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V VI VIVI V
3 3
A 13 F
1 o
COntrol 4.1v
6 FEB. 1980
/24( FUNCION DE FRODUCCION
Prof. Hugo Argote Argote
00 455 7 REGISTRO No.
Es preciso subrayar que la función de producción:
*11 /
• >4-/ .
<4, . «sz -
CION
e-)
FUNCION
1
1111 S
Control
8 FEB. tec
- Es una relación estrictamente técnica entre insumos de facto
res y niveles de producción de un bién.
- Describe "leyes de proporción" en que se transforman factores
en productcs, dentro de un período considerado.
- Representa la tecnología de una firma, industria ó economía
en su conjunto; la cuál se presume invariable dentro de cada
función de producción específica. Un cambio en la tecnología
implica progreso técnico y consecuentemente cambio en la fun-
ción de producción.
- Incluye (lleva implicita en sí misma), todos los métodos téc
nican.ente eficientes de producción.
La función de producción de un bien cualquiera se representa por
una ecuación, tabla o gráfico que muestra la mayor cantidad de bién
que se puede obtener en una unidad de tiempo, usando conjuntos alter
nativos de factores y aplicando la mejor técnica de producción dispo
nible.
Lu función de producción podrá referirse a
zada en un período breve (función de producción
'ni un amplio período ( función de producción de
la producción reali-
de corto período) o
largo período) (1) •
La probabilidad de mantener invariables las cantidades usadas de cien
tos factores naturalmente es mayor en el período breve que en el pe-
ríodo largo dond., con mayor probabilidad ocurrirán cambios en la tec-
nología y an la cantidad usada de todos los factores.
Por ejemplo una función de producción agrícola refleja el uso de
cantidades alternativas de mano de obra por unidad de tiempo para el
cultivo de una cantidad fija de tierra. Un fenómeno como éste (don-
de almenas un facCor es fijo) se asocia a una función de corto perla
do.
La empresa puede hacer dos tipos de selecciones: la elección de
período breve que.? implica adaptaciones, modificaciones ó ajustes par
cíales y la eleczión de período largo que implica adaptaciones, modi
fica:dones 5 aju.stes totales.
La eleición hecha al inicio de la vida de la'empresa es una elec
ojón de período largo. Una empresa ya constituida puede de tanto en
tanto hace: elecciones de período largo, es decir cuándo considera
variacionely en las cantidades usadas de todos los bienes que entran
2.-
en la producción, incluyendo bienes de Capital.
Sea la función de Producción.
X = F (Fi, F F. Fn) 1, 2, h , n+1-
donde F1 F2, h
: representan bienes de Capital ,
y dende Fh+1
Fn : representan factores variables
Si todas las anteriores variables independientes, en la función
son variables, es decir cambian, la función de producción es de lar-
go período.
En cambio si en la función de producción:
X = F (F1 F2
Fh,
Fh+1
Fn )
los elementos: F1,
F2 Fh permanecen constantes, se tratará de
una función de breve período.
Cuándo establecíamos la función de producción, no limitábamos
su validez únicamente al marco microeconómico. El análisis tradicio-
nal marginalista sobre la teoría de producción ha sido mudificado y
sustituido por nuevos avances cuyos objetivos se resumen así:
- Mostrar como se puede lOgrar una asociación entre el fenóme-
no de la producción individual y el sistema productivo global.
- Analizar por ésta vía las relaciones entre demanda y oferta
de productos al nivel de la economía global.
EL METODO, PROCESO O ACTIVIDAD DE PRODUCCION
La "combinación de factores insumidos, requeridos para la pro-
ducción de una unidad de un bién" se denomina método, proceso ó acti-
vidad de producción. Aquí usaremos el término "método".
Dicho bión, puede producirse por varios métodos. Por ejemplo la
producción de una tonelada de harina de trigo (la molienda), puede
efectuarse medianty el:
- Método I : utilizando 3 unidades de Mano de Cbra y 2 unida-
des de Capital (esto es 3T + 2C)
- Método II t utilizando 2 unidades de Mano de Obra y 3 unida-
des de Capital gesto es 2T + 3C)
- Método III. utilizando 1 unidad de Mano de Obra y 4 unidades
de Capital (esto es 1T + 4C)
sub.Yri método refltja esencialmente el procedimiento de transforma-
3--
ción física de los bienes.
El método, proceso o actividad suele representarse por un vector
en un sistema gráfico. La representación de los métodos I, II y III
es la siguiente:
donde, OI : representa el método, proceso o actividad I
0II : representa el método, proceso o actividad II
0III : representa el método, proceso o actividad III
La eficiencia del método de Producción
Un 4todo es más eficiente que otro, cuándo produciendo la mis-
ma cantidad de bién, permite hacerlo usando menor cantidad de al me-
nos uno de los factores, y no más, de otro u otros. De los m'étt,doe:
A 3 u:T y 3 uce
P 4 u.T y 40 u.0
roseta ser el método A, el más eficiente.
La tew-ía de producción que presume racionalidad en el proceso
productivo, no utilizará un método intficiente.
Un método no podrá ser técnicamente comparable a otro cuando in-
sume renos de un factor pero insume más del otro, respecto a un segun-
4.-
do método. Be los métodos:
A 2 rea y 4 X.0
6 X.T y 2 X.0
ambos métodos son técnicamente eficientes y están dentro de la función
de producción.
Fl concepto de eficiencia ha sido explicado desde el punto de
vista técnico, es decir dentro del proceso productivo. A nivel de
empresa ó industria ó economía en su conjunto, la adopción de un méto-
do productivo eficiente, o la selección de un proceso entre varias al
ternativas, sin embargo, no se basa únicamente en dicho juicio técni-
co, sinó además en un juicio económico el cuál implica la considera-
ción de los precios de los servicios de factores. (2)
Frecuentemente suele encontrarse discrepancias entre juicio téc-
nico y juicio económico, lo que conduce a que un método técnicamente
eficiente no necesariamente es eficiente desde el punto, de vista eco-
nómico. Naturalmente ésta discrepancia será más profunda si intervie
ne un tercer juicio político, por ejemplo el relativo a la asignación
de factores.
ISOCUANTA
Se llama así a une línea frecuentemente utilizada cuando deseamos
operar con funciones de producción.
Una isocuanta es el lugar geométrico de todos los métodos técni-
camente eficientes con los cuáles se puede producir una cierta canti-
dad de bién. En otros términos una isocuanta representa un conjunto
de combinaciones técnicamente eficientes de factores, pertinentes pa-
ra la producción de una. cierta cantidad de bién.
El grado de sustit2ibilidad de los factores determina la forma de
la isocuanta.
La función de producción describe no solo una isocuanta indivi-
dual sinó el cuerpo to.,a1 de isocuantas, cada una de las cuáles mues-
tra un distinto nivel ce producción, según las cantidades de factores
insumidos.
las ieocuantas suelen representarse por curvas de nivel, las cuá-
les en su parte relevante deben cumplir las siguientes propiedades:
- deben tener peldiente negativa
- sin ser necesariamente paralelas, no deben cortarse
5•-
- deben ser convexas al origen
Estas propiedades están demostradas en muchísimos libros y están
nlícitas en la definición de isocuanta dada antes.
°CUANTA LINEAL
Es una isocuanta caracterizada por la presunción de una perfecta
stituibilidad de factores en la producción de un bién.
Un bién cualquiera puede ser producido por:
- con especialización en el insumo de un factor
- con cualquiera de las infinitas posibles combinaciones de fac
tores.
Gxaficamente una isocuanta lineal se representa:
SOCUANTA INPUT-OUTPUT
Esta isocuanta implica estricta complementariedad de factores
equivalente a sustituibilidad nula) así como un único método de pro-
ucción para producir 1 bien. Su forma es igual a la de un ángulo
ecto. Suele designarse como isocuanta Leontief, después que el mis-
ic
SI
6.-
mo, inventó al análisis Input-output.
Gráficamente:
Esta función implica la existencia de un coeficiente fijo de pro
ducción. El coeficierte de producción es fijo cuándo no cambia la
composición ni la cantidad de factores usados por unidad de bién pro-
ducido. La razón factorial es constante a cualquier nivel producido.
ISOCUANTA QUEBRAD/.
Esta isocuanta se caracteriza por:
- presentar limitada sustituibilidad de factores
- su capacidad de operar con ciertos procesos en urden a produ-
cir un bien cualquiera
- aceptar sustituibilidad de factores solo en los ángulos.
También suele denominarse Isocuanta de Programación lineal por-
que ella es básicamente usada en programación'lineal.
7.-
En la figura siguiente:
3
se han representadc ó combinaciones productivas señaladas por a, b,
c, d, e, f. Cada uno de ellos implica una razón de uso diferente.
Uniendo el origen con cada punto se logra una línea denominada "Pro-
ceso" la cuál en todos sus puntos presenta igual razón de uso.
"Como definimos la característkca de la teoría marginalista es
que no considera un número limitado de procesos productivos y ésto
la diferencia del enfoque actual sin embargo, hay una semejanza entre
ambos tipos de análisis ya que se pueden combinar linealmente dos o
más p"ocesos en sentido que una cierta cantidad de producto en parte
puede ser obtenida con un proceso y en parte con otro. Para ello con
viene unir los puntos a, b, c, d, e, f, anteriores, obteniendo la que-
brada a - b - c - d - e - f, como se observa en el gráfico siguien-
te:
T
Esta quebrada es una Isocuanta con iguales características de la
Isocuanta de la Teoría Marginalista es decir es convexa al origen lo
cuál no permite que vengan combinados procesos productivos no conti-
guos por ejemplo c y e, puesto que se desperdicia el proceso d, que
es más conveniente pues usa menos factores.
También se puede hablar de una familia de Isocuantas. En el grá-
fico, otra Isocuanta es g - h - i - j - k - 1.
ISOCUANTA CONVEXA UNIFORME
Esta función implica:
- continua sustituibilidad de factores dentro de un cierto ran-
go (más allá del cuál no es posible)
• su forma es uniformemente convexa al origen.
Gráficamente: 9.-
En el análisis tradicional se parte de la isocuanta continua y
derivable, la cuál implica infinito número de combinaciones para un
mismo nivel de producto. En la realidad no existen infinitos métodos
de producir, sin& zlgunos, es decir un número limitado de métodos o
procesos.
De aquí surge el valor realístico de la isocuanta quebrada. In-
ge•ieros, empresarios y ejecutivos de producción consideran el proce-
so de prodqccitn como un proceso discreto más que continuo. En el
área industrial manufacturero se habla de un número limitado de pro-
cesos productivos eficientes.
El usar isocuantas continuas implica poder aplicar más fá-
cilmente las reglas de cálculo.
Nosotros consideraremos la Isocuanta Convexa Uniforme como la
apioximación 6 el límite de la Isocuanta quebrada, cuándo el número de
procesos es muy grande. AMOR
slc&;"Cl.S Z
101 I! a!
Una función de producción suele escribirse así: >
•
ESFEC1FICACTON Y CAMBIOS EN LA FUNCION DE PRODUCCION
Y = f iT,C,MP,N,RE,c)
10.—
donde:
Y = Producción
T = Mano de Obra
C = Capital
MP - mo+-rías primas
N = Naturaleza U-iorra) RE = Retornos a EanA14
c Parámetro de eficiencia
Además:
- Todas las variables son flujos, es decir ert;tv, melidns por
unidad de tiempo
- La relación tecnológica pura entre cantidades insumos y can-
tidades de producto está dada por f.
- Los precios de factores están ausentes de la función (Inter-
vienen a nivel de decisiones económicas de la empresa).
Sin embargo, numerosos campos de la producción se ha observado
que existe una relación oonstante entre materias primas y producto a
cualquier nivel de producción, por ejemplo, metros de tela por trajo
confeccionado, cantidad de colorante por litro de pintura etc., inde-
peadientes del número de unidades de bién final producidos. Consecuen
kesonte es posible calcular la diferencia entre el valor de la produc-
ción total (Y) y el valor de las materias primas (tP), determinando
un valor agregado (PT).
Lo anterior si bién conduce a una simplificación de la función de
producción, significa destruir la naturaleza tecnológica de la misma,
pues ha sido necesario introducir los precios del bién final y de las
matcriaJ primas a fin de hacer posible la diferencia.
El valer agregado (PT), resulta así, medido en unidades maneta-
rías,
Por otra parte N es constante para la economía considerada en su
conjunto y por tanto no entra en la función de producción agregada,
pero, no es constante para sectores o empresas individuales, por ésta
razón suele agregarse con la maquinaria y el equipo como si fuera ca-
pital C.
Por éstas razones la función técnica de producción asume en la
teoría económica tradicional la forma
X = f ( T,C,RE,c )
donde X representa la cantidad total de producción medida en unidades
físicas. También es importante aaadir que RE, interviene como varia-
ble en el análisis de largo período, en el cuál se presume habrán cam-
bios en las plantas de las empresas.
Finalmente el parámetro de eficiencia c, mide la capacidad orga-
nirativa y empresarial en la producción. El mismo debe ser capaz de
explicar como dos empresas con la misma dotación de factores (e igua-
les RE), pueden generar diferentes niveles de producto. Su interven-
ción está reservada, corrientemente, al análisis de largo período.
En base a lo dicho anteriormente, una función de producción de
corto periodo puede rerresentarse en un plano; de la. siguiente mane-
ra:
re
T o c
Formalmente,
X- -X1 f (T); caetaris Paribus C,RF y c
cuándo el caetaris paribus resulta alterado, X1 cambia q X1 ó X11
' 1 1
X2 = f (C); caetaris Paribus T, RE y c
.74..7, ..Y.
I
12.-
cuándo el caetaris paribus resulta alterado,
PRODUCTO TOTAL, MEDIO Y MARGINAL DE UN FACTOR
cambia a X21 X11 2
Para representar el producto total (X), el producto medio (I'M)
y producto marginal (Pm) de un factor, aislamos la variabilidad de
loe otros, factores, manteniéndolos constantes a un cierto nivel.
