-
BAB 1
INTEGRAL TAK TENTU
1.1 Definisi Integral
Jika f (x) adalah sebuah fungsi, dimana turunan dari f(x): f’(x)=f(x)
f’(x)=f(x)
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)
Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
1.2 Rumus-rumusdasar integral
1. ∫𝑑 (𝑓(𝑥))
𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
2. ∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =1
𝑟+1𝑥𝑟+1 + 𝑐
3. ∫(𝑢 + 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑥 + ∫ 𝑣 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑥𝑢 𝑑𝑢 =1
𝑚+1𝑢𝑚+1 + 𝑐 , m ≠ -1
5. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑢 𝑑𝑥 , a = konstanta
6. ∫1
𝑢 𝑑𝑢 = |n|u|+c
7. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑎𝑢
|𝑛𝑎 + 𝑐 , a > 0 dan a ≠ 1
8. ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐
9. ∫𝑑𝑢
√𝑎2+𝑢2 = 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑢
𝑎+ 𝑐
10. ∫𝑑𝑢
𝑢√𝑢2+𝑎2 =
1
𝑎𝑎𝑟𝑐 sec
𝑢
𝑎+ 𝑐
11. ∫𝑑𝑢
𝑎2+𝑢2 =
1
𝑎𝑎𝑟𝑐 tan
𝑢
𝑎+ 𝑐
12. ∫𝑑𝑢
𝑎2+𝑢2 =
1
2𝑎𝑖𝑛 [
𝑎+𝑢
𝑎−𝑢] + 𝑐
13. ∫𝑑𝑢
𝑢2+𝑎2 =
1
2𝑎𝑖𝑛 [
𝑢−𝑎
𝑢+𝑎] + 𝑐
-
14. ∫𝑑𝑢
√𝑢2+𝑎2 = 𝑖𝑛 ( 𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐
15. ∫𝑑𝑢
√𝑢2+𝑎2 = 𝑖𝑛 ( 𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐
16. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 =1
2𝑢 √𝑎2 − 𝑢2 +
1
2𝑎2 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑢
𝑎+ 𝑐
17. ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 =1
2𝑢 √𝑢2 + 𝑎2 +
1
2𝑎2 𝑖𝑛 (𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2) + 𝑐
18. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 =1
2𝑢 √𝑢2 − 𝑎2 −
1
2𝑎2 𝑖𝑛 |𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2| + 𝑐
Contoh soal :
1. ∫(3𝑥7 − 4𝑥5 + 5𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥 = 3
8𝑥8 −
2
3𝑥6 +
5
4𝑥2 + 𝑐
2. ∫(𝑥2 + 5)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 5𝑑𝑥 =1
3𝑥3 + 𝑐, +5𝑥 + 𝑐 =
1
3𝑥3 + 5𝑥 + 𝑐
3. ∫1
𝑥3 dx = ∫ 𝑥−3 =
1
−2𝑥−2 + 𝑐
4. ∫(𝑥 − 3)2𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 6𝑥 + 9)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ 9𝑑𝑥 = 1
3𝑥3 − 3𝑥2 +
9𝑥 + 𝑐
5. ∫ 2𝑥(𝑥2 −1
𝑥)𝑑𝑥 = ∫(2𝑥3 − 2)𝑑𝑥 =
1
2𝑥4 − 2𝑥 + 𝑐
6. ∫𝑥3−5𝑥2+6
𝑥2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 5 + 6 𝑥−2)𝑑𝑥 =
1
2𝑥4 − 2𝑥 + 𝑐
7. ∫𝑑𝑥
√1−𝑥2= 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 + 𝑐
8. ∫𝑑𝑥
1+𝑥2= 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑐
9. ∫𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1=arc sec x + c
10. ∫𝑑𝑥
4𝑥2+9=
1
6 𝑎𝑟𝑐 tan
2𝑥
3+ 𝑐
11. ∫𝑑𝑥
𝑥2−1=
1
2𝑖𝑛 [
𝑥−1
𝑥+1] + 𝑐
12. ∫𝑑𝑥
1−𝑥2=
1
2𝑖𝑛 [
1+𝑥
1−𝑥] + 𝑐
13. ∫𝑑𝑥
√4𝑥2+9=
1
2 𝑖𝑛 (2𝑥 + √4𝑥2 + 9) + 𝑐
-
14. ∫𝑑𝑥
√𝑥2−1= 𝑖𝑛 [ 𝑥 + √𝑥2 − 1 ] + 𝑐
15. ∫ √25 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1
2𝑥 √25 − 𝑥2 +
25
2 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
5+ 𝑐
16. ∫ √𝑥2 − 36 𝑑𝑥 = 1
2𝑥 √𝑥2 − 36 − 18 𝑖𝑛 [ 𝑥 + √𝑥2 − 36 ] + 𝑐
-
BAB 2
INTEGRAL TRIGONOMETRI
2.1 Rumus – rumusdasar
1. ∫ sin u du = − cos u + c
2. ∫ sin u du = sin u + c
3. ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sec 𝑢 ] + 𝑐
4. ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sin 𝑢 ] + 𝑐
5. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ sec 𝑢 + tan 𝑢 ] + 𝑐
6. ∫ cosec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑖𝑛 [ cosec 𝑢 + cot 𝑢 ] + 𝑐
7. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝑐
8. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝑐
9. ∫ cosec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝑐
10. ∫ cosec 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −cosec 𝑢 + 𝑐
2.2 HubunganDalamTrigometri
1. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
2. 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
3. 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
4. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1
2 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
5. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1
2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
6. sin 𝑥 cos 𝑥 =1
2𝑠𝑖𝑛2𝑥
7. sin 𝑥 cos 𝑦 =1
2(sin(𝑥 − 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦))
8. sin 𝑥 sin 𝑦 =1
2(cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦))
9. cos 𝑥 cos 𝑦 =1
2(cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)
-
10. 1 − cos 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛21
2𝑥
11. 1 + cos 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠21
2𝑥
12. 1 ± sin 𝑥 = 1 ± cos (1
2𝑥 − 𝑥)
13. tan 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥
14. cot 𝑥 =cos 𝑥
sin 𝑥
15. sec 𝑥 =1
cos 𝑥
16. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1
sin 𝑥
Contoh soal :
1. ∫ sin 1
2 x dx = 2 ∫ sin
1
2 x −
1
2 dx = −2 𝑐𝑜𝑠
1
2 x + c
2. ∫ cos 3x dx = 1
3∫ cos 3x − 3. dx =
1
3sin 3x + c
3. ∫ tan 2x dx = 1
2∫ tan 2x. 2 =
1
2𝑖𝑛 [ sec 2𝑥 ] + 𝑐
4. ∫ (sin x + cos x)𝑑𝑥 = ∫ sin x dx + cos x dx = − cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐
5. ∫ (2 cos x + 3 sin x)𝑑𝑥 = ∫ 2 cos x dx − ∫ 3 sin x dx = 2 sin 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐
6. ∫ (2 𝑠𝑒𝑐2 x − 2 tan x. sec 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑐2 x dx − ∫ 5 tan sec x dx
= 2 sin 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐
= 2 tan x – 5 sec x + c
7. ∫ 𝑐𝑜𝑠 (2 x − π)𝑑𝑥 = 1
2sin(2𝑥 − π) + c
8. ∫ 2 𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 5x dx = 2 (1
5tan 5𝑥 + 𝑐) =
2
5tan 5𝑥 + 𝑐
9. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 (2𝑥 +1
4π) dx = −
1
2cot (2𝑥 +
1
4π) + c
10. ∫ 5 𝑡𝑎𝑛 (3𝑥). 𝑠𝑒𝑐(3𝑥) = 5 ∫ tan (3x). sec (3x) = 5 (1
3sec 3𝑥 + 𝑐)
= 5
3sec 3𝑥 + 𝑐
-
11. ∫ 𝑐𝑜𝑡 5 (𝑥 −1
2π) . cosec (𝑥 −
1
2π) dx = cosec (𝑥 −
1
2π) + 𝑐
12. ∫(𝑠𝑖 𝑥 − cos 𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑥
= 1 –sin 2x
∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-1
2cos 2 𝑥) + 𝑐
= x + 1
2cos 2 𝑥 + 𝑐
13. ∫ 𝑐𝑜𝑠23𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1
2+
1
2cos 6𝑥) 𝑑𝑥 cos 2 x = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1
=∫1
2𝑑𝑥 + ∫
1
2 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 𝑑𝑥 cos 2 x =
1
2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
= 1
2𝑥 +
1
2.
