1
t=ampI1 ~L~S
) MINJ$TItRIO OE CULTURA y EDUCACION DlftEcCION NACIONAL DE lNVESTIGAClON DE LA NACION EXPEIUMENTACON y PERFECCIONAMIENTO EDUCATIVO
PROYECTO MULTINACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO
DE LA ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS OEA
Serie Matemaacutetica 1
Documento llordm4
Aplicaciones de la Estadiacutestica y de la Probabilidad
(Separata de Las aplicaciones en la ensentildeanza y el aprendizaje de la Matemaacutetica en la Escueshyla secundaria Reunioacuten de Montevideo (Urushyguay) 8 al 11 de Agosto de 1974)
l
BUENOS AIRES
Febrero 1977
INV OrrH3 SolO ~
51Z ~I iexcl
iW~ Aacute L _-
MINIStERIO QB ctlLTURA Y BDOCAClON
Ministro Prol RiClllrUacuteJ P Bruera
Secnltario de Estado de Educacioacuten Controlllmi7l1Jte RE JEnrique L CarrIlllZll
Subsecretario de Estado de Educacioacuten Pral Bellido C A Yilarreal
DIRECCION NACIONAL DE INVESl1GACION EXPERIMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDlICAl1VO (D 1 E P E)
Director Dr Bnmo L Cmpinen
Directora del Proyecto Multinacional para el Mejoramiento de la Bnsdanza de las CienCias
Insp MI1bel Stok1e
ORGANlZACION DB LOS IlSfADOS AMERICANOS
p(OGRAMA REGiONAL DE DESARROLLO EDUCAl1VO
Director del Departamento de Asuntos EducatiVos DI Hugo Albornoz
DiYisioacuten DesarroUo del Curticulum Dr Ovidw De Leoacuten
EsPeeiaJista del Departamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Argentina
DrIl Ineacutes C de LtjmtlllOvich
APUCCIOLS [ LA ESTADI STICA Y D[ L PROIllILIDAD
1 bull SI )GER~C LS UFERETIS COTEI])()S y gtTlOlXJS
1 1 Ciclo Clcliexclcntal
Las ilociones le tlrohab il id~l(l y cstJltl iacutestica deben i ntro2uc irse en toJos
los ciclos le la ens entildemza
1n la pr imela cnscntilde1l1za se pucJen consiJcrar Jos etapas
intildeos de 6 a 9 antildeos Se propone que en es t a fas e se r eal icen experiencias
Je recoleccioacuten y tabulacioacuten ~lc Latos prevenientes uacutee s ituaciones Jel l~leJio ClJil
tiente ~cl c~ilcando
intildeos ele 10 a 11 antildeos l tilizancJo l os conociiexcliexclientos SOlre fracc iones ( qu~
braJos) se pueden 1cteminar e interpretar fenoacuteiexclenos estaJiacutesticos intrudushy
ciencIa los conceptos ele Tledia naja y 1eJ iana AJenaacutes podr aacute i ntruJicerse paushy
lat iva~lente la idea de prohalJiliJaJ pr imero en su fOILla cuali tatativa para
ir ll cganJo 1 su expres ioacuten cuanti ~at iva icltHantc experimentos con moneuas ) u~
dos bol itas de colores en una bol sa etc Con l os resultados obtenidos podraacuten
elaborarse los br tiacuteficos respectivos Son r1Uy uacutetiles l os graacuteficos en aacuterbol pa shy
ra el recuento de casos posibles y favorab les La i Jea de probabilidad ]luello
aprovecharse para lotivar y afianzar el concepto Je f racc i oacuten
12 Ciclo f1edio haacutes ico (12 a 15 antildeos)
Se sugiere que en esta fa~e se i ncorpor en a los progranms de matemaacutetica
l os prif1eros conceptos de estadiacute s tica descriptiva y probabilidades El t r atashy
miento de estos tenas debe-c5 ser de una laner a intuitiva Se pr opone r ecolecshy
tar datos o presentar los ya recolectados Por ejef1pl o talmantildeos pesos resulshy
tados de j uegos prcfehJos nUacutecro dc hemanos y henanas listas de resultashy
dos en juegos de azar etc
A continuiexclc ioacuten Jeber5n ordenarse los datos y tratarlos con teacutecnicas es t~
diacutesticas introduciendo distintos Jiagra-nas tales Carla pol igonal es de columshy
nas etc
-1shy
PosteriOITlentc se interpretarin los datos lostrando lo que se puede JeJu
c i r le ellos y COPO pucctcn compararse entre siacute
Con estas nociones se introduciraacute el concepto Je meJilIacutea eiexclpIacuter ica de proshy
ba~ il iI13J o frecuencia 1elJtiv8 alplianJo los rcsJltauos obtcniJos en 13 pri
nera etapa
iexclos Uumllportmte 3Jvertir 1ue los conceptos a incorporar no Jeben necesaria
rlcnte constituir uno o f1aacutes Clpiacutetulos especiacuteficos Ilc iU1 curso Je iacuteiJteruumliticu
sino Cjde deben ser presentados coo aplicacioacuten uumlmleJiata Je conceptos mateiexclaacuteshy
ticos i ntroclucilos o C090 liexcllotivacioacuten Je los iexcluuml Sflos Por ejelplo conociJa la
icleJ de nuacutemero racionll se pueJe deEnir la neJia y a partir de ello Jiscushy
tir al experincnto estatliacutestico que consiste en sacar el promeJio Je notas Je
los estCldUumllntes en el curso ue iexcliexclaten5ticls
Ln liacuteneas generltll~s Wla lista Je contenicios pueele ser la siguiente
1 2 1 l~ccoleccioacuten ~e datos Poblacioacuten o colectivo ~llcstr3
122 Ordcliexcl~cioacuten le ~nto$ ~gt stribucioacuten Jc los Jatos en clase frecuenshy
cia y Iiexclistribucioacuten de frccllcnci3 de LlJ1a clase
123 Representacioacuten de clatos lliagrmltls poligonales ele bltlrrltls iexcllIacutestoshy
gr31s aCllulativos de ciacuterculos scctorilles ctc
12 4 Interpretac ioacuten de Jatcs EstaJiacutegr~fos Ce posicioacuten o iacuteniacuteccs Je
ten(lcncia cC1tral lCGiacute3 T1cdioila y riexclloJa Est~h iacutegrafos o lnJices Je
Jispersioacuten arplituJ Jc l~otos Jcsviacioacuten neia Jcsviacioacuten cstan-
Jar
12 5 CorreLcioacuten Coe[ icicntc de correlacioacuten
1 2 6 COflIacuteJ im toril riiingulo de Pascol ocione5 elcentltlles Je proba)i
ljdoll frecuencia rclotivl o ~ecita erl1iacuterica ~e prohabil iacuteJad
1 2 7 Tallas de nuacutemeros aleatorios Ej emplos de s iriexclulac ioacuten
13 Ciclo leJio superior (16 a 18 antildeos)
fn este ciclo CO10 continuacioacuten ltle los cOllociTi cr~tos ya adcluiriuos por
el a10110 se puede introJucir una funJeacuteu-iexclCntacioacuten Jxiort5tica uc probabiacuteliJau
basJlb en l a teoriacutea ele corjllntos Todos 105 te~as Jchcraacuten ser irtcrc31~Jos en
-2shy
05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone
c los clt1cntos -iexclcccsarlOS
Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico
nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5
un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle
ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica
Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce
conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i
Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh
conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy
t as prop ieJatles
Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter
cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy
leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de
probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten
Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o
valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta
Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy
cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y
que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a
Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s
(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)
Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen
cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle
de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy
hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor
11lt11 bull
Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente
1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos
l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi
lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~
bab iliJaJ
-3shy
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
INV OrrH3 SolO ~
51Z ~I iexcl
iW~ Aacute L _-
MINIStERIO QB ctlLTURA Y BDOCAClON
Ministro Prol RiClllrUacuteJ P Bruera
Secnltario de Estado de Educacioacuten Controlllmi7l1Jte RE JEnrique L CarrIlllZll
Subsecretario de Estado de Educacioacuten Pral Bellido C A Yilarreal
