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1
Teoría Atómica y Molecular
Mecánica Cuántica
Ileana Nieves Martínez
Física Clásica
Bien establecida a finales de siglo XIX
Mecánica Newtoniana Mecánica Newtoniana Ecuaciones de Lagrange y Hamilton
Termodinámica y Termodinámica Estadística
Teoría Cinético Molecular Teoría Cinético Molecular
Leyes de Electromagnetismo Diferenciales de Maxwell.
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2
Fallas de Física Clásica
Datos que no se pueden explicar por clásica Datos que no se pueden explicar por clásica
Interacción de radiación con la materia (no se siguen leyes de Maxwell)
Estructura atómica no sigue las leyes de Newton.
Teoría ondulatoria:
http://www.monos.leidenuniv.nl/smo/basics/images/wave.gif
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3
a x t a x t. cos 0 2
Trayectoria de una Onda
http://www.astronomynotes.com/light/emanim.gif
(1) Frecuencia , ( Periodo, ((1) Número de máx. sucesivos/tiempo =
(2) Tiempo que toma el paso de dos crestas = τ.http://www.astronomynotes.com/light/freqwavl.gif
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4
Resumen de Teoría ondulatoria:
Trayectoria de una Onda a x t a x t. cos 0 2
Frecuencia = núm. de máx. sucesivos/tiempo,
Periodo = tiempo que toma el paso de dos crestas, τ.
Velocidad de propagación
distanciav tiempo t
Teoría Electromagnética de Maxwell
õ (x,t) = õyE cos {2π (x/λ - νt)}
B (x,t) = BzE cos {2π (x/λ - νt)}
õ z B
Densidad de energía: U(x.t) = (1/4π) {õ (x,t)}2
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5
Experimentos de Interferencia (doble rejilla)(Reflección y Refracción)Young y Fresnel
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Two_sources_interference.gif
http://www.indicareer.com/entrance-exams/mht-cet/physics/Interference-of-Light-1_files/image002.gif
Experimentos de Interferencia(Reflección y Refracción)Young y Fresnel
Huyges: ondulatoria
Newton: corpuscularp
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6
Radiación de cuerpos negros
http://fisicamoderna9.blogspot.com/
Experimento
Horno
Paredes consisten de sólido“absorbedor” = osciladores
Osciladores en equilibriocon la radiación.
Eirrad = Eabsorbida
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7
Ejemplos y resultados
Estufas Eléctricas
Temografías
Distribución continua de Largos de onda que salen
g
Resultados
dU
d
infrarojoultravioleta
Largo de onda, mhttp://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Light-Emitting-Diodes-dot-org/chap18/F18-02%20Planck%20black%20body.jpg
Observaciones
T bajas no hay emisión No exhibe color
Tendencia a medida que T aumenta: IR →Rojo→Azul
T 1 T maxmax
1
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8
Radiación de cuerpos negros (continuación)
Resultados y ecuaciones matemáticas Wein (empírico) . 0 2884
T
Ley de Stefan-Boltzman
Area bajoWein
max T
U U d T E 4
dU a e db
T
5
Rayleigh y Jeans (1900)
T e T
3,
dU kT dN kT d
R kTc
8
2
4
22
cálido Teoría clásica
Catástrofe ultravioleta
templado
frío
Inte
nsid
ad (
arb.
)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Blackbody-lg.png/303px-Blackbody-lg.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Wiens_law.svg/300px-Wiens_law.svg.png
Largo de onda (nm)
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9
Cuantización de la energía: Max Plank
dN = Nε e -ε/kT dε = # de osciladores con ε entre ε y ε + dε
Energíah
Equipartición
vib hkT
h
eestadistica
1
dUnum de os de vib
volumen
. mod .
Distribución
dUhc e
ed
Rc
e
h
c e
hckT
hckT
cT
hkT
8
1
1
2 1
1
5
13 3
21
Efecto fotoeléctrico (Hertz 1882)
http://t3 gstatic com/images?q=tbhttp://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSW6IlzTg3Xc4sQKzRHmcUR6fPZa9a9Xujv3N-ExSFVwvRwtg5b
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/imgmod2/pelec.gif
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10
Efecto fotoeléctrico
Experimento
Intensidad, I, ½ mv2, ,
proporcional al número de electrones emitidos/volumen
No es igual a la energía cinética del electrón
La frecuencia es proporcional
e-
o metal
a la energía cinética del electrón.
