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UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE HONDURASVICERRECTORIA DE EDUCACIN DISTANCIA
VED / UMH
MANUAL
ALGEBRA LINEAL
COMPILACION REALIZADAA SOLICITUD DE LA UMH POR:
LICENCIADOOSCAR RODRIGUEZ
OCTUBRE 2006
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PRESENTACIN
Por medio de esta asignatura se afianza en el estudiante las habilidadesnecesarias, para resolver casos y problemas que enfrentamos en la vida diaria, loscuales podemos representar como sistemas de ecuaciones lineales ydesigualdades lineales.
Se ha considerado de suma importancia las aplicaciones a la administracin y laeconoma, las demostraciones de los teoremas y la teora bsica no se handesarrollado a fin de que el material sea ms prctico, se desarroll para cada
captulo problemas con su debida explicacin y se procede a ilustrarlo y aanalizar su importancia con varios ejemplos. Se aplicaron diversas tcnicas pararesolver problemas por varios recursos. Esto nos da el criterio sobre el tiemponecesario para mejorar las habilidades matemticas y aprender a conocer queherramienta es la necesaria segn el caso de estudio.
Los estudiantes que aprenden a dominar las tcnicas por lo comn desarrollan unaintuicin razonablemente clara del proceso.
El contenido se ha seleccionado de tal manera que incluya partes bsicas, que sonde utilidad y de mayor inters para los estudiantes. Por lo general las aplicaciones
se ofrecen en estrecha cercana con el tratamiento del concepto matemticoespecfico.
Se ofrece al estudiante, la programacin lineal, una de las ms importantesherramientas de la investigacin de operaciones, se utiliza cuando un problema se
puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.
Dedico este trabajo a la mi esposa por su invaluable aportacin a mi vida, a losalumnos y al personal de la universidad Metropolitana de Honduras con losdeseos de xito y aprovechamiento de este contenido.
Ing. Oscar Mauricio Rodrguez Corrales
TEL: 239-5100
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LGEBRA DE MATRICES
CAPITULO 1
1.1
MATRICES
Introduccin
Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J.J.Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en1853. En 1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviada deescribir un sistema de mecuaciones lineales con nincgnitas.
Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas deecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matricesaparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...
DEFINICIN:Una Matriz es un arreglo rectangular de nmeros reales, encerrados engrandes parntesis rectangulares. Las matrices por lo general se denotan con letrasmaysculas como A, B, C etc.
Algunos ejemplos de Matrices:
Cada nmero dentro de la matriz es llamado elemento de la matriz se denominan como
aij si pertenece a la matriz A, se llamarabij en el caso de pertenecer a una matrizllamada B y si fuese de otra matriz se utiliza segn se llame la matriz la representacinde un elemento con letra minscula.Esto anterior se entender mejor si se define el orden y el tamao de una matriz comosigue.
Los elementos ordenados en forma Horizontal son llamados rengln o fila y loselementos colocados de forma verticalson llamados columna.
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Si una matriz tiene mrenglones y ncolumnas, se dice que su tamao es mx ny se leecomo (m por n). De los ejemplos anteriores usted puede encontrar que A es una matrizde tamao 2x3 o sea dos filas por tres renglones, la matriz B de manera similar se puededefinir como tamao de 3x4.
Es conveniente utilizar nomenclatura como ya se menciono para los elementos dentrode la matriz, recuerde que i = filas y j = columnas as como m = filas y n = columnas.
Encontrar y definir los elementos a22, a34y a13de la siguiente matriz:
Matriz cero: Se llama as cuando todos los elementos dentro de una matriz son ceros.Vase el siguiente ejemplo:
Nota: esta matriz se representa con el nmero 0.
Matriz cuadrada: Una matriz con igual nmero de filas y de columnas se conoce comomatriz cuadrada. Vase el siguiente ejemplo:
Donde A es una matriz de 2x2 y B una matriz de 3x3.
Dada la siguiente matriz:
Note que la matriz Etambin es una matriz cuadrada dado que:m = n o lo mismo que i = j, Ees uma matriz de 1x1.
Se dice que dos matrices A y B son igualessi:i) Son del mismo tamao
ii) Sus elemento correspondientes son iguales aij =bij
Podemos decir que:
a13 = 2, a22 = 4y a34 = 2
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Ejemplo:
Las matrices A y B son del mismo tamao 2x3 y son iguales si a = 0, b = 7 y c =
EJERCICIOS 1.1
1.- Determine el tamao de cada matriz.
A =
32
01
B =
321
132
C =
2
1
3
D =
789
654
321
E =
201
543
F =
11
12
G = 314
H = 1
1.a-. Para los ejercicios anteriores encuentre el valor de los siguientes elementos si sepuede de a11 , a22 , a13 y a23 , encuentre la misma posicin para las matrices B, C, D,E, F, G, y H.
1.b.- Cual de las matrices A, B, C, D, E, F, G, y H tienen el mismo y orden y tamao?
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1.2
ALGEBRA MATRICIAL
1.2.1Multiplicacin de una matriz por un escalar
La multiplicacin de una matriz por un escalar se refiere a la operacin de multiplicaruna matriz por un nmero real. Para cualquier matriz de tamao mxn y c cualquier
nmero real se puede expresar como el producto cA = [ caij ], multiplicando cadaelemento de Apor c.
Ejemplo:Dado
Encontrar 2A se sigue que
Desarrolle -3A.
Ejemplo Aplicacin:
Una cadena de distribuidores de madera a nivel nacional distribuye tres diferentesclases de madera, entre ellos estn el pino, la caoba y el nogal, para esta distribucindisponen de dos agentes distribuidores y se representa con la siguiente matriz:Esta es la madera en existencia en el plantel.
Los elementos de la matriz A estn en miles de pie tablar. Si la gerencia establece comoobjetivo el aumento en la distribucin de madera en un 50%, presenta la matriz querepresenta este aumento.
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Solucin: Cada elemento de la matriz A deber de aumentarse en un 50%, es decir que
para cada elemento ser aij +aij x 50%, luegoal factorizaraij ( 1 + 0.5 ) = aij x 1.5
Por lo tanto
Aumento en miles de pie tablar
1.2.2 Adicin y Sustraccin de Matrices
Dos matrices A y B pueden sumarse o restarse si primero cumplen ser del mismo ordeno tamao y la operacin consiste en la correspondencia de sus elementos as.
A B=aij bijA + B = aij +bijA - B = aij -bij
Ejemplo: Dadas las siguientes matrices A y B encontrar la suma A+B y la resta de A-B:
Ejemplo Aplicacin: Suponga que la misma empresa distribuidora de madera en el mesde Marzo distribuyo la siguiente matriz B:
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Determine la matriz que representa la cantidad de madera en existencia al primer da delmes de Abril: (le llamaremos C a la matriz primer da de Abril)
Recordemos que la madera en existencia en el plantel era de:
As pues tenemos que:
Madera al primer da Madera en existencia Madera distribuida enDe Abril = en el plantel - el mes de Marzo
C = A - B
Existencia en miles de pie tablar
Ejercicio: Dadas
Encuentre una matriz X tal que X + A = 2B
Solucin: Al despejar X de la ecuacin, tenemos queX = 2BA
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Determine Y tal que Y + B = 2A
Solucin:
EJERCICIOS 1.2
2.- Construya un ejemplo de una matriz 3x3 ijc que satisfaga cij = - cji
(3.- a 10.-) Efecte las operaciones indicadas y simplifique
3.- 3
31
42
4.- -2
203
412
321
5.-
741
312+
821
210
6.-
210
352
413
-
123
412
521
7.- 2
31
21+ 3
01
32
8.-
74
31
12
- 2
03
32
21
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9.- 2
654
012
321
+ 3
301
423
210
10.- 4
2023
1512
4301
- 5
5013
4301
3212
(11- a 15.-)Determine los valores de las variables para las cuales las ecuacionesmatriciales siguientes son vlidas.
11.-
y
x
3
2=
43
21
12.-
0
13
x=
14
2
t
zy
13.-
764
352
z
yx=
124
5213
z
yt
14.-
21
514
321
zu
y
x
=
1214
531
3112
zw
v
tx
15.-
21
320
11
y
x
+ 2
vu
z
t
2
11
02
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15.b- 6
21
320
11
y
x
+ 2
vu
z
t
2
11
02
16.- (Costos de suministros) Un contratista calcula que los costos (en dlares) deadquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tresdiferentes localidades estn dados por las matrices siguientes (una matriz por cadalocalidad).
