Palace

1. DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) donde la distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro C(h; k); se denomina radio (R).

2. Elementos

Centro de la circunferencia: Punto fijo “C(h;k)”

Radio de la circunferencia: distancia constante del centro a la circunferencia “R”

Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia “DE”

Diámetro: cuerda que pasa por el centro y cuya longitud es 2R, “AB”.

Flecha o sagita: segmento orientado comprendido entre una cuerda y el arco de circunferencia comprendido “MN”

“Lt” recta tangente a la circunferencia.

“LN” recta normal a la circunferencia.

P(x;y) punto genérico de la circunferencia.

3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

I. Forma canónica

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio R > 0, tiene por ecuación:

C: x2 + y2 = R2

II. Forma ordinaria

La ecuación de una circunferencia de centro el punto C(h; k) y de radio R > 0 esta dado por:

C: (x - h)2 + (y - k)2 = R2

Sabemos que d(PC)=R

√(x−h)2+( y−k )2=R

C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2

Si la circunferencia es tangente al eje x, su ecuación será: C: (x - h)2 + (y - k)2 = k2 con R= |k|

Para la circunferencia tangente al eje y, su ecuación será: C: (x – h)2 + (y – k)2 = h2 con R= |h|

III. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Desarrollando la formula ordinaria C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2

Obtenemos que: x2 y2 -2hx - 2ky + (h2 + k2 - R2) = 0

Haciendo: D=-2h; E= -2k; F=h2 + k2 – R2

La Ecuación de la circunferencia sería: C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Comprobando llevaremos la ecuación a la forma inicial:

De donde observamos que:

Centro: C (−D2

;−E

2 )Radio: R=

12

.√D2+E2−4 F

La ecuación de la circunferencia tangente a los ejes coordenadas viene dado por:

C(h; k) = C(h; h) = C(k; k)

C: (x – h)2 + (y – h)2 = h2

|R|=|h|=|k|

En la ecuación α se dan los siguientes casos:

(.) Si: D2 + E2 – 4F > 0, tenemos la circunferencia de centro C (−D2

;−E2 ) y

R= 12

.√D2+E2−4 F

(..) Si D2 + E2 – 4F = 0, representa el punto C (−D2

;−E2 )

(…) Si D2 + E2 – 4F < 0, representa una circunferencia imaginaria.

4. FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIA

Sean:

Y si C1 intercepta a C2, se tendrá que: C1+kC2=0

Es una circunferencia C que pasa por las 2 intersecciones de C1 y C2, siempre que (1+k) ≠ 0

Ck es la ecuación de la familia de curvas o circunferencias, que pasan por las intersecciones P, Q de C1 y C2.

Todas la circunferencias Cn, tienen sus centros sobre la recta que pasa por los cnetros C1 y C2

Si en C1 hacemos que 1 + k = 0 ❑⇒ k = -1, se encuentra la ecuación del eje radical C1 y C2 y que

es:

L eje radical (D1 – D2) x + (E1 – E2) y + (F1 – F2) = 0

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes su eje radical coincide con su cuerda común; si C 1

y C2 son tangentes entre si, su eje radical es su tangentes común, y si C1 y C2 no tienen ningún punto común con ninguno de ellos.

EJE RADICAL: El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta que une sus centros; es también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas por él a C1 y C2 son iguales. La pendiente del je radical es:

Meje radical = −( D1

E1

−D2

E2)

Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes, la ecuación Ck representa para todos los valores de k≠ -1, todas las circunferencias que pasan por los puntos de intersección C1 y C2 con la única excepción de C2 misma.

(*) Si C1 y C2 son tangentes entre si y si n ≠ -1 entonces Ck representa para todas las circunferencias que son tangentes a ≠ en un punto común con la excepción de C2 misma.

(*) Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación de Ck representa C(k ≠ -1), siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que cumplen: D2 + e2 – 4F > 0

5.CONDICIÓN DE TANGENCIA PARA ECUACIONES CUADRÁTICAS EN DOS VARIABLES.

Sea la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0, al interceptarlo con una recta L: ax+by+c=0, lo que se hace es de “L” despejar x ó y, y reemplazarlo en la ecuación de 2do grado, entonces formamos una ecuación de 2do grado ya sea en y o en x, y tenemos que calcular los x ó los y, para lo cual, tendremos en cuenta:

CASO I: Si el discriminante es menos que cero, entonces no existe punto de intersección C∧ L.

CASO II: Si el discriminante es cero, entonces encotramos un punto de tangencia.

CASO III: Si el discriminante es mayor que cero, entonces existen dos soluciones, significando que hay dos puntos de intersección.

