Download - 02 ecuaciones no homogeneas
MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Julio de 2015.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
2.6.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES.
Solución general de una ecuación lineal no homogénea.
Sea )(01
)1(
1
)( xFyayayaya n
n
n
n
una ecuación diferencial lineal no
homogénea con coeficientes constantes na , 1na , ..., 1a , 0a . Si py es una solución
particular de esta ecuación no homogénea y hy la solución general de la correspondiente
ecuación homogénea, entonces hp yyy es la solución general de la ecuación no
homogénea.
Método de los coeficientes indeterminados (Familia).
)(01
)1(
1
)( xFyayayaya n
n
n
n
.
i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea1 que resulta de hacer 0)( xF .
ii. Utilizar )(xF para determinar la forma de la solución particular py . Véase la tabla
siguiente:
Término en )(xF Términos correspondientes en py
1 C (Constante) A
2 k
k
k
k xaxaxaa
1
110 k
k
k
k xAxAxAA
1
110
3 xmeC
xmeA
4 xmk exC xmk
k
k
k exAxAxAA )( 1
110
5 xC cos ó xC sen xBxA sen cos
6 xxaxaxaa k
k
k
k cos)( 1
110
xxaxaxaa k
k
k
k sen )( 1
110
xxBxxA
xxBxxA
xBxA
k
k
k
k
sencos
...sencos
sencos
11
00
7 xeC xm cos ó xeC xm sen )sencos( xBxAe xm
1 Si se proporciona el conjunto fundamental de soluciones, es equivalente a que dispongamos de la solución
de la ecuación homogénea correspondiente.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
8 xexaxaxaa xmk
k
k
k cos)( 1
110
xexaxaxaa xmk
k
k
k sen )( 1
110
xexBxexA
xxeBxxeA
xeBxeA
xmk
k
xmk
k
xmxm
xmxm
sencos
...sencos
sencos
11
00
iii. Si un término de py coincide con un término de hy , multiplicar el término en py por la
mínima potencia de x que evita la duplicación.
iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuación no homogénea y despejar los coeficientes.
v. Formar la solución general hp yyy .
En los ejercicios siguientes, establezca si se puede aplicar el método de coeficientes
indeterminados a la ecuación diferencial. Si no se puede, explique por qué.
1. xxyy sen 2. xxyy sen 3 2
1
3. xxxyy ln2 4. 1 xeyy
5. x
xyy
cos
sen 6. xyyy cosh
7. xeyxy 23 8. xxyy 2senh
9. xexyy 1 10.
xeyyy 2
11. xxeyy x 3senh3cos3 2
12. xyyy 2sen43
En los ejercicios siguientes, establezca la forma apropiada de una solución particular py ,
pero no determine los valores de los coeficientes.
13. xeyyy xsen 22 14. 52 2)3()5( xeyy x
15. xxyy 2cos34 16. xexxyyy 3212
17. )(23 2 xx eexyyy 18. xexyyy x 2sen 136 3
19. xxyyy 2cossen 45)4( 20. xxyy 3sen )1(9 2)4(
21. xxx eeexyDD 2223 )4()1( 22. xxyyy cos2 2)4(
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 4
Ejemplo 2.3.
Utilice el método apropiado para hallar la solución general de la ecuación diferencial
xxyy 3sen 49 .
Solución.
i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea 09 yy .
La ecuación característica es 092 m , cuyas raíces son: im 32,1 . La solución de la
ecuación homogénea es:
xCxCyh 3sen 3cos 21
ii. Utilizar xx 3sen 4 para determinar la forma de la solución particular py .