Gráficamente:
Fa
Cac: tov `dar,,
donde X representa el máximo producto alcanzable técnicamente con el
factor variable dado el factor fijo (sucesivos aumentos del factor va-
riable no implican aumentos en la producción)
En el gráfico, el PM está dado por la relación:
X1 = Producto total del factor variable ;
F1
número de unidades usadas del factor
usando f1
unidades del factor variable
El Pm está dado por la relación
X11 - X1 = cambio en el PT del factor variable
- Fl cambio (muy pequeño) en la cantidad usada de
factor variable
x
X
X,
13.-
cuándo se utiliza una cantidad adicional (F2 - F1), ) de factor varia-
ble. Suele designarse a (F2 - F1) con el nombre de unidad ó cambio
unitario del factor variable, pero la definición de unidad de factor
es un tanto convencional.
Con el fin de comparar PM y Pm, se suele considerar el Pm al lí-
mite, es decir
Pm F1 = t P T Fi
á F. - Tangente geométrica el PT
El comportamiento e.el X, PM y Fm obedece a la eficiencia do la
utilización del factor variable respecto a los otros fijos.
pean las siguientes curvas correspondientes a un factor variable,
por ejemplo mano de obra (T), caetnris paribus los demás factores.
I " PrrliT
donde X : prc.ducto total de la mano de obra (o del capital si nos re-
fer irnos a C en voz de T)
PMT : producto medio de la mano de obra
: producto marginal de la mano de obra
El PMT para cualquier puhto sobre el X está dado por la pendien-
te de la linea trazada desde el origen al punto sobre el X. El PMT
usualmente crece al principio, alcanza un máximo y luego decrece, pe-
ro es positivo mientras X sea positivo.
El PmT entre dos puntos sobre el X es igual a la pendiente ic
la curva del X entre esos dos puntos.
El PmT crece al principio, alcanza un máximo y luego decrece
El PmT se anula cuándo el X es máximo
El PmT es negativo cuándo el X decrece
La parte decreciente del PmT,Cilustra la ley de los rendimientos
decrecientes.
Una empresa racional podrá utilizar la cantidad que desee de fac-
tores dentro de ciertos limites, dentro de los cuáles se exige que
los productos marginales de dichos factres sean positivos y decrecien-
tes. Por ello 1,t teoría de la producción se concentra en niveles de
empleo de factores en los cuáles se cumple:
PmT = IX 'o y además, 1 PmT <o
PmC = ax >o y además, d PmC co
Regresando nuevamente a la consideración de las funciones iso-
cuantas, deberán ser de pendiente negativa y convexas al origen, si se
desea compatibilidad con las anteriores condiciones. Gráficamente:
F
Xs
X2
15.-
La frontera superior implica ?me = o en todos sus puntos
La frontera inferior implica FmT = o en todos sus puntos.
Como se puede apreciar, las partes relevantes de isocuantas es-
tán comprendidas dentro de la frontera superior FS y dentro de la fron
tera inferior FI. Las combinaciones situadas sobre ambas fronteras im-
plican productos marginales iguales a cero. Las combinaciones situa-
das por encima de FS y por debajo de FI implican productos marginales
negativos de al menos un factor productivo. En consecuencia la pro-
ducción técnicamente eficiente deberá corresponder a combinaciones
situadas entre ambas líneas de frontera. Ahí, las isocuantas tienen
pendiente negativa y son convexas al origen. A medida que las Iso-
cuantas se alejan del origen representan niveles mía altos de produc-
to.
RELACIONES ENTRE EL PRODUCTO MEDIO Y EL PRODUCTO MARGINAL DE UN FACTOR
Sea ésta la información pertinente a la productividad de un fac-
tor, por ejemplo mano de obra:
T Pm X PM
1 10.0 10.0 10
2 12.0 22.0 11
3 13.7 35.7 11.9
4 15.1 50.8 12.7
5 16.0 66.8 13.36
6 16.6 83.4 13.90
7 16.8 MAX 100.2 14.31
8 16.6 116.8 14.60
9 16.0 132.8 14.75
10 15.0 147.8 14.78 MAX
11 14.5 162.3 14.75
12 13.7 176.0 14.6
13 12.0 188.0 14.4
Podemos Istablecer:
Primera Relación:
Segunda 'Relación:
Tercera Relación:
Cuarta Relación:
Cuándo el Pm crece, el PM también crece
En su fase creciente el PM aumenta a un ritmo
inferior que el Pm
El PM sigue creciendo un tramo más, después que
el Pm ha dejado de crecer
Cuándo el Pm es mayor que el PM, la PM crece
16.-
quinta Relación: Cuando el Pm es menor que el PM, la PM decrece
Sexta Relación: Si la variable es continua, la PM muestra un máxi-
mo. En ese lugar Pm = PM
Séptima Relación: En la fase donde Pm y PM son decrecientes la tasa
de descenso de la Pm es mayor que la tasa a la
cuál desciende la PM.
Gráficamente:
pT 4
vi q,
o T
ETAPAS EN LA PPODUCC1014
Podemos usar ?_as relacione? entre PMT y PmT para definir tres
etapas en la producción (continuamos refiriéndonos al factor mano de
obra).
Primera etapa.: Dende el origen al punto donde PMT es máximo.
Segunda etapa: Desde el punto donde el PMT es máximo al punto don-
de PMT es igual a cero.
Tercera etapa: Cubre el rango en el cuál el PmT es negativo.
El productor 1L) opera en la tercera etapa, aún en el caso que
el precio de la mano de obra fuese igual a cero (factor libre), ya
que le conviene incrementar la producción total, usando menos traba-
PM l'„e> T
17.-
jo en una extensión de tierra dada.
Análogamente el productor no opera en la primera etapa, porque
como se puede demostrar la primera etapa pertinente a la mano de obra
corresponde a la tercera etapa pertinente a un otro factor por ejemplo
Capital (donde el PmC es negativo).
.;110 conduce a ser la segunda etapa, la única etapa de producción,
pertinente para el productor racional.
c vl"
Tasa Margjma de Sustitución de un factor por otro.- Parn definir es-
te concepto us necesario establecer otro supuesto: Que la cantidad de
PrOducto es constante:
Sea
X0 = f (fi, f2) Función que refleja todas las combi-
naciones de factores que generan una
misma cantidad de Producto Xo
La rep:esentaciót dé la anterior función se llama Isocuanta, la
cuál es descendente (No asume otras posiciones porque ellas implica-
rían procesos ineficientes)
Gráficamente:
donde F1 = cantidad usada de un factor
F2 = cantidad usada de otro factor
Esta Isocuanta nos dice que podríamos mantener constante el ni-
vel de producción disminuyendo la cantidad usada de un factor pero in-
crementando adecuadamente la cantidad usada del otro factor.
En el gráfico, pasar de F a Ftímplica dejar de usar F2 pero usar
más de F1, 6 sea un fenómeno de sustitución
La pendiente de la isocuanta á F2 define el grado de sustituibi-
lidad de factores. Dicha pendiente d disminuye cuándo nos movemos
a lo largo de ella reflejando la dificultad cada vez más grande de
poder sustituir Fl en lugar de F2.
Esta pendiente recibe el nombre de Tasa de Sustitución Técnica ó
Tasa Marginal de sustitución (TICS) y mide precisamente el grado de sus-
tituibilidad de un factor en lugar de otro,
Formalmente si deseamos que la producción permanezca
(trabajamos sane la misma isocuanta), es lógico pensar que:
invariable
de donde
- 4 F2
A Fl
PmF = - = TM S rF ? 1
P.77,
ax
ac
dx
áT
TMSC1T = o = o al---
dT
F2. " F2 = - i1 F1 PmF
1
En lar palabras: La TMS del segundo factor en lugar del primero
es igual a la relación entre la Pm del primer factor y la FM del se-
gundo. El valor de la TMS depende de la amplitud de los incrementos,
por tanto como en el caso de Pm conviene calcula:- la TM3 al límite es
decir cuándo los incrementos tienden a cero.
Otra forma de establecer la TMS es en base al razonamiento siguien
te. La pendiente de una curva en un punto es a la pendiente de la
tangent,, en ese punto de la curva.
La pendiente de la tangente se define como la diferencial total
de la misma. Para la isocuanta la diferencial total, es el cambio to-
tal en X, resultante de un pequeño cambio en ambos factores C y T
Naturalmente; si cambiamos C en áC, el producto cambiará áC veces el
producto marginal C, esto es:
( ac )( á x
'd C ) y análogamentecon la mano de obra
( áT )( á X (dTi
Toda isocuanta implica un nivel constante de producto, por tanto
el cambio total en el producto dX debe ser igual a cero.
Entonces:
a x dX ac + a T
a c a T
despejando .1C , tenemos dX
dC áT PmT
- dT aX - 77(1---
aC
A lo largo de la frontera superior se cumple
la,-
d X = 0
20.-
A lo largo de la frontera inferior se cumple
ax
TMST C = 1T o = o
1
La TMS tiene un serio defecto: depende de las unidades de medi-
da en que estén expresadas las cantidades de factores, limitación que
ha obligado a recurrir a un otro concepto: la Elasticidad de Sustitu-
ción.
Hay dos formas extremas de Isocuantas: Una forma so presenta
cuándo los factores son perfectamente sustitutos y por tanto la TMS
es constante.
Gráficamente:
Cant■dada s tlW factor 2
N
-r, Can d actor 1
Otra forma comporta la utilización de factores en proporciones es-
trictamente fijas.
Aquí es equivalente hablar no de dos, Binó de un solo factor
productivo.
21.1-
Gráficamente-
Fachor 2
Facto), 1
ELASTICIDAD DE SUSTITUCION flCNICA
En el proceso productivo por razones de orden técnico frecuente-mente y necesario sustitutivo un factor por otro.(5 si partimos desde
una posición-de equilibrio del productor y el precio de un factor ba-
ja, la posición de equilibrio será perturbada. En el proceso de res-
tablecer el equilibrio, (hacer mayor las utilidades), el productor
sustituirá éste factor (relativamente barato) en lugar del otro fac-
tor, hasta llegar a un nuevo equilibrio. El grado de sustituibili-
dad de un factor F1
en lugar do otro factor F2 resulta fundamental-
mente del cambio en los precios relativos de los factores ó de la ca-
lidad técnica de los insumos y se denomina Elasticidad de Sustitución
técnica: e.s.t.
En otros términos, la elasticidad de sustitución técnica mide el
cambio porcentual en la razón de uso de los factores, respecto al cam-
bio porcentual en la TAN de un factor en lugar de otro:
d Fl
e.s.t.
F2 I /
a TMS
11XORDe / 1), arrdc>.,S i -,,-.Ar sif • 2 , A \ L=::'''.> 't. 7
- 2
Nr‘-. _ se
T
I representa un proceso más intensivo en capital, que el proceso II,
es decir
C sl C2
T T1 2
Como se vé, la parte superior de la isocuanta incluye técnicas
o e.s.t. =
Fi i a lu 2
a lr TMS
o
e.s.t. es un número puro, independiente de las unidades de medida de
los factores numerador y denominador están medidos en
iguales unidades.
LA INTENSIDAD DE FACTOR
Este concepto es equivalente a la razón de uso y se mide por la
pendiente de la línea que representa .l método o proceso.
En la siguiente figura, considerando dos factores C y T:
más intensivas en capital y la inferior en mano de obra.
DETERMINACION DE LCS ANTERIORES INSTRUMENTOS DERIVADOS DE LA FUNCION
DE PRODUCCION
Efectuaremos éste cálculo en base a una función de producción es-
pecífica denominada Cobb-Douglas, convenientemente usada en investi-
gación aplicada y facilmente manejable matemáticamente.
Si la función Cobb-Douglas de la forma
X = bc. Tb1. Cb2
a) Cálculo de los Pm de cada factor
para T: PmT = X = bl. oo
. T 1-.1 C 2
T
PmT = b1. X
= b1 PMT
PmT = b1. PMT 1
k
para C:
IPone = b2 PMC
b) Cálculo de la TMS
aX X
TMS bl —U7--
T C = b1C 1
(IX b2 X b2T
dc c
TMS b,. C TIC
b2 T
c) Cálculo de la elasticidad de sustitución técnica, A priori
su valor siempre es igual a la unidad en una función Ccbb-
Douglas.
suma de los coeficientes (b1 + b2
)
Suponiendo que T y C son incrementados en K, el nuevo nivel
Veamos:
e.s.t. =
(Tms)
á( C .T
T C
fb,. C ei
b2
T
131'
1 e.s,t. = 1 1
intensiva en C
b2
Un valor bajo de b1 indica una técnica
en la
por bo.
bo
e) Cálculo de la eficiencia de producción. La eficiencia
organización de los factores de producción está medida
De dos empresas con igual Ti Ci b, y b2; será más eficiente
en sentido organizativo empresarial aquella que posea un bo
más alto.
f) Cálculo de los retornos a escala. Este concepto es pertinen-
En una fun-
medidos por la
largo período.
a escala están te al análisis de producción de
ción Cobb-Douglas, los retornos
b2 T
á • C \ . T
) ri ----
e.s.t. = I\TIC
b1 áC L 4
b
b1 b2
el I
d) Cálculo de la intensidad de factor. En una función Cobb-
Douglas la intensidad de factor esta medida por la razón ID" b2
Un valor alto de b1 indica una técnica intensiva en T
á
á
c
j e
25.-
de producto es:
fi = bo (KT)bl (KC)b2
= (b cb2) K(bi+b2)
o Tb
X)k = K(b1+1y2 \ X
Se representará (b1 + b2) por RE, es decir retornos a escala.