Cuatización de energía de radiación por Einstein : E E h E C Etot haz foton . . 0
Resumen y conclusiones:Efecto fotoeléctrico
Radiación exhibe difracción e interferencia (onda)( )
El efecto fotoeléctrico se explica solo si la radiación consiste de cuantoscuantos ó fotonesfotones.
Naturaleza dual de la radiación. Modelos son mútuamente exclusivos. partícula se localiza en espacio y onda no partícula se localiza en espacio y onda no. fotón cuantización de energía y onda no. Se interpreta Efotón en términos de frecuencia, solo
tiene sentido para ondas.
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11
Efecto Compton:
Experimento:
Fotón = partícula con energía Fotón partícula con energía E, momentum, p y masa = 0 cuando está en reposo.
Teoría de la relatividad: E = mc2 = hc/λ
De Broglie: mc = h/λ -propiedad ondulatoria a hi
hf
propiedad ondulatoria a fenómeno corpusculares. Difracción del haz de electrones:
microscopio electrónico.
hi
mev
p
m
2
2metal
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1
Principio dePrincipio de Incertidumbre de Werner Heisenberg
19271927
Dualidad onda-partícula Necesidad de la Mecánica cuántica
se basa asociación de la radiación (onda) con la materia.
La onda contiene información sobre la posición y otras
propiedades de la partícula.
Su amplitud es proporcional a la probabilidad de encontrar la partículaencontrar la partícula.
Dualidad impone cierta limitación sobre la información que se puede obtener en sistemas microscópicos
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2
Incertidumbres en las medidas
Naturaleza de exclusividad mutua de ciertos tipos de información
Ejemplo: Microscopio de rayos de gamma.
x p h
Microscopio de rayos gamma
2 p
sinh h
p pb b
x b
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg/200px-Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg.png
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3
Una onda sinosoidal de largo de onda implicaque el momenturm p se conoce precisamente: Pero la función de onda y la probabilidad de encontrar la partícula está distribuida portodo el espacio
hp
*
Al i d d dif t l d
Determinación precisa del momentum
Al sumar varias ondas de diferentes largos de onda se produce un patrón de interferencia quecomienza a localizar la onda,
pero este proceso distribuye los valores de momentum y la medida es menos precisa. Este es un porceso inherente e ineludible en la incertidumbre del momentgum, p, cuando la de la posición, x, disminuye.
2x p
Resumen Es imposible conocer simultáneamente y con
igual exactitud y posición y el momentum de una partícula. Esto no se debe a las imperfecciones físicas de los instrumentos de medición, si no a un límite fundamental de la naturaleza ya que al medir se perturba el sistema.
p x p x E t 2 2 2
2
p x p x E t
h
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4
Mecánica Cuántica Posición de partícula definida por la amplitud de
la onda.
Función de onda sustituye el concepto de trayectoria.
La energía está cuantizada
Heisenberg, Born, Jordan, Schroedinger Padres de la Mecánica Cuántica.
Comparación de mecánica clásica y cuántica
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5
Mecánica Clásica
Determinista Predice el futuro, presente y pasado. Predice el futuro, presente y pasado.
Tiene conflicto con el principio de incertidumbre.
2dv d vx x vt F m m ma 0 2x x vt F m m ma
dt dt
Mecánica Cuántica Interpretación probabilística
Se descarta el concepto de trayectoria Se descarta el concepto de trayectoria.
Incertidumbre – libre albedrío
Función de onda (Ψ(x,t))Describe el estado de un sistema
Es una entidad abstracta.Es una entidad abstracta.
Contiene toda la información de propiedades dinámicas del sistema.
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6
Relación matemática
2 2 2
2 2 2, , ,
2
dV x y z t
i dt m x y z
Análogo de la segunda Ley de Newton
Propósito encontrar Ψ
2i dt m x y z
Propósito encontrar Ψ.
Definiciones matemáticas*
1 2 3
densidad de probabilidad o probabilidad por unidad de
volumen de encontrar la partícula en , , .... Nq q q q
*
2* 2 2
en tiempo t.
Ejemplo: U iV y U iV
U iV U iV U V
1) Cantidad positiva y real que representa probabilidad.
2) no tiene sentido físico.
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7
Probabilidad –Naturaleza estadística
Ejemplo: Número grandes de sistemas en una dimensión.