Escriba en la matriz que representa los costos totales de material y de transportacin porunidades de concreto, madera y acero cada una de las tres localidades.
17.- (Comercio internacional) El comercio entre tres pases I, II y III durante 1986 (en
millones de dlares estadounidenses) est dado por la matriz A= ija , en donde aijrepresenta las exportaciones del pas ial pasj.
A =
01421
18017
20160
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El comercio entre estos tres pases durante el ao de 1987 (en millones de dlaresestadounidenses) est dado por la matriz B.
B =
01624
20018
19170
18.- (Matrices de produccin) un fabricante de zapatos los produce en color negro,blanco y caf para nios, damas y caballeros. La capacidad de produccin (en miles depares) en la planta de Sonora est dada por la matriz siguiente:
La produccin en la planta de Durango est dada por
a. Determinar la representacin matricial de la produccin total de cada tipo dezapato en ambas plantas.
b. Si la produccin en Sonora se incrementa en su 50% y la Durango en 25%,encuentre la matriz que representa la nueva produccin total de cada tipo decalzado.
c. Encuentre el aumento si la produccin sera de 65%.
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1.2.3 Multiplicacin de matrices
1.2.3.a Matrices rengln o fila y columna
Una empresa fabrica un producto P, Q y R utilizando diferentes insumos o materiaprima, la cantidad de materia prima utilizada para elabora estos productos esta dada porla siguiente matriz P Q R
A = [3 2 4]
Si el costo de los tres insumos esta dado por B =
4
8
10
R
Q
P
Por con siguiente , el costo de los tres insumos por unidad de producto se obtiene
sumando los costos de 3 unidades de P a un costo de 10 cada una, 2 unidades de Q auncosto de 8 y 4 unidades de r a un costo de 4 cada una:
3 x 10 + 2 x 8 + 4 x 4 = 62
El anterior es el producto de la matriz fila por la matriz columna A x B y se denotacomo AB, este mtodo de producto se aplica a matrices rengln y columnas decualquier tamao siempre y cuando m = n, o sea el mismo nmero de elementos.
Ejemplo:Dadas las matrices siguientes:
KM=1x4 + 4x3 = 4 + 12 = 16
LN =1x1 + 4x4 + (-3)x5 + 5x0 = 1 + 1615 + 0 = 2
Observacin: La matriz rengln o fila siempre se escribe a la izquierda y la matrizcolumna a la derecha.
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1.2.3.b Matrices de diferente tamao
Si C = AB, entonces el elemento cij de la matriz producto C se obtiene multiplicando eli-simo rengln de A por el j-sima columna de B.
Al formar el producto de dos matrices, cada rengln de la primera matriz se multiplicasucesivamente por cada columna de la segunda matriz.
Regla de mul tipli cacin
El producto AB de dos matrices slo puede efectuarse si el nmero de columnas de lamatriz A es igual al nmero de filas de la matriz B, y el tamao de la matriz resultanteser de el nmero de filas de la matriz A por el numero de columnas de la matriz B.
Ejemplo 1: Dadas las siguientes matrices encuentre si aplica la multiplicacin de AB y
si es definida su multiplicacin encuentre la matriz resultante C.
C = AB, primero revisaremos si la multiplicacin esta definida
Luego encontramos que:
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Del ejemplo anterior verifique si BA esta definido:
Dadas una matriz A de 2x2 y otra B de 2x3 demuestre si AB y BA si existen:
Ejemplo 2: Dadas
Calcule AB y BA
Solucin: Ambas matrices son de tamaos iguales de 3x3, en consecuencia tanto ABcomo BA estn definidas y tendrn tamao 3x3.
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NOTA: Ambas multiplicaciones estn definidas, pero a pesar de aplicar lamultiplicacin vea que no aplica la propiedad conmutativa es decir queAB BA pues las matrices resultantes son distintas.
EJERCICIOS 1.2.3
19.- a 25.- Si A es un matriz 3 X 4, Bes 4 X3, Ces 2 X 3 y Des 4 X 5, calcule los
tamaos de los productos de matrices siguientes.19.- AB 20.- BA 21.- CA
22.- AD 23.- CAD 25.- CBA
26.- a 34.- Efecte las operaciones indicadas y simplifique.
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26.- 32
5
4 27.- 102
03
11
20
28.-
042
103
6
54
29.-
65
4321
0
2
30.-
012
120
201
31
12
23
31.-
304
231
012
012
120
201
32.-
654
321
132
3
2
1
33.-
635
412
3120
1013
4201
34.-
654
321
30
42
01
12
13
34.b- 10
654
321
132
3
2
1
34.c- 12
304
231
012
6
012
120
201
34.d.- 15
65
43
21
0
2
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1.2.4 Matriz identidad
Una matriz cuadrada se llama matriz identidadsi todos los elementos de su diagonalson iguales a 1 y todos los elementos no diagonales iguales a cero.
Ejemplos:
Para matrices cuadradas de cualquier tamao multiplicadas por matrices identidad deigual tamao siempre se cumple que AI = IA = A
Ejemplo: Dada
Si A es una matriz cuadrada nxn puede multiplicarse consigo misma, el productoresultante de AA se puede denotar como A y ser de tamao nxn, si volvemos a
multiplicar por A obtenemos AAA se puede denotar como A y si continuramos lamultiplicacin seria definida siempre y cuando se trate de una matriz cuadrada hastallegar a Aveces.
EJERCICIOS 1.2.4
35.- Determine A - 5A +2I si A=
23
12 y A =
300
120
001
35.b Determine A - 5A +2I si A=
41
22
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1.4 Sistemas de Ecuaciones simultneas
Utilizando la idea de la multiplicacin matricial, los sistemas de ecuaciones linealespueden escribirse en la forma de ecuaciones matriciales, por ejemplo considere el
sistema: 2x3y = 74x + y = 21
Podemos distinguir que la parte variable se puede obtener del siguiente producto:
Pero de las ecuaciones simultneas tenemos la igualdad siguiente:
Por consiguiente;
Si definimos la matrices A, B y X como
Entonces la ecuacin matricial puede escribirse como :
AX = B
La matriz columna X se conoce vector de variables, tambin como matriz columnavariables, la matriz A se le conoce como matriz de coeficientesy la matriz B se llamaVector de valores. Definiendo las matrices adecuadas cualquier sistema de ecuaciones
puede expresarse como una ecuacin matricial.
Ejemplo:
Exprese el siguiente sistema en forma matricial.
2x + 3y + 4z = 74y = 2 + 5z
3z - 2x + 6 = 0
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Solucin:Primero se recomienda ordenar el sistema, preferiblemente en orden x, yy z, alineadosen columnas de izquierda a derecha, observe que los trminos faltantes se colocan comosi estuviesen pero acompaados por cero, siempre es recomendable dejar la matris de
valores del lado derecho.2x + 3y + 4z = 70x + 4y5z = 2
-2x + 0y + 3z = -6
Entonces tenemos que
EJERCICIOS 1.4
36.- 2x + 3y =7 37.- 3x2y = 4x + 4y = 5 4x + 5y = 7
38.- x + 2y + 3z = 8 39.- 2x y = 32xy + 4z = 13 3y + 4z = 7
3y2z = 5 5z + x = 9
40.- 2x + y - u = 03y + 2z + 4u = 5
x- 2y + 4z + u = 12
41.- (Valoracin de inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene cincotelevisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12.Los televisores de 26 pulgadas se venden en $650 cada uno, los de 20 en $550 cadauno, los televisores de 18 pulgadas en $500 cada uno y los de 12 se venden a $300 cadauno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto dedos matrices.
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42.- (Costos de suministros)Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas demadera, ladrillos, concreto, vidrio y pintura de cualesquiera tres proveedores. Los
precios que cada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materiales estn dados enla matriz A.
A =
51659
52549
42758
En esta matriz, cada regln se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, enel orden listado arriba. El contratista tiene la poltica de adquirir todos los materialesrequeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los
costos de transportacin. Hay tres obras en construccin actualmente: la obra I requiere20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio 3 de pintura; la obra IIrequiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10 y12 unidades, respectivamente. Disponga esta informacin en un matriz B 5 X 3 y formela matriz producto AB. Interprete los elementos de este producto y selos con el
propsito de decidir cul proveedor debera usar en cada obra.
