316 SOLUCIONARIO
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rupo
Edi
toria
l Bru
ño, S
.L.
11 Aplicaciones de las derivadas
■ Piensa y calcula
Dada la gráfica de la función f(x) = representada en el margen, halla los máximos y
los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Solución:
Máximo relativo: O(0, 0)
Mínimo relativo: B(2, 4)
Creciente (�): (–@, 0) � (2, +@)
Decreciente (�): (0, 1) � (1, 2)
x2
x – 1
1. Máximos, mínimos y monotonía
1. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de las siguientes funciones:
a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 3x4 – 4x3
Solución:
a) y' = 3x2 – 6x
y' = 0 ò x = 0, x = 2
Máximo relativo: A(0, 3)
Mínimo relativo: B(2, –1)
Creciente (�): (–@, 0) � (2, +@)
Decreciente (�): (0, 2)
b) y' = 12x3 – 12x2
y' = 0 ò x = 0, x = 1
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(1, –1)
Creciente (�): (1, +@)
Decreciente (�): (–@, 1)
2. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
Solución:
a) y' =
y' = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo: A(–1, –2)
Mínimo relativo: B(1, 2)
Creciente (�): (–@, –1) � (1, +@)
Decreciente (�): (–1, 0) � (0, 1)
b) y' = –
y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo:A(0, 3)
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente (�): (–@, 0)
Decreciente (�): (0, +@)
3. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función: y =
Solución:
y' = y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(0, 2)
Creciente (�): (0, +@)
Decreciente (�): (–@, 0)
4. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función: y = (2 – x)ex
x
√x2 + 4
√x2 + 4
6x(x2 + 1)2
x2 – 1x2
3x2 + 1
x2 + 1x
● Aplica la teoría
Y
y = —x2
x – 1
X
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 317
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toria
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ño, S
.L.
6. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:
a) y = x3 – 9x2 + 27x – 26 b) y = –x3 + 3x2 – 2
Solución:
a) y' = 3x2 – 18x + 27
y'' = 6x – 18
y'' = 0 ò x = 3
y''' = 6
y'''(3) = 6 ≠ 0
Punto de inflexión:A(3, 1)
Convexa («): (3, +@)
Cóncava (»): (–@, 3)
b) y' = –3x2 + 6x
y'' = –6x + 6
y'' = 0 ò x = 1
y''' = –6
y'''(1) = –6 ? 0
Punto de inflexión:A(1, 0)
Convexa («): (–@, 1)
Cóncava (»): (1, +@)
7. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
Solución:
a) y' = –
y'' =
y'' = 0 ò x = 0
y''' = –
y'''(0) = –6 ? 0
Punto de inflexión: O(0, 0)
Convexa («): (–1, 0) � (1, +@)
Cóncava (»): (–@, –1) � (0, 1)
b) y' =
y'' = 6x(x2 – 3)(x2 + 1)3
3(1 – x2)(x2 + 1)2
6(x4 + 6x2 + 1)(x2 – 1)4
2x(x2 + 3)(x2 – 1)3
x2 + 1(x2 – 1)2
3xx2 + 1
xx2 – 1
● Aplica la teoría
■ Piensa y calcula
Dada y = representada en el margen, halla los puntos de inflexión y los intervalos
de concavidad y convexidad.
