Para ~as ~a~ de alta velocidad de disentildeo se especifica una ~ferencIa m~x~a de pendientes entre la de los bordes y la del eje de transIclOn po~ razones de apariencia para I s 1as
sd
~ shy ~iexcl MfNTO DE IIIlIOTfCi-
A partir de criterios netamente empmcos se llega a la conclusioacuten de que las longitudes para efectuar las transiciones
uranas d~ baja velocIdad este criterio se deja a un lado y se utiliza la fonnula anterior con los siguientes valores de f v de c
Velocidad de disentildeo f C kph ms3
030 120 025 114 022 lel7
0195 1 no 0164 091
establecidas por medio de la Sor pueden ajustarse por la s nadas con la comodidad el
lfos carriles sin y con
miacutenimas de las espirales s estaacute sujeta a las mismas con las de dos carriles ~s de las espirales para
ser el doble de las seis carriles seriacutean el adas especialmente ar la transicioacuten del
or medio de esta aacuten de acuerdo en ~ mayores a las
no aceptan el l el ancho
de los peraltes en carreteras con maacutes de dos carriles deben ser
En carreteras de tres carriles 12 veces la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles
Carreteras de cuatro carriles sin separador central 15 la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles
Carreteras de seis carriles sin separador central 20 la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles
En el disentildeo debe prestarse especial atencioacuten a la obtencioacuten de perfiles suaves en los bordes y con el fin de evitar apariencias de distorsioacuten puede ser conveniente el uso de longitudes superiores a las miacutenimas
En carreteras con maacutes de dos carriles la longitud miacutenima de las espirales depende de la fonna como se asigne el peralte a las curvas con el fm de contrarrestar la fuerza centriacutefuga utilizando el peralte la friccioacuten o ambas En carreteras de maacutes de dos carriles con separadores centrales muy angostos y para el caso en el cual la variacioacuten del peralte se realiza proporcionalmente al grado de curvatura (tambieacuten al grado de friccioacuten) las longitudes de las espirales deberaacuten incrementarse proporcionalmente al ancho total las longitudes adicionales de las espirales seraacuten poco significativas Cualquier aumento en eacutestas longitudes puede ignorarse si los separadores centrales tienen entre 1 y 5 metros de ancho
En carreteras con separador central plano y en el caso de empezar a colocar el peralte cuando ya ha sido utilizada la
51
de las espirales deberaacuten obtenerse a partir de las mismas consideraciones tenidas en cuenta para carreteras sin separador central Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores centrales de hasta 5 metros En carreteras de dos calzadas cada una con dos carriles en una direccioacuten y con separadores de 12 metros o maacutes de ancho deberaacuten obtenerse las longitudes de las espirales independientemente para cada calzada pues la distancia entre los bordes pasaraacute de 40 metros Las longitudes de las espirales para cada calzada en carreteras de seis carriles con separador se obtendraacuten multiplicando las longitudes obtenidas para carreteras de dos carriles sin separador por 12 Para las carreteras de direccioacuten uacutenica con separador centra~ en la obtencioacuten de las longitudes de las espirales deberaacuten tenerse en cuenta los valores de las longitudes sugeridos para carreteras de dos carriles o para carreteras con maacutes de dos carriles seguacuten el caso
En el caso de contrarrestar toda la fuerza centriacutefuga con el peralte e incrementando el valor de la friccioacuten de ahiacute en adelante proporcionalmente a la curvatura en carreteras de cuatro carriles con separadores de 40 o maacutes metros de ancho se aplican como longitudes de las espirales los valores obtenidos para carreteras de dos carriles En carreteras de una direccioacuten con seis carriles y con separador las espirales deben tener longitudes un poco por encima de los valores anteriores Para carreteras con separador inferior a 40 metros deberaacuten aplicarse las consideraciones descritas en el paacuterrafo anterior
En las carreteras con separador se justifica un mayor refinamiento en el disentildeo y una atencioacuten mayor en lo relacionado con la apariencia maacutes que en las carreteras de dos carriles debido a que por ellas circulan voluacutemenes de traacutefico muy grandes y porque el costo de los refinamientos comparado con los costos de construccioacuten son insignificantes
52
En consecuencia deberaacuten hacerse ~sfuerzos queocro=nd 1 tilizacioacuten de espirales con longttudes muy P a u rmente establecidos como m101mos los valores anteno b de perfiles Igualmente deberaacute hacerse eacutenfasis en la o ~nC1on imilares a
1 s bordes del pavunento s suaves y caden~osos en o d d disentildeo en la deflexioacuten de las liacuteneas obterudas meto ~s e
varillaS r
Caacutelculo
atos ini Para el
direccioacuten de acuerdo a elementos
de las espirales deberaacuten obtenerse a partir de las d ffilsmas consl eraClOnes tenidas en cuenta para carreteras sin separador central Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores ce~trales de hasta 5 metros En carreteras de dos calzadas ~ a ~a c~n dos carril~s en una direccioacuten y con separadore~ l etros o mas de ancho deberaacuten obtenerse las ongttudes de las espirales independientemente para cada
calzada pues la ~stancia entre los bordes pasaraacute de 40 metros Las longttudes de las espirales para cada calzada en carrete~as de seis carriles con separador se obtendraacuten multIplicando las longitu~p~ carriles sin stgt shy
lara carreteras de dos lrreteras de direccioacuten oacuten de las longitudes los valores de las os carriles o para aso
centriacutefuga con el ~lon de ahiacute en n carreteras de naacutes metros de les los valores teteras de una pirales deben ~s anteriores os deberaacuten interior
n mayor r en lo
de dos traacutefico
mentos antes
En consecuencia deberaacuten hacerse esfuerzos que conduzcan a la utilizacioacuten de espirales con longitudes muy por encima de los valores anterionnente establecidos como miacutenimos Igualmente deberaacute hacerse eacutenfasis en la obtencioacuten de perfiles suaves y cadenciosos en los bordes del pavimento similares a las liacuteneas obtenidas por meacutetodos de disentildeo en la deflexioacuten de varillas
Caacutelculo de los elementos de la espiral
0 t Ia os Inicia es Para el caacutelculo de la espiral de Euler en un cambio de
direccioacuten de una viacutea se parte de la detenninacioacuten previa y de acuerdo a las especificaciones de la viacutea de los siguientes elementos
A aacutengulo de deflexioacuten total a ancho del carril Re radio de la curva circular e cuerda unitaria V velocidad de disentildeo en kmh ec peralte maacuteximo en tanto por uno
Con estos valores y las expresiones anterionnente deducidas se obtienen