Para el análisis es más conveniente tomar para la recta L la forma y = mx + b

TEOREMA:

Si m es la pendiente de una recta a una curva plana continua C en el punto P0 (X0;Y0) entonces para el punto P0 tenemos:

1. La ecuación de la tangente Lt a C es : Lt : y – y0 = m (x – x0)

2. Longitud de la tangente a C es igual a: Y 0

m√1+m2 ; m ≠ 0

3. Longitud de la subtangente a C es igual a: Y 0

m ; m ≠ 0

4. La ecuación de la normal: (y – y0)= -1m

(x – x0) . m ≠ 0

5. Longitud de la normal es igual a: y0 . √1+m2

6. Longitud de la subnormal es igual a: my0

L1: recta tangente L2: recta normal

|P0 T→ |= Longitud de la tangente |P0 N

→ |= Longitud de la normal

QT= Subtangente; QN= Subnormal

Si las curvas C1y C2 planas se cortan en P, Lt , Ln ,son sus rectas tangentes en P se llama ángulo de dos curvas en P (punto de intersección) a cualquiera de los dos ángulos suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto P.

6. TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

Para la determinación de la recta tangente a un circunferencia se considera tres problemas.

1. Lt en un punto P0 (xo;y0) de C es: Lt: y – y0 = m(x-x2)

2. Para hallar Lt a una C, conociendo su pendiente Lt: y = mx+b

3. Para hallar Lt a una C y que pase Lt por P0(x0;y0) Lt: y – y0 = m(x – x0)

4. Para la C: (x-h)2 = R2 su recta tangente en P0(x0;y0)viene dado por :

Lt: (x-h) (x0 – h) + (y – k) (y0 – k) = R2

Si se tiene la ecuación general de 2do grado:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, si se conoce un punto P0(x0; y0) sobre la curva (P0 satisface su ecuación), entonces la ecuación de la recta tangente Lt tangente a la curva en P0(x0; y0) tiene la forma:

L : A x0 x+B ( y0 x+x0 y

2 )+C y0+D( x+ x0

2 )+ E( y+ y0

2 )+F=0…….(¿)

Observamos que la pendiente de Lt es:

TEOREMA:

Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P0(x0 ; y0) a la

C: (x – h)2 + (y – k)2 = R2 entonces:

t = √ ( x0−h )2+( y0−k ) 2−R2

Para hallar la ecuación (*), la ecuación general, puede escribirse (cada término) así: x2=x.x ;

xy=xy+ yx

2; y2= y.y ; x=

x+x2

; y= y+ y

2; y luego se coloca el subíndice “o” a una variable en

cada término, este criterio de la tangente a la ecuación general de 2do grado, puede usarse, aún cuando no se conozca el punto de contacto, es decir:

x2=x0.x ; xy=x y0+ y x0

2; y2= y0.y ; x=

x+x0

2; y=

y+ y0

2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (4;1) a la cónica:

2x2- xy + y2 + x – 3y + 2 = 0

Solución

Sea (x0, y0) las coordenadas de uno de los puntos de tangencia, entonces de (*) tendríamos:

Como (4;1) ϵ Lt tendríamos:

Lt:

Después de simplificar tendremos: 16x0 - 5y0 + 5 = 0 ………………………………………(1)

También en la ecuación de la curva: 3x20

- x0 y0+y20

+x0 - 3y0+2 = 0 ……………………….. (2)

Resolviendo el sist3ema formado por (1) y (2) obtenemos:

Entonces existen dos tangentes:

Lt1= y-1=0

Lt2=32x + 103y - 231 = 0

Problema 2

La recta Lt es tangente a x2+y2 = 1 en A = (−1

√2;

1

√2 ). Hallar la tangente del ángulo que forma L t

con la cuerda que va de A al punto B = (1;0)

Sabemos que:

Deducimos que m = -1, donde m es la pendiente de la recta tangente.

También observamos que:

Pero sabemos que:

Problema 3

Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentes a: x+y=3, en (-2; 5).

Solución

Consideremos dos de las circunferencias con tales condiciones como C1 y C2, con raios

Rr= √2 y R2 = √8 (arbitrariamente)

LN: y – 5 = mLN(x+2) => LN : y-5=x+2 => LN : y=x+7

Como C1 y C2 pertenecen a LNtendremos que:

Como C1: x2+y2+6x-8y+23=0

C2: x2+y2-14y+41=0

La Familia de circunferencias pedida será

Cn: C1+nC2=0 ; n ≠ -1

Cn: x2+y2+6x-8y+23+n(x2+y2-14y+41)=0

Cn: (n+1)x2+(n+1)y2+6x-(8+14n) y+(23+41n)=0; n∈Z – {-1}

PROBLEMA 4

Demuestre que C1: x2+y2-6x-3y+10=0: C2: x2+y2=5, son tangentes. Hallar la ecuación de la C tangente a C1 y C2 en su punto común y que pasa por (2;7).

