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SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD
Detalles Pg.
Coordenadas principales........................................................................................................... 87
Modo normal de vibracin....................................................................................................... 87
Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98
Acoplamiento esttico.............................................................................................................. 99
Acoplamiento dinmico........................................................................................................... 100
Acoplamiento esttico dinmico........................................................................................... 101
Ecuacin de Lagrange.............................................................................................................. 102
Ecuacin de Lagrange para una partcula................................................................................. 103
Clculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106
Ecuacin de Lagrange para un sistema de partculas............................................................... 107
Ecuacin de Lagrange para cuerpos rgidos............................................................................. 109
Vibracin armnica forzada..................................................................................................... 113
Absorbedor de vibraciones dinmicas...................................................................................... 115
Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 118
Vibracin forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120
Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para
describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados
de libertad.
Si las masas 1m y 2m se restringen a moverse
verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada
tx para definir la localizacin de cada una de las masas en
un instante cualquiera, as el sistema necesita en total dos
coordenadas para determinar su posicin (Es de dos grados de
libertad).
K1
m2
K2
m1x1
x2
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L1
L2
m1
m2
1
2
y1
y2
x1
x2
Si la masa m se restringe a moverse verticalmente, se necesitan
dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.
Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilneo tx y
la otra coordenada ser un desplazamiento angular t que tiene
que ver con la rotacin de la masa.
Las dos coordenadas son independientes una de la otra.
Para el sistema de pndulo doble, es claro que se necesitan dos
coordenadas para especificar la posicin de las masas 1m y
2m en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos
grados de libertad 1x y 2x con 1y , 2y o 1 y 2
son los posibles pares de coordenadas.
Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es
decir, un sistema con dos grados de libertad tendr dos frecuencias naturales.
Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo La ecuacin de frecuencia en un sistema
sin amortiguacin o la Ecuacin caracterstica de un sistema amortiguado.
Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultneamente a los
desplazamientos mximos y pasan por sus puntos de equilibrio tambin simultneamente, o sea,
que todas las partes mviles del sistema estn oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se
llama modo normal o modo principal de vibracin.
Cuando la vibracin libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relacin
definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuracin correspondiente es un
modo normal.
x2
K K
(t)
m
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Coordenadas principales.
Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuacin de movimiento contenga
nicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuacin puede resolverse
independientemente una de la otra.
A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.
Los dos grados de libertad del sistema tendrn dos modos normales de vibracin
correspondientes a las dos frecuencias naturales.
La vibracin libre iniciada bajo cualquier condicin ser en general la superposicin de los dos
modos normales de vibracin.
Sin embargo, la vibracin armnica forzada ocurrira a la frecuencia de excitacin y la amplitud
de las dos coordenadas tender a un mximo a las dos frecuencias naturales.
Modo normal de vibracin.
Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas 1x y 2x , medidas desde
una referencia inercial.
Las ecuaciones del movimiento son:
211 xxKKxxm (1)
22122 KxxxKmx (2)
KKm 2m
x1 x2K
m 2mK(x1 - x2) Kx2Kx1
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Se define un modo normal de oscilacin, como uno en el cual cada masa experimenta un
movimiento armnico de la misma frecuencia, pasando simultneamente por la posicin de
equilibrio.
Para tal movimiento se puede escribir:
ti
11 eAx (3)
ti
22 eAx (4)
Derivando (3) y (4)
ti
11 eAix ; ti1
22
1 eAix pero
ti
1
2
1
2eAx1i
ti
22 eAix ;
ti
2
22
2 eAix pero
ti
2
2
2
2eAx1i
Sustituyendo en (1) y (2)
En (1)
ti2ti1ti1ti12 eAeAKeKAeAm
ti211ti
1
2eKAKAKAeAm
211
2KAKA2Am
0KAAmK2 212 (5) En (2)
ti2ti2ti1ti22 eKAeAeAKeAm2
ti21ti
2
2eKA2KAeAm2
212
2KA2KAAm2
0KAAm2K2 122 (6) Formando un sistema con (5) y (6)
022
02
2
2
1
21
2
AmKKA
KAAmK
Estas son ecuaciones lineales homogneas y la solucin A=B=0 define la condicin de equilibrio.
