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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE UNA VARIABLE.
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 66
1.8.- MÉTODOS ABIERTOS.
En los métodos cerrados de la sección anterior la raíz se encuentra dentro del intervalo
predeterminado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos
métodos siempre genera aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz. Se dice que tales
métodos son convergentes porque se acercan progresivamente a la raíz a medida que se
avanza en el cálculo.
En contraste, los métodos abiertos descritos en esta sección se basan en fórmulas
que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos,
pero que no necesariamente encierren la raíz. Estos, algunas veces divergen o se alejan de
la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos
abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.
1.9.- MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON.
El método de Newton – Raphson (o simplemente Newton) es uno de los métodos
numéricos más conocidos y poderosos para la resolución del problema de búsqueda de
raíces de 0)( xf . Hay, por lo menos, tres maneras usuales de introducir el método de
Newton. La más común es considerar la técnica gráficamente. Otra posibilidad es la de
derivar el método de Newton como una técnica simple para obtener una convergencia más
rápida de la que ofrecen muchos otros tipos de iteración funcional. La tercera manera de
introducir el método de Newton, la cual se discutirá posteriormente, es un enfoque intuitivo
basado en el polinomio de Taylor.
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A
diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton – Raphson no trabaja sobre un
intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación 0x a la raíz p de )(xf ,
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Figura 1.28. Aplicación del método de Newton –
Raphson.
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ))(,( 00 xfx ; ésta cruza al eje x en un
punto 1x que será nuestra siguiente aproximación a la raíz p.
Para calcular el punto 1x , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos
que tiene pendiente
)( 0xfm
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
)()()( 000 xxxfxfy
Hacemos 0y , 1xx :
)()()( 0100 xxxfxf
Y despejamos 1x :
)(
)(
0
001
xf
xfxx
Que es la fórmula iterativa de Newton – Raphson para calcular la siguiente aproximación:
)(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx , ni ...,,3,2,1 (1.18)
En la figura siguiente se ilustra la aplicación sucesiva del método de Newton – Raphson.
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Figura 1.29. Ilustración del método de Newton –
Raphson.
Basándonos en el polinomio de Taylor, es posible deducir la fórmula iterativa del Método
de Newton – Raphson como se muestra a continuación.
Supóngase que la función f es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo
],[ ba ; o sea, ],[C 2 baf . Sea ],[ 0 bax una aproximación a p tal que 0)( 0 xf y
01 xx es “pequeño”. Considere el polinomio de Taylor de primer grado para )(xf
alrededor de 0x .
))((2
)()()()()(
2
0000 xf
xxxfxxxfxf
(1.19)
donde )(x está entre x y 0x . Como 0)( xf , la ecuación (1.19) con 1xx , nos da
))((2
)()()()(0
2
010010 xf
xxxfxxxf
(1.20)
El método de Newton se deriva suponiendo que el término que contiene a 2
01 )( xx es
despreciable y que
)()()()( 0010 xfxxxfxf (1.21)
)(
)(
0
001
xf
xfxx
(1.22)
Despejando 1x de esta ecuación da:
)(
)(
0
001
xf
xfxx
(1.23)
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lo cual debe ser una mejor aproximación a x que 0x . Esto prepara el terreno para el método
de Newton – Raphson, que involucra el generar la sucesión }{ ix definida por
)(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx , 1i (1.24)
Note que el método de Newton – Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que
encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos
a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en
cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la
raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos
por excelencia.
También observe que en el caso de que 0)( 1 ixf , el método no se puede aplicar. De
hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por
lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso
1ix mismo es una raíz de )(xf !
Requisitos para la aplicación del método de Newton - Raphson.
Para la aplicación del método de Newton – Raphson, debe disponerse de:
a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .
b) Una estimación inicial 0x del valor de la raíz.
c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.
El método de Newton – Raphson se realiza con los siguientes pasos:
i) Definir )(xf . Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las
raíces debe ser continua.
ii) Encontrar )(xf , la derivada de la función.
iii) La fórmula iterativa del método es: )(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx . Esta fórmula se aplica mediante
la determinación de la función )(xf y la derivada )(xf en 1ix , esto es, )( 1ixf y
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)( 1
ixf y posterior sustitución ó sustituyendo las expresiones correspondientes a )(xf y
)(xf en la fórmula iterativa directamente.
Algoritmo del método de Newton – Raphson.
Para encontrar una solución de 0)( xf dada una aproximación inicial 0x :
ENTRADA: Aproximación inicial 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.
SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.
Paso 1. Tomar 1i . Determinar )( 0xf y )( 0xf .
Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 6.
Paso 3. Tomar )(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx . (Calcular ix )
Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx
xx
i
ii 1001 entonces
SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).
PARAR
Paso 5. Determinar )( ixf .
Paso 6. Tomar 1 ii .
Paso 7. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”). (Procedimiento
completado sin éxito).
PARAR.
Ejemplo 1.13.
Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .
Realice tres iteraciones. Calcule el error relativo porcentual tanto aproximado como
verdadero en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es 0.70346742250.
Solución.
- Ecuación a resolver: 02 xex .
- Una estimación inicial 0x del valor de la raíz es 20 x .
- Se ejecutarán 3 iteraciones.
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Desarrollo del método.
i) Definimos xexxf 2)( .
ii) Derivada de la función: xexxf 2)( .
iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.
Primera iteración ( 1i ).
)(
)(
0
001
xf
xfxx
20 x
68646647167.3)2()2()( )2(2
0 efxf
41353352832.4)2(2)2()( )2(
0 efxf
41353352832.4
68646647167.321 x
2731.065453111 x
En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta tangente en
20 x . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la estimación de la raíz. El
valor indicado es 2731.065453111 x .
Figura 1.30. Primera iteración del método de Newton
– Raphson para xexxf 2)( con 20 x .
Segunda iteración ( 2i ).
)(
)(
1
112
xf
xfxx
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2731.065453111 x
5860.79061864)2731.06545311()2731.06545311()( )2731.06545311(2
1 efxf
5032.47547791)2731.06545311(2)2731.06545311()( )2731.06545311(
1 efxf
5032.47547791
5860.790618642731.065453112 x
6970.746072902 x
Gráficamente:
Figura 1.31. Segunda iteración del método de
Newton – Raphson para xexxf 2)( con
20 x .
Tercera iteración ( 3i ).
)(
)(
2
223
xf
xfxx
6970.746072902 x
5170.08239955)6970.74607290()6970.74607290()( )6970.74607290(2
2 efxf
1281.96637104)6970.74607290(2)6970.74607290()( )6970.74607290(
2 efxf
1281.96637104
70823995551.06970.746072903 x
9090.704168523 x
Gráficamente:
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Figura 1.32. Tercera iteración del método de Newton
– Raphson para xexxf 2)( con 20 x .
Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se
aproximan al verdadero valor de la raíz.
Error relativo porcentual de aproximación.
100actualón Aproximaci
anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci
a
1009090.70416852
6970.746072909090.70416852
a
%95.5a
Error relativo porcentual verdadero.
100aderoValor verd
aproximadoValor aderoValor verd
t
1002500.70346742
6970.746072902500.70346742
t
%06.6t
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente
tabla:
i 1ix )( 1ixf )( 1
ixf ix a , %
1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.06545311273 87.71
2 1.06545311273 0.79061864586 2.47547791503 0.74607290697 42.81
3 0.74607290697 0.08239955517 1.96637104128 0.70416852909 5.95
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La solución de la ecuación 02 xex es 97041685290.03 x , obtenida aplicando el
método de Newton – Raphson con una estimación inicial 20 x y tres iteraciones. El error
relativo porcentual de aproximación es 5.95%.
Una forma adicional de resolver el mismo ejercicio aplicando el método de Newton –
Raphson se ilustra a continuación.
La fórmula iterativa es:
)(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx
xexxf 2)( → 12
11)(
ix
ii exxf
xexxf 2)( → 1
11 2)(
ix
ii exxf
Luego la fórmula iterativa se escribe como:
1
1
1
2
11
2
i
i
x
i
x
iii
ex
exxx
Y con la estimación inicial 20 x , se determinan los valores de las estimaciones sucesivas.
Primera iteración ( 1i ):
0
0
0
2
001
2x
x
ex
exxx
)2(
)2(2
1)2(2
)2(2
e
ex
2731.065453111 x
Segunda iteración ( 2i ):
1
1
1
2
112
2x
x
ex
exxx
)2731.06545311(
)2731.06545311(2
2)2731.06545311(2
)2731.06545311(2731.06545311
e
ex
6970.746072902 x
Tercera iteración ( 3i ):
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2
2
2
2
223
2x
x
ex
exxx
)6970.74607290(
)6970.74607290(2
3)6970.74607290(2
)6970.74607290(6970.74607290
e
ex
9090.704168523 x
El método de Newton es una técnica extremadamente poderosa, pero tiene una dificultad
grande: la necesidad de saber el valor de la derivada de f en cada aproximación.
