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DE DE LOS PUZZLES DE LOS PUZZLES DE ALAMBREALAMBRE A A LAS MATEMLAS MATEMÁÁTICASTICAS
Pablo [email protected]
http://www.ugr.es/local/pflores
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HistoriaHistoria topoltopolóógicagica
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LaberintLaberintíínn (Principios s. XX)(Principios s. XX)
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CuestionesCuestiones
¿¿Por quPor quéé se les llama Puzzles se les llama Puzzles topoltopolóógicosgicos? ? ¿¿QuQuéé relacirelacióón tienen los Puzzles n tienen los Puzzles dedealambre con la alambre con la MATEMMATEMÁÁTICATICA??¿¿QuQuéé aportanaportan
-- la Topologla Topologíía a los Puzzles a a los Puzzles -- los PUZZLES a la TOPOLOGlos PUZZLES a la TOPOLOGÍÍA? A?
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CuestionesCuestiones
¿¿Se aprende Se aprende MATEMMATEMÁÁTICAS TICAS con los con los Puzzles de alambre?Puzzles de alambre?¿¿Se aprende topologSe aprende topologíía jugando con los a jugando con los puzzles topolpuzzles topolóógicos?gicos?¿¿O sO sóólolo……a resolver puzzles topola resolver puzzles topolóógicos?gicos?
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CuestionesCuestiones
¿¿Ayudan en EAyudan en Educaciducacióónn MMatematemááticatica??
Dos pasos:Dos pasos:–– A) A) Aclarar la relaciAclarar la relacióón entre puzzles de n entre puzzles de
alambre y las Matemalambre y las Matemááticas, ticas,
–– B) B) Analizar su riqueza educativaAnalizar su riqueza educativa
A) Profundizar en la relación que tienen con la Topología
B) Descubrir sus cualidades educativas: Flores, 2002, 2003, Montoya y Flores 2003
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Esquema de la conferenciaEsquema de la conferenciaFin: Fin: Mostrar que Mostrar que los los PPuzzlesuzzles de de AAlambrelambre se se
relacionan con las Matemrelacionan con las Matemááticasticas
1.1. La TopologLa Topologííaa2.2. La TeorLa Teoríía de Nudosa de Nudos3.3. Los puzzles de alambre:Los puzzles de alambre:
-- Problemas Problemas -- Variables para clasificarlos Variables para clasificarlos -- Identidad de los puzzlesIdentidad de los puzzles
TOPOLOGÍA
Teoría de Nudos
Puzzles de Alambre
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TopologTopologííaala TOPOLOGÍA estudia las propiedades de las figuras que no cambian cuando se deforman esas figuras.
Se dice que un topólogo confunde un Donuts con una Taza:
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA
La Topología se ocupa de estudiar si se puede hacer esta figura con UNA SOLA HOJA
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAAEstudio abstracto del Estudio abstracto del Punto Punto LLíímite mite ((HockingHocking y y YoungYoung, 1966), 1966)Se ocupa de las propiedades que Se ocupa de las propiedades que permanecen inalterables permanecen inalterables ante ante transformaciones topoltransformaciones topolóógicas (gicas (CourantCourant y y RobbinsRobbins, 1969), transformaciones , 1969), transformaciones eleláásticas (sticas (StewartStewart, 1998), , 1998), transformaciones continuas (transformaciones continuas (StewartStewart, , 1977)1977)
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TOPOLOGÍALa TOPOLOGÍA permite obtener planos del Metro o de autobuses, más fáciles de comprender. Para ello deforman los mapas reales
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TOPOLOGÍALa TOPOLOGÍA nace con un problema de Euler: Los puentes de Konigsberg: ¿Se puede ir de un lado a otro de la ciudad, pasando por todos los puentes una sola vez?