1
6sin 6𝑥 + 𝑐 cos 2 3x =
1
2(1 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥)
= 1
2𝑥 +
1
12sin 6𝑥 + 𝑐 =
1
2+
1
2𝑐𝑜𝑠6𝑥
14. ∫ sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1
2sin 4𝑥 𝑑𝑥 sin 2x = 2 sinxcosx
= 1
2 (−
1
4cos 4𝑥) + 𝑐
= −1
8cos 4𝑥 + 𝑐
15. ∫ sin 5𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1
2(sin 7𝑥 + sin 3𝑥) 𝑑𝑥
Ingat : sinx cosx= 1
2sin(𝑥 + 𝑦) + sin (𝑥 − 𝑦) Maka
= 1
2∫ 𝑠𝑖𝑛 7𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥
= 1
2(−
1
7cos 7𝑥 −
1
3cos 3𝑥) + 𝑐
= -1
14cos 7𝑥 −
1
6cos 3𝑥 + 𝑐
16. ∫ 2 cos 10𝑥. cos 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos 14𝑥 + cos 6𝑥) 𝑑𝑥
Ingat cosx cosy=1
2cos(𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 − 𝑦) Maka
= 1
14sin 𝑥 +
1
6sin 6𝑥 + 𝑐
-
17. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
Misalkan : U = cos x du = - sin x dx
∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
= - ∫(1 − 𝑢2) 𝑢2 𝑑𝑢 = − ∫( 𝑢2 − 𝑢4) 𝑑𝑢
= ∫( 𝑢2 − 𝑢4) 𝑑𝑢
= 1
5 𝑢5 −
1
3 𝑢3 + 𝑐 =
1
5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 −
1
3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐
18. ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥
U = sin x du = cos x dx
= ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 . 𝑐𝑜𝑠6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑢4(1 − 𝑢2 )3𝑑𝑢
= ∫ 𝑢4(1 − 3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6)𝑑𝑢
= ∫( 𝑢5 − 3𝑢6 + 3𝑢8 − 𝑢10)𝑑𝑢
= 1
6 𝑢6 −
3
7 𝑢7 +
3
9 𝑢9 −
1
11 𝑢11𝑥 + 𝑐
19. ∫ 𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑑𝑥
U = cosx du = - sin x dx
= ∫ 𝑠𝑖𝑛5𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )2 sin 𝑥 𝑑𝑥
= - ∫(1 − 𝑢 2 )2𝑑𝑢 = ∫(1 − 2𝑢 2 + 𝑢4)𝑑𝑢
= - (u-2
3 𝑢3 +
1
5 𝑢5) + 𝑐
=- 1
5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 +
2
3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐
-
20. ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑𝑥
U = tan x du = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 (1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥) 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑢2 (1 + 𝑢2) 𝑑𝑢
= ∫ (𝑢4 + 𝑢2) 𝑑𝑢
= 1
5 𝑢5 +
1
3 𝑢3 + 𝑐
= 1
5 𝑡𝑎𝑛5 +
1
3 𝑡𝑎𝑛3𝑥 + 𝑐
21. ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
U = sex x du = sec x tan x dx
= ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1) sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
= 1
3 𝑢3 − 𝑢 + 𝑐
= 1
3 𝑠𝑒𝑐3𝑥 − sec 𝑥 + 𝑐
22. ∫ sin 7𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1
2(sin( 7 + 3) 𝑥 + sin (7 − 3) 𝑥 𝑑𝑥
= 1
2 (sin 10𝑥 + sin 4𝑥) 𝑑𝑥
= 1
2 (−
1
10cos 10𝑥 −
1
4cos 4𝑥) + 𝑐
= 1
40(2 cos 10𝑥 + 5 cos 4𝑥) + 𝑐
23. ∫ sin 7𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1
2(cos(7 − 3) 𝑥 − cos (7 + 3) 𝑥 )𝑑𝑥
= 1
2 (cos 4𝑥 − cos 10𝑥) 𝑑𝑥
= 1
2 (
1
4sin 4𝑥 −
1
10sin 10𝑥) + 𝑐
= 1
40(5 sin 4𝑥 − 2 sin 10𝑥) + 𝑐
24. ∫ cos 7𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫1
2(cos(7 − 3) 𝑥 + cos (7 + 3) 𝑥 )𝑑𝑥
-
= 1
2 (cos 4𝑥 ∓ cos 10𝑥) 𝑑𝑥
= 1
2 (
1
4sin 4𝑥 +
1
10sin 10𝑥) + 𝑐
= 1
40(5 sin 4𝑥 + 2 sin 10𝑥) + 𝑐
Latihan Soal-soal
25. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥
26. ∫ 𝑐𝑜𝑠2(3𝑥) 𝑑𝑥
27. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥
28. ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥
29. ∫ sin 2𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
30. ∫ cos 4𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
31. ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑑𝑥
32. ∫ sin 2𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥
-
BAB III
TEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
Contoh Soal
1. ∫ 𝑋2
4√𝑋3+2𝑑𝑥
Misalkan : u = 𝑥3 + 2 du = 3 dx dx = 1
3 𝑥2𝑑𝑢
= ∫ 𝑋2
4√𝑋3+2𝑑𝑥 = ∫
𝑋2
4√𝑢.