43.- x + 2y = 1 44.- u + 3v = 13y + 2x = 3 2uv = 9
45.- 3x1+ 2x2 + x3 = 6 46.- 2u3v + 4w =132x1 - x2 + 4x3 = -4 u + v + w = 6
x1+ x2 -2x3 = 5 -3u + 2v + w + 1 = 0
47.- x + 2y + zt = 0 48.- 3x1+ 2x2 + x3 + x4 = 2
y2z + 2t = 13 x1 - x2 + x3 + 2x4 = -42x + 4yz + 2t = 19 2x1+ x2 -x3 + x4 = 1
Yz3t = 0 -x1+ x2 + x3 -x4 = 4
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1.4.1 Solucin de sistemas de ecuaciones linealesPor reduccin de renglones
Veamos el siguiente sistema:
2x + 3y = 3x2y = 5
Como vimos anteriormente este sistema lo podemos reescribir matricialmente como:
Una vez identificadas las matrices lo construimos como matriz aumentada as:
Agregamos a la matriz de coeficientes con una lnea vertical y colocamos la columnacon la matriz de valores, esto es matriz aumentada.
Ahora la solucin la encontraremos al transformar la matriz de coeficiente en matrizidentidad, para ello son validas las siguientes operaciones:
i) Intercambio de dos renglones.ii) Multiplicacin o divisin de un rengln por una constante distinta de cero.
iii) Adicin o sustraccin de un mltiplo constante a ( o de ) otro rengln.
Empezaremos por ubicar de manera similar a la matriz identidad por lo cualintercambiar la fila o rengln 2 en la ubicacin de la fila 1
El elemento a11 ha sido transformado a 1 tal como la matriz identidad, ahora sigueconvertir el elemento
a21 en 0, se multiplica a la fila o rengln 1 a quien llamaremos
R1 por -2 y la sumamos al rengln 2 o sea R2 y se expresa como -2R1 + R2
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Se sugiere seguir la transformacin por la diagonal as que el elemento a22deber detransformarse en 1 con la siguiente operacin
7
1R2
Solo falta el elemento a12 a transformar en cero con la siguiente operacin 2R2+ R1
De manera anloga obtenemos la solucin del sistema
Ejemplo:Use el mtodo de los renglones para resolver el siguiente sistema:2x -3y + 4z = 13x + y + 2z = 4
3x + 5yz = -4
Solucin:Entonces tenemos que
153
211
432
z
y
x
=
4
4
13
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Por lo que la matriz aumentada ser
4153
4211
13422
Aplicamos las operaciones que nos lleven a transformar la parte coeficientes en matrizidentidad.
Nota: R2 R1Significa intercambiar filas, en este ejemplo cambiar de posicin lafila 2 a la posicin de la fila 1.
EJERCICIOS 1.41
Utilice el mtodo de reduccin de renglones para resolver los siguientes problemas:
49.- (Punto de equilibrio del mercado)La ecuacin de demanda de cierto producto es p+ 2x = 25 y la ecuacin de oferta es p 3x = 5, en donde p es el precio y x es lacantidad demandada o suministrada, segn el caso. Calcule los valores de x y p en el
punto de equilibrio del mercado.
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50.- (Asignacin de maquinaria)Una empresa produce tres productos, A, B y C, los queprocesa en tres mquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad decada producto por las tres mquinas est dado enseguida.
51.- (Carga area) Una compaa de carga transport tres tipos de flete en sutransporte areo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de cargaeran de 5, 2 y 4 pies cbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga
pes 2, 3 y 1 kilogramos, respectivamente, mientras que los valores unitarios de los trestipos de carga fueron $10, $40, y $60, respectivamente. Determine el nmero de
unidades de cada tipo de carga transportada si el valor total de la carga fue de $ 13,500,ocup 1050 pies cbicos de espacio y pes 550 kilogramos.
52.- Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para tresproyectos. Los costos por hora-hombre de los tres proyectos son de $8, $10 y $12,respectivamente, y el costo total es de $53,000. Si el nmero de horas-hombre para eltercer proyecto es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los primeros dos
proyectos, calcule el nmero de horas-hombre de que puede disponerse en cadaproyecto.
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1.5 Sistema de ecuaciones lineales
DEFINICIONES
ECUACIN ALGEBRICA LINEAL
Es aquella en donde en cada trmino de la ecuacin aparece nicamente una variable oincgnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a11X1 + a12X2 + a13X3 + ... + a1nXn = C1 (1)
Es una ecuacin algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que
los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1ny el trmino independiente C1, son constantesreales.
SISTEMA DE ECUACIONES
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultneamente. En los sucesivosse considerarn nicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o seaconjuntosde ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a12X2 + a13X 3 +... + a1nX n = C 1 (a)a21X 1 + a22X 2 + a23X 3 +... + a2nX n = C 2 (b) (2)
...
an1X 1 + an2X 2 + an3X 3 + ... + annX n = C n (c)
Es un conjunto de valores de las incgnitas que verifican simultneamente a todas ycada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solucin, un sistema puede ser: Consistente, si admite solucin; oI nconsistente, si no admite solucin.
1.5.1 MTODO DE GAUSS
El primer mtodo que se presenta usualmente en lgebra, para la solucin de ecuacionesalgebraicas lineales simultneas, es aquel en el que se eliminan las incgnitas mediantela combinacin de las ecuaciones. Este mtodo se conoce comoMtodo de Eliminacin.Se denomina eliminacin Gaussiana si en el proceso de eliminacin se utiliza elesquema particular atribuido a Gauss.
http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml -
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Utilizando el mtodo de Gauss, un conjunto de necuaciones con nincgnitas se reducea un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tieneiguales valores de la solucin), que a su vez se resuelve fcilmente por "sustitucin
inversa"; un procedimiento simple que se ilustrar con la presentacin siguiente.Ejemplo:
Dado el siguiente sistema3x 5y = -7-2x + 3y = 5
Como se trata de eliminar procedemos con operaciones matemticas que nos ayuden aeliminar una variable as.
Multiplicando R1 por 2 y R2 por 3 eliminamos la variable x
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1.5.1 MTODO DE SUSTITUCIN
Este mtodo consiste en despejar una variable en una ecuacin y se sustituye en la otraecuacin original as:
Ejemplo: con mismo sistema anteriorEcuacin 1 3x 5y = -7Ecuacin 2 -2x + 3y = 5
Al despejar x en la ecuacin 1se obtiene
x =3
5y -
3
7
Luego sustituimos en la ecuacin 2
-2 (3
5y -
3
7) + 3y = 5
-3
10y + 3y +
3
14= 5
-3
1y = 5 -
3
14
-3
1y =
3
1
y = -1Este resultado de y lo sustituimos en la ecuacin 1y obtenemos x
x =3
5( -1 ) -
3
7
x = -4
1.5.2 MTODO DE IGUALACIN
El mtodo consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualarlas variables despejadas as:
Ejemplo: Tomando en cuenta siempre el mismo sistema de ecuaciones
Ecuacin 1 3x 5y = -7Ecuacin 2 -2x + 3y = 5
Al despejar x en la ecuacin 1se obtiene
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x =3
5y -
3
7
Al despejar x en la ecuacin 2se obtiene
x =2
3y -
2
5
Luego se igualanlas variables despejadas
x = x
3
5y -
3
7=
2
3y -
2
5
3
5y -
2
3y = -
2
5+
3
7
6
1y = -
6
1
y = -1
Este valor de y se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones despejadasanteriores, aqu se demuestra en la ecuacin 2
x =2
3( -1 ) -
2
5
x = -2
3-2
5
x = -4
Ejercicio: Resuelva el siguiente sistema:
3
yx=
4
1y
7
54 yx=
1
7x
Solucin { 8 , 5 }
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EJERCICIOS 1.5
Resuelva por los mtodos de Gauss, sustitucin e igualacin los siguientes sistemas:
59.- 2x -3y = 1 60.- 2xy + 3z = -33x + 4y = 10 x + y + z = 23x + 2yz = 2
61.- 2u + 3v4w = -10w2u1 = 0
u + 2v = 1
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INVERSA Y DETERMINANTESCAPITULO II
2.1
INVERSA
Introduccin
Si la matiz A se somete a ciertos cambios hasta obtener I, sometiendo a Ia los mismoscambios llegamos a la inversa.
DEFINICIN:Sea A una matriz cuadrada de nxn, entonces una matriz B se dice que essu inversa si satisface las dos ecuaciones matriciales siguientesAB = I y BA = I
en donde I es la matriz de tamao nxn.