La longitud nuruma que debe tener cada espiral y de acuerdo a los demaacutes factores de disentildeo (topografia movimiento de tierra etc) se detennina el valor maacutes conveniente para Le longitud de la espiral
Con la longitud de la espiral y el radio de la curva circular correspondiente se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo de deflexioacuten ge en radianes correspondiente a cada espiral
Deflexiones de las espirales y de la curva circular grado de curvatura y longitud de la curva circular
De la Figura 28 se deduce que la deflexioacuten total A correspondiente al cambio de direccioacuten se compone de tres partes deflexioacuten de la espiral de entrada deflexioacuten de la curva circular y deflexioacuten de la espiral de salida Obtenidas las deflexiones de las espirales se deduce la deflexioacuten Ac para la curva circular
-- ~7~ --~ --shy El
el
~
~ ___ ~ _ __ _ ~ TE PI
Figura 28
Para el caso asimeacutetrico las espirales a la entrada y a la salida de la curva circular son diferentes debe cumplirse
(2-23)
54
Casos especiales 1deg Si las espirales de entrada y de
salida son 7
Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo d deflenon 9 dian e
e en ra es correspondiente a cada espiral
JlOeflexiones de las - y de la curvacircular o~ shy
V longitud de la
deflexioacuten total A e compone de tres flexioacuten de la curva da Obtenidas las ~oacuten Ac para la
icioacuten
salida
23)
Casos especiales 1deg Siacute las espirales de entrada y de salida son iguales se tendraacute
(2-24)
Corresponde este al caso simeacutetrico se tienen dos espirales o clotoiacutedes iguales las espirales son arcos simeacutetricos y estaacuten constituidas por elementos iguales A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de veacutertice tambieacuten como curva simeacutetrica de transicioacuten total ya que el desarrollo de la curva estaacute ocupado por ambas transiciones
2deg Este caso especial ocurre cuando Bt + Bt2 gt ~ o
2~ gt ~ lo que significa un aacutengulo ~ negauvo para la curva circular no habriacutea curva circular y la espiral de entrada tenniacutenaria despueacutes del punto de iniciacioacuten de la espiral de salida o sea que el EC estariacutea despueacutes del CE En este caso se toma ~=O y deberaacute intentarse o con una curva espiralshyespiral simeacutetrica en la que ee=~2 o en el caso de una espiral-espiral asimeacutetrica cambiar uno o maacutes paraacutemetros iniciales de tal foona que
(2-25)
En ninguno de estos casos se alcanzariacutea el peralte de la curva circular y con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la viacutea el peralte en el EC llegariacutea hasta un valor de
(2-26)
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
de las espirales deberaacuten obtenerse a partir de las mismas consideraciones tenidas en cuenta para carreteras sin separador central Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores centrales de hasta 5 metros En carreteras de dos calzadas cada una con dos carriles en una direccioacuten y con separadores de 12 metros o maacutes de ancho deberaacuten obtenerse las longitudes de las espirales independientemente para cada calzada pues la distancia entre los bordes pasaraacute de 40 metros Las longitudes de las espirales para cada calzada en carreteras de seis carriles con separador se obtendraacuten multiplicando las longitudes obtenidas para carreteras de dos carriles sin separador por 12 Para las carreteras de direccioacuten uacutenica con separador centra~ en la obtencioacuten de las longitudes de las espirales deberaacuten tenerse en cuenta los valores de las longitudes sugeridos para carreteras de dos carriles o para carreteras con maacutes de dos carriles seguacuten el caso
En el caso de contrarrestar toda la fuerza centriacutefuga con el peralte e incrementando el valor de la friccioacuten de ahiacute en adelante proporcionalmente a la curvatura en carreteras de cuatro carriles con separadores de 40 o maacutes metros de ancho se aplican como longitudes de las espirales los valores obtenidos para carreteras de dos carriles En carreteras de una direccioacuten con seis carriles y con separador las espirales deben tener longitudes un poco por encima de los valores anteriores Para carreteras con separador inferior a 40 metros deberaacuten aplicarse las consideraciones descritas en el paacuterrafo anterior
En las carreteras con separador se justifica un mayor refinamiento en el disentildeo y una atencioacuten mayor en lo relacionado con la apariencia maacutes que en las carreteras de dos carriles debido a que por ellas circulan voluacutemenes de traacutefico muy grandes y porque el costo de los refinamientos comparado con los costos de construccioacuten son insignificantes
52
En consecuencia deberaacuten hacerse ~sfuerzos queocro=nd 1 tilizacioacuten de espirales con longttudes muy P a u rmente establecidos como m101mos los valores anteno b de perfiles Igualmente deberaacute hacerse eacutenfasis en la o ~nC1on imilares a
1 s bordes del pavunento s suaves y caden~osos en o d d disentildeo en la deflexioacuten de las liacuteneas obterudas meto ~s e
varillaS r
Caacutelculo
atos ini Para el
direccioacuten de acuerdo a elementos
de las espirales deberaacuten obtenerse a partir de las d ffilsmas consl eraClOnes tenidas en cuenta para carreteras sin separador central Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores ce~trales de hasta 5 metros En carreteras de dos calzadas ~ a ~a c~n dos carril~s en una direccioacuten y con separadore~ l etros o mas de ancho deberaacuten obtenerse las ongttudes de las espirales independientemente para cada
calzada pues la ~stancia entre los bordes pasaraacute de 40 metros Las longttudes de las espirales para cada calzada en carrete~as de seis carriles con separador se obtendraacuten multIplicando las longitu~p~ carriles sin stgt shy
lara carreteras de dos lrreteras de direccioacuten oacuten de las longitudes los valores de las os carriles o para aso
centriacutefuga con el ~lon de ahiacute en n carreteras de naacutes metros de les los valores teteras de una pirales deben ~s anteriores os deberaacuten interior
n mayor r en lo
de dos traacutefico
mentos antes
En consecuencia deberaacuten hacerse esfuerzos que conduzcan a la utilizacioacuten de espirales con longitudes muy por encima de los valores anterionnente establecidos como miacutenimos Igualmente deberaacute hacerse eacutenfasis en la obtencioacuten de perfiles suaves y cadenciosos en los bordes del pavimento similares a las liacuteneas obtenidas por meacutetodos de disentildeo en la deflexioacuten de varillas
Caacutelculo de los elementos de la espiral
0 t Ia os Inicia es Para el caacutelculo de la espiral de Euler en un cambio de
direccioacuten de una viacutea se parte de la detenninacioacuten previa y de acuerdo a las especificaciones de la viacutea de los siguientes elementos
