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1MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2
1. CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
2. ECUACIÓN DE UN M.A.S.
3. CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S.
1. USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES COSENO Y SENO
2. EJEMPLOS EN DIFERENTES POSICIONES
4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
1. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD
2. CARACTERÍSTICAS DE LA ACELERACIÓN
3. VALORES MÁXIMOS
5. ESTUDIO DINÁMICO DEL M.A.S. - MUELLES
6. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DEL M.A.S.
7. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.
1. GRÁFICAMENTE
2. POSICIONES IMPORTANTES
8. EL PÉNDULO FÍSICO – OTRO EJEMPLO DE M.A.S.
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 3
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 4
x=-A x=0 x=Ax(t)
POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD
x(t)Elongación
Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas
Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa)
Amplitud – Valor máximo de separación de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (+)
Amplitud Elongación
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 5
)cos(wt2Aw2dt
x(t)2ddtdv(t)a(t)
nAceleració
)Awsen(wtdtdx(t)v(t)
Velocidad
)Acos(wtx(t)Posición
ρ
ρ
ρ
A-Amplitud (m)
w – Pulsación ó frecuencia angular (rad/s)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 6
posición la de al contrario siempre Signo
movimiento del sentido elcon coherenteser que tiene
inicial velocidadla de signo el fase, la ntecorrectame introduce se Si
)cos()(
:
)()(
:
)cos()(
:
2
wtAwta
naceleració
wtAwsentv
velocidad
wtAtx
posición
x=-A x=0 x=Ax(t)
v=0 v=MAX(+-) v=0
a=MAX(+) a=0 a=MAX(-)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 7
(m/s) 0x
equilibrio deposición lapor pasar al máxima es velocidadLa
0 v-A xóA x
movimiento del extremos losen nula es velocidadLa
su valor calcula solamente . velocidadla de signo el diferencia noexpresión Esta
max
22Awv(x)
Awv
x
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 6sen(πt/2) (en metros). a) ¿Cuánto valen la amplitud, el período? b) ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 1seg? ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 1,4seg? c) Si la masa de la partícula que oscila es de 2kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
![Page 9: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/9.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 9
x = 6sen(πt/2)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 4sen(πt + π) (en metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 0,5seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 2kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
![Page 11: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/11.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 11
x = 4sen(πt + π)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 12
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 3cos( 3πt + π/3) (en metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál su velocidad y aceleración para t = 3 seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 4kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
![Page 13: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/13.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 13
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 14
Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe la ecuación de la posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese punto (3cm).
22Awv(x) x
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 15
Una partícula se mueve a lo largo de una recta con m.a.s. En el punto x = 3 cm lleva una velocidad de 9 cm/s y en el punto x = 6 cm lleva una velocidad de 4 cm/s. Determina: a) la frecuencia y la velocidad angular, b) el período del movimiento, c) la amplitud de la vibración.
22Awv(x) x
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 16
Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 0,20 m; su aceleración vale 0,40 m/s 2 en un punto cuya elongación es -0,10 m. Determinar: a) las ecuaciones del movimiento suponiendo nula la fase inicial, b) el período de la oscilación, c) los instantes en que V y a se hacen máximas.
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 17
x=-A x=0 x=A x(t)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 18
x=-A x=0 x=A x(t)
v
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 19
x=-A x=0 x=A x(t)
v
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 20
x=-A x=0 x=A x(t)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 21
x=-A x=0 x=A x(t)
v
![Page 22: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/22.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 22
x=-A x=0 x=A x(t)
v
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 23
x=-A x=0 x=A x(t)
v
![Page 24: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/24.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 24
CARACTERÍSTICAS:
• SE PRODUCE SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA
•OSCILANDO ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
• ES PERIÓDICO (T)
•ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS QUE INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO. LAS FUERZAS RESTAURADORAS SON PROPORCIONALES A LA SEPARACIÓN CON RESPECTO A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 25
• SE PUEDE EXPRESAR INDISTINTAMENTE EN FUNCIÓN DEL COSENO O DEL SENO
• LA DIFERENCIA ESTÁ EN LA FASE A AÑADIR
• EXISTE SIEMPRE ENTRE ELLOS UNA DIFERENCIA DE FASE DE PI/2
