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3Integración en el Campo
Complejo
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2
3.1 Integral compleja de línea
.cuando0donde
)(lim:)(1
n z
z z f dz z f k n
k
k n
B
A
),(),()( y xiv y xu z f
yi x z k k k
Observa que la integral NO es el área bajo la curva.
El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”.
Los Δz actúan como vectores, no como longitudes.
Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?
1 x
1 z A
B
1 z
2 z
n z
x
y
2 z
n zn y
-
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3
Conexión entre integrales de línea reales
y complejas
C C
C C
C C
dx y xvdy y xui
dy y xvdx y xu
idydx y xiv y xudz z f
),(),(
),(),(
])][,(),([)(
Con C indicamos el camino de la integral de línea.
-
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4
)(
)(
)(
)(
)](')(')[(
)()(
Bt
At
Bt
At C
dt t iyt xt f
dt dt
dz t z f dz z f
Integración de funciones complejas
parametrizadas
Arco suave C de A a B: )()()( t iyt xt z
Parametrización continua con t(A) t t(B) y con derivadasx’(t) e y’(t) continuas.
dt
t dyi
dt
t dx
dt
t dz )()()(
-
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.41,,3 pordadoestádonde
:Evalúa
2
t t yt xC
dz z C
idt t idt t t
dt it it t dz z
it t it t t z f
it t z it t t z
C
651953)92(
)23)(3( que,modoDe
33))((
23)(',3)(
4
1
24
1
3
4
1
2
22
2
Ejemplo 1
Solución
-
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Evaluar , donde C es el contorno de la figura C dz iy x )( 22
C 1 está definida por y = x = t , entonces z (t ) = t + it , con 0 t 1,
z ’(t ) = 1 + i, f ( z (t )) = t 2 + it 2 :
21
)()()( 222222C C C
dz iy xdz iy xdz iy x
idt t idt iit t dz iy xC 3
2)1()1)(()(1
0
221
0
2222
1
La curva C 2 está definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces:
z (t ) = 1 + it , z ’(t ) = i, f ( z (t )) = 1 + it 2:
iiidz iy x
idt idt t idt it dz iy x
C
C
3
5
3
7)
3
7(
3
2)(
3
7)1()(
22
2
1
2
12
2
1222
2
Ejemplo 2
Solución
-
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Calcular la integral Donde C es el arco de
circunferencia , orientado positivamente. C dz z z z
2
))arg(0( ,1 z z
3
8
3
1
1
1
0
3
0 0
322
ii
iiii
C
i
ee
d eeid eiedz z z z
e z z
Ejemplo 3
Solución
-
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8
Camino o contorno simple cerrado
Es un contorno que
genera dos
dominios:
uno acotado
(interior)
y otro no acotado(exterior). Ambos
dominios tienen al
contorno como
frontera.
Camino o contorno
no simple cerrado
-
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9
Se dice que la integración se lleva a cabo en sentido
positivo alrededor del contorno C cuando el interior
queda a la izquierda del sentido de circulación.
C C dz z f dz z f )()(Para no recargar con símbolos
La integración se lleva a cabo en
sentido negativo si ocurre lo contrario. C C dz z f dz z f )()(
C C dz z f dz z f )()(Se cumple que:
-
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10
Propiedades de las integrales de contorno
constante ,)()( k z d z f k z d z f k C C C C C z d z g z d z f z d z g z f )()()]()([
,)()()(21
C C C z d z f z d z f z d z f
,)()( C C dz z f dz z f
-
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11
Integrar la función
a lo largo de la circunferencia: | z| = r
z z f /1)(
Ejemplo 4
Introducimos un parámetro t
variando entre 20 t
idt i
dt erire
dt dt
dz t z f dz z f
t i
t i
C
2
1
)()(
2
0
2
0
2
0
t i
ret z C )(:
Nota: podríamos haber usado
t it r t z C sincos)(:
y
xr
C
Ejercicio: repetir con esta forma.
i z dz
C 2
Solución
-
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12
Integrar la función
a lo largo del cuadrado
z z f /1)(
Ejemplo 5
Introducir un parámetro t
variando entre 11 t
y
x
i1
i1
i1
i1
1C
3C
2C
4C
1
1
2424
1
1
2323
1
1
2222
1
1
2121
1,
1
1)(,1,)(:
1,
1
1
1
1)(,,1)(:
1,
1
1)(,1,)(:
1,
1
1
1
1)(,,1)(:
dt t
it I
t
it
it t z f
dt
dz it t z C
dt t
it I
t
it
it t z f i
dt
dz tit z C
dt t
it I
t
it
it t z f
dt
dz it t z C
dt t
it I
t
it
it t z f i
dt
dz tit z C
1
1)()( dt dt
dz
t z f dz z f C
Solución
-
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13
y
x
i1
i1
i1
i1
1C
3C
2C
4C
i
i
t i
dt t
idt t
t
dt
t
it dz z f
C
2
4/4/4
arctan4
1
1
14
1
4)(
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
i z
dz
C 2
0 (integrando impar en
intervalo de integración par)
-
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14
z z f /1)(
Ejemplo 6: Repitamos trasladando el circuito de integración.
11 t
1
1
2424
1
1
2323
1
1
2222
1
1
2121
)2(1
)2(,
)2(1
2
2
1)(,1,2)(:
9
3,
9
3
3
1)(,,3)(:
)2(1
)2(,
)2(1
2
2
1)(,1,2)(:
1,
1
1
1
1)(,,1)(:
dt t
it I
t
it
it t z f
dt
dz it t z C
dt t
it I
t
it
it t z f i
dt
dz it t z C
dt t
it I
t
it
it t z f
dt
dz it t z C
dt t
it I
t
it
it t z f i
dt
dz it t z C
1
1)()( dt dt
dz
t z f dz z f C
x
i1
i1
i 3
i 3
1C 3C
2C
4C
y
Integrar la función
a lo largo del cuadrado
Introducir un parámetro t
variando entre
Solución
-
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15
Usando las relaciones22
22
22
)(ln)(
)(
arctan1
)(
t bat ba
dt t b
a
bt
at ba
dt
obtenemos
0C
z
dz
x
i1
i1
i 3
i 3
1C
3C
2C
4C
y
Donde C ahora es el “cuadradounitario” anterior desplazado
a la izquierda 2 unidades.
