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ANLISIS DE ESTRUCTURAS
Problemas resueltos
David Ortiz Soto
Segunda Edicin
(Revisada) Prometimos vencer y vencimos
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ACERCA DEL AUTOR
David Ortiz Soto es ingeniero civil egresado de la Universidad Nacional Autnoma
de Mxico (UNAM), Facultad de Estudios Superiores Aragn (FES Aragn), con
crditos concluidos en la Maestra en Ingeniera Civil, rea disciplinaria de
Estructuras, por la Seccin de Estudios de Posgrado e Investigacin (SEPI) de la
Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco (ESIA-UZ), del
Instituto Politcnico Nacional (IPN).
Actualmente desarrolla su tesis de Maestra denominada Los efectos de la
deformacin del Creep en columnas de concreto, siendo el Dr. Ernesto Pineda
Len el director de la misma.
El Ing. David Ortiz es autor, con los ingenieros Hugo Martnez, Sergio Omar
Berruecos, Daniel Hernndez, etc., del libro Estructuras Isostticas en 2D:
Problemas Resueltos, el cual present oficialmente por primer vez en el evento
Simposio de Investigacin en Sistemas Constructivos, Computacionales y
Arquitectnicos (SISCCA) 2014 con sede en la Universidad Jurez del Estado de
Durango, FICA. De igual forma, es autor del libro Resolucin de Armaduras en 2D
con el mtodo matricial de la rigidez y es uno de los editores de la WEB de
Ingeniera Civil ms importante de Amrica Latina llamada CivilGeeks, en la que
ha escrito diversos artculos. Estuvo como invitado en el quinto aniversario del ITI
III, donde ofreci conferencia de Anlisis Estructural. As mismo, es uno de los
creadores de la Biblioteca que lleva por nombre Problemario de Anlisis de
Estructuras en 2D y 3D.
Hoy en da, es el representante de la comunidad estudiantil de posgrado de ESIA
Zacatenco.
Ha sido invitado varias veces al Programa de Radio Ingenio Civil de Nuestra Voz
Radio: La Voz del Pueblo Organizado!; en alguna emisin de tal programa, altern
con el Ph. D. Genner Villarreal Castro.
Muchos aos vivi en Zumpango, pero actualmente radica en Tecmac, ambos
municipios del Estado de Mxico, colindantes con el D. F.
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ANLISIS DE ESTRUCTURAS
Problemas resueltos
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Mxico 2015
ANLISIS DE ESTRUCTURAS
Problemas resueltos
SEGUNDA EDICIN
DAVID ORTIZ SOTO
Instituto Politcnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura
Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Facultad de Estudios Superiores Aragn
Revisin Tcnica:
Dr. Ernesto Pineda Len
Docente en Instituto Politcnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura
Seccin de Estudios de Posgrado e Investigacin, y Licenciatura
Universidad de Londres
Queen Mary College
Universidad de Sonora
Facultad de Ingeniera
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Datos de Catalogacin bibliogrfica
ORTIZ, D.
Anlisis de Estructuras: Problemas Resueltos
Segunda edicin
INDEPENDIENTE, Mxico, 2015
Distribuidora virtual oficial: CivilGeeks
ISBN Trmite en proceso
rea: Ingeniera
Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm
No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento
informtico, ni la transmisin de ninguna forma o cualquier medio, ya sea
electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, con fines
lucrativos.
DERECHOS RESERVADOS 2015, por David Ortiz Soto
Impreso en Mxico
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V
DEDICATORIAS
El presente libro est dedicado a todos los(as) estudiantes y profesores(as) que han
levantado la voz para exigir sus derechos y un sistema justo en el Instituto
Politcnico Nacional (IPN), sin miedo a represalias, haciendo uso del derecho a
pensar.
Siendo hoy el 27 de Septiembre del 2014, a 10 das del PARO INDEFINIDO que
han organizado diversos estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniera y
Arquitectura, Unidad Zacatenco, bajo el argumento de no haber recibido respuesta
a su pliego petitorio por parte de las autoridades, el movimiento est ms fuerte que
nunca y nadie dar un paso atrs hasta haber conseguido el objetivo. La principal
inconformidad es el nuevo plan de estudios (2014) impuesto en ESIA UZ y
considerado de menor calidad al precedente (2004), por lo que se exige derogacin
del mismo.
Muchos profesores tanto de Licenciatura como de Posgrado se han solidarizado
con este movimiento.
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DEDICATORIAS
VI
La presente obra tambin se ha realizado en apoyo absoluto a los investigadores
de SEPI ESIA Zacatenco, quienes han protestado ante lo que ellos han denominado
la imposicin de un jefe ilegtimo de posgrado.
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DEDICATORIAS
VII
Finalmente, va para todos(as) aquellos(as) que en conjunto han formado la
Resistencia Global Politcnica, manifestndose en contra del Nuevo Reglamento
Interno del IPN y exigiendo la destitucin de diversos directivos corruptos, desde
vocacionales hasta unidades de nivel superior, as como a todos(as) los
solidarios(as) pertenecientes a otras universidades como la UNAM, UAM, etc., hasta
la poblacin en general que se ha unido a la lucha.
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DEDICATORIAS
VIII
Dedico de manera especial este libro a Dios, a mi madre Clara y mi padre Antonio,
as como a mis hermanos Jos Carlos y Antonio.
A mis abuelas Paulina Ramrez y Juana Marn.
A mis sobrinos Diego y Antonio.
He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los
miembros de mi familia a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente,
incluyendo aquellos que se han adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y ta Luca).
Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos(as), compaeros(as),
profesores(as), investigadores y colegas que siempre me han respaldado.
Agradezco a las Instituciones en las que me he formado acadmicamente a nivel
de Licenciatura y Posgrado: FES Aragn UNAM y ESIA UZ IPN.
Hago un reconocimiento especial al amigo e investigador Dr. Ernesto Pineda Len
por todos los conocimientos que me ha transmitido y por haber efectuado la revisin
tcnica de este libro.
A todas las personas de Mxico y del extranjero que directa o indirectamente me
han apoyado y/o han depositado su confianza en m.
A todo aquel que con los puos en alto sigue luchando por un mundo ms justo
(estudiantes, profesionistas honestos, obreros, campesinos, jornaleros y dems).
Somos el pueblo trabajador, los siempre condicionados y reprimidos.
A la memoria de mis amigos Juan, Miguel, Luis y Gilbertobuen viaje.
A los lectores, esperando que este texto sea de su agrado y utilidad.
La informacin no es slo para el que la paga, es para todos(as).
No hay fronteras ni banderas para el conocimiento.
Escribir para resistir en un mundo de opresin.
Gracias por todo su apoyo a todos(as) ustedes y por siempre alentarme a seguir
adelante.
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IX
LA RESISTENCIA GLOBAL DEL INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL (IPN)
Y LAS UNIVERSIDADES SOLIDARIAS
Basta ya! mi futuro no est en venta
hermano no te vayas a la deriva
mejor pon el puo arriba
porque mi gente est apoyando a esta nacin
aqu estamos todos resistiendo
vamos todos a bordo, que no se quede nadie
cuidando al compaero y que aqu nadie nos calle
organizacin y hay que tener cuidado
hay muchos que provocan porque vienen de infiltrados
son tan ignorantes, se olvidan de su pueblo,
confunden intereses y creen son parte del dueo
nuestro delito es ser conscientes
no caigo en el juego de la desinformacin
vivir en libertad, disfrutar del consenso, fomentar el apoyo mutuo
solidaridad y diversidad sexual
y todo nuestro apoyo a las comunidades tnicas
voy a seguir creyendo que la razn ms justa es la verdad
nadie va parar la libertad
busquemos el derecho de imaginar
By el artista mexicano Hern Skalo
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X
DONATIVOS VOLUNTARIOS
Si bien siempre he pensado que la informacin no es slo para el que la paga, es
para todos, motivo por el cual coloco con toda humildad para su libre descarga este
libro, en esta ocasin, se requiere de su apoyo para los estudiantes que se
encuentran luchando por una causa justa defendiendo el IPN. Si est en tus
posibilidades el hacer algunos donativos tales como vveres, agua, papel higinico,
etc., para los jvenes que se encuentran salvaguardado sus correspondientes
escuelas a las que pertenecen, sean Vocacionales o de Nivel Superior, se te
agradecer en demasa. Mientras dura este movimiento, puedes acudir
directamente a cualquiera de las Instalaciones del IPN a visitar a los estudiantes
citados para hacerles entrega de lo que desees donar.
El anterior prrafo apareci en la primera edicin de este libro. Ahora, en esta
segunda edicin del libro, en nombre de la comunidad estudiantil en resistencia,
agradecemos a todas las personas que apoyaron con vveres.
