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8/13/2019 4 - Introduccin a la Geoestadstica Minera
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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade
GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA
Ing. ROBERTO BRUNO - [email protected]
Consu ltor INTERCADE
Junio 2008
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERA
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERA
De la Variable Regionalizada a la Funcin
Aleatoria
La variabilidad espacial. Variables aleatorias.
Funciones Aleatorias.
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El enfoque probabilistaLa VR es considerada la realizacin de una Funcin
Aleatoria (FA)
Una FA Z(x)es un conjunto de VA Z(x1), Z(x2), ..., siendodefinida por la ley multivariable
Cada VA tiene una propia distribucin (marginal), FZ1,FZ2, , as como correlaciones entre ellas.
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MINERADe la VR a la FA: Funciones Aleatorias
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]z)Z(x,,z)Z(x,z)prob[Z(x)z,,z,(zFkk2211k21Z,,Z,Z k21
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El Abordaje Probabilista
La interpretacin probabilista de las VR no corresponde a algunarealidad fsica.
Sirve porque sin herramienta probabilista (quiere decir utilizando
solamente modelos empricos o determinsticos) no se pueden
resolver los problemas tpicos de los georecursos.
Pero son necesarios los modelos, que tiene que seridentificados por los datos.
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Qu Modelos?
Tericamente el modelo completo es la ley espacial FZ(x)(z), perono es estimable por una suena realizacin, de ms conocida slo enpocos puntos.
Es necesario simplificar el modelo con hiptesis compatibles,
considerado que lo modelo tiene que ser:
estimable - en sus parmetros.
operacional - en los clculos de las soluciones.
significativo - en la variabilidad espacial de la VR.
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Los modelos tiles
Conforme el problema
Para estimaciones lineal (la mayora) slo necesitan
los primeros dos momentos.
m(x)=E[Z(x)] s x1x2=E[Z(x1),Z(x2)]-m(x1)m(x2)
Para simulaciones y estimaciones no lineal es necesario la
ley de dos variables de los pares Z(xi), Z(xj)
F(Zi,Zj) =Prob{Z(xi)zi;Z(xj)zj}
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Los modelos de baseEl problema metodolgico: elegir y caracterizar el modelo apartir de una realizacin nica muestreada.
Consideracin: los problemas son locales; as lasestimaciones interesan slo una vecindad.
Cuando las estimaciones interesan todo el campo, la misma
vecindad se desplaza por el campo: es la vecindad mvil.
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El modelo estacionarioEl modelo estacionario
El modelo de FA ms favorable es la FA Estacionaria (FAEs),tericamente definida como invariante para cualquier traslacin
h.
FZ(x1),Z(x2),,Z(xk)(z1, z2, , zk) = FZ(x1+h),Z(x2+h),,Z(xk+h)(z1, z2, , zk).
En la mayora de los casos las caractersticas de las vecindades
muebles son las mismas: cada vecindad puede ser considerada
una realizacin de la FA modelo.
La estacionariedad es fundamental para la estimacin de los
parmetros de la FA por una nica realizacin.
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Los momentosLos momentos tiles: media y varianzatiles: media y varianza
No necesitamos en practica de toda la ley, pero s de los
primeros dos momentos.
Momento primero (media).
E[Z(x)] = m(x)
Momento segn (covarianza espacial).Cov{ Z(x),Z(x+h) } = E{ [Z(x)-m(x+h)] [Z(x)-m(x+h)] } =
= E{ Z(x)Z(x+h)} - m(x)m(x+h) = C(x,h)
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Los momentos tiles: el variogramaSe trata de la funcin ms utilizada en Geoestadstica
Incremento entre dos variables alejadas de h
Z(x+h) - Z(x)
Variograma: semivariancia del incremento:
(x,h) = 1/2 Var{ Z(x) - Z(x+h) } == E{ [Z(x)-Z(x+h)]2[m(x)-m(x+h)]2
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Los momentos de una FAEs
Cada VA tiene misma ley y:
Meda y covarianza espacial son independiente dex:
Si la C(h) existir:
llamada varianza a priori
( )[ ] ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )hChxChxZxZCov
mxmxZE
==+
==
,,
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xZVarCxZxZCov ==+ 00,
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La funcin covariancia de una FAEs
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Mide la correlacin, el grado de semejanza entre dos VA (de la FA)
alejadas de h.