De acuerdo con los términos presentes (el producto de un polinomio de grado 1, x, con una
función trigonométrica, x3sen ), los términos correspondientes en py serán el producto de
un polinomio de grado 1 con la combinación de senos y cosenos del mismo argumento:
) 3sen 3cos()( 10 xBxAxAAyp
La cual puede ser escrita, para mayor facilidad como:
xxExxCxBxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 2
iii. Términos de py ( xBxA 3sen ,3cos ) coinciden con términos de hy , multiplicar el
término en py por x:
xxExxCxBxAxyp 3sen 3cos) 3sen 3cos(
xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos
Sin embargo, aún existen términos repetidos incluso dentro de la expresión de py misma
( xxA 3cos , xxC 3cos ) y ( xxB 3sen , xxE 3sen ), por lo cual es necesario multiplicar
nuevamente por x a los términos repetidos.
) 3sen 3cos( 3sen 3cos xxExxCxxxBxxAyp
xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 22
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 5
iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuación no homogénea y despejar los coeficientes.
xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 22
xxCxEABxxExCBAyp 3sen ]3)23([3cos]3)23([ 22
xxExCBEAxxCxEACByp 3sen ]9)129()26[(3cos]9)129()26[( 22
Al sustituir en la ecuación diferencial:
xxxxCxxExEAxCB 3sen 43sen 123cos12 3sen )26(3cos)26(
Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
026 CB
026 EA
012 E
412 C
La solución del sistema anterior es:
0A
91B
31C
0E
La solución particular es xxxxyp 3cos3sen 2
31
91
La solución general es xxxxxCxCy 3cos3sen 3sen 3cos 2
31
91
21
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de los
coeficientes indeterminados.
23. xxyyy sen cos54 24. xexyy 32
25. xeyy xsen 2 26. xxyyy cos2
27. 2xyy 28.
xexyyy 2)1(23
2 En el orden correlativo debió usarse la letra D, sin embargo, esta letra está reservada para el operador
diferencial
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 6
29. xexxyy 2cos412 30. xxyy 2sen 4 2
31. xx exexyyy 22344
Utilice identidades trigonométricas o hiperbólicas para encontrar las soluciones generales
de las ecuaciones en los ejercicios siguientes. Resuelva la ecuación diferencial por el
método de los coeficientes indeterminados.
32. xyyy 2cosh103 33. 22cos xexyy x
34. xyy 2sen4 35*. xxyy 2sen44
36. xxyy 3cos 37. xyy 4sen9
38. xxyyy 3sen sen
Anuladores diferenciales (Operadores).
Término en )(xF Operador anulador.
C (Constante) D
k
k
k
k xaxaxaa
1
110 1kD
xeC D
xk
k
k
k exaxaxaa )( 1
110
1)( kD
xC cos ó xC sen 22 D
xxaxaxaa k
k
k
k cos)( 1
110
xxaxaxaa k
k
k
k sen )( 1
110
122 )( kD
xeC x cos ó xeC x sen )(2 222 DD
xexaxaxaa xk
k
k
k cos)( 1
110
xexaxaxaa xk
k
k
k sen)( 1
110
1222 )](2[ kDD
En los ejercicios siguientes, encuentre un operador diferencial que anule a la función dada.
39. 2261 xx 40. )51(3 xx
41. xe271 42.
xexx 63
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 7
43. xxx 4sen 913 2 44. xxx 5cos10sen 8
45. xxx exexe 22
46. 2)2( xe
47. xe x 2cos3 48. xexe xx cossen 2
En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de los
anuladores.
49. 2423 xyyy 50. xyy sen 625
51. 2)1(7 xyy 52. 156 2 xeyyy x
53. xexyy 54. xxyy 612 2
55. 643644 2 xeyyyy x
56*. )1()23( 3 xx exeyDD
57*. xxxyy coscos 58**. 22 sen 4 xxexyy x
59. )2cos2sen (84 2 xxeyyy x 60. xxeyDD x sen 72)1()1( 2
61. xxeyyyy x 2sen 264 3
Método de variación de los parámetros.
)(01
)1(
1
)( xFyayayaya n
n
n
n
.
Métodos de solución.
