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Jos Luis Hernndez Prez, Agustn Lozano Pradillo, Madrid 2008
1
Problemas de Las Olimpiadas
Internacionales
De Fsica
Jos Luis Hernndez Prez
Agustn Lozano Pradillo
Madrid 2008
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Jos Luis Hernndez Prez, Agustn Lozano Pradillo, Madrid 2008
2
17 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA. GRAN
BRETAA. 1986
1.-Una onda luminosa monocromtica de longitud de onda y frecuencia f incide normalmente sobre dos rendijas estrechas iguales,
separadas por una distancia d, tal como indica la figura 1.
La onda de luz emergiendo de cada rendija a una distancia x y para un
tiempo t viene dada por
xft2cosay
Siendo a la amplitud que es la misma para las dos ondas, (se supone que
x>>d)
1) Mostrar que las dos ondas observadas para un ngulo con la normal a las rendijas, tiene una amplitud resultante A, la cual se puede calcular
sumando dos vectores cada uno de ellos con un mdulo a y con una
direccin asociada, determinada por la fase de la onda de luz.
Verificar geomtricamente, a partir del diagrama vectorial, que
send
siendo,cosa2A
2) La doble rendija se sustituye por un red de difraccin con N rendijas
igualmente espaciadas, con una distancia d entre dos rendijas
consecutivas. Utilice el mtodo vectorial de sumar amplitudes, para
mostrar que los vectores amplitud, cada uno de mdulo a, forman parte
de un polgono regular con vrtice en un circulo de radio R de valor
sen2
aR
Deducir que la amplitud resultante es: sen
Nsenay obtener la diferencia
de fase relativa
d
d cos
Fig.1
-
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3
3) Dibujar en la misma grfica, sen N y sen
1en funcin de . En otra
grfica mostrar como la intensidad de la onda resultante vara en
funcin de . 4) Determinar las intensidades de los mximos principales
5) Calcular el nmero de mximos principales
6) Mostrar que dos longitudes de onda y + , donde
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4
2) El mtodo vectorial de sumar amplitudes es ir colocando vectores uno a continuacin del otro
con un ngulo entre ellos , como indica la figura 3
Veamos por qu el ngulo MON es igual a . En el tringulo MON (fig.3), se cumple
1802MON . En el tringulo MOS se cumple
MOS+2=2 MON+2=180.
Combinando ambas ecuaciones
2MON02MON
En el tringulo MON trazamos la bisectriz del ngulo que corta a MN a la mitad, por tanto:
sen2
a
2
sen2
aR
R
2
a
2
sen
La figura 4 es la misma que la 3, aunque simplificada. El ngulo MOT es 5OW es perpendicular a MT.
5sensen
a
2
5sen
sen2
a2A
2
5sen2RA
R
2
A
2
5sen
Fig.3
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5
Para N rendijas la expresin anterior es:
)sen(Nsen
aA
Teniendo en cuenta que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud
sen
NsenI
sen
NsenkakAI
2
2
o2
222 (1)
El ngulo fase que nos piden es en la figura 4.
Sustituimos el 5 por N.
2
N
2
222;
2
2
N
El ngulo buscado vale (figura 4)
Fig.4
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6
1NN22
N
3) La grfica sen
1 tender a infinito cuando beta sea 0, 180 y en ese intervalo tendr valores
positivos; tender a infinito para 180 y 360 , pero sus valores sern negativos. La grfica sen
(N ) es una funcin senoidal.(fig.5).
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 200 400 600 800
ngulo beta/
1/s
en
o b
eta
;
sen
o (
N*b
eta
)
N=4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720
ngulo beta/
(sen
o(N
))
2/(
sen
o
)2
Fig.5
Fig.6
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7
N=10
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720
ngulo beta/
(sen
o(N
))
2/(
sen
o
)2
La figura 6 se ha realizado para N=4 y la figura 7 para N=10 . A medida que N aumenta los mximos
principales son ms agudos y menos destacados los secundarios.
4) La ecuacin (1) sen
NsenII
2
2
o nos da las intensidades en funcin de beta.El cociente
sen
Nsen2
2
indeterminado para los mximos, se puede calcular sustituyendo los senos por los
ngulos 2
2
2
N
N . La intensidad de los mximos es:
2
omax NII
5) Los mximos principales, recogidos en una pantalla lejana de la red, se producen cuando la diferencia
de marcha es un mltiplo entero de la longitud de onda, s en
dnns end , el valor
mximo de n est condicionado porque el seno no puede ser mayor que 1, y el nmero de mximos es
igual a los valores que puede tomar n=0,1,2
d .