A aacutengulo de deflexioacuten total a ancho del carril Re radio de la curva circular e cuerda unitaria V velocidad de disentildeo en kmh ec peralte maacuteximo en tanto por uno
Con estos valores y las expresiones anterionnente deducidas se obtienen
La longitud nuruma que debe tener cada espiral y de acuerdo a los demaacutes factores de disentildeo (topografia movimiento de tierra etc) se detennina el valor maacutes conveniente para Le longitud de la espiral
Con la longitud de la espiral y el radio de la curva circular correspondiente se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo de deflexioacuten ge en radianes correspondiente a cada espiral
Deflexiones de las espirales y de la curva circular grado de curvatura y longitud de la curva circular
De la Figura 28 se deduce que la deflexioacuten total A correspondiente al cambio de direccioacuten se compone de tres partes deflexioacuten de la espiral de entrada deflexioacuten de la curva circular y deflexioacuten de la espiral de salida Obtenidas las deflexiones de las espirales se deduce la deflexioacuten Ac para la curva circular
-- ~7~ --~ --shy El
el
~
~ ___ ~ _ __ _ ~ TE PI
Figura 28
Para el caso asimeacutetrico las espirales a la entrada y a la salida de la curva circular son diferentes debe cumplirse
(2-23)
54
Casos especiales 1deg Si las espirales de entrada y de
salida son 7
Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo d deflenon 9 dian e
e en ra es correspondiente a cada espiral
JlOeflexiones de las - y de la curvacircular o~ shy
V longitud de la
deflexioacuten total A e compone de tres flexioacuten de la curva da Obtenidas las ~oacuten Ac para la
icioacuten
salida
23)
Casos especiales 1deg Siacute las espirales de entrada y de salida son iguales se tendraacute
(2-24)
Corresponde este al caso simeacutetrico se tienen dos espirales o clotoiacutedes iguales las espirales son arcos simeacutetricos y estaacuten constituidas por elementos iguales A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de veacutertice tambieacuten como curva simeacutetrica de transicioacuten total ya que el desarrollo de la curva estaacute ocupado por ambas transiciones
2deg Este caso especial ocurre cuando Bt + Bt2 gt ~ o
2~ gt ~ lo que significa un aacutengulo ~ negauvo para la curva circular no habriacutea curva circular y la espiral de entrada tenniacutenaria despueacutes del punto de iniciacioacuten de la espiral de salida o sea que el EC estariacutea despueacutes del CE En este caso se toma ~=O y deberaacute intentarse o con una curva espiralshyespiral simeacutetrica en la que ee=~2 o en el caso de una espiral-espiral asimeacutetrica cambiar uno o maacutes paraacutemetros iniciales de tal foona que
(2-25)
En ninguno de estos casos se alcanzariacutea el peralte de la curva circular y con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la viacutea el peralte en el EC llegariacutea hasta un valor de
(2-26)
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
de las espirales deberaacuten obtenerse a partir de las d ffilsmas consl eraClOnes tenidas en cuenta para carreteras sin separador central Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores ce~trales de hasta 5 metros En carreteras de dos calzadas ~ a ~a c~n dos carril~s en una direccioacuten y con separadore~ l etros o mas de ancho deberaacuten obtenerse las ongttudes de las espirales independientemente para cada
calzada pues la ~stancia entre los bordes pasaraacute de 40 metros Las longttudes de las espirales para cada calzada en carrete~as de seis carriles con separador se obtendraacuten multIplicando las longitu~p~ carriles sin stgt shy
lara carreteras de dos lrreteras de direccioacuten oacuten de las longitudes los valores de las os carriles o para aso
centriacutefuga con el ~lon de ahiacute en n carreteras de naacutes metros de les los valores teteras de una pirales deben ~s anteriores os deberaacuten interior
n mayor r en lo
de dos traacutefico
mentos antes
En consecuencia deberaacuten hacerse esfuerzos que conduzcan a la utilizacioacuten de espirales con longitudes muy por encima de los valores anterionnente establecidos como miacutenimos Igualmente deberaacute hacerse eacutenfasis en la obtencioacuten de perfiles suaves y cadenciosos en los bordes del pavimento similares a las liacuteneas obtenidas por meacutetodos de disentildeo en la deflexioacuten de varillas
Caacutelculo de los elementos de la espiral
0 t Ia os Inicia es Para el caacutelculo de la espiral de Euler en un cambio de
direccioacuten de una viacutea se parte de la detenninacioacuten previa y de acuerdo a las especificaciones de la viacutea de los siguientes elementos
A aacutengulo de deflexioacuten total a ancho del carril Re radio de la curva circular e cuerda unitaria V velocidad de disentildeo en kmh ec peralte maacuteximo en tanto por uno
Con estos valores y las expresiones anterionnente deducidas se obtienen
La longitud nuruma que debe tener cada espiral y de acuerdo a los demaacutes factores de disentildeo (topografia movimiento de tierra etc) se detennina el valor maacutes conveniente para Le longitud de la espiral
Con la longitud de la espiral y el radio de la curva circular correspondiente se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo de deflexioacuten ge en radianes correspondiente a cada espiral
Deflexiones de las espirales y de la curva circular grado de curvatura y longitud de la curva circular
De la Figura 28 se deduce que la deflexioacuten total A correspondiente al cambio de direccioacuten se compone de tres partes deflexioacuten de la espiral de entrada deflexioacuten de la curva circular y deflexioacuten de la espiral de salida Obtenidas las deflexiones de las espirales se deduce la deflexioacuten Ac para la curva circular
-- ~7~ --~ --shy El
el
~
~ ___ ~ _ __ _ ~ TE PI
Figura 28
Para el caso asimeacutetrico las espirales a la entrada y a la salida de la curva circular son diferentes debe cumplirse
(2-23)
54
Casos especiales 1deg Si las espirales de entrada y de
salida son 7
Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo d deflenon 9 dian e
e en ra es correspondiente a cada espiral
JlOeflexiones de las - y de la curvacircular o~ shy
V longitud de la
deflexioacuten total A e compone de tres flexioacuten de la curva da Obtenidas las ~oacuten Ac para la
icioacuten
salida
23)
Casos especiales 1deg Siacute las espirales de entrada y de salida son iguales se tendraacute
(2-24)
Corresponde este al caso simeacutetrico se tienen dos espirales o clotoiacutedes iguales las espirales son arcos simeacutetricos y estaacuten constituidas por elementos iguales A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de veacutertice tambieacuten como curva simeacutetrica de transicioacuten total ya que el desarrollo de la curva estaacute ocupado por ambas transiciones
2deg Este caso especial ocurre cuando Bt + Bt2 gt ~ o
