciado nos dice la relación γ N N N Nγ ie
i
e , como la intensidad es
proporcional al número de electrones por unidad de tiempo, podemos escribir laecuación
(x)Iγ(x)I ie
La intensidad total es la suma de las intensidades iónica y electrónica cuyas ecuacionesestán dadas en el enunciado
2121ei AeCCeB(x)I(x)II
x1Ax
2B
Hemos visto que: αB,CB,α
SZeAα,A 211
ext
21
α
SextZe
Cα
SextZexα
eCCxα
eCI2121
Cuando x =L , Ii(L)=0
B3. Enco ntrar el valor de I i
x c uando x= L
B4. Encon trar la relación de I i (x) y I e (x) cuand o x= 0
B5. Enco ntrar la corr iente total I y expresar la en función de Z ex t , , , e,L y S. Se sup one qu e permanece f ini ta.
-
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(3)e
CCeCe-BCCeB0(L)I
αLαLL2
BL2B
2
111221i
Cuando x=0, (0)Iγ(0)Iie
)4(
γ1α
SeZ
1
CγC
α
SeZCγγ1CCCγACCBγAC
ext2
1
ext
2121212121
Igualando (3) y (4)
γγ1e
1
α
SZe
eγγ1
e
α
SZeC
eα
SZeeγγ1Ceγ1α
SZe
γ1
eγ1Cγ1α
SZe
γ1
Cγ
e
C
Lα-Lα
Lα
LαLαLαLα
Lα
extext
2
ext2ext2ext22
Llevando el valor de C2 a la intensidad total, resulta:
)5(1
γγ1Lα-
e
1
α
SextZe
α
SextZe
γγ1Lα-
e
1
α
SextZe
I
Sea el coeficiente a de Townsend constante. Si la longi tud del cil indrocrece y se alcanza un valor crítico LC >L , entonces el ionizador externopuede desconectarse y la descarga es automantenida.
De la ecuación (5) se deduce que si la longitud del cilindro aumenta, el denominador dela fracción que figura dentro del paréntesis cuadrado puede hacerse negativo lo cualconlleva a valores de I negativos, lo cual carece de sentido para una descarga con elionizador externo funcionando.
Townsend propuso que el paso a la descarga automantenida se produce cuando
B6. Encont rar LC y expresar su valor en fun ción de Z ex t , , , e , L y S
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34
γ
11lnα
1Lγ
γ1lnLα
γ
γ1Lαe
γ1
γ
Lαe
1
γ1
γLαe0γγ1
Lαe
CC
C
C
CC