A
C
B D
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAASe ocupa de todo lo que se puede Se ocupa de todo lo que se puede transformar cuando no se conservan las transformar cuando no se conservan las relaciones mrelaciones méétricas ni la forma visible tricas ni la forma visible ((HogbenHogben, 1966):, 1966):–– NNúúmero de partes, mero de partes, regiones conexas (Dos regiones conexas (Dos
puntos cualquiera se pueden unir por curvas puntos cualquiera se pueden unir por curvas contenidas en la regicontenidas en la regióón)n)
–– NNúúmero de bordesmero de bordes -- agujerosagujeros
![Page 14: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/14.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESGrado de conexiGrado de conexióón de los puzzlesn de los puzzles
TORO
GAFAS
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESCierre de las figuras que lo forman:Cierre de las figuras que lo forman:
ABIERTA
CERRADAS
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESInteresa estudiar si son Interesa estudiar si son cerradoscerrados o o abiertosabiertos
Permite Permite distinguir puzzlesdistinguir puzzles entre si:entre si:-- ClavosClavos: Son : Son abiertosabiertos
![Page 17: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/17.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESInteresa estudiar si son Interesa estudiar si son cerradoscerrados o o abiertosabiertos
Permite Permite distinguir puzzlesdistinguir puzzles entre si:entre si:-- EscamoteablesEscamoteables: : Pueden ser cerradosPueden ser cerrados
![Page 18: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/18.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESInteresa estudiar si son Interesa estudiar si son cerradoscerrados o o abiertosabiertos
BRAZOS ENLAZADOSBRAZOS ENLAZADOS
¿¿Abierto?Abierto?
¿¿Cerrado?Cerrado?
![Page 19: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/19.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESBRAZOS ENLAZADOSBRAZOS ENLAZADOS
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESInteresa estudiar si son Interesa estudiar si son cerradoscerrados o o abiertosabiertos
Permite Permite clasificarclasificar los puzzles:los puzzles:Cerrado: Cerrado: Abierto:Abierto:
Los extremos abrazan Al menos un extremoLos extremos abrazan Al menos un extremoal cuerpo del puzzleal cuerpo del puzzle estestáá librelibre
![Page 21: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/21.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLES¿¿Es abierto o cerrado?Es abierto o cerrado?
Dos piezas abiertasEstructura base
CerradaPieza problema
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TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESInteresa estudiar si son Interesa estudiar si son cerradoscerrados o o abiertosabiertos
Permite Permite distinguir las partesdistinguir las partes de algunos puzzles:de algunos puzzles:
PIEZA PROBLEMA: PIEZA PROBLEMA: ESTRUCTURA BASE:ESTRUCTURA BASE:
La que hay que separar La que hay que separar CERRADACERRADA ABIERTAABIERTA
![Page 23: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/23.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESIdentificar pieza PROBLEMA (Cerrada) y Identificar pieza PROBLEMA (Cerrada) y
ESTRUCTURA BASE (Abierta)ESTRUCTURA BASE (Abierta)
![Page 24: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/24.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA y PUZZLESy PUZZLESIdentificar pieza PROBLEMA (Cerrada) y Identificar pieza PROBLEMA (Cerrada) y
ESTRUCTURA BASE (Abierta)ESTRUCTURA BASE (Abierta)
![Page 25: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/25.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA Y PUZZLESY PUZZLES
Las cualidades topolLas cualidades topolóógicas NO SON gicas NO SON SUFICIENTES para diferenciar los SUFICIENTES para diferenciar los puzzles topolpuzzles topolóógicosgicos
Hay puzzles abiertos:Hay puzzles abiertos:-- Equivalentes a cerrados, Equivalentes a cerrados, -- Sin soluciSin solucióónn-- etc.etc.
Busquemos otras cualidadesBusquemos otras cualidades
![Page 26: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/26.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA Y PUZZLESY PUZZLES
Otras cualidades, como: Otras cualidades, como: -- EnlazarEnlazar
-- AbrazarAbrazar
-- AnudarAnudarEnlazar: La anilla mediana enlaza a la cuerda
Abrazar: La anilla pequeña abraza a la cuerda
Anudar: La anilla grande está anudada a la cuerda (con nudo LLANO–trivial-)
![Page 27: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/27.jpg)
TOPOLOGTOPOLOGÍÍAA Y PUZZLESY PUZZLES
Otras cualidades, como: Otras cualidades, como: -- Estar dentro deEstar dentro de-- Estar fueraEstar fuera-- Estar unidoEstar unido-- Formar otra piezaFormar otra pieza-- Etc.Etc.