Primer método.
i. Hallar la solución general hy de la ecuación homogénea: nnh yCyCyCy 2211
ii. Reemplazar las constantes de hy por variables, a fin de obtener py :
nnp yvyvyvy 2211 .
iii. Resolver el siguiente sistema, despejando las variables 1v , 2v , ..., nv :
)(
0
0
0
)1()1(
22
)1(
11
2211
2211
2211
xFyvyvyv
yvyvyv
yvyvyv
yvyvyv
n
nn
nn
nn
nn
nn
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 8
iv. Integrar para hallar 1v ,
2v , ..., nv .
v. Formar la solución general: hp yyy .
La solución del sistema de ecuaciones para ecuaciones diferenciales de segundo y tercer
orden es:
Segundo orden.
),,(
)(
0
21
2
2
1
nyyyw
yxF
y
v
;
),,(
)(
0
21
1
1
2
nyyyw
xFy
y
v
Alternativamente son aplicables las siguientes ecuaciones:
xd
yyyy
xFyv
2121
21
)(;
xdyyyy
xFyv
2121
12
)(
Tercer orden.
),,(
)(
0
0
21
32
32
32
1
nyyyw
yyxF
yy
yy
v
; ),,(
)(
0
0
21
31
31
31
2
nyyyw
yxFy
yy
yy
v
; ),,(
)(
0
0
21
21
21
21
3
nyyyw
xFyy
yy
yy
v
Segundo método.
n
k n
kkp xd
yyyw
xFxwyxy
1 21 ),,(
)()()(
, ),,()1( 21 n
kn
k yyyww
En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de variación de
parámetros.
62. 1 xeyy 63. xeyyyy 46116
64. xx eeyyyy 333 65. xyy tan
66. 13tan xxyy 67**. xyy tan
68. x
x
e
eyyy
2
2
123
69. xxyy tansec
Resumiendo,
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 9
1. El método de coeficientes indeterminados es operativamente más sencillo, ya que
implica derivación en vez de integración, y debe preferirse cuando los coeficientes de la
ecuación diferencial son constantes y el término no homogéneo )(xF está en la forma
indicada.
2. Si los coeficientes de la ecuación diferencial son constantes pero )(xF no está en la
forma indicada, entonces la solución particular puede determinarse por el método de
variación de parámetros después de resolver la ecuación homogénea relacionada.
3. Si los coeficientes de la ecuación son variables, en general será difícil encontrar la
solución, y usualmente implicará series infinitas.
4. Si sólo está disponible una de las soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la
segunda solución homogénea puede obtenerse junto con una solución particular aplicando
el método de reducción de orden a la ecuación no homogénea dada.
2.7.- ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. ECUACIÓN
DE CAUCHY3-EULER
4.
Ecuación de Cauchy – Euler.
Una ecuación diferencial de la forma )(011
11
1 xFyaxd
ydxa
xd
ydxa
xd
ydxa
n
nn
nn
nn
n
en donde na , 1na , ..., 1a , 0a son constantes, se llama ecuación de Cauchy-Euler o
ecuación equidimensional. La característica obvia de este tipo de ecuación es que el grado
de los coeficientes polinomiales kx es igual al orden de derivación en los términos k
k
xd
yd,
para nk ...,,2,1 .
Para precisar el estudio, fijaremos nuestra atención sobre la resolución de la ecuación
homogénea de segundo orden 02
22 yc
xd
ydxb
xd
ydxa .
3 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857). Prolífico matemático francés que, entre otras contribuciones, inició
la formulación rigurosa y las pruebas de los teoremas del cálculo infinitesimal. La distribución de
probabilidad de Cauchy, la secuencia de Cauchy y otros conceptos matemáticos llevan su nombre. 4 Leonhard Euler (1707 – 1783). Matemático y físico suizo. Hizo importantes descubrimientos en cálculo
infinitesimal y teoría de gráficas. Contribuyó a la mecánica, la dinámica de fluidos, la óptica y la astronomía.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 10
La solución de ecuaciones de orden superior se encuentra de forma análoga. Además,
podemos resolver la ecuación no homogénea )(2
22 xFyc
xd
ydxb
xd
ydxa mediante
variación de parámetros, una vez que hayamos determinado la función complementaria
)(xyh . Al resolver )(2
22 xFyc
xd
ydxb
xd
ydxa mediante el método de variación de
parámetros, se debe escribir la ecuación en la forma )(ˆ22
2
xFyxa
c
xd
yd
xa
b
xd
yd , donde
2
)()(ˆ
xa
xFxF
Método de solución.