Frecuentemente ocurre que )(xf es mucho más complicada y necesita de más operaciones
aritméticas para su cálculo que )(xf . Como un ejemplo simple, sea )2(cos3)( 2 xxxf x ,
entonces )2(sen323ln)2(cos3)2(cos32)( 22 xxxxxxxf xxx ó en forma más
“simple” )]2(sen23ln)2(cos)2(cos2[3)( xxxxxxxf x .
Resumen del método de Newton - Raphson.
a) El método de Newton utiliza de forma iterativa las rectas tangentes que pasan por las
aproximaciones consecutivas de la raíz.
b) El método requiere de una buena estimación inicial. De otro modo, la solución iterativa
puede diverger o converger a una solución irrelevante.
c) La razón de convergencia iterativa del método de Newton es alta, cuando funciona.
Optimizando el uso de la calculadora.
Utilizando la opción de evaluación de funciones de la calculadora CASIO fx-570 ES PLUS,
el ejemplo 1.13 se pudo resolver de manera inmediata ingresando la función
x
x
ex
exxxf
2)(
2
y evaluándola primero en 2x y luego en los valores recién
obtenidos, los cuales la calculadora almacena en la tecla Ans.
La secuencia para ingresar la función es:
ALPHA , ) , – , ( , ALPHA , ) , x2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , ) , ÷ , ( , 2 ,
ALPHA , ) , + , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , )
El display muestra:
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)2() xx exe R Math
Para evaluar en 2x , presionar las teclas CALC , 2 , =. El display de la calculadora
reporta:
xexx x 2()( 2 R Math
1.065453113
Este valor 065453113.1x es la primera aproximación a la raíz de la ecuación
02 xex . Las estimaciones sucesivas, se obtienen en forma inmediata presionando
sucesivamente las teclas = , Ans , = y observando el display de la calculadora.
La secuencia que se muestra en el display para la segunda y tercera iteraciones son:
xexx x 2()( 2 R Math
0.746072907
xexx x 2()( 2 R Math
0.7041685291
Y así podríamos continuar hasta completar el número de iteraciones requeridas. Así
podemos determinar la raíz de la ecuación aplicando el método de Newton – Raphson con
la exactitud requerida en una forma rápida y conociendo los valores de x en cada iteración.
No hay límite para el número de iteraciones que podemos conseguir utilizando la
calculadora indicada de esta forma.
Obsérvese que el procedimiento anterior condujo a las estimaciones de la raíz de la
ecuación en cada iteración, pero no muestra los resultados parciales de la evaluación de la
función y la derivada en cada x, los cuales son útiles para construir la tabla resumen. En
este sentido, algunas calculadoras también disponen de la herramienta para ejecutar dos o
más operaciones simultáneamente, con lo cual se pueden evaluar dos funciones (por
ejemplo la función y la derivada) en un mismo valor de x en una sola operación. Para
evaluar la función y la derivada simultáneamente en un mismo valor de x, la secuencia de
teclas es la siguiente:
ALPHA , ) , x2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , ALPHA , ʃ , 2 , ALPHA, ) , + ,
SHIFT , ln , (–) , ALPHA , )
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Observaremos en el display:
xx exex 2:2 R Math
Para evaluar en 2x (la estimación inicial) presionar las teclas: CALC , 2 , =. El display
de la calculadora reporta:
xex 2 R Math Disp
3.864664717
Este valor 3.864664717 es el correspondiente a la función xexxf 2)( en 2x . Al
presionar = nuevamente, el display muestra
xex 2 R Math Disp
4.135335283
Este valor 4.135335283 es el correspondiente a la función xexxf 2)( (la derivada) en
2x , esto es, )2(f . Finalmente, se puede calcular la primera estimación como
065453113.1135335283.4
864664717.32
Y se repite el procedimiento con éste último valor para obtener la segunda estimación de la
raíz. Es en este punto que conviene disponer de dos calculadoras, pues con una se evalúan
las funciones, y con la otra se calculan las estimaciones.
La derivada de la función.
En el método de Newton – Raphson se requiere evaluar la derivada de la función en los
puntos sucesivos correspondientes a las estimaciones de la raíz. En el ejemplo resuelto, esta
derivada se realizó analíticamente y se evaluó en los puntos indicados. No obstante, la
mayoría de las calculadoras científicas disponen de la opción para evaluar numéricamente
derivadas a partir de la función original.