Estas cualidades se estudian en la Estas cualidades se estudian en la TEORTEORÍÍA DE NUDOSA DE NUDOS
![Page 28: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/28.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
TeorTeoríía de Nudos: a de Nudos: Parte de la TopologParte de la Topologíía que a que estudia curvas cerradas unidimensionales, que estudia curvas cerradas unidimensionales, que no se intersecan a si mismas.no se intersecan a si mismas.
![Page 29: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/29.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
Estudia:Estudia:–– Si los nudos estSi los nudos estáán anudados (no se desatan n anudados (no se desatan
al aplicarle transformaciones topolal aplicarle transformaciones topolóógicas)gicas)–– Criterios de equivalencia de nudosCriterios de equivalencia de nudos–– Clasificar los nudosClasificar los nudosPara ello busca elementos invariantes a Para ello busca elementos invariantes a las transformaciones que caben hacer en las transformaciones que caben hacer en un nudo (transformaciones elun nudo (transformaciones eláásticas, sin sticas, sin cortar ni unir)cortar ni unir)
![Page 30: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/30.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
En MatemEn Matemááticas, un nudo es tridimensional, ticas, un nudo es tridimensional, formado por curvas cerradas.formado por curvas cerradas.
Nudo Trivial Nudo Simple Nudo Simple en forma de
TRILÓBULO
![Page 31: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/31.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
Para estudiar los nudos se representan por Para estudiar los nudos se representan por medio de diagramas.medio de diagramas.
Se han clasificado los nudos a partir de su forma Se han clasificado los nudos a partir de su forma mmáás simples simple
Diagramas de Nudo
NUDOS EQUIVALENTES TRIVIALES
TRILÓBULO, NUDO
SIMPLE
![Page 32: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/32.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLESClasificaciClasificacióón n de nudos (1 y 7)de nudos (1 y 7)
![Page 33: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/33.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
![Page 34: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/34.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
![Page 35: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/35.jpg)
NUDOS Y PUZZLESNUDOS Y PUZZLES
Otras cualidades, como:Otras cualidades, como:-- AnudarAnudar
Anudar: La anilla grande está anudada a la cuerda (con nudo LLANO–trivial-)
Ejemplo de nudo: NUDO LLANO
![Page 36: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/36.jpg)
NUDO LLANONUDO LLANO
Nudo clNudo cláásico marinerosico marinero
![Page 37: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/37.jpg)
NUDO LLANONUDO LLANO
Enlace (trivial) formado por dos nudosEnlace (trivial) formado por dos nudos
Base de muchos puzzles interesantesBase de muchos puzzles interesantes-- Tijeras / escaleras / Tijeras / escaleras / ……-- Rompecabezas africanoRompecabezas africano-- Puzzles de alambrePuzzles de alambre
![Page 38: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/38.jpg)
NUDO LLANONUDO LLANO
TIJERAS Y ESCALERATIJERAS Y ESCALERA
Estudio matemEstudio matemáático:tico:¿¿CuCuááles son las les son las
condicionescondicionesmmíínimas para resolverlo?nimas para resolverlo?¿¿Y para amarrarlo?Y para amarrarlo?
![Page 39: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/39.jpg)
NUDO LLANONUDO LLANO
Estudio matemEstudio matemáático:tico:¿¿CuCuááles son las condiciones mles son las condiciones míínimas para hacer el nimas para hacer el
enlace NUDO LLANO?enlace NUDO LLANO?a)a) Los dos nudos sueltosLos dos nudos sueltos
a)a) Un nudo suelto y el otro amarrado a algoUn nudo suelto y el otro amarrado a algo
a)a) Uno amarrado y el otro abierto, con un extremo Uno amarrado y el otro abierto, con un extremo amarradoamarrado
![Page 40: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/40.jpg)
NUDO LLANONUDO LLANOROMPECABEZAS AFRICANOROMPECABEZAS AFRICANO
Los extremos de la cuerda están amarrados a la tabla, y pasan a través de un agujero, haciendo un NUDO LLANO.