La otra ecuacin se obtiene igualando a cero el determinante.
1A y 2A se satisfacen, si el determinante siguiente es cero
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022
22
2
mKK
KmK
Haciendo cambio de variable 2 , el determinante cambia a:
022
2
mKK
KmK
Desarrollando:
0222 2 KmKmK
02244 2222 KmmKmKK
0362 222 KmKm 22m
02
33
2
2
m
K
m
K
Resolviendo:
2
33
2
693
22
m
K
m
K
m
K
m
K
m
K
m
K
m
K366.2
2
331
m
K634.02
Retornando a la variable inicial 2
m
K366.2111
m
K634.0222
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m2x2
K2
m1x1
K1
K3
Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razn de
las amplitudes.
Para 73.2366.22
1
2366.2
)1(
2
1
2
1
)1(
2
12
1
A
A
mK
K
A
A
m
K
Para 731.0634.02
1
2634.0
)2(
2
1
2
2
)2(
2
12
2
A
A
mK
K
A
A
m
K
1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, est restringido a tener oscilaciones
verticales nicamente. Determinar la ecuacin de la frecuencia y las razones de amplitud del
sistema.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Planteando maF a cada cuerpo
1121211 xmxxKxK
2223212 xmxKxxK
Ordenando
0xKxKKxm 2212111 (1)
0xKKxKxm 2321222 (2)
Suponiendo que el sistema es peridico y se compone de movimientos armnicos de diferentes
amplitudes y frecuencias
tsenAx1 (3)
tsenBx2 (4)
m1 m2
K1x1
K2(x1 - x2)
K2(x1 - x2)
K2x2
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Donde A, B, son constantes arbitrarias y una de las frecuencias naturales del sistema
Derivando (3) y (4)
tcosAx1
tsenAx 21 (5)
tcosBx2
tsenBx 22 (6)
(5) y (6) en (1) y (2)
0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212
1 tsen
0BKAKKAm 2212
1
0BKAmKK 22121 (7)
0tsenBKKtsenAKtsenBm 3222
2 tsen
0BKKAKBm 3222
2
0BmKKAK 22322 (8)
Formando un sistema con (7) y (8)
0BmKKAK
0BKAmKK2
2322
2
2
121
Es una ecuacin lineal homognea: La solucin A=B=0; define la condicin de equilibrio del
sistema.
La otra solucin se obtiene igualando a cero el determinante.
0mKKK
KmKK2
2322
2
2
121
sea 2
Desarrollando el sistema
0KmKKmKK 22232121
0KmmKmKmKmKKKKmKKKK2
2
2
2131212232
2
2123121
Ordenando
0KKKKKKKmKmKmKmmm 323121312122122
21
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-2.73
1.0
0KKKKKKKKmKKmmm 3231213212122
21 21mm
0mm
KKKKKK
m
KK
m
KK
21
3231212
2
32
1
2122
(9)
De esta ecuacin saldrn dos frecuencias 1 y 2
La razn de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)
2
121
2
2
2
121mKK
K
B
ABKAmKK
2
2
232
2
2
232K
mKK
B
AAKBmKK
2
2
1232
2
1121
2
1
1
K
mKK
mKK
K
B
A
2
2
2232
2
2121
2
2
2
K
mKK
mKK
K
B
A
Cualquier vibracin libre puede considerarse como la superposicin de sus modos normales; as
los dos desplazamientos pueden escribirse como:
Llamadas soluciones generales:
2221111 tsenAtsenAx
2221112 tsenBtsenBx
Se puede representar grficamente los dos modos normales:
m
k634.021
m
K366.222
Para la funcin de forma del modo normal, se esa la siguiente notacin:
0.1
731.01 x
0.731 1.0
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0.1
73.22 x
2. La figura muestra dos cilindros circulares idnticos de masa m y radio r unidos por medio
de un resorte K. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,
deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.