-
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0C
z
dz C
i z dz
C
2C
0C
z
dz C
0C
z dz
C
0C
z dz
C
0C
z dz
C
Observa que:
-
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17
0C
z
dz C 0
C z
dz
C
i z
dz
C
2
0
C z dz C
0C
z
dz
0
C z dz
C C
C
-
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18
C dz z f 0)(C
3.2 Teorema integral de Cauchy
Si f ( z ) es analítica con derivada
continua en todos los puntos dentro ysobre un contorno cerrado C, entonces:
0C z
dz
C
f ( z ) es analítica en todo punto
excepto en z = 0
0C
zdze
f ( z ) es analítica en todo punto
C
Ejemplos:
-
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19
Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el
Teorema de Green1 (1828)
y
Q
x
Q
y
P
x
P
y xQ y x P
y,,),,(),,(Sean
continuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:
dxdy y
P
x
Qdy y xQdx y x P
C DC
),(),(
1George Green (1793-1841) Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.
Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la
figura.
0 x 1 x
1 y
0 y1C
2C
3C
4C
.),(),(
),(),(
),(),(
31
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
10
01
C C
x
x
x
x
x
x
R
x
x
y
y
dx y x P dx y x P
dx y x P dx y x P
dx y x P y x P
dxdy y
P dxdy
y
P
-
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20
cC C
C C R
dx y x P dx y x P dx y x P
dx y x P dx y x P dxdy y
P
),(),(),(
),(),(
42
31
Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3
y C1no tienen variación en y, obtendremos:
c R
dy y xQdxdy y
Q),(
Y eso completa la demostración para un contorno rectangularrecorrido en sentido positivo.
Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:
0),(;0),(42 C C
dx y x P dx y x P
-
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21
...)()()(21
C C C Qdy PdxQdy PdxQdy Pdx
Podemos usar infinitos rectángulos
para recubrir “exáctamente” el área de R.
1C
2C
Recorriéndolos como indica la
figura superior, se compensan
las integrales en los caminos
“horizontales”...
-
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22
Demostración del teorema integral de Cauchy:
C C C C
C
dy y xuidx y xvidy y xvdx y xu
dz z f
),(),(),(),(
)(
),(:),(
),(:),(
y xv y xQ
y xu y x P
),(:),(
),(:),(
y xu y xQ
y xv y x P
0
dxdy y
v
x
uidxdy
y
u
x
v D D
0
(Como f(z) es analítica cumple las ECR)
Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales
continuas en todos los puntos dentro y sobre C:
-
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23
3.3 Primitivas (integrales indefinidas)
Sea f(z) una función continua en un dominio D. Una primitiva de
f(z) es una función F(z) tal que F’(z) = f(z) en todo z de D.
Nótese que la primitiva es necesariamente una función analítica.
Además la primitiva de una función f dada es única salvo por una
constante aditiva compleja.
Teorema. Sea f(z) una función cotinua en un dominio D. Lassiguientes propiedades son equivalentes entre sí:
i. f(z) tiene una primitiva F(z) en D.
ii. Las integrales de f(z) sobre caminos contenidos en D, con punto
inicial z1 y punto final z2 tienen todas el mismo valor.
iii. Las integrales de f(z) sobre caminos cerrados contenidos en Dtienen todas valor cero.
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24
Ejemplo 1.
Calcular
Solución
La función es continua en todo el plano complejo y admite
la primitiva en todo el plano. Por lo tanto:3/)( 3 z z F
2)( z z f
)1(3
2
0
1
3|
1
0
32 i
i z
dz z
i
i
dz z
1
0
2
-
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25
Ejemplo 2.
Calcular , con c:
Solución
La función es continua en todo el plano complejo excepto
en el origen, tiene primitiva a en el dominio |x| > 0 (todo el
plano salvo el origen). En consecuencia
02 c z dz ,2 ie z
2/1)( z z f
z z F /1)(
02
c z
dz
-
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26
C dz z f 0)(
3.4 Teorema integral de Cauchy-Goursat
Si f ( z ) es analítica en todos los puntos dentro y sobre uncamino cerrado simple C, entonces:
Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy.
Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la
restricción alguna sobre la derivada de f(z).
Ejemplos
-
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27
?cos
1
2
C
dz z
f ( z ) es no analítica en z = /2, 3/2, ...
03
sin3
1
C
z
dz z
z e
0cos
1
1
C
dz z
f ( z ) es no analíticaen z = 3
?3
sin3
2
C
z
dz z
z e
Ejemplos
2C
1C 1C
2C
0)sin(
1 dz z
C
No es analítica en los
puntosz = 0, 1, 2,... 0 1 2-1-2
C2i
-
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28
Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la
desigualdad ML :
MLdz z f C
)(longitud
de C
cualquier número tal que
sobre C M z f )(Demostración:
n z
z z f dz z f k
n
k
k n
C
cuando0donde
)(lim)(1
Cotas para integrales
de línea.
-
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29
C.delongitudlaesLdonde;lim1
L z dz n
k
k n
C
Observemos que si |f(z)|=1, entonces:
Por la desigualdad triangular, tenemos:
C
k
n
k
k n
k
n
k
k n
C
dz z f z z f z z f dz z f )()(lim)(lim)(11
C C
dz z f dz z f )()(
-
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30
Supongamos que: si z es un punto de C.
Entonces:
ML z M z z f
z z f dz z f
n
k
k n
k
n
k
k n
k
n
k
k n
C
11
1
lim)(lim
)(lim)(
MLdz z f C
)(
M z f )(
Desigualdad ML
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31
Ejemplo:
Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:
donde C es el círculo | z | = 4.
zd z
eC
z
1
Puesto que | z +1| | z | − 1 = 3, entonces:
Además, |e z | = e x , con |z| = 4, y tenemos
que el máximo valor de x es 4. Así:31
4e
z
e z
3
8
1
4e z d
z
eC
z
3
||
1||
||
1
z z z e
z
e
z
e
R L
M z f
2
)(
-
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32
Demostrar la siguiente desigualdad:
4 Log
2
zdz
Im(z)
1
Re(z)
Respuesta.