En el ejercicio resuelto, durante la primera iteración se requirió determinar
3244.13533528)2(2)2( )2( ef .
Se indicará la secuencia de teclas para evaluar la derivada indicada:
SHIFT , ʃ , ALPHA , ) , x 2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , , 2 , =
El display de la calculadora muestra:
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2
2 )(
x
xexxd
d
R Math
4.135335283
Y de esta manera podemos disponer de la derivada de la función en el punto, sin tener que
determinar la derivada explícitamente a partir de la función.
Por último, aprovechando al máximo los recursos de la calculadora, se explicará cómo
resolver paso a paso el ejemplo 1.13 (y obtener la tabla resumen) sólo con el uso de la
calculadora y sin recurrir a derivadas explícitas.
A la función la almacenaremos con la variable “F”, de función, mientras que la derivada
será almacenada en la memoria con la tecla “D”, de derivada, y las estimaciones sucesivas
con la tecla “X”. Presionaremos
ALPHA , tan , ALPHA , CALC , ALPHA , ) , x2
, – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , X , ,
ALPHA , ʃ , ALPHA , sin , ALPHA , CALC , SHIFT , ʃ , ALPHA , ) , x2
, – , SHIFT , ln ,
(–) , ALPHA , ) , , , ALPHA , ) , , ALPHA , ʃ , ALPHA , X , – , ALPHA , tan , ÷ ,
ALPHA , sin
Presionar la tecla CALC.
Presionar la estimación inicial: 2 y seguidamente la tecla =.
En el display aparece la función evaluada en 2x :
xexF 2 R Math Disp
3.864664717
Al presionar la tecla = nuevamente, el display mostrará el valor de la derivada evaluada en
2x :
R Math Disp
x
xexxd
dD )( 2
4.135335283
Finalmente, al presionar la tecla = , el display mostrará el resultado correspondiente a la
primera estimación del valor de x.
DFx R Math
1.065453113
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Para obtener los resultados de la segunda iteración, simplemente presionamos las teclas = ,
Ans , = y la calculadora reportará los valores correspondientes a la función, la derivada y la
segunda estimación en 065453113.1x , reportando en este caso los valores
0.7906186459, 2.475477915 y 0.746072907, respectivamente. Por último, los resultados de
la tercera iteración se obtienen al presionar = , Ans , =, reportándose los resultados
0.08239955517, 1.966371041, 0.7041685291. De esta manera podemos completar la tabla
resumen como la indicada en la solución del ejemplo 1.13 y podemos disponer de la
función, la derivada y la estimación en cada iteración de la aplicación del método de
Newton – Raphson prescindiendo de la derivada explícita de la función a la cual se le desea
determinar la raíz. Tampoco existe límite para la cantidad de iteraciones que se pueden
ejecutar aplicando este procedimiento.
En este punto es conveniente hacer un comentario acerca de la solución de un
problema de Métodos Numéricos. Es un hecho que cuando tenemos un problema, a veces
existen varias herramientas para resolverlo, y académicamente estamos limitados a los
requerimientos de los objetivos del curso, por ejemplo, si el problema es “Determine la raíz
de 02 xex ”, podríamos tomar nuestra calculadora y proceder como se explicó
anteriormente, y simple e inmediatamente reportaremos: “La solución de la ecuación
02 xex es 7034674225.0x ”, y la conclusión, obtenida con este mecanismo es
perfectamente correcta y válida, pues satisface los requerimientos planteados en el
problema. Ahora, si el problema planteado es “Determine la raíz de 02 xex usando el
método de Newton – Raphson con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error en la
última iteración.”, entonces disponemos de varios mecanismos de solución, de los cuales se
han mostrado cuatro diferentes (2 aplicando el método de manera rigurosa y dos aplicando
la calculadora), y, dependiendo de las herramientas, existen al menos tres métodos
adicionales. Entonces es aquí donde queda a libertad del estudiante utilizar las herramientas
que le sean permitidas para resolver el problema planteado. No es conveniente limitarlo a
que debe utilizar una herramienta en particular y apegado estrictamente al procedimiento
que el profesor determine, pues se le estaría coartando la libertad de pensar y con ello, la
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libertad de innovar, desarrollar, crear, inventar. En un curso de métodos numéricos,
particularmente plantearía el problema de esta forma:
“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .
Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la
última iteración. Muestre explícitamente los cálculos de cada iteración”.