1211 IrmarxxK
Pero 11 rx
22 rx
2mr
2
1I
22211 mr2
1mrrrrK
0rKrKmr2
32
2
11
2
1
2 2r
22211 IrmarKrxxK
0rrrKrKmr2
32112
2
22
2
0KKm2
321111
1 2
x1 x2
K1 K2
K1(x1 - x2) K2x2
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1
x1
2
L
LL
x2
Km
m
0rKrKrKmr2
32
2
11
2
12
2
22
2
3. Encuentre la ecuacin de frecuencia del pndulo acoplado.
IM
12112
11 cosLxxKmgxI
0cosLsenLsenLKsenmgLI 12112
11
Para oscilaciones pequeas
sen 1cos
0LLLKmgLI 2112
11
0KLKLmgLI 2212211 (1)
22122
22 cosLxxKsenL2mgI
0LLLKmgL2I 2122
22
0KLmgL2KLI 2212222 (2)
Sean: tsenAtsenA 211
tsenBtsenB 222
En (1) y (2)
0KKKm2
3112212
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L 2L L
m m
1
1
3
2
2
3
T T T
Tx1
x2
Como 2222
1
2mL4L2mImLImRI
0tsenBKLtsenAKLmgLtsenAmL 2222 tsen
0BKLAKLmgLAmL 2222 L
0KLBAmLKLmg 2 (3)
0tsenBKLmgL2tsenAKLtsenBmL4 2222 tsen
0BKLmgL2AKLBmL4 2222
0BmL4KLmg2KLA 2 (4)
0mL4KLmg2KL
KLmLKLmg2
2
Desarrollando
0LKLm4mKL5LKgLm6mgKL3gm22242222222222
0mgKL3gm2mKL5gLm6Lm4 22222422 m
4. En la figura, suponga que la tensin en el alambre permanece constante cuando los ngulos de
oscilacin son pequeos. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.
121 xmsenTsenT
0gKL3mg2KL5mgL6mL4 22242
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Pero 11
1 tangL
xsen
2
21
2 tangL2
xxsen
Por tanto: 0TL2
xxT
L
xxm 2111
0TxTxTx2xmL2 2111
0TxTx3xmL2 211 (1)
232 xmsenTsenT
2
221 xmL
xT
L2
xxT
0TxTxTx2xmL2 2122
0Tx3TxxmL2 212 (2)
Sean: tsenAx1 tsenAx2
1 (3)
tsenBx2 tsenBx2
2
(3) en (1)
0tsenTBtsenTA3tsenAmL2 2 tsen
0TBTA3AmL22
0TB3AmL2T3 2 (4) (3) en (2)
0tsenTB3tsenTAtsenBmL2 2 tsen
0TB3TABmL22
0BmL2T3TA 2 (5)
0mL2T3T
TmL2T32
2
0TmL2T3 222 Diferencia de cuadrados
0TmL2T3TmL2T3 22
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mL2
T40mL2T4
22
mL
T0mL2T2
22
5. La masa m suspendida dentro de un marco rgido por medio de cuatro resortes. Determine
las frecuencias naturales de vibracin.
11211 xmxKxK
0xKKxm 1211 (1)
22423 xmxKxK
0xKKxm 2432 (2)
Sean: tsenAx1 tsenAx2
1 (3)
tsenBx2 tsenBx2
2
(3) en (1)
0tsenAKKtsenAm 212 tsenA
0KKm 212
212
KKm
(3) en (2)
0tsenBKKtsenBm 432 tsenB
mL
T21
mL
T2
m
KK 211
mm
K1x1
K2x2
K3x2 K4x2
K2
m
K1
K3 K4
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0KKm 432
432
KKm
Acoplamiento de coordenadas.
Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, estn generalmente
Acopladas en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuacin.
En el caso ms general, las dos ecuaciones tienen la forma:
0xKxKxmxm 212111212111
0xKxKxmxm 222121222121
Que en forma matricial:
0
0
x
x
KK
KK
x
x
mm
mm
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.
* Existe acoplamiento dinmico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal
* Existe acoplamiento esttico o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.
- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinmico y esttico
pueden estar presentes.
- Tambin es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.