L: longitud del arco:
M: max |Log z|Γ
ML zdz Log
2
L
2
20 ,Log
arglnLog
M
i z
z i z z
4 Log
2 zdz
-
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33
A
4
32
1
BC
DE
F
Demostración del teorema de
Cauchy-Goursat para camino
triangular cualquiera:
Sea el camino triangular ABCA.
Trazamos un triángulo auxiliar
EFD a partir de los puntos medios
de los lados del triángulo ABC.
Entonces:
E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2
dz z f dz z f dz z f dz z f dz z f
ABCA
4321
)()()()()(
-
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34
dz z f dz z f dz z f dz z f dz z f ABCA
4321)()()()()(
Aplicando la desigualdad triangular:
dz z f dz z f ABCA 1
)(4)(
Sea},,,max{: 4321
1
Entonces:
Repitiendo el proceso con el triángulo 1
dz z f dz z f ABCA
2
)(4)( 2
-
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35
Después de n pasos, tendremos:
dz z f dz z f n
n
ABCA
)(4)(
Hemos construido una sucesión de triángulos encajados:
n
ABC ,...,,,, 321
gracias al principio de Cantor de compactos encajados:
existe un punto z0 que pertenece a todos ellos.
Y puesto que z0 está dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z 0. Entonces:
))(())(()()( 0000 z z z z z z f z f z f recordemos que (z) depende de z y que (z) 0 cuando z z 0; es
decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z)siempre que z - z 0.
1
0}{n
n z
-
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36
1)( z g 0)( z z z g
Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadascontinuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.
nn
dz z z z dz z f ))(()( 0
nnnn
dz z z z dz z z z f dz z f dz z f ))(()()()()( 0
0
00
0
0
-
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37
Si P es el perímetro de ABC , entonces el perímetro n será:
nn P P 2
n z
0 z
nn
P P z z
2|| 0
L
n
M
n
P P dz z z dz z f
nn 22)()( 0
Usando la desigualdad ML:
n
P dz z f
n 4)(
2
-
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38
Teníamos:
dz z f dz z f n
n
ABCA
)(4)(
22
44)( P
P
dz z f nn
ABCA
0)( ABCA
dz z f
Y como se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:
-
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39
Puesto que todo polígono cerrado se
puede triangular, aplicando elteorema de Couchy-Goursat a cada
triángulo podemos demostrar el
teorema para un polígono cerrado
arbitrario.
A
B
C D
E
n z z 0
1 z
2 z1n z
Intentaremos aproximar una curva
arbitraria a través de un polígono
cerrado P de vértices z0, z1, z2, ...
zn-1, zn= z0, tal y como hicimos
para definir la integral de líneacompleja.
-
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40
nS
k
n
k k
nC z z f dz z f )(lim)( 1
Recordemos que:
Para n finito, estamos
aproximando la curva cerradacon un polígono P cerrado de n
lados y de perímetro S n.
nC nC S S dz z f dz z f )()(
Obviamente:
n
C n
C S S dz z f dz z f
)()(
Usando la desigualdad triangular:
1 2
Acotaremos y1 2
-
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41
C nS dz z f )(
Comencemos con 1
C nn dz z f S )(:lim
Entonces, dado cualquier > 0 existe un número N() tal que para n > N():
2)( C nS dz z f
-
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0)}()()({
...)}()()({
)}()()({
)(...)()(
0)(
1
2
1
1
0
1
2
1
1
0
22
11
n
n
n
n
z
z nn
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
P
dz z f z f z f
dz z f z f z f
dz z f z f z f
dz z f dz z f dz z f
dz z f
nS Sigamos con acotemos:2
-
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n
n
n
n
n
z
z
z n
z
z n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
dz z f dz z f z f
dz z f dz z f z f
dz z f dz z f z f
11
2
1
2
2
1
1
1
0
1
0
)()}()({
...)()}()({
)()}()({0
22
11
0)}()({
...)}()({)}()({
1
2
1
1
0
21
n
z
z n
z
z
z
z
S dz z f z f
dz z f z f dz z f z f
n
n
-
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44
n
n
z
z n
z
z
z
z n
dz z f z f
dz z f z f dz z f z f S
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
n
n
z
z n
z
z
z
z n
dz z f z f
dz z f z f dz z f z f S
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Utilizando la desigualdad triangular:
Multiplicando por – 1 y cambiando el signo de los integrandos:
-
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45
k
k
z
z k dz z f z f
1
)}()({Para cada una de las k integrales
(k=1,2, ..., n) usaremos la
desigualdad ML.Observemos que la “longitud” de cada integral es:
11
k k
z
z z z dz
k
k
Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemostomar el N() de lo suficientemente grande como para que conn > N() la distancia entre f(zk ) y f(z) esté por debajo de /2P, paratodo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos
acotar todos los integrandos:
P z f z f k
2)()(
1
-
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46
De modo que:
n
n
z
z n
z
z
z
z n
dz z f z f
dz z f z f dz z f z f S
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Teníamos:
2
...
2
11201
P
nnn z z z z z z
P
S
-
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47
22)()( nC nC S S dz z f dz z f
Recopilando:
Puesto que es arbitrario, entonces:
0)( C dz z f
-
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48
Ejercicio
-
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49
3.5 Dominios simplemente y multiplemente conexos
Un dominio D se dice que es simplemente conexo si todo camino
cerrado simple contenido en él encierra sólo puntos de D. Cuando
un dominio no es simplemente conexo, se dice que es
multiplemente conexo.
El disco: |z-1| < 2, es simplemene conexo, mientras el anillo:
1
-
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50
Principio de deformación de contornos
(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).
21
)()(C C
dz z f dz z f
Supongamos que f ( z ) es analítica en un dominio doblemente
conexo D así como en las curvas que lo limitan.
Entonces:
D
1C 2C
Sentido negativo
p
entonces para todo camino C contenido en D, se cumple
0)(
C
dz z f
-
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51
0)(
21
BAC ABC
dz z f
BAC
ABC
dz z f dz z f
dz z f dz z f
)()(
)()(
2
1
BA AB
dz z f dz z f )()(Como:
0)()(
21
C C
dz z f dz z f
0)(21 C C C
dz z f
1C 2C
A
B
Sentido positivo
Nota: Observa que los sentidos en que se
recorren los circuitos en este dibujo y el
anterior, no son los mismos...