Hay que juntar /separar las bolas
![Page 41: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/41.jpg)
ROMPECABEZAS AFRICANOROMPECABEZAS AFRICANORESOLUCIRESOLUCIÓÓNN
![Page 42: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/42.jpg)
ROMPECABEZAS AFRICANOROMPECABEZAS AFRICANOVARIEDADESVARIEDADES
![Page 43: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/43.jpg)
Otros puzzles de alambre basados Otros puzzles de alambre basados en el NUDO LLANOen el NUDO LLANO
![Page 44: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/44.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
Los nudos se unen formando ENLACESLos nudos se unen formando ENLACES
NUDO LLANO: Enlace trivial (Los dos nudos se separan)
NUDOS ENLAZADOS: Enlace NO trivial (Los dos nudos no pueden separarse sin abrirlos)
![Page 45: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/45.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
La TeorLa Teoríía de Nudos nos lleva a estudiar algunas a de Nudos nos lleva a estudiar algunas cualidades que nos facilitan el estudio de los cualidades que nos facilitan el estudio de los puzzlespuzzles–– Si las piezas se abrazan o enlazan para formar Si las piezas se abrazan o enlazan para formar
enlacesenlaces–– Si forman un enlace trivial o noSi forman un enlace trivial o no
Enlace (anillos
de Borromeo)de Ballantine)
Enlace (anillos
![Page 46: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/46.jpg)
TEORTEORÍÍA DE NUDOS Y PUZZLESA DE NUDOS Y PUZZLES
ENLACES ISOTENLACES ISOTÓÓPICOSPICOSDos enlaces son Dos enlaces son isotisotóópicospicos si uno de si uno de ellos puede ser llevado al otro mediante ellos puede ser llevado al otro mediante transformaciones topoltransformaciones topolóógicas gicas
Anillos de Enlace trivialBorromeo
Enlace (anillos
de Borromeo)
![Page 47: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/47.jpg)
PUZZLES Y TEORPUZZLES Y TEORÍÍA DE NUDOSA DE NUDOS
Montoya y GonzMontoya y Gonzáález (2001) establecen una lez (2001) establecen una condicicondicióón necesaria para tener solucin necesaria para tener solucióón:n:
Un Puzzle de alambre tiene solución sólo si transformado en puzzle de cuerda puede transformarse de forma continua en otro con el puzzle resuelto
![Page 48: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/48.jpg)
PUZZLES Y TOPOLOGPUZZLES Y TOPOLOGÍÍAAEjemploEjemplo..
PUZZLE
PUZZLE TRANSFORMADO TOPOLÓGICAMENTE
NO TIENE
SOLUCIÓN
PUZZLE
![Page 49: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/49.jpg)
PUZZLES Y TOPOLOGPUZZLES Y TOPOLOGÍÍAA
NO
NO
SI SI
SISI
![Page 50: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/50.jpg)
Para hacer las transformaciones hay que
realizar un ejercicio mental, que exige una buena visión espacial
¿Cómo simplificar este ejercicio?
![Page 51: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/51.jpg)
EJEMPLO: Deformacionespara estudiar si tiene solución el
puzzle
PUZZLES Y TOPOLOGPUZZLES Y TOPOLOGÍÍAA
![Page 52: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/52.jpg)
En cada extremo aparece un bucle cerrado, que no se puede
deshacer, ya que la anilla central lo impide.