Ejemplo demostracin:Dadas las siguientes matrices demuestre que AB = I
A =
43
21y B =
21
23
12
Multiplicamos AB =
43
21
21
23
12
=
)2/1(4)1(3)2/3(4)2(3
)2/1(2)1(1)2/3(2)2(1=
10
01
Procedimi ento para determinar la inversa de una matrizEjemplo1:Dada la siguiente matriz encuentre su inversa:
A =
52
31
El procedimiento a usar consiste en reduccin simultnea, colocamos la matriz a la cualse encontrara su inversa y se aumenta por la matriz identidad as:
1052
0131
Luego a travs de las operaciones ya vista en el capitulo anterior transformamos lamatriz original en matriz identidad.
Como el elemento a11ya es 1 lo que hacemos es transformar en 0 el elemento a21,
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Luego el elemento a21debe transformarse en o y a22en 1.
No todas la matrices son invertibles, decimos que una matriz es invertible o nosingularsi tiene una inversa. Si no tiene inversa en no invertible o matriz singular.
Ejemplo2:Dada la siguiente matriz encuentre su inversa:
A =
42
21
El procedimiento a usar consiste en reduccin simultnea, colocamos la matriz a la cualse encontrara su inversa y se aumenta por la matriz identidad as:
1042
0121
Luego a travs de las operaciones ya vista en el capitulo anterior transformamos lamatriz original en matriz identidad.
Como el elemento a11ya es 1 lo que hacemos es transformar en 0 el elemento a21,Luego el elemento
a21no puede transformarse en 0 ni
a22en 1,
por lo que resulta no invertible.
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Si la matriz es no singular o invertible podemos reescribir el siguiente teorema:
Ejemplo 2.1.3:Dada la siguiente matriz calcule la inversa, encuentre A:
A =
873
752
321
Primero aumentamos la matriz
A | I =
100873010752
001321
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EJERCICIOS 2.153.- a 58.- En los problemas siguientes, encuentre la inversa de la matriz dada (siexiste)
53.-
43
52
54.-
43
21
55.-
46
23 56.-
012
130
201
57.-
120
301
012
58.-
2103
0111
1111
4312
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2.2 Aplicaciones de la matriz inversa
La inversa de una matriz se puede utilizar en la solucin de sistemas de ecuaciones, enel caso que tengamos n ecuaciones con n variables, podemos resolver encontrando la
inversa de la matriz de coeficientes.Un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como AX = B, si lamatriz de coeficientes A es invertible, existe A multiplicando por ambos lados de laecuacin matricial obtenemos:
AX = BA ( AX ) = A ( B )
Utilizando la propiedad asociativa y simplificando podemos la ecuacin de la siguientemanera:
( AA ) X = A ( B )
I X = A ( B )
X = A (B ) As obtenemos una solucin que proporciona la matriz Xsistema de ecuaciones dado.
Ejemplo 2.2.1:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales siguiente:
x + 2y + 3z = 32x + 5y + 7z = 63x + 7y + 8z = 5
Solucin:note que al rescribir al sistema matricial se tiene que:
873
752
321
z
y
x
=
5
6
3
Necesitamos resolver X = A (B ) , empezamos por encontrar la inversa de A:
X =
z
y
x
B =
5
6
3
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A =
873
752
321
en el ejemplo 2.1.3 encontramos la inversa de A o sea A
Nota: La ventaja de utilizar la matriz inversa se hace patente en casos en que deberesolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. En
problemas de este tipo, las soluciones de todos los sistemas pueden determinarse deinmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de coeficientes.
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EJERCICIOS 2.1
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones determinando la inversa de lamatriz de coeficientes.
59.- 2x -3y = 1 60.- 2xy + 3z = -33x + 4y = 10 x + y + z = 23x + 2yz = 2
61.- 2u + 3v4w = -10w2u1 = 0
u + 2v = 1
62.- Dadas:
A=
4231 y B=
1312 .
Verifique el resultado (AB) = B A.
2.3 ANLISIS INSUMO-PRODUCTO
El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los aoscuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de laeconoma de Estados Unidos. La principal caracterstica de este modelo es que
incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran laeconoma. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles deproduccin futuros de cada industria a fin de satisfacer demandas futuras para diversosproductos. Tal prediccin se complica por las interacciones entre las diferentesindustrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de unaindustria puedes modificar los niveles de produccin de otras industrias. Por ejemplo,un incremento en la demanda de automviles no slo conducir a un aumento en losniveles de produccin de los fabricantes de automviles, sino tambin en los niveles deuna variedad de otras industrias en la economa, tales como la industria del acero, laindustria de los neumticos, etc. En el modelo original de Leontief, la economa deEstados Unidos aparece dividida en 500 sectores de este tipo que interactan entre s.
Con objeto de describir el modelo en los trminos ms simples, consideremos unaeconoma que conste slo de dos industrias, P y Q. A fin de clarificar nuestras ideas,suponga que las interacciones entre estas dos industrias son las dadas en la tabla 1. Las
primeras dos columnas de esta tabla contienen los insumos de las dos industrias,medidos en unidades adecuadas. (Por ejemplo, las unidades podran ser millones dedlares al ao.) De la primera columna, advertimos que en su produccin anual, laindustria P usa 60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de laindustria Q. De manera similar, Q emplea 64 unidades del producto de P y 48 unidadesde su propio producto. Adems, en el ltimo rengln observamos que P usa 40 unidadesde insumos primarios, los cuales incluyen insumos tales como mano de obras, sueldos o
materias primas, mientras que Q utiliza 48 unidades de insumos primarios.
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TABLA 1Insumos de la Insumos de la Demandas ProduccinIndustria P industria Q finales total
Produccin de la industria P 60 64 76 200Produccin de la industria Q 100 48 12 160
Insumos primarios 40 48
Insumos totales 200 160
Totalizando las columnas, advertimos que los insumos totales son de 200 unidades en elcaso de P y de 160 unidades para Q. En el modelo se supone que todo lo que se produce
se consume, o en otras palabras, la produccin de cada industria debe ser igual a la sumade todos los insumos (medidos en las mismas unidades). As, la produccin total de Pdebe ser de 200 unidades y de 160 unidades en el caso de Q.
Consideremos ahora los dos primeros renglones de la tabla 1, en los cuales se adviertecmo se utilizan los productos de cada industria. De las 200 unidades producidas por P,60 son utilizadas por ella misma y 64 por Q. Esto deja 76 unidades disponibles parasatisfacer la demanda final;esto es, los bienes que no utilizan internamente las propiasindustrias productoras. Estos podran consistir en esencia de bienes producidos paraconsumo domstico, consumo del gobierno o exportacin. De manera similar, de las160 unidades producidas por Q, 100 las utiliza P, 48 no salen de Q y 12 a 60 unidades
se destinan a satisfacer la demanda final.
Suponga que la investigacin de mercado predice que en 5 aos, la demanda final paraP decrecer de 76 a 70 unidades, mientras que el caso de Q, se incrementar de 12 a 60unidades. La pregunta que surge se refiere a qu tanto debera cada industria ajustar sunivel de produccin a fin de satisfacer estas demandas finales proyectadas.
Es claro que las dos industrias no operan independientemente una de otra (por ejemplo,la produccin total de P depende de la demanda final del producto de Q y viceversa).Por tanto, la produccin de una industria est ligada a la produccin de la otra industria(u otras industrias). Supongamos que a fin de satisfacer las demandas finales
proyectadas en 5 aos, P debe producir x1unidades y Q debe producir x2unidades.
En la tabla 1 advertimos que con objeto de producir 200 unidades, la industria P emplea60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de Q. As la elaboracin
por parte de la industria P de x1unidades requiere la utilizacin de200
60 x1 unidades de
su propio producto y200
100 x1 unidades del producto de Q. En forma anloga, a fin de
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producir x2unidades, la industria Q debera usar160
64 x2 unidades del producto de P y
160
48 x2 unidades de su propio producto. Pero tenemos la ecuacin siguiente:
Produccin total Unidades Unidadesde la industria P = consumidas por P + consumidas por Q + Demanda final.
Es decir,
x1=200
60 x1 +160
64 x2+ 70dado que la nueva demanda final es de 70 unidades.