Solución:
Punto de inflexión: O(0, 0)
Convexa («): (–@, 0)
Cóncava (»): (0, +@)
2x
√x2 + 1
2. Puntos de inflexión y curvatura
Y
f(x) = —2x√x2 + 1
X
Solución:
y' = (1 – x)ex y' = 0 ò x = 1
Máximo relativo:A(1, e)
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente (�): (–@, 1)
Decreciente (�): (1, +@)
5. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función en (0, 2π):
y = – sen x
Solución:
y' = 1/2 – cos x
y' = 0 ò x = π/3, x = 5π/3
Máximo relativo: A ,
Mínimo relativo: B ,
Creciente (�): (π/3, 5π/3)
Decreciente (�): (0, π/3) � (5π/3, 2π)
)π – 3√—3
6π3(
)5π + 3√—3
65π3(
x2
318 SOLUCIONARIO
y'' = 0 ò x = – , x = 0, x =
y''' = –
y'''(– ) = 9/16 ? 0
y'''(0) = –18 ? 0
y'''( ) = 9/16 ? 0
Punto de inflexión:
A(– , –3 /4), O(0, 0), B( , 3 /4)
Convexa («): (– , 0) � ( , +@)
Cóncava (»): (–@, – ) � (0, )
8. Calcula los puntos de inflexión y determina la curva-tura de la función y = xex
Solución:
y' = (x + 1)ex
y'' = (x + 2)ex
y'' = 0 ò x = –2
y''' = (x + 3)ex
y'''(–2) = 1/e2 ? 0
Punto de inflexión:A(–2, –2/e2)
Convexa («): (–2, +@)
Cóncava (»): (–@, –2)
9. Calcula los puntos de inflexión y determina la curva-tura de la función y = L (x2 + 4)
Solución:
y' =
y'' = –
y'' = 0 ò x = –2, x = 2
y''' =
y'''(–2) = 1/8 ≠ 0
y'''(2) = –1/8 ≠ 0
Punto de inflexión:A(–2, 3 L 2), B(2, 3 L 2)
Convexa («): (–2, 2)
Cóncava (»): (–@, –2) � (2, +@)
10. Calcula los puntos de inflexión y determina la curva-tura de la función y = sen x cos x en (0, 2π)
Solución:
y' = –1 + 2 cos2 x
y'' = –4 sen x cos x
y'' = 0 ò x = π/2, x = π, x = 3π/2
y''' = 4(1 – 2 cos2 x)
y'''(π/2) = 4 ? 0
y'''(π) = –4 ? 0
y'''(3π/2) = 4 ? 0
Punto de inflexión:A(π/2, 0), B(π, 0), C(3π/2, 0)
Convexa («): (π/2, π) � (3π/2, 2π)
Cóncava (»): (0, π/2) � (π, 3π/2)
4x(x2 – 12)(x2 + 4)3
2(x2 – 4)(x2 + 4)2
2xx2 + 4
√3√3
√3√3
√3√3√3√3
√3
√3
18(x4 – 6x2 + 1)(x2 + 1)4
√3√3
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente los límites siguientes:
a) b) c)
Solución:
a) 2 b) +@ c) 0
xexlím
x8+@
3x2 + 1
√xlím
x8+@
x2 – 1x – 1
límx81
4. Regla de L’Hôpital
320 SOLUCIONARIO
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toria
l Bru
ño, S
.L.
14.
Solución:
= = = 1
15.
Solución:
= = = 0
16. x Lx
Solución:
x L x = [0 · (–@)] = = =
= = (–x) = 0
17. x
Solución:
x = [1@] = e( L x)
= e( )
= e–1 = 1/e
18.
Solución:
= = = =
= = = = 1/6cos x
6límx80]0
0[sen x6xlím
x80
]00[1 – cos x
3x2límx80]0
0[x – sen xx3lím
x80
x – sen xx3lím
x80
1/x1 – xlím
x81
11 – xlím
x81
11 – xlím
x81
11 – xlím
x81
límx80+
1—x1
– —x2
límx80+
]–@@[L x
1x
límx80+
límx80+
límx80+
1
2ex√x + 1lím
x 8+∞]@@[√x + 1
exlímx 8+∞
√x + 1exlím
x8+@
cos x1lím
x80]00[sen x
xlímx80
sen xx
límx80
● Aplica la teoría
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 321
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ño, S
.L.