Cuando el estudiante esté resolviendo este planteamiento, el profesor estará seguro que el
estudiante no se limitará estrictamente al uso de la calculadora tal como se explicó
anteriormente, pues debe mostrar la secuencia de cálculos con sus soportes
correspondientes en el papel, sin embargo, tendrá un camino ganado porque tendrá la
solución del problema y de todos los resultados intermedios y sólo debe hacer los soportes
correspondientes justificando con sus cálculos todos los resultados. En lo particular,
planteando el problema de esta última forma, le dejaría la libertad al estudiante que
resuelva el planteamiento “como pueda y con las herramientas que disponga” pero sin dejar
de evaluar la aplicación rigurosa y exhaustiva del método, que es el objetivo del curso.
Si queremos ser más ambiciosos en los requerimientos del problema, entonces
podríamos plantear:
“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .
Realice diez iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la
última iteración. Muestre explícitamente los cálculos en las tres primeras iteraciones”.
Aquí el estudiante no tiene otras opciones sino: 1) conocer la aplicación rigurosa del
método numérico y 2) conocer exhaustivamente el uso de la calculadora. Las tres primeras
iteraciones las realizará usando la calculadora y aplicando rigurosamente el método con sus
soportes correspondientes, mientras que para las 7 restantes se limitará a utilizar la
calculadora apropiadamente y registrando los valores en una tabla resumen.
Si no se da libertad al estudiante de utilizar la calculadora en la forma como se ha
explicado en esta sección, un problema planteado como en la última oportunidad es un
requerimiento innecesario, pues en primer lugar realizar rigurosamente un trabajo de tal
magnitud requiere demasiado tiempo para su ejecución, y en segundo lugar,
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académicamente no aporta ningún valor agregado al estudiante en cuanto a conocimiento
y/o aprendizaje, pues si sabe realizar 3 iteraciones correctamente con su soporte
correspondiente en el papel, entonces sabe realizar 10, 100, 1000 y todas las que se le
exijan. Entonces para qué someterlo a una prueba de resistencia, exigiendo ejecutar
exhaustivamente una alta cantidad de iteraciones, cuando la prueba que realmente debe
privar en el objetivo es una prueba de conocimiento?.
Recuérdese que una relativamente alta cantidad del número de iteraciones no está
asociado sólo con su requerimiento explícito, sino que implícitamente está relacionado con
la exactitud en la solución del problema. En este sentido, un planteamiento razonable es:
“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x con
una exactitud de 10–6
. Muestre explícitamente los cálculos en las tres primeras iteraciones”
en lugar de:
“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x con
una exactitud de 10–6
”.
Para obtener una respuesta correcta, es necesario plantear las preguntas
correctamente.
Ejercicios propuestos.
40. [BF] Resolver xex cos4 con una exactitud de 10–4
, usando el método de Newton con
10 x .
41. [CC] Utilice el método de Newton – Raphson para determinar la raíz de
5.27.19.0)( 2 xxxf usando 50 x . Efectúe el cálculo hasta que a sea menor que
%01.0s .
42. [BF] Use el método de Newton - Raphson para aproximar las soluciones de las
ecuaciones siguientes con precisión de 10–5
.
a) 3
2 2xex
x 10 x b) 03 2 xex 10 x
c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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43. [BF] Encuentre una raíz aproximada de 013 xx en ]2,1[ con precisión de 10–5
,
por el método de Newton.
44. [BF] Aproxime con 10–4
de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los
intervalos dados usando el método de Newton.
a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[
c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2
1
45. [BF] Calcule una aproximación de 3 exacta a 10–4
, usando el método de Newton con
20 x . Compare sus resultados con los obtenidos en el ejercicio 22.
46. [CC] Determine la mayor raíz real de 1.6116)( 23 xxxxf :
a) Gráficamente.
b) Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, 5.30 x ).
47. [CC] Determine la menor raíz positiva de 1sen 7)( xexf x :
a) Gráficamente
b) Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, 3.00 x ).
48. [BF] La función descrita por xexxf x cos)1(ln)( 4.02 tiene un número infinito de
ceros. La figura siguiente muestra el gráfico de la función indicada en el intervalo 3,3 .
Figura 1.33. Gráfica de la función
xexxf x cos)1(ln)( 4.02 .
a) Use el método de Newton para determinar, dentro de 10–6
, el único cero negativo.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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b) Use el método de Newton para determinar, dentro de 10–6
, los tres ceros positivos más
pequeños.