Probamos una solución de la forma mxy , donde m debe ser determinada. Las derivadas
de la función mxy son:
1 mxmy
222 )()1( mm xmmxmmy
3233 )23()2()1( mm xmmmxmmmy
mxy será solución de la ecuación diferencial cada vez que m sea solución de la ecuación
auxiliar 0)1( cmbmma o bien 0)(2 cmabma .
Para una ecuación de tercer orden 02
22
3
33 yk
xd
ydxc
xd
ydxb
xd
ydxa , la ecuación
auxiliar es 0)2()3( 23 kmbcamabma .
Hay que considerar tres casos diferentes dependiendo de si las raíces de esta ecuación
cuadrática son reales y distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 11
Homogéneas.
Caso I. Raíces reales diferentes.
Si 21 mm son raíces diferentes de la ecuación característica, la solución general es
entonces 21
21
mmxCxCy .
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada.
1. 0 yyx 2. 022 yyx
3. 0352 yyxyx 4. 0682 yyxyx
5. 044 2 yyxyx 6. 08223
22
3
33 y
xd
ydx
xd
ydx
xd
ydx
7. 0232 yyxyx 8. 0432 yyxyx
9. 072 yyxyx
Caso II. Raíces reales iguales.
Si 21 mm son raíces iguales de la ecuación característica, entonces la solución general es
111 )ln(ln 2121
mmmxxCCxxCxCy .
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada.
10. 0 yyx 11. 0452 yyxyx 12. 04 2 yyx 13. 084 2 yyxyx
14. 04423
22
3
33 y
xd
ydx
xd
ydx
xd
ydx 15. 03 yyxyx
Caso III. Raíces complejas.
Si im 1 y im 2 son raíces complejas de la ecuación característica, entonces
la solución general es )]ln(sen)ln(cos[ 21 xCxCxy .
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada.
16. 042 yyxyx 17. 02525 2 yyxyx
18. 022 yyxyx 19. 04172 yyxyx
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 12
20. 0332 yyxyx 21. 063 2 yyxyx
22. 02 2 yyxyx 23. 0134
32 y
xy
xy
xy
24. 0875 23 yyxyxyx 25. 063 yyx
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada usando el cambio de
variables tebxa .
26. 04)1(2)1( 2 yyxyx 27. 0)2()2( 2 yyxyx
28. 09)43(10)43( 2 yyxyx
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial de Cauchy - Euler en cada caso.
29. 0)106()42()1( 222224 mmmmmm
30*. 0)106()42()( 2232222 mmmmmmm
31. 0)42()1( 224 mmmm
32. 0)44()54()2()3()4( 22522 mmmmmmmm
No homogéneas.
Solución general de una ecuación de Cauchy-Euler no homogénea.
Sea )(011
11
1 xFyaxd
ydxa
xd
ydxa
xd
ydxa
n
nn
nn
nn
n
una ecuación diferencial de
Cauchy-Euler no homogénea con coeficientes constantes na , 1na , ..., 1a , 0a . Si py es una
solución particular de esta ecuación no homogénea y hy la solución general de la
correspondiente ecuación homogénea, entonces hp yyy es la solución general de la
ecuación no homogénea.
Método de los coeficientes indeterminados.
)(01
)1(1
1
)( xFyayxayxayxa nn
n
nn
n
.
i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea que resulta de hacer 0)( xF .