2~ gt ~ lo que significa un aacutengulo ~ negauvo para la curva circular no habriacutea curva circular y la espiral de entrada tenniacutenaria despueacutes del punto de iniciacioacuten de la espiral de salida o sea que el EC estariacutea despueacutes del CE En este caso se toma ~=O y deberaacute intentarse o con una curva espiralshyespiral simeacutetrica en la que ee=~2 o en el caso de una espiral-espiral asimeacutetrica cambiar uno o maacutes paraacutemetros iniciales de tal foona que
(2-25)
En ninguno de estos casos se alcanzariacutea el peralte de la curva circular y con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la viacutea el peralte en el EC llegariacutea hasta un valor de
(2-26)
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Con la longitud de la espiral y el radio de la curva circular correspondiente se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo de deflexioacuten ge en radianes correspondiente a cada espiral
Deflexiones de las espirales y de la curva circular grado de curvatura y longitud de la curva circular
De la Figura 28 se deduce que la deflexioacuten total A correspondiente al cambio de direccioacuten se compone de tres partes deflexioacuten de la espiral de entrada deflexioacuten de la curva circular y deflexioacuten de la espiral de salida Obtenidas las deflexiones de las espirales se deduce la deflexioacuten Ac para la curva circular
-- ~7~ --~ --shy El
el
~
~ ___ ~ _ __ _ ~ TE PI
Figura 28
Para el caso asimeacutetrico las espirales a la entrada y a la salida de la curva circular son diferentes debe cumplirse
(2-23)
54
Casos especiales 1deg Si las espirales de entrada y de
salida son 7
Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo d deflenon 9 dian e
e en ra es correspondiente a cada espiral
JlOeflexiones de las - y de la curvacircular o~ shy
V longitud de la
deflexioacuten total A e compone de tres flexioacuten de la curva da Obtenidas las ~oacuten Ac para la
icioacuten
salida
23)
Casos especiales 1deg Siacute las espirales de entrada y de salida son iguales se tendraacute
(2-24)
Corresponde este al caso simeacutetrico se tienen dos espirales o clotoiacutedes iguales las espirales son arcos simeacutetricos y estaacuten constituidas por elementos iguales A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de veacutertice tambieacuten como curva simeacutetrica de transicioacuten total ya que el desarrollo de la curva estaacute ocupado por ambas transiciones
2deg Este caso especial ocurre cuando Bt + Bt2 gt ~ o
2~ gt ~ lo que significa un aacutengulo ~ negauvo para la curva circular no habriacutea curva circular y la espiral de entrada tenniacutenaria despueacutes del punto de iniciacioacuten de la espiral de salida o sea que el EC estariacutea despueacutes del CE En este caso se toma ~=O y deberaacute intentarse o con una curva espiralshyespiral simeacutetrica en la que ee=~2 o en el caso de una espiral-espiral asimeacutetrica cambiar uno o maacutes paraacutemetros iniciales de tal foona que
(2-25)
En ninguno de estos casos se alcanzariacutea el peralte de la curva circular y con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la viacutea el peralte en el EC llegariacutea hasta un valor de
(2-26)
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el paraacutemetro K y el aacutengulo d deflenon 9 dian e
e en ra es correspondiente a cada espiral
JlOeflexiones de las - y de la curvacircular o~ shy
V longitud de la
deflexioacuten total A e compone de tres flexioacuten de la curva da Obtenidas las ~oacuten Ac para la
icioacuten
salida
23)
Casos especiales 1deg Siacute las espirales de entrada y de salida son iguales se tendraacute
(2-24)
Corresponde este al caso simeacutetrico se tienen dos espirales o clotoiacutedes iguales las espirales son arcos simeacutetricos y estaacuten constituidas por elementos iguales A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de veacutertice tambieacuten como curva simeacutetrica de transicioacuten total ya que el desarrollo de la curva estaacute ocupado por ambas transiciones
2deg Este caso especial ocurre cuando Bt + Bt2 gt ~ o
2~ gt ~ lo que significa un aacutengulo ~ negauvo para la curva circular no habriacutea curva circular y la espiral de entrada tenniacutenaria despueacutes del punto de iniciacioacuten de la espiral de salida o sea que el EC estariacutea despueacutes del CE En este caso se toma ~=O y deberaacute intentarse o con una curva espiralshyespiral simeacutetrica en la que ee=~2 o en el caso de una espiral-espiral asimeacutetrica cambiar uno o maacutes paraacutemetros iniciales de tal foona que
(2-25)
En ninguno de estos casos se alcanzariacutea el peralte de la curva circular y con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la viacutea el peralte en el EC llegariacutea hasta un valor de
(2-26)
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las mlsmas
especificaciones
Obtenido Ac se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le
jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los
valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas
YI
Betmiddot y
EC --
TE YEC
~ o=-~- -XEC ~ ~~= ~~ -- ------2middotX
middot~middotr middot - jj
YCE ET~ ___ __ __1 __ _ -- _~-- _ _ __ -----=--_
~ - - --middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middotX CE - --------- ~
Figura 29 Coordenadas cartesianas del EC y del CE
(2-27)
(2-28)
56
El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralshyTangente)
se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso el origen delsimilar pero teniendo en ~__L
sistema de cOIDrclenaC1lil~
Tangente)
( Coordenadas desplazados shy
y
E
Figura 210
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
y la transicioacuten del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones
El origen de coordenadas se encuentra en e TE (EspilalshyTangente)
Obtenido t se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le similar pero teniendo en cuenta que en este caso e origen del
sistema de coordenadas se encuentra en e ET (Espilalshy Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente)
Las coordenadas del Fr --tenen reemplazando los valores de l - - las ecuaciones de las Coordenadas cartesianas del PC y del PT c~-
y ~
~ ET - ~~
middot-middotmiddotmiddot_middotmiddotX CE _ ~~
d CE
(2-27)
(2-28)
desplazados - Justificacioacuten de la espiral
y
-S -ltshyu I
middot Se1 =- + u c EC middotmiddot
_--_~ ~- - _
_ YEC iexclTE _____= _ L __ bull ~ --X=~l _ ~
__ bull iiexcliexcl- ~ XEc middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot PC r~ Xp( _ - -
Figura 210 Coordenadas cartesianas dd pe desp1audo
(57
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
(2-29)
(2-30)
