documento de trabajo para el alumno · unidad 3: ecuación de primer grado con una incógnita ......

DOCUMENTO DE TRABAJO PARA EL ALUMNO

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INDICE

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Tema Página

Presentación: ____________________________________________________ 3

Unidad 1: El Significado de los Números Reales y sus Operaciones _________ 5

Tema 1: El significado de los números reales y sus simbolizaciones _________ 5

Tema 2: Las operaciones con los Racionales y su significado contextual _____ 38

Tema 3: Potencias y radicales ______________________________________ 74

Tema 4: Expresando la generalidad __________________________________ 85

Unidad 2: Variación directamente proporcional y funciones lineales _________95

Tema 1: Variación directamente proporcional __________________________ 95

Tema 2: Función lineal ___________________________________________ 115

Unidad 3: Ecuaciones de primer grado con una incógnita ________________ 147

Tema 1: El lenguaje algebraico como representación de la generalidad, la

obtención de una ecuación ________________________________________ 148

Tema 2: ¿Cómo usar la ecuación para resolver un problema? _____________ 156

Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales ___________________________ 167

Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 __________________________167

Tema 2: Sistemas de ecuaciones equivalentes y el método de triangulación___190

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Presentación

En este documento se te presentan los contenidos y aprendizajes que deberás

lograr en el curso de Matemáticas I, su organización en unidades y una serie de

actividades para el logro de los aprendizajes y la forma en que debes desarrollarlas.

Aprendizajes generales del curso Matemáticas I:

• Conocerás y manejarás algunas estrategias para la resolución de problemas.

• Darás significado a los algoritmos de las operaciones básicas y el manejo de la

jerarquía de las operaciones.

• Lograras el transito de la aritmetica al algebra.

• Reconocerás que la resolucion algebraica de ecuaciones involucra un proceso

que permite reducir una ecuacion dada a otra más simple, hasta alcanzar una

forma estándar.

• Desarrollaras tu capacidad de transitar por distintos registros de representación:

verbal, tabular, algebraico y gráfico.

• Resolverás problemas que dan lugar a una ecuación de primer grado con una

incógnita, o un sistema de ecuaciones lineales.

• Utilizaras las representaciones algebraica y gráfica para estudiar fenómenos que

involucran variación directamente proporcional y de tipo lineal.

• Utilizaras las representaciones algebraica y gráfica para modelar situaciones con

ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

• Seras capaz de resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y

sistemas de ecuaciones lineales.

• Reconocerás cuándo un sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente.

Contenidos (síntesis):

Unidad 1: El Significado de los Números Reales y sus Operaciones.

El significado de los números reales y sus simbolizaciones

El significado concreto de las operaciones con números reales y los algoritmos

para su ejecución.

La expresión general de procesos de cálculo y relaciones numéricas.

Unidad 2: Variación directamente proporcional y función lineal

Variación directamente proporcional: los conceptos de variable independiente,

variable dependiente, razón de cambio promedio, su expresión algebraica y

aplicaciones.

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Función lineal: el concepto de función, incremento de las variables, razón de

cambio entre los incrementos, su expresión algebraica y aplicaciones.

Unidad 3: Ecuación de primer grado con una incógnita

El significado de una ecuación y su obtención

Métodos de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita

Aplicaciones

Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales

El significado de un sistema de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2: sus métodos de resolución, sistemas

compatibles e incompatibles y aplicaciones.

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3: el método de triangulación para resolver

un sistema de ecuaciones de este tipo, aplicaciones.

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Unidad 1

El Significado de los Números Reales y sus Operaciones

Propósito de la

unidad

Al finalizar la unidad serás capaz de operar con los

números racionales, (enteros y no enteros) y resolver

problemas aritméticos aplicando algunas heurísticas

para facilitar: su comprensión, la búsqueda de un plan de

resolución y su ejecución.

PROPUESTA DIDÁCTICA

Tema 1 El significado de los números reales y sus

simbolizaciones

Introducción

Posiblemente tu actividad con los números haya tenido un énfasis en la forma en

que estos se operan y su aplicación en la resolución de problemas te presente

dificultades.