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XI
CONTACTO Cuenta Personal David Ortiz M en I https://www.facebook.com/davidortizMenI Pgina de la Biblioteca Se les hace la amable invitacin a unirse a la pgina oficial de Facebook de la Biblioteca; para localizarla, se les sugiere teclear en el buscador las palabras Problemario de Anlisis de Estructuras en 2D Y 3D. Si buscas un sitio donde se haga vlido el supuesto derecho que todos tenemos de "La educacin es gratuita y no un privilegio", la Biblioteca citada es uno de los lugares indicados, pues toda la informacin que elaboramos (Libros, Tesis, Vdeos Tutoriales y Manuales) profesionistas de Mxico, Per, Bolivia y Ecuador es de libre descarga. Si necesitas una dosis de entretenimiento, ah la encontrars. Siempre sers bienvenido al lugar donde a travs de la expresin artstica manifestamos nuestra inconformidad ante un sistema injusto y carente de oportunidades para todos por igual. Es en la literatura de Ingeniera ms combativa que jams hayas visto donde podrs notar que pintamos las banderas de un solo color, pues todos(as) tienen cabida, y los egos y las envidias no existen. Que disfruten de nuestra produccin intelectual: es la novel propuesta del siglo XXI.
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XIII
PREFACIO
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoyo a profesores, estudiantes y todos los interesados en general en la enseanza y el aprendizaje del anlisis estructural, el cual representa un apartado trascendental en el rea de la Ingeniera Estructural. Esta a su vez, constituye una de las partes ms importantes de la carrera de Ingeniera Civil y de otras carreras como Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica y Arquitectura.
Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente
vinculados entre s, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas; su
finalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los apoyos, y de ese
modo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exigencias bsicas
que una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad.
Se entiende por anlisis de una estructura al proceso sistemtico que concluye con
el conocimiento de las caractersticas de su comportamiento bajo un cierto estado
de cargas; se incluye, habitualmente, bajo la denominacin genrica de estudio del
comportamiento tanto el estudio del anlisis de los estados tensional y
deformacional alcanzados por los elementos y componentes fsicos de la estructura
como la obtencin de conclusiones sobre la influencia recproca con el medio
ambiente o sobre sus condiciones de seguridad. Es entonces el objetivo del anlisis
de una estructura, la prediccin de su comportamiento bajo las diferentes acciones
para las que se postule o establezca que debe tener capacidad de respuesta.
Novedades en esta edicin
El autor, bajo la misma tendencia de elaborar literatura de Ingeniera altruista,
consiente y combativa, en esta edicin lanza un mensaje de solidaridad hacia el
movimiento estudiantil gestado inicialmente en ESIA UZ y que a la postre se
convirti en global del IPN, Institucin a la que pertenece. En la portada se aprecia
una imagen que dice ESIA Zacatenco en pie de lucha, acompaada de la frase
prometimos vencer y vencimos.
Se presenta un ejemplo resuelto de una viga con seccin variable, empleando el
mtodo de las fuerzas. Se incluyen ejercicios resueltos de armaduras por el mtodo
de flexibilidades, para los casos en el que la estructura es indeterminada
externamente y es indeterminada tanto externamente como internamente.
Asimismo, se implementan ejercicios para marcos con un soporte girado y con una
columna inclinada, por el mtodo de las fuerzas. Se incorpora la resolucin de
marcos con el mtodo de la rigidez directa, para los casos de: la existencia de un
soporte de rodillos inclinado, alguna rtula intermedia, y con una columna de doble
altura. Se ofrece una explicacin mucho mejor de la solucin de la ecuacin
-
PREFACIO
XIV
diferencial del movimiento para los sistemas de un grado de libertad con y sin
amortiguamiento. En las pginas finales del libro, el autor hace una sntesis de lo
que fue el movimiento estudiantil citado.
Enfoque
En cada captulo del libro, se resuelve de manera minuciosa y clara una gran
variedad de ejercicios sobre estructuras isostticas e hiperestticas, y sistemas de
un grado de libertad con amortiguacin y sin amortiguacin, segn sea el caso. Esto
tiene como objetivo ofrecer al lector una idea muy acercada de cmo trabajan los
software de estructuras disponibles hoy en da, por ejemplo, el SAP 2000, ETABS
o ANSYS, debido a que estos emplean las teoras que en la presente obra se tratan.
Por otra parte, en automtico se le brinda al lector un medio para comprobar los
resultados obtenidos en los programas de clculo mencionados, en vez de limitarse
simplemente a confiar en los resultados generados. Desde un punto de vista
acadmico, la resolucin detallada de ejercicios muy variados, desde simples hasta
muy complejos, permiten al estudiante tener ms prctica y por ende desarrollar de
forma ms amplia sus habilidades, aterrizando los conceptos aprendidos en clase y
de ese modo, enfrentar con ms facilidad los ejercicios que se le dejan extra-clase
o bien, llegar mejor preparado para algn examen.
Contenido
El libro se divide en tres captulos. En el captulo 1 se analizan estructuras
isostticas nicamente, especficamente, vigas, prticos, armaduras y arcos. Esta
parte vendra siendo una introduccin al anlisis estructural; se explica la forma de
calcular el grado de indeterminacin, las reacciones en los soportes, de determinar
las funciones de las fuerzas cortante y normal, y de momento flexionante empleando
el mtodo de las secciones, de dibujar los diagramas de los elementos mecnicos,
de inferir las fuerzas en las barras con el mtodo de los nodos en las armaduras,
etc.
En el captulo 2 se estudian las estructuras estticamente indeterminadas; los
mtodos que se emplean para ello son el de flexibilidades (tambin llamado de las
fuerzas) y el matricial de la rigidez (tambin conocido como de la rigidez directa), y
se aplican solo a armaduras, vigas y marcos, en el plano.
Finalmente, el captulo 3 se enfoca a la resolucin de sistemas de un grado de
libertad con y sin amortiguamiento, tanto para casos en los que la carga es nula
como para los casos en los que hay excitacin armnica.
DAVID ORTIZ SOTO
-
XV
CONTENIDO
1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS .................................................................................. 1
Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector
de una viga isosttica con un soporte inclinado ................................................ 1
Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con
carga triangular ..................................................................................................... 8
Ejercicio 1.3 Anlisis de una viga con carga compleja ................................... 12
Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un
prtico .................................................................................................................. 25
Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simtrica .................... 36
Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simtrica ............... 42
Ejercicio 1.7 Resolucin de un arco triarticulado parablico .......................... 47
Ejercicio 1.8 Resolucin de un arco triarticulado circular ................................ 54
2 ANLISIS ESTRUCTURAL ........................................................................................ 63
Ejercicio 2.1 Mtodo de flexibilidades aplicado a una viga ............................. 63
Ejercicio 2.2 Mtodo de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento
en un soporte ....................................................................................................... 74
Ejercicio 2.3 Mtodo de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento
en un soporte modelado como resorte helicoidal ............................................ 84
Ejercicio 2.4 Resolucin de una viga de seccin variable empleando el mtodo
de las fuerzas ...................................................................................................... 93
Ejercicio 2.5 Mtodo de flexibilidades aplicado a un marco con una redundante
..............................................................................................................................102
Ejercicio 2.6 Mtodo de flexibilidades aplicado a un prtico con varias
redundantes y un asentamiento en un apoyo ..................................................113
Ejercicio 2.7 Mtodo de flexibilidades aplicado a un marco con una columna
inclinada ...............................................................................................................126
Ejercicio 2.8 Resolucin de una armadura externamente indeterminada con
el mtodo de flexibilidades ................................................................................142
-
XVI
Ejercicio 2.9 Resolucin de una armadura con indeterminacin externa e
interna con el mtodo de flexibilidades ............................................................156
Ejercicio 2.10 Mtodo de la rigidez matricial aplicado a una armadura en 2D
..............................................................................................................................176
Ejercicio 2.11 Anlisis de una armadura con un rodillo en un plano inclinado
empleando el mtodo de la rigidez matricial ...................................................197
Ejercicio 2.12 Resolucin de una viga con el uso del mtodo de la rigidez
directa .................................................................................................................206
Ejercicio 2.13 Solucin de una viga con asentamiento en un apoyo por medio
del mtodo de la rigidez matricial .....................................................................216
Ejercicio 2.14 Resolucin de un prtico plano con el mtodo de la rigidez
directa .................................................................................................................222
Ejercicio 2.15 Anlisis de un marco con un rodillo inclinado, en 2D, con el
mtodo matricial de la rigidez ...........................................................................231
Ejercicio 2.16 Resolucin de un marco en el plano, con una rtula intermedia,
aplicando el mtodo matricial de la rigidez .....................................................238
Ejercicio 2.17 Resolucin de un prtico con una columna de doble altura,
empleando el mtodo de la rigidez directa ......................................................248
3 INTRODUCCIN A LA DINMICA ESTRUCTURAL .................................................261
Ejercicio 3.1 Anlisis de un sistema de un grado de libertad, sin amortiguacin
..............................................................................................................................261
Ejercicio 3.2 Anlisis de un sistema de un grado de libertad, con
amortiguacin .....................................................................................................265
Ejercicio 3.3 Respuesta de un sistema de un grado de libertad sin
amortiguacin, a excitacin armnica ..............................................................276
Ejercicio 3.4 Respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado,
a excitacin armnica ........................................................................................279
BIBLIOGRAFA ..............................................................................................................283
ESIA UZ E IPN EN GENERAL: PROMETIMOS VENCER Y VENCIMOS
LA REPRESIN DE LAS AUTORIDADES HACIA LOS ESTUDIANTES SE HIZO
PRESENTE
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1
CAPTULO 1
ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector
de una viga isosttica con un soporte inclinado.
Instrucciones Determine las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada
en la figura 1-1a producidas por las cargas indicadas. Use el mtodo de las
secciones para deducir las expresiones algebraicas que describen la variacin de
los elementos mecnicos.