SE TRANSFORMA EN UN ENLACE NO TRIVIAL
NO TIENE SOLUCIÓN
BUCLES CERRADOS
PUZZLES Y TOPOLOGPUZZLES Y TOPOLOGÍÍAA
![Page 53: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/53.jpg)
Suponiendo que los nudos son elásticos, hacer deformaciones para llegar a decidir en cuáles de los siguientes puzzles (enlaces) se pueden separar los nudos
G
L
I
JK
H11 1122 11
11
2 22 222 22 22
11 11
2 2
SISI
SI
NO SINO
Bucle que traba el otro
extremo
Bucle que traba el otro
extremo
![Page 54: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/54.jpg)
PUZZLES, TOPOLOGPUZZLES, TOPOLOGÍÍA Y TEORA Y TEORÍÍA DE NUDOSA DE NUDOS
Se pueden obtener algunas condiciones de Se pueden obtener algunas condiciones de solucisolucióón:n:
-- Si la anilla de un extremo la atraviesa un solo Si la anilla de un extremo la atraviesa un solo alambre y se cierra sobre si misma forma un alambre y se cierra sobre si misma forma un BUCLE.BUCLE.
-- Si este bucle encierra al otro extremo un Si este bucle encierra al otro extremo un nnúúmero impar de alambres, TRABA a ese mero impar de alambres, TRABA a ese extremo y el puzzle NO TIENE SOLUCIextremo y el puzzle NO TIENE SOLUCIÓÓN.N.
-- Si los bucles atraviesan al otro extremo un Si los bucles atraviesan al otro extremo un nnúúmero par de veces, o no hay bucles, TIENE mero par de veces, o no hay bucles, TIENE SOLUCISOLUCIÓÓNN
![Page 55: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/55.jpg)
PUZZLESPUZZLES
Estas condiciones nos han permitido Estas condiciones nos han permitido CLASIFICAR LOS PUZZLES, segCLASIFICAR LOS PUZZLES, segúún si las n si las piezas estpiezas estáán abiertas o cerradas y el tipo de n abiertas o cerradas y el tipo de solsolúúcicióónn::-- METER METER –– SALVARSALVAR-- ESCAMOTEABLESESCAMOTEABLES-- CLAVOSCLAVOS
(Flores, 2001)(Flores, 2001)
![Page 56: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/56.jpg)
METERMETER--SALVARSALVAR
![Page 57: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/57.jpg)
METER METER -- SALVARSALVAR, SIMPLES: ESTRUCTURAS BASE, SIMPLES: ESTRUCTURAS BASE
2) 3)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
1)
![Page 58: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/58.jpg)
METER METER –– SALVAR SALVAR SIMPLES: PIEZAS PROBLEMASIMPLES: PIEZAS PROBLEMA
2) 3)
m
n
p
s
t
u
v
x
r
4)
qy
1)
![Page 59: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/59.jpg)
METERMETER--SALVARSALVAR: : COMPUESTOSCOMPUESTOS
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MeterMeter--salvarsalvarCompuestos 1Compuestos 1
![Page 61: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/61.jpg)
MeterMeter--salvarsalvarCompuestos 2Compuestos 2
![Page 62: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/62.jpg)
MeterMeter--salvarsalvarCompuestos 3Compuestos 3
![Page 63: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/63.jpg)
METERMETER--SALVARSALVAR COMPUESTOS: COMPUESTOS: ITERATIVOSITERATIVOS
![Page 64: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/64.jpg)
METERMETER--SALVAR SALVAR COMPUESTOS: COMPUESTOS: ITERATIVOSITERATIVOS
AROS CHINOSAROS CHINOSEstEstáá formado por varias piezas que se formado por varias piezas que se abrazan consecutivamenteabrazan consecutivamenteHa sido muy estudiado en matemHa sido muy estudiado en matemááticasticasAdopta muchas formasAdopta muchas formas
![Page 65: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/65.jpg)
AROS CHINOSAROS CHINOSBAGUENODIERBAGUENODIER
Proceso iterativo, admite algoritmo Proceso iterativo, admite algoritmo (como en LA TORRE DE HANOI).(como en LA TORRE DE HANOI).