De manera similar, de x2 unidades producidas por la industria Q,200
100 x1
unidades las utiliza P y160
48 x2unidades las emplea Q misma. As tenemos,
Produccin total Unidades Unidadesde la industria P = consumidas por P + consumidas por Q + Demanda final.Esto es,
X2=200
100 x1 +160
48 x2+ 60
Estas dos ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como
2
1
x
x=
160
48
200
100
160
64
20060
2
1
x
x+
60
70.
En consecuenciaX = AX + D
En donde
X =
2
1
x
x, A =
160
48
200
100
160
64
20060
y D =
60
70.
Llamaremos a Xla matriz de produccin, a D la matriz de demanday a Ala matrizinsumo-producto. Los elementos de la matriz A se denominan coeficientes de
insumo-producto.
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Consideramos la interpretacin de los elementos de la matriz insumo-producto. Como
de costumbre, denotaremos por aija un elemento arbitrario de A.Ntese que de las 200unidades de los insumos totales de la industria P, 60 constan de unidades de su propio
producto y 100 corresponden a unidades del producto Q. Por ello, los elementos200
60y
200
100de la primera columna de la matriz insumo-producto representan la proporcin de
los insumos de P que provienen de las industrias P y Q, respectivamente. En general, aijrepresenta la parte fraccionaria de los insumos de la industria j que son producidos porla industria i.Cada elemento de la matriz de insumo-producto est entre 0 y 1, y la suma de loselementos de cualquier columna nunca es mayor que 1. Observemos que la matrizinsumo-producto.
A =
160
48
200
100
160
64
20060
=
3.05.0
4.03.0
Del ejemplo anterior puede obtenerse directamente de la tabla 1 dividiendo cada nmeroen el rectngulo interior de la tabla ente la produccin total de la industria que encabezala columna. Por ejemplo en la primera columna, encabezada por P, dividimos cada
elemento entre 200, que es la produccin total de la industria P. As, obtendremos 20060
y200
100como los elementos de la primera columna de la matriz insumo-producto.
La ecuacin (1), X= AX+ D, se conoce como ecuacin insumo-producto. A fin deencontrar la matriz de produccin X que cumplir con las demandas finales
proyectadas, debemos resolver la ecuacin (1) para X. Tenemos.
X =AX +DXAX =D.
Podemos escribir esto como
IXAX= Do bien (IA) X= D
Tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es (I A).Podemos resolver este sistema por medio de la reduccin por renglones o de formaalterna utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. Suponga que (I A) existe.Entonces, como en la seccin 9-1, tenemos
(I - A) (IA) X = (IA)DX = (IA)D.
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Por tanto, observaremos que la matriz de produccin Xqueda determinada una vez quese encuentra la inversa de la matriz (I A). Esta inversa puede calcularse usando losmtodos de la seccin 91.
En nuestro ejemplo, tenemos
IA =
10
01-
3.05.0
4.03.0=
7.05.0
4.07.0.
Empleando los mtodos de la seccin 91, encontramos que
(I - A) =29
1
7050
4070.
En consecuencia,
X = (IA) D
=29
1
7050
4070
60
70=
29
7700
29
7300
=
5.265
7.251.
Concluyendo, la industria P debe producir 251.7 unidades y Q debera producir 265.5unidades con objeto de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 aos.
Puede suceder que un economista no tenga seguridad acerca de sus pronsticos de lasdemandas futuras finales. As l o ella podra desear calcular la matriz de produccin X
para diferentes matrices de demanda D.En tal caso, es mucho ms conveniente utilizarla frmula X = (I A)D, que incluye la matriz inversa, que utilizar la reduccin porregln para obtener Xpara cada Ddiferente.
EJERCICIOS 2.3
63.- (Modelo insumo-producto) La Tabla 1 de la interaccin entre dos sectores enuna economa hipottica.
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Tabla 1Industria Demandas ProduccinI II finales total
Industria
I 20 56 24 100II 50 8 22 80InsumosPrimarios 30 16
a.- Encuentre la matriz insumo-producto A.
b.- Si en 5 aos las demandas finales cambian a 74 en el caso de la industria I y a 37para la industria II, cunto deber producir cada industria a fin de satisfacer estademanda proyectada?
c.- Cules sern los nuevos requerimientos de insumos primarios en 5 aos para las dosindustrias?
64.- (Modelo insumo-producto) La interaccin entre tres industrias P, Q y R estdada por la tabla 2.
Tabla 2Industria Demandas ProduccinP Q R finales total
IndustriaP 20 0 40 40 100Q 40 40 100 20 200R 0 80 40 80 200InsumosPrimarios 40 80 20
a.- Construya la matriz de insumo-producto.
b.- Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en
el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente.
c.- Cules sern entonces los insumos primarios para las tres industrias?
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2.4 DETERMINANTES ( )
DEFINICIN:A cada matriz cuadrada se le puede asociar un nmero real denominado
su determinante, se denota encerrando la matriz entre barras verticales.
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| det(A), al nmero:
, con
(Snes el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i( ) es la signatura de lapermutacin)
Tambin se suele escribir:
2.4.1 Determinantes de 2x2
Se define por la expresin siguiente
=22
11
ba
ba= a1b2a2b1
Es la operacin del producto de la diagonal principal menos el producto de la otradiagonal.
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Ejemplo 2.4.1:
Evale los determinantes siguientes:
A=54
32 B =
40
23
Solucin:
2.4.2 Determinantes de 3x3
=
333
222
111
cba
cba
cba
=
Esta expresin se denomina el desarrollo completo del determinantede tercer orden,Observe que contiene seis trminos, tres positivo y tres negativos y cada trmino constadel producto de tres elementos del determinante.
EJERCICIOS 2.3
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Calcule los determinantes siguientes:
Determine x.
2.4.2.a Solucin de determinantes de 3x3 por superposicin de filas
Ejemplo:
Encuentre el determinante de la siguiente matriz=
413
241
132
Si superponemos las filas R1 y R2 por debajo de la matriz y multiplicamos tal y comomuestran las flechas tomando en cuenta que las de direccin hacia arriba son negativasy las de direccin hacia abajo son positivas, luego sumamos los resultados.
2.4.2.b Solucin de determinantes de 3x3 por cofactores
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Definicin: El menor de un elemento de un determinante es igual al determinanteobtenido suprimiendo el rengln y la columna de que contienen al elementoconsiderado. Si este elemento pertenece al i-simo rengln y a la j-sima columna de,
Entonces su cofactor es igual a )1( ji
veces su menor.
Ejemplo:
Calcule el cofactor y el menor del elemento a21del siguiente determinante:
=
413
241
132
Esta claro que a21 = 1 donde i= 2 y j = 1 , entonces i + j = 2 + 1 = 3Decimos que su menor es = )1(
ji = )1( 3 = - 1
a21x )1( ji
= 1 ( - 1) = -1
El cofactor A21es el resultado del menor por el determinante resultante de a21;
El determinante resultante es = 13
A21 = ( -1 ) (13) = - 13
Ahora que esta definido el cofactor planteamos la formula del determinante via matrizde cofactores:
=333
222
111
cba
cba
cba
= aA + bB + cC donde a, b y c son los menores y A, B y C los determinantesresultantes.
Ejemplo 2.4.2.bCalcule el determinante utilizando el rengln 1 o sea R1:
=413241
132
= a1A1 +b1B1 + c1C1
-
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Esta claro que a11 = 2 donde i= 1 y j = 1 , entonces i + j = 1 + 1 = 2Decimos que su menor es = )1(
ji= )1(
2
= 1
a11x )1( ji
= 2 ( 1) = 2 por lo tanto a1= 2,
Esta claro que a12 = 3 donde i= 1 y j = 2 , entonces i + j = 1 + 2 = 3Decimos que su menor es = )1(
ji= )1(
3
= -1
a12x )1( ji
= 3 ( - 1) = - 3 por lo tanto b1= -3,Esta claro que a13 = -1 donde i= 1 y j = 3 , entonces i + j = 1 + 3 = 4Decimos que su menor es = )1(
ji= )1(
4
= 1
a13x )1( ji
= -1 ( 1 ) = - 1 por lo tanto c1= -1
= a1A1 +b1B1 + c1C1 = 241
24+ (-3)
43
21
+ (-1)
13
41
= 2 [ 4(4)1(2)]3 [ 1(4)(-3)(2) ]1 [ 1 (1)(-3)(4) ]= 2 [ 14 ]3 [ 10 ]1 [ 13 ]= -15
Calcule el determinante por el segundo rengln o sea R2.
EJERCICIOS 2.4
Calcule los determinantes siguientes:
Pos superposicin en el caso de las matrices 3x3 y por cofactores.