DIRECCION NACIONAL DE INVESl1GACION EXPERIMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDlICAl1VO (D 1 E P E)
Director Dr Bnmo L Cmpinen
Directora del Proyecto Multinacional para el Mejoramiento de la Bnsdanza de las CienCias
Insp MI1bel Stok1e
ORGANlZACION DB LOS IlSfADOS AMERICANOS
p(OGRAMA REGiONAL DE DESARROLLO EDUCAl1VO
Director del Departamento de Asuntos EducatiVos DI Hugo Albornoz
DiYisioacuten DesarroUo del Curticulum Dr Ovidw De Leoacuten
EsPeeiaJista del Departamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Argentina
DrIl Ineacutes C de LtjmtlllOvich
APUCCIOLS [ LA ESTADI STICA Y D[ L PROIllILIDAD
1 bull SI )GER~C LS UFERETIS COTEI])()S y gtTlOlXJS
1 1 Ciclo Clcliexclcntal
Las ilociones le tlrohab il id~l(l y cstJltl iacutestica deben i ntro2uc irse en toJos
los ciclos le la ens entildemza
1n la pr imela cnscntilde1l1za se pucJen consiJcrar Jos etapas
intildeos de 6 a 9 antildeos Se propone que en es t a fas e se r eal icen experiencias
Je recoleccioacuten y tabulacioacuten ~lc Latos prevenientes uacutee s ituaciones Jel l~leJio ClJil
tiente ~cl c~ilcando
intildeos ele 10 a 11 antildeos l tilizancJo l os conociiexcliexclientos SOlre fracc iones ( qu~
braJos) se pueden 1cteminar e interpretar fenoacuteiexclenos estaJiacutesticos intrudushy
ciencIa los conceptos ele Tledia naja y 1eJ iana AJenaacutes podr aacute i ntruJicerse paushy
lat iva~lente la idea de prohalJiliJaJ pr imero en su fOILla cuali tatativa para
ir ll cganJo 1 su expres ioacuten cuanti ~at iva icltHantc experimentos con moneuas ) u~
dos bol itas de colores en una bol sa etc Con l os resultados obtenidos podraacuten
elaborarse los br tiacuteficos respectivos Son r1Uy uacutetiles l os graacuteficos en aacuterbol pa shy
ra el recuento de casos posibles y favorab les La i Jea de probabilidad ]luello
aprovecharse para lotivar y afianzar el concepto Je f racc i oacuten
12 Ciclo f1edio haacutes ico (12 a 15 antildeos)
Se sugiere que en esta fa~e se i ncorpor en a los progranms de matemaacutetica
l os prif1eros conceptos de estadiacute s tica descriptiva y probabilidades El t r atashy
miento de estos tenas debe-c5 ser de una laner a intuitiva Se pr opone r ecolecshy
tar datos o presentar los ya recolectados Por ejef1pl o talmantildeos pesos resulshy
tados de j uegos prcfehJos nUacutecro dc hemanos y henanas listas de resultashy
dos en juegos de azar etc
A continuiexclc ioacuten Jeber5n ordenarse los datos y tratarlos con teacutecnicas es t~
diacutesticas introduciendo distintos Jiagra-nas tales Carla pol igonal es de columshy
nas etc
-1shy
PosteriOITlentc se interpretarin los datos lostrando lo que se puede JeJu
c i r le ellos y COPO pucctcn compararse entre siacute
Con estas nociones se introduciraacute el concepto Je meJilIacutea eiexclpIacuter ica de proshy
ba~ il iI13J o frecuencia 1elJtiv8 alplianJo los rcsJltauos obtcniJos en 13 pri
nera etapa
iexclos Uumllportmte 3Jvertir 1ue los conceptos a incorporar no Jeben necesaria
rlcnte constituir uno o f1aacutes Clpiacutetulos especiacuteficos Ilc iU1 curso Je iacuteiJteruumliticu
sino Cjde deben ser presentados coo aplicacioacuten uumlmleJiata Je conceptos mateiexclaacuteshy
ticos i ntroclucilos o C090 liexcllotivacioacuten Je los iexcluuml Sflos Por ejelplo conociJa la
icleJ de nuacutemero racionll se pueJe deEnir la neJia y a partir de ello Jiscushy
tir al experincnto estatliacutestico que consiste en sacar el promeJio Je notas Je
los estCldUumllntes en el curso ue iexcliexclaten5ticls
Ln liacuteneas generltll~s Wla lista Je contenicios pueele ser la siguiente
1 2 1 l~ccoleccioacuten ~e datos Poblacioacuten o colectivo ~llcstr3
122 Ordcliexcl~cioacuten le ~nto$ ~gt stribucioacuten Jc los Jatos en clase frecuenshy
cia y Iiexclistribucioacuten de frccllcnci3 de LlJ1a clase
123 Representacioacuten de clatos lliagrmltls poligonales ele bltlrrltls iexcllIacutestoshy
gr31s aCllulativos de ciacuterculos scctorilles ctc
12 4 Interpretac ioacuten de Jatcs EstaJiacutegr~fos Ce posicioacuten o iacuteniacuteccs Je
ten(lcncia cC1tral lCGiacute3 T1cdioila y riexclloJa Est~h iacutegrafos o lnJices Je
Jispersioacuten arplituJ Jc l~otos Jcsviacioacuten neia Jcsviacioacuten cstan-
Jar
12 5 CorreLcioacuten Coe[ icicntc de correlacioacuten
1 2 6 COflIacuteJ im toril riiingulo de Pascol ocione5 elcentltlles Je proba)i
ljdoll frecuencia rclotivl o ~ecita erl1iacuterica ~e prohabil iacuteJad
1 2 7 Tallas de nuacutemeros aleatorios Ej emplos de s iriexclulac ioacuten
13 Ciclo leJio superior (16 a 18 antildeos)
fn este ciclo CO10 continuacioacuten ltle los cOllociTi cr~tos ya adcluiriuos por
el a10110 se puede introJucir una funJeacuteu-iexclCntacioacuten Jxiort5tica uc probabiacuteliJau
basJlb en l a teoriacutea ele corjllntos Todos 105 te~as Jchcraacuten ser irtcrc31~Jos en
-2shy
05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone
c los clt1cntos -iexclcccsarlOS
Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico
nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5
un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle
ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica
Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce
conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i
Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh
conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy
t as prop ieJatles
Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter
cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy
leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de
probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten
Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o
valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta
Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy
cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y
que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a
Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s
(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)
Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen
cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle
de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy
hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor
11lt11 bull
Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente
1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos
l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi
lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~
bab iliJaJ
-3shy
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
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tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
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SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
APUCCIOLS [ LA ESTADI STICA Y D[ L PROIllILIDAD
1 bull SI )GER~C LS UFERETIS COTEI])()S y gtTlOlXJS
1 1 Ciclo Clcliexclcntal
Las ilociones le tlrohab il id~l(l y cstJltl iacutestica deben i ntro2uc irse en toJos
los ciclos le la ens entildemza
1n la pr imela cnscntilde1l1za se pucJen consiJcrar Jos etapas
intildeos de 6 a 9 antildeos Se propone que en es t a fas e se r eal icen experiencias
Je recoleccioacuten y tabulacioacuten ~lc Latos prevenientes uacutee s ituaciones Jel l~leJio ClJil
tiente ~cl c~ilcando
intildeos ele 10 a 11 antildeos l tilizancJo l os conociiexcliexclientos SOlre fracc iones ( qu~
braJos) se pueden 1cteminar e interpretar fenoacuteiexclenos estaJiacutesticos intrudushy
ciencIa los conceptos ele Tledia naja y 1eJ iana AJenaacutes podr aacute i ntruJicerse paushy
lat iva~lente la idea de prohalJiliJaJ pr imero en su fOILla cuali tatativa para
ir ll cganJo 1 su expres ioacuten cuanti ~at iva icltHantc experimentos con moneuas ) u~