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 13
ii. Utilizar )(xF para determinar la forma de la solución particular py . Véase la tabla
siguiente:
Término en )(xF Términos correspondientes en py
C (Constante) A
k
k
k
k xaxaxaa )(ln)(lnln 1
110
k
k
k
k xAxAxAA )(ln)(lnln 1
110
mxC mxA
mk xxC )(ln mk
k
k
k xxAxAxAA ])(ln)(lnln[ 1
110
)ln(cos xC ó )ln( xsenC )ln(sen )ln(cos xBxA
)ln(cos])(ln)(lnln[ 1
110 xxaxaxaa k
k
k
k
)ln(sen ])(ln)(lnln[ 1
110 xxaxaxaa k
k
k
k
...)ln(sen )(ln)ln(cos)(ln
...)ln(sen ln)ln(cosln
)ln(sen )ln(cos
11
00
xxBxxA
xxBxxA
xBxA
k
k
k
k
)ln(cos xxC m ó )ln(sen xxC m )]ln(sen )ln(cos[ xBxAxm
iii. Si un término de py coincide con un término de hy , multiplicar el término en py por la
mínima potencia de xln que evita la duplicación.
iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuación no homogénea y despejar los coeficientes.
v. Formar la solución general hp yyy .
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada.
33. 44 xyyx 34. xxyyxyx 22 52
35. xxyyxyx ln22 32 36. xexyyxyx 42 22
37. 2222 lnln)22( xxyDxDx 38. xyyx
39. xyyxyx 22 40. xxxyDxDx ln)43( 222
41. )ln(sen )2( 2233 xxyDxDx 42. 43 3xyyxyx
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 14
Cambio de variable.
La sustitución tex permite convertir la ecuación diferencial de Cauchy-Euler
0011
11
1
yaxd
ydxa
xd
ydxa
xd
ydxa
n
nn
nn
nn
n en una ecuación diferencial lineal
homogénea de coeficientes constantes.
Fórmulas de derivadas paramétricas:
tdxd
tdyd
xd
yd
/
/
tdxd
td
yd
td
d
xd
yd
/2
2
tdxd
td
yd
td
d
xd
yd
/
2
2
3
3
.
Las tres primeras derivadas requeridas son:
td
yde
xd
yd t
td
yd
td
yde
xd
yd t
2
22
2
2
td
yd
td
yd
td
yde
xd
yd t 232
2
3
33
3
3
Si la ecuación diferencial es de la forma
0)()()( 01
111
ya
xd
ydbxa
xd
ydxbxa
xd
ydbxa
n
nnn
n
nn
El cambio de variable correspondiente es tebxa . Las tres primeras derivadas
requeridas son:
td
ydea
xd
yd t
td
yd
td
ydea
xd
yd t
2
222
2
2
td
yd
td
yd
td
ydea
xd
yd t 232
2
3
333
3
3
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 15
Ejemplo 2.3.
Utilice el método apropiado para hallar la solución general de la ecuación
diferencial x
xxyyxyxyx
ln
ln225
4423
Solución.
x
xxyyxyxyx
ln
ln4225 423
423 4225 xyyxyxyx
Al aplicar el cambio de variable tex :
4
2
222
2
2
3
333 )(42)(2)(523)( ttttttt ey
td
ydee
td
yd
td
ydee
td
yd
td
yd
td
ydee
ttttttt eytd
ydee
td
yd
td
ydee
td
yd
td
yd
td
ydee 4
2
222
2
2
3
333 422523
teytd
yd
td
yd
td
yd
td
yd
td
yd
td
yd 4
2
2
2
2
3
3
422523
teytd
yd
td
yd
td
yd
td
yd
td
yd
td
yd 4
2
2
2
2
3
3
4225523
teytd
yd
td
yd
td
yd 4
2
2
3
3
422
Ecuación característica.