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Determine x.
2.5 REGLA DE CRAMER
2.5.1 Teorema:Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables
Dado el sistema :
entonces:
Nota:El determinantees el determinante de la matriz coeficiente. Si es diferentede cero, entonces el sistema tiene exactamente una solucin. Por otro lado, si= 0,entonces el sistema tiene infinito nmero de soluciones o ninguna solucin.
Ejemplo2.5.1: Resolver el siguiente sistema utilizando regla de Cramer
3x 5y = -7-2x + 3y = 5
Solucin:
-
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Tenemos la matriz de coeficientes A =32
53
luego A == 3(3)(-2)(-5) = -1
2
1
k
kes la matriz de valores o trminos independientes =
5
7
x =1
35
57
=1
)5(53)7(
=
1
2521
=
1
4
= -4
y =
1
52
73
=
1
)7)(2()5(3
=
1
1415
=
1
1
= -1
2.5.2 Teorema:Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables
Dado el sistema:
entonces:
Nota:El determinantees el determinante de la matriz coeficiente. Si es diferentede cero, entonces el sistema tiene exactamente una solucin. Por otro lado, si= 0,entonces el sistema tiene infinito nmero de soluciones o ninguna solucin.Ejemplo 2.5.2: Resolver el siguiente sistema utilizando regla de Cramer
x + 2y + 3z = 32x + 5y + 7z = 63x + 7y + 8z = 5
-
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Tenemos la matriz de coeficientes
873
752
321
= -2
3
2
1
k
k
k
=
5
6
3
x =2
875
756
323
=
2
2
= -1
y =2
853
762
331
=
2
4
= -2
-
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z =2
573
652
321
=
2
4
= 2
Ejercicio: Resuelva el siguiente sistema utilizando regla de Cramer;
2x3y + z = 5
x + 2yz = 76x9y + 3z = 4
La solucin a este sistema es: C.S. { 1 , 2 , -1 }
EJERCICIOS 2.5
Por medio de la regla de Cramer resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes:
72.- 3x + 2y = 1 73.-31 x +
2
1 y = 7
2x - y = 32
1x -
5
1y = 1
74.- x + y + z = -1 75.- 2xy + z = 22x + 3yz = 0 3x + y2z = 93x2y + z = 4 -x +2y + 5z = 5
76.- x + 3y z = 0
3x - y + 2z = 02x5y + z = 5
PROGRAMACION LINEAL
CAPITULO 3
3.1
DESIGUALDADES LINEALES
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Introduccin
La desigualdad y >2x 4, que relaciona las variables xy y, es un ejemplo de lo quellamamos desigualdades lineales. Para entender mejor este concepto empezaremos
examinando la grfica.Asumimos la funcin como y = 2x 4, notamos que su intercepto con el eje y es -4 osea el punto (0,-4) y luego de despejar x y hace y = 0 encontramos el Ix = 2 o sea el
punto (2,0).
Considere:Si sustituimos el punto (0,0) se satisface la desigualdad0 >- 4Si sustituimos el punto ( -4, 4) tambin se satisface la desigualdad4 >-12Pero al sustituir el punto (-6, 4) notamos que no satisface-6 >4 es falso,Entonces vemos que en las desigualdades existen puntos que pueden satisfacer, lo que
verificamos es que no son de una nica solucin como las igualdades, por lo que lasdesigualdades la solucin al sistema se encuentra por regiones de puntos y se colorea laregin que satisface la desigualdad.
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La regin sombreada refleja el universo de todos los puntos solucin a la desigualdady >2x -4
Nota: la recta y = 2x -4 debe ser discontinua pues ningn punto de la recta satisface ladesigualdad, solo cuando la misma recta desigualdad satisfaga podr graficarse conlnea continua y colorear segn se encuentre la regin solucin a la desigualdad.
Inversiones
Ejemplo 3.1.1:
Un accionista planea invertir $30,000 en dos inversiones A y B. La accin A esta
valorada en $165 y la accin B en $90 por accin. Si el accionista compra xacciones deA y yacciones de b, grafique la regin xy que corresponde a las posibles estrategias deinversin.
Solucin:
Las acciones x de la inversin A tendran un costo de 165x dlares y de manera similarlas de la inversin B tendran un costo de 90y dlares. La suma total invertida estariadada por:( 165x + 90y ) dlares y no podr exceder los $30,000En consecuencia obtenemos la siguiente desigualdad:
165x + 90y 30,000
Luego si despejamos para y tenemos:
y -90
165x +
90
000,30
y -6
11x +
3
1000
la grfica de esta desigualdad aparece en la figura 3.1
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Figura 3.1
Nota: Solo tiene importancia la regin donde x0 y y0.
Algunos ejemplos grficos:
Las desigualdades lineales aparecen en muchos problemas de inters prctico.El ejemplo siguiente ilustra una situacin comn.
-
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Ejemplo 3.1.2La compaa Midtown Estndar hace platos y tasas de plstico que requieren tiempo por
parte de dos maquinas. Una unidad de platos requiere 1 hora en la maquina A y 2 en lamaquina B. mientras que una unidad de tazas requiere de 3 horas en la maquina A y de1 en la maquina B. Cada maquina por sus especificaciones no puede operar mas de 15
horas al da. Escriba un sistema de desigualdades que exprese esas condiciones y tracela grfica de la regin factible.
Solucin:
Es muy aconsejable poder describir primero un a matriz de datos, utilizar las variables xy ypor conveniencia, por eso llamaremos xa los platos y ya las tazas, la informacin la
podramos presentar con la siguiente tabla:
Vea 1x + 3y 15 y 2x + 1y 15
Es claro tambin que no es posible producir un nmero negativo de platos y tazas por lo
que x 0 y y 0Con la cuatro desigualdades anteriores podemos graficar la regin factible (vase figura3.1.2 )
Nota:Dependiendode una buenaubicacin de datos, lasdesigualdades son msfciles de apreciar
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Figura 3.1.2
EJERCICIOS 3.1
Bosqueje las grficas de las desigualdades siguientes en el plano xy.
77.- x + y > 1
78.- 2x + 3y < 6
79.- 2xy 4
80.- 3x y 6
81.- 2x + 3 > 0
82.- 43y < 0
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3.2 EL MTODO GRFICO
Muchos problemas de negocios y ciencias econmicas implican encontrar el valoroptimo de una funcin, el valor mximo de la funcin de ganancia o el valor mnimo dela funcin de costos, todo esto sujeto a varias restricciones (como costos de transporte,
leyes de proteccin contaminantes entre otros). La programacin lineal trata situacionesdonde la funcin optima o por optimizar es llamada funcin objetivo, es lineal y lasrestricciones estn dadas por desigualdades lineales.Los problemas de desigualdades lineales de dos variables pueden ser resueltos por elmtodo grfico.
Pasos para solucin Grfica:a. Escriba la funcin objetivo y todas las restricciones necesarias
b. Haga la grfica de la regin factiblec. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos esquinad. Encuentre el valor de la funcin objetivo en cada punto esquina.
e. La solucin es aquella que produce el valor ptimo de los puntos esquina.
Nota: es importante que para lo anterior sea posible, la regin solucin debe seracotada o sea tener rea finita.
Ejemplo 3.2
Encuentre el punto mximo y mnimo de la funcin objetivo z = 2x + 5y, sujeta a lassiguientes restricciones:Solucin: a.
3x + 2y 6-2x + 4y 8
x + y 1x 0 y 0
b. Se traza la grfica y se encuentra la regin factible,
c. Luego de encontrar las coordenadas de los puntos esquina.
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(0,2), (1,0), (2,0), (2
1,4
9) y (0,1)
d. Evaluamos los puntos esquina en la funcin objetivo:
Ejercicio:Un ganadero cra Vacas y Cerdos, quiere criar no mas de 16 animales, pero as no masde 10 vacas, gasta $15 para criar una vaca y $45 para criar un cerdo. El tiene disponible
para este proyecto 540$, encuentre la ganancia mxima que puede lograr si cada vacaproduce una ganancia de $7 y cada cerdo de $20.
Solucin: 6 vacas y 10 cerdos con una ganancia de 242$
EJERCICIOS 3.1
Bosqueje las grficas de los conjuntos de desigualdad siguientes.