Cada ecuacin puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las
Coordenadas principales (Llamadas tambin coordenadas normales).
m
KK 432
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Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no
amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.
La siguiente ecuacin matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento esttico ni
dinmico, pero las coordenadas estn acopladas por la matriz de amortiguamiento.
0
0
x
x
K0
0K
x
x
cc
cc
x
x
m0
0m
2
1
22
11
2
1
2221
1211
2
1
22
11
Si se da que 0cc 2112 se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez
o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.
Ejm. Una barra rgida est soportada por dos resortes 1K y 2K . La figura representa un sistema
de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.
Acoplamiento esttico:
El centro de masa no coincide con su centro geomtrico
[La decisin de escoger las coordenadas, definir el tipo de acoplamiento que tiene]
xmF
xmLxKLxK 2211
0222111 LKxKLKxKxm
LINEA DE REFERENCIA
OK1(x - L1 )
K2(x - L2 )
x
K1 K2
L1 L2
L1
L2
mg
G
-
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0LKLKxKKxm 112221
IM0
ILLxKLLxK 222111
0LKxLKLKxLKI2
2222
2
1111
0LKLKxLKLKI 2222111122
Formando el sistema:
0LKLKxLKLKI
0LKLKxKKxm2
22
2
111122
112221
En forma matricial:
0
0x
LKLKLKLK
LKLKKKx
I0
0m2
22
2
111122
112221
Por la teora se dice que tiene un acoplamiento esttico. Si 2211 LKLK el acoplamiento
esttico desaparece.
Acoplamiento dinmico:
K2(x - L4 )
L3
K1(x - L3 )
K1
LINEA DE REFERENCIA
L3
L4
mx
x
mgK2
L4
Ge
m (e )
Fuerza de inercia
-
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Existe algn punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce
traslacin pura; es decir:
4231 LKLK
xmF
xmmeLxKLxK 4231
0meLKxKLKxKxm 422311
0LKLKxKKmexm 314221
IM0
IxmeLLxKLLxK 442331
0xmeLKxLKLKxLKI2
4242
2
3131
0LKLKxLKLKxmeI 2422313142
En forma matricial:
0
0x
LKLKLKLK
LKLKKKx
Ime
mem2
42
2
313142
314221
Pero como 4231 LKLK
0
0x
LKLK0
0KKx
Ime
mem2
42
2
31
21
En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento esttico e introducen el
dinmico.
Acoplamiento esttico dinmico:
Se obtiene al elegir x en el extremo de la barra.
-
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K2(x - L )
L1
K1x
K1
LINEA DE REFERENCIA
L1
L2
O
K2
G
L
mx = mL1
x
xmF
xmmLLxKxK 121
0LKxKxKmLxm 2211
0LKxKKmLxm 2211
IMA
ILLxKLxm0xK 211
0LKxLKxmLI2
221
0LKLxKxmLI2
221
En forma matricial:
0
0x
LKLK
LKKKx
ImL
mLm2
22
221
1
1
Ecuacin de Lagrange.
Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en trminos de coordenadas
generalizadas.
-
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Ecuacin de Lagrange para una partcula:
Considerando la ecuacin del movimiento de una partcula
amF
De aqu se obtiene tres ecuaciones escalares
zmF
ymF
xmF
z
y
x
(0)
Considerando un desplazamiento virtual: kzjyixr
El trabajo virtual realizado por la fuerza es:
zFyFxFrF zyx
(1)
zzmyymxxmrF
(2)
Sean 321 q,q,q un conjunto de coordenadas generalizadas para la partcula, entonces se tiene:
tqqqxx ,,, 321
tqqqyy ,,, 321 (*)
tqqqzz ,,, 321
Se puede expresar los desplazamientos virtuales z,y,x en trminos de 321 q,q,q
3
3
2
2
1
1
qq
xq
q
xq
q
xx
3
3
2
2
1
1
qq
yq
q
yq
q
yy
3
3
2
2
1
1
qq
zq
q
zq
q
zz
Sustituyendo en (1):
3
3
2
2
1
1
z3
3
2
2
1
1
y3
3
2
2
1
1
x qq
zq
q
zq
q
zFq
q
yq
q
yq
q
yFq
q
xq
q
xq
q
xFrF
3
321
2
321
1
321
qq
zz
q
zy
q
zxmq
q
yz
q
yy
q
yxmq
q
xz
q
xy
q
xxmrF
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 104
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Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y 321 q,q,q son coordenadas generalizadas, se
llamar a los coeficientes 321 q,q,q fuerzas generalizadas y se designar por 321 Q,Q,Q .