Estas dificultades tienen su fuente en la falta de significado concreto de los

números, entre otras cosas, como el aprendizaje memorístico de las reglas para

operarlos.

En este tema encontrarás significado a los números a través de actividades

prácticas de medición, de análisis de modelaciones de situaciones físicas y del

planteamiento de convenciones necesarias para la generalización de propiedades

de las operaciones básicas de la aritmética.

Planeación

Fase de

planeación de tu

actividad

Tomando como documento de trabajo el archivo electrónico

que el profesor te proporcionará y que aquí se te presenta:

A manera de tarea extra-clase, ejecutarás las actividades

prácticas y responderás a las preguntas que se hacen,

registrando tus respuestas en el campo de respuesta

individual del archivo enviado por el profesor.

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Ya en clase, participarás en un tratamiento grupal de las

actividades a fin de lograr consensos sobre la comprensión

de las actividades y sus resultados, anotarás estos

consensos en el campo de respuesta por equipo y grupal,

redactarás las conclusiones a las que se lleguen a partir de la

actividad, conclusiones que el profesor sintetizará o

corregirá. Finalmente resolverás ejercicios que garanticen la

comprensión de procedimientos y conceptos.

Si la captura de las respuestas individuales y consensuadas,

en los campos que el archivo tiene reservados para esto, te

presenta dificultades, entrégalas al profesor por escrito,

redactando la actividad a la que se responde.

Referencias Para el alumno:

Complementaria:

Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013).

Matemática: razonamiento y aplicaciones. Wesley.

Álgebra intermedia. García, M. (2005). Matemáticas I para

preuniversitarios. México: ESFINGE.

Acertijos con Dinero: desarrollo del razonamiento

matemático y pensamiento lateral. México: Trillas.

Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México:

CENGAGE.

Smith, S., Charles R., Dossey J., Keedy M., y Bittinger M.,

(2001). Álgebra.

Sub – tema 1 El significado de los enteros y racionales positivos

Aprendizajes A través de actividades de medición, comprenderás el

significado concreto de los números enteros y racionales

positivos, así como sus simbolizaciones

Actividades para el aprendizaje

Actividad 1 Midiendo longitudes

7

Objetivo (s) de

la actividad:

Medirás diversas longitudes tomando como unidad la que

se te propone y simbolizarás el resultado a través de un

entero positivo o una fracción propia y su equivalente como

fracción decimal

Serás capaz de interpretar tales símbolos en el proceso de

medida y como un proceso aritmético.

Duración de la

actividad

Tres horas, una de trabajo en casa y dos de trabajo en el salón.

Recursos y

herramientas

Archivo electrónico

Compás y/o regla

Evaluación Cuestionario

Desarrollo de la actividad

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 1)

Objetivo (s) de la

actividad(parte 1):

Medirás diversas longitudes tomando como

unidad la que se te propone y simbolizarás el

resultado a través de un entero positivo o una

fracción propia.

Introducción:

¿Qué es medir?

Medir es determinar la cantidad de una cualidad ligada a los objetos o

fenómenos, por ejemplo la cuantificación del volumen de un cuerpo o su

temperatura, o el tiempo que dura el desplazamiento de un móvil, etcétera.

La medición se lleva a cabo comparando la cantidad de una cualidad tomada

como unidad arbitraria y la cantidad de dicha cualidad en un objeto o

fenómeno. Esta comparación se establece observando “cuantas veces” la

unidad está contenida en la cantidad por medir.

Actividades prácticas

Instrucciones:

8

o En cada uno de los siguientes casos, deberás medir la longitud del

segmento AB, tomando como unidad la longitud del segmento PQ

auxiliándote de un compás o cuadriculando el espacio donde se

encuentran dichas longitudes,

o En cada caso deberás anotar tu respuesta en el espacio de respuesta

individual,

o Anota en el espacio de respuesta grupal, la medida comentada en el

grupo

Caso 1

Respuestas:

Individual: _________ Equipo: __________ Consensuada:_________

Caso 2

Respuestas:


9

Conclusión:

Cuando la unidad cabe un número exacto de veces se dice que su medida está

dada por un número entero positivo. Así son enteros positivos: 1, 2, 3, 4,…,etc.