SOLUCIN
Verificacin del grado de indeterminacin
Se identifican las fuerzas reactivas en los apoyos (soportes); el soporte 1 es un rodillo, por lo que la reaccin 1 es perpendicular al plano de deslizamiento del apoyo, mientras que el soporte 2 es articulado y en l se generan dos reacciones, una horizontal (2) y una vertical (2). Como hay tres incgnitas de reaccin,
0.5/
1
2
24
10 12
5
Plano de deslizamiento del soporte
Figura 1-1
(a)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
2
= 3, tres ecuaciones de equilibrio ( = 0, = 0, = 0), = 3, y ninguna ecuacin de condicin (no existe articulacin (rtula) ni conexin cortante
intermedia), = 0, se concluye que la viga es isosttica o estticamente determinada debido a que se cumple que = + , puesto que 3 = 3 + 0.
Si > ( + ), entonces la viga es estticamente indeterminada, o bien, en caso de que < ( + ), se infiere que la viga es inestable.
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. El sentido de cada reaccin ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las fuerzas reactivas
no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que determinar: a) la carga
concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga,
que es igual al rea bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es
el rea del rectngulo) y b) el centroide de dicha rea a travs del cual pasa la lnea
de accin de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicacin de la resultante
(para una carga rectangular, el centroide se localiza a la mitad de la longitud de la
base).
Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a los ejes
coordenados y ms convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en
0.5/
1
2
24
10 12
5
1 = 0.38461
1 = 0.9231
2
2
= 12
= 12
(b)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
3
la estructura; esto ltimo hace que sea necesario descomponer a 1 en sus componentes rectangulares horizontal y vertical, las cuales han sido etiquetadas
como 1 y 1 respectivamente.
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida y su punto de aplicacin son
= (0.5/)(24) = 12 =1
2(24) = 12
De acuerdo a las figuras 1-1c y 1-1d, las componentes rectangulares de la reaccin
1 en el plano son
= tan15
12= 22.6198
1 = 1 sin = 1 22.6198 = 0.38461
1 = 1 cos = 1 22.6198 = 0.9231
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las reacciones en los apoyos; la convencin de signos que se adopta es arbitraria. En
caso de que la solucin de las ecuaciones de equilibrio proporcione una magnitud
negativa para una fuerza reactiva, su sentido propuesto debe ser invertido.
Tomando momentos alrededor del punto 2 considerando los ejes que pasan por tal punto, se puede despejar directamente el valor de 1.
+2 = 0 1(10) + 1(24) 12(12) = 0
(0.38461)(10) + (0.9231)(24) 144 = 0 1 =144
26= 5.5385
1 = 5.5385
12
5
Plano de deslizamiento del soporte
90
1
1
(c)
(d)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
4
Los valores de las componentes rectangulares de 1 = 5.5385 son
1 = 0.38461 = 0.3846(5.5385 ) = 2.13
1 = 0.9231 = 0.923(5.5385) = 5.112
Finalmente, las reacciones 2 y 2 se obtienen al plantear las dos ecuaciones de equilibrio restantes, es decir, las de fuerzas.
+ = 0 1 2 = 0 2.13 2 = 0 2 = 2.13
2 = 2.13
+ = 0 1 + 2 = 0 5.112 12 + 2 = 0 2 = 6.888
2 = 6.888
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-1e se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus
correspondientes sentidos adecuados. A continuacin se aplica el mtodo de las
(e)
0.5/
1
2
24
10 12
5
1 = 2.13
1 = 5.112
2 = 6.888
= 12
12
2 = 2.13
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
5
secciones (cortes). La distribucin de la carga actuante no presenta discontinuidad,
as que slo ser necesario efectuar un corte perpendicular al eje longitudinal de la
viga para definir los elementos mecnicos, tambin llamados acciones internas, que
corresponden a la fuerza axial o normal , la cual acta en la misma direccin que la del eje longitudinal de la viga, la fuerza cortante que es perpendicular a y el momento flexionante ; se considera como origen del sistema coordenado al punto 1, as que la coordenada es positiva hacia la derecha y hacia abajo, y es vlida para la regin 1 2 (0 26), debido a que la longitud de la viga es
= (24)2 + (10)2 = 26.Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en
el segmento 1 2) a una distancia del punto 1.
En la figura 1-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga
con longitud . El rea bajo el rectngulo y su centroide deben determinarse. Las acciones internas aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo
a la convencin de signos ms usual y sus funciones se deducen aplicando las
ecuaciones de equilibrio cuya convencin de signos si puede ser indistinta en el
diagrama mencionado.
0 26
(f)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
6
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida uniforme del corte y su
punto de aplicacin son, respectivamente
= (0.5)(0.923) = 0.4615 =1
2() =
2
Con base en la figura 1-1g se determinan las componentes rectangulares de la
fuerza resultante cuyas lneas de accin coinciden con las de y , es decir, las
componentes que actan en forma paralela y perpendicular al eje longitudinal de la
viga.
= sin = 0.4615(0.3846) = 0.1775
= cos = 0.4615(0.923) = 0.426
Las distancias auxiliares , , y se deducen a partir del tringulo rectngulo que
se observa en la figura 1-1h.
= sin = 0.3846
= cos = 0.923
=
2 =
2
Si tomamos momentos alrededor del punto del corte, puede obtenerse directamente
el momento en funcin de .
+ = 0
= 0.4615
(g)
(h)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
7
Opcin 1
Usando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que pasan
por el punto del corte se tiene
1() + 1() () = 0
5.112(0.923) + 2.13(0.3846) (0.4615)(0.4615) = 0
= 0.2132 + 5.538
Opcin 2
Considerando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que
pasan por el punto del corte obtenemos
1() (
2) = 0 5.5385() (0.426) (
2) = 0
= 0.2132 + 5.5385
De la suma de fuerzas en la direccin perpendicular al eje longitudinal de la viga
igual a cero, se puede obtener una solucin directa para la fuerza cortante .
+ = 0 1 = 0 5.5385 0.426 = 0
= 5.5385 0.426
Tambin, es resultado de
=
=
(0.2132 + 5.5385) = 5.5385 0.426
Lo anterior se debe a que como se observar en el siguiente ejercicio, la pendiente
del diagrama de momento (/) es igual a la intensidad de la fuerza cortante en ese punto. Por otra parte, se establece que la pendiente del diagrama de fuerza
cortante, en un punto (/) es igual a la intensidad de la carga distribuida () en ese punto.
Al plantear la ecuacin que establece que la suma de fuerzas en la direccin del
eje longitudinal de la viga es equivalente a cero, es posible despejar el valor de la
fuerza normal .
+ = 0 + = 0 0.1775 + = 0 = 0.1775
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
8
Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con
carga triangular.
Instrucciones Para una viga simplemente apoyada de longitud que soporta una
carga cuya variacin lineal va de 0 en el apoyo hasta en el apoyo , figura
1-2a, dibuje los diagramas de momento y cortante.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Las reacciones en los apoyos han sido identificadas y el
sentido de cada una de ellas se ha supuesto arbitrariamente por desconocerse; por
otra parte, se ha determinado la carga concentrada equivalente para la carga
distribuida de intensidad con variacin lineal y su punto de aplicacin . La figura
1-2b indica el diagrama de cargas de la estructura.
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener las
fuerzas reactivas en los soportes; la convencin de signos a utilizar es indistinta.
+ = 0 (
2) (
2
3) ()() = 0 =
2
3 =
3
+ = 0 = 0
Figura 1-2
(a)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
9
+ = 0
2+
3= 0 =
6
Funciones de fuerza cortante y de momento
En la figura 1-2c se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus
correspondientes sentidos adecuados; se especifica la coordenada a utilizar cuyo
origen asociado est en . El momento y el cortante deben estar en funcin de y
como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, slo se efectuar
un corte perpendicular al eje de la viga.
(b)
(c)
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CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
10
Un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud es proporcionado en la figura 1-2d. Note que la intensidad de la carga triangular se encuentra en
proporcin, es decir,
=
=
. Se indica la fuerza resultante de la carga
triangular del corte y su punto de aplicacin; y aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convencin de signos usualmente adoptada y
sus funciones se deducen al hacer uso de las ecuaciones de equilibrio cuya
convencin de signos si puede ser cualquiera.
0
+ = 0 + (
6)
() ( )
2(
3) = 0
=
6
63
+ = 0
6
() ( )
2 = 0
=
6
22 =
=
6
6(32) =
6
22
Clculo del momento mximo
El momento mximo est posicionado en un punto donde = / = 0; realizando la sustitucin correspondiente y resolviendo la ecuacin se tiene
(d)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
11
0 =
6
22 2 =
6
2
=22
6=
2
3 =
3
Al hacer = en la ecuacin de , el momento mximo resulta ser
=
6(
3)
6(
3)
3
=2
63
2
6(3)3 =
3
272 =
2
93
Diagramas de fuerza cortante, momento flector
Una vez que se han determinado las funciones de fuerza cortante y de momento
flector, estas se evaluan en el intervalo 0 , tablas 1-1 y 1-2. Luego, los respectivos diagramas, figuras 1-2e y 1-2f, se obtienen de graficar los datos
dispuestos en forma tabular.