Por tanto:
111
1q
zz
q
yy
q
xxmQ
1
z
1
y
1
x1q
zF
q
yF
q
xFQ
222
2q
zz
q
yy
q
xxmQ
2
z
2
y
2
x2q
zF
q
yF
q
xFQ
333
3q
zz
q
yy
q
xxmQ
3
z
3
y
3
x3q
zF
q
yF
q
xFQ
Ahora se transformar los miembros derechos de estas ecuaciones. Se har solo para el
trmino:1q
xx
111 q
x
dt
dx
q
xx
q
xx
dt
d Derivada de un producto
Despejando:
11 q
x
dt
dx
q
xx
dt
d
q
xx (a)
Derivando (*) 33
2
2
1
1
qq
xq
q
xq
q
xx
11 q
x
q
x
(Se deriva a todos pero 32 qq en este caso son cts..) (b)
111 q
x
dt
dx
qq
x
dt
d
(c)
(b) y (c) en (a)
111 q
xx
q
xx
dt
d
q
xx
22
2
1
2
11
x
q
x
qdt
d
q
xx
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 105
Facultad de Ciencias y Tecnologa
Ingeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas
Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para 1Q
2
z
2
y
2
x
q2
z
2
y
2
x
qdt
dmQ
222
1
222
1
1
De donde: 11
1q
T
q
T
dt
dQ
Siendo: 222 zyxm2
1T Energa cintica de la partcula
Anlogamente se puede obtener para 32 Q,Q y en general:
3,2,1i (Ecuacin de Lagrange)
Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) iQ Se tiene:
i
iq
VQ
Donde V es la energa potencial de la partcula y la ecuacin de Lagrange puede escribirse:
iii q
V
q
T
q
T
dt
d
0
iii q
V
q
T
q
T
dt
d
Como V es funcin de iq solamente, 0q
V
i
Sea VTL (Lagrangiano)
Entonces la ecuacin de Lagrange tiene la forma:
Si iQ consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces iQ sera:
ii
iq
T
q
T
dt
dQ
0
ii q
L
q
L
dt
d
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 106
Facultad de Ciencias y Tecnologa
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i
ni
i
iq
EDQ
q
VQ
niQ Parte no conservativa
ED = Energa disipativa ED= 2
2
1xc
Por tanto la ecuacin de Lagrange ser:
Clculo de las fuerzas generalizadas.
Se puede calcular por medio de tres mtodos:
a) A partir de la frmula: i
j3
1j
jiq
xFQ
3,2,1i
1
z
1
y
1
x1q
zF
q
yF
q
xFQ
Ctte.
a) Este mtodo se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:
1
iq
yQ
Ejm. Deducir la ecuacin de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un
grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.
Usando la ecuacin de Lagrange de la forma:
ni
ii
Qq
L
q
L
dt
d
(*)
ni
ii
Qq
L
q
L
dt
d
mK
Fcoswt
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 107
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La energa cintica es: 2xm2
1T
La energa potencial es: 2Kx2
1V
El lagrangiano es: 22 Kx2
1xm
2
1VTL
Encontrando los trminos de (*)
xmxmdt
d
x
L
dt
d
Kxx
L
La fuerza generalizada no conservativa es:
tcosF
0Qnx
Para vibracin libre forzada
Por tanto la ecuacin de movimiento es:
Ecuacin de Lagrange para un sistema de partculas.
Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partculas y sea n el nmero de
partculas.
Ntese que se requieren n coordenadas independientes n321 q,...,q,q,q para describir un
sistema de n grados de libertad, donde nn 3 .