-
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52
21 C
z
C
z dz edz eEjemplo 1:
1C 2C
D
(¡obvio!)
21
11
C C
dz z
dz z Ejemplo 2:
(no tan obvio)
Otra demostración
-
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53
0)(,0)(***
ccdz z f dz z f
Otra demostración
Introduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen
los dos contornos.
Sean C * y C ** los dos nuevos contornos
cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4)
y (5-6-7-8), respectivamente.
Ahora f ( z ) es analítica sobre y dentro
de C * y C ** . Por el teorema Integral de Cauchy:
1 L
2 L
**C
*C
1 23
45
6
7
8
Inicio
y
x
Integramos alrededor del dominio D, 1 L y
-
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54
a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así:
21
***
)()(
)()(
)()()(
8,63,1
87654321
C C
C C
dz z f dz z f
dz z f dz z f
dz z f dz z f dz z f
Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan
Pero como las integrales a lo largo de C * y C ** son cero,
entonces:
0)()(21
C C dz z f dz z f con lo que se demuestra el enunciado.
2 L
**C
*C 1 2
3
45
6
7
8
Inicioy
x
¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?
-
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55
¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?
Si uno de los contornos puede
transformarse en el otro mediante
una deformación continua y sin
cruzar ninguna singularidad de
f(z), entonces:
21
)()(C C
dz z f dz z f
y
x
i1
i1
i1
i1
1C
3C
2C
4C
i z
dz
C 2
Recordemos:
Ejemplo
-
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56
Así que como la integral de f ( z ) = 1/ z a lo
largo de un círculo de radio r es 2i:
A partir del teorema integral de Cauchy para dominios
doblemente conexos vemos que la integral de f ( z ) = 1/ z
a lo largo de cualquier camino que contenga este círculoes también 2i.
idz
z C
21
1
z
1 es analíticaaquí
1C
2C
r
Ejemplo
-
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57
C
dz z z dz
)9( 22
Evaluar la integral
f ( z ) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuerade la región sombreada como muestra la figura. Así:
donde C es un círculo de radio 2, centrado en
0, descrito en sentido positivo y un círculo de
radio 1, centrado en 0, descrito en sentidonegativo.
0)9( 22
C
dz z z
dz
Ejemplo
C
0
3i
-3i
1 2
Teorema de Cauchy-Goursat para dominios
-
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58
Teorema de Cauchy Goursat para dominios
múltiplemente conexos
C
n
k C k
z d z f dz z f 1
)()(
Supongamos que C , C 1, …, C n son curvascerradas simples con orientación positiva,
tales que C 1, C 2, …, C n son interiores a C
pero las regiones interiores a cada C k , k = 1,
2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es
analítica dentro y sobre el contorno C, sin el
interior de todos los C k , k = 1, 2, …, n,
entonces:
No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir
-
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59
No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir
que formen anillos. Por ejemplo:
Imaginemos que f(z) es analítica
en todos los puntos del dominio
D de la figura. Tanto C2 como
C3 forman anillos con C1.
Por deformación de
contornos:
2C
1C
D
3C
31
21
)()(
)()(
C C
C C
dz z f dz z f
dz z f dz z f
32 )()( C C dz z f dz z f
Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo
-
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60
Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo
el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que
3,2,1 ,)( k adz z f k C k
siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo.
Calcular, siendo Γi cada uno de los siguientes contornos
orientados positivamente:
(1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1
i dz z f )(
Respuesta:
Por el teorema de Cauchy-
Goursat en dominiosmúltiplemente conexos:
32
21
321
3
2
1
)(
)(
)(
aadz z f
aadz z f
aaadz z f
Independencia del camino de integración
-
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61
Integremos la función a lo largo de
la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.
z z f )(
(1) Representar C en la forma z (t ):
10)( t t it t z
12)(
)1)(()()(
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
t tdt dt t it t it
dt it it dt dt
dz t z f dz z f
C
(2) Integramos: idt
dz 1
y
x
C
i1
0
Independencia del camino de integración
Ejemplo 1
-
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62
z z f )(
10)( t t t z
21102211
0
1
0
)1)((
)()(
t dt t
dt dt
dz t z f dz z f
C
A lo largo de C 2: 101)( t t it z
it it dt it dt it i
dt dt
dz t z f dz z f
C
21
1
0
2
21
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
Integrar la función a largo del camino C = C 1 + C 2que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:
A lo largo de C 1: y
x
i1
0
2C 1C
1
-
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63
1C
dz z
iidz z C
12
1
2
1
¿El valor de la integral entre
dos puntos depende siempre
del camino?
y
x
i1
0
-
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64
Repitamos pero con a lo largo de
la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i.
z z f )(
(1) Representar C en la forma z (t ):
10)( t t it t z
iit tdt i
dt it it dt dt
dz t z f dz z f
C
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
)1)(()()(
(2) Integramos:
y
x
C
i1
0
Ejemplo 2
-
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65
z z f )(
10)( t t t z
21102211
0
1
0
)1)((
)()(
t dt t
dt dt
dz t z f dz z f
C
A lo largo de C 2: 101)( t t it z
it it dt it dt it i
dt dt
dz
t z f dz z f C
21
1
0
2
21
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
Repitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo
del camino C = C 1 + C 2 que une los puntos 0 y 1+ i:
A lo largo de C 1: y
x
i1
0
2C
1C
1
-
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66
i zdz C
ii zdz C
2
121
Ahora el valor de la integral no
depende del camino.
¿Qué diferencias hayentre f(z) = z y f(z)= ?
y
x
i1
0
z
Ejemplo 3
-
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67
Integrar la función a lo largo del camino C
uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2)( z z f
1022)( t it t t z
)219(3
1
)3/8(1)21(
)84()443()21(
)21()22(
)()(
1
0
22
1
0
2
1
0
i
ii
dt t t it t i
dt itit
dt dt
dz t z f dz z f
C
y
x
i21
0
C
2
Ejemplo 4
-
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68
Integrar la función a lo largo del camino C = C 1+ C 2uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2)( z z f
202)( t t t z
3
8)44(
)1()2()(
2
0
2
2
0
2
dt t t
dt t dz z f
C
y
x
i21
0 21C
2C
A lo largo de C 1:
102)( t tit t z A lo largo de C 2:
idt t i
dt itit dz z f C
3
2
3
11)211(
)21()2()(
1
0
2
1
0
2
3/)219(2 idzz
-
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69
3/)219( idz z C
3/)219(2
idz z C
El valor de la integral
a lo largo de los dos
caminos es el mismo.
y
x
i21
0 2
¿Coincidencia?