19. (cotg x)sen x
Solución:
(cotg x)sen x = [@0] = e(sen x L cotg x)
=
= e = e = e =
= e0 = 1
20. xsen x
Solución:
xsen x = [00] = e(sen x L x)
= e =
= e = e = e =
= e0 = 1
21. –
Solución:
( – ) = [@ – @] = =
= = = +@
22. xx
Solución:
xx = [00] = ex L x
= e = e =
= e(–x)
= e0 = 1
23. (sen x)x
Solución:
(sen x)x = e[x L sen x]
= e =
= e = e = e =
= e = e0 = 1
24. e–x
Solución:
e– x = [0 · @] = = [ ] =
= = 01
2ex√xlím
x 8+∞
@@
√xexlím
x 8+∞√xlím
x 8+∞
√xlímx8+@
01
2x cos x – x2 sen xcos x
límx80+
x2 cos xsen x
límxÆ0+
cos x/sen x–1/x2lím
x80+
L sen x1/xlím
x80+lím
x80+límx 80+
límx80+
límx80
1/x–1/x2lím
x80
L x1/xlím
x80límx80lím
x80
límx80
23 – —
xx – 1
L x + —x
límx81+]0
0[
3x – 3 – 2L x(x – 1)L xlím
x81+
2x – 1
3L xlím
x81+
)2x – 1
3L x(lím
x81+
–2 sen x cos xcos x – x sen xlím
x80
–sen2 xx cos x
límx80
1/x–cos x/sen2 x
límx80
L x1/sen xlím
x80límx80lím
x80
límx80
sen xcos2 x
límx80
–cosec2 x/cotg x–cos x/ sen2 x
límx80
L cotg x1/sen xlím
x80
límx80lím
x80
límx80
326 SOLUCIONARIO
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ño, S
.L.
Ejercicios y problemas
1. Máximos, mínimos y monotonía
34. Identifica en las siguientes gráficas los máximos y losmínimos relativos y los intervalos donde la función escreciente y decreciente:
a)
b)
Solución:
a) Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(2, –2)
Creciente (�): (2, +@)
Decreciente (�): (–@, 2)
b) Máximo relativo: O(0, 0)
Mínimo relativo:A(–1, –1), B(1, –1)
Creciente (�): (–1, 0) � (1, +@)
Decreciente (�): (–@, –1) � (0, 1)
35. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de las siguientes funciones:
a) y = x5 – x b) y = 2x3 + 3x2 – 12x
Solución:
a) y' = x4 – 1
y' = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo:A(–1, 4/5)
Mínimo relativo: B(1, –4/5)
Creciente (�): (–@, –1) � (1, +@)
Decreciente (�): (–1, 1)
b) y' = 6x2 + 6x – 12
y' = 0 ò x = –2, x = 1
Máximo relativo:A(–2, 20)
Mínimo relativo: B(1, –7)
Creciente (�): (–@, –2) � (1, +@)
Decreciente (�): (–2, 1)
36. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
Solución:
a) y' =
y' = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(–1, 2), B(1, 2)
Creciente (�): (–1, 0) � (1, +@)
Decreciente (�): (–@, –1) � (0, 1)
b) y' = –
y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo: O(0, 0)
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente (�): (–@, –3) � (–3, 0)
Decreciente (�): (0, 3) � (3, +@)
37. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función:
y =
Solución:
y' =
y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo:A(0, 2 )
y'(x) no existe en los valores x = –2, x = 2
Mínimo relativo: B(–2, 0), C(2, 0)
Creciente (�): (–2, 0) � (2, +@)
Decreciente (�): (–@, –2) � (0, 2)
38. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función:
y =
Solución:
y' =
y' = 0 ò x = 1
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(1, e)
ex(x – 1)x2
ex
x
3√2
4x
3√x2 – 4
3√(x2 – 4)2
18x(x2 – 9)2
2(x4 – 1)x3
x2
x2 – 9x4 + 1
x2
15
Y
X
g(x)
Y
X
f(x)
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 327
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ño, S
.L.