49. [CC] Determine las raíces reales de 32 5.0460.2)( xxxxf :
a) Gráficamente.
b) Usando el método de Newton – Raphson que cumpla con %01.0s .
50. [CC] Emplee el método de Newton – Raphson para determinar la raíz real de
32 5.0460.2)( xxxxf , usando valores iniciales de a) 4.2 y b) 4.43. Discuta y use
métodos gráficos y analíticos para explicar las peculiaridades de los resultados.
51. [BF] Use el método de Newton para resolver la ecuación 0)(sen 2
21 xx con
2
10 x . Itere usando el método de Newton hasta que se obtenga una precisión de 10
–5
para la raíz aproximada, con 2
21 )(sen)( xxxf . Parecen los resultados fuera de lo
común para el método de Newton? Resuelva también la ecuación con 50 x y 100 x .
52. [BF] La función 2
74)(
x
xxf tiene un cero en 75.1x . Use el método de Newton
con las siguientes aproximaciones iniciales.
a) 625.10 x b) 875.10 x c) 5.10 x
d) 95.10 x e) 30 x f) 70 x
53. [BF] La suma de dos números es 20. Si a cada número se le añade su raíz cuadrada, el
producto de las dos sumas es igual a 155.55. Determine los dos números con una exactitud
de 10–4
.
54. [BF] Use el método de Newton para aproximar, con una exactitud de 10–4
, el valor de
x que produce el punto en la gráfica de 2xy más cercano a )0,1( . [Sugerencia:
Minimice [ )(xd ]2, donde )(xd representa la distancia de ),( 2xx a )0,1( .
55. [BF] Use el método de Newton para aproximar, con una exactitud de 10–4
, el valor de
x que produce el punto en la gráfica de x
y1
más cercano a )1,2( .
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56. [BF] Use el método de Newton para encontrar una aproximación a , exacta a 410 ,
para la ecuación de población )1(435000
10000001564000
ee .
Método de Newton modificado.
Si la derivada )(xf varía, aunque ligeramente, en el intervalo ],[ ba , en tal caso en
la fórmula (1.24) podemos poner
)()( 01 xfxf i
De aquí, para la raíz p de la ecuación 0)( xf tendremos las aproximaciones sucesivas
)(
)(
0
1xf
xfxx i
ii
, 1i (1.25)
La fórmula de iteración (1.25) es conocida también como la fórmula de Von Mises.
Geométricamente, este método significa que sustituimos las tangentes en los puntos
])(,[ iii xfxB por líneas rectas paralelas a la tangente a la curva )(xfy en el punto
])(,[ 000 xfxB .
La fórmula de Von Mises nos evita la necesidad de calcular los valores de la
derivada )( 1
ixf cada vez, por lo tanto esta fórmula es muy útil si )(xf es complicada.
Puede demostrarse que supuesta la constancia de los signos de las derivadas )(xf
y )(xf las aproximaciones sucesivas (1.25) presentan un proceso convergente.
Ejemplo 1.14.
Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton modificado (fórmula de
Von Mises) con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de
aproximación en la última iteración.
Solución.
- Ecuación a resolver: 02 xex .
- Una estimación inicial 0x del valor de la raíz es 20 x .
- Se ejecutarán 3 iteraciones.
Desarrollo del método.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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i) Definimos xexxf 2)( .
ii) Derivada de la función: xexxf 2)( .
iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.
Primera iteración ( 1i ).
)(
)(
0
001
xf
xfxx
20 x
68646647167.3)2()2()( )2(2
0 efxf
41353352832.4)2(2)2()( )2(
0 efxf
41353352832.4
68646647167.321 x
2731.065453111 x
El resultado de la primera iteración coincide con el obtenido aplicando el método de
Newton – Raphson.
En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta tangente en
20 x . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la estimación de la raíz. El
valor indicado es 2731.065453111 x .
Figura 1.34. Primera iteración del método de Newton
modificado para xexxf 2)( con 20 x .
Segunda iteración ( 2i ).
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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)(
)(
0
112
xf
xfxx
2731.065453111 x
5860.79061864)2731.06545311()2731.06545311()( )2731.06545311(2
1 efxf
41353352832.4)2(2)2()( )2(
0 efxf
41353352832.4
5860.790618642731.065453112 x
7680.874267002 x
Gráficamente:
Figura 1.35. Segunda iteración del método de
Newton modificado para xexxf 2)( con
20 x .