LA EXFANSION DE LA PRODUCCION DE LA FIRMA
Una vez instalada una firma, su objetivo de hacer máxima su uti-
lidad, esta precedida de una política económica específica a los cam-
pos en que actúa. Si nos fijamos en el mercado de bienes fiscales,
su política estará orientada a vender más o lo que es igual incremen-
tar la demanda específica a ella y además al máximo precio posible.
Normalmente el plan de ventas de la empresa mostrará incrementos los
cuáles deberán ser sostenidos con incrementos pertinentes en la pro-
ducción.
La expansión de la producción, es un fenómeno físico y esta go-
bernado por leyes físicas llamadas leyes de producción, las cuáles
describen procedimientos técnicamente posibles para incrementar la
producción. Existen muchísimas leyes especificas y dos leyes gene-
rales de notable significac,on:
la "ley le las proporciones variables" que opera •en el período corto
y la "Ley de los retonnos.a escala" que opera en el período largo (3)
En el período corto se presume la existencia de factores varia-
bles que operan junto a otros fijos. En cambio en el período largo
se presume que todos los factores son variables (adaptación total).
Consecuentemente la expansión de la producción con factores fi-
jos y variables es descrita por la ley de las proporciones variables
o también llamada ley de los rendimientos eventualmente de crecientes
del factor variable () y la expansión de la producción con factores
variables es descrita por la ley de los retornos a escala, (5)
Las leyes de producción se expresan formalmente a través de las
funclones de Producción. Toda func4.ón de producción implica leyes de pro
ducción.
LA LEY DE LOS RETORNOS A ESCALA •
Veamos un caso de retornos a escala, utilizando una función de
26.-
producción homogénea.
Sea la función de producción de largo período.
cuyos factores incrementamos en la misma proporción m (6) , de donde
resulta
X = F (mTme1)
Si no puede factorizarse en la expresión anterior tenemos:
X = mi F (T C ) l' 1
X = mi
PT1
donde el exponente i representará la potencia del impacto generado
sobre la producción, por el cambio en las cantidades usadas de facto-
res.
Una función de producción será homogénea ó lineal homogénea cuan
do, como en el caso anterior, m, puede ser factorizado (7). En caso
contrario es no homogéneas la potencia de m mide el grado de homogenei-
dad o en otros términos los retornos a escala. Los retornos a esca-
la serán crecientes, constantes y decrecientes según i sea mayor, igual
o menor que uno, respectivamente.
LA LINEA DE EXPANSION DEL PRODUCTO. UN CASO PARTICULAR: LA ISOCLINA
La función de prcducción puede representarse como una superficie
en el espacio o en un plano de dos dimensiones donde los niveles de
producción están representados E.or funciones isocuantas.
La expansien de la producción se mide sobre las "líneas de expan-
sión del producto" las cuáles muestran los movimientos físicos de una
isocuanta cuando incrementamos un factor o ambos (8)
Las líneas de expansión del producto describen los caminos (al-
ternativos) técnicamente posibles para expandir la producción (9).
La línea de expansión del producto partirá del origen o será pa-
ralela a uno de los ejes, observando constantes variables razones de
uso; segun las proporciones en que sean combinados los factores, res-
pectivamente.
Un tipo de línea de expansión del producto es la Isoclina, la
cuál representa el lugar de puntos de isocuantas cuyas tasas margina-
les de sustitución de factores son constantes.
X = F ( T1C1)
Una Isoclína puede ser recta o nó. Es recta e implica iguales
razones de uso de factores cuando corresponde a una función de produc
cióa homogénea (lo). Si la función de producción es no homogénea,
(115 las isoclinas no son rectas sino curvilíneas
REPRESENTACION DE LOS RETORNOS A ESCALA SUPONIENDO HOMOGENEIDAD DE
LA FUNCION DE PRODUCCION (12)
Utilizando líneas de expansión del producto (isoclinas), podemos
observar:
a) Retornos constantes a escala
Midiendo sobre la iSoclina la
distancia entre isocunntas mul-
tiplos ( X12)(.13X....) es cons-
tante-.
OM = MS = ST
3 X
2X
1T 3T T
T
28.-
b) Retornos decrecientes a escala
3X . Midiendo sobre la isoclina, la
distancia entre isocuantas mdl-
tipler (X1 2X13X ) aumenta
al aumentar los niveles de pro-
ducción.
OM < MS <ST
1 z'r c) Rendimientos crecientes a escala
Midiendo sobre la isoclina la
distancia entre isocuantas múl-
tiples (X13X19X....) disminuye
al aumentar los niveles de pro-
ducción.
OM > MS >ST
T 2T 3T -r
RETORNOS VARIABLES A ESCALA
Se .ha presumido que los retornos a escala sean los mismos, sobre
toda la superficie de producción o sea a lo largo de todas las líneas
de expansión del producto. Esto equivale a decir que todos los proce-
sos (pertibentes a una función de producción) muestran los mismos re-
tornos a todos los niveles de producción esto es: retornos constantes
en todas partes, crecientes en partes o decrecientes en todas partes.
. Sin embargo, las condiciones técnolóvicas suelen oponerse a ésta
presunción y dar '...ugar a que los retornos a escala varien a diferentes
niveles de producción en una misma función de producción. (13) Elto
origina los llamados retornos variables a escala.
Las funciones de producción con retornos variables a escala son
menos manejables y más complejas como instrumentos prácticos de aná-
lisis, gráficament.?. una función con retornos variables a escala puede
10.10A
4,5 yS
• N: lon 9 c
REGISTRO No. Ú O 4 5 5 7 2><
X
x
29f-
representarse así:
Cuando la tecnología muestra retornos crecientes o decrecientes
a escala, ello puede o no implicar una función homogénea de produc-
ción. La homogeneidad se asume solo para simplificar el trabajo es-
tadístico, aunque suele ser muy restrictiva.
CAUSA DE LOS RETCRNOS CRECIENTES A ESCALA
Su aparición suele atribuirse a dos grandes causas
Las indivisibilidades técnicas
Las indivisibilidades administrativas
Emergentes de haber adaptado plantas físicas y administrativas
mayores a las requeridas en una primera instancia. Esto quiere refle-
jar que la generalidad de los procesos productivos presentan una alta
flexibilidad a la expansión pero una enorme rigidez a la contracción.
Con otras palabras los procesos se pueden duplicar 6 triplicar en su
dimensión pero no subdividirse.
Una de las características de la tecnología industrial avanzada (1$)
es la utilizaciól de métodos dé producción en masa . Orden tecno-
logía es aprcoecnable cuando la producción total es grande. Y algo
e. • ~ 00.42~~~..0,
importante es que un proceso ó método asociado a una gran escala se-
rá más eficiente que el mejor proceso aprovechable asociado a una pe-
queña escala. Por otra parte existen servicios técnicos y máquinas
que son plenamente utilizadas cuando se alcanza y sobrepasa un c4er-
to n4.vel productivo, veamos éste proceso mediante un ejemplo:
Sean los siguientes procesos y escala
Proceso I Proceso II Proceso III
(pequeña escala) (mediana escala) (gran escala)
T 20 1000 2000
C 20 1000 2000
X 20 2000 8000
Supondremos que la razón de cero es constante en cada proceso y
que la dimensión de la unidad técnica, es la misma en cada uno de ellos.
Es más productivo técnicamente el proceso en gran escala que el
proceso en pequeña escala. Si ambos procesos fuesen técnicamente,
igualmente productivos, normalmente las empresas duplicarían o tripli-
carían el proceso pequeño, si su deseo fuera expandirse, puesto que re-
sulta familiar operar con dicho progreso (economías internas técnicas
de la empresa emergentes de conocer las características de un proceso
de producción), sin embargo, aunque cada proceso en si mismo muestra
retornos constantes a escala, las indivisibilidades tenderán a origi-
nar retornos crecientes a escala.
Si se desea un X <1000, se podría usar el proceso I con rendi-
mientos constantes a escala. Fi se desea 1000 C X C72000, el indicado
es el proceso mediano, como se puede observar al pasar del pequeño
al mediano proceso se presenta una discontinuidad Pues 999 T Y 999 C
generan 999 X (con el proceso I) y 1000 T junto a 1000 C generan X=2000
(con el proceso II)
El lector estará de acuerdo que en general cualquier producto con
sentido común preferirá la mediana en lugar de la pequeña escala.
Incluso se llegara al extremo que un proceso sea usado siendo
ineficiente, pues aún así ineficiente, es relativamente más eficiente
respecte a otro proceso que implique menor escala. Por ejemplo si de-
sea satisfacer una demanda de 1600 unidades de X, seria recomendable
usar el Proceso II en nuestro ejemplo, producir 2000, vender 1600 y
deshechar 400 (suponiendo corto de venta y deshecho, nulo).
Este es un fenómeno ar:artiente real, pues la presunción de la teo-
. '414,~~1Becteir-17.,
no
es
o d
SO
Y
cat
ro.
31.-
( en particular los bienes
es demasiado realista.
de capital es que son indi-
e indivisibilidad pues
que presenta producir 1600
en particular en Bolivia
iva sub-utilización de plan-
ría en sentido que los factores producti
de capital sean perfectamente divisibles
Una característica relevante de los bien
visibles. El anterior ejemplo es un C86
pueden no existir máquinas para un proce
unidades de X. En las economías latines
existen estudios que reflejan la signifi
tas, sobre todo en el sector manufacture
Técnicamente, las indivisibilidades
continuidades en la función de producció
de las mismas.
n
VO
de factores conducen a dis-
ue rompe la homogeneidad
CAUSAS DE LOS RETORNOS DECRECIENTES A ESCALA
La causa más común se encuentra en la
to de la dirección de la empresa asociada
tración de un producto total cada vez más 1
la administración ha desarrollado sistemas
ción, las empresas suelen sobre pasar el p
y las deseconomías administrativas, se hay
isminución del rendimien-
on la producción y adminis-
rande aúnque la ciencia de
funcionales de administra-
ano óptimo de rendimiento
en presentes.
Otra causa se asocia con la agotabili
les o no renovabilidad de los mismos. Por
forestal o minera, aumentando el turno de
probablemente la producción no aumentará o
dad de los recursos natura-
ejemplo, en la explotación
trabajo diario ocho veces,
cho veces.
en la calidad, de los fac-
la calidad de los mismos es
lentes. La calidad de los
empresa si no desea hacer
s mismos
Aunque la teoría presume homogeneidad
tores, en la realidad la heterogeneidad en
una causa significativa de retornos decrec
mismos debe controlar escrupulosamente la
frecuentes reparaciones o reposición de le
LEY DE LAS PROPORCIONES VARIABLES
Hemos descrito esta ley como aquel la
de la producción es paralela al eje del fe
tor es fijo) y el producto marginal del fe
tualmente. (16) El período considerado E
Según la teoría tradicional, la prodt
empresa está ubicada en un margen o rango
ginal del factor variable debe ser positil
este rango la producción no es de equilib]
en que la línea de expansión
ctor variable (el otro fac-
ctor variable disminuye even
s breve.
cción de equilibrio de una
en el cuál el producto mar-
o y decreciente. Fuera de
io.
Si la t:mpresa (en el corto periodo) rabaja con una función homo-
32.-
génea que implique retornos constantes o decrecientes a escala sobre
toda la superficie de producción; la productividad marginal del fac-
tor variable inevitablemente bajará.
Pero puede ocurrir que si la empresa (siempre en el corto perío
do) trebeja con una función de producción homogénea que implique re-
tornos crecientes a escala, la disminución de la productividad mar-
ginal del factor variable puede compensarse con dichos retornos cuan-
do aquellos son muy fuertes y consecuentemente el producto marginal
del factor variable es creciente. Sin embargo, no sucede normalmen-
te.
La ley de las proporciones variables puede verse gráficamente.
a) Caso de la función de producción homogénea con retornos cons-
tantes a escala en toda la superficie. Los retornos del fac-
tor variable eventualmente decrecerán (esto se implica por
la pendiente negativa y la convexidad de las isocuantas).
•
Con C y T producimos X
Con 2C y 2T producimos 2X
Con c y 2T producimos X1C2X
. . PmT decrece
2X
.................... )(I
aT
b) Caso de la ::unción de producción homogénea con rendimientos
decrecientes a escala 'en toda la superficie. Los retornos
del factor variable con mayor razón que en el caso anterior
serán decrebientes.
c 33•-
2T
- • Con Z. y T producimos X Con 2C y 2T producimos X
1 donde X1 ¿ 2X
COn -5 y 2T producimos Xilz, X1
PmT es altamente decreciente
c) Caso de la función de producción homogénea con rendimientos
crecientes a escala. Los retornos del factor variable en ge-
neral serán decrecientes (Excepto en caso anormal que consi-
deramos en el inciso d)
C
2C
c
ZT T
34.-
d) Caso especial. El retorno del factor variable es creciente
en razón a que los retornos a escala son tan fuertes como
para compensar la productividad marginal decreciente del fac-
tor variable.
ci
T
Con ti y T producimos X
Con 2C y 2T producimos 8X
Con C y 2T producimos 4X
Como se v&, manteniendo C constante y duplicando T1 hemos cuadru-
plicado el X. Luego el producto marginal del factor variahle es cre-
ciente.
LA PLANTA, EL PROGRESO TECNICO Y LA FUNCION DE PRODUCCION
La planta puede definirse como el complejo de bienes de capital
que dispone y utiliza efectivamente la empresa en la producción. La
planta junto a otros elementos productivos, constituyen la organiza-
ción productiva..
En el corto periodo, la organización productiva se caracteriza
por una planta dada y los otros elementos productivos variables.
En óstas circunstancias, dada la planta (establecida su dimen-
sión) la selección d) la empresa se refiere al procesa de producción
adecuado y disponible, que en no pocos casos se reduce a solo uno.