Creciente (�): (1, +@)
Decreciente (�): (–@, 0) � (0, 1)
39. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la siguiente función:
y = L (x2 + 1)
Solución:
y' =
y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo: O(0, 0)
Creciente (�): (0, +@)
Decreciente (�): (–@, 0)
40. Calcula los máximos y los mínimos relativos, y determi-na la monotonía de la siguiente función en (0, 2π):
y = x + cos x
Solución:
y' = 1/2 – sen x
y' = 0 ò x = π/6, x = 5π/6
Máximo relativo:A ,
Mínimo relativo: B ,
Creciente (�): (0, π/6) � (5π/6, 2π)
Decreciente (�): (π/6, 5π/6)
2. Puntos de inflexión y curvatura
41. Identifica en las siguientes gráficas los puntos de infle-xión y los intervalos de concavidad y convexidad:
a) b)
Solución:
a) Punto de inflexión:A(1, –1)
Convexa («): (–@, –1)
Cóncava (»): (–1, +@)
b) Punto de inflexión: O(0, 0)
Convexa («): (–1, 0) � (1, +@)
Cóncava (»): (–@, –1) � (0, 1)
42. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade las siguientes funciones:
a) y = 3x5 – 5x3 b) y = x4 – x3 – 2
Solución:
a) y' = 15x4 – 15x2
y'' = 60x3 – 30x
y'' = 0 ò x = – /2, x = 0, x = /2
y''' = 180x2 – 30
y'''(– /2) = 60 ? 0
y'''(0) = –30 ? 0
y'''( /2) = 60 ? 0
Punto de inflexión:
A(– /2, 7 /8), O(0, 0), B( /2, –7 /8)
Convexa («): (– /2, 0) � ( /2, +@)
Cóncava (»): (–@, – /2) � (0, /2)
b) y' = x3 – 3x2
y'' = 3x2 – 6x
y'' = 0 ò x = 0, x = 2
y''' = 6x – 6
y'''(0) = –6 ? 0
y'''(2) = 6 ? 0
Punto de inflexión:A(0, –2), B(2, –6)
Convexa («): (–@, 0) � (2, +@)
Cóncava (»): (0, 2)
43. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade las siguientes funciones:
a) y = b) y =
Solución:
a) y' =
y'' = –
y'' = 0 ò x = – /3, x = /3
y''' =
y'''(– /3) = 27 /16 ? 0
y'''( /3) = –27 /16 ? 0
Punto de inflexión:
A(– /3, 1/4), B( /3, 1/4)
Convexa («): (– /3, /3)
Cóncava (»): (–@, – /3) � ( /3, +@)√3√3
√3√3
√3√3
√3√3
√3√3
24x(x2 – 1)(x2 + 1)4
√3√3
2(3x2 – 1)(x2 + 1)3
2x(x2 + 1)2
x2 – 2x2 – 1
x2
x2 + 1
√2√2
√2√2
√2√2√2√2
√2
√2
√2√2
14
Y
X
f(x)
Y
X
f(x)
)5π – 6√—3
125π6(
)π + 6√—3
12π6(
12
2xx2 + 1
328 SOLUCIONARIO
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.L.
Ejercicios y problemas
b) y' =
y'' = –
y'' ? 0
Puntos de inflexión: no tiene.
Convexa («): (–1, 1)
Cóncava (»): (–@, –1) � (1, +@)
44. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la siguiente función:
y =
Solución:
y' = –
y'' = –
y'' ? 0
Puntos de inflexión: no tiene.
