Download - 02 ANOVA DCA
Maestría en Ingeniería de Calidad
IBERO TORREON
18/01/2013 Carlos Zea Rivera 2
Diseño Completamente al azar: DCA
• La principal característica es que los tratamientos se asignan a las
unidades experimentales aleatoriamente (al azar) sin ninguna
restricción. Su uso es muy frecuente cuando el experimento se
llevará a cabo bajo condiciones homogéneas.
• El material experimental (unidades experimentales) debe ser lo mas
homogéneo posible
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X ij i ij
• El modelo matemático:
• Respuesta = Constante + Efecto tratamiento + Error
El ANOVA de Un criterio
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Variación Total
Variaciones Debido al Factor Nivel
Variaciones Debido al Ruido Experimental = +
SCT
Suma Total de los
Cuadrados
SCF
Factor de la Suma de los Cuadrados Entre los Grupos
SCE
Suma de Cuadrados dentro
de los Grupos
• Descomposición de la variación total en componentes básicos
TEST DE ANOVA
• Ventajas – a. Su análisis estadístico es fácil
– b. Permite máxima flexibilidad en cuanto al número de tratamientos y número de
repeticiones.
– c. El análisis estadístico sigue siendo fácil aunque haya una pérdida de unidades
experimentales.
– d. El número de grados de libertad para el error es máximo en comparación con
otros diseños.
18/01/2013 Carlos Zea Rivera 5
• Desventajas – a. Cuando el número de unidades experimentales es muy grande es difícil
encontrar lugares grandes que presenten la homogeneidad requerida.
– b. Generalmente otro diseño suele ser más eficiente (preciso).
TEST DE ANOVA
Aleatorización • Por aleatorización se entiende la asignación al azar de los tratamientos a las
unidades experimentales usando ya sea una tabla de números aleatorios, o una
función aleatoria.
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• Procedimiento
– a. Determinar el número de unidades experimentales (n) y numerarlas. Es posible obtener n
al multiplicar el número de tratamientos por el número de repeticiones. ( k x n ).
– b. Asignar el número de unidades experimentales a cada tratamiento usando la tabla de
números aleatorios o bien cualquier otro herramienta que sirva a este propósito. Ejemplo: Si
cada tratamiento se repite cuatro veces; los 4 primeros números aleatorios obtenidos se
asignan al tratamiento A; los siguientes cuatro números aleatorios al tratamiento B; y así
sucesivamente.
– c. Una vez hecha la distribución anterior (b), se numeran las unidades experimentales y se
localizan los tratamientos de acuerdo al número que les corresponde y se obtiene así la
distribución de campo. (croquis de campo).
TEST DE ANOVA
Modelo Aditivo Lineal
i = 1,2,3… k (tratamientos)
j = 1,2,3… n (repeticiones)
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X ij i ij
• Xij : variable de respuesta de la ij-ésima unidad experimental
: Efecto de la media general del experimento
i : Efecto del i-ésimo tratamiento
ij : Efecto del error experimental asociado a la ij-ésima unidad experimental
TEST DE ANOVA
• Análisis de Varianza
• Hipótesis
• Ho: = i (Todos los tratamientos producen el mismo efecto)
Ha: ≠ i para al menos un i; i = 1,2, . . . t. (Al menos uno de los
tratamientos produce efectos distintos).
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• El criterio de decisión es de:
– Si Fc > Fe Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
– Si p < a se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
TEST DE ANOVA
• En el trabajo analítico suelen presentarse a menudo
comparaciones en las que intervienen más de dos
medias.
• Ejemplos
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FUENTES DE VARIACION
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Tablero de datos
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T1 T2 T3 … Tk
1 X11 X21 X31 … Xk1
2 X12 X22 X32 … XK2
3 X13 X23 X33 … XK3
4 X14 X24 X34 … XK4
: : : :
n X1n X2n X3n … Xkn
Total X1. X2. X3. Xk.
Prom
1 2 3 .. . n
.1x .2x .3x .kx
Partición de la Sumas de Cuadrados
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2
1 1
k
i
n
j
ij xxSCTotal
2
1 1
..
k
i
n
j
iiij xxxx
2
1 1 1
2..
k
i
n
j
k
i
iiij xxnxx
2
1 1
..
k
i
n
j
iiij xxxx
SCTratSCErrorSCTotal
(1) (3) (2)
1. Sumas de Cuadrados Total
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2
1 1
k
i
n
j
ij xxSCTotal
k
i
n
j
ijij xxxx1 1
2
2
k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
j
ijij xxxx1 11 1
2
1 1
2 12
knxxxxk
i
n
j
k
i
n
j
ijij
1 1
2
1 1
2 2
knkn
x
xkn
x
xSCTotalk
i
n
j
k
i
n
j
ijk
i
n
j
ij
k
i
n
j
ij
ij
1 1
2
1 1
1 1
1 12 2
1. Sumas de Cuadrados Total
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k
i
n
j
k
i
n
j
ij
k
i
n
j
ij
ijkn
x
kn
x
xSCTotal1 1
2
1 1
2
1 12 2
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
k
i
n
j
ij
ijkn
x
kn
x
xSCTotal1 1
2
1 1
2
1 12 2
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
ijkn
x
xSCTotal1 1
2
1 12 2
1 1
kn
x
TCSi
k
i
n
j
ij
k
i
n
j
ij TCxSCTotal1 1
2
2. Sumas de Cuadrados Tratamientos
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2
1
.
k
i
i xxnSCTrat
k
i
ii xxxxnSCTrat1
22 .2.
k
i
k
i
k
i
ii xxxxnSCTrat11
2
1
2 1.2.
kxxxxnSCTratk
i
k
i
ii
1
2
1
2 .2.
kxxxkxnSCTratk
i
i
1
22 2.