Observamos que: m mc2 c1

=

323

=12

=> mLt = -2

Pero sabemos que:

Como Q1 = Q2 = (2;1), entonces las circunferencias son tangentes en Q = (2;1). Para calcular la C que pasa por (2;1) ∧ (2;7), como se tiene 2 puntos hay toda una familia de Cn que pasan por dichos puntos; entonces calculamos dos específicamente.

Cn que pasa por (a;b) ∧ (2;1) ∧ (2;7)

Si tomamos (a;b) = (1;1)

Problema 5

Hallar la ecuaciones de las tangentes a la circunferencia c: x2 + y2 - 2x + 4y = 0 que son perpendiculares a la recta L: x-2y=0

Solución

La ecuación queda transformada completando cuadros en:

Finalmente las ecuaciones de las rectas serán: Lt: 2x+y-5=0 ∨ Lt: 2x+y+5=0

Problema 6

Desde el punto P(1;6) se han trazado tangentes a la circunferencia C: x2+y2+2x-19=0. Hallar sus ecuaciones.

Solución

Completando cuadrados en la ecuación

C: (x2+2x+1)+y2=19+1

C: (x+1)2+y2=20

De donde: C(-1;0) y R = 2√5

La Ecuación de la recta tangente será:

Lt: y-6 = m(x-1)

Lt: mx-y+(6-m)=0

Pero: d(LtC)=R

36-24m+4m2=20m2+20 2m2+3m-2=0

(2m-1) (m+2)=0 m = 12

∨ m=-2

Finalmente las ecuaciones de las tangentes será:

Lt1: y−6=1

2 (x – 1) Lt1

: x−2 y+11=0

Lt2: y−6=(−2) (x – 1) Lt1

:2 x+ y−8=0

Problema 7

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1;4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos A(3;-2); B(-9;3).

Solución

Finalmente la ecuación de la circunferencia será: C: (x+1)2+(y-4)2=16

Problema 8

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1;6), B(2;-1) y es tangente al eje y.

Solución:

La ecuación de la circunferencia es:

Tendríamos dos circunferencias:

C1: (x-5)2+(y-3)2=25 y C2: (x-145)2+(y-23)2=1452

Problema 9

Hallar las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el punto A(1:0) y son tangentes a la rectas:

L1: 2x+y+2 =0

L2: 2x+y-18=0

Solución

L1 fn=2x+ y+2

√5=0❑

⇒L1 fn=

2 x+ y−18

√5=0

Luego tendremos

d ( L1 L2 )=|C2−C1|=|−18

√5− 2

√5|= 20

√5=4 √5

Pero también: 2R = 4√5 => R=2√5

Reemplazamos la relación (1) en (2) tendremos:

(h-1)2 + (8-2h)2=20

De donde:

5h2-34h+45=0 => (h – 5) (h-9) = 0 => h=5

k=−2∨ h=9/5

k=22/5

Las ecuaciones de las circunferencias son: C1: (x-5)2+(y+2)2=20

C2:(x−95 )2+( y−22

5 ) 2=20

Problemas 10

Hallar la suma de las coordenadas del centro con el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo determinado por los ejes coordenados y la recta L: 3x+4y+6=0.

Solución

Observamos del gráfico que:

d(xC)=(yC) = d(LC)

|h|=|h|=|3h+4h+6|√32+42

De donde tendremos:

7h+6=5h ∨ 7h+6=-5h

H = -3 ∨ h = -1/2

Para h= -3 el punto C(h;) caería fuera del triángulo, con ello queda descartado este resultado.

Para h= -1/2 el centro C(h;h)=C (−12

;−12 ) y el radio R=

12

Finalmente tendremos que: h+k+R= - 12

- 12

+ 12

= - 12

Problema 11

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1;0), (0;-1), (1;0).

Solución

Como sabemos que debe ser una circunferencia su ecuación será de la forma:

X2+y2+Dx+Ey+F=0

Los puntos mencionados deben pertenecer y satisfacer la ecuación por lo tanto sustituimos los tres puntos:

(-1;0) ∈ C => 1 - D + F = 0

(0;-1) ∈ C => 1 - E + F = 0

(1;0) ∈ C => 1 + D + F = 0

Resolviendo el sistema obtenemos: F=-1; D=0; E=0

Finalmente la ecuación de la circunferencia será: C: X2+y2=1

Problema 12

Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva: x2+y2=5 en el punto (-1;2).