Convexa («): ÖCóncava (»): (–2, 2)
45. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la siguiente función:
y = e–x2
Solución:
y' = –2x e–x2
y'' = (4x2 – 2)e–x2
y'' = 0 ò x = – /2, x = /2
y''' = 4x(3 – 2x2)e–x2
y'''(– /2) = 4 / ? 0
y'''( /2) = –4 / ? 0
Punto de inflexión:A(– /2, 1/ ), B( /2, 1/ )
Convexa («): (–@, – /2) � ( /2, +@)
Cóncava (»): (– /2, /2)
46. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la siguiente función:
y =
Solución:
y' =
y'' =
y'' = 0 ò x = e2
y''' =
y'''(e2) = – ? 0
Puntos de inflexión:A(e2, e2/2)
Convexa («): (1, e2)
Cóncava (»): (0, 1) � (e2, +@)
47. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la siguiente función en [0, 2π]:
y = x + 2 cos x
Solución:
y' = 1 – 2 sen x
y'' = –2 cos x
y'' = 0 ò x = π/2, x = 3π/2
y''' = 2 sen x
y'''(π/2) = 2 ? 0
y'''(3π/2) = –2 ? 0
Punto de inflexión: A(π/2, π/2), B(3π/2, 3π/2)
Convexa («): (π/2, 3π/2)
Cóncava (»): (0, π/2) � (3π/2, 2π)
18e4
–6 + L2 xx2 L4 x
2 – L xx L3 x
–1 + L xL2 x
xL x
√2√2
√2√2
√e√2√e√2
√e√2√2
√e√2√2
√2√2
4
(4 – x2)√4 – x2
x
√4 – x2
√4 – x2
2(3x2 + 1)(x2 – 1)3
2x(x2 – 1)2
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 329
4. Regla de L’Hôpital
Calcula los siguientes límites:
52.
Solución:
= = = =
= = –
53. x
Solución:
x = [00] = e( L x)
= e =
= e = e3
54. (1 – cos x) cotg x
Solución:
(1 – cos x) cotg x = [0 · @] = =
= = = 0
55. (1 + x)3/x
Solución:
(1 + x)3/x = [1@] = e = e =
= e = e3
56.(2 – x)ex – (2 + x)
x2límx80
31 + xlím
x80
31 + x
1límx80
3 L(1 + x)xlím
x80límx80
límx80
sen xsec2 x
límx80]0
0[1 – cos x
tg xlímx80
límx80
límx80
3/x1/xlím
x80
3 L x4 + L xlím
x80
34 + L xlím
x80
34 + L xlím
x80
34 + L xlím
x80
12
cos x4e2x – 2exlím
x80
]00[sen x
2(ex – 1)exlímx80]0
0[1 – cos x(ex – 1)2
límx80
1 – cos x(ex – 1)2
límx80
330 SOLUCIONARIO
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.L.
Ejercicios y problemas
Solución:
= =
= = =
= = 0
57. L x L (x – 1)
Solución:
L x L (x – 1) = [0 · (–@)] = =
= = = =
= (–L2 x – 2 L x) = 0
58. (sen x)tg x
Solución:
(sen x)tg x = [1@] = etg x L sen x
=
= e = e(–cos x sen x)
= 1
59. –
Solución:
– = [@ – @] =
= = =
= = =
= =
60. (ex + x3)
Solución:
(ex + x3) = [@0] = eL(ex + x3)
=
= e = e = e =
= e = e = e = eex
exlímx8+@
ex
ex + 6lím
x8+@
ex + 6ex + 6x
límx8+@
ex + 6xex + 3x2lím
x8+@
ex + 3x2
ex + x3límx8+@
L(ex + x3)x
límx8+@
1xlím
x8+@
1xlím
x 8+@
1xlím
x8+@
12
1L(1 + x) + 2lím
x80
]00[x
(x + 1) L (1 + x) + xlímx80
]00[)x – L(1 + x)
x L(1 + x)(límx80
)1x
1L(1 + x)(lím
x80
)1x
1L (1 + x)(lím
x80
límx80
L sen x1/tg xlím
x8π/2
límx8π/2lím
x 8π/2
límx8π/2
límx81
]00[x L2 x
–x + 1límx81
1—x – 1–1—
x L2 x
límx81
L(x – 1)1
L x
límx81
límx81
límx81
–ex – ex + (2 – x)ex
2límx80
]00[–ex + (2 – x)ex – 1
2xlímx80
]00[(2 – x)ex – (2 + x)
x2límx80
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 335
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73. Se considera la curva de ecuación y = x3 – 6x
Halla, si existen, las coordenadas de sus máximos y mí-nimos relativos.