Al crecer de h, la correlacin
diminu, hasta anularse.
La distancia a la que C(h)=0,
llamase alcance
(range, porte)
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ElEl
variogramavariograma
de unade una
FAEsFAEs
Desaparece el punto de x
La meda del incremento es nula:
El variograma solo depende de h
Mide la disigualdad entre dos VA (de la FA) alejadas de h.
( ) ( )[ ] 0==+ mmhxZxZE
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )hhxZxZEhxhxZxZVar =+==+2,
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Variograma y covarianza:
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Representan dos caras (momentos segundos) de la
misma medalla (la FA)
g(h)ser siempre limitado por la
varianza a priori C(0)
El valor mx. constante
llamase meseta
(sill, palier)
( ) ( ) ( )hCCh = 0
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El modelo no estacionarioEl modelo no estacionario
Por regla general la FA no es estacionaria, tampoco de la
segunda orden:
E[Z(x)] = m(x) Trend, deriva;
E{ Z(x)Z(x+h)} - m(x)m(x+h) = C(x,h)E{ [Z(x)-Z(x+h)]2 - m(x)m(x+h) = (x,h)
No es posible la inferencia de los dos momentos a partir
de la nica VR.
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Las flotaciones estacionaras
Las flotaciones alrededor de la meda:
Si las flotaciones fuere estacionaras, es posible,tericamente calcular las covarianzas de la FA, pero
conociendo la funcin meda verdadera m(x)
Cov{ Z(x),Z(x+h) } = E{ [Z(x)-m(x+h)] [Z(x)-m(x+h)] } =
= E{ Y(x)Y(x+h)} = C(h)1/2Var{ Z(x)-Z(x+h) } = 1/2Var{ Y(x)-Y(x+h) } = (h)
( ) ( ) ( )xmxZxY =
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Las flotaciones estacionaras
La deriva no es conocida, pero puede ser estimada:
m*(x) - m(x) = e(x)
As, tambin las flotaciones pueden ser estimadas (residuos).
Y*(x) = Z(x) m*(x)
La covarianza y los variogramas obtenidos son sesgados:
CY*(h) C(h) y*(h) (h)Si el error fuere pequeo en comparacin la m(x), laaproximacin es posible.
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De la VR a la FA: Funciones Aleatorias
El modelo intrnseco de orden k
Una FA es intrnseca de orden ksi existe una
combinacin lineal que filtre cualquier polinomio de
grado menor o igual a k.
En practica es suficiente conocer la forma de la deriva
m(x), ej. polinomial, para poder construircombinaciones lineal autorizadas al grado k, kZ
m(x)= a0+a1x++akxk = l=0,kalxl aldesconocidos xl = 0 l k
kZ = Z(x)
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A covarianzaA covarianza generalizadageneralizada
Una vez identificados los coeficientes de la combinacin
lineal autorizada, la varianza del incremento de grado kes
una combinacin lineal de una funcin de auto correlacinespacial llamada Covariancia Generalizada, K(h)
E[kZ] = 0Var{ kZ } = E[ (kZ)2] = K(h)
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MINERADe la VR a la FA: Funciones Aleatorias
Cul modelo de FA no estacionara?
El modelo correcto es el de la FAI-k, porque es posible
conocer la funcin de variabilidad espacial no sesgada.
Es posible trabajar con deriva y residuos cuando la
aproximacin del variograma de los residuos al variograma de
las flotaciones fuera satisfactoria.