1
3 𝑋2𝑑𝑢
= 1
3∫ 𝑢
1
4 𝑑𝑢
= 1
3∫
1
4√4𝑑𝑢
= 1
3.
4
3 𝑢
3
4 = 4
9 𝑢
3
4 + 𝑐 = 4
9 (𝑥3 + 2 )
3
4 + 𝑐
2. ∫ 𝑋2
1− 2𝑥3𝑑𝑥
Misalkan : u = 1- 2𝑥3 du = −6𝑥2𝑑𝑢 dx =- 1
6𝑥2 𝑑𝑢
= ∫ 𝑋2
1− 2𝑥3𝑑𝑥 = ∫
𝑋2
𝑢. ( −
1
6𝑥2) 𝑑𝑢
= −1
6∫
1
𝑢𝑑𝑢
= −1
6 |𝑛|𝑢|| + 𝑐
= −1
6|𝑛|1 − 2𝑥3| + 𝑐
3. ∫(𝑥3 + 2 )23𝑥2𝑑𝑥
Misalkan : U = 𝑥3 + 2 dx = 1
3𝑥2𝑑𝑢 du = 3𝑥2𝑑𝑥
.∫(𝑥3 + 2 )23𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑢23𝑥2.1
3𝑥2𝑑𝑢
= ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 −1
3𝑢3 + 𝑐
= 1
3(𝑥3 + 2)3 + 𝑐
-
4. ∫ 3𝑥3 √1 + 2𝑥2𝑑𝑥
Misalkan U = 1 - 2𝑥2 du = -4x dx dx = - 1
4𝑥𝑑𝑢
.∫ 3𝑥3 √1 + 2𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 √𝑢.−1
4𝑥𝑑𝑢
= −3
4∫ √𝑢 . 𝑑𝑢
= −3
4.
2
3𝑢
3
2 + 𝑐
= −6
12(1 − 2𝑥2)
3
2 + 𝑐
5. ∫ 𝑠𝑒𝑐 √𝑥𝑑𝑥
√𝑥
Misalkan : U = √𝑥 du = 1
2√𝑥 dx = 2√𝑥𝑑𝑢
.∫ 𝑠𝑒𝑐 √𝑥𝑑𝑥
√𝑥 = ∫
sec 𝑢
√𝑥. 2√𝑥𝑑𝑢
= 2|n|sec u + tan u|+c
= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢
= 2 |n|sec√𝑥 + 𝑡𝑎𝑛√𝑥| + 𝑐
6. ∫𝑥
𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)𝑑𝑥
Misalkan : U = 𝑥2 du = 2x dx dx = 1
2𝑥𝑑𝑢
.∫𝑥
𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)𝑑𝑥 = ∫
𝑥
𝑐𝑜𝑠2.𝑢.
1
2𝑥𝑑𝑢
= ∫𝑥
𝑐𝑜𝑠2.𝑢. 𝑑𝑢
= 1
2∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑢 𝑑𝑢
= 1
2tan 𝑥2 + 𝑐
= 1
2tan 𝑢 + 𝑐
-
7. ∫6𝑒
1𝑥
𝑥2𝑑𝑥
Misalkan : U = 1
𝑥 du = −
1
𝑥2𝑑𝑥 dx = −𝑥2𝑑𝑢
.∫6𝑒
1𝑥
𝑥2𝑑𝑥 = − ∫
6𝑒u
𝑥2𝑥2𝑑𝑢
= −6𝑒u + 𝑐
= − ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢
= −6𝑒1
𝑥 + 𝑐
8. ∫ 𝑥3 √𝑥4 + 11 𝑑𝑥
Misalkan : U = 𝑥4 + 11 du = 4𝑥3𝑑𝑥 dx = 1
4𝑥3du
.∫ 𝑥3 √𝑥4 + 11 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 . √𝑢.1
4𝑥3 𝑑𝑥
= 1
4.
2
3𝑢
3
2 + 𝑐
= 1
6𝑢
3
2 + 𝑐
= 1
6(𝑥4 + 11)
3
2 + 𝑐
SUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABAR
1. ∫𝑑𝑢
√𝑎𝑢−𝑢2= 𝑠𝑖𝑛−1(
𝑢
𝑎) + c
2. ∫𝑑𝑢
u√𝑢2−𝑎2=
1
𝑎𝑠𝑒𝑐−1 (
|𝑢|
𝑎) + c =
1
𝑎𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑎
|𝑢|) + c
3. ∫𝑑𝑢
𝑎2+𝑢2=
1
𝑎𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑢
𝑎) + c
Contoh :
1. ∫3
√5−9𝑥2𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
√𝑎𝑢−𝑢2= 𝑠𝑖𝑛−1(
𝑢
𝑎) + c
Misalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 1
3du
= ∫3
√5−𝑢2.
1
3du = ∫
1
√5−𝑢2du = 𝑠𝑖𝑛−1 (
𝑢
√5) + c = 𝑠𝑖𝑛−1 (
3x
√5) + c
-
2. ∫𝑒𝑥
4+9𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑎2−𝑢2=
1
𝑎𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑢
𝑎) + c
Misalkan : u = 3𝑒𝑥 du =3𝑒𝑥𝑑𝑥 dx = 1
3𝑒𝑥du
= ∫𝑒𝑥
4+𝑢2.
1
3𝑒𝑥du =
1
3∫
1
4+𝑢2du =
1
3.
1
2𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑢
2) + c
= 1
6𝑡𝑎𝑛−1 (
3𝑒𝑥
2) + c
-
BAB IV
INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN
𝑒𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡/𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖
(𝑥2 + 16)11𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖
𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 = ∫ 𝑒𝑢du = 𝑒𝑢 + 𝑐
∫ 𝑎𝑢du =𝑎𝑢
|𝑛|𝑎|+ 𝑐
Contoh soal :
1. ∫ 𝑒2𝑥
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 1
2du
= ∫ 𝑒𝑢.1
2du =
1
2∫ 𝑒𝑢. du =
1
2𝑒𝑢 =
1
2𝑒2𝑥 + 𝑐
2. ∫ 𝑥 𝑒−𝑥2𝑑𝑥
Misalkan : u = −𝑥2 du = - 2x dx dx = 1
2du
= ∫ 𝑥 𝑒𝑢 1
2x du = −
1
2∫ 𝑒𝑢 + 𝑐 =
1
2. 𝑒−𝑥
2+ 𝑐
3. ∫ 𝑥 𝑒𝑥2
𝑑𝑥
Misalkan : u = 𝑥2 du = 2x dx 2x dx=du dx=1
2𝑥du
= ∫ 𝑥 𝑒𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥 . 𝑒𝑢 .1
2𝑥du =
1
2𝑒𝑢 du =
1
2𝑒𝑥
2 + c
4. ∫𝑒𝑥
1+𝑒𝑥𝑑𝑥
Misalkan : u = 1 + 𝑒𝑥 du = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =𝑑𝑢
𝑒𝑥
=∫𝑒𝑥
𝑢.