Para ello se utiliza el Para ello se utiliza el ““CCÓÓDIGO DIGO GRAYGRAY””
5
3
1
4
2
A B C
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AROS CHINOSAROS CHINOS““CCÓÓDIGO GRAYDIGO GRAY””-- La pieza problema (cerrada) sLa pieza problema (cerrada) sóólo puede tener lo puede tener
dos posiciones respecto a cada aro: lo abraza dos posiciones respecto a cada aro: lo abraza (1), lo deja fuera (0)(1), lo deja fuera (0)
-- Se puede representar cada posiciSe puede representar cada posicióón por una n por una secuencia de 1 y 0secuencia de 1 y 0
1 0 0 0 0
Posición inicial difícil
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0
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AROS CHINOSAROS CHINOS““CCÓÓDIGO GRAYDIGO GRAY””-- Partimos de la posiciPartimos de la posicióón difn difíícil con 5 anillas (A, B, cil con 5 anillas (A, B,
C, D y E). La A es la C, D y E). La A es la úúltima, que no abraza a ltima, que no abraza a otra anilla. La pieza problema sotra anilla. La pieza problema sóólo abraza a la E lo abraza a la E (c(cóódigo digo GrayGray: 10000): 10000)
E D C B A
1 0 0 0 0
La posición siguiente consiste en enlazar a la
anilla A (única que puede)
1 0 0 0 1
Luego la secuencia numérica es:
10000
10001
10011
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AROS CHINOSAROS CHINOS““CCÓÓDIGO GRAYDIGO GRAY””-- El CEl Cóódigo digo GrayGray apareciaparecióó en la primera en la primera éépoca de poca de
los ordenadores, en los que se tratlos ordenadores, en los que se tratóó de que el de que el paso de un npaso de un núúmero al siguiente acarreara el mero al siguiente acarreara el cambio de un solo dcambio de un solo díígito.gito.
-- En el sistema binario, muchas veces cambian En el sistema binario, muchas veces cambian mmáás de un ds de un díígito: gito:
000000010010
001101000101
011001111000
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AROS CHINOSAROS CHINOS““CCÓÓDIGO GRAYDIGO GRAY””FrankFrank GrayGray (1952) invent(1952) inventóó un orden numun orden numéérico de rico de
nnúúmeros de base 2 que cambian un solo dmeros de base 2 que cambian un solo díígito: gito: El siguiente se obtiene cambiando el dEl siguiente se obtiene cambiando el díígito mgito máás s cercano al extremo derecho:cercano al extremo derecho:
000000010011
001001100111
010101001100
110111111110
![Page 70: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/70.jpg)
AROS CHINOSAROS CHINOS““CCÓÓDIGO GRAYDIGO GRAY””-- La correspondencia entre la expresiLa correspondencia entre la expresióón binaria y n binaria y
el Cel Cóódigo digo GrayGray aparece en el siguiente aparece en el siguiente esquema:esquema:
Meter la pieza problema en los Aros
sacar la pieza problema de los Aros
![Page 71: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/71.jpg)
AROS CHINOSAROS CHINOSSe aplica a otros puzzles. SPINSe aplica a otros puzzles. SPIN--OUTOUT
![Page 72: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/72.jpg)
METERMETER--SALVARSALVAR
COMPUESTOS COMPUESTOS 44
ITERATIVOSITERATIVOS
AROS CHINOS AROS CHINOS DOBLES Y DOBLES Y SIMPLESSIMPLES
![Page 73: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/73.jpg)
METERMETER--SALVARSALVARCOMPUESTOS 4 COMPUESTOS 4 ITERATIVOSITERATIVOS
AROS CHINOS 1AROS CHINOS 1
![Page 74: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/74.jpg)
METERMETER--SALVARSALVARCOMPUESTOS 4 COMPUESTOS 4 ALGORITMALGORITMÍÍCOSCOSAROS CHINOS 2AROS CHINOS 2
![Page 75: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/75.jpg)
METERMETER--SALVARSALVARCOMPUESTOS 4COMPUESTOS 4ALGORITMALGORITMÍÍCOSCOS
AROS CHINOS 3AROS CHINOS 3
![Page 76: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/76.jpg)
METERMETER--SALVAR SALVAR COMPUESTOS COMPUESTOS CERRADOSCERRADOS
![Page 77: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/77.jpg)
METERMETER--SALVARSALVARCerradosCerrados
![Page 78: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/78.jpg)
CLAVOSCLAVOS
![Page 79: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/79.jpg)
CLAVOS 1CLAVOS 1