Tercera iteración ( 3i ).
)(
)(
0
223
xf
xfxx
7680.874267002 x
2380.34717511)7680.87426700()7680.87426700()( )7680.87426700(2
2 efxf
41353352832.4)2(2)2()( )2(
0 efxf
41353352832.4
2380.3471751188742670076.03 x
1060.790313693 x
Gráficamente:
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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Figura 1.36. Tercera iteración del método de Newton
modificado para xexxf 2)( con 20 x .
Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se
aproximan al verdadero valor de la raíz.
Error relativo porcentual de aproximación.
100actualón Aproximaci
anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci
a
1001060.79031369
7680.874267001060.79031369
a
%62.10a
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente
tabla:
i 1ix )( 1ixf )( 1
ixf ix a , %
1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.06545311273 87.71
2 1.06545311273 0.79061864586 4.13533528324 0.87426700769 21.87
3 0.87426700769 0.34717511238 4.13533528324 0.79031369106 10.62
La solución de la ecuación 02 xex es 67903136910.03 x , obtenida aplicando el
método de Newton modificado con una estimación inicial 20 x y tres iteraciones. El error
relativo porcentual de aproximación es 10.62%.
Ejercicios propuestos.
57. [WM] Use el método de Newton modificado para aproximar las soluciones de las
ecuaciones siguientes con precisión de 10–5
.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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a) 3
2 2xex
x 10 x b) 03 2 xex 10 x
c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).
58. [WM] Aproxime con 10–4
de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los
intervalos dados usando el método de Newton modificado.
a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[
c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2
1
Método de Newton mejorado ó Método de Halley.
Al justificar el método de Newton se escribió:
))((2
)()()()()(
2
0000 xf
xxxfxxxfxf
(1.19)
Desarrollo que una vez linealizado nos conducía a que
)(
)(
0
01xf
xfxx
(1.22)
de donde se obtuvo una aproximación }{ ix de la solución:
)(
)(
1
11
i
iii
xf
xfxx , 1i (1.24)
En el método de Newton mejorado se usa el hecho de que )(
)(
0
001
xf
xfxx
para sustituir
esta expresión en uno de los dos factores 01 xx que intervienen en el término de segundo
grado del desarrollo de Taylor, despreciando los de mayor orden, con lo que
)(2
)()()()(0 0
2
010010 xf
xxxfxxxf
)(2
)(
)()(
)()()(0 0
0
001
0010 xfxf
xfxx
xfxxxf
)()(2
)()()()()(0 0
0
0010010 xf
xf
xfxxxfxxxf
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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)(2
)()()()()(0
0
000010
xf
xfxfxfxxxf
)(2
)()()(
)(
0
000
001
xf
xfxfxf
xfxx
)()()]([2
)()(2
00
2
0
0001
xfxfxf
xfxfxx
Y generándose, a partir de un 0x , la sucesión
)()()]([2
)()(2
11
2
1
111
iii
iiii
xfxfxf
xfxfxx (1.26)
Teóricamente, una de las desventajas de este método son los cálculos adicionales de )( ixf
y el hecho de que el procedimiento es más laborioso para calcular las iteraciones. Converge
más rápido que el método de Newton - Raphson, pero se paga el precio de evaluar la
segunda derivada.
Ejemplo 1.15.
Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton mejorado (método de
Halley) con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de
aproximación en la última iteración.
Solución.
- Ecuación a resolver: 02 xex .
- Una estimación inicial 0x del valor de la raíz es 20 x .
- Se ejecutarán 3 iteraciones.
Desarrollo del método.
i) Definimos xexxf 2)( .
ii) Derivada de la función: xexxf 2)( .
iii) Segunda derivada de la función: xexf 2)(
iv) Determinamos la primera aproximación de la raíz.
Primera iteración ( 1i ).
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)()()]([2
)()(2
00
2
0
0001
xfxfxf
xfxfxx
20 x
68646647167.3)2()2()( )2(2
0 efxf
41353352832.4)2(2)2()( )2(
0 efxf
68646647167.12)2()( )2(
0 efxf
)68646647167.1()68646647167.3()41353352832.4(2
)41353352832.4()68646647167.3(22
21
x
68159826065.01 x
Segunda iteración ( 2i ).