La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deberaacute desplazarse el vehiacuteculo en esa direccioacuten al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la viacutea cuando el trazado estaacute espiralizado y es la razoacuten por la cual la mayoriacutea de los vehiacuteculos que en tran a una curva circular sin transicioacuten tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque retranqueo o desplazamiento
La transicioacuten o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud estaacute definida por la ecuacioacuten (2-30) y es elemento esencial en la operacioacuten de los vehiacuteculos entre los puntos TE y EC
Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque YPe es superior a 9 centiacutemetros Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 009 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa Hasta los antildeos setenta se consideroacute que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centiacutemetros
58
Desplazamiento maacuteximo de la curva circular conservada
Y
Ypc
TE
Figura 211
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)
R +1 -e pe lecose1= e R
e
CosB) (2-30)
iento de la curva hacia el ue deberaacute desplazarse el t trayectoria rectilinea a
cuando el trazado estaacute ~ la mayoriacutea de los sin transicioacuten tienen a invadiendo el carril on los nombres de
tgtroporciona este la curva circular ecuacioacuten (2-30) vehiacuteculos en tre
o el valor del ~sto significa
metros no tvacircular ral no es la espiral letros
Desplazamiento maacuteximo de la parte de la curva circular conservada
ET
Ypc
- iexcl -_ l
Ypc n o
L x
l gt PITE
Figura 211 Desplazamiento maacuteximo de la curva circular
YpCCosoacute2=shyh
YpC h=-shy (2-31)Cosoacute2
59
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ce =x pe
iY r
8e1 u uu ogtshy EC
TE -iexcl ~ --X
Xcc=Xpc PC
Figura 212 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular
(2-32)
60
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
~ Tan 72 =
1 - xpcR Y plusmn
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada
x ~X pe
~1
Ee
7
-x
ro de la curva
(2-32)
Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simeacutetrica
tll _ T - X pe
Tan 72 - R Y e + pe
II = X pe + (Re + Ype )Tan ET
y PT
u a gtshy+ u a
YTE E ~ 1- ~---e1--X-p c-_ shy- _
1
X-p=c=== T-- -- shy
H _ Te 1- --
(2-33)
iexcl ~ -X --- PI
~
Figura 213 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simeacutetrica
(2-34)
61
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
angente larga y tangente corta de la espiral
(2-35)
Se1
Ee
middotbull middotmiddotmiddot~c Yec xTE _~~~_e1
_ ~~- - Tl Xec- Tl
Figura 214 Tangente larga y tangente corta de la espiral
Jc
Tan Be J = X - TI ec
TI = X _ J-c (2-36)ec Tanel
62
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
t angente larga y tangente corta de la espiral
y SenO =Eshy
ti T e
(2-35)
e
ee x
d e la espiral
(2-36)
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimeacutetrica
Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida de la Figura 21 5 se obtiene
d = -=yp-c_-_j~p_t Senfl
de donde para la espiral de entrada
(2-37)
y
u C
gtshy u
cr
Ee
middot PC Ypt middot bullTE c Ypci t - - -_--~ ~~
c =- _ -x=P(=~ ~ - t ~ r d I X middot middot shy _ - - - -Te middot - ~ _
- IRc+YpclTan6t2- ~
Figura 215 Tangentes de la espiral asimeacutetrica
Para la espiral de salida ype - Y (2 38)12 == X p + ( Re + Yp1 )Tanoacute 2 + Senoacute shy
63
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
Ypt - Ypc 71 = X pe + (Re + Ypc )Tana 2 + Sena (2-39)
YpI - Ypc72 = X p1 + (Re + ~ )TanA 2 - SenIl (2-40)
Cuerda larga y deflexioacuten al EC
y
Figura 216 Cuerda larga de la espiral y deflexioacuten al EC
(2-41)
7 -1 ~crAec
=lan -X (2-42) ec
Coordenadas cartesianas cuerda y denexioacuten a cualquier punto de la espiral
A partir de la distancia 1 de un punto desde el TE o desde el ET origen de la espiral se calculan el aacutengulo de deflexioacuten 9p las coordenadas cartesianas la cuerda larga y la de flexioacuten correspondientes a dicho punto El orden de los caacutelculos es el siguiente
64
y
Figura 217
TE - tr-~ - iexcl
(2-43)
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
En el caso contrario espiral de entrada menor que la espiral de salida
y -y 7 = X pe + (Re + Ype )TanlJ 2+ ~ (2-39)
72 = X pI +(Re + ~ )TanJ 2 -y
pt
-y pe (2-40)SenlJ
Cuerda larga y deflexi6n al EC y
ec _-__-_ __ X
deflexioacuten al EC
(2-41)
(2-42)
I deflexi6n a
TE o desde p de deflexioacuten
Vla deflexioacuten caacutelculos es el
(2-43)
(2-44)
(2-45)
y
EC
TE --C Xp middotmiddot --i
Figura 217 Coordenadas cuerda larga y deflexioacuten a un punto cualquiera de la espiral
(2-46)
(2-47)
Localizacioacuten en el terreno
Para la localizacioacuten de la curva espiralizada (espiral de entrada curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios meacutetodos tres de los cuales se describen
65
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
se realiza ~ teodolitos o elaborando la
El meacutetodo casos de un curva pe A punto al U4lAU
obtenerse sus de dicho eje aacutengulo a la
~ A calculadas o
(2-49)maacutes adelante el meacutetodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones el meacutetodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por medio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el meacutetodo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es posible los siguientes puntos (Figura 218)
-TE - Tangente-espiral PIel = PI de la espiral 1 EC = Espiral-curva
-ET - Espiral-tangente -PIel - PI de la espiral 2
CE -- Curva-espiral
Para la ubicacioacuten del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos y los aacutengulos SI y S2
ET i ~
TE pj~ Yec ~ S1 ~_---= J=~ J
PIL~middot-middot~middot~ - middotmiddotX~~middot ~ middot middot middotmiddot 1-middot~middotmiddot __ middot middot0middot - I
Figura 218 Puntos necesarios para la localizacioacuten de la curva espitalizada
(2-48)
66
J
st _- Te2
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
maacutes a~elante el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJones el metodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas y el meacutetodo de aacutengulos y distancias o por ~edio de coordenadas topograacuteficas Cualquiera que sea el metdo empleado primero deben ubicarse desde el PI si es poslble los gjguientes puntos (Figura 218)
e-espiral piral 1 tva gente ra1 2
1
e calculan las 11 y S2
ltce
(2-49)
S2 = Tan-1 y~ (2-50)T2 - X~
DISTp1 _CE = ~~ + (72 - X ce y (2-51)
Primer meacutetodo por aacutengulos y distancias Radiacioacuten
Los trabajos de localizacioacuten se facilitan si se emplea una metodologiacutea mucho maacutes aacutegil que pennita a partir de un sistema de coordenadas topograacuteficas localizar o materializar en el terreno un proyecto determinado Este tipo de trabajos se realiza generalmente con distancioacutemetros acoplados a los teodolitos o integrados a ellos (estaciones totales) y elaborando la libreta con los datos necesarios para el replanteo antes de ir al terreno con la ayuda de calculadoras sencillas o programables o computadoras
