Análisis de Señales en Geofísica
3° Clase
Respuesta en Frecuencia
de los Sistemas Lineales e
Invariantes
Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,
Universidad Nacional de La Plata, Argentina
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
2
Funciones y Valores Propios
Definición:
Diremos que una función es una función propia de un sistema lineal e invariante
si cuando excitamos el sistema con esta función nos responde entregándonos la misma
función pero escala
n
n
x
x
da con un factor , este factor de escala es llamado valor
propio del sistema:
Ejemplo:
n n n n
t
x S y S x x
de
dt
t tde e
dt
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
3
Respuesta en Frecuencia
Excitemos un SLI de respuesta impulsiva , con una función exponencial
compleja:
*
Llamaremos respuesta en frecuencia ( ) de los SLI a:
n
i n ki n i n i n i k
n n n n k k
k k
h
x e h y h e h e e h e
H
( )
( )
Es decir que la función exponencial compleja es una función propia de los SLI
y su valor propio as
i k
k
k
i n i n
n
H h e
e h H e
ociado es la respuesta en frecuencia ( ).H
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
4
Propiedades de H(ω)
Es una función continua de la frecuencia angular digital .
Es una función periódica de la frecuencia de período 2 .
Está completamente determinada por la respuesta impulsiva del
sistema lineal
e invariante.
La respuesta impulsiva del sistema puede ser invertida a partir de
ella, es decir que define perfectamente al sistema.
Por lo general tomará valores complejos, es decir que introd
ucirá
cambios de escala y corrimientos de fase.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
5
Relación con la Transformada Z
La transformada Z de la respuesta impulsiva está dada por:
( )
Si evaluamos ( ) sobre el círculo unidad , obtenemos:
n
k
k
k
i
h
H z h z
H z z e
( ) ( )
Es decir que la respuesta en frecuencia ( ) de un SLI es la transformada Z
de su respuesta impulsiva evaluada sobre el círculo unidad. Esto significa que
la respuesta en
i i k
k
k
H e h e H
H
frecuencia ( ), es también una transformada que va del
dominio discreto del tiempo al dominio continuo de las frecuencias, y como
veremos más adelante, es una de las cuatro formas de la transformada
H
de Fourier.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
6
Ejemplo 1:
11 13
1 11 13 3
Suavicemos una señal aplicándole un filtro de 3 puntos:
Tomemos transformada Z:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )
Evaluemos
n
n n n n
x
y x x x
Y z zX z X z z X z z z X z
1 13 3
está expresión sobre el círculo unidad:
( ) 1 ( ) 1 2cos( ) ( )
La respuesta en frecuencia del sistema, también llamada función de transferencia,
está dada por:
i iY e e X X
1 23 3
( ) ( ) + cos
( )
YH
X
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
7
Ejemplo 1:
1 23 3
( ) cosH
23 ω
H(ω)
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
8
Ejemplo 2:
11 14
1 11 14 4
Suavicemos la señal con un filtro de 3 puntos diferente:
2
Tomemos transformada Z:
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
Evalue
n
n n n n
x
y x x x
Y z zX z X z z X z z z X z
1 13 4
mos está expresión sobre el círculo unidad:
( ) 2 ( ) 2 2cos( ) ( )
La función de transferencia de este nuevo filtro está dada por:
( ) ( )
( )
i iY e e X X
YH
X
1 12 2
+ cos
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
9
Ejemplo 2:
1 12 2
( ) cosH
( )H
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
10
Respuesta en frecuencia del operador
integración:
( ) ( ) ( )
1
1 ( )
Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración
introdu
i ti t i t
t t t
exacto
ex e dt y e dt x
i i
Hi
ce un factor de escala inversamente proporcional a la frecuencia y un
atraso de la fase de 90°.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
11
Transformada Z de la regla del
trapezoide:
11 12
12
La regla del trapezoide se define del siguiente modo:
Tomamos transformada Z:
( ) ( ) ( ) ( )
La función de transferencia es:
n n n ny y x x
Y z zY z X z zX z
( ) 1 1 ( )
( ) 2 1
Está es la transformada Z del operador de la regla del trapezoide,
y como veremos está estrechamente relacionada a lo que se denomina
op
trapezoide
Y z zH z
X z z
erador bilineal.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
12
Respuesta en frecuencia de la regla
del trapezoide:
2 2
2 2
( ) 1 1 ( )
( ) 2 1
Evaluamos la transformada Z sobre el círculo unidad :
1 1 1 1 ( )
2 1 2
trapezoide
i
i ii
trapezoide i i i
Y z zH z
X z z
z e
e e eH
e e e
2
2
cos 1cotg
2 sin 2 2
1En las bajas frecuencias, cuando 0, ( ) , es decir que la regla
del trapezoide es una buena aproximación de baja frecuencia.