2*
para 1.000 hasta 1.000 0.001
Para intervalo entre
xdnprobabilidad dx dx
Nx
a y b
2 *b b
a a
dx dx 2
: axEjemplo N x e
Propiedades de Ψ para ser aceptable
La función y su deriviada debe ser continua.
Monovalente o univaluada
Finita (especialmente en las fronteras)
Cuadráticamente integrable
Normalizable
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8
Normalización* 1
Normalizarse al multiplicar por una constante de normalización.
d
1 1
2 2
*
** 2 *
2
*
1
1 11
d K sea N
d N N d N d
N K NK d
Todo elespacio
Todo elespacio
2 2
12
*
*:
K d
entoncesd
Postulados
Mecánica CuánticaMecánica Cuántica
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9
Postulado I: Partícula sin espín Sub-postulado 1
El estado de un sistema dinámico de N partículas se puede describir completamente por medio de una función de estado que contiene toda la información que se puede determinar sobre el sistema. La función de estado Ψ(q1, q2, q3,....q3N) es función de las coordenadas generalizadas y el tiempo. (q1 = x1, y1, z1 para la partícula 1).
Postulado I Sub-postulado 2
La cantidad Ψ*Ψ dτ es proporcional a la probabilidad de encontrar el sistema entre q1
y q1+ dq1, q2 y q2 + dq2 ......q3N y q3N + dq3N en un tiempo t. ( o sea en un elemento de volumen dτ).)
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10
Propiedades y consecuencias del Postulado I
Ψ la función de onda Es una construcción matemática para definir elEs una construcción matemática para definir el
sistema.
Es una función compleja:
No tiene significado físico (parte imaginaria).
E i d di t d i t
, , , 1q t U q t iV q t donde i
Es independiente de t para sistemas consecutivos.
,, if q tq t q e
Postulado II Con cada cantidad física o variable física
observable a del sistema se puede asociarobservable a del sistema se puede asociar o se le asigna un operador matemático que tiene las propiedades de ser un operador lineal y hermítico, . Las propiedades físicas de la observable se pueden deducir de las propiedades
pueden deducir de las propiedades matemáticas del operador asociado a esa propiedad o variable observable.
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11
Ejemplos de observables Posición
Velocidad
Energía
Momentum
Para que sean reales nos limitamos a operadores lineales y hermíticos
Algebra de operadores Definición:
Es un símbolo o una regla para transformar ˆˆ , Auna función dada en otra función.
Las funciones (f) sobre las cuales actúan se llaman operandos.
Debe existir el operador con la función para que
p p qéste tenga significado.
3d f
f f x dxdx
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12
Suma de operadores ˆ ˆˆ ˆ
:
f f f
Ejemplo
2 2 2
2
:
3 3 3 3 3
2 3 3 9
x x x
x x
Ejemplo
d dx e x e x e
dx dx
x e x e
Conmutan con respecto a la suma:
ˆ ˆˆ ˆf f
Producto de operadores
ˆ ˆˆ ˆ, f x f x
Definicón de conmutador :
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆf x f x f x
,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆCuando 0 los operadores conmutan.
f x f x f x
f x f x f x
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13
Ejemplo de conmutador
ˆˆd
sea y xdx
ˆˆ , '
ˆ ˆ, '
' '
d x f xf x xf x f x
dx
d f xf x x xf x
dxf f f f
' '
ˆˆ ˆ, 1
ˆ ˆˆ ˆ, ,
xf x f x xf x f x
f x f x
Operador lineal vs no-lineal
:
ˆ ˆ ˆ1)
Son lineales si cumplen con
f x g x f x g x
22
ˆ ˆ2) donde es una constante.
ˆ: .
.
ˆ ˆ
c f x c f x c
dEjemplo Permite sobreponer funciones de onda
dxNo lineal no cumple con los requisitos anteriores
Ej l f f
?
:
ˆ ˆ
Ejemplo f x f x
f x g x f
?2 2 2
ˆx g x
f x g x f x g x no son iguales
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14
Operador hermítico
* ** *ˆ ˆ ˆf x g x d g x f x d g x f x d
.se asocia a observables reales
Ecuación de autovalor ˆ ( )( ) ( )f x a f x operador función const función
a autovalor
f x autofunción
Ecuación de autovalor El problema consiste en determinar la
funciones propias y autovalores, a, quefunciones propias y autovalores, a, quesatisfagan las condiciones de contorno delproblema físico en particular. Buscarfunciones ff, que cumplan con lascondiciones que debe satisfacer la funciónde ondade onda.