El meacutetodo consiste en la ubicacioacuten en la mayoriacutea de los casos de un punto con dominio visual sobre la zona de la curva pe A ver Figura 219 posteriormente se amarra este punto al trazado del eje de la viacutea de tal forma que puedan obtenerse sus coordenadas asiacute a partir de uno de los puntos de dicho eje L con liacutenea en At o en L+1 se mide el aacutengulo a la derecha hasta el punto establecido y la distancia
M A partir de las coordenadas de L previamente calculadas o supuestas seguacuten el caso y con los datos de campo anteriores se obtienen las coordenadas de A
67
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
-+ z
ltl
TE N-l
Figura 219 Localizacioacuten por medio de aacutengulos y distancias desde un punto estrateacutegico
Las coordenadas de los diferentes puntos de la curva espirales de entrada y de salida y de la curva circular se obtienen a partir de los elementos geomeacutetricos de las curvas elementos que las relacionan con las liacuteneas del trazado
El caacutelculo se continua con la obtencioacuten a partir de sus coordenadas de las distancias y acimutes entre el punto A y
cada de los puntos de la curva con el acimut de la liacutenea ~ y el acimut de cada una de las liacuteneas se obtiene el aacutengulo
68
h tte la liacutenea anterior ydeseado preferiblemente a la derec a en
la liacutenea que desde
distancioacute esa direccioacuten procede a la
Auacuten en amplia eacuteste como se vera deflexiones instrumento ET y Ee o coordenadas
maacutes en los anterioridad) y
Segundo m primero se lo
de esta seccioacute Posteriormente para lo cual seraacute las coordenadas
obtiene la corresponde a la determina Y el efecDJa en forma decir por cuerdas la diferencia de
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
-+ z
ltl
anclas desde
bull la curva circular se las curvas D
ir de sus iexcliexclto A y
pea ~ 1 aacutengulo
deseado preferiblemente a la derecha entre la liacutenea anterior y la liacutenea que desde A va a cada punto
Al llegar al campo se ubicaraacute el instrumento (teodolitoshy
distancioacute metro ) en A se tomaraacute liacutenea en L1 o en ~l en esa direccioacuten se mide la distancia previamen te calculada y se procede a la colocacioacuten de la marca respectiva
Auacuten en sitios donde la visibilidad sea suficientemente amplia eacuteste meacutetodo de localizacioacuten tambieacuten ofrece ventajas como se veraacute maacutes adelante si el replanteo se realiza por deflenones (meacutetodo tradicional) seraacute necesario estacionar el instrumento en cuatro puntos diferentes a saber PI TE ET Y EC o CE mientras que en la localizacioacuten a partir de coordenadas todo podraacute realizarse desde una estacioacuten el PI
Mediante este proceso el personal de campo se concentra maacutes en los trabajos Oos caacutelculos se han efectuado con anterioridad) y los rendimientos aumentan considerablemente
Segundo meacutetodo por cuerdas y deflexiones Primero se localizaraacuten los seis puntos descritos al principio
de esta seccioacuten (fE PIelgt ET PI~ EC y CE) Posterionnente se localizaraacute la espiral de entrada desde el TE para lo cual seraacute necesaric el caacutelculo previo del aacutengulo 8 de las coordenadas X y Y para cada punto con las cuales se obtiene la deflexioacuten + el valor de L en estos caacutelculos corresponde a la diferencia de abscisas entre el punto que se detennina y el TE o el ET El abscisado de la espiral se efectuacutea en fonna similar a la utilizada en curvas circulares es decir por cuerdas unitarias La cuerda en cada caso seraacute igual a la diferencia de abscisas abscisa correspondiente a la deflexioacuten
69
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores a 6747 metros y de 1000 metros para curvas con radios mayores la anterior recomendacioacuten se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral
La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes referidas en este caso a la liacutenea detenninada por el PIe correspondiente
De este meacutetodo existen varias alternativas algunas de ellas son localizacioacuten por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE deflexiones hacia adelante o hacia atraacutes desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral) etc alternativas que no son praacutecticas y solo se utilizan en casos especiales
Este meacutetodo estaacute siendo reemplazado por el anterior aacutengulos y distancias desde cualquier punto debido a la mayor simplicidad en los caacutelculos y en el campo de eacuteste uacuteltimo La principal y uacutenica razoacuten para no usar el meacutetodo de aacutengulos y distancias es la de no disponer de un medidor electroacutenico de distancias o distancioacutemetro
Tercer meacutetodo por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)
En forma ideacutentica a los casos anteriores primero se localizan los seis puntos baacutesicos desde el PI Despueacutes desde el TE se marcan las abscisas coordenadas cartesianas middot o
70
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnaldes
1 di Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas correspondientes para materia~arls De JJll~ l - shy
procede a ubicar la el~
con los y por m el CE Y
como re punto medio Yce o cen tangente) lo o menores p ejemplo se p de sus re de darle mayor
Lo anterior adecuadas para
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior
Las cuerdas unitarias para las espirales seraacuten iguales a las de la curva circular es decir de 500 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 ampshy Yletros y de 1000 metros para (11-shy - ~s la anterior r- ores apreciables
longitudes del
desde el CE 1 este caso a
nas de ellas ~sde el EC l traacuteS desde
Obligado as y solo
terior mayor
o La ~os y co de
as
se de o
valores de x para la espiral de entrada y a continuacioacuten se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y u ordenadas correspondientes para materializarlos De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida iniciando en el ET
Este meacutetodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo Se menciona como una posibilidad
Dibujo
Despueacutes del caacutelculo de la curva espiralizada y a partir del PI correspondiente se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel A cononuaclOn y por medio de las coordenadas cartesianas se ubican el EC el CE y el centro de la curva circular S~ traza la curva circular con compaacutes y las espirales con curvtgrafo temen do como referencia ademaacutes de los dos extremos de cada una el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente) lo anterior es suficiente para planos a escala 11000 o menores para planos a escala maacutes grande 1500 p~r
ejemplo se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisioacuten al dibujo
Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el disentildeo y dibujo de las espirales