Solución:
y' = 3x2 – 6
y'' = 6x
y' = 0 ò x = – , x =
Máximo relativo:A(– , 4 )
Mínimo relativo: B( , –4 )
74. Dada la función f(x) = x3 + x2 – 2x + 1
a) determina sus máximos y sus mínimos relativos.
b) calcula sus puntos de inflexión.
Solución:
f '(x) = x2 + x – 2
a) f '(x) = 0 ò x = –2, x = 1
Máximo relativo: A(–2, 13/3)
Mínimo relativo: B(1, –1/6)
b) f ''(x) = 2x + 1
f ''(x) = 0 ò x = –1/2
f '''(x) = 2
Punto de inflexión: C(–1/2, 25/12)
75. Determina los intervalos de crecimiento y decreci-miento de la función siguiente:
f(x) = 2x +
Solución:
f '(x) = 2 –
f '(x) = 0 ò x = –1/2, x = 1/2
Creciente (�): (–@, –1/2) � (1/2, +@)
Decreciente (�): (–1/2, 0) � (0, 1/2)
76. Dada la curva siguiente:
y =
calcula los máximos y mínimos relativos y los intervalosde crecimiento y decrecimiento de la función.
Solución:
f '(x) =
f '(x) = 0 ò x = 0
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(0, –1)
Creciente (�): (0, +@)
Decreciente (�): (–@, 0)
77. Dada la función siguiente:
f(x) =
determina sus máximos y mínimos relativos.
Solución:
f '(x) =
f '(x) = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo:A(1, 1/2)
Mínimo relativo: B(–1, – 1/2)
78. Sea la función f(x) = 2x2 – x3
Calcula:
a) las coordenadas de sus máximos y mínimos rela-tivos.
b) los intervalos donde es creciente y decreciente.
Solución:
f '(x) = 4x – x2
f '(x) = 0 ò x = 0, x = 4
Máximo relativo:A(4, 32/3)
Mínimo relativo: O(0, 0)
Creciente (�): (0, 4)
Decreciente (�): (–@, 0) � (4, +@)
13
1 – x2
(x2 + 1)2
xx2 + 1
4x(x2 + 1)2
x2 – 1x2 + 1
12x2
12x
12
13
√2√2
√2√2
√2√2
336 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Calcula los siguientes límites:
82.
Solución:
= = =
= = = =
= = –13
–cos x – cos x + x sen x6lím
x 80
]00[–sen x – x cos x
6xlímx 80]0
0[–x sen x
3x2límx 80]0
0[x cos x – sen xx3lím
x 80
x cos x – sen xx3lím
x80
83. –
Solución:
( – ) = [@ – @] = ( ) = =
= = =
= = 12)1
cos (x – 1) + cos (x – 1) – x sen (x – 1) – —x2
1 1 1– — sen (x – 1) + — cos (x – 1) + — cos (x – 1) – L x sen (x – 1)x2 x x
(límx 81
]00[)1
sen (x – 1) + x cos (x – 1) – —x
1— sen (x – 1) + L x cos (x – 1)x(lím
x 81
]00[x sen (x – 1) – L x
L x sen (x – 1)límx 81
1sen (x – 1)
xL xlím
x 81
)1sen (x – 1)
xL x(lím
x81
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 337
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84.
Solución:
= = =
Obsérvese que = 0
85. arc sen x cotg x
Solución:
arc sen x cotg x = [0 · @] = =
= = = 1
86. (cos x)
Solución:
(cos x) = [1@] = eL cos x
=
= e = e = e = e–
=
87. (cotg x)
Solución:
(cotg x) = [@0] = e =
= e = e =
= e = e–1 =
88.