022 23 mmm
1m
1m
2m
Solución de la ecuación homogénea.
ttt
h eCeCeCy 2
321
Solución particular.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 16
t
p eAy 4
t
p eAy 44
t
p eAy 416
t
p eAy 464
Al sustituir en la ecuación diferencial:
teytd
yd
td
yd
td
yd 4
2
2
3
3
422
ttttt eeAeAeAeA 44444 4)(2)4()16(264
ttttt eeAeAeAeA 44444 4243264
tt eeA 44 490
490 A
452A
Solución particular:
t
p ey 4
452
Solución particular.
tttt eeCeCeCy 4
4522
321
4
4522
3
1
21 )()()( tttt eeCeCeCy
tttt eeCeCeCy 4
4522
321
Solución de la ecuación diferencial original.
4
4522
3
1
21 xxCxCxCy
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada usando el cambio de
variable tex ó tebxa .
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 17
43. 22 ln64 xyyxyx 44.
3
2 5209
xyyxyx
45. 2
2
22 810 xy
xd
ydx
td
ydx
46. 22 21332 xxyyxyx
47. 3
2
22
3
33 ln3663 xy
xd
ydx
td
ydx
td
ydx
48. xyyxyx 612)12(2)12( 2
49. 1)1(ln]1)1()1[( 222 xxyDxDx
50**. xyyxyx ln2
51*. )ln2(cos142 xyyxyx
52. xyyxyx 341332
En los ejercicios siguientes, se da el conjunto fundamental de soluciones correspondiente a
la ecuación de Cauchy – Euler homogénea en cada caso. Resuelva la ecuación diferencial
no homogénea indicada.
53. xxyyxyx ln42 ; xy 1 ; xxy ln2
54. x
yyxyx1
642 ; 2
1 xy ; 3
2 xy
55. )(lnsec2 xyyxyx ; )(lncos1 xy ; )ln(sen 2 xy
56. 2
3
)(4122 xyxyxyx ; xxy cos2
1
1
; xxy sen 2
1
2
57. 223 332 xyyxyxyx ; },ln,{c.f.s 3xxxx
58*. xxyyxyxyx sen 22 323 ; },,{c.f.s 21 xxx
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 18
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
2.6.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES.
Coeficientes indeterminados.
1. Aplicable. xx sen es el producto de un polinomio por un trigonométrico seno.
2. No aplicable. 21
x no es una expresión polinómica.
3. No aplicable. xln no es una expresión polinómica, trigonométrica (seno ó coseno) ni
exponencial.
4. Aplicable. xx eee 1 es una expresión exponencial.
5. No aplicable. xx
xtan
cos
sen no es una expresión trigonométrica (seno ó coseno).
6. Aplicable. xx eex 21
21cosh es una combinación de expresiones exponenciales.
7. No aplicable. La ecuación diferencial no es de coeficientes constantes.
8. Aplicable. xxxx exexeexxx 21
21
21
21 )(senh es una combinación de productos de
un polinomio por un exponencial.
9. No aplicable. 1x no es un polinomio.
10. No aplicable. La ecuación diferencial no es de coeficientes constantes.
11. Aplicable. xxxx eexexxe 3
213
2122 3cos3senh3cos es la combinación de
exponenciales por trigonométrico (coseno) y suma de exponenciales.
12. Aplicable. )2(cossen21
212 xx es la combinación de una constante y una expresión
trigonométrica (coseno).
13. )sen cos( xBxAexy x
p
14. 543 xDxCxBexAy x
p
15. xxDxxCxxBxxAy p 2sen 2cos 2sen 2cos 22
16. x
p exDxCxBxAy 3322 )(
17. xxxx
p exDexCexBexAy 2222
18. )(2sen )2(cos)(2sen )2(cos 323233 xexDxexCxexBxexAy xxxx
p
19. xxDxxCxxBxxAy p 2sen 2cossen cos
20.