𝑑𝑢
𝑒𝑥= ∫
𝑑𝑢
𝑢= |𝑛|𝑢|+𝑐 = |𝑛|1 + 𝑒𝑥| + c
-
5. ∫ 𝑒sin 𝑦 cos 𝑦 𝑑𝑦
Misalkan : u = sin y du = cos y dy dy=𝑑𝑢
cos 𝑦
= ∫ 𝑒𝑢. cos 𝑦 .𝑑𝑢
cos 𝑦= 𝑒𝑢. 𝑑𝑢 = 𝑒sin 𝑦 + 𝑐
6. ∫ 10cot 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥
Misalkan : u = cot 3x du = −1
3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥
−1
3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 dx =
𝑑𝑢
−1
3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
= ∫ 10cot 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 10𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑢
−1
3𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 3𝑥
= ∫ 10𝑢𝑑𝑢
−1
3
= −3. 10𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
+ 𝑐
7. ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Misalkan : u = -x du =-dx dx =-du
=∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −𝑒−𝑥 + 𝑐 = −𝑒𝑢 + 𝑐
8. ∫ 𝑒3𝑥 𝑑𝑥
Misalkan : u=3x du = 3 dx dx = 1
3du
= 𝑒𝑢.1
3du =
1
3𝑒3𝑥 + 𝑐
9. ∫ 𝑎2𝑥
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 𝑑𝑢
2
= ∫ 𝑎𝑢 .𝑑𝑢
2=
1
2𝑎2𝑥 + 𝑐
10. ∫ 𝑒3 cos 2𝑥 − sin 2𝑥 𝑑𝑥
Misalkan : u = 3 cos 2𝑥 du = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dx
dx = 𝑑𝑢
−6 sin 2𝑥
=𝑒𝑢. sin 2𝑥.𝑑𝑢
−6 sin 2𝑥= 𝑒𝑢.
𝑑𝑢
−6= 𝑒𝑢. −
1
6+ 𝑐 = −
1
6𝑒3 cos 2𝑥 + 𝑐
-
11. ∫ 𝑒4𝑥𝑑𝑥
Misalkan : u = 4x du = 4 dx
4 dx =du
dx = 𝑑𝑢
4
= ∫ 𝑒𝑢.𝑑𝑢
4=
1
4𝑒𝑢 + 𝑐 =
1
4𝑒4𝑥 + 𝑐
12. ∫ 𝑒−𝑥2+2𝑥𝑑𝑥
Misalkan : u = −𝑥2 + 2 du = -2x dx
-2x dx = du
dx = 𝑑𝑢
−2𝑥
= ∫ 𝑒𝑢. 𝑥𝑑𝑢
−2𝑥= −
1
2𝑒𝑢 + 𝑐 = −
1
2𝑒−𝑥
2+2 + 𝑐
13. ∫ 𝑒tan 2𝑥𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥
Misalkan : u = tan 2𝑥 du = 2sec22xdx
2sec22xdx=du
dx = 𝑑𝑢
2𝑠𝑒𝑐22𝑥
= ∫ 𝑒𝑢. 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑐22𝑥=
1
2𝑒4 + 𝑐 =
1
2𝑒𝑡𝑎𝑛2𝑥+2 + 𝑐
14. ∫ 𝑒2𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥
Misalkan : u =2𝑠𝑖𝑛3𝑥 du = 2.3cos3xdx
6cos3xdx=du
dx = 𝑑𝑢
6𝑐𝑜𝑠3𝑥
-
= ∫ 𝑒𝑢. 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑢
6𝑐𝑜𝑠3𝑥= ∫ 𝑒𝑢.
𝑑𝑢
6=
1
6𝑒2𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐
Bila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :
1. √𝑎𝑢 + 𝑏𝑛
, substitusi 𝑎𝑢 + 𝑏 = 𝑧𝑛
akanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.
2. √𝑞 + 𝑝𝑢 + 𝑢2, substitusi 𝑞 + 𝑝𝑢 + 𝑢2 = (𝑧 − 𝑢)2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
3. √𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2=√(𝛼 + 𝑢)(𝛽 − 𝑢)
substitusi𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2 = (𝛼 + 𝑢)2𝑧2
atau𝑞 + 𝑝𝑢 − 𝑢2 = (𝛽 − 𝑢)2𝑧2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
Contoh :
1. Carilah∫𝑑𝑥
𝑥√1−𝑥
Substitusi 1 − 𝑥 = 𝑧2
Maka𝑥 = 1 − 𝑧2 sehingga dx = -2 z dx
∫𝑑𝑥
𝑥√1 − 𝑥= ∫
−2 𝑧 𝑑𝑥
(1 − 𝑧2)𝑧= −2 ∫
𝑑𝑧
1 − 𝑧2= −2
1
2|𝑛|
1 + 𝑧
1 − 𝑧+ 𝑐
= −|𝑛|1 + 𝑧
1 − 𝑧+ 𝑐
2. Tentukan∫𝑑𝑥
(𝑥−2)√𝑥+2
Jawab :
Substitusi 𝑥 + 2 = 𝑧2 maka 𝑥 = 𝑧2 − 𝑧 sehingga dx = -2 z dx
Jadi∫𝑑𝑥
(𝑥−2)√𝑥+2= ∫
2𝑧 𝑑𝑧
(𝑧2−2−2)𝑧= ∫
2𝑧 𝑑𝑧
(𝑧2−4)𝑧= 2 ∫
𝑑𝑧
𝑧2−4= 2.
