Download - 03.04 Expresiones Enteras. Polinomios
1. Expresiones algebraicas
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Javier Fernández
Expresión algebraica es toda combinación de números y letras ligadas por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
4abcd; 4x3 · y2− tz ; 3xz2y2; 4xy− t2 ;ab
x2−y3
• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos• por los signos de las operaciones aritméticas.• Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene• al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas• en la expresión.
a
b
• Si a y b son las medidas de los lados de un• rectángulo, 2a + 2b es la expresión algebraica• que nos da el perímetro del rectángulo.• Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da• el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:
2 . 3 + 2 . 2 = 10
2. Valor numérico de una expresión
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• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas• operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y• potenciación de exponente natural.• El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente.• El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.
8x2y5
Grado respecto de la letra x
Grado respecto de la letra y
El grado de este monomio es 2 + 5 = 7
3. Monomios enteros
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• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma• o diferencia de monomios• El grado de un polinomio es el grado mayor de sus monomios.• Cada monomio del polinomio se llama también término del polinomio.• Según su números de términos se clasifican en binomios, trinomios,....
P = 8x5 – 6x4 – 3xy + xt – 2
Término Grado del polinomio
Término de grado 2 Término independienteo término de grado 0
4.1 Polinomios enteros
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c=73
b = –5a = 3
Dos polinomios son iguales cuando los términos que los forman son iguales
¿Qué valores han de tomar a, b y c para que sean iguales los polinomios
3x2−5x73
ax 2bxc ?
4.2 Igualdad de polinomios
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• Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.• La suma o diferencia de varios monomios semejentes es otro monomio• semejante.
12x2y – 3x2y + 6x2y = (12 – 3 + 6)x2y = 15x2y
5x2 + 7xz = 5x2 + 7xz
12x2y – 3x2y + 6x2y + 5x2 + 7xz = 15x2y + 5x2 + 7xz
Interpretación de la suma de monomios
5.1 Suma y diferencia de monomios
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2+1=3
x+2y
Semejantes
No semejantes
2x 1x 3xx
2
x
1
+ = x
1x
1
x + 2y
2
y = x2y
La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:– por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos, y– por los términos no semejantes de ambos.
P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P(x) + Q(x) =
P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P(x) – Q(x) =
x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4
x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4
5.2 Suma y diferencia de polinomios
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El producto de monomios es otro monomio que tiene:– como coeficiente, el producto de los coeficientes.– como parte literal, las letras que aparecen en los monomios– con exponente igual a la suma de los exponentes con que– figura en los factores.
x3 . x5 = x3 +5 = x8
5x2 . 7x4 = 5 . x2 . 7 . x4 = 35 x6
–2xy2 . 5x2y3 . 3xt = (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) t = –30x4y5t
El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términosse obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio
2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2
6.1 Producto de polinomio por monomio
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El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términosse obtienen multiplicando cada término del primero por cada término delsegundo y sumando luego los términos semejantes
–7x3 + 3x2 – 0x + 2
2x2 + 3x – 1
7x3 – 3x2 + 0x – 2
– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x
–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2
–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2
6.2 Producto de polinomios
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6.3 Interpretación geométrica de productos
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La suma por diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primeromenos el cuadrado del segundo
a + b
a – b
– ab – b2
a2 + ab
a2 – b2
• (3x + y)(3x – y) = (3x)2 – (y)2 = 9x2 – y2
• (–5x + 2y)(–5x – 2y) = (–5x)2 – (2y)2 = 25x2 – 4y2
• (–5x2 + 2y3)(–5x – 2y) = (–5x2)2 – (2y3)2 = 25x4 – 4y6
7.1 Igualdades notables. Suma por diferencia
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El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble delprimero por el segundo más el cuadrado del segundo
a + b a + b
ab + b2 a2 + ab
a2 +2ab + b2
(2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + (y)2 = 4x2 +4xy + y2
(5x – 3t)2 = (5x + (– 3t))2 = (5x)2 + 2 . 5x . (–3t) + (–3t)2 = 25x2 – 30xt + 9t2
(– 3x + 2z)2 = (– 3x)2 + 2 . (–3x) . 2z + (2z)2 = 9x2 – 12xz + 4z2
a – b a – b
– ab + b2 a2 – ab
a2 – 2ab + b2
7.2 Igualdades notables. Cuadrado de un binomio
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7.3 Interpretación geométrica del cuadrado de un binomio
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El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más el triple del cuadradodel primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundomás el cubo del segundo.
a2 + 2ab + b2
a + b
a2b + 2ab2 + b3
a3 + a2b + ab2
a3 + 3a2b +3ab2 +b3
(2x + y)3 = (2x)3 + 2 . (2x)2 . y + 2 . 2x . y2 + (y)3 = 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3
(x – 3h2)3 = (x + (– 3h2))3 = x3 + 3 . x2 . (–3h2) + 3 . x . (–3h2)2 + (–3h2)3 =
= x3 – 9x2 h2 + 27xh4 –27h6
7.4 Igualdades notables. Cubo de un binomio
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