) 3(sen ) 3(sen )3(sen ) 3(cos) 3(cos)3(cos 3232 xxFxxExxDxxCxxBxxAyp
21. xxxx
p exDexCexBexAy 2243
22. xxFxxExDxxCxxBxAyp sen sen sen coscoscos 22
23. xxCxCey x cos)sen cos(41
21
2
24. xxx exeeCCy
342
21
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 19
25. xeeCCy xx sen 212
21
26. xxxxxxxeCxeCeCy xxx sen cossen cossen cos101
103
5017
253
321
27. 3
312
21 2 xxxeCCy x
29. xx exxxxxeCCy 2sen 2cos23 2
21 30. )2(sen )2(cos)2(cos)2(sen )2(cos 2
1613
968
321
21 xxxxxxxCxCy
31. xxxx exexexCeCy 25
20123
612
2
2
1
32. xxxx exeeCeCy 2
1412
2415
2
2
1
33. xexxxCxCy21
612
23
21 )2(cossen cos
34. xxxCxCy 2sen 2sen 2cos81
81
21
35*. )(4sen )2(cos2sen 2cos91
61
21
21 xxxxxCxCy
36. )(4sen )2(cos2sen 2cos91
61
21
21 xxxxxCxCy
37. xxxCxCy 4cos2cos3sen 3cos561
101
241
21
38.
)4(cos)(4sen )2(cos)(2sen ])(sen )(cos[24115
2412
263
131
2
3
22
3
121
xxxxxCxCeyx
Operadores diferenciales (Anuladores).
39. 3D 40. 5D
41. )2( DD 42. 22 )6( DD 43. )16( 23 DD 44. )25()1( 222 DDD
45. 3)1()1( DD 46. )2()1( DDD 47. )52( 2 DDD 48. )54()22( 22 DDDD
49. 2
2
2
1 267 xxeCeCy xx
50. xxCxCy sen )5(sen )5(cos41
21
51. 3
2112
496
343377
21 xxxeCCy x
52. xxx exxxeCeCy 412
51
2512
12537
2
5
1 53. xxxx exexeCeCy 2
41
41
21 54. 432
321 515 xxxeCxCCy x
55. xxxxx exexeCeCeCy 2
432
16152
32
2
1 2
56*. xxxxxx exexeeCexCeCy 22
1812
272
412
321
57*. xxxxxxxCxCy sen sen cossen cos 2
41
21
41
21
58. xxxexexeCeCCy xxxx cos513
121
8122
1612
3232
3
2
21
59. )2(sen)2(cos)(2sen )2(cos 2
412
412
2
2
1 xexxexxeCxeCy xxxx
60. xx exxxxxxxxxxCxCeCy 212
872
87
821
87
321 sen cossen cos2sen cos
61. )2(sen)2(cos)](2sen )2(cos[ 3
5813
1165
261
6761
32
32
1 xexxexxxCxCeeCy xxxx
Variación de parámetros.
62. 121
41
21 xxxx exeeCeCy
63. xxxx exeCeCeCy 23
3
2
21
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20
64. xxxxx exexeCeCeCy 3
81
813
321
65. )tan(seclncossencos 21 xxxxCxCy
66. )tan(seclncos13sencos 21 xxxxxCxCy 2.7.- ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. ECUACIÓN
DE CAUCHY-EULER.
Homogéneas.
Raíces reales diferentes.
1. 2
21 xCCy 2. 2
2
1
1 xCxCy
3. 3
2
1
1
xCxCy 4. 6
2
1
1
xCxCy
5. 2
1
2
1
21
xCxCy 6. 4
3
2
2
1
1 xCxCxCy
7. 62
2
62
1
xCxCy 8.
51
2
51
1
xCxCy
9. 223
2
223
1
xCxCy
Raíces reales iguales.
10. xCCy ln21 11. xxCxCy ln2
2
2
1
12. xxCxCy ln21
21
21 13. xxCxCy ln21
21
21
14. xxCxCxCy ln2
3
2
21 15. xxCxxCxCy 2
321 lnln
Raíces complejas.