Tabla 1-1
Tabla 1-2
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
12
Ejercicio 1.3 Anlisis de una viga con carga compleja.
Instrucciones Calcule las fuerzas reactivas en los soportes y determine las
funciones del momento flector y de las fuerzas cortante y normal de la viga isosttica
mostrada en la figura 1-3a. Obsrvese que en los extremos izquierdo y derecho
estn aplicadas cargas puntuales de 7 con una pendiente de 3: 4 y de 5 con una pendiente de 1: 1 respectivamente; sobre la regin se extiende una carga cuya intensidad vara linealmente desde 0 en el punto hasta 3/ en el punto y sobre la regin la estructura soporta una carga distribuida irregularmente en la que se conocen seis puntos de intensidad de carga cuyos valores son indicados.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Primero se construye una funcin polinomial que ajuste a los puntos conocidos de la carga distribuida irregularmente; como se tienen seis datos,
se propone una funcin polinmica de grado cinco (ndatos -1) de la siguiente forma:
= 5 + 4+3 + 2 + + ()
Tomando como origen al punto se sabe que
= 4, = 0; = 5, = 2/; = 6, = 3/
= 7, = 1/; = 8, = 2/; = 9, = 0
Si sustituimos los valores anteriores en la ecuacin (), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
0 = (4)5 + (4)4+(4)3 + (4)2 + (4) +
0 = 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + (1)
2 = (5)5 + (5)4+(5)3 + (5)2 + (5) +
2 = 3125 + 625 + 125 + 25 + 5 + (2)
3/
2/
3/
1/
2/
1 2 1 1 1 1 1 1 2
1
1
3
4
Carga distribuida
irregularmente
Figura 1-3
(a)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
13
3 = (6)5 + (6)4+(6)3 + (6)2 + (6) +
3 = 7776 + 1296 + 216 + 36 + 6 + (3)
1 = (7)5 + (7)4+(7)3 + (7)2 + (7) +
1 = 16807 + 2401 + 343 + 49 + 7 + (4)
2 = (8)5 + (8)4+(8)3 + (8)2 + (8) +
2 = 32768 + 4096 + 512 + 64 + 8 + (5)
0 = (9)5 + (9)4+(9)3 + (9)2 + (9) +
0 = 59049 + 6561 + 729 + 81 + 9 + (6)
Expresando el sistema simultneo de ecuaciones en forma matricial tenemos
(
1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17776 1296 216 36 6 116807 2401 343 49 7 132768 4096 512 64 8 159049 6561 729 81 9 1)
(
)
=
(
023120)
Resolviendo el sistema resulta
(
)
=
(
1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17776 1296 216 36 6 116807 2401 343 49 7 132768 4096 512 64 8 159049 6561 729 81 9 1)
1
(
023120)
=
(
0.1666675.3333366.8333409.1671221.51422 )
Si se reemplazan los resultados obtenidos en la ecuacin (), entonces la funcin polinomial que describe la intensidad de la carga distribuida irregularmente es
= 1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422
Se calculan las cargas concentradas equivalentes de las presiones, as como su punto de aplicacin .
- Carga cuya intensidad vara en forma lineal.
1 =(3/)(3)
2= 4.5 1 =
2
3(3) = 2
- Carga distribuida irregularmente.
Para esta carga se conocan seis puntos de intensidad inicialmente; realmente no
se saba el comportamiento exacto de la curva que describe la carga distribuida
hasta que se calcul la ecuacin y se grafic. Fue as como se pudo observar que
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
14
una pequea porcin de la carga distribuida, especficamente la que se extiende de
4 a 4.45, acta hacia arriba; lgicamente en = 4.45, = 0.
La fuerza resultante para esta porcin de carga distribuida es
2 = = 2
1
2 = (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
4
2 = [1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422]
4
4.45
2 = 1
36(4.456 4.006) +
16
15(4.455 4.005)
401
24(4.454 4.004)
+136389
1000(4.453 4.003)
2443
4(4.452 4.002) + 1422(4.45 4.00) 0.12
El signo negativo indica que la resultante 2 acta hacia arriba. Su punto de
aplicacin es
2 =
= 21
21
2 = () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 4.45
4
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 4.45
4
Resolviendo el numerador se tiene
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
4
= (1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4.45
4
= [1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112]
4
4.45
= 1
42(4.457 4.007) +
8
9(4.456 4.006)
401
30(4.455 4.005)
+409167
4000(4.454 4.004)
2443
6(4.453 4.003) + 711(4.452 4.002) 0.49
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
2 =0.49
0.12 4.083
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
15
Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que acta hacia abajo, es decir, la
que se extiende de 4.45 a 9. La fuerza resultante es
3 = = 2
1
3 = (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
9
4.45
= [1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422]
4.45
9
= 1
36(96 4.456) +
16
15(95 4.455)
401
24(94 4.454)
+136389
1000(93 4.453)
2443
4(92 4.452) + 1422(9 4.45) = 8.87
y su punto de aplicacin es
3 =
= 21
21
3 = () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 9
4.45
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422) 9
4.45
Resolviendo el numerador se tiene
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
9
4.45
= (1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
9
4.45
= [1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112]
4.45
9
= 1
42(97 4.457) +
8
9(96 4.456)
401
30(95 4.455) +
409167
4000(94 4.454)
2443
6(93 4.453) + 711(92 4.452) = 59.3
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
3 =59.3
8.87 6.685
Luego, se resuelven las fuerzas puntuales 1 = 7 y 2 = 5 en sus componentes rectangulares , figuras 1-3b, 1-3c y 1-3d, 1-3e, respectivamente.
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
16
- Para 1 = 7
1 = 32 + 42 = 5
sin 1 =4
5; cos 1 =
3
5
- Para 2 = 5
2 = 12 + 12 = 2
sin 2 = cos 2 =1
2
El soporte es un rodillo, por lo que se genera una fuerza reactiva vertical , mientras que el soporte es un pasador y tiene dos incgnitas de reaccin, una horizontal () y una vertical (). En consecuencia, el diagrama de cargas de la viga, figura 1-3f, es
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 2
1 3
4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 2 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
2 = 3.53553
2 = 3.53553
2 = 6.685
1 = 2 3.685 2.315
3 = 0.12
3 = 4.083
1
3
4
1
1
1
2
1
1
2 2
2
1
sin 1 =17
1 = 7(sin 1) = 7 (4
5) = 5.6
cos 1 =17
1 = 7(cos 1) = 7 (3
5) = 4.2
sin 2 =25
2 = 5(sin 2) = 5 (1
2) = 3.53553
cos 2 =25
2 = 5(cos 2) = 5 (1
2) = 3.53553
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
17
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las
incgnitas y y usando una convencin de signos arbitraria.
+ = 0 4.2 3.53553 = 0 = 0.66447
+ = 0 5.6(3) 0.12(1.083) + 8.87(3.685) (6) + 3.53553(8) = 0
= 7.34
+ = 0 5.6 4.5 + + 0.12 8.87 + 7.34 3.53553 = 0 = 15.0456
La fuerza reactiva vertical del soporte en tambin se puede obtener tomando momentos alrededor de .
+ = 0 3.53553(2) 8.87(2.315) 4.5(6) + 0.12(4.917) + (6) 5.6(9) = 0
= 15.0455
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-3g se muestran los resultados obtenidos.
La distribucin de la carga que acta sobre la viga presenta discontinuidades en los
puntos , , , y ; as que, para obtener expresiones algebraicas que definan la variacin de los elementos mecnicos es necesario cortar a la estructura
perpendicularmente a su eje a travs de secciones arbitrarias en los tramos
, , , y .
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 2
1 3
4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 3 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
2 = 3.53553
2 = 3.53553
= 15.0456 = 7.34
= 0.66447
3 = 6.714
1 = 2 3.685 2.315
1
2 = 0.12
2 = 4.083
(g)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
18
Se ha definido una sola coordenada para toda la viga, por lo que es vlida para toda la regin (0 11), su origen ha sido asociado en , y es positiva hacia la derecha.
Corte en el tramo ( ). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio
en el segmento ( ) a una distancia del punto . En la figura 1-3h se
proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud . Al
aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0 1
+ = 0 5.6 1 = 0 1 = 5.6
o tambin
1 =1
=(5.6)
= 5.6
+ = 0 4.2 + 1 = 0 1 = 4.2
Corte en el tramo ( ). En la figura 1-3i se muestra un diagrama de cuerpo libre de la seccin cortada. A la derecha, figura 1-3j, se proporciona un esquema
para determinar el valor en funcin de de la intensidad 1.