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15
Ejemplo de autofunción2
2
ˆ x
x
dSi f e
dx
df d
22
2
ˆ 2
2
:
ˆ
xx
x
df def k f e
dx dx
k y f e es autofunción
En general
dff k f k f
ln .
const kx kx
f k f k fdx
dfk dx f kx const
f
f e e c e
Construcción de operadores
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16
Reglas Escribir la variable clásica en términos de
coordenadas cartesianas y momentum lineal.
Se sustituye el operador correspondiente a posición a tiempo en la expresión clásica.
Se establece el componente cartesiano del Se establece el componente cartesiano del momentum lineal:
ˆ2x
ihp i
x x i x
OperadoresVariable Clásica
Operador expresión para el operador operación
lti liˆ ˆx, y, z x, y, z multiplicar por x, y, z
t t multiplicar por t
px, py, pzderivar y multiplicar
d i lti li
ˆ ˆ ˆ, ,x y zp p p
t, ,i i i
x y z
ˆ ˆ ˆ, ,x y z
E derivar y multiplicar E i
t
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17
Consecuencias de operadores Transformación:
ˆ ˆobsevable G q p t operador G q i t
Operadores asociados a variables conjugadas como por ejemplo px y x deben satisfacer:
, , , ,obsevable G q p t operador G q i tq
ˆˆ ˆ ˆxp p x i x xxp p x i
Ejemplos2 2
2 2 2 22 2
ˆ ˆ ˆx x xp p p i i ix x x x
22 22 2 21 1
2 2 2 2 2
2 2 212
2 2 2 2 22
2 2 2
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
yx zx y z
m x y z
pp pH T V m v v v V m V
m m m
H p p p V
H V V
2 2 2
22
1
2 2
ˆ ˆ2
Ni
i i
H V Vm x y z m
H V muchas partículasm
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18
Postulado III Si es un operador asociado a una variable o
propiedad física observable y suponemos que h j t d i t idé ti tá
hay un conjunto de sistemas idénticos que están en un estado físico descrito por Ψi y que Ψ es una autofunción del operador , es decir:
Ψi = ai Ψi , entonces si hacemos una serie de experimentos para medir la variable observable que asociamos al operador siempre se
obtendrá como resultado de la medida el valor ai. Es únicamente cuando Ψi es una autofunciónde que se obtendrá siempre el mismo resultado
Postulado IV Dado un operador y un conjunto de sistemas
idénticos caracterizados por una función Ψi de
estado normalizado que no es autofunción del operador (i.e. Ψi = φi) al hacer una serie de medidas de la propiedad física en diferentes miembros del conjunto de sistemas no se obtendrá el mismo resultado, si no una distribución de resultados. El valor promedio o valor de
pexpectación será:
está asociado a la variable a
* ˆa a d
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19
Notas para el postulado IVa5
a3
a2
a4
a2
a1Sistema descrito por Ψ
i i i i ii
i
i
a a n a na a a
n N N N
n
*
* *
Probabilidad
ˆ
ii
i i
nP
N
a Pa a dP dP d
a a d d
Postulado V
La ecuación en el tiempo de un estado de un psistema en mecánica cuántica no perturbado está dado por la ecuación de Schröedinger dependiente del tiempo:
H i
H ii t t
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20
Independiente de t
22
Separar variables:
, ,x t x tV t t i
2
22
2
, ,2
,
:
V x t x t im x tx t x t
dos ecuaciones diferenciales ordinarias
xV x x E x
22
: ,iEt
m xt
i E tt
Solución x t x e
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1
Paréntesis Matemático
Ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial ordinaria - es una ecuación diferencial de una
variable independiente. La ecuación diferencial envuelve cierta relación funcional entre la variable independiente, x, la variable p , ,dependiente, y, y la primera, segunda y n-esima derivada de y(x) con respecto a x.
Ecuación diferencial parcial - es una ecuación diferencial de una o más variables independientes. La ecuación diferencial envuelve cierta
l ió f i l t l i bl i d di t l
2
2, , , ,... 0
n
n
dy d y d yf x y
dx dx dx
relación funcional entre las variables independientes, x y y con la variable dependiente, z, y la primera, segunda y n-ésima derivada de z(x,y) con respecto a x,y.