Calculemos el cociente entre la respuesta
i i
Hi
en frecuencia del trapezoide y la
respuesta en frecuencia del operador exacto:
1cotg
( ) 2 2 cotg
1( ) 2 2
trapezoide
exacto
H i
H
i
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
13
Cocientes de las respuestas en frecuencia de
trapecio, Simpson y Tick, con la respuesta exacta:
11 12
12 1 23
2 1 2
Trapecio:
( )
Simpson:
( 4 )
Tick:
0.3584 1.2832 0.3584
n n n n
n n n n n
n n n n n
y y x x
y y x x x
y y x x x
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
14
Respuesta en frecuencia del operador
derivación:
( ) ( ) ( )
( )
Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación
introduce u
i t i t i t
t t t
exacto
d dx e y e i e i x
dt dt
H i
n factor de escala directamente proporcional a la frecuencia y un
adelanto de la fase de 90°.
La respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación es la inversa de
la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
15
Diferencias de Primer Orden
11 12
Es posible aproximar una derivada en forma discreta utilizando la diferencia
central de primer orden:
( ) diferencia central de primer orden
Este operador u
n n ny x x
tiliza dos muestras no consecutivas para aproximar la derivada.
Es claro que si utilizamos dos muestras consecutivas, podríamos obtener una
mejor aproximación de la derivada. Existen dos posiblidades:
f
1
b
1
diferencia de primer orden hacia adelante
diferencia de primer orden hacia atrás
El problema es que ambas a
n n n n
n n n n
y x x x
y x x x
1 12 2
proximaciones introducen un corrimiento en tiempo de
media muestra respecto de la posición correcta de la salida e , este
corrimiento en tiempo corresponde a un corrimiento lineal de la f
n ny y
ase que alcanza los
90° cuando .
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
16
Diferencias de Orden Superior
Repetidas aplicaciones de las diferencias de primer orden pueden utilizarse para obtener
diferencias de orden superior y aproximar de manera discreta derivadas de orden superior.
Por ejemplo:
12
12
12
f
1
b
1
2 f b
1 1 1 1
f 3 3 2 2
1 2 1
( ) 2
2
n n nn
n n nn
n n n n n n n n n n
n n n n nn
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
12
1 1
2 1 1
b 3 3 2 2
1 1 1 1 2
1 1 2
2
3 3
2 2
3 3
n n n n
n n n n
n n n n n n n n nn
n n n n
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
3 f 3 b 31 12 1 1 22 2
4 f 3 b 3
2 1 1 1 1 2
2 1 1
2 2 2
3 3 3 3
4 6 4
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x
2nx
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
17
Respuesta en frecuencia de la diferencia
de primer orden hacia adelante:
f
1
1
Tomamos transformada Z:
( ) 1 ( )
La función de transferencia está dada por:
n n n ny x x x
Y z z X z
1
2 31 12 6
( ) ( ) 1
( )
Evaluando sobre el círculo unidad , obtenemos:
( ) 1
diferencia
i
i
diferencia
Y zH z z
X z
z e
H e i i
El cociente entre la respuesta en frecuencia de la diferencia de primer orden hacia adelante
y la respuesta en frecuencia del operador exacto es:
diferenciaH 2( ) 1
1( ) 2 6
i
exacta
ei
H i
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
18
Cociente de la respuesta en frecuencia de la diferencia de
primer orden hacia adelante con la respuesta exacta:
10
( )20 log
( )
diferencia
exacta
HdB
H
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
19
Desarrollo en Serie del Logaritmo
2 3 4
0
Hagamos uso de la conocida serie geométrica:
1 1 , 1
1
Integramos ambos miembros:
n
n
z z z z z zz
0
1
0 1
1
1
1
ln(1 )1
ln(1 )
ln
n
n
n n
n n
n
n
dz z dzz
z zz
n n
zz
n
1
1
1
1
( 1)(1 )
( 1) ( 1) ln( )
n n
n
n n
n
zz
n
zz
n
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
20
Desarrollo en Serie del Logaritmo
Para obtener una convergencia más rápida del desarrollo en serie del logaritmo
hacemos el siguiente cambio de variables:
1 1 ,
1 1
w zz w
w z
2 4 6 8
3 5 7
1 1 1 1 1 ln( ) ln 2 1
1 3 5 7 9
1 2 1 2 1 2 1 ln( ) 2
1 3 1 5 1 7 1
wz w w w w w
w
z z z zz
z z z z
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
21
Desarrollo en Serie de la exponencial
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2
2
1 1 1 1
2! 3! 4!