Caso 3

Respuestas:


Sugerencia:

Dividamos la unidad PQ en cinco partes iguales (cada una de estas partes será

la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizaremos como 1/5 de la unidad).

Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:


P Q

A B

10

Convención:

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “13 veces la quinta

parte de la unidad”. Este hecho, se simboliza como: 13/5 de la unidad

Caso 4

Respuestas:


Sugerencia

Dividamos la unidad PQ en cuatro partes iguales (cada una de estas partes será

1/4 de la unidad). Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:


Retroalimentación

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “14 veces 1/4 de la

unidad”, lo cual se simboliza como: “14/4 de la unidad". La equivalencia de tales

expresiones la estableceremos posteriormente.

Conclusión general:

11

Cuando al medir la cantidad de una cualidad, la unidad cabe un número

exacto de veces, su medida estará dada por un número entero positivo, son

números enteros 1, 2, 3, etcétera. Cuando la unidad no cabe un número

exacto de veces en la cantidad por medir, pero al dividir la unidad un número

q de partes iguales, una de esas partes cabe un número p exacto de veces,

se dice que la medida está dada por un número racional positivo que se

simboliza por p/q. Así son números racionales: 3/4, 25/83, 1/5, 1/3, etcétera.

Estos símbolos reciben el nombre genérico de “fracciones” o “quebrados”

Cierre de la actividad

Esta primera parte de la actividad 1 debe cerrarse con la ejercitación que el

profesor te proponga

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 2)

Objetivo (s) de

la actividad1

parte 2:

Serás capaz de interpretar aritméticamente y en el proceso de

medida los símbolos .

Desarrollo de la actividad 1 (parte 2)

Introducción

Uno puede preguntarse si 𝟏

𝒒 y

𝒑

𝒒 son simples abreviaciones de expresiones:

“la q-ésima parte de la unidad” y “p veces la q-ésima parte de la unidad” o

tienen un significado aritmético que les justifica su capacidad de ser

operados.

Para entender el significado aritmético de 𝟏

𝒑 y

𝒑

𝒒 se sugiere realizar las

actividades siguientes retomado los dos últimos ejercicios de medición

Actividades sugeridas para el aprendizaje

Instrucciones

o Deberás leer con cuidado las reflexiones que se hacen sobre las

actividades de medición en los casos 3 y 4 de la parte 1 y responder a las

preguntas que se te hacen, como tarea extra - clase, en el espacio de

respuesta individual

o Una vez en clase, consensuarás las respuestas con el equipo al que te

asigne el profesor anotando este consenso en el espacio correspondiente

1

qy

p

q

12

o Hecho lo anterior, anotarás en el espacio correspondiente a consensuada

las respuestas a las que finalmente se llegue en una discusión grupal

Retomemos el caso 3 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 13 veces

la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 13/5

Reflexión

Si hemos dividido la unidad en cinco partes iguales. ¿Cuál es la medida de cada

una de esas partes?

Respuestas:


¿Qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 5 partes iguales y

posteriormente en 10 partes iguales y tome 2 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:


13

Hemos encontrado que la cantidad de la quinta parte de la unidad es equivalente

a 2 partes de la unidad cuando esta es dividida en 10 partes iguales y este hecho

se encuentra dividiendo 1 entre 5.

¿Cuánto es 13 veces la medida de la quinta parte de la unidad, que es la medida

del segmento AB?

Respuestas:


Sugerencia:

Intentemos otra forma de encontrar las anteriores respuestas pensando en la forma

siguiente:

Se trata de medir AB tomando como unidad PQ. Si tomamos 1/5 de PQ como una

nueva unidad:

¿Cuánto mide PQ?

Respuestas:


¿Cuánto mide AB?