1) Forma general.
i
ii
Qq
T
q
T
dt
d
n,...,3,2,1i
Donde
i
j
zj
i
j
yj
i
j
xjiq
zF
q
yF
q
xFQ
2) Sistemas conservativos.
tcosF
0Kxxm
Para vibracin libre - forzada
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 108
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0q
L
q
L
dt
d
ii
Donde VTL
3) Para la forma alternativa.
ni
ii
Qq
L
q
L
dt
d
T y V son la energa cintica y potencial del sistema de partculas en conjunto.
Ejm. Dos partculas en vibracin libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de
dos grados de libertad.
Como el sistema es conservativo:
0
q
L
q
L
dt
d
ii
Donde: 11 xq y 22 xq
La energa cintica del sistema es: 2222
11 xm2
1xm
2
1T
La energa potencial del sistema es: 2232
122
2
11 xK2
1xxK
2
1xK
2
1V
El Lagrangiano: 2232
122
2
11
2
22
2
11 xK2
1xxK
2
1xK
2
1xm
2
1xm
2
1L
Para la coordenada 1x :
1221112211
1
1111
1
xxKxK1xxKxKx
L
xmxmdt
d
x
L
dt
d
0xxKxKxm 1221111
K1 K2m1 m2
K3
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 109
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Para la coordenada 2x :
2312222
2
2222
2
xKxxKxKx
L
xmxmdt
d
x
L
dt
d
0xKxxKxm 2312222
Ecuacin de Lagrange para cuerpos rgidos.
Un cuerpo rgido puede considerarse como un conglomerado de partculas infinitamente grande
distribuidas continuamente.
Usando las energas cintica T y potencial V del cuerpo rgido, de un sistema de cuerpos
rgidos o de un sistema de partculas y cuerpos rgidos.
Ejm. Un disco circular homogneo y uniforme de masa m y radio R est oscilando alrededor
de su posicin de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibracin libre
La energa cintica:
2G
2
G I2
1mV
2
1T
2
xVG
R2xR2x a)
0xKxKKxm 2212111
0xKxKKxm 1223222
K
mR
M coswta
R
R
x/2
`
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 110
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R
R22
1VG
Como 2mR2
1I (Disco) y
2222222 mR4
1mR
2
1mR
2
1
2
1Rm
2
1T
22mR
4
3T (1)
La energa potencial: 21Kx2
1V
Segn el grfico:
Por proporcionalidad Ra
x
R2
x 1
xR2
Rax1
Pero: RaxR2x 1 (b)
22RaK2
1V (2)
El Lagrangiano es: 2222 RaK2
1mR
4
3L
2
22
RaKL
mR2
3mR
2
3
dt
dL
dt
d
Para vibracin forzada:
tcosMRaKmR2
3 22
1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeas
vibraciones del pndulo doble, que consiste en dos cuerpos rgidos suspendidos en O y
articulados en A. Los centros de gravedad son 1G y 2G y los momentos de inercia respecto de
1G y 2G son 1I y 2I respectivamente, siendo las masas 1m y 2m
0RaKmR2
3 22
x1
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 111
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Sean las coordenadas generalizadas de 1G y 2G
111 senax
111 cosay
2212 senasenLx
2212 cosacosLy
jcosaisenar 11111
(1)
jcosacosLisenasenLr 2212212
(2)
Derivando (1) se obtiene la velocidad
2
11
22
1
2
1
22
1
2
11111111 senacosaVjsenaicosaV
Factorizando: 2121211212212121 aVsencosaV Derivando (2):
jsenasenLicosacosLV 22211222112
jsenasenLicosacosLV 2222112
22211
2
2
Desarrollando y simplificando:
122122
2
2
2
2
1
22
2 cosLa2aLV
La energa cintica del sistema es:
2
2
G
2
G
1
2
G
2
G I2
1mV
2
1I
2
1mV
2
1T
a1
a2
L
G1
G2
O
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 112
Facultad de Ciencias y Tecnologa
Ingeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas
222122122222212221121211 I2
1cosLa2aLm
2
1I
2
1am
2
1T (3)
La energa potencial es: 21 VVV
2212111 cos1acos1Lgmcos1gamV (4)
12222122112111
cosLamLmIamdt
dT
dt
d
12122221222212
2111
2
11
1
senLamcosLamLmIamT
dt
d
12122221222212221111
senLamcosLamLmamIT
dt
d
2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.