83.- x + y > 2, 3x + y < 3
84.- 2x + y > 4, x + 2y < 4, 2x3y < 3
85.- 0 x 10, 0 y 15, 5 x + y 12
86.- x 0, y 0, x y 2, 2x + y 2
87.- (Distribucin de materiales) Una compaa tiene 100 toneladas de lmina dealuminio en cierta localidad y 120 toneladas en una segunda localidad. Parte de estematerial debe enviarse a dos obras en construccin. La primera requiere 70 toneladas yla segunda 90. Denotemos con x y y las cantidades enviadas por la primera bodega a lasdos obras, respectivamente. Determine las desigualdades que x y y deben satisfacer y
represnteles grficamente.
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88.- (Asignacin a mquinas)Una compaa elabora dos productos, A y B. Cada unode estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos mquinas en suelaboracin. Cada unidad del producto A requiere 1 hora en la mquina I y 2 horas en lamquina II; cada unidad del producto B demanda 3 horas en la mquina I y 2 horas en lamquina II. La compaa dispone de 100 horas a la semana en cada mquina. Si x
unidades del producto A y y unidades del producto B se producen a la semana, d lasdesigualdades que satisfacen x y y y represntelas en forma grfica.
Calcule el valor mximo de la funcin objetivo Z sujeta a las restricciones dadas.
89.- Z = 3x + 2y; x 0, y 0, x + y 5
90.- Z = 3x + 4y; x 0, y 0, 2x + y 3
91.- Z = 3x + 2y; x 0, y 0, 2x + y 4, x + 2y 5
92.- Z = 2(x + y); x 0, y 0, 6x + 5y 17, 4x + 9y 17
Determine los valores mnimos de la funcin objetivo Z sujeta a las restriccionesdadas.
93.- Z = x + y; x 0, y 0, x + 3y 6, 2x + y 7
94.- Z = x + 2y; x 0, y 0, x + y x 5, x + 4y 8
95.- Z = x2y; x 0, y 0, x y + 1, x + y 2
96.- Z = x3y, 0 x 3, y 0, x + 2y 6, x + y 5
97.- (Decisiones sobre produccin) Una compaa produce dos productos, A y B.Cada unidad de A requiere 2 horas en una mquina y 5 en una segunda mquina. Cadaunidad de B demanda 4 horas en la primera mquina y 3 en la segunda mquina. Sedispone de 100 a la semana en la primera mquina y de 110 en la segunda. Si lacompaa obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B,cunto deber de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?
98.- (Planeacin diettica)la dietista de un hospital debe encontrar la combinacinms barata de dos productos, A y B, que contienen al menos 0.5 miligramos de tiaminay al menos 600 caloras. Cada onza de A contiene 0.12 miligramos de tiamina y 100caloras, mientras que cada onza de B contiene 0.08 miligramos de tiamina y 150caloras. Si el costo de cada alimento es de $10 por onza, cuntas onzas de cada unodebern combinarse?
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3.3 EL MTODO SIMPLEX
El mtodo del simplex fue creado en 1947 por el matemtico George Dantzig.
El mtodo del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programacin
lineal en los que intervienen tres o ms variables.
El lgebra matricial y el proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver unsistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo simplex.
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso.El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin.
Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consisteen buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace
siempre a travs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero devariables es mayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se
podr encontrar la solucin.
El mtodo del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, notoma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largode la cualf aumenta.
Forma Estndar de Maximizacin:a. La funcin objetivo debe de ser maximizada
b. Todas las variables son no negativas ( xi
0, i = 1, 2, 3, .);c. Todas las restricciones contienen ;d. Las constantes a la derecha en las restricciones son todas no negativas (b0).
Formulacin de un problema:El primer paso es convertir cada restriccin, dada por la desigualdad lineal, en unaecuacin lineal, esto se hace agregando una variable no negativa, llamada variable deholgura a cada restriccin, por ejemplo:
Convertir la desigualdad x1 + x2 10 en ecuacin,
Lo que se hace es que agregamos la variable de holgura que llamamos x3 as:x1 + x2 + x3 = 10, donde x3 0.La variable x3 absorbe cualquier holgura y representa la cantidad por la que x1 + x2 deja de ser igual a 10.
NOTA:Una variable de Holgura deber de usarse por restriccin.
La mecnica del mtodo simplex se plantea en el siguiente problema.
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Ejemplo 3.3Maximicez= 8x1 + 12x2 Sujeta a:40x1
+ 80x2
560
6x1 + 8x2 72
x1 0 y x2 0
Solucin:
Agregamos las variables de holgura a cada restriccin.40x1 + 80x2 + x3 = 560
6x1 + 8x2 + x4 = 72
Luego escribimos la tabla simplex inicial as:
x1 x2 x3 x4 z
0100128
7201086
5600018040
La ltima fila es donde se ubican los indicadores.
Esta tabla representa un sistema de 3 ecuaciones con 6 variables, como hay masvariables que ecuaciones, es sistema es dependiente y tiene un nmero infinito desoluciones. Nuestra meta es encontrar una solucin en donde todas las variables sean nonegativas y z sea tan grande como sea posible. Esto se har por medio de operacionessobre renglones para reemplazar el sistema dado por otro equivalente, donde ciertasvariables se eliminan de algunas ecuaciones. El proceso se repite hasta que la solucinptima pueda leerse en la matriz.
Ahora debemos seleccionar un pivote, con el indicador negativo de mayor magnitud(-12)seleccionamos nuestra columna pivoteesto es:
x1 x2 x3 x4 z
0100128
7201086
5600018040
Columna pivote
Procedimiento para encontrar el rengln pivote:
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Lo que hacemos es que de cada trmino de la columna pivote divide a su respectivovalor de la columna situada a la derecha as y seleccionamos el menor as:
Rengln pivoteColumna pivote Pivote
Entonces de la unin de la columna pivote y el rengln pivote tenemos el pivote y eneste ejemplo es 80.
Para comenzar el pivoteo, convertimos el pivote en 1 y todos lo dems elementos de la
columna pivote en cero.
Como todava aparece un indicador negativo, repetimos el procedimiento hasta que elindicador sea positivo. Ahora la primera columna se convierte en nuestra nuevacolumna pivote.
Encontramos los cocientes y elegimos el menor:
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5.0
7= 14 y
2
16= 8 entonces el segundo rengln se convierte en rengln pivote y 2
nuestro nuevo pivote.Repetimos el pivoteo as:
Como ya no tenemos indicadores negativos, decimos que hemos concluido el procesode pivoteo y lo que hacemos es encontrar en la ultima tabla matricial el conjunto desolucin que maximiza la operacin,
Aqu la solucin bsica factible es x1 = 8 y x2 = 3 y su funcin objetivo esz= 8x1 + 12x2 as que al sustituir las variables encontramos que
z= 8 ( 8 ) + 12 ( 3 ) = 100 tal y como lo evidencia la tabla matricial en su ultimoelemento.
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EJERCICIOS 3.3
Utilice mtodo Simplex
99.- Maximice Z = x + 3y + 2z sujeta a x 0, y 0 y z 0,
2x + y + z 5 , x + 2y + z 4
100.- Maximice Z = x + y + z sujeta a x 0, y 0 y z 0,4x +2y + z 11 , 2x + 2y + 3z 15, x + 2y + 2z 11
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SOLUCIN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1. A : 2 X 2 ; B: 2 X 3 ; C: 3 X 1 ; D: 3 X 3 ; E:2 X 3 ; F: 2 X 2 ;
G: 1 X 3 ; H= 1 X 1 2. 0,,,,0,,,,0 zyzxyxormaatrizdelafCualquierm
3.
6 12
3 9
4.
2 4 6
4 2 8
6 0 4
5.
2 0 5
0 6 1
6.
2 3 1
4 6 1
3 3 1
7.
4 13
1 6
8.
4 7
7 3
18 21
9.
2 1 12
13 4 12
5 10 21
10.
6 5 22 1
3 4 35 16
3 3 0 17
11. x = 1,y = 4
12. x = 4,y = 1,z = -1, t = 1
13. x = 1,y = 2,z = 8, t = 4
14. x = 2,y =2,z = 3, t = 1, u=4, v = 3, w = 0
-
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15. x = 0,y = 1,z = 2, t = 1, u =2, v = 3, w = 0.16. A+B+ C=
20+22+18 35+36+32 25+24+26
8+9+11 10+9+8 6+8+5 =
60 103 75
28 27 19
17. (a) A+ B=
0 33 39
35 0 38
45 30 0
(b) 5(A+ B)= 5
0 33 39
35 0 38
45 30 0
=
0 165 195
175 0 190
225 150 0
18. (a) no tiene solucin
(b) (1.5)
30 34 20
45 20 16
14 26 25
+ (1.25)
35 30 26
52 25 18
23 24 32
=
88.75 88.5 62.5
132.5 61.25 46.5
49.75 69 77.5
19. 3 x3
20. 4 x 4
21. 2 x 4
22. 3 x 5
23. 2 x 5
24. CBA es no definida por el numero de columnas (3) en BA.25. [ 23 ]
26. [ 3 4 ]
27.