16. )ln2(sen)ln2(cos 21 xCxCy
17. )ln(sen)ln(cos51
251
1 xCxCy
18. )](lnsen)(lncos[ 21 xCxCxy
19. )]ln5(sen)ln5(cos[ 21
4 xCxCxy
20. )]ln2(sen)ln2(cos[ 21
1 xCxCxy
21. )]ln(sen)ln(cos[6
3
26
3
12
1
xCxCxy
22. )]ln(sen)ln(cos[4
7
24
7
14
1
xCxCxy
23. )(lnsen )(lncos 32
1
1 xCxCxCy
24. )ln2(sen )ln2(cos 32
2
1 xCxCxCy
25. )ln2(sen )ln2(cos 32
3
1 xCxCxCy
26. 4
2
1
1 )1()1( xCxCy 27. )]2([lnsen)]2([lncos 21 xCxCy
30.
)lnsen lncos(ln)lnsen lncos(
)]ln3(sen )ln3(cos[ln)]ln3(sen )ln3(cos[
lnlnlnln
1413
3
1211
3
10987
1
6
1
5
3
4
2
321
xCxCxxxCxCx
xCxCxxxCxCx
xxCxCxCxCxCCy
31. )]ln3(sen )ln3(cos[ln
)]ln3(sen )ln3(cos[lnlnln
98
1
76
11
5
3
4
2
321
xCxCxx
xCxCxxCxCxCxCCy
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 21
32.
xxCxxCxxCxxC
xCxCxCxCC
xCxCxxxCxCx
xCxCxCy
42
16
32
15
22
14
2
13
4
12
3
11
2
1098
76
2
54
2
2
3
3
2
4
1
lnlnlnln
lnlnlnln
)](lnsen )cos(ln[ln)](lnsen )cos(ln[
No homogéneas.
34. xxxCxCy612
1511
212
1
37.
412
212
21 )ln(ln xxxCxCy
38. 2
41
21 ln xxCCy
39. 2
21 )(lnln xxxxCxCy
40. xxxxxCxCy 32
612
2
2
1 lnln
41. )](lnsen)(ln[coslnln21
321 xxxxxCxCCy
42. 4
912
321 lnln xxCxxCxCy
44. 3
7110
2
2
1 xxCxCy
45. 2
3018
2
1
1 xxCxCy
48. 161
833
2
1
1 )12()12( xxCxCy
49. 2)1(ln)1()1(ln)1()1(2121
21 xxxxCxCy
52. xxCxCxy103
134
21
2 )]ln3(sen )ln3(cos[
53. xxxxCxCy 3
32
21 lnln
57. 23
321 ln xxCxxCxCy
58*. xxxxCxCxCy sen cos 12
3
1
21
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 22
BIBLIOGRAFÍA.
APOSTOL, T, Cálculus., REVERTÉ Ediciones, S.A de C.V. México, 2009.
DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,
Moscú, 1977.
DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.
KREYSZIG, E., Matemáticas Avanzadas para Ingeniería., Tercera Edición, Editorial
LIMUSA S.A de C.V, Grupo Noriega Editores, México, 2003.
LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,
Inc., California, 1969.
LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial
Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,
1986.
LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,
Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.
LARSON, R y EDWARDS, B, Cálculo, 9 ed., Mc Graw – Hill Interamericana Editores
S.A de C.V, México, 2010.
LEITHOLD, L, El Cálculo, 7 ed., Oxford University Press México, S.A de C.V. México,
1998.
MAKARENKO, G, KISELIOV, A y KRASNOV, M., Problemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias, Cuarta Edición., Editorial MIR, Moscú, 1984.
MARSDEN, J y TROMBA, A. Cálculo Vectorial, Quinta Edición., Perason Educación
S.A., Madrid, 2004.
PURCELL, E, VARBERG, D y RIGDON, S, Cálculo, 9 ed., Pearson Educación de
México, S.A de C.V, México, 2007.
RAINVILLE, E., Ecuaciones Diferenciales Elementales, Editorial Trillas, S.A de C.V.,
México, 1969.
SPIEGEL, M., Ecuaciones diferenciales aplicadas., Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.,
México, 1983.
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 23
THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.
Madrid, 1979.
ZILL, D, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado., Sexta Edición.,
International Thomson Editores, S.A de C.V, México, 1997.