7
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Paraacutemetros de las
Ejemplo
Disentildear una curva espiralizada para los datos que se presentan a continuacioacuten
Velocidad de disentildeo en kmh V = 40 kmh Angulo de deflexioacuten total 1 = 88deg15 Radio de la curva circular R = 4421 Cuerda unitaria c = 500 Peralte maacuteximo en tanto por uno ee = 010 Dos carriles de 350 cada uno a = 350 Abscisa del PI K1 + 11111
Longitud miacutenima de espiral De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten
V3 403
Le ~ 28R Le ~ 28x4421 L~ ~ 5170 c
De acuerdo a la transicioacuten del peralte
Le ~ aec (15625V + 75) Le ~ 35xOlOx(15625x40+ 75) Le=4812
Longitudes de las espirales de entrada y de salida
De acuerdo con los valores miacutenimos y por ejercicio se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida eacuteste uacuteltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor miacutenimo por variacioacuten de la aceleracioacuten centriacutefuga
72 bull
Angulos totales d
LI Bel 5~ Bel = 2K2
el
L2 Be2Bel = 2K2e2
Bel =
Grado y longitu
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
os datos que se
40 kmh 88deg15 4421 500 010 350
-11111
po
75) Le=4812
lrada y de
ercicio se han r al de entrada mo valor no ecto al valor
Le =6000 Le2 =5000
Paraacutemetros de las espirales
Ke =~RcLe Keiexcl =J442lx60 Ke = 51503
Ke2 = ~RcLe2 Ke2 = J4421x50 K2 =47016
Angulos totales de deflexioacuten
602 8 = L 8 - Be =06786 radianes
5~ el 2K2 el - 2x515032 el
8 = L2 502 e2 02 =05655 radianes e2 2K2 B =2x470162
e2
180deg Be = 06786x- Be = 38deg5251
1t
() = 05655x 180 o B =32deg2403e2 e2 1t
Oacute c = oacute - Be - Oacute C
=88deg15-38deg5251-32deg2403Be2
oacute c =16deg5 806
Grado y longitud de la curva circular
I e _1 500G=2Sen- shyG = 2Sen 2x44212R
G = 6deg2900
cOacute 5xI6deg58 06 cL =shy Lc = 13086 c G Le = 6deg2900
73
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
4 6 e el elx =L (1- 8 + 8 _ 8 )
et el 10 216 9360
2 4 6 X =600J1- 06786 + 06786 _ 06786 )
X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc
= 48425 Xce
( ~I ~13 8el5 7
8e1 )
Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600
_ J 06786 067863 067865 067867 )
Yec =13132 Yec - 600~ 3 - 42 + 1320 - 75600
_ L ( 8e2 8e2 3
8e2 5 ~2 7 )
Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600
_ j 05655 056553 056555 05655 7)
= 9212Yce - 500~ 3 - 42 + 1320 - 75600 Yce
Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados
X pe - ReSen8el X pe =57295 - 4421xSen38deg5251=Xec c
xpe =29544
Xpi = Xee - ReSen~2 Xpi = 48425 - 4421xSen32deg2403
xpt =24736
74
Ype = Yet - R~(I- Cos8el ) Y
y pe =3337
Ypt = Yce - Rel- Cos8e2
Ypt =2329
Coordenadas d desplazada
A partir del PC xcc=xpe
Ycc =Ype + Re
A partir del PT
Tangentes de
T =29544 + (4421el
= 74652Tel
Te2 =24736 + (442
= 70883Te2
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Coordenadas cartesianas del EC y del CE
Oel2 Oel4
Oel6
)
Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360
J 067862 067864 067866)
X =57295 Xc =600U 1- 10 + 216 - 9360 ec
J425
=13132
y =9212
~T
2403
y pe =Yec - R~(l- CosOel ) Ype =13132 - 4421(1- Cos38deg5251)
Ype =3337
YpI = y - Rc(l- CosOe2) YpI = 9212 - 4421(1- Cos32deg2403)
YpI =2329
Coordenadas del centro de la curva circular desplazada
A partir del PC xce = xpe x ex = 29544
Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547
A partir del PT X CC = xpI X cc =24736
YCX =Ypl +Re Yee =2329+4421 YCX =46539
Tangentes de la curva espiral-circular-espiral
Ype - Ypl ~l = X pe + (Re + Ype )Tan) 2 - Sen)
3337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3337)Tan44deg0730- Sen88015
~I = 74652
Ype - Ypl ~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan) 2 + ----- shy
Sen) 3337 - 2329
~2 = 24736 + (4421 + 2329) Tan44deg0730+ Sen88015
~2 =70883
75
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = 13132 el Tel = 20921
Sen38deg5251
-X Ye T =57295- 13132T1I - - Tl =41009 laquo Tan(el ] Tan38deg5251
Para la espiral de salida
T ~e T = 9212 e2 = SenB2 e2 Sen32 0 2403 71 = 17192
T =48425 _ 9212 Tl = 33910 1I Tan32deg2403
Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE
Para la espiral de entrada
A 7 -1 Ye fA 7 - 1 13132 1 = 1 an - = 1 an ~ec =12deg5433
ee Xe ee 57295
Para la espiral de salida
eLe2 -- VX2 ce +y2cemiddot bull CLe2 =J484252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y
= Tan-I~ tA T - 1 9212A ~ce =10deg4614Yce X ce = an 4842595 ce
76
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-T
e1=Kl +111110-74652=Kl + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+L
c1=Kl + 36458+60000=Kl + 96458
A bscisa del CE = Abscisa del
Abscisa del ET = Abscisa del
Coordenadas c K1+040
1= Kl +040000 - K
2 _ 3542 - deg
(40 - 2x515032 shy
J 000242
x40 =354~1- 10
Y40 ( 00024
=3542 3 -
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Tangentes cortas y largas de las espirales
Para la espiral de entrada
T = Yec el (1-- 71= 20921
32 71 = 41009
5251
i 17192
v 71 = 33910
al CE
CLel =58781
A =12deg5433fee
Le2 =49293
=10deg4614
Abscisas del TE EC CE y ET
Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111110-74652=K1 + 36458
Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36458+60000=K1 + 96458
Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96458+ 13086=K1 + 109544 c
Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_= K1 +109544+5000=Kl +159544
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+040
1= K1 +040000 - K1 +036458 = 3542
35422
040 = 2x515032 = 00024 rad
J 000242 000244 00024 6 )
x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542
= (00024 _ 000243
00024 5
_ _ 00024 7
) = 3 Y40 3542 3 42 + 1320 75600 000
rP = Tan- I 0003 =0middot0257= J35422 + 00032 = 3542CL40 40 3542
77
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
3 500 40000
0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
Kl+ 96447 1447 125432shy
ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
KI+I09534 4534 82907
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+109534 0466 -103419 110000 5000 -1034 19 115000 5000 - 83308 120000 5000 - 6deg4436 125000 5000 - 50850 130000 5000 - 3deg4555 135000 5000 - 23554 140000 5000 - 13849 145000 5000 - 05442 150000 5000 - 02331 155000 4527 - OOS 19
K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
ampS44 8S44 8S44 13543 13S44 13542 18S40 18S44 18536 23533 23S44 23519 28515 28545 28477 33478 33545 33395 38412 38546 38245 43301 43547 42994 48124 48549 47599 52859 53551 52007 57473 58553 56155 58781 59991 57295
CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
0000 3554 8S44
13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
80
0000 0003 0039 0156 0401 0819 1459 2364 3578 5142 7089 9449
12242 13 132
cartesianas
y
9212 8964 6563 4616 3088 1936 1111 0561 0231 0065 0007 0000
NURTE
512964 512345 511441 510458 509350 508073 506582 504836 502798 SOO434 497717 494627 491156 490082