18
28
28.
2
6
10
-
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29.
1 4
5 1
4 5
30.
2 2 3
5 8 5
2 3 8
31.
11
6
32
2.
5 7 8 21
14 9 16 41
33.
1 2 3
4 5 6
1 0
2 4
0 3
3 1
2 1 =
3 17
6 38
3 1
2 1 =
25 14
58 32
34. A25 A+ 2I=
1 0 0
0 2 1
0 0 3
1 0 0
0 2 1
0 0 3
5
1 0 0
0 2 1
0 0 3
+
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0 0
0 4 5
0 0 9
5 0 0
0 10 5
0 0 15
+
2 0 0
0 2 0
0 0 2
=
2 0 0
0 4 0
0 0 4
35.
2 3
1 4
x
y =
7
5
36.
3 2
4 5
x
y =
4
7
-
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37.
1 2 3
2 1 4
0 3 2
x
y
z
=
8
13
5
38.
2 1 0
0 3 4
1 0 5
x
y
z
=
3
7
9
39.
2 1 0 1
0 3 2 4
1 2 4 1
x
y
z
u
=
0
5
12
40.
2 3 4 0
1 0 3 5
1 1 1 -2
x1
x2
x3
x4
=
5
7
0
41. [ ]5 8 4 10
650
550
500
300
= 12,650.
42. B=
20 15 30
4 0 10
5 8 20
3 8 10
3 2 12
y A B=
233 200 498
242 201 490
248 201 510
43. x = 3,y =1
44. u = 4, v =1
-
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45. x1= 1,x2= 2,x3=1
46. u = 2, v = 1, w = 3
47. x =
1,y = 3,z =
3, t = 2
48. x1= 1,x2= 2,x3= 1,x4=2
49. x = 4,p = 17
50. six son unidades de A,y unidades de B yZ unidades de C producidas.entonces 3x +y + 2z = 850,x + 2y + 4z = 1200, 2x +y +z = 550.La solucin es:x = 100,y = 150 y z = 200.
51. Si x,y,z son unidades de tipo 1,2 y 3 a descargar.Entonces el total de espacio ocupara: 5x + 2y + 4z = 1050;total de carga: 2x + 3y +z = 550total de transporte: 10x + 40y + 60z = 13,500.Solucin ser:x = 50,y = 100 y z = 150.
52. Six,y,z son horas- hombre para los tres proyectos.Entonces la solucin ser:x +y +z = 5000, 8x + 10y + 12z = 53,000 y z =x +y.donde:x = 1000,y = 1500 y z = 2500.
-
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53.
54.
55. No inversa
56. (1/11)
1 2 6
2 4 1
6 1 3
57. (1/13)
6 1 3
1 2 6
2 4 1
58.
59. 2x3y= 1 y 3x+ 4y= 10 da :2 3
3 4
x
y
1
10
. Esto implica
x
y
2 3
3 4
11
10
4 /17 3/17
3/17 2 /17
1
10
34/17
17/17
2
1
O sea x= 2,y= 1.
60. 2xy +3z=3 ; x+y +z= 2 y 3x+ 2yz= 8 da :
2 1 3
1 1 1
3 2 1
x
y
z
3
2
8
. Esto implica
-
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x
y
z
2 1 3
1 1 1
3 2 1
13
2
8
(1/13)
3 5 4
4 11 1
1 7 3
3
2
8
1
2
1
.
,x= 1,y= 2,z=1.
61. 2u+ 3v 4w =10 ; 2u+ 0v + w = 1 y u+ 2v + 0w = 1 da :
2 3 4
2 0 1
1 2 0
u
v
w
10
1
1
. Esto implica
u
v
w
2 3 4
2 0 1
1 2 0
110
1
1
(1/15)
2 8 3
1 4 6
4 1 6
10
1
1
1
0
3
.
, u = 1 , v = 0 , w= 3.
62. A=
1 3
2 4
, B=
2 1
3 1
da
A1
=
232
1 1
2
and B
1
=
1 1
3 2
AB=
1 3
2 4
2 1
3 1
=
7 2
8 2
gives
(AB)1=
1 1
4 7
2
B1A1
1 1
3 2
2 3
2
1 1
2
1 1
4 72
= (AB)1
-
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63. (a) A
20
100
56
80
50
100
8
80
0.2 0.7
0.5 0.1
(b) IA =
0.8 0.7
0.5 0. 9
da(IA) 1=
1
37
90 70
50 80
X =(IA)1 D 1
37
90 70
50 80
74
37
250
180
250 unidades de la industria I y 180 unidades de la industria II.
(c) los nuevos requerimientos para las dos industrias sern (30/100)(250) y
(16/80)(180) o sea 75 y 36 unidades
64. La matriz a introducir es :
A
20/100 0 40/200
40/100 40/200 100/200
0 80/200 40/200
1/5 0 1/5
2/5 1/5 1/2
0 2/5 1/5
Queremos invertir (IA).
( IA | I)
4/5 0 1/5 1 0 0
2/5 4/ 5 1/ 2 0 1 0
0 2/5 4/5 0 0 1
Se sigue la siguiente operacin. R3+ (1/2)R2; (5/4)R2;R1+ (1/2)R3; R2+ (3/2)R3; 2 R3; y obtenemos :
1 0 0 11/8 1/ 4 1/2
0 1 0 1 2 3/2
0 0 1 1/ 2 1 2
La nueva matriz de salida X es :
-
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X =(I A)1D =
11/8 1/4 1/2
1 2 3/2
1/2 1 2
70
50
120
675/4
350
325
Nuevos datos primeros: para P, (40/100)(675/4) = 67.5 ; para Q, (80/200)(350)= 140; y para R , (20/200)(325) = 32.5.
65. 25 66. 34
67. 38 68. 32
69. 21 70. 4
71. x= 3
72. 7, 17,27 ives
1
1,
2
1
73. x= 6,y= 10
74. x= 1,y=1,z=1 75. x= 2,y= 1,z=1
76. x= 1,y=1,z=2
-
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77. 78. 79.
y
x
1
1
y
x
(0,2)
(3,0)
y
x
(0,4)
(2,0)
80. 81. 82.
y
x
(0,6)
(2,0)
y
x
(3/2,0)
y
x
(0,4/3)
85.
y
x
12
15
5
12
10
5
86.
y
x
2
2
1
2
-
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100
120
P1
P2
x
90 y
y
70 x
70
90
87. 0 70, 0 90,40 + 100
y
x40
100
70
90
40 100
88.
89. Los vrtices de la regin factible son (0, 0), (5, 0) y (0, 5).
Zmax. = 15 en (5, 0).
90. Los vrtices de la regin factible son (0, 0), (3/2, 0) y (0, 3).
Zmax. = 12 at (0, 3).
91. Los vertices son (0, 0), (2, 0), (1, 2) y (0, 5/2). Zmax. = 7 en (1, 2).
92. Los vertices son (0, 0), (17/6, 0), 0, 17/9) y (2, 1).Zmax. = 6 en (2, 1).
93. Los vertices son (6, 0), ( 3,1) and (0, 7). Zmin. = 4 en (3, 1).
94. Los vertices son (8, 0), ( 4,1) and (0, 5). Zmin. = 6 en (4, 1).
95. Zmin= es incalculable, regin infinita
96. No tiene solucin: regin factible vaca.
97. Sixunidades de A y yunidades de B son producidas, entonces necesitamos
mximizar
-
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Z= 70x+ 50y sujeto a x,y 0, 2x+ 4y 100 y 5x+ 3y 110.
Zmax. = $1700 en x= 10, y= 20.
.
98. Si xonzas de A yyonzas de B son usadas, entonces necesitamos minimizar
(en dlares) Z = $0.1(x+y) sujeto a: x,y 0, 0.12x+ 0.08y 0.5 y
100x+ 150y 600. Zes mnimo cuando x= 2.7 onzas de A yy= 2.2 onzas de
B.
99.
100.