Independencia del camino
S f ( ) líti
-
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70
1 z
2 z
1C
2C
0)()(
21
C C
dz z f dz z f
Supongamos que f ( z ) es analítica en
un dominio simplemente conexo D D
(por el teorema integral de Cauchy)
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
delargoloadelargoloa
delargoloadelargoloa
delargoloadelargoloa
)()(
)()(
0)()(
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
dz z f dz z f
dz z f dz z f
dz z f dz z f
Recuerda el potencial gravitatorio:
-
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71
p g
La energía potencial gravitatoria = m g h
es independiente del camino...
masa m
altura h
Ejemplo: f(z)=|z|2
-
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101:
100:
10:
2
1
0
t t y x L
t yt x L
t t yt x L
3
4
3)1(|1|:
3
1||:
3
)1(2)1(|1|)1(||:
1
0
2
1
0
2
22
1
0
2
1
0
2
11
1
0
22
1
0
2
00
iiiidt t idt it I L
dt t dt t I L
idt t iidt iit t I L
2||)( z z f
x1
i 1+iL0
L1
L2
y
Observa que L0 L1+L2
Ejemplo: f(z)=z2
-
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73
101:
100:
10:
2
1
0
t t y x L
t yt x L
t t yt x L
3
32)21()1(:
3
1:
3
22)1()1()(:
1
0
2
1
0
2
22
1
0
2
11
1
0
23
1
0
2
00
iidt t it idt it I L
dt t I L
idt t idt iit t I L
2)( z z f
x1
i
1+i
L0
L1
L2
y
Observa que L0=L1+L2
Ejemplo: calcular dz z
i
11
-
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74
144 y x
z 1A lo largo del camino C
1
:
Como f(z) = 1/z es analítica en
todo el plano complejo excepto
en z = 0. Podemos utilizar un
camino más sencillo C2 (|z| = 1).
2
1
)()()(
2/
0
2/
021
id ei
e
d d
dz z f dz z f dz z f
i
i
C C
y
x0 1
i
2C 1C
Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo
-
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75
1 z
2 z 1C
2C
para cada bucle, utilizando como puntos intermedios
los puntos de intersección.
Si f es analítica en D entonces:
-
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76
f
0)()(1
C C z d z f z d z f
1
)()(C C
z d z f z d z f
Independencia del camino
z
0 z
-
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77
Consideremos la integral dz z f
z
z
1
0
)(
Si F ( z ) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con
derivada dF/dz = f(z) y, z 0 y z 1 están en D, entonces la integral
de f(z) entre z 0
y z 1
es independiente del camino en D.
)()()( 01
1
0
z F z F dz z f
z
z
donde )( z f dz dF
1 z
)219(3
1
332
3
21
321
2
2 i z z
dz z
z i z
i
p.ej.
De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en
variable real:
Ejemplos
-
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78
(1)
i
ii
z dz z i
i
i
i
097.23
sinh2)sin(2
sincos
todo el plano
complejo
C
(2) ?
1
0
dz z
i
( f ( z ) es no analítica en todo punto -depende del camino)
(3) i
z
dz
z
i
i
i
i
211
2
f ( z ) analítica eneste dominio
(ambas 1/ z 2 y 1/ z son no analíticas en z = 0
- el camino de integración C debe eludir el punto)
. sobreconstanteserá)(entoncesanalítica)es)((y
,dominiounen0)('Si
D z f z f
D z f
P b
-
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79
Diy xba y x f
Diy xb y xva y xu
vuvu
vuvu
vuivu z f
y y x x
x y y x
x x x x
)(i),(
)(),(y),(
0
y
0y000)('
:Prueba
constante.unasalvoúnicaes)(dedaantiderivao primitivaLa z f
.)()( .)()( quemodoDe
).(-)(diferenciasueslotambién,definición por
analíticasson)(y)(quePuesto0.G(z)-F(z)
).(dediferentes primitivasdos)(y)(Sean
:Prueba
Cte z G z F Cte z G z F
z G z F
z G z F dz
d
z f z G z F
-
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80
y
iC deidz i
011
-
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81
x0 1
1C
1
x0
1
2C
1
y
id i
d eie
dz z i
C
0
1
id i
d eie
dz z
i
i
C
0
011
2
¿Por qué en este caso la integral depende del camino?
Intentemos definir F(z) = Ln z
como primitiva En este caso
y
iC
-
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82
iiii
z dz z
dz z
C
)0()1arg(|1|log)1arg(|1|log
log11 1
1
1
11
como primitiva. En este caso
una posible primitiva es:
x0 1
1C
1
CortePunto de
ramificación2/3arg2/-con
arg||loglog
z
z i z z
CortePunto de
ifi ióIntentemos definir una
-
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83
x0 1
2C
1
y
ramificación
ii
ii
z dz z
dz z
C
)2(
)1arg(|1|log)1arg(|1|log
log11 1
1
1
12
2/5arg2/con
arg||loglog
z
z i z z
primitiva para este caso.
Observe que NO puede ser
la misma que en el caso anterior:
Y tomemos los
cortes como los
tomemos, siempre
obtendremos este
resultado.
-
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84
-
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85
Más sobre integración en contornos cerrados...
Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar
funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
-
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86
funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
(a) analíticas, o
(b) analíticas en ciertas regionesPor ejemplo,
0C z dz f ( z ) es analítica en todo punto
excepto en z = 0
C
Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?
?C
z
dz C La respuesta en el
siguiente resultado
3.6 Fórmula Integral de Cauchy
-
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87
)(2)( 00
z f idz z z z f
C
Sea f ( z ) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para
cualquier punto z 0 en D y cualquier contorno cerrado C en D queincluya z 0:
D
0 z
C
EjemploIlustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de
f (z) = 1 y z0 = 0
-
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88
f ( z ) 1 y z 0 0
00 z
C DLa fórmula integral de Cauchy
iidz z
C
2121 f ( z ) es una función constante,
es entera, así que C puede ser cualquier
contorno cerrado en el plano complejo
conteniendo z = 0.