La fuerza resultante de la carga triangular cortada es
=( 1)( 1)
2=( 1)2
2
3/
1
1
3
3 4
1 = 5.6
1 = 4.2
1
1
1
1 = 1
3 4
=( 1)2
2 1 = 5.6
1 = 4.2
1
1
2
2
2
1 3
3/
3=
1 1
1 = 1
+ = 0 5.6() 1 = 0 1 = 5.6
(h)
(i)
(j)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
19
y su punto de aplicacin es
=1
3( 1)
Por lo tanto,
+ = 0 5.6 ( 1)2
2[1
3( 1)] 2 = 0
2 = 5.6 1
6( 1)3 = 5.6
1
6[()3 3()2(1)+ 3(1)2() (1)3]
= 5.6 1
6[3 32 + 3 1] =
1
63 +
1
22 6.1 +
1
6
+ = 0 5.6 ( 1)2
2 2 = 0
2 = 5.6 ()2 2()(1) + (1)2
2= 5.6
1
22 +
1
2=
1
22 + 6.1
o tambin
2 =2
= (
16
3 +12
2 6.1 +16)
=
1
22 + 6.1
+ = 0 2 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla
en algn sitio intermedio del tramo , figura 1-3k. El equilibrio esttico del cuerpo libre implica que
1
3 4
1 = 5.6
1 = 4.2
2
= 15.0456
1 3
1
3
3
3
=( 1)2
2
3 4
(k)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
20
+ = 0 5.6 + 15.0456( 3) ( 1)2
2[1
3( 1)] 3 = 0
3 = 5.6 + 15.0514 45.1542 1
63 +
1
22
2+1
6
3 = 1
63 +
1
22 + 8.9456 44.9701
+ = 0 5.6 ( 1)2
2+ 15.0456 3 = 0 3 =
1
22 + + 8.9456
o tambin
3 =3
= (
16
3 +12
2 + 8.9456 44.9701)
=
1
22 + + 8.9456
+ = 0 3 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ( ) a una distancia de ; a continuacin se ofrece el diagrama de cuerpo libre que representa la porcin de la estructura ubicada a la
izquierda del corte, figura 1-3l.
4 4.45
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es
3/
3
3 4
1 = 4.5 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0514
Carga distribuida irregularmente
4
4
4
1
4
(l)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
21
= (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
= 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422 1346.05
y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
Resolviendo el numerador tenemos
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4
(1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4
= 1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112 1067.35
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
=1427
+896
40130
5
+4091674000
4 24436
3
+ 7112 1067.35
1366 +
16155
40124
4 +1363891000
3 24434
2
+ 1422 1346.05
Las acciones internas entre los puntos y quedan definidas como
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 1( ) 4 = 0
4 = 1
2527 +
8
456
401
1205 +
136389
40004
2443
123 + 7112 1341.1044
+ 1035.7132
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 1 4 = 0
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
22
4 = 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42
+ 1422 1346.1044
o tambin
4 =4
= (
1252
7 +8456
401120
5 +1363894000
4 244312
3 + 7112 1341.1044 + 1035.7132)
4 = 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42
+ 1422 1346.1044
+ = 0 4 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ( ) a una distancia de ; en la figura 1-3m se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. En
consecuencia,
4.45 9
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es
= (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
= 1
366 +
16
155
401
244 +
136389
10003
2443
42 + 1422 1345.935
3/
2/
3/
3 3
3 4
1 = 4.5 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0456
1/
Carga distribuida
irregularmente
5
5
5
1
2 = 0.12
2 = 4.083
5
(m)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
23
y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= () (
16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
(16
5 +163
4 4016
3 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
Resolviendo el numerador tenemos
() (1
65 +
16
34
401
63 + 409.1672 1221.5 + 1422)
4.45
(1
66 +
16
35
401
64 + 409.1673 1221.52 + 1422)
4.45
1
427 +
8
96
401
305 +
409167
40004
2443
63 + 7112 1066.85875
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
=142
7 +89
6 40130
5 +4091674000
4 24436
3 + 7112 1066.85875
136
6 +1615
5 40124
4 +1363891000
3 24434
2 + 1422 1345.935
Las acciones internas entre los puntos y quedan definidas como
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 0.12( 4.083) 2( ) 4 = 0
5 =1
2527
8
456 +
401
1205
136389
40004 +
2443
123 7112 + 1351.0006
1098.9855
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 0.12 2 4 = 0
5 =1
366
16
155 +
401
244
136389
10003 +
2443
42
1422 + 1351.0006
o tambin
5 =5
=
(1252
7
8456
+401120
5
1363894000
4 +244312
3 7112 + 1351.0006 1098.9855)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
24
5 =1
366
16
155 +
401
244
136389
10003 +
2443
42
1422 + 1351.0006
+ = 0 5 = 4.2
Corte en el tramo ( ). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia de ; en la figura 1-3n se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. Por
consiguiente,
9 11
+ = 0
5.6 4.5( 3) + 15.0456( 3) + 0.12( 4.083) 8.87( 6.685) + 7.34( 9)
6 = 0
6 = 3.5356 38.89074
+ = 0 5.6 4.5 + 15.0456 + 0.12 8.87 + 7.34 6 = 0 6 = 3.5356
o tambin
6 =6
=(3.5356 38.89074)
= 3.5356
+ = 0 4.2 0.66447 + 6 = 0 6 = 3.53553
3/
2/
3/
1/
2/
3 6 9
3 4
Carga distribuida
irregularmente 1 = 4.5 2 = 8.87 1 = 5.6
1 = 4.2
= 15.0456 = 7.34
2 = 6.685
3
= 0.66447
6
6
6
6.685
3 = 0.12
3 = 4.083
5
(n)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
25
Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un
prtico.
Instrucciones Dibuje los diagramas de fuerza cortante, de fuerza normal y de
momento flexionante del marco visualizado en la figura 1-4a.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los soportes
12
10
5
2 2 2 3 5
Figura 1-4
(a)
(b)
12
10
5
2 2 2 3 5
1 =25
2
1 =25
2
= 2.5 =
5
3
=10
3
1 =32 41
41
1 =40 41
41
1
2
1
2 4
4
3
3
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
26
Diagrama de cargas. Se muestra en la figura 1-4b.
La longitud de los miembros y son
= (4)2 + (5)2 = 41
En consecuencia,
2 =4 41 2 =
5 41
4
41=2
=
(2)( 41)
4= 41
2
4
5=2
=
(5)(2)
4= 2.5
= (5)2 + (5)2 = 5 2
Por lo tanto,
4 =55 2 = 1
2 4 =
55 2 = 1
2 3 = 4
Con base en la figura 1-4c, las componentes rectangulares de la carga puntual de
8 para el plano son
sin 2 =11
1 = 1 sin 2 = 8 (4
41) =
32 41
41
cos 2 =11
1 = 1 cos 2 = 8 (5
41) =
40 41
41
A continuacin se efecta un anlisis de la carga con variacin lineal.
La carga concentrada equivalente es
1 =(5 2)(5/)
2=25 2
2
y su punto de aplicacin se localiza a una distancia de
1 =1
3(5 2) =
5
3 2
A partir de la figura 1-4d, las componentes rectangulares de la resultante 1 son
sin 4 =11
1 = 1 sin 4 =25 2
2 (
1
2) =
25
2
cos 4 =11
1 = 1 cos 4 =25 2
2 (
1
2) =
25
2
1
1
2
1
1
4
(c)
(d)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
27
Las distancias y pueden ser deducidas por trigonometra como sigue:
5
5 2=
53 2
=5 (
53 2)
5 2=5
3
= [(5 2) (5
3 2)]
2
(5 5
3)
2
=10
3
Ecuaciones de equilibrio.
+ = 0 (40 41
41) (2.5) + (
32 41
41) (2) + (12)(6) (10)(5) + (
25
2) (9 +
10
3)
(25
2) (5
3) ()(14) = 0 = 12.9247 = 12.9247
+ = 0 +40 41
41 10
25
2= 0 = 16.253 = 16.253
+ = 0 32 41
41 12
25
2+ 12.9247 = 0 = 16.5729
= 16.5729
Como comprobacin, se debe cumplir que la suma de momentos respecto de es nula.
+ = (25
2) (5
3) (
25
2) (5
10
3) (10)(5) (12)(8) (
32 41
41) (12)
+(40 41
41) (2.5) + (16.5729)(14) 0
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector
Los resultados obtenidos se muestran en el diagrama de la figura 1-4e.
En el marco se pueden distinguir cinco regiones distintas. En el miembro , un primer tramo va desde hasta el punto de aplicacin de la carga puntual de 8 y un segundo tramo sera la parte restante del miembro. Un tercer y cuarto tramo se
observan por inspeccin en el miembro debido a la aplicacin de la carga puntual de 12. En el miembro no hay variacin en la distribucin de la carga, por lo que toda su longitud comprendera el quinto tramo. Para obtener funciones
que definan la variacin de las acciones internas es necesario cortar la estructura a
travs de secciones arbitrarias en los tramos mencionados.
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
28
Aunque se puede establecer una sola coordenada por miembro, en este caso se opta por definir una coordenada para cada tramo distinto, lo cual tambin es vlido. En la figura pueden notarse claramente la forma en las que han sido
definidas las coordenadas 1, 2, 3, 4 y 5, las cuales cubren perfectamente cada una de las regiones de la estructura.
Con base en las figuras 1-4f, 1-4g y 1-4h, se calculan las componentes
rectangulares de las reacciones en los apoyos que sern tiles al efectuar el
equilibrio en algunos diagramas de cuerpo libre originados al cortar la estructura.