Solución:

De la ecuación x2+y2 = 5

C(0;0) y R=√5

Observamos que:

mLN= 2−0

−1−0❑⇒

mLN=−2

Luego deducimos que: mLN=1

2

Cálculo de la ecuación de Lt: y-2=mLN(x+1)

y-2=12

(x+1) Lt: x-2y+5=0

Problema 13

Hallar las ecuaciones de las tangentes a loa circunferencia x2+y2+10x-2y+6=0 que son parálelas a la recta 2x+y-7=0

Solución

Observamos que : C: x2 + y2+10x-2y+6=0

C: (x+5)2+(y-1)2=20

Donde C (-5;1) y R = 2√5 pero también podemos notar mL=-2 => mLN=1

2 , entonces

LN: y-1=12

(x+5)

LN: x-2y+7=0

Podemos ver que P ∈ LN ∩ C, luego resolviendo el sistema:

Para: y = 3; x =-1 y P (-1:3)

Para: y = -1; x =-9 y P(-9;1)

Finalmente las ecuaciones de las tangentes serán: mLt= mL❑

=-2

Lt1: y−3=(−2 ) ( x+1 )=¿ Lt1

:2 x+ y−1=0

Lt2: y+1=(−2 ) ( x+9 )=¿ Lt1

: 2 x+ y+19=0

Problema 13

Desde el punto A( 53

;−53 ) se han trazado tangentes a la circunferencia: x2+y2=5. Hallar sus

ecuaciones.Solución:

De la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto A( 53

;−53 ), tenemos

De la circunferencia: C:x2+y2=5 ……(2)Reemplazando (1) en (2)

x2+(mx−5 m+53 )2=5❑

⇒9 (1+m2 ) x2−30 m ( m+1 ) x+25 (m+1 ) 2−45=0

Por la condición de tangentes es necesario que △=0, entonces tendremos 302m2(m+1)2-

4x9(1+m2)[25 (m+1 ) 2−45 ]=0

Después de efectuar operaciones tendremos 2m2-5m+2=0 ❑⇒ (2m-1)(m-2) = 0❑

⇒ m=12∨m=2

Luego las ecuaciones de las rectas serán

Lt1: y+5

3=2(x−5

3 )❑⇒ Lt1:2 x−3 y−15=0

Lt1: y+5

3=1

2 (x−53 )❑⇒ Lt1

:3 x−6 y−15=0

Lt1: x−2 y−5=0

Problema 15Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia (x+2)2+(y-3)2=25 en el punto A(-5,7)Solución

Finalmente la ecuación de la recta tangente será:

: 3x-4y+43=0

Problema 16Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2+y2=5 en el punto A (-1;2)SoluciónEn la circunferencia C: x2+y2=5 tenemos: C(0;0), R=√5

También tenemos que : mLN= 2−0

−1−0

mLN=−2❑

⇒mLt

=+12

Finalmente la ecuación de la recta tangente será:

Lt: y-2=mLt(x+1) => Lt: y-2=

12

(x+1)

Lt: x-2y+5=0

Problema 17

Hallar las tangentes comunes a las circunferencias: C1: x2+y2-6x-8y=0 ; C2: x2+y2-4x-6x=3

Solución

Analizando y llevando a la forma ordinaria las ecuaciones de la circunferencia.

De la ecuación de la circunferencia

Además tenemos

Aplicando la distancia del centro a la recta tangente tendremos:

Dividiendo estas dos relaciones tendremos:

Donde tendremos

Analizando el discriminante: △<0Entonces m no existe, es decir la recta es paralela al eje y.Para m=0 y b= -1

tendremos Lt1: y=−1

LA PARABOLA

1. DEFINICIÓNSe llama parábola al lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto dado denominado foco y de una recta dad llamada directriz (con la condición, que el foco no se encuentre en la directriz),Es el conjunto de puntos P(x;y) del plano, que se mueven de tal manera que equidistan de una recta fija L (Llamada directriz) en el mismo plano de un punto fijo F (llamado foco) del plano R2 y que no pertenece a la recta L (F∉L).=> P={P(x;y)∈ R2/d (PL)=d(PF)

Además (e = d (PF)d (PL) = 1

2. ELEMENTOS DE LA PARABOLA2.1 Directriz (L) Es la recta fija y perpendicular al eje principal o focal. La distancia de cualquier punto de la parábola a ella es igual a la distancia de dicho punto al foco d(PL)=d(PF)2.2 Foco (F) Es el punto fijo de la parábola.2.3. Eje Focal (Vx) Es la recta que pasa por el foco, también se llama recta focal y es perpendicular a la directriz.2.4 Vértice (V): Es el punto medio del segmento FQ que une la directriz y el foco: d(QV) = d(FV) = p p: parámetro de la parábola.2.5 Cuerda (A1 A2): es el segmento que une 2 puntos cualquiera de la parábola.2.6 Cuerda focal (B1 B2): Es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal.2.7 Lado recto (R1R2 ó LR): Es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal2.8 Excentricidad€: Es la razón constante entre la distancia de un punto al foco y la distancia de dicho punto a la directriz.

e= d (PF)d (PL) =1

2.9 Radio vector: Es el segmento que une un punto de la parábola con el foco.