1
2.2|𝑛|
𝑧−2
𝑧+2=
1
2|𝑛|
√𝑥+2−2
√𝑥+2+2| + 𝑐
-
BAB 5
SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Integral yang mengandung√𝑎2 − 𝑏2𝑥2, √𝑎2 + 𝑏2𝑥2, √𝑏2𝑥2 − 𝑎2
Dapatdirubahkedalambentuklain yang
menyangkutfungsitrigometripeubahbarusebagaiberikut:
Untuk Dapat Untukmendapatkan
- √𝑎2 − 𝑏2𝑥2 𝑥 =𝑎
𝑏sin 𝑧 𝑎√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧
- √𝑎2 + 𝑏2𝑥2 𝑥 =𝑎
𝑏tan 𝑧 𝑎√1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑧 = 𝑎 sec 𝑧
- √𝑏2𝑥2−𝑎2 𝑥 =𝑎
𝑏sec 𝑧 𝑎√𝑠𝑒𝑐2𝑧 − 1 = 𝑎 tan 𝑧
Example
1. ∫𝑑𝑥
𝑥2√4+𝑥2 mengacu 𝑎2 + 𝑏2 berarti
𝑎2 = 4
𝑎 = 2
𝑥 =𝑎
𝑏tan 𝑧
𝑥 =2
1tan 𝑧
𝑥 = 2 tan 𝑧
2 tan 𝑧 = 𝑥
tan 𝑧 =𝑥
2
√4 + 𝑥2
𝑧
2
𝑥 v
√4 + 𝑥 = 2 sec 𝑧
Mengacu pada
𝑎√1 + tan2 𝑧 = 𝑎 sec 𝑧
= 2 sec 𝑧
𝑥 = 2 tan 𝑧 𝑑𝑥 = 2 sec2 𝑧 𝑑𝑧
-
2. ∫𝑑𝑥
𝑋√9+4𝑥2 a = 3 mengacu 𝑎2 + 𝑏2
∫𝑑𝑥
𝑥2√4+𝑥2 = ∫
2 sec2 𝑧 𝑑𝑧
(2 tan 𝑧)2(2 sec 𝑧)
=∫2 sec2 𝑧 𝑑𝑧
(4 tan2 𝑧)(2 sec 𝑧)
= ∫2 sec 𝑧 sec 𝑧
4 tan2 𝑧 2 sec 𝑧𝑑𝑧
= 1
4∫
sec 𝑧
tan2 𝑧𝑑𝑧
= 1
4∫
1
cos 𝑧
sin2 𝑧
cos2 𝑧
𝑑𝑧
= 1
4∫
1
cos 𝑧×
cos2 𝑧
sin2 𝑧𝑑𝑧
= 1
4∫
cos 𝑧
sin2 𝑧𝑑𝑧
∫𝑑𝑥
𝑥2√4+𝑥2 =
1
4∫ sin−2 𝑧 cos 𝑧 𝑑𝑧
𝑢 = sin 𝑧
𝑑𝑢 = cos 𝑧 𝑑𝑧
cos 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢
𝑑𝑧 = 𝑑𝑢
cos 𝑧
∫𝑑𝑥
𝑥2√4+𝑥2 =
1
4∫ 𝑢−2 cos 𝑧
𝑑𝑢
cos 𝑧
= 1
4− 𝑢−1 + 𝑐
= −1
4𝑢−1 + 𝑐
= −1
4sin−1 𝑧 + 𝑐
= −1
4 sin 𝑧+ 𝑐
= −√𝟒+𝒙𝟐
𝟒𝒙
𝑎2 = 9
𝑏2 = 4
𝑏 = 2
𝑥 =
𝑑
𝑏tan 𝑧
𝑥 =3
2tan 𝑧
2𝑥 = 3 tan 𝑧
3 tan 𝑧 = 2𝑥
tan 𝑧 =2𝑥
3
𝑥 =3
2tan 𝑧
𝑑𝑥 =3
2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧
𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧
√9 + 4𝑥2
𝑧
3
2𝑥 v
-
3. ∫√9+4𝑥2
𝑥𝑑𝑥 mengacu ke 𝑎2 − 𝑏2
Mengacu pada rumus
𝑎 = √1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑧 = 𝑎 sec 𝑧
√9 + 4𝑥2 = 3 sec 𝑧
∫𝑑𝑥
𝑥√9+4𝑥2 = ∫
3
2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧
3
2tan 𝑧.3 sec 𝑧
=∫sec 𝑧.sec 𝑧
3 tan 𝑧.3 sec 𝑧𝑑𝑧
= ∫1
3.
sec 𝑧
tan 𝑧𝑑𝑧
= 1
3∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑑𝑧
= 1
3∫
1
cos 𝑧
sin2 𝑧
cos2 𝑧
𝑑𝑧
= 1
4|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + 𝑐
= 1
3|𝑛|
√9+4𝑥2−3
𝑋| + 𝑐
Ket :
Sin = cosec
Tan = cot
Cos = sec
𝑎2 = 9 𝑎 = 3
𝑏2 = 4 𝑏 = 2
𝑥 =𝑎
𝑏sin 𝑧
𝑥 =3
2sin 𝑧
2𝑥 = 3 sin 𝑧
3 sin 𝑧 = 2𝑥
sin 𝑧 =2𝑥
3
𝑑𝑥 =3
2cos 𝑧 𝑑𝑧
Mengacupadarumus
𝑎 = √1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧
√9 − 4𝑥2 = 3 cos 𝑧
3
𝑧
√9 + 4𝑥2
2𝑥 v
-
∫√9 − 𝑥2
𝑥𝑑𝑥 = ∫
3 cos 𝑧.3
2cos 𝑧 𝑑𝑧
3
2sin 𝑧
= ∫3𝑐𝑜𝑠2𝑧
sin 𝑧𝑑𝑧 = 3 ∫
(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧)
sin 𝑧
= 3 ∫1
sin 𝑧− 3 ∫
1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧
sin 𝑧𝑑𝑧 = 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑑𝑧 − 3 ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧
= 3|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + 𝑐 ingat rumus
= 3|𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + cos 𝑧 + 𝑐
= = 3|𝑛|3−√9−4𝑥2
𝑥| + √9 − 4𝑥2 + 𝑐
4. ∫𝑥2
√𝑥2−4𝑑𝑥
𝑎2 = 4 𝑎 = 2
𝑏 = 1
𝑥 =2
1sec 𝑧
𝑥 = 2 sec 𝑧
2 sec 𝑧 = 𝑥
sec 𝑧 =𝑥
2
sec 𝑧 =1
𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑧
2
√𝑥2 − 4 v
Mengacu√𝑏2𝑥2 − 𝑎2
𝑥 =𝑎
𝑏sec 𝑧
𝑑𝑥 = 2 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑧
√𝑥2 − 4 = 2 tan 𝑧
Mengacu
𝑎√𝑠𝑒𝑐2𝑧 = 𝑎 tan 𝑧
-
- ∫𝑥2
√𝑥2−4𝑑𝑥 = ∫
(2 sec 𝑧)2.2 sec 𝑧 tan 𝑧
2 tan 𝑧𝑑𝑧
= ∫ 4𝑠𝑒𝑐2 𝑧. sec 𝑧 𝑑𝑧
= ∫ 4𝑠𝑒𝑐3𝑧 𝑑𝑧
= sec 𝑧 tan 𝑧 + 2|𝑛| sec 𝑧 + tan 𝑧| + 𝑐
= 1
2𝑥√𝑥2 − 4 + 2|𝑛|𝑥 + √𝑥2 − 4| + 𝑐
5. ∫𝑑𝑥
√9+4𝑥2
- ∫𝑑𝑥
√9+4𝑥2= ∫
3
2𝑠𝑒𝑐2𝑧
3 sec 𝑧𝑑𝑧 = ∫
3
2𝑠𝑒𝑐2𝑧
3𝑑𝑧 = ∫
1
2sec 𝑧 𝑑𝑧 =
1
2∫ sec 𝑧 𝑑𝑧
= 1
2|𝑛| sec 𝑧 + tan 𝑧| + 𝑐
= 1
2|𝑛|
√9+4𝑥2
3+
2𝑥
3| + 𝑐
= 1
2|𝑛|
√9+4𝑥2+2𝑥
3| + 𝑐
6. ∫𝑥𝑑𝑥
√𝑥2+16= ∫
𝑥𝑑𝑥
√16+𝑥2
𝑎2 = 9 𝑎 = 3
𝑏2 = 1 𝑏 = 2
𝑥 =𝑑
𝑏tan 𝑧
𝑥 =3
2tan 𝑧
𝑑𝑥 =3
2𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧
√9 + 4𝑥2 = 𝑎 sec 𝑧 = 3 sec z
√9 + 4𝑥2
𝑧
3
2𝑥 v 2𝑥 = 3 tan 𝑧
3 tan 𝑧 = 2𝑥