Energa Potencial cos1mgLKx2
1V
2 (1)
Energa Cintica 21 TTT
2
1 xM2
1T (*)
Para 2T :
cosLy
senLxx
1
1 jcosLisenLxr
Derivando respecto al tiempo Vr
222 senLcosLxV
1P
MK
L
x1
x
y1
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 113
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22222222 senLcosLcosxL2xV
222222 cossenLcosxL2xV 2222
LcosxL2xV (a)
Por tanto: 2222 LcosxL2xm2
1T (**)
La energa cintica total es: 2222 mL2
1cosxmLxm
2
1xM
2
1T (2)
Lagrangiano: cos1mgLKx2
1mL
2
1cosxmLxm
2
1xM
2
1T
22222
cossenmLxmxMcosmLxmxMdt
d
x
L
dt
d 2
sencosmLxmMx
L
dt
d 2
Kxx
L
Por tanto: 0KxsencosmLxmM 2
senxcosxLmLmLcosxmLsenxmLmLcosxmLdt
dL
dt
d 22
senmgLsenxmLL
Por tanto: 0senmgLsenxmLsenxcosxLmL
Vibracin armnica forzada.
Considerando un sistema excitado por una fuerza armnica tsenFF 0
0sengcosxL
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 114
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m1
m2x2
x1
K2
K1
F m1
K2 (x1 - x2)
K1x1
m2
K2 (x1 - x2)
F
De los diagramas de cuerpo libre:
1121211 xmFxxKxK
tsenFxKxKKxm 02212111 (1)
22212 xmxxK
0xKxKxm 221222 (2)
Suponiendo que el movimiento es peridico y se compone de movimientos armnicos de
diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armnicos.
tsenAx1 tsenBx2
tcosAx1 tcosBx2
tsenAx2
1 tsenBx2
2
Reemplazando en (1):
tsenFtsenBKtsenAKKtsenAm 02212
1 tsen
02212
1 FBKAKKAm
Ordenando: 022121 FBKAmKK (3)
Reemplazando en (2)
21
2
221221
4
21
2
220
KKKmKmKmmm
mKFA
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 115
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0tsenBKtsenAKtsenBm 222
2 tsen
0BmKAK 2222 (4) Formando el sistema:
0BmKAK
FBKAmKK2
222
02
2
121
Resolviendo por determinantes:
222222121
2
220
2
222
2
2
121
2
22
20
KmKmKK
mKF
mKK
KmKK
mK0
KF
A
21
2
221221
4
21
2
220
KKKmKmKmmm
mKFA
212
221221
4
21
2
0
2
121
KKKmKmKmmm
0K
FmKK
B
212
221221
4
21
02
KKKmKmKmmm
FKB
Por tanto la solucin es:
Absorbedor de vibraciones dinmicas.
Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa
resorte.
tsenKKKmKmKmmm
mKFx
21
2
221221
4
21
2
220
1
tsen
KKKmKmKmmm
FKx
21
2
221221
4
21
02
2
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 116
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Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,
transformar todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de
vibracin.
Una de las frecuencias naturales est por encima de la frecuencia de excitacin, mientras que la
otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendr una amplitud de
vibracin muy pequea, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitacin dada.
Sea una masa M que tiene vibracin forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de M
agregar un sistema auxiliar masa-resorte.