2 2
2 2, , , , , ....... 0
z z zf x y z
x x y
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2
Ecuaciones Diferenciales (continuación)
Orden de la ecuación diferencial - está dado por la derivada de
mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.
Grado - exponente de la derivada de mayor orden, es el grado algebraico de la derivada de orden mayor luego de racionalizar la ecuación.
35 6
3sin
d y dyx y y x
dx dx
423
20
d y dyx y
d d
13
13
13
2
2
2
2
2
1
1
dx dx
d y dyxy x
dx dx
d y dyxy x
dx dx
En general: Ecuación diferencial lineal -variable dependiente y sus
derivadas aparecen elevadas a la primera potencia.L l ió d t t i t i d t i
Ecuaciones Diferenciales (continuación)
La solución es de n constante y n integraciones y se determinan por condiciones de contorno.
Ecuación homogénea - el término constante es igual a cero.
í ó é
1
0 1 11.... 0
n n
n nn n
d y d y dyA x A x A x A x y B x
dx dx dx
Caso específico de ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.
2
0 120
d y dyA A By
dx dx
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3
Ecuación lineal homogénea de segundo orden y coeficientes constantes
2
20 mxd y dy
A By asumir y edx dx
22
2
2
2 2
2
0 0
0 ( : 0)
4:
2
mx mx
mx mx mx mx mx
mx
dy d yme m e
dx dx
m e Ame Be ya que e se divide por e y
m Am B ecuación auxiliar ecuación cuadrática ax bx c
b b acPara que e sea solución x
2
2
4
2
a
A A Bm
Soluciones posibles
1 221 2 1 24 0 a x a xRaices reales A B m a m a y e y e
combinación lineal Y c y c y
1 2
1 1 2 2
1 2
1 2
21 2 1 2
. 0
. 0 0
: 4 0
ax ax
ax ax
ib x ib x
combinación lineal Y c y c y
a Si B m a entonces y e y e
b Si A B m a entonces y e y e
Raices imaginarias A B m ib m ib y e y e
combinación li
neal Y c y c y combinación li 1 1 2 2
1 2
1 2
. 0 0
. 0 0
ibx ibx
ax ax
neal Y c y c y
a Si A B m ib entonces y e y e
b Si A B m a entonces y e y e
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4
Ecuación de Schröedinger en una dimensión
2 2 2
2 2 2
2ˆ2
mEH E E
m x x
2
2 2 2
2 2
2 20
2 20 0 4 2
2 2
mE mEecuaciónlineal homogénea segundo orden B
x
mE mE
mE i mEi
2
2 2
1 2
2 2
i mE i mEx x
m i
Ae Be
Método de operadores2
20
d y dyA By
dx dx
22
2
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ 0
d dsea D y D
dx dx
D y AD y B y
2ˆ ˆ 0
ˆ ˆ___ ___ 0
D AD B y
D D y
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5
Ejemplo
22
2
2
ˆ ˆ2 3 0 2 3 0
ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 0 3 1 0
d y dyBy D y D y y
dx dx
D D y D D y
2 3 0 3 1 0
ˆ ˆ3 0 1 0
ˆ ˆ3
3
D D y D D y
D y D y
Dy y Dy y
dy dyy y
dx dx
31 1 2 2
3
ln 3 lnx x
dy dydx dx
y y
y x c y x c
y c e y c e
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2/20/2011
1
Partícula librePartícula libre
Ileana Nieves Martínez
Sistema
Una partícula de masa m que se mueve en cualquier dirección en el eje de x y que no estásometida a una fuerza externasometida a una fuerza externa.