- Para = 16.253
sin 2 =
= sin 2 = 16.253 (4
41) = 10.1532
cos 2 =
= cos 2 = 16.253 (5
41) = 12.6915
- Para = 16.5729
sin 2 =
= sin 2 = 16.5729 (4
41) = 10.353
cos 2 =
= cos 2 = 16.5729 (5
41) = 12.9413
12
10
5
2 2 2 3 5
1 =25
2
1 =25
2
= 2.5 =
5
3
=10
3
1 =32 41
41
1 =40 41
41
1
2
1
2 4
4
3
3
= 12.9247
= 16.5729
= 16.253
3 4
3
2
2
2
= 16.253
2
=16.5729
(e)
(f)
(g)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
29
- Para = 12.9247
sin 3 =
= sin 3 = 12.9247 (1
2) = 9.13914
cos 3 =
= cos 3 = 12.9247 (1
2) = 9.13914
Miembro .
Corte en el tramo . Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro a una distancia 1 de , antes del punto donde se encuentra aplicada la carga puntual de 8; el diagrama de cuerpo libre de la seccin cortada, figura 1-4i, con su anlisis son
0 1 41
2
+ = 0 10.353(1) 12.6915(1) 1 = 0 1 = 2.33851
1 = 41
2,1 = 7.48685.
+ = 0 12.6915 10.353 + 1 = 0 1 = 2.3385
+ = 0 10.1532 + 12.9413 + 1 = 0 1 = 23.0945
Corte en el tramo . Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro
a una distancia 2 del punto de aplicacin de la carga puntual de 8; en la figura
1-4j se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porcin inferior de la estructura
para definir las acciones internas. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene
1
= 16.5729
= 16.253
2
2
1
3
=12.9247
(h)
(i)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
30
2 = 10.33852 7.48685
2 = 0,2 = 7.48685.; 2 = 41
2,2 = 40.5862.
+ = 0 12.6915 10.353 + 8 + 2 = 0 2 = 10.3385
+ = 0 2 = 23.0945
Miembro .
Corte en el tramo . Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a
2 2
2.5
1 =32 41
41
1 =40 41
41
1
2
1
2
= 16.5729
= 16.253
3
3
3
3
5
2.5
0 2 41
2
0 3 2
1
= 16.5729
= 16.253
2
2
2
+ = 0 (10.353 12.6915) ( 41
2+ 2) 8(2) 2 = 0
(j)
(k)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
31
la porcin izquierda de la estructura que se produce al cortarla (perpendicularmente
al eje del miembro) en algn sitio intermedio del tramo comprendido desde hasta el punto de ubicacin de la fuerza de 12, figura 1-4k. Por lo tanto,
+ = 0
(16.5729)(4 + 3) 16.253(5) (40 41
41) (2.5) (
32 41
41) (2 + 3) 3 = 0
3 = 11.57533 40.5859
3 = 0,3 = 40.5859.; 3 = 2,3 = 17.4352.
+ = 0 16.5729 32 41
41 3 = 0 3 = 11.5753
+ = 0 16.253 +40 41
41+ 3 = 0 3 = 22.5
Corte en el tramo . Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro
a una distancia 4 del punto donde est aplicada la fuerza de 12; en la figura 1-4l se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porcin izquierda de la estructura.
El equilibrio esttico del cuerpo libre implica que
+ = 0
16.5729(6 + 4) 16.253(5) 40 41
41(2.5)
32 41
41(4 + 4) 12(4) 4 = 0
4 = 0.424664 17.4352
4 = 0,4 = 17.4352.; 4 = 3,4 = 18.7092.
0 4 3
2 2
2.5
1 =32 41
41
1 =40 41
41
1
2
1
2
= 16.5729
= 16.253
4
4
4
4
5
2.5
12
2
4
(l)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
32
+ = 0 16.5729 32 41
41 12 4 = 0 4 = 0.42466
+ = 0 4 = 22.5
Miembro .
Corte en el tramo . Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del
miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia 5 de ; en la figura 1-4m se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de estructura con longitud 5.
Se procede a realizar un anlisis de la carga trapezoidal. El siguiente esquema,
figura 1-4n, en el que se ha rotado el miembro , es til para determinar el valor en funcin de 3 de la intensidad 3. Aplicando tringulos semejantes se tiene
3
= 12.9247
3
5
0 5 5 2
5
5/
5/
5 2 = 7.07107
7.07107 5 5
5
7.07107=
7.07107 5 =
5(7.07107 5)
7.07107= 5 0.7071075
(m)
(n)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
33
A partir de la figura 1-4 se determina el rea bajo la recta que representa la fuerza resultante. Esta fuerza acta a travs del centroide de su rea .
= 1 + 2 = (5)(5 0.7071075) +(5)(0.7071075)
2
= (55 0.70710752) + (0.3535545
2) = 55 0.35355452
Si se aplican las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre, resulta
+ = 0
9.139145 + (55 0.35355452) (5
2.552 0.2357025
3
55 0.35355452) 5 = 0
5 = 0.11785153 + 2.55
2 9.139145
5 = 5 2,5 = 18.7098.
+ = 0 9.13914 (55 0.35355452)+ 5 = 0
5 = 0.35355452 + 55 9.13914
+ = 0 5 + 9.13914 = 0 5 = 9.13914
Diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de fuerza normal
Diagrama de fuerza cortante, figura 1-4o.
Para encontrar la posicin del cortante igual a cero en el miembro , es decir, donde el momento es mximo, hacemos
0 = 0.35355452 + 55 9.13914
5/
5/
5
5/ 0.7071075 1
2 0.7071075
=
=(55 0.7071075
2) (12 5) +
(0.35355452) (
13 5)
55 0.35355452=2.55
2 0.23570253
55 0.35355452
()
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
34
Al resolver la ecuacin de segundo grado resulta
5 =5 (5)2 4(0.353554)(9.13914)
2(0.353554) 5,1 = 2.15674; 5,2 = 11.9854
Como la solucin debe de estar dentro del intervalo real del miembro [0,5 2], se
infiere que 5 = 2.15674.
Diagrama de momento flexionante, figura 1-4p.
Un valor mximo del momento en el miembro puede ser hallado sustituyendo 5 = 5 en la ecuacin de 5.
51 = 0.117851(2.15674)3 + 2.5(2.15674)2 9.13914(2.15674) = 9.26423.
El otro momento mximo se determina evaluando 5 en el extremo 5 = 5 2.
5
2 2 2 3 5
() ()
:
(+)
()
11.5753
0.4247
2 2 2 3 5
40.586
()
18.7092
17.4352
5
() ()
:
(o)
(p)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
35
52 = 0.117851(5 2)3+ 2.5(5 2)
2 9.13914(5 2) = 18.7099.
La posicin del momento igual a cero en este mismo miembro puede hallarse al
hacer
0 = 0.11785153 + 2.55
2 9.139145
Como el momento nulo debe estar posicionado en el intervalo real del miembro
[0,5 2], se cumple que una de las tres races est dentro del rango de valores
citado; tal raz puede ser calculada aplicando el mtodo de tanteos. Para ello,
evaluamos el polinomio () = 0.11785153 + 2.55
2 9.139145 en el intervalo
mencionado y en donde haya un cambio de signo tenemos una solucin; iteramos
n veces hasta que nuestra solucin sea exacta o lo ms exacta posible (cuando
() = 0 o ()~0). Los resultados obtenidos se visualizan en la tabla 1-3.
5,1 = 4.695
Evidentemente el momento tambin es cero en 5,2 = 0, es decir, en el punto .
Diagrama de fuerza normal, figura 1-4q.
22.5
5
4 5 5
() () ()
:
(q)
Tabla 1-3
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
36
Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simtrica.
Instrucciones Calcule las reacciones en los soportes y use el mtodo de los nodos
para determinar las fuerzas internas de la armadura que se observa en la figura
1-5a. Indique si los elementos estn en tensin o compresin.
SOLUCIN
Verificacin del grado de indeterminacin
La armadura de este ejemplo es isosttica externamente debido a que se tienen
= 3 reacciones de apoyo (una horizontal y una vertical en el soporte articulado ,
y una vertical en el soporte simple ), tres equilibrios de equilibrio
( = 0, = 0, = 0) y ninguna ecuacin de condicin, es decir, = 0. Por
otra parte, hay = 17 barras y = 10 nodos (etiquetados desde hasta ). Si +
= 17 + 3 = 20 y 2 = 2(10) = 20, entonces + = 2. Por lo tanto, la armadura
es isosttica internamente.
Clculo de las reacciones en los apoyos
Las reacciones en los soportes se determinan de la misma forma que en las vigas
y los marcos. Se realiza un diagrama de cargas en el que aparezcan las fuerzas
externas que se aplican a la armadura y las fuerzas reactivas cuyos sentidos deben
suponerse arbitrariamente por ser incgnitas. Se orientan los ejes y a lo largo
de las lneas que ofrecen la reduccin de fuerzas ms simple en sus componentes
y . Se plantean las ecuaciones de equilibrio y en su caso, las ecuaciones de
6 6 12 12 12
4 4 4 16
16
16 16 16
Figura 1-5
(a)
-
CAPTULO 3 ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
37
condicin, y se resuelven; se invierte el sentido de cada fuerza que se propuso en
el diagrama cuya magnitud resulte negativa en la solucin de las ecuaciones de
equilibrio. En la figura 1-5b se representa el diagrama de cargas de la estructura.