)(2)(
0
0
z f idz
z z
z f
C
se convierte en
Ejemplo 1
d z 2
E l l i l d d C 21
-
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89
C
dz z 2
Evaluar la integral donde C es
z = 2 es un punto singular en el interior a C.
se convierte en:
21 z
)(2
)(0
0 z f idz z z
z f
C
La fórmula integral de Cauchy
8422
2
iidz z
z
C
20 z
f ( z ) es analítica en todo punto de
modo que C puede ser cualquier
contorno en el plano complejo
conteniendo el punto z = 2.
Demostración no rigurosa de
la fórmula integral de Cauchy:
-
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90
0C
C 0 z
z i
er 0 Por el principio de deformaciónde contornos:
0
00
)()(
C C
dz z z
z f dz
z z
z f
d er z f id eir er
er z f dz
z z
z f ii
C
i
i
2
0 000
2
00
00
0
)()()(
0
ii eir
d dz er z z 000 ; Cambio devariable:
Hemos tomado un r 0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente
-
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91
pequeño:
)(2)(
)()(lim
0
2
00
2
0 0
2
0 00
00
z if d z if
d z f id er z f i ir
)(2)(
0
0
z f idz z z
z f
C
¿Qué no es riguroso aquí?
Demostración de la fórmula
-
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92
0C
C 0 z
z ier 0
Demostración de la fórmula
integral de Cauchy. Por el
principio de deformación decontornos:
0 00
)()(
C C
dz z z
z f dz
z z
z f
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
00
0
)()(1)(
)()()()(
I
C
I
C
C C
dz z z
z f z f dz z z z f
dz z z
z f z f z f dz
z z
z f
2
00
2
000
1 211
id id eir er
dz zz
I i
C
i
-
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93
000
er z z C
00
02
)()(C
dz z z
z f z f I Vamos a encontrar una cota ML para
02 r L
M
z z
z f z f
z z
z f z f
0
0
0
0 )()()()(
Tenemos:
Y necesitamos M tal que:
Para todo z en C0 : 00 r z z Como f(z) es continua en z0: 00 )()( z z si z f z f
Si tomamos )()(00
z f z f r
para todo z sobre C0.
02 r L M rr
z f z f
zz
z f z f
00 )()()()(
-
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94
22)()(
0
00
02
0
r r
MLdz z z
z f z f I
C
Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para
r r z z 000
Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho
reducirlo es reducir el radio r 0. Así que: 00 22 I I
)(2)()(1
)()(
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
z if dz
z z
z f z f dz
z z
z f dz
z z
z f
I
C
i I
C C
Ejemplo 2
Evaluar la integral:
C
-
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95
)(2)(
0
0
z f idz
z z
z f
C
C
i z dz donde C es el círculo | z |=2
i z 0
1)( z f
f ( z ) es analítica en D y C incluye z 0
1)( 0 z f
C i
D
ii z
dz
C
2
C
z
dz
12donde C es el círculo | z+i |=1
Ejemplo 3
Evaluar
-
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96
)(2)( 00
z f idz z z z f
C
C
Necesitamos un término en la forma 1/( z- z 0) así que rescribimos la
integral como:
En primer lugar, notemos que 1/( z 2+1) presenta
puntos singulares en z = i.
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.
Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula
dz i z
i z
i z i z
dz
z
dz
C C C
1
))((12
C i
i
D
dz iz
i z
iziz
dz
z
dz
1
))((12
-
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97
C z dz
12
)(2)(
0
0
z f idz z z
z f
C
i z 0i z
z f
1)( 2/)(0 i z f
i z i z i z z C C C
))((1
C i
i
D
Evaluar z d z
z C 92
Ejemplo 4
-
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donde C es el círculo | z – 2i | = 4.
Solución
Solo z = 3i está dentro de C , y
i z
i z
z
z
z
3
3
92
z 9
:entonces ,3
)(Seai z
z z f
ii
iii f i z d
i z i z
z z d
z
z C C
63
2)3(233
92
z
de donde C es cualquier contorno cerrado
Ejemplo 5
-
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)(2)(
0
0
z f idz z z
z f
C
Fórmula integral de Cauchy:
se convierte en
i
C
z
iedz
i z
e
2
i z 0
C D
C
dz
i z
eEvaluar
donde C es cualquier contorno cerrado
conteniendo z = -i
f ( z ) es analítica en todo punto
C
z
dz
14
iTenemos que
donde C es el círculo | z+i |=1Evaluar
Ejemplo 6
-
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100
C
i
i
1 1
Tenemos que
C C i z i z z z dz
z dz
))()(1)(1(14
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.
Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula
C C
dz i z
z f z
dz )(14 ))(1)(1(
1)(i z z z
z f
donde
4)2)(1)(1(
1)()( 0
i
iiii f z f
Ahora
2)(2
)(
1 0
0
4
z f idz z z
z f
z
dz
C C
C
z
dz z
1
tan2
donde C es el círculo | z |=3/2
Ejemplo 7
Evaluar
-
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101
tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de
integración
C incluye dos puntos singulares, z = 1.Para poder usar la fórmula integral de Cauchy,
debemos tener sólo un punto singular z 0
dentro de C .
C
112/3 2/
Usaremos fracciones parciales:
)1)(1(
)1()1(
111
12
z z
z B z A
z
B
z
A
z
2/1,2/11
0)(
B A
B A
z B A
C C C
dz z
z dz
z
z dz
z
z
1
tan
2
1
1
tan
2
1
1
tan2
1
-
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102
C
1
1 2/
1tan)(
tan)(
1
0
0
z f
z z f
z
)1tan()(
tan)(
1
0
0
z f
z z f
z
iidz
z
z
C
785.9)1tan()1tan(
2
12
1
tan2
Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z 0,
con la fórmula:
3.7 Derivadas de funciones analíticas
-
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103
0
!
2)(1
0 z
n
n
C
n dz
f d
n
idz z z
z f
Por ejemplo,
con la fórmula:
Nota: cuando n=0 tenemos la
Fórmula Integral de Cauchy: 0)(2
)(
0 z
C
z f idz z z
z f
Esto es una generalización de la fórmula integral de Cauchy
C z z C dz
z d idz
z
z
dz
z z d idz
z
z z
2
2
2
3
1
2
2
2
00
cos
2
cos,
32
1
3
f analítica en y dentrode C , z 0 dentro de C
Esta fórmula también es conocida como la “formula para las
derivadas de una función analítica.”