tan 𝑧 =2𝑥
3
𝑎2 = 16 𝑎 = 4
𝑏2 = 1 𝑏 = 1
𝑥 =𝑎
𝑏tan 𝑧
𝑥 =4
1tan 𝑧
𝑥 = 4 tan 𝑧
4 tan 𝑧 = 𝑥
tan 𝑧 =𝑥
4
√16 + 𝑥2
𝑧
4
𝑥 v
-
- ∫𝑥𝑑𝑥
√𝑥2+16= ∫
4 tan 𝑧.4𝑠𝑒𝑐2𝑧 𝑑𝑧
4 sec 𝑧= ∫ tan 𝑧. 4 sec 𝑧 𝑑𝑧
= ∫ 4 tan 𝑧 sec 𝑧 𝑑𝑧 = 4 sec 𝑧 + 𝑐
= √16+𝑥2
4+ 𝑐
= √16 + 𝑥2 + 𝑐
7. ∫𝑥2
√9+2𝑥2𝑑𝑥
𝑎2 = 9 𝑎 = 2
𝑏2 = 3 𝑏 = √2
𝑥 =3
√2sin 𝑧
√2𝑥 = 3 sin 𝑧
3 sin 𝑧 = √2𝑥
sin 𝑧 =√2𝑥
3
𝑎√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 𝑎 cos 𝑧
√9 − 2𝑥2 = cos 𝑧
𝑑𝑥 =3
√2cos 𝑧 𝑑𝑧
3
√2sin 𝑧 = 𝑥
sin 𝑧 =𝑥
3√2=
3√2
2
3
𝑧
√9 + 2𝑥2
√2𝑥
v
-
BAB 6
INTEGRAL PARSIAL/BAGIAN
Jika pengintergralan dengan substitusi tidak berhasil, maka menggunakan integral
parsial. Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil dua
fungsi.
Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan.
d (uv) = u. dv + v du
u dv = d (uv) – v du
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Catatan :
1. Integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi 2 bagian u, du, dx dan dv.
2. Yang dipilih dv harus yang dapat segera diintegrasi.
3. ∫ 𝑣 𝑑𝑢 tidak boleh lebih sulit dari pada ∫ 𝑢. 𝑑𝑣
Contohsoal :
1. ∫ 𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥
Mislakan : u = x dv = sin x du = dx v = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥
- ∫ 𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
= −𝑥. cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥
= −𝑥. cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐
2. ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥
Mislakan :u = x dv = cos x du = dx v = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥
- ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
= 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐
-
3. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
- ∫ sin 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
Mislakan : U = sin x dv = sin x du = cos x dx
v = ∫ sin 𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
- ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 − cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
= −sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥
=−sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) 𝑑𝑥
= −sin 𝑥. cos 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥
2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −sin 𝑥. cos 𝑥 + 𝑥 + 𝑐
2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1
2sin 2𝑥 + 𝑥 + 𝑐
2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1
2sin 2𝑥 + 𝑥 + 𝑐
∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −1
2.1
2sin 2𝑥 +
1
2𝑥 + 𝑐
= −1
4sin 2𝑥 +
1
2𝑥 + 𝑐
4. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥
Mislakan :U = sec x du = sec x tan x dx
dv = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 v = ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥
- ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = sec x tan x - ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥
= sec x tan x - ∫(𝑠𝑒𝑐2 − 1) sec 𝑥 𝑑𝑥
= sec x tan x - ∫(𝑠𝑒𝑐3 − sec 𝑥) 𝑑𝑥
= sec x tan x - ∫ 𝑠𝑒𝑐3 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥
= sec 𝑥 tan 𝑥 + |𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝑐
-
∫ 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 1
2{sec 𝑥 tan 𝑥 + |𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐}
= 1
2sec 𝑥 +tan 𝑥 +
1
2|𝑛| sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐}
-
BAB 7
INTEGRAL PECAHAN PARSIAL
- Sebuahfungsi f (x) =𝑓 (𝑥)
𝑔 (𝑥), dimana f (x) dan g(x) adalah polonomial
Disebutpecahanrasional
Jika :
- derajat f(x) lebihkecildariderajat g(x), f(x) disebutnaik.
- Derajat f(x) lebihbesardariderajat g(x), f(x) disebuttidaknaik.