. 4.~ 0 14.11^Kstlets~aw :
35.-
Los factores que constituyen la planta, en razón a que estable-
cen un límite máximo a la expansión de la producción se llaman "limi-
tacionales" en tanto que los factores que pueden ser según los casos
sustituibles entre si, se llaman "sustitucionales".
El progreso técnico está asociado a cambios en la tecnología,
lor cuáles implican el conocimiento de nuevos y más eficientes,méto-
dos de producción (17), Estos conducen a elevar la eficiencia del
proceso productivo y al desplazamiento de algunas técnicas que se ha-
cen ineficientes y ulteriormente deben salir de la función de produc-
ción.
El progreso técnico puede representarse gráficamente mediante
cambios en la posición y situación de la función de producción, sea
con funciones de producto total de un factor o mediante funciones
ísocuantas.
-40
4O
2.0
FORMAS DE PROGRESO TECNICO
Considerando el efecto que genera el progreso técnico en la tasa
marginal de sustitución de los factores, Hicks establece:
- Progreso técnico intensivo en capital
- Progreso técnico intensivo en mano de obra
36.-
- Progreso técnico neutral
PROOPESO TECNTCO INTENSIVO EN CAPITAL
Si a lo largo de una línea con razón de uso de factores constan-
te, la TMS, 1C = PmT 1 , aumenta,esto implica que el progreso téc-
nico ha aumentado el PmC más rápido que el PmT. Es decir la efi-
ciencia del C ha aumentados
Geométricamente la pendi,ente de las isocuantas desplazadas resul-
tan ser merores a lo largo de cualquier radio dado. Gráficamente:
El progreso técnico ocasiona el desplazamiento de X a X1, X2..etc.
PROGRESO TECNICO INTENSIVO EN MANO DE OBRA
Si a. lo largo de una línea con razón de uso de factores constan-
te, la TNS, = - rail , aumenta en valor absoluto, esto implica
que.el progreso PmC técnico ha aumentado el PmT más rápido que el
Pire. La eficiencia dcl trabajo ha aumentado.
Geométricamente, aumenta la pendiente de las isocuantas desplaza-
37.-
das, a lo largo de cualquier radio dado.
Gráficamente:
C A
T
El progreso técnico implica desplazamientos de X a X1, X2....etc.
PROGRESO TECNICO NEUTRAL
El progreso técnico será neutral, si logra incrementar el produc-
to marginal de ambos factores en el mismo porcentaje de manera que la
TMST1 C = PmT , a lo largo de cualquier línea con razón de uso dc
- -plc- factores contantes (que en éste caso, además es isoclina) permanece
constante. Las isocuartas se desplazan hacia abajo, paralelas a sí
mismas.
Gráficamente:
38.-
T
El progreso técnico ha ocasionado desplazamientos de X a X1, X2'.etc.
EL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA •
Económicamente, una empresa está en equilibrio cuándo ha logrado
hacer máxima su utilidad (18), lo que implica que, técnicamente, ha
logrado producir utilizando una combinación óptima de factores. Dicha
combinación óptima de factores ha sido seleccionada en base a la fun-
ción de producción.
Aquí, presentaremos cuatro casos de equilibrio de la empresa:
Caso A) Cuando la empresa maximiza condicionalmente su utilidad
a una capacidad de compra de recursos asignada a la em-
presa en un periodo dado.
Caso B) Cuando la empresa maximiza condicionalmente su utilidad
a una cuota fija de producción, de un bién o servicio,
en un período dado.
Caso C) Cuando la empresa maximiza incondicionalmente su utili-
dad, expandiendo su producción a través del tiempo (to-
dos los factores son considerados variables):
Caso D) Cuando la empresa está inducida a expandir su producción
en el corto período (donde al menos un factor es fijo)
La inducción puede originarse en un exceso de demanda 45,
5t2.5:
\ \
' en alguna otra exigencia del mercado. ‘1- e= .su
En los cuatro casos anteriores presumimos:
- Que toda empresa está capacitada para poder seleccionar su
mejor combinación (óptima) de factores.
- Que en el mercado de factores existe el factor en cantidad
suficiente para satisfacer, la demanda de la empresa por el
factor.
Ninguna empresa es filantrópica. Toda empresa pretende ha-
cer máxima su utilidad definida como la deferencia entre in-
gresos y costos.
El precio del bién o servicio producida por la empresa está
dado, así como los precios de los factores.
En un sistema capitalista, normalmente se afirma, la empresa
pretende hacer máxima su Utilidad. Esta afirmación así aislada pre-
sentada como objetivo, plantea hoy día algunas dudas. Sin embargo,
precisamos que es un objetivo razonable en un sistema capitalista
competitivo. En éste sistema no hay duda que es altamente aceptable,
no solo porque le interesa aprovechar más al empresario produciendo a
los más bajos costos y vendiendo en los mejores mercados, sinó porque
resulta extraordinariamente importante el permanentemente creando efi-
cienCia a fin de no ser expulsado del mercado por otros empresarios
que tuvieron el buen sentido de indagar continuamente buscando nuevas
técnicas y produciendo más eficientemente.
Sin embargo, el criterio de Maximización es enfocado por lasem-
presas en diferentes sentidos respecto al tiempo, pues resulta razona-
ble que algunas empresas quizá no consideren conveniente obtener, hoy,
un alto margen de Utilidades, con tal de lograr mayores utilidades en
el futuro ó al revés es decir en la búsqueda de Utilidades presentes.
Todo deperde del comportamiento del Sistema Económico dentro del cuál
opera la empresa. Un sistema económico altamente inestable inducirá
a la empresa a comportarse de una manera diferente que si el sistema
fuera estable.
Si se supone que el sistema económico se desarrolla a una tasa
constante, puede suponerse que los precios son constantes y la -tasa de
interés, como medida del margen de Utilidad, también. En tal caso la
e:zpansión de la producción se debe al ingreso de nuevas empresas, las
cuales operan simila-mente entre sí y donde cada una maximiza su Uti-
lidad hoy y espera hacerlo en todos los períodos por venir.
4o.-
EL. CASO A
Respecto a éste caso, el equilibrio puede expresarse formalmen-
te:
U max = I A. U
U max = X ekh - er;
donde
U max = máxima utilidad
= ingreso total que recibe la empresa productora.
Se puede escribir I = X-17x
= Disponibilidad monetaria dada que tiene la empre-
sa para comprar factores.
X = Cantidad de producción física de un bién o servi-
cio.
Px = Precio del bién o servicio (considerado dado)
Considerando que Vx y U, están dados (son constantes en la rela-
ción anterior), la maximizad& de U solo puede lograrse maximizando X.
Para explicar la maximización de X es preciso definir dos instru-
mentos.
1.- El mapa de curvas isocuantas
2.- Las funciones isocosto
como vimos antes, el mapa de isocuantas se refiere a la representación
en un plano de la función de producción utilizando 2 factores produc-
tos variables y curvas,de nivel, cada una de las cuáles representa un
cierto nivel de producción. Formalmente las funciones isocuantas se
expresan: Gráficamente
X. = F(C.,T.) 1 3.
donde
X. = representa un nivel
i de producción
C. = cantidad de capital
T. = cantidad i'de traba-).
jo
X,
X,
1
41.-
La pendiente de cada curva iscunnta está dada por:
dX
dT
- dC TMS PmT
T1C
PmC dX dT
dC y su forma es mucho más irregular y hor.ogenica que las que aparecen
diseñadas en el gráfico anterior.
La función isocosto, representa el lugar geométrico de todas las
combinaciones de factores que la 'firma puede comprar, haciendo un desem-
bolso nonetario igual a 5. formalmente
G = iC + T
donde:
i = precio por el servicio del factor capital
s = precio por el servicio del factor trabajo
Gráficamente:
42.-
La pendiente de la línea isocosto está dada por la razón de pre-
cios de factores(19), en este caso
s
En los países con inflación aguda, resulta altamente irrelevan-
te representar de ésta manera una función isocosto, pues la relación
s se altera significativamente.
Es interesante observar que cualquier prelio sobre Co To satis-
face el peder de compra de la empresa dado por
donde el valor para cndá punto de la isocuanta, es• decir cada combi-
nacitn alternativa posible se encuentra solucionando para cualquiera
de la variables.
C = G - s T
T = G - i C s s
donde 04 T4 To
donde O 5 C G Co
Después de definir las anteriores herramientas, iscuantas e iso-
costos, estamos en condiciones de determinar el equilibrio de la em-
presa en el Caso A, el cuál se logra, haciendo máxima la variable X
condicionada a la restricción monetaria -5
Sea la función de producci3n:
X = F (T1 C; c,
la cuál presume dados G, í, s
El valor máximo de X se logrará con una óptima combinación de
factores, capaz 4e ser adquirida por la empresa con su presupuesto
monetario dado. Gráficamente:
CES \ Il
- X 2
X
X o
E.
43.-
X, representa la mama producción alcanzable, utilizando la combina-
ción (Tl' C1 ) y con un presupuesto monetario dado.
Sería deseable lograr X2, pero excede los recursos financieros,
dados por la línea C o To. Tampoco Xo es pertienente pues implica la
su-utilización de la empre!sa de su presupuesto financiero. M y N son
combinaciones irracionales para un producto con criterio económico.
El punto de equilibrio , E0 únicamente, com.° se y& en el gráfi-
co es el que satisface el propósito de lograr un máximo nivel de pro-
ducción ajustado a un presupuesto pre-establecido(20) En ese punto
gemétricamente, las pendientes de ambas funciones (isocuanta e iso-
costo) son iguales, la cuál satisface la primera condición de equi-
librio que formalmente se expresa
dX
s = PmT = aT = TMSTC i PmC dx 1
La segunda condición de equilibrio exige que la isocuantas deben
ser ccnvexas al origen. La concavidad determinaría que el punto P 111,
anterior, no defina una porción permanente de equilibrio pués si los
precios de los factores se mantienen constantes y el productor actúa
inteligentemente, buscará su equilibrio logrando la llamada "solución
de esquina" y consecuentemente utilizando un solo factor productivo(21)
Gráficamente
c
: otk- • - -
44.-
El yEll configuran la "solución de esquina".
Matemáticamente podemos determinar el equilibrio de la firma en
el caso A:
El empresario busca máximitar:
X = F (T1C)
condicionado a t.; = sT + i
C
Este problema de máximo condicionado puede ser resuelto multi-
plicadores de lagrange. Para ello
Reinscribimos la condición, en la forma
- sT - iC = o
multiplicando por el multiplicador de lagrange
},c (U sT - iC) ti o
Los multiplicadores ae lagrange son constantes indefinidos, las
cuáles son.usadas para resolver máximos o mínimos condicionados, su
valor se determina simultáneamente con los valores de otros elemen-
tos desconocidos (C y T en el presente caso) y habrán tantos multipli-
cadores como condiciones en el problema.
Así se logra obtener una función máximizada compuesta.
Xmax = X + A (N sT iC)
donde Xmax equivale a la función maximizada y ésta implica el produc-
to máximo.
P1 proceso de maximización es tradicional, haces la primera deri-
vada igual a cero
á X max = dX + A ( - 8 ) = o dT —77— 1t-----P-A0 mi
41.1̀1 itt cr: A,15° .
d x max = dX + ( - i ) = o e. r,;!fintA .1. —Te de f:
• Ny
e
d 74, 2 B
Solucionando, estas equaciones para 2: y G tenemos.
á x
A = d T = PmT
X
A = A c = PmC
i i
gkiNYOR aF
a x Inax = G - sT - iC = o
7 = ic (21a)
dc.1 ronde
P m T = 5
m C
que refleja la primera condición del equilibfio de la empresa. La se-
gunda condición del mismo exige que las pendientes de las productivi-
dades marginales anteriores, sean negativas es decir:
Pendiente de PmT = d2X 4. o
aT2
Pendiente de PmC = á2x o e2
además a2- x
a2x
¿T2 ) dC2
‘ d2X
2
aTaC )
a fin de establecer convexidad en las isocuantas.
Cumplidas las condiciones se producirá el bién en condiciones,
todas que no existe otra forma más conveniente, económica y eficien-
te de hacerlo.
EL CASO B
Respecto a este caso el equilibrio puede expresarse formalmente:
U m,';x I - G
máx = XPx - G
donde:
UmAx . máxima utilidad
Y = Ingreso total que recibe la empresa productora, por ven-
tas. En este caso el valor de la producción está dado
y por tanto I es constante se puede escribir Y = 7.15x
considerando que X 17x, estan dados en la anterior relación, la maximi-
zación de las utilidades solo puede lograrse, minimizando el costo.
Para lograr el equilibrio de la firma, en este caso, como en el
caso A, utilizaremos funciones isocuantas e isocostos y el óptimo
(míni costo) estará representado por la tngencia entre la más baja
Isocosto y la isocuanta convexa dada. Las presunciones establecidas
en el caso A, también son válidas para el caso B. Conceptualmente el
caso B es diferente al caso A pués debemos operar con una sola iso-
cuanta cuanta y un conjunto de funciones isocosto peralelo entre sí
46.-
(en el caso A se trataba de un conjunto de isocuanta junto a una lí-
nea isocosto dada).
Gráficamente:
Co
To
Son deseables (por su menor costo) combinaciones por debajo de E.,
pero no suficiertes para lograr Xo. Al contrario puntos por encima
de Eq implican costos más altos y niveles más altos de producción que
la deseada. Corsiguientemente E implica una paralínea de óptimo o lo
que es igual de mínimo costo como en el caso A. El significado de
equilibrio es el mismo. En Eql las pendientes de isocuanta e isocos-
to coinciden y las isocuantas son convexas al origen.
A continuación, presentamos formalmente la situación de equili-
brio equivalente a hacer mínima la función:
G = F(X) = sT + i C
condicionado a = F (T1C)
- F (T1C) = o
pre multiplicando la condición por el multiplicador de lagrange
A - F (T1C)) = o
47.-
obtenemos una función máximizada compuesta (...