Por ejemplo para una red de difraccin con 600 lneas por mm y empleando una luz de 5000 A
3,35000.10
600.
10
dm
600
10
600.mm
1d
10
3
3
1
El nmero de mximos es 4, que corresponde a los valores n=0,1,2,3
Fig 7
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8
unidadlaquemayoressenoelqueyaimposiblees4npara
65,33,3
3
d
3sen3,npara
37,33,3
2
d
2sen2,npara
17,63,3
1
d
sen1,npara
0sen0,npara,d
nen
s
6) Diferenciamos la ecuacin
cosd
n
cosd
dnddndcosdnsend
rad5,2.10
1,2.10
589,0.1041
10
d
n1
10
sen1
10
cos1,2.10
0,6.102
3
26
29
3
2
22
3
2
3
6
9
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2.-A principios de este siglo se propuso un modelo para la constitucin de
la tierra, consistente en una capa esfrica homognea slida isotrpica de
radio R, concntrica con ella existe un ncleo en estado lquido de radio
RC( ver figura 1).
Las ondas longitudinales (ondas P) y transversales (ondas S) de un
terremoto se propagan con velocidades constantes VP y VS por el manto
de la tierra. Por el ncleo se propagan solamente las ondas P con una
velocidad VCP
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10
llegan a un observador X dependiendo de su situacin en la superficie
terrestre. Hacer un bosquejo del tiempo de viaje que emplean las ondas P
y S en funcin de para 90 .
4) Despus de un terremoto, un observador mide que el tiempo de
demora con que le llegan las ondas P y S es de 2 minutos y 11 segundos.
Deducir la separacin angular de este observador respecto del terremoto
(ngulo 2).
5 ) El observador del apartado 4 detecta que despus de la llegada de las
ondas P y S, su sismmetro registra la llegada de nuevas ondas P y S con
un intervalo entre ellas de 6 minutos y 37 segundos. Explicar este hecho
y verificar que el resultado es consistente con la posicin que ocupa el
observador.
En la figura 2, E indica la posicin del terremoto y X la del observador, siendo EX=L la
distancia en lnea recta entre ambos. EXO en un tringulo issceles de lados iguales a R.
S
S
P
PV
sen2Rty
V
sen2Rt
v
sen2Rt
R
2
L
sen;t
Lv
Si X ocupa una posicin tal que la recta L es tangente a la esfera del ncleo, las ondas le pueden
llegar directamente. Esa posicin marca precisamente el valor de 2 mximo, para valores inferiores a ese mximo las ondas P y S le llegan directamente al observador.
R
Rcosarco
R
Rcos CCmax
2) Una onda P que se genera en E se desplaza por el manto hasta llegar a la interfase manto-
ncleo donde se refracta siguiendo la ley de Snell
CP
P
V
V
rsen
isen (1)
Al llegar de nuevo a la interfase se vuelve a refractar. La marcha de este rayo se indica en la
figura 3, la cual se ha hecho a escala con los datos del problema.
E
X
2
L
O E
Xmax
2 max Lmax
Fig.2
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De dicha figura se observan las siguientes relaciones entre los ngulos
2r
ii;
,22
En la mencionada figura se ha trazado la recta 12 que es perpendicular a OE
senRsenETR
WTsen;
ET
WTsen C
C
Aplicamos la regla de los senos en el tringulo EOT
sen
senRET
ET
sen
R
sen
De las dos ltimas ecuaciones:
isenR
Rsenoarcoiisen
R
Rsenoarcoisen
R
Rsenoarcoi
icomo;R
senRsensenRsen
sen
senR
CCC
CC
Como
isen
V
Vsenarco22r
P
CP
Fig.3
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isenR
Rsenarcoisen
V
Vsenarcoi
2
isenR
Rsenarcoiisen
V
Vsenarco222
C
P
CP
C
P
CP
0,5456370
3470
R
R;0,831
10,85
9,02
V
V C
P
CP
isen0,545senarcoisen0,831senarcoi90 (2) Con ayuda de la calculadora damos valores a i en la ecuacin (2).
i=10, i=20,
i=30, i=40,
i=50, i=60,
i=70, i=80,
i=90, Los datos anteriores nos dicen que la funcin presenta un mnimo entre 50 y 60
i=55, i=56,
Tomaos como mnimo i=55 al cual corresponde = 75,6
La grfica frente a i es la figura 4.
