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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE BOGOTÁ FACULTAD DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PRE-‐PARCIAL 1, ÁLGEBRA LINEAL
1. De las siguientes proposiciones, decidir cuáles son verdaderas, cuáles son falsas. Justificando su respuesta. Demostrar las verdaderas.
a. Sean las matrices 𝐴 𝑦 𝐵 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces (𝐴 − 𝐵)!! =
𝐴!! − 𝐵!!. b. Sea la matriz 𝐴 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces (𝑐𝐴)!! = − !
!𝐴!!.
c. Sean las matrices 𝐴 𝑦 𝐵 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces (𝐴𝐵)! = 𝐵!𝐴! .
d. Sean las matrices 𝐴 𝑦 𝐵 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces (𝐴 + 𝐵)!! = 𝐴!! + 𝐵!!.
e. Sea la matriz 𝐴 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces (𝑐𝐴)!! = !!𝐴!!.
f. Sean las matrices 𝐴 𝑦 𝐵 de tamaño 𝑛×𝑛, con entradas reales entonces
(𝐴 + 𝐵)! = 𝐵! + 𝐴! .
2. Hallar los valores de ′′𝑎′′ para los cuales los siguientes sistemas tienen: solución única, infinitas soluciones y no tiene solución, justifique cada respuesta:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑥 + 2𝑦 + 𝑎! + 9 𝑧 = 𝑎 + 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5
3𝑥 + 2𝑦 + 4− 𝑎! 𝑧 = 𝑎 + 2
3. Para qué valores de "𝑎" la inversa de las siguiente matrices existe:
𝐴 =2 −1 0−1 −2 11 −2𝑎 −1
𝐵 =2 1 0−1 2𝑎 11 2 −1
4. Hallar el determinante y la inversa, de las siguientes matrices:
𝐵 =
−2 3 −1 −5 0 1 0 −1−1 0 −2 0 4 1 −1 1
𝐴 =
2 3 −1 −50 1 1 −11 0 2 −24 −1 −1 0
5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, de ser posible, por medio del método
de Cramer:
23 𝑥 + 𝑦 +
73 𝑧 = 1
−𝑥 − 2𝑧 = 0
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −32
23 𝑥 − 𝑦 +
73 𝑧 = −1
−𝑥 − 2𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −12