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y al emplear los resultados
calculados previamente, se obtiene
+ = 0
12(16) + 4(16) + 12(32) + 4(32) + 12(48) + 4(48) + 6(64) (64) = 0
= 1920
64 = 30
+ = 0 6 12 4 12 4 12 4 6 + 30 + = 0 = 30
+ = 0 = 0
Como era de esperarse, al ser todas las cargas verticales, la reaccin horizontal es
nula. Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 1-5c; obsrvese que slo
es necesario determinar las fuerzas en la mitad de los elementos debido a la
simetra en la estructura tanto con respecto a la carga como a la geometra.
(b)
6 6 12 12 12
4 4 4 16
16
16 16 16
-
CAPTULO 3 ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
38
Mtodo de los nodos
Nodo . Para calcular las fuerzas internas, se empieza con el nodo (junta) , ya que
en l slo hay dos fuerzas desconocidas, que es el nmero mximo de fuerzas
desconocidas que puede haber en un nodo a analizar, as que tambin se pudo
haber iniciado con el nodo . Se representa el diagrama de cuerpo libre del nodo,
figura 1-5d; el sentido de las incgnitas y se propone arbitrariamente. Los ejes
han sido orientados de manera horizontal y vertical para mayor facilidad. Se
plantearon entonces, para este nodo, las dos ecuaciones de equilibrio que
corresponden a fuerzas concurrentes en un plano, y a partir de estas ecuaciones
se determinaron ambas fuerzas desconocidas. Una respuesta positiva indica que el
sentido propuesto es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el
sentido que se supuso debe ser invertido. As mismo, recuerde que un elemento en
+ = 0 = 0
+ = 0 6 + = 0 = 6 ()
6 6 12 12 12
4 4 4 16
16
16 16 16
= 0
= 30 = 30
(c)
(d)
-
CAPTULO 3 ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
39
compresin empuja a la junta y un elemento en tensin jala a la junta. Una vez
calculada una fuerza de barra desconocida, deben usarse su magnitud y sentido
correctos (tensin o compresin) en los diagramas de cargas de los nodos
subsecuentes. Lo explicado corresponde al algoritmo que debe seguirse para
analizar un nodo.
Nodo , figura 1-5e. A continuacin se analiza este nodo, ya que al haber calculado
anteriormente la fuerza del elemento , slo quedaban dos incgnitas, las
fuerzas y .
= 162 + 162 = 162
sin =
=
16
162=
1
2; cos =
=
16
162=
1
2
Con base en la figura 1-5f, se han determinado sin y cos debido a que las
componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza involucran esos
trminos, en forma respectiva. Como el carcter (tensin o compresin) debe ser el
mismo en los dos nodos que definen el elemento, se observa que la fuerza interna
de la barra empuja a la junta tal y como lo hace con . El anlisis se hace
tambin con las dos ecuaciones de equilibrio correspondientes a fuerzas
concurrentes en un plano.
+ = 0 = 0 30 6 (cos ) = 0
24 (1
2) = 0 =
24
1
2
= 33.9411 ()
+ = 0 = 0 (sin ) = 0
(e)
(f)
-
CAPTULO 3 ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
40
= (33.9411) (1
2) = 24 ()
De forma anloga, se efecta el anlisis de cada uno de los nodos restantes.
Nodo , figura 1-5g.
+ = 0 + = 0 =
= 24 ()
+ = 0 4 = 0
= 4 ()
Nodo , figura 1-5h.
+ = 0 12 + = 0 (sin ) = 12 4 + (cos )
(1
2) = 16 + (33.9411) (
1
2) =
8
1
2
= 11.3137 ()
+ = 0 + = 0 (sin ) + (cos ) 0 = 0
= (33.9411) (1
2) + (11.3137) (
1
2) = 32 ()
(g)
(h)
-
CAPTULO 3 ANLISIS DE ARMADURAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS
41
Nodo , figura 1-5i.
+ = 0
= 0 =
= 32 ()
+ = 0
12 = 0 = 12 ()
Por lo tanto,
= = 0
= = 6 () = = 33.9411 ()
= = 24 () = = 24 ()
= = 4 () = = 11.3137 ()
Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 1-5j.
6 6 12 12 12
4 4 4 16
16
16 16 16
= 0
= 30 = 30
24 24 24 24
32 32
6
6
4
4
12
0 0
(i)
(j)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
42
Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simtrica.
Instrucciones Determine la fuerza en cada elemento de la armadura que se
muestra en la figura 1-6a.
SOLUCIN
Verificacin del grado de indeterminacin
Obsrvese que = 11, = 3, = 7 y = 0. Debido a que = 3 se cumple, la
armadura se describe como determinada externamente desde el punto de vista
esttico. Adems, + = 11 + 3 = 14 y 2 = 2(7) = 14 conducen a + = 2,
as que la armadura es estticamente determinada externamente.
4 4 4
15 15 15
6
Figura 1-6
(a)
4 4 4
15 15 15
6
(b)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
43
Clculo de las reacciones en los apoyos
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cargas, figura 1-6b, resulta
+ = 0 15 15 15 + = 0 = 45
+ = 0 15(4) + 15(8) + 15(12) (6) = 0 = 360
6 = 60
+ = 0 60 = 0 = 60
Los resultados obtenidos se visualizan esquemticamente en la figura 1-6c.
Mtodo de los nodos
Para calcular las fuerzas en los elementos, no hubo otra opcin ms que iniciar con
el nodo por ser el nico en poseer dos incgnitas, las fuerzas y . A
continuacin se analiz el nodo , debido a que al haber calculado anteriormente la
fuerza en el elemento , slo quedaban dos incgnitas en este nodo. Despus
se pas al nodo , se sigui con los nodos y , y se concluy con la junta , ya
que conforme se obtenan resultados, se iban utilizando en los diagramas de cuerpo
libre de las juntas subsecuentes.
Un cambio en la orientacin de los ejes y en el nodo , lo cual puede ser
observado en el correspondiente diagrama, evit una solucin simultnea de
ecuaciones.
4 4 4
15 15 15
6
1
1 2 2
= 45
= 60
= 60
3
(c)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
44
Las fuerzas internas de la armadura son
Nodo , figura 1-6e. Con base en la figura 1-6d, se tiene
=
6
12=
4
=6(4)
12= 2
tan 1 =
=
2
4
1 = tan1
2
4= 26.5651
+ = 0 15 = 0 (sin 1) 15 = 0
(sin 26.5651) = 15 =15
sin 26.5651
= 33.5410 ()
+ = 0 = 0 (cos 1) = 0
Nodo , figura 1-6f.
+ = 0 = 0
(sin 3) = 0 =0
cos 3 = 0
+ = 0
+ + = 0 = + (cos 3)
= 33.5410 + 0(cos 3)
= 33.5410 ()
= (33.5410)(cos 26.5651) = 30 ()
(d)
(e)
(f)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
45
Nodo , figura 1-6h. A partir de la figura 1-6g, se obtiene
=
6
12=
8
=6(8)
12= 4
tan 2 =
=
4
4
2 = tan1
4
4= 45
Nodo , figura 1-6i.
+ = 0
15 = 0 = 15 ()
+ = 0
= 0 = = 45 ()
+ = 0 15 + + = 0 (cos 2) = 15 + 0
(cos 45) = 15 =15
cos 45 = 21.2132 ()
+ = 0 + = 0 = (sin 2) +
= (21.2132)(sin 45) + 30 = 45 ()
(g)
(h)
(i)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
46
Nodo , figura 1-6j.
=15
cos 45 = 21.2132 ()
+ = 0 = 0 = (sin 2)
= 21.2132(sin 45) = 15 ()
Nodo , figura 1-6k.
+ = 0 + = 0 (cos 1) = 60
=60
cos 26.5651 = 67.0821 ()
= 45 15 67.0821(sin 26.5651) = 0
En la figura 1-6l se muestran los resultados obtenidos.
+ = 0 = 0 (cos 2) = 60 45
+ = = 45 15 (sin 1)
4 4 4
15 15 15
6
= 45
= 60
= 60
45 45 30
15
1
5
0
(j)
(k)
(l)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
47
Ejercicio 1.7 Resolucin de un arco triarticulado parablico
Instrucciones El arco de tres articulaciones que se muestra en la figura 1-7a tiene
una forma parablica. El arco soporta una carga uniforme distribuida de 3/ y tiene las dimensiones indicadas, lo cual hace que sea simtrico. Demuestre que
toda la estructura est sometida nicamente a compresin axial.
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los soportes
Como todo arco triarticulado, el de este ejemplo es isosttico. Para calcular las
reacciones en los soportes, el arco se desmonta y luego se realiza un diagrama de
cuerpo libre de cada segmento, figura 1-7b. La articulacin se ubica en la clave, es
decir, en el punto . Entonces, se aslan los segmentos y . Obsrvese que se tienen seis incgnitas de reaccin (el sentido de cada una se supone
arbitrariamente), pero como se pueden aplicar las tres ecuaciones de la esttica a
cada segmento, hay seis ecuaciones de equilibrio disponibles. En los diagramas se
indican las resultantes de las cargas distribuidas y su punto de aplicacin de cada
una.
3/
20
8 8
Figura 1-7
(a)
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
48
Para determinar las reacciones y en la articulacin, tomamos momentos alrededor de en el segmento y alrededor de en el segmento . Las dos ecuaciones resultantes se resuelven simultneamente.