74
76
78
80
82
84
86
88
90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
ngulo de incidencia, i/
n
gu
lo
/
Fig.4
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13
La figura 5 se ha dibujado a escala con el ngulo de incidencia mnimo de 55, al que
corresponde un ngulo 2 =2*75,6=151,2
Al punto X1 de la figura 5 le corresponde un ngulo
1142570,5456370
3470
R
Rcos maxmax
Cmax
Todos los observadores situados entre E y X1 y entre E y X4 pueden recibir ondas ssmicas
directas P y S. Los observadores situados entre X2 y X3 pueden recibir ondas P refractadas en el
ncleo.
Los observadores situados entre X1 y X2 y entre X3 y X4 no reciben ondas ya que segn la
grfica de la figura 4, cuando el ngulo de incidencia es mayor de 55 2>151,2 y cuando
i151,2.
Como las ondas P son ms veloces que las S, el tiempo de llegada a un lugar ser menor, las
ondas P que se refractan se propagan en le ncleo con menor velocidad que en el manto. Un
bosquejo del tiempo frente a est en la figura 6.
Fig.5
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14
4) Designamos con L a la distancia que existe de E al punto X del observador
SP
SPPS
PS
PS
S
S
P
PVV
VVttL
V
1
V
1Ltt
V
Lt;
V
Lt
De la figura 7 se deduce:
17,820,1556,3110,8563702
6,3110,85131
VVR2
VVtt
R
2
L
sensP
SPPS
5) Al observador situado en X le llegan de forma directa, esto es, recorriendo el camino L las
ondas P y S. Pero tambin le llegan las ondas que inciden en la superficie de separacin manto-
ncleo y que se reflejan en ella y que por ello siguen el camino D+D=2D
E
X
L
2
Fig.6
Fig.7
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15
De la figura 8 se deduce:
km19712
17,8sen63702sen2RL
R
2
L
sen
km29900,3296
985,5
19,24sen
2
L
DD
2
L
19,24sen;19,242823
985,5
TM
2
L
tag
km282334706293R-OMTM;km6293985,563702
LROM C
22
2
2
Designamos que en el lugar en que se produce el terremoto t=0. Los tiempos que tardan en
llegar las ondas P y S a X siguiendo el camino D+D son:
km2993
4,542
6,3110,85397
VV2
VV397D
VV2DVV397V
2D
V
2Ds3976min37sTT
V
2DT;
V
2DT
SP
PS
SPPS
PS
PS
S
S
P
P
L
E
X
D
D
O
M T
Fig.8
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3.-Tres partculas cada una de masa m, estn en equilibrio y unidas por
muelles no estirados, sin masa, los cuales obedecen a la ley de Hooke,
siendo su constate k. Las masas estn obligadas a moverse por una
circunferencia tal como indica la figura 3.1.
I.- Cada masa sufre un pequeo desplazamiento respecto su posicin de
equilibrio: u1, u2 , u3 respectivamente, escribir la ecuacin de cada una
de las masas.
En la figura inferior se indican los desplazamientos y las fuerzas sobre cada partcula
Fig.3.1
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17
232
031
2
02
3
2
23312
3
2
12
2
023
2
02
2
2
12232
2
2
31
2
012
2
02
1
2
31122
1
2
uuuudt
uduukuuk
dt
udm
uuuudt
uduukuuk
dt
udm
uuuudt
uduukuuk
dt
udm
II.-Verificar que el sistema tiene una solucin armnica
tcos(0)nunu con n=1, 2 ,3 y la frecuencia angular, con tres
posibles valores
m
k2o
donde0,y3o,3o
1
22
12
1
2
11
11 utcos(0)udt
udtsen(0)u
dt
dutcos(0)uu
2
22
22
2
2
22
22 utcos(0)udt
udtsen(0)u
dt
dutcos(0)uu
3
22
32
3
2
33
33 utcos(0)udt
udtsen(0)u
dt
dutcos(0)uu
Sustituyendo en las ecuaciones
0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u
uu2uuuuuu
3
2
o2
2
o
22
o1
32
2
o
22
o1
32
2
o
22
o131
2
o12
2
o1
2
0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u
uu2uuuuuu
1
2
o3
2
o
22
o2
13
2
o
22
o2
13
2
o
22
o212
2
o23
2
o2
2
0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u
uu2uuuuuu
2
2
o1
2
o
22
o3
21
2
o
22
o3
21
2
o
22
o323
2
o31
2
o3
2
Ordenamos cada una de las ecuaciones formando un sistema de ecuaciones y hacemos 222 op
0(0)up(0)u(0)u
0(0)u(0)up(0)u
0(0)u(0)u(0)up
32
2
o1
2
o
3
2
o21
2
o
3
2
o2
2
o1
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El sistema es compatible si el determinante de los coeficientes es nulo.