dos bol itas de colores en una bol sa etc Con l os resultados obtenidos podraacuten
elaborarse los br tiacuteficos respectivos Son r1Uy uacutetiles l os graacuteficos en aacuterbol pa shy
ra el recuento de casos posibles y favorab les La i Jea de probabilidad ]luello
aprovecharse para lotivar y afianzar el concepto Je f racc i oacuten
12 Ciclo f1edio haacutes ico (12 a 15 antildeos)
Se sugiere que en esta fa~e se i ncorpor en a los progranms de matemaacutetica
l os prif1eros conceptos de estadiacute s tica descriptiva y probabilidades El t r atashy
miento de estos tenas debe-c5 ser de una laner a intuitiva Se pr opone r ecolecshy
tar datos o presentar los ya recolectados Por ejef1pl o talmantildeos pesos resulshy
tados de j uegos prcfehJos nUacutecro dc hemanos y henanas listas de resultashy
dos en juegos de azar etc
A continuiexclc ioacuten Jeber5n ordenarse los datos y tratarlos con teacutecnicas es t~
diacutesticas introduciendo distintos Jiagra-nas tales Carla pol igonal es de columshy
nas etc
-1shy
PosteriOITlentc se interpretarin los datos lostrando lo que se puede JeJu
c i r le ellos y COPO pucctcn compararse entre siacute
Con estas nociones se introduciraacute el concepto Je meJilIacutea eiexclpIacuter ica de proshy
ba~ il iI13J o frecuencia 1elJtiv8 alplianJo los rcsJltauos obtcniJos en 13 pri
nera etapa
iexclos Uumllportmte 3Jvertir 1ue los conceptos a incorporar no Jeben necesaria
rlcnte constituir uno o f1aacutes Clpiacutetulos especiacuteficos Ilc iU1 curso Je iacuteiJteruumliticu
sino Cjde deben ser presentados coo aplicacioacuten uumlmleJiata Je conceptos mateiexclaacuteshy
ticos i ntroclucilos o C090 liexcllotivacioacuten Je los iexcluuml Sflos Por ejelplo conociJa la
icleJ de nuacutemero racionll se pueJe deEnir la neJia y a partir de ello Jiscushy
tir al experincnto estatliacutestico que consiste en sacar el promeJio Je notas Je
los estCldUumllntes en el curso ue iexcliexclaten5ticls
Ln liacuteneas generltll~s Wla lista Je contenicios pueele ser la siguiente
1 2 1 l~ccoleccioacuten ~e datos Poblacioacuten o colectivo ~llcstr3
122 Ordcliexcl~cioacuten le ~nto$ ~gt stribucioacuten Jc los Jatos en clase frecuenshy
cia y Iiexclistribucioacuten de frccllcnci3 de LlJ1a clase
123 Representacioacuten de clatos lliagrmltls poligonales ele bltlrrltls iexcllIacutestoshy
gr31s aCllulativos de ciacuterculos scctorilles ctc
12 4 Interpretac ioacuten de Jatcs EstaJiacutegr~fos Ce posicioacuten o iacuteniacuteccs Je
ten(lcncia cC1tral lCGiacute3 T1cdioila y riexclloJa Est~h iacutegrafos o lnJices Je
Jispersioacuten arplituJ Jc l~otos Jcsviacioacuten neia Jcsviacioacuten cstan-
Jar
12 5 CorreLcioacuten Coe[ icicntc de correlacioacuten
1 2 6 COflIacuteJ im toril riiingulo de Pascol ocione5 elcentltlles Je proba)i
ljdoll frecuencia rclotivl o ~ecita erl1iacuterica ~e prohabil iacuteJad
1 2 7 Tallas de nuacutemeros aleatorios Ej emplos de s iriexclulac ioacuten
13 Ciclo leJio superior (16 a 18 antildeos)
fn este ciclo CO10 continuacioacuten ltle los cOllociTi cr~tos ya adcluiriuos por
el a10110 se puede introJucir una funJeacuteu-iexclCntacioacuten Jxiort5tica uc probabiacuteliJau
basJlb en l a teoriacutea ele corjllntos Todos 105 te~as Jchcraacuten ser irtcrc31~Jos en
-2shy
05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone
c los clt1cntos -iexclcccsarlOS
Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico
nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5
un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle
ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica
Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce
conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i
Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh
conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy
t as prop ieJatles
Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter
cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy
leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de
probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten
Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o
valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta
Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy
cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y
que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a
Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s
(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)
Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen
cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle
de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy
hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor
11lt11 bull
Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente
1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos
l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi
lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~
bab iliJaJ
-3shy
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
PosteriOITlentc se interpretarin los datos lostrando lo que se puede JeJu
c i r le ellos y COPO pucctcn compararse entre siacute
Con estas nociones se introduciraacute el concepto Je meJilIacutea eiexclpIacuter ica de proshy
ba~ il iI13J o frecuencia 1elJtiv8 alplianJo los rcsJltauos obtcniJos en 13 pri
nera etapa
iexclos Uumllportmte 3Jvertir 1ue los conceptos a incorporar no Jeben necesaria
rlcnte constituir uno o f1aacutes Clpiacutetulos especiacuteficos Ilc iU1 curso Je iacuteiJteruumliticu
sino Cjde deben ser presentados coo aplicacioacuten uumlmleJiata Je conceptos mateiexclaacuteshy
ticos i ntroclucilos o C090 liexcllotivacioacuten Je los iexcluuml Sflos Por ejelplo conociJa la
icleJ de nuacutemero racionll se pueJe deEnir la neJia y a partir de ello Jiscushy
tir al experincnto estatliacutestico que consiste en sacar el promeJio Je notas Je
los estCldUumllntes en el curso ue iexcliexclaten5ticls
Ln liacuteneas generltll~s Wla lista Je contenicios pueele ser la siguiente
1 2 1 l~ccoleccioacuten ~e datos Poblacioacuten o colectivo ~llcstr3
122 Ordcliexcl~cioacuten le ~nto$ ~gt stribucioacuten Jc los Jatos en clase frecuenshy
cia y Iiexclistribucioacuten de frccllcnci3 de LlJ1a clase
123 Representacioacuten de clatos lliagrmltls poligonales ele bltlrrltls iexcllIacutestoshy
gr31s aCllulativos de ciacuterculos scctorilles ctc
12 4 Interpretac ioacuten de Jatcs EstaJiacutegr~fos Ce posicioacuten o iacuteniacuteccs Je
ten(lcncia cC1tral lCGiacute3 T1cdioila y riexclloJa Est~h iacutegrafos o lnJices Je
Jispersioacuten arplituJ Jc l~otos Jcsviacioacuten neia Jcsviacioacuten cstan-
Jar
12 5 CorreLcioacuten Coe[ icicntc de correlacioacuten
1 2 6 COflIacuteJ im toril riiingulo de Pascol ocione5 elcentltlles Je proba)i
ljdoll frecuencia rclotivl o ~ecita erl1iacuterica ~e prohabil iacuteJad
1 2 7 Tallas de nuacutemeros aleatorios Ej emplos de s iriexclulac ioacuten
13 Ciclo leJio superior (16 a 18 antildeos)
fn este ciclo CO10 continuacioacuten ltle los cOllociTi cr~tos ya adcluiriuos por
el a10110 se puede introJucir una funJeacuteu-iexclCntacioacuten Jxiort5tica uc probabiacuteliJau
basJlb en l a teoriacutea ele corjllntos Todos 105 te~as Jchcraacuten ser irtcrc31~Jos en
-2shy
05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone
c los clt1cntos -iexclcccsarlOS
Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico
nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5
un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle
ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica
Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce
conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i
Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh
conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy
t as prop ieJatles
Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter
cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy
leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de
probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten
Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o
valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta
Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy
cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y
que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a
Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s
(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)
Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen
cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle
de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy
hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor
11lt11 bull
Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente
1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos
l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi
lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~
bab iliJaJ
-3shy
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone
c los clt1cntos -iexclcccsarlOS
Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico
nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5
un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle
ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica
Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce
conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i
Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh
conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy
t as prop ieJatles
Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter
cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy
leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de
probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten
Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o
valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta
Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy
cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y
que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a
Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s
(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)
Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen
cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle
de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy
hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor
11lt11 bull
Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente
1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos
l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi
lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~
bab iliJaJ
-3shy
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias
Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je
Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis
tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta
1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten
Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa
135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media
y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson
Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial
a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la
nonlal
Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan
para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)
o ue corputtdoras
2 FJETLOS DE APLICACIOIS
l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica
En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy
ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle
tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t
tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten
en los cxaacuteiexclencs
Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras
sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~
se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo
(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio
Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy
racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy
nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico
fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la
rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En
j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy
-4shy
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para
ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos
graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien
ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos
Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos
tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy
ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli
cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas
veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a
la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy
te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel
y a toda la c l ase
ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar
1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l
Sur son (en c i fras r edomias) 1
Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes
Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO
[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -
Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-
ro le habitantes por YJ-)
ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy
perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico
c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea
paiacutes)
2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten
- 5shy
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio
(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones
(4~ )
Calcul ar los grauos que correspo~
den a caJa sector en el graacuteflco altl
junto
Estos liatos y graacuteficos son 11Uy
instructivos CmwenJriacutea q~e en
caua escuela hubiera abundanc i a ltle
ellos pedi uos a las direcciones
de estadiacutestica de caJa paiacutes que
suelen publicarlos anuaL~lente
3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos
en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos
es el adjunto
iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES
15018 1446814314
13581
3854
2715
p pM u
1954
M
1965
191 5
M u p u p M u 1960 1968
- 6 shy
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar
gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos
de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~
la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r
cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular
el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el
nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad
4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es
resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar
los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en
cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias
2 Ej emplos de ejercicios para graficar
l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy
tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy
taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy
cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy
cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_
gual o mayor que )
2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy
tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con
l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la
d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los
nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia
~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir
de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum
nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o
3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~
ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos
iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~
uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul
4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante
l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes
84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar
en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total
-7 shy
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
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GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
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SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
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- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
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- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy
to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de
otras semanas
S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a
tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)
Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas
bull 20lunes 6 10 S
martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12
1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6
I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la
fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a
durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)
valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)
frutas maacutes y menos vendidas
6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute
metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran
te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO
renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as
te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy
clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha
sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1
7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy
ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra
asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o
datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy
sistentes
-8shy
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
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nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
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rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
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- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos
conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle
ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le
un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr
Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy
tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165
167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten
ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la
mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy
t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot
llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor
Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva
los (24 5 aproximadamente 5)
Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas
es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre
cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla
se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)
Est~tll ras Punt o mCl~io
lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada
Pr oduc t o de frecuenci il
y punto Jeuacuteio
145 -149
150-1 54
155-159
160-1 64
165-1 69
Total
1475
152 5
1575
1625
167 5
2
3
4
3
3
15
2
5
9
12
15
295 0
57 5
6300
87 5
502 5
2372 5
La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen
c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je
l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1
-9 shy
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
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tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
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SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
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- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten
(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto
neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea
na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy
lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso
Observaciones
Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)
que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es
decir todas las estaturas JJenorcs que ISO
iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je
cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy
racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy
dio es 1475 = (145 + 150)2
Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado
valor en la distribucioacuten
Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri
mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su
mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo
Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy
ras de los alunmos que componen cada i ntervalo
Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu
cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo
Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y
la desviacioacuten cstandar
La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso
tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal
vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls
la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal
Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la
siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s
le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy
te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en
ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy
-10shy
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya
de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri
bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten
la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes
dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva
Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar
en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy
iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van
colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5
rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy
tribucioacuten nOITolal
4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos
ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en
el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal
En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a
manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales
Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica
concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos
Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad
de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy
des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~
to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G
Miller yA A de Silvero 1974
Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy
pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar
una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una
muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr
- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas
S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir
por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr
Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las
sandiacuteas en l a cosecha del campesino
Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy
-llshy
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que
por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa
ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy
llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin
ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula
1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr
2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute
representado por s a l a desviacioacuten cstandar
3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal
que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este
caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy
de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y
52 kgr
4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy
cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso
entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites
constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha
Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i
bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el
iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas
a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se
JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se
cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue
ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten
su peso
Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca
da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy
ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos
y frecJentes en la vida Jiaria
5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un
-12shy
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je
los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para
estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy
toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas
Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto
entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy
cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables
Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico
Se lanza una moneda sucesivamente y 8
6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos
puntos Estos puntos se van sumanclo
y se Cesea saber las di stintas mane
ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7
~atura lmcnte que lo esencial en
el enunciado es que se trata ue un
proceso con dos alternativas de proba
bilidad 12 caJa una en vez de una
moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy
llero con dos boUumlllas iguales una
marcada con 1 y la otra con 2 que
6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada
5
Las sumas obteniJas en las prime 7
8
7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol
73 6
7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas
cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull
tenerse l a S~~ 7 en 12 7
jugadas
5
4
_
-13- shy
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
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Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
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Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
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- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
21
Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy
gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas
De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es
sen
- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +
~ 32
1 )7 = = OC07 123
iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un
nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy
uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel
es l a estrateampia a seguir
-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute
perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual
llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1
se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI
J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido
~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento
Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos
catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a
continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob
jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_
~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega
segunJo osea B
aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~
gos se pueele complicar tanto cono se lesee
6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos
practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy
ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car
lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene
que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane
-14
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os
se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en
la c1ase
iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10
ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar
un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy
les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole
CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en
la paacutegina s iguiente
ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea
torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy
t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy
qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy
tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo
1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc
en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t
llas ta Llegar n la surla 7
-15shy
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O
5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7
S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3
3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9
9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5
4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6
1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8
4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8
1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6
S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3
S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1
9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O
4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5
S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579
2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1
4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5
3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516
9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4
S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O
3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O
Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el
O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros
ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle
gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy
pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7
Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes
(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas
sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~
siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e
xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten
-16shy
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy
S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -
S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4
l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~
tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi
ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente
24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75
Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os
n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc
nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla
se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan
2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al
azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~
55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy
Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos
O~ x 1 O Y 1
Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea
F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea
Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el
aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy
ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal
se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro
~~c puumlntos tomaJos
Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy
ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy
ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy
dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy
t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual
a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no
-17shy
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
11 es -1Uy granJc CYO es acept able09
atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS
cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I
I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04
03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1
x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO
o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo
3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs
~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy
rricite J Jebe es t ar cerraJo por
l o [enos UJ int errupt or tCC caua
fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)
2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos
26 posibles es ~ 64 Por tanto
l a probabiliael ele que pase corrien
t e es p ~ 2164 ~ 0 33
iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y
resol ve r el problema con una tabla
Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~
ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute
)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy
uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y
l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e
corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe
hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber
por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy
do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l
los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que
no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten
resultaJl t e es
-1 8 shy
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )
i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra
S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta
)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable
Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes
t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar
Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~
lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy
ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el
reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy
Jo es Je Ducho valor
7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles
y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una
f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades
cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy
lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG
menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o
l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla
pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo
que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo
e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes
y
B
o
SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue
espera para el pricaer oacuterrmibus e y
al t i e middotpo de espera del segundo t~
neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8
~os casos pos ibles son por tanto t
toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten
gulo de laJos 10 8 o sea SO Los
casos favorables corresponJen a l os pWi
t os para los cuales es x + y 10 105
10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea
rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es
p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6
-19shy
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a
Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy
githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es
2 s iexcl = uo
La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a
naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor
nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy
las
La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL
bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El
haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En
vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que
co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola
ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los
que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy
j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir
la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy
rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~
LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO
Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle
t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ
iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al
uacutee buffQJ
i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~
lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en
e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy
tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi
c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero
iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo
qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo
por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l
valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este
-20shy
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc
taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero
S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy
l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con
viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica
La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten
COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o
la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl
ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor
es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y
n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene
Para n2 antildeos la foacutemula se escribe
y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta
=( )shy n2 n O
es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect
trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy
cimiento r
Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970
tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5
hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos
que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000
1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la
foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy
] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento
CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular
-21shy
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi
talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces
1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a
cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe
-rt )iexcl t = ~O e
1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece
en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy
ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor
se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle
pende ltle 0
9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos
corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2
nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase
1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl
nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos
ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)
1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor
JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy
taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je
correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros
pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten
entre ellas
Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy
iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y
(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas
~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos
productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)
1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos
son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de
bolsillo
-22shy
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser
seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos
de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta
terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy
nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido
Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14
Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto
que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele
gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy
quiera que estas sean
3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se
quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde
pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos
En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue
vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)
se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de
dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl
to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw
to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy
dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy
les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas
o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy
neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de
confiabilidad del resultado
Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~
torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy
dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal
(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)
Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los
dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno
estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A
y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy
-23shy
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
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b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
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1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que
x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la
variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la
que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren
elida)
Se tienen las siguientes probabil idades
~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12
~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12
lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por
hipoacutet esis el par (xy)
En cambio es
pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O
lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes
4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia
de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy
tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material
a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de
veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy
eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy
diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con
distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra
los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy
narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten
Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los
nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto
(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)
-24shy
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
u 347
b a 987 h 0 S9 ntilde 013
v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018
e 11 24 q 0 82
y 0 71
f 061
1 4 j 51 r 540
11 240 s 6 45 z 0 30 +n
b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669
I
El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras
Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como
uos veces el siacutembolo 1
Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot
determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar
el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras
como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior
En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular
el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar
ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy
tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre
cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r
-25shy
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
l3I BLIOGlvF lA
ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II
Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi
ty Press Palo Alto California US A 1962
- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy
tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~
nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del
Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy
rrollo Internacional (AID)
BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual
~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---
A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy
nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy
nacional (AID)
- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy
gu ilar j1aJriJ ]9634
- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs
Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)
FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy
cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973
- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea
din Iassachusetts 1963
GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy
cia 1973
KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy
sa-Iilcy hico 1973
SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la
OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970
- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives
5arce1ona 1969
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969
- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III
1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy
rica Latina onteviJco)
-27shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo
(DIEPE)
Febrero 1977