Gmín = G - )1 (X - F (TiC)
• • '. Gmín = (sT + iC) - , 13? - F (T1
C )1
derivados respecto a cada una de las variables e igualando a cero (pri-
mera condición de mínimo)
Gmín = s - a F(Tic) = ax = o
T dT dT
d Gmín F(T -) 1C) áx - o
C dC de
d Gmín
á
- F (T C) 1 = o 1 j
De las anteriores expresiones obteremos
5 "t. aTX
, dx (1. de
= F(T1 C)(23)
de donde dX
s = dT = PmT = TMS -77 - PmC T
1C
-ar como se observa llegamos a la conclusión obtenida en el caso A. La
segunda condición (siguiente) relacionada a la convexidad (24)
de las
isncuantas esta dada por
a2x • 0 á2x , o á2x Vá-, 7 x *1( á-x ,
--71 777 lí . ac2 dT dc fi cacle dT2
Cnn fines ilustrativos veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Si dos factores tienen el mismo costo, la sustitución se rea-
liza comparando sus correspondientes productos marginales. Se usa
más aquel factor cuya Productividad Marginal es mayor.
Si dos factores tienen diferente costo, no basta comparar las pro-
ductividades marginale.s. Veamos un ejemplo:
Se tiene conocimiento de la siguiente información, referente a
dos factores 1 y 2.
Precio del factor 1 igual a 100 lb.
Producto Marginal del factor 1 igual a 15 unidades de un bién.
Precio del factor 2 igual a 200 $b.
Producto Marginal del factor 2 igual a 20 unidades de un bién.
Para decidir como hacer la sustitución de factores *6 hasta que
nivel contratar dichos factores, no basta fijarse solo en el precia
de ellos, ó únicamente en sus productividades marginales, debe consi-
derarse ambos elementos, precios y productividades, en la relación
determinada antes
F2F1 PF1
PF2
y que respecto a los datos numéricos de nuestro ejemplo, resulta
15 = 0,15 ; 20 = 0,10
100 200
La interpretación de éstos resultados es:
0,15 indica la productividad marginal correspondiente a una cierta
cantidad de factor 1 adquirida con lib.
0,10 : indica la productividad marginal correspondiente a una cierta
cantidad de factór 2 adquirida con 1$b.
Como se observa llb. gastado en el factor 1 tiene una mayor pro-
duCtividad que 1 $b. gastado en el factor 2.
La relación PMgFise llama Productividad Marginal Ponderada del
factor i. PFi
La resgunta pertinente ahora es. Hasta qué punto debe sustituir-
se un factor por otro? Es lógico pensar que la sustitución no puede
hacerse indefinidamente, arribando a la especilización en el uso de un
factor. Técnicamente sabemos que superado un cierto nivel de uso de
factor, 53 presentan rendimientow decrecientes. Simultaneamente, el
factor que se va usando menos, irá presentando rendimientos crecien-
tes, de renera que respondiendo a la _pregunta diremos, la sustitución
entre factores ó la contratación de ellos deberá hacerse de modo que
en todo ncmento se cumpla, la siguiente relación
PMgF1 r PMgF2 = TMSF2'
x1
PF
1 2
que tamb:.én puede escribirse:
PMgF1 = FlgF2 = TUS
de factores.
149.-
PMgF2 P2 = TMS
F2'Fl 1 PMgFi
y se habla de una combinación económicamente eficiente de factores
productivos cuándo las productividades marginales ponderadas de am-
bos factores son iguales 6 en otros términos cuando la Tasa Marginal de Sustitución en la producción es igual a la relación de precios en
el mercado de factores. El primer término de la anterior relación (y
por igualdad también el segundo) representan la Tasa Marginal de Sus-
titución TMS.
Nótese que la TMS en la Producción es decreciente, lo cuál es
compatible con una Isocuanta convexa al origen.
CASO C
Aquí, consideramos a todos los factores de la producción varia-
bles, se trata del largo período, y no existe limitación técnica o
financiera a la expansión de la producción.
En estas circunstancias, ].a preocupación de la firma radica en
la busqueda del camino óptimo de expansión de SU producción, el cuál
le permita hacer máxima su utilidad, y si se presumen dados:
- los precios de los factores productivos y
- la función de producción
dicho camino óptimo de expansión estavá definido corno el lugar geomé-
trico de puntos de tangencia de sucesivos isocuantas e isocostos eso-
costos reales y paralelos entre si).
Si la función de producción es homogénea, el camino de expansión
será una línea recta desde el origen (la cuál implica razón de u30 de
factores constante) cuya pendiente depende de la relación de precios
501-
La firma expandirá su producción sobre I, sí la relación de pre-
cios es s y lo hará por II, si la relación es s1
I y II no serán rectas, aun si el preeio_de factores es constan-
te. Gráficamente:
CASO D
Por cualquier circunstancia (25)la firma se puede ver obligada
a expandir su producción en el período corto, lapso en el cuál los
precios de los factores no cambian'y al menos un factor es constante
(normalmente el capital o planta). En estas circunstancias, su ex-
pansión no se realiza por el camino de expansión óptima que estudia-
mos antes, sinó por un nuevo camino diseñado en base a la limitación
del factor constante(26). En el siguiente gráfico el producto debe-
ría expandirse en equilibrio sobre la línea I pero se lo puede hacer
sobre C C en el corto perf3do o o ̂
(o
c Xz
51.-
Las combinaciones situadas sobre Co Co implican desde otro pun-
to de vista, mayores desembolsos para la empresa respecto a un mismo
nivel de producto pues como se ve en el diseño anterior por ejemplo
el punto s refleja un nivel de sembolso (dado por la isocosto) capaz 1
de permitir un nivel de producción X2 si el factor capital no fuese
limitante y la producción se realizara con la combinación óptima
Tanto R). Sin embargo, (hecho para el punto R) con factor capital li-
mitante y con el mismo desembolso solo es posible lograr un nivel de .1
producción equivalente a X1 -- 2 eis.
En otras palabras, si deseamos producir un nivel de producción Xl,
sin limitación del factor capital, nuestro costo ascendera a aquel
dado por la isocosto que para por N. En cambio con limitación del
factor capital, el mismo nivel X1 de producción obtendremos desembol-
sando más, esto es el costo dado por la isocosto que pasa por R.
Hemos supuesto que los precios de los factores no han cambiado.
El lector no deberá olvidar que en los casos A,B y C se ha pre-
sumido variabilidad en los precios de factores y el equilibrio se ha
logrado cuando.
PmT = s
PmC
si los precios de los factores se hizieron constantes, por ejemplo
por la existencia de monoprecio en el mercado de factores, la relación
anterior se transforma en
PmT = costo marginal T
PmC costo marginal C
EL CALCULO DE LAS FUNCIONES DE CUTO EN BASE A FUNCIONES DE PRODUCCICV
Asignando un precio a los factores productivos(2?)correspondien-
tes a una función de producción dada, con rendimientos constantes a es-
cala; la función de costo total está dada por el lugar de puntos de
tangencia de sucesivos isocuantas e isocostos.
Como hemos dicho a una específica función de producción es inhe-
rente también una específica tecnología.
Aprovechando un tecnología disponible, la empresa puede produ-
cir une unidad de bién, por diferentes maneras, métodos o procesos,
los cuáles abaorven diferentes cantidades de factores Por ejemplo,
la producción de un bién x puede realizarse por cualquiera de los si-
guientes procesos:
52•-
PROCESOS HORAS - MANO DE OBRA HORAS-MAQUINARIA
Proceso I 2 6
Proceso II 3 4,5
Proceso III 4 4
Proceso IV 5 3,7
Proceso V 6 3,5
Proceso VI 7 3,3
Proceso VII 8 3,1
Proceso VIII 9 3
A los cuáles corresponden los siguientes costos:
PROCESOS COSTO H-T COSTO C COSTO TOTAL DE CADA PROCESO
Proceso I 40 120 160
Proceso II 60 90 150
Proceso III 80 80 160
Proceso IV 100 74 174
Proceso V 120 70 190
Proceso VI 140 66 206
Proceso VII 160 62 222
Proceso VIII 180 60 240
Como se observa el método ,que cuesta menos es P2. Dados los re-
tornos constantes a escala, éste será el método escogido para todos
los niveles de producción, cuyo costo total es:
NIVELES DE P2ODUCCION Y COSTO TOTAL PARA EL PROCESO II
X (en toneladas)
o
CT (en 4) (en
o
CM. $ por Ton.)
-
5 75o 150
lo 1.500 150
15 2.25o 150
20 3.00o 150
25 3.750 15o
30 4.500 150
35 5.250 15o
40 6.000 150
Dos formas gráficas alternativas de mostrar la anterior infor-
maci5n es:
53.-
57.5
1,001
7 -o
7
..... , .....
5 10 15 20 25 7)• 3S 40
Como se vé el proceso de selección de técnica y del proceso ó
.nétodo es previo a la definición y determinación de las curvas de cos-
to.
Analiticamente también resulta sencillo derivar funciones de cos-
to a partir de funciones de producción. En investigación aplicada, una
función de producción convenientemente utilizada es la función Cobb-
Douglas, la cuál usamos ahora.
Sea la función de producción
X = bo Tb1 Cb2
y la ecuación de costo
G = sT + iC (28)
Nuestro propósito es derivar una función de costo de producción,
G = F (x), para lo cuál abordaremos el problema como si se tratara
de maximizar la producción condicionada a las disponibilidades fi-
nancieras disponibles. Formalmente
Max X = b Tbl C
b2
o condicionada a G = sT + iC
b s b2 \ 2
X = b i b1 + b2
511.-
de donde resulta la función maximizada compuesta
X máx = X + 74, (E - sT - iC)
donde A es el multiplicador de lagrange
Satisfaciendo la primera condición de máximo
a x mit( = b .X - = o
T
a x máx =b2 . 0 á c
X más, . G - sT - iC = o a k
despejando bl' X = s T
b2. X = )14, C
por axioma b C 1 = s b T 2
solucionando para C
C = b2 b1
reemplazando el valor de C en la función de producción
solucionando para T desde.ésta ecuación
1 r 1 1 T = 1 . X 1 bl+ b2
bo s b . 2 b2 i b1
6 en otra forra
(( i b1 )
b2 1
1 i b2 b1 + .52 b b1 4- b2 o
X T =
/
reemplazando ésta ecuación en la ecuación anteriormente solucionada
pan.. C, tenerlos:
= s b2 i b
1
/ x 1 b + b 2 1\5: -b- -
o / b1
+ b2
55.-
Sustituyendo los valores de T Y C en la ecuación de costo, resulta
)b2
G = í 1 I S bl
5---91 1
b1 + b2
o s b2
b1 + b
2
bl 1
s b2 ) 1 i b
l b1+b2
X 57;
ir, en otra forma.
(
/
G •=1 ill [(111)1) olb ‘b
)1311 1;.19 -1Elo s b1 + i
b1+b2
b2 > X 1
l, b1+b2
1 1 1 2
o .- 2 • f, bi + b2
ecuación que representa el costo total de producción en función de una
única variable, X y de los constantes, bo, b1, b2, s, i.
La anterior ecuación de costo total también se puede expresar
G = F (X) caetaris paribus
donde el término caetarís-paribus indica la invariabilidad de la téc-
nologra y de los precios de los factores. Si el caetario-paribus re-
sultara alterado, inevitablemente la curva de costc cambiará hacia
abajo o hacia arriba.
EL EQUILIBRIO DE UNA ENPRESA MULTIPRODUCTORA
Se denomina empresa multiproductora a aquella que no está espe-
cializada en la producción de un solo biln. Produce muchos bienes,
los cuáles en éste estudio, por cuestión de métoda, los considerare-
M0.3 como dos grupos conjuntos de bienes o simplemente como dos bienes.
Diremos pues que la empresa multiproductora produce dos bienes cuyas
cantidades estan representadas por X e Y
La determinación del equilibrio de ésta empresa multiproductora
requiere la determinación previa de dos instrumentos:
Su curva de posibilidades de producción Y su curva de igual in-
greso.
Para explicar la curva de posibilidades de producción de la em-
presa, presumimos que cada bién es producido usando únicamente ,,,NY R
factores T y C y la función de producción de cada bién. o a = e (29) ,
x = F1 (T1C) 7
7,- /1; IBM' T
• r7
y = F2 (T1C) \Zlo • ;,.. .t.i
\:3̀ ;', ' sr:
56.-
Mediante el artificio, denominado "caja de Edge worth" obtener
mos la curva de posibilidades de producción de la empresa. En dicha
caja representada a continuación, catan dibujados dos conjuntos de
isocuantas correspondientes a las anteriores funciones de producción.
La dotación de factores poseídos y utilizados por la empresaestá re-
presentada por OT y OC y constituyen los lados de la caja.
Gráficamente:
T y
O X
Un punto de la caja muestra una combinación específica de x y y
producidos con la dotación de factores dada. Dentro de la caja, la
función de producción de cada bién x e y está representada por iso-
cuantas Ai y Bi respectivamente. Por la convexidad de dichas curvas,
necesariamente existen puntos de tangencia entre isocuantas Ai y Bi,
los cuáles conforman una línea llamada "línea de contrato" y que re-
pregenta el lugar geométrico de combinaciones eficientes de produc-
ción
En el anterior grá ico, M no es una combinación eficiente, pues-
to que si el productor cambia a S o a T, la producción de al menos
uno de los bienes será mayor (usando la misma dotación de factores).
c
Más aún desplazándose a un punto intermedio entre S y T (sobre la lí-
nea de contrato), por ejemplo R, implica incrementar la producción
de ambos bienes x e y, sin insumir mayores cantidades de recursos.
Los desplazamientos que el productor realiza dentro de la caja impli-
ca el conocido fenómeno de "reasignaciór de recursos".