Segmento del arco:
+ = 0 (20) (8) + 24(4) = 0 20 8 = 96 (1)
Segmento del arco:
+ = 0 (20) (8) 24(4) = 0 20 8 = 96 (2)
Si se despeja de la ecuacin (1) se tiene
=96 + 20
8= 12
5
2 (3)
Combinando las ecuaciones (3) y (2) resulta
20 8(12 5
2) = 96 =
96 + 8(12)
20 + 8 (52)
=24
5
Reemplazando el valor calculado de en la expresin (3) da
3/
8 8
20
3/
1 = (3/)(8) = 24 2 = (3/)(8) = 24
1 = 4 2 = 4
(b)
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
49
= 12 5
2(24
5) = 0
Dado que se obtuvo una magnitud positiva para , el sentido de esta reaccin es el mismo que se muestra en ambas porciones del arco; luego, note como en realidad
no existe. A continuacin se determinan las reacciones en los soportes con base en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
Segmento del arco:
+ = 0 24
5= 0 =
24
5
+ = 0 24 = 0 = 24
Segmento del arco:
+ = 0 24
5 = 0 =
24
5
+ = 0 24 = 0 = 24
Se dibuja un diagrama del arco completo mostrando los resultados, figura 1-7c; las
reacciones de la articulacin se omiten por anularse entre s.
3/
= (0,0)
= 20
= 8 8
=24
5
=24
5
= 24 = 24
= (, ) = (8,20)
= 5
162 + 5
(c)
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
50
Ecuacin que define al arco parablico
Se ha elegido al punto como el origen del sistema de coordenadas, sin embargo, el lector debe estar consciente de que el origen bien pudo haberse seleccionado en
cualquier otro punto. Por consiguiente, el vrtice , ubicado en , no est en el origen. La ecuacin de una parbola es
( )2 = 4( ) ()
Al sustituir = 8 y = 20 en la ecuacin () se tiene
( 8)2 = 4( 20) ()
Si se despeja de la ecuacin () se llega a
= ( 8)2
4( 20) ()
Reemplazando las coordenadas del origen en la ecuacin () obtenemos
= ( 8)2
4( 20)=
(0 8)2
4(0 20)=64
80=4
5
Al expandir la ecuacin (), sustituir el valor calculado de y despejar da
2 16 + 64 = 4 + 80 2 16 + 64 = 4(4
5) + 80 (
4
5)
2 16 + 64 = 16
5 + 64
16
5 = 2 16
= 5
16(2 16) =
5
162 + 5 ()
La expresin () es la ecuacin que define al arco parablico de este ejemplo.
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector
Ya que se han calculado las reacciones en los soportes y se ha deducido la ecuacin
parablica del arco, es posible determinar las variaciones de las fuerzas normal
y cortante internas, y del momento flector , en funcin de la posicin
empleando el mtodo de las secciones. La distribucin de la carga y la geometra
de la estructura no varan, as que slo se distingue un nico segmento, el ,
por lo que se efecta nada ms un corte perpendicular al eje del arco para definir
las acciones internas a lo largo de l. La coordenada con origen en , es positiva
hacia la derecha y puede usarse para analizar en su totalidad a la regin
mencionada. En la figura 1-7d se proporciona un diagrama de cargas de la seccin
cortada. Los elementos mecnicos actan en su direccin positiva. La fuerza
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
51
resultante de la carga distribuida uniforme del corte y su punto de aplicacin
se determinan como de costumbre. Lgicamente, la fuerza normal, que es tangente
a la curva parablica en el punto de corte, es perpendicular a la fuerza cortante, y
esta ltima a su vez, es perpendicular al eje del arco en tal punto considerado. Estas
dos ltimas fuerzas deben descomponerse de manera individual en sus
componentes rectangulares horizontal y vertical.
0 16
La pendiente del segmento cortado en el punto del corte es igual a la derivada.
=
= (
516
2 + 5)
= 5
5
8 =
40 5
8=
= 5
162 + 5
3/
= (3/)() = 3
=
2
=
=
=
=
=24
5
= 24
(d)
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
52
Siendo el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente la definicin
para la tangente de un determinado ngulo , lo anterior puede ser acomodado en
un tringulo rectngulo como el de la figura 1-7e.
Se calcula la hipotenusa a travs del Teorema de Pitgoras.
= (8)2 + (40 5)2 = 252 400 + 1664
Ahora, ya es posible determinar los valores en funcin de de y , los
cuales son tiles cuando se resuelven las fuerzas y en sus componentes.
=
=
40 5
252 400 + 1664
=
=
8
252 400 + 1664
Se aplican las ecuaciones de equilibrio en el cuerpo libre. Tomando momentos
respecto del punto del corte, se calcula el momento interno .
+ = 0 24() 24
5(
5
162 + 5) 3 (
2) = 0 = 0
A partir del planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para fuerzas en las
direcciones horizontal y vertical, se origina un sistema simultneo de ecuaciones
que al resolverse proporciona los valores de las fuerzas normal y cortante
internas.
+ = 0 24
5+ + = 0
24
5+ + = 0
24
5+ (
8
252 400 + 1664) + (
40 5
252 400 + 1664) = 0 ()
+ = 0 24 3 + = 0 24 3 + = 0
= 8
= 40 5 = 252 400 + 1664
(e)
-
CAPTULO 4 RESOLUCIN DE ARCOS ISOSTTICOS
53
24 3 + (40 5
252 400 + 1664) (
8
252 400 + 1664) = 0 ()
Al despejar de la ecuacin () obtenemos
=
(40 5
252 400 + 1664) +
245
(8
252 400 + 1664)
()
Al combinar las ecuaciones () y () resulta
24 3 + (
(40 5
252 400 + 1664) +
245
(8
252 400 + 1664)
)(40 5
252 400 + 1664)
(8
252 400 + 1664) = 0 = 0
Si se reemplaza el valor calculado de en la ecuacin () da
=
(0) (40 5
252 400 + 1664) +
245
(8
252 400 + 1664)
= 3252 400 + 1664
5
De acuerdo con los resultados obtenidos, se concluye que un arco de forma
parablica, con una rtula en la clave y dos apoyos articulados posicionados a la
misma altura, que se somete una carga vertical uniformemente distribuida de
manera horizontal que abarca una longitud igual a la distancia que hay entre apoyo
y apoyo, slo resistir fuerzas a compresin axial. Bajo estas condiciones, el arco
recibe el nombre de arco funicular, porque dentro de l no se generan fuerzas de
flexin ni fuerzas cortantes, ya que como se dedujo, tanto como son nulos a lo
largo de la estructura. Un arco de tres articulaciones, tal y como se mencion al
inicio, es estticamente determinado, en consecuencia, no se ve afectado por
cambios de temperatura o en el asentamiento. Puede ser construido de concreto,
madera o metal. El lector puede dibujar fcilmente el diagrama de carga axial
(cortante) de este ejemplo al evaluar la funcin de en el intervalo 0 16 y
despus graficar los datos.
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
54
Ejercicio 1.8 Resolucin de un arco triarticulado circular
Instrucciones Calcule las reacciones en los soportes y las funciones de las
acciones internas en el arco de forma circular mostrado en la figura 1-8a que soporta
una carga puntual en .
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los soportes
El arco circular triarticulado es isosttico y adems simtrico tanto con respecto a la
carga como a la geometra. Para evitar la solucin de un sistema simultneo de
ecuaciones, se aplican las ecuaciones de equilibrio en la siguiente secuencia y se
van usando los resultados calculados previamente.
Arco completo:
+ = 0 () (2) = 0 =
2
+ = 0 +
2= 0 =
2
Recuerde que el momento en la rtula es nulo.
Segmento del arco:
+ = 0
2() () = 0 =
2
Figura 1-8
(a)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
55
Arco completo:
+ = 0
2 = 0 =
2
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector
En la figura 1-8b se presentan esquemticamente los resultados obtenidos.
El centro de la circunferencia se elige en el origen de los ejes globales , , los cuales se muestran en la figura en su direccin positiva. Obsrvese como a los
puntos , y les corresponden, de forma respectiva, los ngulos de 180, 90 y 0. Las funciones internas son discontinuas en el punto debido a que justo ah se encuentra aplicada una carga . Entonces, la estructura debe seccionarse en dos ocasiones, una en el tramo y otra en el tramo . Se utilizar una sola coordenada cuyo origen est en y que es positiva hacia adelante y negativa hacia atrs. Al emplear el mtodo de las secciones se tiene
Parte . Se secciona el arco en un punto arbitrario (intermedio en el segmento ) a una distancia horizontal del origen , figura 1-8c.
0
90
180
+
=
2
=
2 =
2
=
2
(0,0)
(b)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
56
0 90
Con base en la figura anterior, del tringulo rectngulo inscrito en el cuarto de
circinferencia derecho se deduce
sin =
= sin cos =
= cos
Note como en el diagrama anterior aparacen las fuerzas normal y cortante internas,
y el momento flector, tanto de la cara izquierda como de la cara derecha del
elemento cortado.
.
0
90
180
=
2
=
2 =
2
=
2
(0,0)
90
180 =
2
=
2
(0,0)
=
=
1 = 1()
1 = 1()
1 = 1()
1 = 1()
(c)
(d)
-
CAPTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTTICAS
57
En la figura 1-8d se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la
porcin izquierda.
Ahora veamos las implicaciones del equilibrio esttico del cuerpo libre. Tomando
momentos alrededor del punto del corte, se determina el momento interno .