Solución:
= = =
= = =
= + 1 = 3
89.tg x
Solución:tg x
= [@0] = etg x L(1/x)
= e =
= e = e = e2 sen x cos x
= e0 = 1
90. –
Solución:
– = [@ – @] = =
= = = =
= = 0
91.x
Solución:
x
= [1@] = ex L
=
= e = e = e2
92. (L x)x – 1
Solución:
(L x)x – 1 = [00] = e(x – 1) L (L x)
= e =
= e = e = e0 = 1
93. Calcula –
Solución:
– = [@ – @] =
= = =
= =
El límite no existe cuando x 8 0
0 si x 8 0+
No existe si x 8 0–°¢£
1 1—+ —2√—1 + x 2√
—1 – x
1—2√
—x
límx 80
]00[√
—1 + x – √
—1 – x
√xlím
x 80
)1√— – 1x
1√— + 1x(lím
x 80
)1√— – 1x
1√— + 1x(lím
x80
–2(x – 1)L x + 1lím
x81+
–(x – 1)2
x L xlím
x81+
L(L x)1
x – 1
límx81+lím
x81+límx 81+
límx81+
–8x2
–4x2 – 4x + 3lím
x8+∞
2x + 3L —
2x – 11—x
límx8+∞
2x + 32x – 1lím
x8+∞)2x + 32x – 1(lím
x 8+∞
)2x + 32x – 1(lím
x8+@
–sen xcos x + cos x – x sen xlím
x 80
]00[cos x – 1
sen x + x cos xlímx 80]0
0[sen x – xx sen xlím
x 80)1sen x
1x(lím
x 80
)1sen x
1x(lím
x80
límx80+
sen2 xxlím
x80+
–1/x–cosec2lím
x80+
–L xcotg xlím
x80+lím
x80+)1x(lím
x 80
)1x(lím
x80
)2cos3 x(lím
x 80
2 sec2 x tg x + sen xsen xlím
x 80]00[
sec2 x – cos x1 – cos xlím
x 80]00[tg x – sen x
x – sen xlímx 80
tg x – sen xx – sen x
límx80
1e
–1cos2 x – sen2 x
límx80+
–xsen x cos xlím
x80+
–x cosec2 xcotg xlím
x80+
L cotg xL xlím
x80+
1L xlím
x 80+
1L xlím
x80+
1
√e
12
–sec2 x2 cos 2 xlím
x80
–tg xsen 2xlím
x80
L cos xsen2 x
límx80
1sen2 x
límx80
1sen2 xlím
x 80
1sen2 xlím
x80
1—√—1 – x2
sec2 xlím
x 80]00[
arc sen xtg xlím
x 80lím
x 80
límx80
)3(L x)2
xlímx 8+∞(
12
13(L x)2—+ 2
x
límx 8+∞]@
@[x(L x)3 + 2x
límx 8+∞
x(L x)3 + 2x
límx8+@
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 339
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98. Sea la función f(x) = x + con x ? 0
a) Halla las coordenadas de sus máximos y mínimos re-lativos. Estudia la monotonía.
b) Determina los intervalos de concavidad y conve-xidad.
Solución:
a) f '(x) = 1 –
f '(x) = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo:A(–1, –2)
Mínimo relativo: B(1, 2)
Creciente (�):(–@, –1) � (1, +@)
Decreciente (�): (–1, 0) � (0, 1)
b) f ''(x) =
f ''(x) ≠ 0 para todo x
Punto de inflexión: no tiene.
Convexa («): (0, +@)
Cóncava (»): (–@, 0)
99. Dada la función f(x) = e , determina los intervalosde crecimiento y decrecimiento, y los extremos relati-vos de la función.
Solución:
f '(x) = e
f '(x) = 0 ò x = –1, x = 1
Máximo relativo:A(1, e)
Mínimo relativo: B(–1, 1/e)
Creciente (�): (–1, 1)
Decreciente (�): (–@, –1) � (1, +@)
100. Dada la función
f(x) = para x ? 0 y x ? 2,
determina los intervalos de crecimiento y decreci-miento de la función.