Contohsoal :
1. Factor linear yang berlainan
1. ∫𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐2𝑠𝑒𝑐2−4
a. Uraianpenyebutnya𝑥2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
= 1
𝑥2−4=
𝐴
𝑥−2+
𝐵
𝑥+2 hilangkan pecahan sehingga diperoleh :dikalikan (x-
2)(x+2)3
I = A (x+2)+B (x-2)
b. Tentukankonstanta A dan B
Nilai-nilai yang diperolehadalahnilai x yang
menyebabkanpenyebutdalampecahanparcialmenjadi0 ;yaitu x = -2 dan x = 2
Subtitusi
X= -2 x = 2
I = A (x+2)+B (x-2) I = A (x+2)+B (x-2)
I = A (-2+2)+B (-2-2) I = A (2+2)+B (2-2)
I = -4 B I = 4 B
B =- 1
4 B =
1
4
-
c. 1
𝑥2−4=
𝑎
x−2+
𝑏
x+4 jadi
=
1
4
x−4+
1
4
x+4
2. Carilah∫(𝑥+1)
𝑥3+𝑥2−6𝑥𝑑𝑥
a. 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 6)
= x (x − 2)(𝑥 + 3)
- (𝑥+1)
𝑥3+𝑥2−6𝑥=
𝑥+1
𝑥3+𝑥2−6𝑥=
𝑎
x+
𝑏
x−2+
𝑐
x+3
X + 1 = 𝑎(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝑏𝑥(𝑥 + 3) + 𝑐𝑥(𝑥 − 2
b. X = 0 x = 2 x = -3
X = 0
I = -6a a(0-2)(0+3)+b.0(0+3)+c.0(0-2)
A =- 1
6 -2 a. 3 a = -6a
X = 2
X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)
2+1 = a(2-2)(2+3)+bx(2+3)+cx(2-2)
3 = a. 0. 6 + 2b (5) + 2c.0
3 = 10 b
10b = 3
B = 3
10
X = -3
X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)
-3+1 = a(-3-2)(-3+3)+bx(-3+3)+cx(-3-2)
-2 = 5. 0. 6 + -3b. 0 + 15c
-2 = 15c
15 c = -2
∫𝑑𝑥
𝑥2 − 4=
1
4∫
𝑑𝑥
x − 4−
1
4∫
𝑑𝑥
x + 4
=1
4|𝑛|𝑥 − 2 |−
1
4| 𝑛|𝑥 + 2| + 𝑐
-
c = −2
15
c. ∫(𝑥+1)
𝑥3+𝑥2−6𝑥 𝑑𝑥 =
−1
6∫
𝑑𝑥
x+
3
10−
2
15∫
𝑑𝑥
x+3
= −1
6|𝑛|𝑥|+|𝑛|𝑥 − 2| −
2
15|𝑛|𝑥 + 3| + 𝑐
3. Faktor Linear yang berulang
- Untuk factor yang tidakdapatdireduksi𝑎2 + bx − 𝑐 yang muncul sekali
dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parcial
tunggal berbentuk 𝑎𝑥+𝑏
𝑎𝑥2+b+𝑐 dimana A dan B adalah konstanta :
Yang harusditentukan
1. ∫𝑥3+𝑥2+𝑥+2
𝑥4+3𝑥2+2
Lanjutanlatihansoal integral parsial
4. ∫ 𝑥 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
5. ∫ 𝑥 𝑒x 𝑑𝑥
∫(3𝑥 + 5)
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑢 = 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑢 = 1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 1
2𝑥2
-
6. ∫ 𝑒x cos 𝑥 𝑑𝑥
7. ∫ 𝑥2 𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
8. ∫ 𝑥2 sin 𝑥
9. ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒x 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑒x 𝑑𝑥 = 𝑒x
𝑢 = 𝑒x 𝑑𝑢 = 𝑒x 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑣 = sin 𝑥
𝑢 = in x 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥=
1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 =1
3𝑥3
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2x dx
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑣 = − cos 𝑥
𝑢 = x 𝑑𝑢 = dx
𝑑𝑣 = √1 + 𝑥 𝑣 = ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥 =2
3(1 + 𝑥)
3
2 = ∫(1 + 𝑥)1
2
-
BAB 8
INTEGRAL TERTENTU
- Definisi : integral tertentudarisudutfungsi f (x) terhadap x
Dari x = a hingga x = b
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎
𝑏= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) F = anti turunan f
- Sifat-sifat :
1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎= 0
2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
3. ∫ 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎 c = konstanta
4. ∫ [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔 (𝑥)] =𝑏
𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑎∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
5. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐
𝑎= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Contoh :
1. ∫ 2𝑥 𝑑𝑥2
1
2. ∫ 3 𝑑𝑥4
0
3. ∫ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑥2
0
4. ∫1
𝑥3
2
1𝑑𝑥
5. ∫ √𝑥13
0𝑑𝑥
6. ∫ (2𝑥2 − 𝑥31
−1)𝑑𝑥
7. ∫𝑑𝑥
x+2
−10
−6
8. ∫ (8
1𝑥
1
3 + 𝑥4
3)𝑑𝑥
-
9. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋
20
10. ∫ (sin 𝑥 − cos 𝑥) 𝑑𝑥𝜋
0
11. ∫ 2 sin 2 𝑥 𝑑𝑥𝜋
2𝜋
4
12. ∫ 3 sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋
0
13. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥3
4𝜋𝜋
2
14. ∫𝑑𝑥
𝑥2−9
2
−1
15. ∫ sin2𝜋
0
1
2𝑡 𝑑𝑡
16. ∫ 2(2
1𝑥2 − 1)
-
BAB 9
LUAS DAERAH BIDANG RATA
A. DAERAH DIATAS SUMBU X
Jika y = f (x) menentukanpersamaansebuahkurvapadabidang x y
danjikakontinudantidak negative padaselang (interval) a cx < b lihatlahdaerah R yang
dibatasiolehgrafik-grafikdari y=f(x) x=a, x=b dan y=0.
Terlihatbahwa R terletakdibawah y=f(x) antara x=0 dan y=b denganluasdaerah, A(R)
ditentukanoleh:
A(R) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎
𝑏
Contohsoal :
- Tentukanluasdaerah R dibawahkurva 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2 antara x=-1 dan x=2
A(R) = ∫ (𝑥4 − 2𝑥3 + 2)𝑑𝑥2
−1 = (3
2
5−
16
3+ 4) =
51
10 satuan luas atau satuan
kuadrat
= (𝑥5
5−
𝑥4
2+ 2𝑋)
B. Daerah dibawahsumbu x
Luasdinyatakanolehbilangan yang tidak negative Jikagrafik y=f(x)
terletakdibawahsumbu x, maka∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎 adalah bilangan negatif, sehingga tidak
-
dapat menggambarkansuatuluas. Akan tetapibilanganituadalah negative
untukluasdaerah yang dibatasioleh y=f(x), x=a, x=b, dan y=0.
Contohsoal :
- Tentukanluasdaerah R yang dibatasioleh𝑥2
3− 4
Sumbu x. X=-2 dan x=3
- A(R) = ∫ (𝑥2
3− 4) 𝑑𝑥 =
3
−2∫ (−
𝑥2
3− 4) 𝑑𝑥
3
−2
= [−𝑥3
9+ 4𝑥] = [−
27
9+ 12] − [
8
9− 8] =
145
9
Y = 0
Y = 𝑥2
3=
12
3
X=0
Y=-4
C. Luasdaerah yang terletakdibawahfungsi y=f(x), diatassumbu x dandiantara x=a
hingga x=b, dapatdicaridengancara.
Membagidaerahdari x=a hingga x=b menjadi n bagian.
Luassetiappersegipanjangadalahf(xk) ∆k x.
Jadijumlah n buahpersegipanjang yang didekatiadalah:
∑ 𝐹 (𝑋𝑘)𝑛𝑘=1 ∆𝑘 𝑥 limit dari jumlah ini adalah ∫ 𝑓(𝑥)𝑎
𝑏𝑑𝑥 yang merupakan luas dari
daerah tersebut.
Jikasuatudaerahdibatasiolehfungsi f(x) dan g(x), makaluasdaerahtersebut.
-
Latihansoal :
1. Cariluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑥2 sumbu x dari x = 1 sampai x =
3.
2. Carilahluas yang terletakdiatassumbu x dandibawahparabola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2.
3. Carilahluas yang dibatasioleh parabola 𝑥 = 8 + 2𝑦 − 𝑦2, sumbu y garis y = -
1 dan y = 3
4. Carilahluas yang dibatasi parabola 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6
Sumbu x dangaris x = 2 dan x = 6
5. Carilahluaskurva𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 dan sumbu x.
6. Carilahluas yang dibatasi parabola 𝑥 = 4 − 𝑦2 dan sumbu y.
7. Carilahluaspotonganterkecildarilingkaran𝑥2 + 𝑦2 = 25 oleh garis x = 3.
8. Carilahluas yang dibatasioleh parabola 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
9. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2
Sumbu x = 0 dan x = 1.
10. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehgaris𝑦 =1
4𝑥 − 2 sumbu x
Garis x = 4 dansumbu y.
11. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑓(𝑥) = − sin 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
Dan sumbu x.
12. Tentukanluas yang dibatasikurva𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2, garis x = 0 dan diatas garis y
= 1.
-
BAB 10
VOLUME BENDA PUTAR
Benda putardibentukdenganmemutarsuatubidangdaftarsekelilingsebuahgaris yang
disebutsumbuputarpadabidangdatar.
Volume bendaputar yang terbentukolehperputarankurva y =
f(x) mengelilingisumbux ,dari x = a, sampai x = b.
Diperolehdengan :
- Membagidaerahmenjadi n bagianpersegipanjang
(gambardiatas) masing-masingdenganlebar Δ x.
- Jikadiputarmengelilingisumbu x makaakanterbentukcakramdenganjari-jari y
dantinggi Δ x.
Sehingga volume untuksetiapcakramadalah𝜋 𝑦2𝛥 𝑥
Maka volume bendaputar∫ 𝜋 𝑦2𝑑𝑥 =𝑏
a∫ 𝜋 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
a
Jikadaerahdibatasiolehfungsi f (x) dan g(x), maka volume daerahtersebut.
∫ 𝜋 [𝑦2(𝑥) − 𝑔2(𝑥)]𝑑𝑥𝑏
a
Apabiladaerahdiputarmengelilingisumbu y,
makadigunakanmetoderumahsiputdenganrumus :
𝑣 = 2𝜋 ∫ 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑏
a
-
Contoh :
1. Carilah volume bendaputar yang terbentukolehperputarandaerahdikuadran 1 yang
dibatasioleh parabola 𝑦2 = 8𝑥 dan latus rectumnnya (x = 2) sekeliling sumbu x.
2. Carilah volume benda yang terbentukkarenaperputarandaerah yang dibatasi
Oleh𝑦2 = 8𝑥 , latus rectum (x = 2) sekeliling latus rectum.
3. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutarellips.
4. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutardaerahantara𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
Dan y = 0 mengelilingisumbu y.
5. Carilah volume benda yang dibatasiolehkurva𝑦 =1
√𝑥
sumbu x garis x = 1 dangaris x = 4 diputarmengelilingisumbu y.
6. Tentuka volume bendaputar, jikadibatasiolehgrafik𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2sumbu x
dansumbu y diputar 360⁰ terhadapsumbu x dansumbu y.
7. Hitung volume bendaputar yang dibatasiolehkurva𝑦 = 𝑥2 sumbum x,0 ≤ 𝑥 ≤ 2
diputar terhadap sumbu x.
8. Hitung volume bendaputar yang terbentukjikadaerah yang dibatasiolehkurva𝑦 =
𝑥2
Dan 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 diputar terhadap sumbu x.
-
BAB 11
PANJANG BUSUR
Jika A (a,c) dan B(b,d) duatitik yang terletakpadakurva y = f(x) dengan f(x)
danturunannya f’(x) masing-masing continue dalamselang a ≤ x ≤ b.
Makapanjangbusur AB adalah :
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏
= ∫ √1 + (𝑑𝑦
𝑑𝑥)2𝑑𝑥
𝑎
𝑏
JikaA(a,c) dan B(b,d) duatitikpadakurva x=g(y) dengan g(y)
danturunannya g’(y), masing-masing continue dalamselang c ≤ x ≤ d makapanjangbusur
AB adalah.
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏
= ∫ √1 + (𝑑𝑦
𝑑𝑥)2𝑑𝑥
𝑑
𝑐
Jika A (U=U₁) dan B (U=U₂) duatitikpadakurva yang
didefinisikandenganpersamaanparameter
X = f(u) dan y = g(u)
Makapanjangbusur AB adalah.
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠𝑎𝑏
= ∫ √(𝑑𝑥
𝑑𝑢)2 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑢)2𝑑𝑢
𝑈₁
𝑈₂
Contohsoal :
1. Caripanjangbusurkurva𝑦 = 𝑥3
2dari x = 0 sampai x = 5
2. Caripanjangbusurkurva𝑥 = 𝑡2 𝑦 = 𝑡3dari t = 0 sampai t = 4
3. Caripanjangbusurkurva𝑥 = 3𝑦3
2 − 1 dari y = 0 sampai y = 4
-
4. Tentukanpanjanggarisdenganpersamaan y = x+1 x = 1 sampai x = 5
BAB 12
INTEGRAL RANGKAP
0 Merupakandaerahtertutuppadabidang x ◦y
Yang dibatasikurvatertutup c
Daerah D dibagimenjadi n daerah
Daerah bagianke-I (I = 1, 2, …)denganluas ∆
-
Titik A (xi, yi) merupakansebarangtitik
Dalambagiandaerahke-i
Sedangkan di adalah diameter yang terpanjang
Padadaerahbagianke-i
Ditentjumlah
∑ 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∆𝑖 𝐴 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∆2 𝐴 + 𝑓(𝑥2, 𝑦2)∆2 𝐴 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)∆𝑛 𝐴
Jikalim𝑛→0
∑ f(xi, yi) ∆𝑖 𝐴𝑛𝑖=1 ada , maka limit itu ditulis :
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = lim𝑛→∞
∑ f(xi, yi) ∆𝑖 𝐴
𝑛
𝑖=1
Contohsoal :
1. ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑥
𝑥21
0𝑑𝑥 =
1
6
2. ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥2+𝑥
2𝑥2−2
2
−1=
9
4
3. ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦) 3𝑦
𝑦
2
1𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 14
4. ∫ ∫ (2𝑥 + 3𝑦) 2
1
3
0𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
45
2
5. ∫ ∫ (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦3
0
2
1=
45
2
6. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦4
0
8
0=
128
3+ 128 =
896
3
7. ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦3
0
2
1= 9
8. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦2
1
4
2=
70
3
9. ∫ ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑦2
1
1
0= 1
10. ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦8−𝑦
𝑦
4
2=
32
3
-
11. ∫ ∫ (𝑦 + 𝑦3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 √𝑥
𝑥
1
0=
70
60
12. ∫ ∫𝑦
3
20
2
1
𝑥
𝑦2𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
3
4
13. ∫ ∫ 𝑥𝑥
𝑥21
0𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1
40
14. ∫ ∫ 𝜌34𝑐𝑜𝑠ѳ
2
𝜋2
0𝑑𝜌 𝑑ѳ = 10𝜋
15. ∫ ∫ 𝜌𝑐𝑜𝑠ѳ
0
𝜋
0𝑠𝑖𝑛ѳ 𝑑𝜌 𝑑ѳ =
1
3