Asumir V(x) = 0
0 0 .VF F V x constx
Sistema conservativo
Energía total y cinética son constantes
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2/20/2011
2
2 212 2x xE mv E mv
Solución clásica
2 2 2
22 x xmx m
m v pE mv x
m m
22 2x xmE p p mE
Solución cuántica
2
2 2
2: 0
m Edonde A y B
Ecuación lineal y homogénea de segundo orden
2 2
2
2 2
2 2 2 2
ˆ2
2 20
H E Em x
m E m E
x x
4
2
2
:
22
2 2
2
So lu ción ecuación auxilia r
m E
m E i m Em i
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2/20/2011
3
2 2
1 2
i mE i mEx x
Ae Be
Solución ecuación lineal homogénea
2 2
1 2
2 2
:i mE i mE
x x
Total
iE t i iE E t E E t
Combinación lineal
Ae Be cuántica
2 2
2 2x x
mE x E t mE x E t
i t i tclásica
x e Ae Be con dependencia en t
Ae Be clásica
2 2iE t i i
mE x E t mE x E tx e Ae Be cuantica
Relación con solución clásica
2 2
2 2 2 1 2 2
22 2
x xi t i tclásica Ae Be clásica
mE mE mE mEh h h
2 2
22
h h EpmE
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2/20/2011
4
Momentum partícula libre y relación con solución clásica
2 21
1
2ˆ
i mE i mEx x
x
i mEp i i Ae i A e
x x
2
1 1 1
2 22
2
ˆ 2 2
2ˆ
i mEx
x x
i mE i mEx x
x
p mE Ae mE p
i mEp i i Be i B e
x x
22 2 2ˆ 2x x
x x
p i mE px
Probabilidad
1 1
2 22* 0 2
i mE i mEx x
Probabilidad Ae Ae A e A
2 22* 0 2
2 2
i mE i mEx x
Probabilidad Be Be B e B
Ψ* Ψ
x
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1
Partícula en la cajaPartícula en la caja
Ileana Nieves Martínez
Utilidad del modelo
Explica movimiento de traslación de gas ideal.
Niveles de Energía de electrones en moléculas lineales conjugadas (ej: tintes conjugados).
Electrones en metales.
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2
Descripción del sistema
Partícula libre de masa m
Dentro de una caja con dimensiones a, b y c.
Puede moverse en dirección x, y, z.
Energía potencial dentro de la caja es cero. (V = 0).
Fuera de la caja es infinita (V = ∞)
Caja tri-dimensional
a
z
a
cV = 0
V = ∞V = ∞
b y
x V = 0 en: • 0 < x < a• 0 < y < b• 0 < z < c
V = ∞ en: • 0 > x > a• 0 > y > b• 0 > z > c
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3
Ecuación de Schröedinger
2 2 2 2
2 2 2ˆ ˆ, , , , , ,
2H E x y z V x y z E x y z
m x y z
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2ˆ , ,
y
multiplicando por inverso de a ambos ladosm
m mEV x y z
x y z
5
2 2 2
2 2 2 2
2 ˆ , , 0m
E V x y zx y z
Ecuación de Schröedinger
: , ,
.
Asumimos x y z X x Y y Z x
y sustituimos en ecuación anterior
2 2 2
2 2 2
2
2 ˆ 0
X x Y y Z x X x Y y Z x X x Y y Z x
x y z
mE V X x Y y Z x
Operando
2 2 2
2 2 2
, , ,
2
2 ˆ
y z x z x y
X x Y y Z xY y Z x X x Z x X x Y y
x y z
mE V X x
0Y y Z x
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4
Solución ecuación de Schröedinger
2 2 2
2 2 2 2
, , ,
2 ˆ 0y z x z x y
X x Y y Z x mY y Z x X x Z x X x Y y E V X x Y y Z x
x y z
2 2 2
2 2 2 2
, , ,
, ,
1 1 1 2 ˆ 0y z x z x y
Dividiendo por x y z X x Y y Z x
X x Y y Z x mE V
X x x Y y y Z z z
pero E
ˆ ˆ ˆ ˆV E V E V E V entonces pero E
2 2 2
2 2 2 2
, , ,
,
1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ 0
x x y y z z
x x y y z z
y z x z x y
V E V E V E V entonces
X x Y y Z x mE V E V E V
X x x Y y y Z z z
Solución para tres dimensiones
2 2 2
2 2 2
, , ,
1 1 1
2 ˆ ˆ ˆ
y z x z x y
X x Y y Z x
X x x Y y y Z z z
mE V E V E V
2
2
2 2
,
:
1 2 ˆ
x x y y z z
x x
y z
E V E V E V
Tres ecuac iones independ ien tes
X x mE V
X x x
2
2 2
,
2
2
1 2 ˆ
1
y y
x z
Y y mE V
Y y y
Z z
Z z z
2
,
2 ˆz z
x z
mE V
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5
Solución unidimensional
2
2 2
,
1 2ˆ1.