Para la selección de la combinación óptima entre las diferentes
combinaciones de x e y, situadas sobre la línea de contrato, es pre-
ciso considerar los precios de los bienes x e y.
Para determinar el nivel óptimo de producción de x e y, es nece-
sario d terminar la "curva de posibilidades de producción" o también
llamada "curva de transformación del producto", la cuál muestra el
lugar de puntos de nivel de x e y que implican un uso pleno de los
recursos. Gráficamente:
o .4 4
La curva de posibilidades de producción ha sido deducida de la
línea de contrato, cuyos puntos definen combinaciones de niveles de
producción de x e y, los cuáles reaparecen sobre la línea de posibi-
lidades de producción. Considerando los dos últimos gráficos T1 es
la imagen de T, S1 de S; R1
de R, y así, para otros puntos.
Una unidad
de x
Una unidad
de y
58.-
COEFICIENTES FIJOS DE PRODUCCION Y FUNCION DE POSIBILIDADES DE PRODUC-
212n
En caso que la producción fuese de muchos bienes ó estuviera rea-
lizada por diferentes empresas las cuales se agrupan en sectores, es
posible agrupar dichos bienes bajo un mismo nombre; por ejemplo, ar«:
tículos alimenticios, eléctricos, etc.
Así cómo se pasó de la isocunnta continua y derivable a la iso-
cuanta en ángulo, una operación semejante puede realizarse respecto a
la curva 6 función de transformación.
Nuevamente debemos plantear la vigencia de los coeficientes fi-
jos de producción. El productor dispone de una dotación de factores
y es libre de decidir respecto a las cantidades de bienes a producir.
Si pensamos en dos bienes: x e. y, el problema es determinar las can-
tidades a producir las cuáles son de equilibrio si implican un ópti-
mo. El productor en este caso no eecogerá entre infinitas técnicas
productivas, sino 'condidionado a la combinación de factores en pro-
pOrciehes lijas.
Veamos el siguiente ejemplo:
El productor dispone:
3.000 horas de trabajo no especializado: Tn
3.000 horas de trabajo especializado: Te
2.400 horas de servicio de máquina:
Una unidad de x necesita 6 horas de trabajo no especializado (Tn), 15 horas de trabajo especializado (Te), y.9 horas de servicio de máquinas (C).
Una unidad de y necesita 15 horas de (Tn), 6 horas de (Te), 9 horas dé (C).
Dados estos datos qué cantidades de x y de y deberá producirse.
Sintetizando en un cuadro, teneMos:
:Cantidades de
Caritida Productos
des de fac
res utilizadas
Factor Tn 6 15
15 6 Factor Te
Factor 9
9
xs*.—,:tmillo~~ntISM*4~~,r1"-~•WOw.,._
59.-
Estos datos constituyen los coeficientes técnicos de producción
de los dos bienes y permanecen invariables.
Las restricciones están dadas por las cantidades limitativas de
factores las cuáles son constantes y se pueden representar así:
6 x + 15 y c 3000
15 x + 6 y ct- 3000
9 x + 9 y 2400
De cada una de las desigualdades anteriores, se pueden explici-
tar cualquiera de las variables, por ejemplo:
x 2122 - 15 y
x / 3000 - 6 y 15 15
x 2400 - y -4- — 9
Gráficamente representadas (al igual que si fueran ecuaciones) dichas
inecuaciones tenemos:
T,
La pendiente de cad- recta está dada por la relación entre los coeficientes técnicos de producción. Las rectas representadas en el
gráfico anterior corresponden a las inecuaciones y dan significación
a todos los puntos contenidos debajo de cada una de ellas hasta los
6o.-
puntos límites ubicados sobre ellas mismas. Por tanto cada recta re-
presenta el lugar de los puntos donde se pueden atener diferentes
combinaciones de los dos bienes utilizando plenamente uno de los tres
factores disponibles.
T indica combinaciones posibles de x e y obtenibles con el em- n
pleo total de las horas de trabajo no especializado. A la izquierda
de ésta recta se sub-utiliza las 3000 horas disponibles. A la dere-
cha se sobrepasa las disponibilidades de recursos.
Como cada bión se produce con el concurso de tres factores, ca-
da rect en particular pierde significado. Por tanto para la recta Tn,
la parte relevante únicamente es AB, para•la recta C, la parte rele-
vante es BC y para la recta Te la parte relevante es CD.
Por tanto las posiciones técnicamente posibles para el productor
son aquellas situadas sobre la función en ángulo ABCD. Esta función
es una Curva de Transformación no continua y no derivable porque es
angulada. La curva de transformación supone sub-utilización de fac-
tores. En AB se subj-utiliza factores Te y C, en BC se sub-utiliza
Te y Tn, en CD se sub-utiliza Tn y C.
Gráficamente la utilización plena de recursos se daría cuándo to-
das las rectas se cruzan como en el gráfico diseñado a continuación:
Te
y
61.-
El equilibrio del productor se obtiene en la forma ya conocida,
es decir trazando una familia de funciones de igual ingreso denomi-
das Iso-ingresos. La inclinación de una Iso-ingreso muestra la rela-
ción de precios de los dos bienes. Gráficamente:
5
a l
x
En B se dá el equilibrio: La producción óptima está representada
cuándo se produce Ox1 del bién x, y Oy del bién y.
Si la Iso-ingreso toca un vértice de la función de transformación,
el equilibrio es determinado, en cambio no es determinado cuándo la
función mencionada es paralela a un segmento de la función de trans-
formación.
Una vez determinada la curva de transformación es preciso deter-
minar (a nivel técnico) la combinación óptima de x e y que conviene
producir y que está representada por un punto de la curva. Veamos
formalmente:
La pendiente de las isocuantas Ai en la caja es:
- a C priT 4 x = THS TxT C d T *
1
que representa la tasa marginal de sustitución técnica de C y T en la
producción de x.
La pendiente de las isocuantas Bi, en la caja, es:
- de. PmT, = TMSTYT C d T Pmel y
1
que representa la tasa marginal de sustitución técnica de C y T en la
producción de x.
En los puntos de tangencia entre isocuantas Al y Bi (esto es so-
bre la línea de contrato) las pendientes son iguales, es decir.
- a C = PmT. x PmT4_y_.
T Pule; x PmC1 y
y, la pendiente de un sector de la línea de contrato, por ejemplo en-
tre T y S, éstá representada por la pendiente de la línea de posibi-
lidades de producción entre T1 y 81.
La pendiente de la curva de Posibilidades de producción es
- á y = TMTPx y
a T esto es, igual a la tasa marginal de transformación de la producción.
Para calcular el valor de la THTPx,y, consideramos un arco de la
curva de transformación, digamos TI S
1. El paso de T1 a S
1 como se
aprecia en el dibujo, implica producir menor cantidad de y y mayor
cantidad de x.
Un decreciente en la producción de yl - .1.bera factores en
dTy . PmTIy + de), . PmC1y
Un incremento en la producción de x, requiere factores adicionales en
aTx . PmT1x + dJx . Pme1
x
Si toda la dotación de factores debe ser utilizada, la cantidad
liberada de factores debe ser igual a las necesidades adicionales de
factores. Esto es:
- áTy = +aTx
- aCy = +aCx
consiguientemente podemos reescribir la pendiente de la línea de 'posibili-
dades de producción.
- dy = TM1Pxly = áTy. PmT1y dCy. PmC1y
dx aTx. PmT1x + oCx. PmC1
x
Por razones de eficiencia en la producción, la empresa debe per-
manecer sobre la curva de transformación, no dentro ni fuera, es de-
cir donde las pendientes de las isocuantas si sean iguales a las de Bi,
63.-
formalmente:
Pendiente Pendiente de la de la isocuanta Ai = PmT1
x PmT1y Isocuanta Di
PcC1x PmC1y
De donde PT y
PmT1x m1 . Fire x
1 1 Pme1y
e igualmente
PmT1y = PmC
1y = rinT1x
PmCix
volviendo a la ecuación anterior, que representa la pendiente de la
línea de posibilidades de producción, dividimos sus términos por dTy
que a su vez equivale a - dTx1 según vimos antes, y tenemos:
.4C7. - -:-IY.- = PmT1
y + PmC1y dTy l
dx PmT1x - PmC
1 x &Cx \
1 •-c" aTx i
keemplazando la penúltima y antepenúltima ecuación en la úl-
tima
( PmT1x + dCy
-2_2_ = PmC1y :ThriClx dTy )
d x Pme1x PmTly dCx
Me1y dTx )
Según las anteriores deducciones lcs términos del pnr;yiís son
iguales y se pueden simplificar, obteniendo:
- dy Pmely
áx- Pte1x
que representa la pendiente de la curva de posibilidades de producción
análogamente podemos derivar
ax PmT1
x
lo que permite escribir que
PsC 1-Y-
PmT1y
dx Potelx
PmTlx
= PmT1y
64.-
Lacombinación óptima de la pareja de producción de x e y es aque-
lla que produce el más alto ingreso, dada la curva de posibilidades de
producción, eso es dada la dotación de factores las cuáles definen és-
ta curva. Para encontrar el equilibrio de la firma multiproductora,
esto es el optimo, técnico y económico, necesitamos definir una otra
herramíenta, denominada linea Iso-ingreso.
La línea Iso-ingreso de la firma multiproductora, representa el
lugar de combinaciones alternativas de x e y cuyas ventas generan el
mismo ingreso a la firma. Gráficamente:
Cada punto sobre MN representa una combinación de bienes x e y,
capaz de generar al productor, al ser vendida, un mismo nivel de in-
greso. Por ello se dice que MN representa un nivel dado de ingreso,
logrando por una empresa y formalmente se expresa:
= x. Px + y Py
La pendiente de la línea iso-ingreso, es equivalente a la rela-
ción de precios de los bienes x e y.
Pendiente línea iso-ingreso = OM = Px
ON Py
lo cuál puede verificare_ facilmente. Suponiendo Y, un nivel dado de ingreso y que la empresa produce y vende un solo bién Y1 en canti-
ch..d CM, su ingreso total es:
OM. Py =I
65.-
6 bién OM = Yy
Análogamente tratándose de otro bión x vendido en cantidad ON
y que genera el mismo nivel de Ingreso T ,
ON = Y Px
reemplazando con valores de OM y ON en la ecuación de la pendiente
OM = Py = Px
ON Y
Py
Px •
lo cuál hablamos postulado antes.
La representación gráfica de la línea Iso-ingreso puede hacerse, •
utilizando lacacuación del ingreso
Y = xPx + yPy
y solucionando para Y ó para x (indistintamente)
Y = Y - xPx Py
Dados, los precios de los bienes y el valor de Y, el valor de Y depende solo de los valores asignados a x. Cambios en los precios
de los bienes y/o en el valor de Y darán lugar a cambios en las lí-neas Iso-ingreso. A medida que la línea iso-ingreso se aleja del
origen, mayor será el ingreso de la empresa.
En síntesis, respecto al equilibrio de la firma multiproductóra
diremos que, siendo su propósito maximizar sus utilidades y dados:
- la dotacitn de. factores (en propiedad de la empresa)
- la curva de transformación ,
- loo precios de los bienes x e y
- los precios de los factores C y T
el equilibrio de la empresa se logra'en el punto donde la curva de
transformación del producto, llega a ser tangente a la más alta
Iso-ingreso (31). Én el punto de tangencia se cumple:
PmT1y PnC
1y - = = = Px da PmT3x Pme X Py
66.-
Gráficamente:
1‘
t2 Je
O
donde (xe , ye) representa la producción de equilibrio de la empresa
multiproductora.
LA PPODUCCION A NIVEL AGREGADO
Hasta aquí el fenómeno productivo se ha efectuado bajo un pian-
te/x.iento microeeorómico. Veamos como pasar al nivel macroeconómico.
Para ésto efectuaremos dos simplificaciones adicionales:
PRIMERA.- No considerar empresas individuales sinó sectores económi-
cos de producción los cuáles combinan factores diferentes a objeto de
obtener sus productos. Esta simplificación más que permitir verifi-
caciones empíricas facilita la aplicación de razones factoriales cons-
tantes y relaciones producto-factor determinadas.
También se excluye el fenómeno de las economías y deseconomías
de diferentes tipos en la actividad empresarial, pues a nivel agrega-
do se compensan.
SEGUNDA.- Suponer que en cada sector económico el método o progreso
productivo sea uno solo (esto es proporciones factoriales constantes)
y que se mantiene constante aún en caso de expansión, lo cuál es ra-
a\ N--.:117:- soy,'
67.-
zonablemente aceptable en un período breve.
Las &implicaciones anteriores determinan la forma de la Isocuan-
ta, la cuál será en ángulo recto. Gráficamente:
Lo dicho es la base de la formulación del fenómeno de interdepen
dencia estructural o sectorial 6 también denominado sistema In put-
Out-put, cuyo desarrollo se debe a su exponente Wassily Leontieff,
quién elaborá una tabla o matriz destinada a explicar el fenómeno pro-
ductivo, agregado, su estructura, la estructura dt, costos y las pro-
yecciones que el sistema económico podía hacer en base a ella. Vea-
mos pues la matriz de interdependencia sectorial.
LA MATRIZ DE INTERDEPENDENCIA SECTORIAL
Aunque no sea realista, solo por simplificación trabajaremos con
dos factores: Servicio del factor trabajo y servicio del Capital fijo,
loa cuáles se emplean en proporción fija.
A estos factores llamaremos factores primarios a diferencia de
los bienes intermedios Te comprende las materias primas, materias
subsidiarias bienes en varias fases de elaboración ó terminados, com-
pradas y vendidas entre sectores.
Los empresarios por los factores primarios pagan una remuneración,
68.-
en cambio por los bienes intermedios pagan un precio.
Sería interesante desagregar al máximo los sectores productivos
pero es más cestoso, por esto se recurre a un alto nivel de agregación.