2. Sumas de Cuadrados Tratamientos
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kxxxkxnSCTratk
i
i
1
22 2.
knxxxknxnSCTratk
i
i
1
22 2.
knxn
xSCTrat
k
i
i
1
22
.
knxxnSCTratk
i
i
1
22.
k
i
i TCn
xSCTrat
1
2
.
3. Sumas de Cuadrados Error
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k
i
n
j
iij xxSCError1 1
2.
k
i
n
j
iiij xxijxxSCError1 1
2
...2
k
i
n
j
k
i
n
j
i
k
i
n
j
ijiij xxxxSCError1 1
2
...2
k
i
n
j
k
i
iij
n
xxSCError
1 1 1
2
.
SCTratSCTotalSCError
RESUMEN
18/01/2013 Carlos Zea Rivera 19
2
1 1
2
1
22
1 1 1
.
.
k n
ij
i j
ki
i
k n ki
ij
i j i
SC Total x TC
xSCTratam TC
n
xSCError x
n
donde TC
X
kn
ijj i
n
i
k
1
2
Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos SC Trat
Error SC Error
Total SC Total
Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1)
Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)
Total kn-1 SC Total
Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1) CMT/CME
Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)
Total kn-1 SC Total
HIPOTESIS
• Las Hipótesis serán del tipo
– Ho: 1 2 3 ... k
– Ha: al menos una diferente
• El criterio de decisión es de:
– Si Fc > Ft(gl trat, gl err, a) Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
– Si p < a Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
• Supuestos:
Las suposiciones que validan el análisis de varianza son:
– a. Los errores son independientes
– b. Los errores están normalmente distribuidos con media cero y varianza constante
– c. Existe homogeneidad de varianzas entre los tratamientoe:
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Ejemplo 1 DCA
• Se probaron concentraciones de 1, 2, 3 y 4 ppm de una cierta enzima mas
un control (en que no se añadió enzima) para estudiar su efecto en la
separación de un jugo de naranja.
• Cada tratamiento se replicó 4 veces y se usó un diseño completamente al
azar. Se añadió agua a las 20 muestras y se midió el tiempo de separación
(minutos) en cada muestra.
• Los resultados pueden observarse en el tabla adjunta.
• Interesa responder a las siguientes preguntas:
– 1. La presencia de enzima retarda la separación comparada con la ausencia de
la misma?
– 2. Hay algún efecto diferencial del nivel de enzima agregado?
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Ejemplo 1 DCA
• Con el propósito de comparar el precio de la papa en cuatro
Municipios de una ciudad, se llevo a cabo un determinado
experimento.
• En los distritos 1,2 y 3 se tomo una muestra del precio de la papa
en 8 tiendas, en el cuarto distrito -por omisión- se tomo muestras
de solo 7 tiendas.
• Se empleo un diseño completamente aleatorizado.
• Constituyen los datos recogidos evidencia suficiente para afirmar
que existe diferencia en el precio promedio de la papa entre los 4
municipios de la LAGUNA?
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Ejemplo 2 DCA
• Cuatro grupos de vendedores de una agencia de ventas de revistas
fueron sometidos a diferentes programas de entrenamiento de
ventas.
• Debido a que hubo deserciones durante el entrenamiento, el
numero de asistentes fue diferente en cada grupo. Al final de dicho
programa a cada vendedor le fue asignada al azar alguna zona de
ventas, que tiene similar potencial de ventas que otra.
• Hay suficiente evidencia que indique una diferencia en los
resultados promedio de los cuatro programas de entrenamiento?
• Si la Ho es rechazada, que pares de promedios son diferentes??
18/01/2013 Carlos Zea Rivera 26
Ejemplo 3 DCA
• Tres secciones de un curso de Estadística están a cargo de tres
diferentes profesores.
• Cada uno de ellos aplica un método de enseñanza, el mismo que
se evalúa a través de las notas obtenidas en cada curso.
• Hay alguna diferencia significativa en el procedido de las
calificaciones dadas por los tres profesores?
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Ejemplo 4 DCA
• De un producto en observación se tomo 14 muestras tan similares
como fue posible, luego se procedió a su estocamiento utilizando
para tal efecto 5 métodos de almacenamiento diferentes.
• Después de cierto tiempo se determino la cantidad de agua que
contenía cada muestra y se obtuvieron los resultados abajo
indicados.
• Los métodos de almacenaje influyen en el contenido de agua?
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Ejemplo.
Tres compañías se ofrecen a transportar nuestro producto.
Para probarlas en cuanto a su oportunidad de entrega,
medida por el porcentaje de retraso a tiempo estimado de
entrega.
¿Qué experimento sugiere?
18/01/2013 Carlos Zea Rivera 29
Construya, con su equipo otro ejemplo de un experimento
totalmente al azar.
Reporte:
• Descripción del experimento.
• De dónde viene lo aleatorio.
• Cuál es la asignación y cómo se hizo.
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