El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:
121211 xMxxKxKF
tsenFxKxKxKxM 02212111
tsenFxKxKKxM 0221211 (1)
2212 xmxxK
0xKxKxm 22122 (2)
aeAsx
Asex
Aex
st2
1
st
1
st
1
beBsx
Bsex
Bex
st2
2
st
2
st
2
(a) y (b) en (1)
tsenFtsenBKtsenAKKtsenMA 02212 tsen
K1
M M
K1
mx2
x1
0F
s
enw
t
F s
enw
t0
K2
M
K1x1
K2 (x1 - x2)
m
K2 (x1 - x2)
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 117
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02212
FBKAKKMA
02221 FBKAMKK (3)
(a) y (b) en (2)
0tsenBKtsenAKtsenmB 222 tsen
0BKAKmB 222
0BmKAK 222 (4)
Formando un sistema entre (3) y (4)
0BmKAK
FBKAMKK2
22
02
2
21
2222221
2
20
2
22
2
2
21
2
2
20
KmKMKK
mKF
mKK
KMKK
mK0
KF
A
Para anular la vibracin de M, se hace A=0 entonces:
0mK2
2
Por consiguiente se debe disear el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la
frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de M es prcticamente cero).
En general, un absorbedor se usa nicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es
casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, m
K
M
K 21 es aproximadamente cierto para el
sistema completo.
m
K 2
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 118
Facultad de Ciencias y Tecnologa
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Vibracin libre amortiguada.
112122121111 xmxxcxxKxcxK
0xKxcxKKxccxm 222212112111 (1)
22212212 xmxxKxxc
0xxKxxcxm 21221222
0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)
Como las componentes de vibracin de un sistema amortiguado no son peridicos, es decir, son
movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.
aeAsx
Asex
Aex
st2
1
st
1
st
1
beBsx
Bsex
Bex
st2
2
st
2
st
2
Reemplazando (a) y (b) en (1)
0BeKABsecAeKKAsecceAsm st2st
2
st
21
st
21
st2
1 ste
0BKABscAKKAsccAsm 2221212
1
Ordenando: 0BKscAKKsccsm 22212121 (3)
x1
x2
m2
K2c2
m1
K1
c1
m1
K1x1 c1x1
K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)
m1
c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 119
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Reemplazando (a) y (b) en (2)
0AeKAsecBeKBseceBsmst
2
st
2
st
2
st
2
st2
2 ste
0BKscsmAKsc 222222 (4)
Cuando el sistema es homogneo, la solucin nicamente tiene sentido si:
0KscsmKsc
KscKKsccsm
22
2
222
222121
2
1
Desarrollando el determinante:
0KscKscsmKKsccsm 2222222212121 Ecuacin caracterstica.
La solucin de esta ecuacin de to4 grado dar 4 valores de s 4321 s,s,s,s
Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:
ts4ts
3
ts
2
ts
114321 eAeAeAeAtx
ts4ts
3
ts
2
ts
124321 eBeBeBeBtx
Donde los cuatro coeficientes desconocidos 4321 A,A,A,A .
(Las B no son incgnitas diferentes, puesto que 444111 AB,.....,AB ).
Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber: 0x,0x,0x,0x 2121
Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)
i2i22i2
2
i2
21i21
2
ii
2i2
i
i 1
Ksc
Kscsm
KKsccsm
Ksc
B
A
Donde 4,3,2,1i
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 120
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Vibracin forzada con amortiguamiento.
112122121111 xmFxxcxxKxcxK
tsenFxcxcxKxKxcxKxm 022122212111111
tsenFxKxcxKKxccxm 0222212112111 (1)
22212212 xmxxcxxK
0xcxcxKxKxm 2212221222
0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)
Formando el sistema entre (1) y (2)
0xKxcxKxcxm
tsenFKxcxKKxccxm
1212222222
022212112111
La solucin general de estas ecuaciones, consiste en la solucin general de la ecuacin
homognea y una solucin particular de las ecuaciones no homogneas.
x1 F
se
nw
t
m1
K1
c1
0
x2
m2
K2c2
m1
K1x1 c1x1
K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)
m1
c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)
-
Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 121
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La solucin homognea representa una vibracin amortiguada (No tiene inters en el estudio de
problemas del absorbedor dinmico amortiguado, ya que esta vibracin se amortigua
rpidamente).
La solucin particular de las ecuaciones no homogneas, que representa la vibracin forzada se
halla haciendo:
tsenBtcosAx 111
tsenBtcosAx 222