El grado de agregación depende del objetivo del estudio y de la dis-
ponibilidad de información estadística.
Tomamos la decisión de dividir la ecodomía en cuatro sectores;
A, B,C,D. Cada sector contrata factores primarios y compra bienes in-
termedios a los otros sectores y a sí mismo. Supongamos la siguiente
información:
Compras que el sector A efectúa da los diferentes sectores:
Compras del sector A 90
Compras del sector 3 150
Compras del sector C 200
Compras del sector D 20
Total compras intra e
intersectoriales
Remuneraciones a factores
primarios
460
1040
Total Gastos del sector A 1500
Si consideramos todas las relaciones intra e intersectoriales de
todos y cada uno de los sectores, presentamos el siguiente cuadro:
SECTORES COMPRADORES 1
SEC- TOPES VEN- DEDORES I
A B C ) 1
D
1 A I
90 100 i 1 50 1
i
i 0
P 1
150 60 1 I
0 loo
C 200 20 1
1 8o
I 50
i
1
loo ...
201 D I I
20 6o
Total de Compras Intral
e Intersectoriales I 460 240 18o
t t !
220
f"—^ Remuneraciones a factpl
res primarios 1 2.040 26o 26o
1 i I
I 340 1
TOTAL GASTOS 1.50o 500 44o 56o
.....SrWM~^011,11NroCW74^
69.-
Pero un sector productivo no produce únicamente para satisfacer
necesidades de otros sectores sine también para los consumidores fi-
nales, diferenciándose así los productos en intermedios y finales.
Por tanto, se precisa completar el cuadro anterior añadiendo una
columne de ventas al consumo final por montos que se calculan en ba-
se al siguiente criterio: "todo sector gasta en factores primarios y .
bienes intermedios, y trata de recuperar dicho monto vendiendo el pro-
ducto. .S110 explica que los agregados totales horizontales del cua-
dro coincidan con los verticales.
Veamos 91 nuevo cuadro con la inclusión del producto final:
SECTORES COMPRADORES
SECTWES VENDEDORES
A
I
E C I i D
; TCTAL 1TOTAL VENTASIVENTAS INTER- DE CON MEDIAS pu&
PRODUCTO TOTAL
A 90 i 100 I 50 0 240 I 1.260 , 1.500
1 I B 150 I 601 o 310 1 190 500
1 10 0 1
O 2001 i I 20 1 80 100
I
400 40 440 1
1 D 20 I 6o I 50 20 I 150 i 410 56o 1
r ; 1 TOTAL COMPRAS 460 1 240 i 180 . 220 11.500 I
I
Remuneración a Fac 1 I
tores primarios 6 1.040 ! 260 1 260 340 1 1.900 Valor agregado
TOTAL GASTOS I 1.50o 500 44o 1560 1
3.000
El cuadro anterior es una elemental matriz de interdependencia
sectorial elemental porque aún es muy simplificada, aún no se habló
de bienes finales de Capital (solo de productos de consumo privado),
tampoco se habló de bienesde Consumo Público ni de bienes destinados
al Comercio Exterior.
La matriz anterior refleja la estructura de costos y la estructu-
ra de producción y es un (til instrumento para asociar análisis de ni-
vel microeconómico y macroeconómico.
Pero la matriz solo si:we para analizar la estructura o composi-
ció', de una economía? No, sino además para preveer comportamientos
70.-
futuros probables en variables del sistema, ó en otras palabras con
fines de proyección. Sin embargo, la hipótesis ya planteada antes
y que se encuentra ímplicita en la matriz es la existencia de rendi-
mientos constantes a escala y coeficientes de producción fijos. A
veces surge un legitimo excepticismo respecto al realismo de dicha
hipótesis la cuál resulta ser útil únicamente con fines de simplifi-
cación.
LA MATRIZ COMO INSTRUMENTO DE ANALISIS
Aceptando las hipótesis anteriores es grande la utilidad de la
matriz como instrumento de previsión y programación. El problema
económico implica continuamente, estudiar las variaciones del PNB y del
consumo global. Dicho estudio puede efectuarse en base a instrumentos
como la Elasticidad ingreso, la cuál nos dá ciertas respuestas por
ejemplo, respecto a cuánto cambiará el consumo al cambiar el ingreso
y cuál su posible distribución. Sin embargo, la matriz es capaz de
permitirnos saber, si estimamos ó proyectamos un incremento en la De-
manda de bienes de consumo final de un sector cualquiera; cuáles son
los efectos directos e indirectos que dicho incremento ocasionará en
la actividad económica, pues es lógico pensar que si el sector D, in-
crementa su Demanda en 500 unidades, no solo éste sector debe produ-
cir 500 unidades, sino que moverá a todos los demás sectores a proveer
le materias primas, productos semiacabados, etc., lo cuál a su vez
repercute en toda la economía. La medición de éstos complejos inte-
refectos sobre todo cuándo se proyectan cambios en diferentes secto-
res sería casi imposible medir sin el auxilio del instrumento matemá-
tico. Veamos un ejemplo, simplificando tomado de V. Marrama op.cit.,
el cuál considera 2 sectores productivos, la Demanda Final es exclusi-
vamente de bienes de consumo (lo que significa que no existe deprecia-
ción del Costo Fijo, es el caso de una economía estacionaria).
Sean A'y B'dos sectores productivos:
Xa : representa el valor de la Producción Bruta Total del Sector A'
Xb : representa el valor de la Producción Bruta Total del Sector B'
Tenemos las dos siguientes ecuaciones do balance lineales
Xa
= X aa + Xab + Ca
Xb . X
ba +
bb + C
b
Condensamos los anteriores datos de la matriz anterior en la si-
guiente matriz: (donde A' asocia los sectores A y B, y B1
asocia los
sectores C y D)
71.-
SECTORES
'SECTORES COMPRADORES Al
VENDEDORES
.
B1 CONSUMO
FINAL
PRODUCTO
TOTAL
itü
Al 1 400 150 1.450 2.000
B1 300 250 450 1.000
Remuneración la
:,
I e11=ios.%17 1 1.300
1 agregado = V.A. , 1 600 1.900
1 I GASTO TOTAL 1 2.000 1.000 i 1
3.000
Los coeficientes técnicos de producción: relación entre las com-
pras de bienes intdrmedios de cada sector con el gasto total del sec-
tor, pueden calcularse así:
= X da
= 0.20 = 400
Y. 2000
= Xab = 0.15 = 150 Xb 1000
X a 2000
Xbb 0.25 = 250
X 1000
Podemos calcular también los coeficientes técnicos relativos a
los gastos realizados por cada sector, en factores primarios
V.A. a = 0,65 X a
V.A. b = 0,60
Los coeficientes anteriormente calculados podemos presentarlos
en una matriz de coeficientes técnicos.
daa
á ab
abb
72.-
SECTORES CONPRADCRES
SECTORES VENDEDORES
Al B1
Al 0.20 0.15
31 3 0.15 0.25
F o.65 0.60
La suma vertical de cada columna es igual a 1 6 a 100%, ya que
los ¿astas en bienes intermedios y factores primarios, constituyen
todo el gasto o sea 100%, para producir una unidad de bién final.
Al calcular los coeficientes técnicos habíamos escrito:
aa X aa
de donde aaa Xa = X
reemplazando en nuestro anterior sistema de ecuaciones
Xa
r- daa
Xa
+ dab Xb + Ca
Xb
= dba Xa dbb
X. + Cb
de donde
(1 - daa) X
a - a
ab Xb = C
a
- a Xa + (1 -
bb) X
b = C
b ba
reemplazados los valores de los coeficientes técnicos, tenemos
0;80 Xa - 0.15 Xb = Ca
- 0.15 Xa + 0.75 Xb = Cb
Si damos a Ca
y Cb
los valores de la tabla anterior y resolvemos
el anterior sistema, obtenemos
Xa
2000
Xb
1000
que corresponden a los valores de la última columna y de la última fi-
la de la anterior matriz.
Ahora supongamos que el sector B1
programa para el año t + n,
una duplicación en el consumo, es decir 900 en vez de 450.
Xa
Reemplazando en nuestro anterior sistema de ecuaciones Xb=
1625, lo que muestra que el sector debe incrementar en 625 su produc-
to para satisfacer un aumento de 450 u. en la oferta final de bienes
de Consumo. También se vé que la producción del sector Al debe au-
mentar Je 2000 u. a 2120 u., resultado que confirma el fenómeno de interdependencia intersectorial.
A continuación puede verse el cuadro construido para el año t+n.
En dicho cuadro suponemos constantes los coeficientes técnicos de
produccier. En él se puede apreciar la interdependencia intersecto-
riel y ver cú.mo para satisfacer un incremento de consumo final de 450,
la producción bruta debe expandirse de 3000 a 3745, es decir en 745 u.
Matriz can dos sectores para el año t + n.
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
A1 I
81 I DONSUMO
FINAL
PRODUCTO
TGTAL
Al
425 245 I 1.450 2.120
B1 320 405 I 900 1.625
Remuneración a facto- res primarios: valor 1.375 agregado
975 I 2,350 i
I ' GASTO TOTAL 2.120 1.625 3.745
Se ha podido ver la utilidad de la Matriz como instrumento de
análisis, aunque en una versión muy simplificada de la realidad, pués
ella es más compleja.
RELACICN ENTRE MATRIZ INTERSECTORIAL Y AGREGADOS DEL INGRESO SOCIAL
Para hacer más nítido el puente entre Microeconomía y Macroeco-
nomía, conviene establecer relaciones entre la matriz intersectorial
y los agregados del ingreso. A continuación se presenta un nuevo cua-
. dro en el cuál se incluye la producción de bienes da Capital (públi-
cos y privados). Esto es importante porque algunos sectores muestran
un alto índice de contribución en la producción de bienes de Capital
y a veces enormemente bajo en lo referente a bienes de Capital bajo
la designación de Inversión Bruta dentro de la cuál se incluye ade-
más del valor de los bienes de Capital producidos, públicos y privados,
los correspondientes a las variaciones de Stock ó existencias.
TOTAL VENTAS INTER-SECTO-RIALES
D
C 200 20
D 20 6o
TOTAL COMPRAS 460 240
VALOR AGREGADO REMUNERAC1ON, SECT. PRIMARIOS
1.040 260
GASTO TOTAL 1.500 500
801 100 400
40 440
50 1 20 150 410 560
180 1220 1.100 I.500 400
260 T340 1.900
1
440 1560 3.000
74.-
a
DEMANDA fINAL 1 PRQDUCTd
CONSUMO INVERFINAL SION
TOAL -j.
T
BRUTA!
300 1 1.500
SECTORES COEPRADOR
SECTORES VENDEDORES
A B J C
A 20 960 90 100 0 k
B 150 60 O 100 310 í 90 100 500
R•Isulta pertinente introducir la variable Comercio exterior, y
para ello podemos utilizar la tabla intersectorial Italiana, agregada
en tres sectores: Agricultura, Industria y otras actividades, referen-
tes al año 1969. La tabla real posee de 16 a 77 sectores. En la ta-
bla nó se vé separado el Consumo público del Consumo Privado ya que
por la agregación hecha, en el título "otras actividades" está inclui-
da la páblica administración. Añadiendo el comercio exterior, la ecuación general de balance de
cada sector (fila horizontal de la matriz), suponiendo n sectores an-
tes que tres solamente, es:
X = d x + a X + á X + C + I + E - M a
aa a ab b an n a a a a
La ecuación de gasto de cada sector (columna de la matriz) es
a su vez:
Xa = d X
+ d X +....+ na
X + V.A.a
Las dos ecuaciones anteriores pueden presentarse
X - d - d a X aa a ab xb
d X dan n = Ca
+ la Ea
- Ma
Xa - daa
Xa - d
ba Xa - d
na Xa
= V.A.
ri
4-> O
4-)
C>
ri lli o
O ri
F. O R.
í. O • H /-1 -)
il
<-1 (.)
O
U) O
1.4 trI)
1) O ri
ci
O
c-1 as tn
rl
U O O S-. LL
e (O O O 4- 4a O O 54
1.1-1 54 r4 O
TS • S-I • rt
O • H LO
▪
O -la
PI rl• ni
O F.
1-4
O • 10
0
CO LA CV
O \ 1/40
PRODUCTO
TOTA
L
O -d- tA •
N CO •
tA •
H t'A
CO CV
00 CO 1/40•
tH 1
LA CV .-1
N
1
N \O O •
4-1
1
•
O 00 CO al
1
LA le \ tA
LA \ 0 C--
‘..0
N O co •
-s
CV CV o‘ •
. co
....-.
50
.6
1
4--4
ri H
O
O H
t-
H R
OJ LA H •
H H
tA 0\ __I-
o O -....
L` tr \ •
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-..0- ‘...o K\
ni CV
t•■ ti- \ ,--1
-1-
c.-- oD r4 •
CN
ri rcl O tA
H 1"-, 111 •
c0 .--4
23
.922
28
.431
C3s, O LA •
-I- OTRAS
ACTIVIDADES
...1.- 0 \.0 0". tz \
LA r-4 tA
_I- %,0 c0 N1
c0 r<1 ■0
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E-- 'o r-}
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G■ ‘.0 \O cU ,-.1
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H
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e -1-
O tA .
\O
1 1
ct ,-....1 1 b 1 E--.1 1 a n
O 1-1 O O C ---."--- I
-1
I
OTRA
S ACTIVID
ADES
TOTAL
VALO
R AGREGADO: (W)
RE
MU
NE
RA
CIO
NES
A
FACTORES PRIMARIOS
75.—
Analogamente se pueden formar ecuaciones para los otros secto
res. Estas ecuaciones nos dicen que deducidos de la Producción Bru-
ta Total, el valor de los bienes intermedios, queda el valor agre-
gado
o sea el Producto Nacional 3ruto de un sistema económico. El
Producto Interno Bruto incluye el saldo neto del Comercio Exterior.