0
x x
y z
X x mFuera de la caja V E
X x x
X x la partícula no existiría
2
2 2 2
,
2
2 2
,
2
21 2ˆ2. 0 0
2
20
xx x
y z
x
y z
x
X x mEmDentro de la caja V E
X x x
X x mEX x
x
X x mEX ió li
l h é d d d 2 2
,
0x
y z
X x ecuación linx
2 2
1 2
i mE i mEx x
eal homogénea de segundo orden
X x Ae X x Be
Condiciones de contorno
1. 0 0
2. :
X x cuando x y x a para que exista la partícula
Combinación lineal
2 2
1 2
0 00 0
i mE i mEx x
X x X x X x Ae Be
X Ae Be A B A B
2 2i mE i mE
x xX x A e e
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6
Identidad trigonométrica y solución
2 2 2i mE i mE
x x y y i mEX x A e e A e e donde y x
:
cos sin
cos sin
2 sin
iy
iy
iy iy
Identidad trigonométrica
e y i y
e y i y
e e i y
2 2
: 2 sin sin , ,mE mE
Por lo tanto X x i x C x dondeC imaginario
Segunda condición de contorno
2sin
mEX x C x
2 20 sin 0 ; sin 0
2 2
mE mEX a C a C a
mE mE na n
sin
a na
n xX x C
a
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7
Normalización
2 2
0 0
* 1 sin 1a a
xn xX x X x dx C dx
a
:
: :
:
x x
Conversión de variables x
n x n apor lo tanto d dx y entonces dx d
a a n
sustituyendo en integral y modificando los límites
2
:
0, 0
sustituyendo en integral y modificando los límites
x y cuando x a n
aC
n
2
0
sin 1n
d
Solución de normalización
2 2 2 2
0 0
2
1 sin sin
1, sin 1 cos 2 ,2
x xn n
x x
a aC d C d
n n
pero entonces
2 2
0 0 0
2
1 11 1 cos 2 cos 2
2 2
:
11
2
x x xn n n
x x
x
a aC d C d d
n n
Evaluando los integrales
aC
n
2
0
1 1sin 2 sin 2 sin 0
4 2 4 4
xn
xx
x
naC n
n
2 2 2
2
1 0 02 2 2
:
2 2
x x
x x
n na a aC C C
n n
por lo tanto
C Ca a
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8
Solución función de onda Ψ=X(x)Y(y)Z(z)
2sin
x
xn
n xX x
a a
l t di i
,
2 2sin sin
:
8
y z
y zn n
las otras dimensiones
n y n zY y Z z
b b c c
En tres dimensiones
n yn x n z
8sin sin sin
x y z
yx zn n n
n yn x n zX x Y y Z z
abc a b c
Cuantización de la energía2 2
2 2
2 2x x x xmE n mE n
a a
2 2 2 2 2 2 2 2
22 22
2 2 2 2
1, 2,3...2 82 2
:
x x xx x
y z
n n h h nE donde n
ma mama
h n h nDe igual forma E y E
2 2
22 22
2 2 2
:8 8
:8
y z
yx zTotal x y z
De igual forma E y Emb mc
nn nhentonces E E E E
m a b c
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9
Estados degenerados: a = b = c
32
22 2 2
2sin sin sin
x y z
yx zn n n
n yn x n zX x Y y Z z
a a a a
hE E E E n n n
28Total x y z x y zE E E E n n nma
Números cuánticos Energía Estado2
2 ,1,12
2
1,2 ,12
2
62 1 1
8
61 2 1
8
x y z Total
x y z Total
hn n n E
ma
hn n n E
ma
2
1,1,22
61 1 2
8x y z Total
hn n n E
ma
Probabilidad en una dimensión
0 a2a 11 sin x
x an sin xn xx a
pared pared
0 sin 0 0
sin 0
x
x a
0
222 sin x
x an *
NODO
2
0;sin 0 0
;sin 0
;sin 2 0
a
x
x
x a
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; 1998;W.H. Freeman & Company; 6ta edición
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10
Gráficas de las funciones de ondaUna dimensión
Para nx grandes, cuántica tiende a continuo: cuántica tiende a clásica
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; 1998;W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Nodos
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; 1998;W.H. Freeman & Company; 6ta edición
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Efecto túnel: Penetración en regiones clásicamente prohibidas
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©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; 1998;W.H. Freeman & Company; 6ta edición