Partiendo de la fórmula integral de Cauchy: dz z f
z f 0)(
2
1)(
Demostración
-
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104
0
!
2)(1
0 z
n
n
C
n dz
f d
n
i
dz z z
z f
Tomando f(z 0 ) como una función de variable z0. Derivando
con respecto a z 0 y aplicando la regla de Leibnitz:
g y C
z z if
0
02
)(
C
C
C
dz z z
z f
i
dz z z dz
d z f
i
dz
z z
z f
idz
d z f
dz
d
2
0
00
00
0
0
)(
2
1
1)(
2
1
)(
2
1)(
por inducción:
La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo
excepcional:
-
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105
Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee
derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas
derivadas son a su vez también analíticas en el dominio.
Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si
f(z)no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que
dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica
y
por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz
existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) seríaanalítica en z0: una contradicción.
Ejemplo 1
Evaluar la integral z
dz e
2
donde C es el círculo | z |=2
-
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106
)(2
)(
)(02
0
z f idz
z z
z f
C
C z
2
00 z z e z f )(
f ( z ) es analítica en D, y C incluye z 0
0
0 )(
)(
e z f
e z f z
C
D
i z
dz e
C
z 2
2 2
Ejemplo 2
Evaluar la integral
dz z
3
2
donde C es el círculo | z |=2
-
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107
)(2
2
)(
)(03
0
z f i
dz z z
z f
C
C
i z 3
i z 02)( z z f
f ( z ) es analítica in D, y C incluye z 0
2)(
2)(
0
z f
z f
C
D
ii z
dz z
C
2)( 3
2
Calcular donde C es la circunferencia C
z
dzi z
e3
23 z
Ejemplo 3
-
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108
i
C
z i
i z
C
nn
C
z
ie I i
I dz i z
e
ie
e z f e z f i z
siendo
dz z z
z f
i
n z f
dz i z
e I
2
3
2
2
00
1
0
0)(
3
22
!2
)()(;2
:
,)(
2
!
2
-
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109
-
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110
-
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111
Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita:
3.8 Series en el Campo Complejo
-
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112
La sucesión de sumas:s1 = z1s2 = z1 + z2s3 = z1 + z2 + z3........sn = z1 + z2 +....zn
es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.
Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.
...3211
z z z z n
n
Series convergentes
Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales
converge, donde s es la suma o valor de la serie y se
expresa:
s snn
lim
-
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113
expresa:
Una serie divergente es aquella que no converge.
Llamaremos resto R nde la serie a:
Si la serie converge y suma s, entonces
...211
z z z sn
n
321 nnnn z z z R
0limyó
nn
nnnn R s s R R s s
Serie geométrica
Para la serie geométrica:
-
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114
el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:
12
1
1 n
k
k az az az aaz
z
z aaz az az aS
nn
n
1
)1(...
12
Observa que z n 0 cuando n para | z | < 1, en cuyocasi Sn converge a a/(1 – z ). La serie diverge para | z | 1.
Ejemplo:
...5
)21(
5
)21(
5
)21(
5
)21(3
3
2
2
1
iiii
kk
k
-
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115
es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y
z = (1 + 2i)/5. Puesto que | z | < 1, tenemos que:
55551k
2
5
211
5
21
5
)21(
1
i
i
ii
k k
k
Teorema de Cauchy para series
Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| < para todon > N y p =1 2
-
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116
n > N y p 1, 2...
Convergencia absoluta.
Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de
los valores absolutos de sus términos
|zm| = |z1| + |z2| + ......m=1es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,
la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.
Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.
Si una serie es absolutamente convergente es convergente
¿Es la serie convergente?
k i
Ejemplo
-
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117
¿Es la serie convergente?
Es absolutamente convergente, puesto que
|ik /k 2| = 1/k 2 y la serie real
es convergente.
De modo que la serie original es convergente.
12k k
12
1
k k
Comparación de series:
Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie
convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que
-
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118
g 1 2 g q
|zn| bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,
incluso absolutamente.
Criterio del cociente:Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que
|zn+1/zn| q < 1 ( n > N, con un q dado para cualquier N)la serie converge absolutamente. En cambio si
|zn+1/zn| 1 ( n > N) la serie diverge.
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que
Entonces se cumple que:Llim 1
n
n z
z
-
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119
p q
a) Si L < 1 la serie converge absolutamente. b) Si L > 1 diverge.c) Si L = 1 “no sabe, no contesta”.
n
n z
0
2
!2
)75100()75100(1
!
)75100(
ii
n
iS
n
Dado
¿Es S convergente o divergente?
01
125lim175100lim
!75100!175100limlim
1
1
nni
nini
z z
nnn
n
nn
n
n
Converge.
Criterio de la raíz:
Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N
(n < N)1|| q z n
n
-
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120
( )
donde q N
entonces:
a) Si L < 1 la serie converge absolutamente
b) Si L > 1 divergec) Si L = 1 no podemos extraer conclusiones
1|| q z n n
L z n nn
||lim
Dado
2
02
)4(19
1)4(
7
1
4
14
32
)1(iiiS
n
n
n
Ejemplo
-
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121
¿Es S convergente?
Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.
4
17
34
17lim
34
)4(lim
32
)4(lim
2
n nnn nnn
n
n
n
ii
La serie geométrica
converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.
0
21m
m qqq
Ejercicio: demostrar que
Serie de potencias
)( o z z Una serie de potencias en es:
-
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122
02
21 )()()(n
ooon
on z z a z z aa z z a
coeficientes complejoscentro dedesarrollo
0
2
)(2
1
)(1)(!
1
n
n
i z i z i z n P.ej.
Convergencia de series de potencias
Las series de potencias en general convergen para algunos
valores de z , y para otros.
-
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123
Por ejemplo la serie
0
321n
n z z z z
converge para | z |
-
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124
0
32 !3!21!
n
n z z z z n
La serie diverge para todo z (excepto z = 0)
0 !3!2!n n La serie converge para todo z
Radio de convergencia cero;R = 0
0
2
21 )()()(n
ooo
n
on z z a z z aa z z a
-
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125
: converge
(1) La serie de potencias siempre converge para z = z o
o z
(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:
R z z o
: diverge R z z o
R z z o Los valores z tq. pueden converger o no
El radio de convergencia R puede ser:
En resumen:
-
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126
(i) cero (converge solo en z = z 0).
(ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo
| z − z 0|
-
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127
Raa
n
nn
1lim 1 La fórmula de Cauchy-Hadamard :
(i) R = 1/ L.
(ii) R es .
(iii) R = 0.
,0lim
1
La
a
n
n
n
0lim 1
n
n
a
a
n
n
n
a
a
n
1
lim
Ejemplo:
-
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128
0
2
2 )3(6)3(21)3(
)!()!2(
n
n i z i z i z n
n
Rn
nn
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
14
)1(
)12)(22(lim
)!2(
)!(
)!1(
!)1(2limlim
2
2
2
1
4
1 R
0
2
2 )3(6)3(21)3(
)!(
)!2(
n
n i z i z i z n
n
-
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129
: converge
i z o 3
4/13 i z
: diverge4/13 i z
Ejemplo:
0
2)4()4(1)4(n
n i z i z i z
-
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130
Ra
a
nn
n
n
11
1
1limlim 1
1 R
: converge
i z o 4
14 i z
: diverge14 i z
Ejemplo:
0
22 )1(2)1()1(n
nn z e z e z ne
)(
-
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131
Re
n
ne
ne
en
a
ann
n
nn
n
n
11lim
)1(limlim
11
e R /1
: converge
e z /11
: divergee z /11 1o z
1 !
)1()1(
k
k k
k
i z Otro ejemplo:
-
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132
0
1
1lim
!)1(
)!1(
)1(
lim ,
!
)1(1
2
1
nn
n
n
ann
n
n
n
n
El radio de convergencia es .
Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona
para series de potencias.
Por ejemplo:
(1) Si l i di1li
-
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(1) Si la serie diverge.
(2) Si la serie diverge.
(3) Comparar:
(4) Si la serie diverge.
1lim n
nn
z
0
0limn
nnn
z z
convergeysi converge00
n
nnn
n
n bb z z
1lim 1
n
n
n z
z
Resumen y varios comentarios interesantes:
-
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(Observa que para nosotros era:
En el punto iv se resuelve el enigma)
1
1lim
n
n
n a
a R
-
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137
Series de potencias y funciones analíticas
Cualquier función analítica f ( z ) puede ser representada por una serie
de potencias con radio de convergencia R 0 La función
3.8 Series de Taylor
-
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de potencias con radio de convergencia R 0. La funciónrepresentada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de
convergencia.
Ejemplo:
0
32
1n
n
z z z z la serie converge para | z |≤ 1
Radio de convergencia R = 1
z z f
1
1
)(
A las series de potencias que representan funciones
analíticas f ( z ) se les llama ser ies de Taylor .
¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función
analítica determinada?
-
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0
)( )(!
1,)()(
n
o
n
n
n
on z f n
a z z a z f
(Cauchy, 1831)
Vienen dadas por la fórmula:
Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):
f
z z f z z f
z z f z z f
i)(
cos)(cos)(
sin)(sin)(
)2(
)5()1(
)4()0(
1)0(1)0(
0)0(0)0()5()1(
)4()0(
ff
f f
-
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140
z z f
z z f
cos)(
sin)()3(
)2(
1)0(
0)0(1)0(1)0(
)3(
)2(
f
f f f
k k
k
f
f
)1()0(
0)0()12(
)2(
0
12
0
12)12(
0
2)2(
0
)(
)!12()1(sin
)!12(
)0(
)!2(
)0(
!
)0(sin
k
k k
k
k k
k
k k
n
k
n
z k
z
z k
f z
k
f z
n
f z
Demostración del teorema de Taylor:
z
y
1r
Por la fórmula integral de Cauchy:
)(1)( dfzf
-
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0 z
x
0C 1C 0r
1r
1
)(21)(
C
d z
f i
z f
Vamos a desarrollar el integrando:
0
0
0
01
0
0
0
0
0
0
0000
1...1
1
1
11
)()(
11
z
z z
z
z z
z
z z
z
z z
z
z
z z z z z z z
N
N
N
N N
N z z
z z f z z
z
f z z
z
f
z
f
z
f
))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()()(
0
01
0
0
02
00
1
)(
2
1)(
C
d z
f
i z f
-
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142
Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:
C nn d
z f
in z f
1
0
0)( )(
2!)(
1))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()(
2
1
0
01
0
0
02
00C
N
N N
N d
z z
z z f z z
z
f z z
z
f
z
f
i
)()()!1(
)(...))((')()( 100
)1(
000 z R z z N
z f z z z f z f z f N N
N
Donde hemos definido el residuo R n:
1
))((
))((
2
1)(
0
0
C
N
N
N d z z
z z f
i z R
Observemos que:
-
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143
Observemos que:
r r z z z z r r z r z z 100100 ||||||;||;||
Si M es el valor máximo que puede alcanzar
sobre C1:
)( f
N
N
N
N r
r
r r
Mr
r r r
r M r z R
11
1
11
1
)()(
2
2)(
Y puesto que r/r 1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito
del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,la serie de Taylor converge a f(z).
Ejemplo1
z z f
1
1)(
432
1
!3)(,
1
2)(,
1
1)(,
1
1)(
z
z f
z
z f
z
z f
z
z f
Encontrar la serie de Taylor para
-
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144
32
0
0
)(
0
1
!
)0(
1
1
z z z
z
z n
f
z a z
n
n
n
nn
n
n
n
(1) Tomemos centro z = 0 :
!3)0(
2)0(
1)0(
1)0(
f
f
f
f
1111 z z z z
punto singular
1 z 0o z
centro
1 R
(2) Tomemos centro z =1/2 :
1 2)(f
432 1!3
)(,1
2)(,
1
1)(,
1
1)(
z z f
z z f
z z f
z z f
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3
212
21
21
0
211
0
212
1)(
0
21
16842
2
!
)(
1
1
z z z
z
z n
f
z a z
n
nn
n
nn
n
n
n
4
2
1
3
21
2
21
21
2!3)(
2.2)(
2)(
2)(
f
f
f