PIB = YNL = C+ I +E- M
No se incluye la variable 3astos del Gobierno explicitamente,
por estar tanto el Consumo como la inversión Públicas incluidos en
las cuentes de Consumo e Inversión. Global.
Veamos la Matriz Intersectorial Italiana para el año 1969, to-
mada de V. Derrama op. cit.
La tabla anterior puede dividirse tn tres secciones:
1.- Comprende el conjunto de transacciones intra e intersectoria-
les = 18.571
2,- La producción para Demanda Final y el valor agregado será igual
a 50.687.
3.- El producto total y el gasto total que :vide la Producción Bru-
ta, ajustada después de incluir el comercio exterior.
Las telaciones entre matrices y agregados del Ingreso Nacio-
nal puedan ser identificadas así:
la. La primera sección de la matriz comprende bienes intermedios cal-
calados en Contabilidad Nacional como Produccón Bruta menos Pro-
ducto Nacional Bruto la cuál es igual a Producción Intermedia.
2—a. La segunda sección indica el Producto Nacional Eruto (PIB) en
la tabla anterior equivalente a C + I +R- M
31-1* La tercera sección de la matriz no encuentra correspondencia en
el análisis del Ingreso, en cuanto la Producción Brata incluye
los bienes intermedios, los cuáles no entran en el análisis del
Ingreso.
Por tanto no es difícil ver cómo en la matriz intersectorisl que
es un cuadro sintético macroeconómico, detrás de la estructura de
consumo, costos y producción se oculta toda la teoría microeccnómica
del consumo de los costos y de la producción.
76.-
UN CASO PRACTICO DE UTILIZACIC1 DE LA MATRIZ INTERSECTORIAL
Supongamos que una Economía que funciona en base a tres sectores,
desea saber cuál será la Producción Global que el Sistema deberá ze-
nerar para hacer frente a ciertos niveles estimados de Demanda Final,
correspondientes a los tres sectores.
Se estima que para un período futuro, los tres sectores acusarán
montos dg Demanda Final como sigue:
Demanda Final del Sector I . 200
Demanda Final del Sector II. 400 •
Demanda Final del Sector III : 300
También se dispone de la matriz de Coeficientes Técnicos de Pro-
ducción, la cuál se presume permanecerá invariable para el próximo
período. Dicha Matriz es la siguiente:
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I SECTOR II SECTOR III
SECTOR I 0.10 0,30
1
0.10
SECTOR II 0.20 o 0.20
SECTOR III 0.10 0.20 0
Solución.- Solucionaremos el problema calculando la Matriz de Requi-
sitos Directos e Indirectos por unidad producida de Deman-
da Final. En base a dicha Matriz Calcularemos la Producción Global
por sectores..
El primer paso será pues determinar la Matriz de Leontieff, la
cuál representamos por W.-Ella se encuentra restando la matriz de Coe-
ficientes Técnico,: de la Matriz Unidad.
0.90
-0.20
1 -0.10 _
O O 0.10 0.30 0.10 ro 1 o 0.20 0 0.20 =
O 0 1 0.10 0.20 0 ■■• 1
- 0.30
1
- 0.20
- 0.10
- 0.20
1
1
1
W
77.-
A continuación invertimos la Matriz w, a partir del método de
Jordán la cuál está dada por la relación:
w 1 = Matriz Adjunta de W Determinante de W
Según ésta relación es preciso calcular. En primer término de-
bemos calcular la Matriz de Cofactores de la Matriz W, lo cuál con-
siste en encontrar los cofactores de los elementos de W. Así:
I 0.90 - 0.30 0.10
-0.20 1 - 0.20
-0.10 - 0.20 1
1 =
[
0.96 0.22 0.14
0.32 0.89 0.21
0.16 2.20 0.84
Transponemos la Matriz de Cofactores para hallar la Matriz Ad-
junta
«Eme.
0.96 0.22 0.14 1 - 0.96 0.32 0.16
0.32 0.89 0.21
0.16 0.20 0.84 •••••
. 1 0.22 0.89 0.21
1
, 0.14 0.21 0.84 = Matriz Ad-
junta de W
También es preciso calcular el Determinante de W, cuyo resultado
es el siguiente:
r-
0.90 - 0.30 - 0.10
-0.20 1 - 0.20 = 0.90 - 0.004 - 0.006 --
-0.10 - 0.20 1 - (0.01 + 0.036 + 0.06) = . 0.784
Reemplazando los valores encontrados en la relación pertinente al
método de Jordán tenemos:
0.96 0.32 0.16
0.22 0.89 0.21
0.14 0.21 o.84
1.22 0,40 0.20 I
0.28 1.13 0.26
o.18 0.26 1.07 I
0.784
Esta Matriz, W 1, representa la Matriz de Requisitos Directos e
Indirectos por unidad de Demanda Final, la cuál también puede presen-
tarse así:
~N. V«.
( 7VV'ect°1911Uer;>‘..1.1,
'n .■ A . . •-•" Y
•
78.-
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I I 1 SECTOR II
I
SECTOR III
SECTOR I 1.22 1
0.40 0.20
SECTOR II 0.28 I 1.13 0.26
SECTOR III 0.18 I 0.26 1.07
Dado que sé estiman las Demandas Finales de los tres Sectores
.en 200, 400 y 300 respectivaLente, multiplicamos dichos valores por
los valores de la Matriz calculada, en sentido vertical.
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I
200
SECTOR II
400
SECTOR III
300
SECTOR I 1.22 0.40 0.20
SECTOR II 0.28 1.13 0.22
SECTOR III 0.18 0.26 1.07
De la cuál resulta la siguiente Matriz:
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I SECTOR II SECTOR III PRODUCCION TOTAL DE CADA SECTOR
SECTOR I 244 160 60 464
SECTOR II 56 452 78 586 I
SECTOR II:. 36 104 321 461
TOTAL INSUMOS COMPRADDS
336 716 459- 1.511
En base a ésta información calculada, podemos presentar el cua-
dro concluido y sin.plificado de Relaciones Intersectoriales.
SECTORES I 1 COMPRADORES SEUORES
IVENDEDORES I
SECTOR II SECTOR II
I
SECTOR III DI DF 1 VBP I I
SECTOR I 46.4 175.8 46.1 264 i 200 I 464 i
SECTOR II 92.8 0 - 92.2 1 186 1 400 1 586 1
SECTOR III 46.4 117.2 0 161 1 300 1 461
T.I. 185.6 1 293 138.3
v.A. 278.4 296 322.7
VBP 1 464 586 461
En el cuadro anterior, la Matriz de transacciones intersectoria-
les (de Demanda Intermedia), se calculó en base a la siguiente Matriz:
SECTORES COMPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I
464
SECTOR II.
586
SECTOR II
461
SECTOR I 0.10 0.30 0.101
i
SECTOR II 0.20 0 0.201 1
,SECTOR III 0.10 0.20 O •
Realizando las correspondientes operaciones de producto, en sen-
tido vertical y por los Coeficientes Técnicos de Producción, se ob-
tienen los valores de las transacciones Interscctorialcs. Es conve-
niente observar que el no haber operado con más de dos decimales ha
ocasionado discrepancias en los cálculos finales presentados en la
siguiente Matriz:
80.-
SECTORES COPRADORES
SECTORES VENDEDORES
SECTOR I SECTOR II SECTOR III I DEMANDA
INTERMEDIA
SECTOR I 46.4 175.8 46.1 268.3
SECTOR II 92.8 o 92.2 185
SECmOR III ! 46.4 117.2 O 163.6
TOTAL INSUMOS I 185.6 293 138.3 617.9 4
81.-
NOTAS DE PIE DE PAGINA
1. La brevedad o amplitud de un período no implica necesariamente
el sentido de cronología 6 tiempo y depende de la naturaleza de
un fenómeno. La definición del mismo resulta ser altamente con
vencional.
2. En la realidad la decisión económica está sustancialmente afec-
tada por la naturaleza de la empresa y por sus intereses. Ello
significa no dar importancia únicamente a los precios de facto-
res sin5 a la política de utilización de insumos por la empresa,
su poder de control del mercado de factores, la imperfección
del mercado de factores y en general la política económica y so
sial de la empresa.
3. No debe olvidarse que los retornos a escala constituyen un fe-
nómeno téznico. Las economías a escala comprenden los retor-
nos a escala (fenómeno técnico) y las economías monetarias
(fenómeno económico)
4. Según esta ley el producto marginal del factor variable aumenta
al principio pero eventualmente cae cuando se usa más y más de
él junto a los otros constantes.
'e Los factores variables pueden cambiar en la misma proporción
, originando retornos a escala constantes, crecientes o decre-
cientes, ó en diferentes proporciones. En ésto último caso, el
análisis de la producción debe desagregarse por componentes.
6. Suele llamafse escalar.
7. Es posible hacer un test a la función Cobb-Douglas que a priori
sabemos es homogénea e implica retornos constantes a escala.
Sea la función X1 = 1 T Y3 C2/3. Incrementamos los factores 1 7 en un 20%. La función resulta 51(1.20T)1/3 (1.20C)2/3"1
X2 =
desagregando
X2
- = 1 (1.201/3) (T1/3) (1.202/3) (C2/3)1=
--- 5 .
I (1.20) T1/3 c2/3 = 1.20 1 T1/3 c2/3 5 -3-
finalmente X2
= 1.20 X1
Hemos verificado que la función Cobb-Douplas es homogénea; la ta-
82.-
sa de cambios de factores puede ser factorizada, e implica retor-
nos constantes a escala: un incremento de 20% en el uso de fac-
tores ha ocasionado un incremento igual en el producto.
Esta función por simplicidad considera solo 2 factores C y T.
8. No debe confundirse la línea de expansión del producto con el
camino de expansión. El primero no -ancluye precios de factores.
El segundo sí.
9. La firma escogerá el mejor camino de acuerdo al costo del mis-
mo es decir consultando el precio de los factores.
10 y Naturalmente entre isoclinas las razones de uso y las tasas mar-
11 ginadas de sustitución son diferentes.
12. Con una no homogénea función de producción, los retornos a esca-
la pueden ser constantes crecientes o decrecientes, pero su re-
presentación gráfica no es como en el caso de la función de pro-
ducción'homogénea, rectilínea. La isoclina será curva a lo lar-
go de la función de producción y la razón de uso variable.
13. En la realidad, sea ésta homogénea o no homogénea.
14. Como se verá luego, estas mismas causas se convierten luego en
obstáculos y explican los retornos decrecientes a escala.
15. Por ejemplo, la industria manufacturera, es típica como ejemplo,
en numerosos países.
16. Precisamente el considerar fija la cantidad de algún factor (par-
ticularmente bienes de capital) explica porqué el rendimiento
de los factores considerados variables no es en general constan-
te, sino creciente en una primera fase y después decreciente.
1?. El progreso técnico puede deberse también a la "innovación de
productos". Aquí consideraremos como innovación en los proce-
sos de producción.
18. Esta afirmación es valida en sentido estricto con referencia a
una empresa cuyo comportamiento es estrictamente económico, ade-
más el comportamiento de la empresa esta condicionada al marco
dentro del cuál se desenvuelve la misma.
19. la pendiente esta dada por °Ce ,. pero OCo es igual a C (se com-OTo
pro. únicamente C) y OTo es igual a "e" 1 dividiendo ambas razones, To
20. En Eq puede decirse que la factibilidad técnica (dada por la iso-
. cuanta) coincide con la factibilidad económica (dada por la 11-
*^~".ItrategiM
Logramos S
83.-
nea isocosto).
21. Rechazando la solución de esquina por su ausencia de factibili-
dad técnica, se alcanzaría un equilibrio en la producción, sin
especialización en el uso de insumos, si se hacen variables los
precios de loslhotores productivos a fin de lograr concavidad
en la línea de priori para una tasa nayor de variación que la
TkST C de la isocuanta.
1
21a. Esta expresión quiere significar que el productor gasta, todos
sus recursos financieros en la compra de factores.
22. Paralelos porque el precio de los factores se presume invariable.
23. indica que el nivel dado de producción se realiza con los facto-
res y la función de producción dados.
24. En los casos A y B hemos presumido la existencia de isocuantas
convexas y cortinuas. Si la isocuanta resulta ser quebrada,
(Kinfred) la función isocosto puede ser:
tangente a un ángulo de lasisocuantas
coincidente con uno de los segmentos de la misma
En el primer caso, la empresa opera con el proceso dado por el
punto de tangencia y en el segundo con cualquiera de los proce-
sos correspondientes al segmento.
Una Particularidad interesante de la isocuanta quebrada y que
la hace más operativa es que advierte (en sus ángulos) un cier-
to juego o variación de los precios de factores y por tanto de
la línea isocosto, sin, que ello ocasione cambios en la técnica
utilizada de producción. En cambio con la isocuanta continua,
la más insignificante variación en los precios de factores (lo
cuál es frecuente a veces en el mundo real) obliga a la empresa
cambiar su técnica productiva, lo que a su vez es costoso e im-
prabaLle de prácticar en la realidad.
25. Decisión de la firma de incrementos sus desembolsos, incremento
de la demanda del bién producido por la empresa, decreciente de
la oferta a bienes sustitutos a los que produce la empresa etc.
26. Y naturalmente sí los precios de los factores son constantes,
la firma no maximizará sus unidades en el corto periodo, debido
a la licitación del factor capital.
27. En este caso particular Pm = 20 = Pe
28. El costo representemos con la letra G en vez de C a fin de no
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confundir con C que representa capital.
29. T y C pueden representar a dos grupos de factores.
30. La continuidad de la línea de Contrato depende del grado de di-
visibilidad de los factores.
31. Suponiendo que la dotación de factores y sus precios estan da-
dos para la empresa, la maximizad& de la utilidad, se reali-
za mediante la maximización del ingreso.
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