NORTE
490082 487313 483132 419095
NORTE
419095 478670 473985 469148 464217 459237 454238 449241 444156 439286 434330 429850
ESTE
426480 429910 434887 439790 444665 449499 454m 458957 463523 467929 472126 476056 419656 480625
ESTE
480625 482853 485596 487661
ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
90 S=90LI( 1lR)O=Y-R (
100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
400 Y=LlaquoL t 410 I=ATN 420 RET
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+110
1= Kl+159544 - Kl+110000 = 49544
495442
~IO =2x470162 =05552 rad
2 4 69 44( 05552 05552 05552 )
x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48038
3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _
YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8969
2 2 -) 8969 CL110 = J48038 + 8969 = 48868 ~40 = Tan 48038 = 10 3433
Resumen de dalos y resultados A continuacioacuten se presenta el contenido de datos y
resultados obtenidos por medio de un programa de computador En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia owneacuterica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco obseacutervense las diferencias con el caacutelculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales) ademaacutes se han calculado las coordenadas topograacuteficas de todos los puntos
Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET
78
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq) CUERDA UNITARIA
LONG DE LA ESPIRAL DE ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en PERALTE MAXIMO en tanto
AZLMtIT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL COORDENADA ESTE DEL
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
pARAMETRO DE LA KAU DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXlON TO ALbull
LONG DE LA ESPIRAL DE ENTRADA
DEFLEX CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR
TANGENTE TANGENTE LARGAmiddot r L TANGENTE CORTAmiddot KAI CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA UIUL~
ABSCISA DEL TE
ESPIRAL DE SALIDA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA E prRAL DEFLEXlON AL CE COORDENADAS
(
K)+I11IIO 44210 88middot1~ OO~ lt
~ OOO -
oiliI~
Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
49544 2
~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
i2S 7
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8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
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0100
100middot0000 500000 500000
51 503 385241 88 1500 16middot5814 2S43r 6middot29 00~
57295 13 32 3338
29545 29545 47548 74 654 41009 2092 58 78 13088 K+ 36456
4706 2 S59~
10middot 4614 48 425
9212 2329
24 736 24736 46 539 70 884 33 909 17192 49293
BASI
ABSCISA CUERDA DEFLEX
KI+ 36456 0000 00000 40000 3S44 002 43 45 000 sooo 01546 50000 5000 03937 55000 5000 1deg1416 60000 5000 1deg5943 65000 5000 25558 70000 5000 4deg0258 75000 5000 S2Q43 80000 5000 6deg4910 85000 5000 828 15 90000 5000 10075r 95000 5000 121754shy
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ABSCISA CUERDA DEFLEX
Kl+ 96447 0000 00000 100000 3553 218 13 1os000 5000 53243
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ABSCISA CUERDA DEFLEX
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K1+159527 0000 000000
ESPIRAL DE ENTRADA
LONG oOOIlId ~
CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
0000 -0000 0000 3S44 3S44 3S44
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CURVA ClRCULAR
CUERDA lARGA
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13047
ESPIRAL DE SALIDA
LONG coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x
49293 50000 48425 48860 49534 48030 44135 44532 43644 39311 39530 39039 34417 34529 34219 29477 29528 29413 24507 24527 24482 19520 19527 19512 14525 14526 14523 9526 9526 9526 4526 4526 4526 0000 0000 0000
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ESTE
487661 487850 489597 490863 491692 492134 492243 492074 491685 491132 490472 489829
Programa en paraacutemetros Y de simeacutetricas (
10 SET F3 INP OELTA=AR=R 20
30 INP C=CL=L 40 INP ATE=P 50 G=2 ASN(C(2Rraquo
Q=2RLZ=SQR(RL) 60 70 GSB 390 80 B=XU=Y
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100 K=X-RSIN(S) 110 T=(R+O)TAN(AI2)+K 120 E=laquoR+O)COS(AI2raquo-R 130 PRT G=OMS(G) 140 PRT 0=0 TE=T 150 PRT S=OMS(S) 160 H=A-2S 170 O=N+LIF HgtO THEN 180 H=OS=AJ2L=SR 190 GSB 390 200 PRT LC=J 210 PRT Tl=v-rc= 220 INP CALCULAR 230 IF A$=N THEN 20 240 F=INTlaquoP+C)1 0) 250 IF PltF THEN 270 260 F=F+C 270 IF F ~ M THEN 300 280 L=F-PGSB 390 290 PRT FOMS(I) 300 PRT EC=M 310 I=(F-N )G(2C) 320 F=F+CIF FltN 330 1=(N-M)G(2C) 340 L=O-FGBS 390 350 PRT FOMS(I) 360 F=F+C F FgtO 370 GOTO 340 380 I=OPRT ET= 390 X=L (1-(L t 4)(1
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Coordenadas cuerda y deflexioacuten para la abscisa K1+1110
1= K1 +159544 - K1 +110000 = 49544
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~IO =2x470162 =05552 rad
0555)2 605552 )(=49544 1-shyx110 - 9360 =48038
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05552 )
1- 75600 =8969
8969 =Tan- I =103433 48038
lntenido de datos y
un programa de ~bajado teniendo en
tud de la cuerda de lcias con el caacutelculo
) ademaacutes se han dos los puntos
han calculado a lET
I
Datos
ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIV=lzq) CUERDA UNITARIA LONG DE LA ESPlRAL DE ENTRADA LONG DE LA ESPlRAL DE SALIDA ANCHO DE CADA CARRIL VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh PERALTE MAXIMO en tanto por uno
AZIMUT DEL ET AL PI COORDENADA NORTE DEL PI COORDENADA ESTE DEL PI
Resultados
ESPIRAL DE ENTRADA
PARAMETRO DE LA ESPIRAL DEFLEX DE LA ESPIRAL DEFLEXION OT AL DEFLEX CURVA IRCULAR DEFLEXION AL EC GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC
COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO
CooRD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ES 1RAL-C1RC-ESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPlRAL bull CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL LONGITUD CURVA CIRCULAR ABS ISA DEL TE
ESPIRAL DE ALmA
P RAMETRO DE LA ESPIRAL DEFL DE LA ESPrRAL DEFLEXI N AL CE CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE
OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO
COORD CENTRO CURVA CIRCULAR
TANGENTE ESPlRAL-CIRCmiddotESPIRAL TANGENTE LARGA - ESPIRAL TANGENTE CORTA - ESPIRAL CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL
79
Ro 6 e Lo L2 8
V e
AL
KI+II 110 44 210 88deg 1500
5000
60000 50000
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0100
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9212 2329
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BASI
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ABSCISA CUERDA DEFLEX
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ABSCISA CUERDA DEFLEX
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80
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