![Page 80: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/80.jpg)
CLAVOS 1CLAVOS 1
![Page 81: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/81.jpg)
CLAVOS 1CLAVOS 1
![Page 82: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/82.jpg)
CLAVOS 2CLAVOS 2
![Page 83: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/83.jpg)
CLAVOS 2CLAVOS 2
![Page 84: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/84.jpg)
ESCAMOTEABLESESCAMOTEABLES
![Page 85: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/85.jpg)
ESCAMOTEABLES ESCAMOTEABLES 11
![Page 86: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/86.jpg)
ESCAMOTEABLES ESCAMOTEABLES 22
Otros:
- Espiras
- Con torsión
![Page 87: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/87.jpg)
ESPIRASESPIRAS
![Page 88: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/88.jpg)
ESPIRAS 1ESPIRAS 1
![Page 89: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/89.jpg)
ESPIRAS 2ESPIRAS 2
![Page 90: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/90.jpg)
EL OCHO TUMBADOEL OCHO TUMBADO
![Page 91: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/91.jpg)
ESCAMOTEABLES ESCAMOTEABLES CON TORSICON TORSIÓÓNN
EL OCHOEL OCHO
![Page 92: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/92.jpg)
CONCLUSIONESCONCLUSIONESHay aspectos topológicos que ayudan a entender, resolver y clasificar puzzles de alambre, pero también hay que considerar distancias y formasPuzzles de alambre = ESTRUCTURAS TOPOLÓGICO-MÉTRICAS
“Analizar puzzles topológicos” tiene en común con “hacer matemáticas”: – Buscar criterios de equivalencia, – estudiar condiciones de solución y unicidad– Clasificarlos– variantes interesantes topológicamente, – etc.)
![Page 93: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/93.jpg)
CONCLUSIONESCONCLUSIONESHay aspectos topológicos que ayudan a entender, resolver y clasificar puzzles de alambre, pero también hay que considerar distancias y formasPuzzles de alambre = ESTRUCTURAS TOPOLÓGICO-MÉTRICAS
“Analizar puzzles topológicos” tiene en común con “hacer matemáticas”: – Buscar criterios de equivalencia, – estudiar condiciones de solución y unicidad– Clasificarlos– variantes interesantes topológicamente, – etc.)
![Page 94: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/94.jpg)
CONCLUSIONESCONCLUSIONESInterés educativo de Puzzles Topológicos:
– Favorecen visualización (VISIÓN ESPACIAL, especialmente topológica)
– Ejercitar RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS geométricos (simplificar, buscar semejantes, estudiar posibilidades de datos, identificar incógnitas/pieza problema, partir de resuelto, etc.)
– Introducir en clase para:Plantear retos en momentos lúdicosPromover visión espacial con ejemplos sencillosMostrar otros campos de la matemáticaRelacionar con su representación y problemas planos de huecos
![Page 95: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/95.jpg)
Proponer talleres: EsquemaProponer talleres: Esquema
![Page 96: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/96.jpg)
CONCLUSIONESCONCLUSIONESPara trabajar con ellos:
1) Estudiar si tienen solución, (con criterios topológicos elementales)
2) Identificar sus elementos:.estructura base, . pieza problema, . movimientos permitidos, . resultado de esos movimientos, etc.
3) Identificar clase a la que perteneceProbar, …, tener paciencia, y ... SUERTE
![Page 97: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/97.jpg)
CONCLUSIONESCONCLUSIONESPara trabajar con ellos:
1) Estudiar si tienen solución, (con criterios topológicos elementales)
2) Identificar sus elementos:.estructura base, . pieza problema, . movimientos permitidos, . resultado de esos movimientos, etc.
3) Identificar clase a la que perteneceProbar, …, tener paciencia, y ... SUERTE
![Page 98: (2007). De los puzzles de alambre a las matemáticas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051008/5896e0ad1a28ab0c5e8c02c9/html5/thumbnails/98.jpg)
Muchas gracias y Muchas gracias y …… ¡¡QUE NO OS LIEN!!!QUE NO OS LIEN!!!