• LA FASE DEPENDE DE LA POSICIÓN INICIAL Y DEL SENTIDO DEL MOVIMIENTO(VELOCIDAD)
• LA FASE PUEDE SUMARSE O RESTARSE, NORMALMENTE SE USAN FASES MENORES A PI
• LA FASE TIENE QUE GARANTIZAR QUE PARA t=0 LA PARTÍCULA SE ENCUENTRE EN LA POSICIÓN INICIAL, Y SE CALCULA DE LA SIGUIENTE FORMA:
A
xarAxt
wtAtx
)0(cos)cos()0(0
)cos()(
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 26
2max
2
wa -A xóA x
movimiento del extremos losen máxima esn aceleració La
0 0x
equilibrio deposición lapor pasar al nula esn aceleració La
)equilibrio elecuperar posición(r la de al contrario siempre esn aceleració la de signo El
M.A.S.) del stica(carácteríelongación la a alproporcion esn aceleració La
?a(x)
:posición la defunción en n Aceleració
)cos()( )cos()(
:celeración :
2w- a
A
a
wtAwtvwtAtx
aposición
x
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 27
2Aw máximoValor
A máxima esposición la cuando produce Se
máximan Aceleració
Aw máximoValor
o)(equilibri 0 xesposición la cuando produce Se
máxima Velocidad
A máximoValor
máximaPosición
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 28MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 28
-kx(t)F(x) elongación la a alproporcion Es
:ticasCaracterís
)(k F(x)
)(wm F(x)
amF2
tx
tx
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 29
.equilibrio deposición la de rarecuperado fuerza una Es
elongación la a contraria siempre es fuerza la que indica menos signo El
k(N/m) de Unidades
muelle del elástica constante llama sek , de caso elen
movimiento del rarecuperado constante la esk donde
elongación la a alproporcion Es
:ticasCaracterís
)(k F(x)
)(wm F(x)
amF
2mwk
-kx(t)F(x)
2
muelles
tx
tx
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 30
k
m2T
m
k w mw k
(N/m) (muelles) rarecuperado Constante -k
2 ;21
))((s movimiento del Frecuencia - f
(s) moviento del Periodo - T
(rad/s) angular frecuencia/ Pulsación - w
2
1-
fwwf
T
Hz
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 31
Se hace oscilar verticalmente un cuerpo de masa 80 g que está colgado de un muelle en hélice de constante elástica 2 N/m. Si la amplitud de la oscilación es de 10 cm, ¿cuál será la expresión de su elongación en función del tiempo?
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 32
Al suspender un cuerpo de masa 300 g del extremo de un muelle que está colgado verticalmente, éste se alarga 20 cm. Si se tira del cuerpo 5 cm hacia abajo y se suelta, comienza a oscilar. Calcular el período del movimiento. ¿Cuál será la máxima velocidad que alcanzará?
![Page 33: 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2 1.CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. 2.ECUACIÓN DE UN M.A.S. 3.CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S. 1.USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061215/54aa249849795932478b4831/html5/thumbnails/33.jpg)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 33
Un cuerpo colgado de un muelle helicoidal realiza un movimiento armónico simple barriendo un espacio de 0.5 m. En una oscilación completa invierte 3.0 s. Calcula: La velocidad máxima del cuerpo. La velocidad del cuerpo 1.0 s después de pasar por el punto más bajo de su trayectoria. La aceleración máxima del cuerpo.
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 34
Un oscilador consta de un bloque de 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0, se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos. Halla: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, y g) la ecuación de movimiento (asumiendo que v(0) =0).
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 35
2212
21EcEpEm
221Ec
221Ep
Mecánica Energía
cinética Energía
elástica fuerza la de Trabajo
va)conservati - rarecuperado (fuerza elástica potencial Energía
mvkx
mv
kx
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 36
0Ec A x mínima cinética Energía2
1
2
1Ec 0 x máxima cinética Energía
)22(2
1)22(2
2
1
22A-wv(x)
:posición la defunción en cinética Energía
222max
kAAmw
xAkxAmwEc
x
0Ep 0 x mínima potencial Energía2
1
2
1Ep x máxima potencial Energía
22
1222
1
:posición la defunción en potencial Energía
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 37
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 38
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 41
Un bloque de 5 kg se cuelga de un resorte y éste se estira 18 cm. Más tarde el sistema se coloca en horizontal y se estira 7.5 cm y se suelta. Averigua: la constante elástica del muelle.la amplitud del movimiento. el período del movimiento.la energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. Ecuaciones del movimiento.
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 42
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 43
Un péndulo simple está constituido por una masa de 0.5 kg que cuelga de un hilo de 1.5 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 8º en un lugar con g = 9.8 m/s2, determina: período, ecuaciones del movimiento, su energía potencial máxima, su velocidad máxima.
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 44
La longitud de un péndulo es de 0.248 m y tarda 1 s en efectuar una oscilación completa de = 18º. Determina: g en ese punto, la velocidad máxima, la fuerza máxima de recuperación siendo m = 5 g. ¿Cuál sería el período de oscilación de este péndulo si lo llevamos a la Luna? gL =g/6
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 45
El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2 s cuando g=9.8 m/s2. Si la longitud del péndulo, L, se incrementa en un milímetro ¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?