Solución:
f '(x) = –
f '(x) ? 0 para todo x
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente (�): ÖDecreciente (�): (–@, 0) � (0, 2) � (2, +@)
101. Sea f(x) = L
Determina los intervalos de crecimiento y decreci-miento de f
Solución:
Dom f = (– , 1/2) � ( , +@)√2√2
x2 – 22x – 1
3(3x2 – 2x + 2)x2(x – 2)2
9x – 3x2 – 2x
2xx2 + 12(1 – x2)
(x2 + 1)2
2xx2 + 1
2x3
1x2
1x
Problemas
340 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
f '(x) =
f '(x) ? 0 para todo x
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente (�): (– , 1/2) � ( , +@)
Decreciente (�): Ö
102. Dada la función f(x) = , calcula:
a) los máximos y los mínimos relativos.
b) los puntos de inflexión.
Solución:
a) f '(x) =
f '(x) = 0 ò x = – , x =
Máximo relativo:A( , 2 /9)
Mínimo relativo: B(– , –2 /9)
b) f ''(x) =
f ''(x) = 0 ò x = – , x =
f '''(x) =
f '''(– ) = 1/9 ? 0
f '''( ) = 1/9 ? 0
Puntos de inflexión:
C(– , –5 /36), D( , 5 /36)
103. Calcula los máximos y mínimos relativos de:
f(x) = –x L x
Solución:
f '(x) = –1 – L x
f '(x) = 0 ò x = 1/e
Máximo relativo:A(1/e, 1/e)
Mínimo relativo: no tiene.
104. Dada la función f(x) =
halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento dela función.
Solución:
f '(x) =
f '(x) = 0 ò x = 0, x = 4
Máximo relativo: O(0, 0)
Mínimo relativo:A(4, 8/9)
Creciente (�): (–@, –2) � (–2, 0) � (4, +@)
Decreciente (�): (0, 1) � (1, 4)
105. Sea la función f(x) = x |x – 1|2. Halla los extremos y lospuntos de inflexión de la función f
Solución:
f(x) = x�x – 1�2 = x(x – 1)2 = x3 – 2x2 + x
f '(x) = 3x2 – 4x + 1
f '(x) = 0 ò x = 1/3, x = 1
f ''(x) = 6x – 4
Máximo relativo:A(1/3, 4/27)
Mínimo relativo: B(1, 0)
f ''(x) = 0 ò x = 2/3
Punto de inflexión: C(2/3, 2/27)
106. Sea f(x) = e–x(x2 + 6x + 9). Halla los intervalos de creci-miento y decrecimiento.
Solución:
f '(x) = –(x2 + 4x + 3)e–x
f '(x) = 0 ò x = –3, x = –1
Máximo relativo:A(–, 4e)
Mínimo relativo: B(–3, 0)
Creciente (�): (–3, 1)
Decreciente (�): (–@, –3) � (1, +@)
107. Estudia el crecimiento de f(x) = ex(cos x + sen x) y determina los máximos y mínimos relativos parax é[0, 2π]
Solución:
f '(x) = 2ex cos x
f '(x) = 0 ò x = π/2, x = 3π/2
Máximo relativo:A , e
Mínimo relativo: B , –e
Creciente (�): (0, π/2) � (3π/2, 2π)
Decreciente (�): (π/2, 3π/2)
)3π23π
2()π
2π2(
x(x – 4)(x2 + x – 2)2
x2
x2 + x – 2
√6√6√6√6
√6
√6
6(10 – x2)x6
√6√6
2(x2 – 6)x5
√3√3
√3√3
√3√3
3 – x2
x4
x2 – 1x3
√2√2
2(x2 – x + 2)(x2 – 2)(2x – 1)
TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 345
123. Sea la función f(x) = sen x. Calcula la ecuación de la tan-gente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x =
Solución:
f '(x) = cos x
Punto:A(π/4, /2)
Recta tangente:
y – /2 = f '(π/4)(x – π/4)
y – /2 = /2(x – π/4)
y = /2(x – π/4 + 1)
124. Se considera la función siguiente:
f(x) = 1
4 – x2
√2
√2√2
√2
√2
π4