)()()]([2
)()(2
11
2
1
1112
xfxfxf
xfxfxx
68159826065.01 x
32236230135.0)68159826065.0()68159826065.0()( )68159826065.0(2
1 efxf
90741698137.2)68159826065.0(2)68159826065.0()( )68159826065.0(
1 efxf
35577953993.12)68159826065.0()( )68159826065.0(
1 efxf
)35577953993.1()32236230135.0()90741698137.2(2
)90741698137.2()32236230135.0(22
22
x
4470.703620202 x
Tercera iteración ( 3i ).
)()()]([2
)()(2
22
2
2
2203
xfxfxf
xfxfxx
4470.703620202 x
00002905785.0)4470.70362020()4470.70362020()( )4470.70362020(2
2 efxf
69020312225.1)4470.70362020(2)4470.70362020()( )4470.70362020(
2 efxf
75052091863.12)4470.70362020()( )4470.70362020(
2 efxf
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)75052091863.1()00002905785.0()69020312225.1(2
)69020312225.1()00002905785.0(24470.70362020
23
x
2500.703467423 x
Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se
aproximan al verdadero valor de la raíz.
Error relativo porcentual de aproximación.
100actualón Aproximaci
anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci
a
1002500.70346742
4470.703620202500.70346742
a
%02.0a
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente
tabla:
i 1ix )( 1ixf )( 1
ixf )( 1
ixf ix a , %
1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.86466471676 0.81598260656 145.10
2 0.81598260656 0.22362301353 2.07416981379 1.55779539933 0.70362020447 15.97
3 0.70362020447 0.00029057850 1.90203122256 1.50520918637 0.70346742250 0.02
La solución de la ecuación 02 xex es 2500.703467423 x , obtenida aplicando el
método de Newton mejorado con una estimación inicial es 20 x y tres iteraciones. El
error relativo porcentual de aproximación es 0.02%.
Ejercicios propuestos.
59. [WM] Use el método de Newton modificado para aproximar las soluciones de las
ecuaciones siguientes con precisión de 10–5
.
a) 3
2 2xex
x 10 x b) 03 2 xex 10 x
c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).
60. [WM] Aproxime con 10–4
de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los
intervalos dados usando el método de Newton modificado.
a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2
1
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
40. 7890.904788213 x
41. 5512.860104405 x
42. a) 00 x , 5440.257530283 x ; b) 10 x , 2490.910007574 x ; c) 20 x ,
1931.829383604 x ; d) 20 x , 7821.968872933 x y 30 x , 4713.161950024 x
43. 10 x , 7241.324717955 x .
44. a) 5.20 x , 8032.690647444 x ; b) 10 x , 6840.652703643 x ; c) 7854.00 x ,
3220.739085133 x ; d) 7854.00 x , 7700.964333883 x .
45. 0011.732050813 x
46. a)
b) 5.30 x , 6913.047316733 x .
47. a)
b) 3.00 x , 6020.170179273 x .
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.
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48. a) 5.00 x , 7290.434143043 x ; b) 5.00 x , 7890.450656743 x , 8.10 x ,
3371.744738054 x , 2.20 x , 5072.238319794 x
49. a)
b) 00 x , 5300.474572116 x ; 3.10 x , 9451.36903796116 x ; 60 x ,
2356.1436980555 x .
50. a) 4.20 x , 0146.14339291104 x ; 4.430 x , 3126.14336023102 x .
51. 2
10 x , 8971.8954884115 x ; 50 x , 895487.119 x ; 100 x , 895486.145 x .
52. a) 75.15 x ; b) 75.15 x ; c) 21 x , no se puede continuar; d) 75.17 x ; e) Diverge;
f) Diverge.
53. 6.512849, 13.487151.
54. 10 x , 2300.589754515 x .
55. )395356873868.0,9011.86676039(
56. 10 , 9690.100997925 .
Método de Newton modificado.
57. a) 00 x , 5750.257530215 x ; b) 10 x , 7890.910007875 x ; c) 20 x ,
3081.829384508 x ; d) 20 x , 6801.968872964 x
58. a) 5.20 x , 6392.690653827 x ; b) 10 x , 7640.652706465 x ; c) 7854.00 x ,
5960.739085303 x ; d) 7854.00 x , 4950.964336753 x .
Método de Newton mejorado.
59. a) 00 x , 5440.257530283 x ; b) 10 x , 2490.910007573 x ; c) 20 x ,
1931.829383603 x ; d) 20 x , 7821.968872933 x
60. a) 5.20 x , 8032.690647443 x ; b) 10 x , 4670.652703643 x ; c) 7854.00 x ,
3220.739085133 x ; d) 7854.00 x , 7700.964333883 x .