1 1 1
2! 3! 4!
1 1 1
2! 3! 4!
11
2 2! 2
i
i
i
i
i
e
ie i
ie i
ie
e
e
2 3 4
2 3 4
1
3! 2 4! 2
1 11
2 2! 2 3! 2 4! 2
i
ii
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
22
La Transformación Bilineal
Las operaciones de derivacion e integración están definidas en un dominio continuo.
Queremos encontrar un operador que aplicado en el dominio de los tiempos discretos
sea equivalente a multiplicar o dividir por en el dominio de las frecuencias.
La dificultad del problema radica esencialmente en la no simplicidad de la relación
que vincula a las variables y , esta relación está definida por:
i
z
ln( )
Ir desde el dominio de los tiempos discretos al dominio de la transforma
iz e
i z
da Z es simple
e inmediato. Pero ir desde el dominio de la respuesta en frecuencia al dominio de los
tiempos discretos, pasando por el dominio de la transformada Z, es una tarea compleja
que requerirá de algún tipo de aproximación.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
23
La Transformación Bilineal
2
2
2
Para encontrar las aproximaciones buscadas, hacemos un desarrollo en serie de la
exponencial compleja y truncamos en el segundo término:
11
2 2! 2
1
i
i
i
i ie
z ee
i
2
3
12
1 122 2! 2
Análogamente, hacemos un desarrollo en serie del logaritmo natural y truncamos
también en el segundo término:
1 2 1 ln ln( ) 2 2
1 3 1
i
i
ii
z z zi e z
z z
1
1z
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
24
La Transformación Bilineal
Estas expresiones aproximadas que vinculan la variable y la variable son conocidas
como Transformación Bilineal:
112 2 1
12
E
z
iz
z iz
i
sta transformación se utiliza para aproximar derivadas e integrales por medio de un
desarrollo en serie truncado de las relaciones entre y .z
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
25
La Transformación Bilineal
Veamos como podemos interpretar la utilización de la Transformación Bilineal para aproximar la
derivada:
∆𝑏 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛−
12= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑦𝑛−
12=1
2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1
1
2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
1
2𝑌 𝑧 + 𝑧𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 − 𝑧𝑋 𝑧
1
2𝑌 𝑧 1 + 𝑧 = 𝑋 𝑧 1 − 𝑧
𝐻 𝑧 =𝑌 𝑧
𝑋 𝑧= 2
1 − 𝑧
1 + 𝑧
La Transformación Bilineal tiene una respuesta en amplitud muy superior a la de las diferencias
de primer orden para frecuencias extremadamente bajas y tiene una respuesta en fase exacta para
todas las frecuencias a expensas de una paupérrima respuesta en amplitud para las frecuencias
más altas.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
26
La TB preserva las propiedades de
causalidad, estabilidad y fase mínima
Se puede demostrar que si un sistema analógico es causal y estable, el
sistema discreto que se obtiene aplicando la Transformación Bilineal
también será causal y estable.
Asimismo, si el sistema analógico original es de fase mínima, la
Transformación Bilineal preservará dicha propiedad, de tal forma
que el sistema discreto obtenido también será de fase mínima.
Una ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de
diferencias utilizando la Transformación Bilineal, también tendrá una
solución discreta estable. Esto no siempre es así cuando la ecuación se
discretiza utilizando diferencias hacia adelante o hacia atrás.
Respuesta en Frecuencia de los SLI 27
La TB preserva las propiedades de
causalidad, estabilidad y fase mínima Si suponemos que la frecuencia puede tomar valores complejos,
estaríamos evaluando la transformada Z no solamente sobre el círculo
unidad sino sobre cualquier punto del plano complejo:
𝑧 = 𝑒−𝑖𝜔 = 𝑒−𝑖 𝑅𝑒 𝜔 +𝑖𝐼𝑚 𝜔 = 𝑒𝐼𝑚 𝜔 𝑒−𝑖𝑅𝑒 𝜔
Esta relación mapea el exterior del círculo unidad del plano Z en la mitad superior del plano w . Mientras que el interior del círculo unidad del plano
Z es mapeado en la mitad inferior del plano w. Observando la definición
de la transformación bilineal, puede verse que el mapeo que efectúa entre los planos Z y w, tiene las mismas características. Este hecho
extremadamente fortuito tiene como implicancia que la condición de fase
mínima es preservada por la transformación bilineal. Por ejemplo, que una
ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de diferencias
utilizando la transformación bilineal, también tendrá una solución digital
estable. Esto no siempre es así cuando se utilizan diferencias hacia adelante
o hacia atrás.
Respuesta en
Frecuencia de los SLI
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Bibliografía:
Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal
Processing, Academic Press, Chapter Three.