0p
-
p
p
pp0
p
p
p
2
0
2
o
2
02
02
0
2
0
2
02
02
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
Desarrollando os determinantes de segundo orden
096096023644828
0236244
022322
023pp0pppp
0pppp
4
0
2
o
2424
o
22
o
46
6
o
4
o
26
o
2
o
464
o
24
o
22
o
46
o
6
o
4
o
26
o
22
o
22
o
44
o
6
o
4
o
22
o
22
o
222
o
6
o
4
o
34
o
6
o
6
o
4
o
4
o
3
2
o
4
o
2
o
4
o
2
o
2
o
4
o
2
Las soluciones de la ecuacin son =0 y si x=2
m
k3333
2
94366x 0
2
o
22
o
4
o
4
o
2
o
Existe una raz doble.
III.-El sistema de muelles se extiende a N partculas, cada una de masa
m y unidas por muelles de constante k. inicialmente los muelles no estn
estirados y se encuentran en equilibrio. Escribir la ecuacin de
movimiento de la masa n ( n=1,2,.., N) en funcin de su desplazamiento y masas adyacentes cuando las partculas se desplazan de
su posicin de equilibrio.
tscosN
sn2sen(0)nu(t)nu
Son soluciones oscilatorias, donde s =1,2,,N , n=1,2,,N y es una constante de fase arbitraria, con la condicin de que las frecuencias
angulares estn dadas por
N
sseno2s
Establecer el rango de posibles frecuencias para una cadena que
contiene un nmero infinito de masas.
En la primera parte hemos visto la ecuacin para la masa 2
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19
122
023
2
02
2
2
12232
2
2
uuuudt
uduukuuk
dt
udm
Si generalizamos para la masa n
1nn1n2
o1nn
2
on1n
2
o2
n
2
u2uuuuuudt
tud
Suponemos que =0
tcosN
sn2sen(0)u
dt
(t)udtsen
N
sn2sen(0)u
dt
(t)dus
2
sn2
n
2
ssnn
Sustituyendo en la ecuacin
tcosN
s1n2sen(0)u
tcosN
sn2sen(0)u2
tcosN
s1n2sen(0)u
tcosN
sn2sen(0)u
sn
sn
sn
2
os
2
sn
N
sn2sen
N
s1n2sen
N
s1n2sen
N
sn2sen
2
o
2
s
De acuerdo con la relacin trigonomtrica
N
s2
N2
1n1ns2
2
DC;
N
ns2
N2
1n1ns2
2
DC
N
s1n2Dy
N
s1n2C
2
DCcos
2
DCsen2DsenCsen
Sustituyendo en la ecuacin anterior
N
s2cos12
2
N
s22cos
N
sn2sen
N
s2cos
N
ns2sen2
N
sn2sen
2
o
2
s
2
o
2
s
2
o
2
s
Aplicando la relacin trigonomtrica: N
sA;2Acos1Asen2 2
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20
N1,2,......s;N
ssen2
N
ssen4 os
22
o
2
s
Cuando s = N ; s = 0 . Cuando s=(1/2) N ; s = 2o
IV.-Determinar la relacin
1nu
nu
para N grande en los dos casos:a)
solucin de baja frecuencia, b) = max , donde max es la solucin de frecuencia mxima.
N
s2
N
sn2sen
N
sn2sen
N
s1n2sen
N
sn2sen
tcosN
s1n2(0)senu
tcosN
sn2(0)senu
u
u
n
n
1n
n
Como sen(A+B) = sen A cos B+cos A sen B
N
s2sen
N
sn2cos
N
s2cos
N
sn2sen
N
sn2sen
u
u
1n
n
Si w es pequeo lo es s y , por tanto , 0N
s2sen 1
N
s2cos0
N
s
1
0N
sn2sen
N
sn2sen
u
u
1n
n
La frecuencia mxima ocurre cuando s=(1/2) N.
1u
u
nsen
nsen
senncoscosnsen
nsen
nsen
nsen
N
s2
N
sn2sen
N
sn2sen
u
u
1n
n
1n
n