Respuestas:


En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:


Conclusión:

14

Luego la medida de AB con respecto a PQ, se encuentra dividiendo 𝟏𝟑 ÷ 𝟓 y esto

lo hemos representado como 𝟏𝟑

𝟓 con lo cual, “13 veces la quinta parte de PQ”, es

equivalente a dividir 𝟏𝟑 ÷ 𝟓 = 𝟐. 𝟔. Lo que quiere decir que la medida de AB es 2

unidades PQ más 6 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB=2.6

Por otro lado, 2.6 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir

AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 partes iguales, o sea el racional 𝟐𝟔

𝟏𝟎. Este

tipo de representación de un racional (2.6) se le conoce como “fracción decimal”.

Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes:

La medida de AB con respecto a la unidad PQ es:

Retomemos el caso 4 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 14 veces

la cuarta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 14/4

Reflexiona sobre lo siguiente:

Si hemos dividido la unidad en cuatro partes iguales

15

¿Cuál es la medida de cada una de esas partes?

Respuestas:


¿qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 4 partes iguales, luego en 10

partes iguales y posteriormente cada una de estas últimas partes en 10 partes

iguales, ahora tome 25 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:


Conclusión:

Hemos encontrado que la cantidad de la cuarta parte de la unidad es equivalente

a 25 partes de la unidad cuando ésta es dividida en 100 partes iguales y este hecho

se encuentra dividiendo 1 entre 4.

¿Cuánto es 14 veces la medida de la cuarta parte de la unidad, que es la medida

del segmento AB?

Respuestas:


Sugerencia:

Pensemos ahora en otra forma de encontrar la respuesta:

Se trata de medir AB tomando como unidad PQ.

Si tomamos 1/4 de PQ como una nueva unidad:

¿Cuánto mide PQ?

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Respuestas:


¿Cuánto mide AB?

Respuestas:


En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:


Conclusión:

Luego la medida de AB con PQ, se encuentra dividiendo 𝟏𝟒 ÷ 𝟒 y esto lo hemos

representado como 𝟏𝟒

𝟒 con lo cual, “14 veces la cuarta parte de PQ”, es equivalente

a dividir 𝟏𝟒 ÷ 𝟒 = 𝟑. 𝟓 Lo que quiere decir que la medida de AB es 3 unidades PQ

más 5 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB = 3.5

Por otro lado, 3.5 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir

AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 parte iguales, encontrando que la

medida AB es 35 veces la décima parte de la unidad o sea el racional 𝟑𝟓

𝟏𝟎. Este tipo

de representación de un racional (3.5) se le conoce como “fracción decimal”.

Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes:

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Conclusiones sobre la actividad 1:

Un número racional positivo es todo número expresado como el cociente de dos

números enteros positivos, esto es, si p y q son dos números enteros positivos, 𝒑

𝒒

es un número racional positivo.

En términos de medición el racional mencionado significa tomar la q – ésima parte

de la unidad y tomar p veces ésta.

Cuando se realiza la división p entre q lo que se obtiene es la representación del

racional en su forma de “fracción decimal”. En términos de medición esta fracción

decimal significa medir p veces la q-ésima parte de la unidad, siguiendo el proceso

de dividir la unidad en 10 partes iguales y dividir cada una de estas partes en 10

iguales y dividir cada una de estas partes en 10 y así sucesivamente hasta cubrir

el número de cifras decimales.

Ejemplo: 𝟒𝟓/𝟖 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟓

Ésta fracción decimal significa que 45 veces la octava parte de la unidad, puede

medirse dividiendo la unidad en 1000 partes iguales y tomando 5625 de estas

partes, en términos de fracción 45/8 es equivalente a 𝟓𝟔𝟐𝟓/𝟏𝟎𝟎𝟎

Cierre de la actividad

Esta actividad debe cerrarse con la ejercitación que te proponga el profesor


simbolizaciones

Racional en su

representación

como fracción

Racional como

un proceso operativo

operativo

Racional en su

representación como

fracción decimal

Racional en su

representación

alternativa como

fracción

14/4 = 14÷4 = 3.5 = 35/10

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Sub-tema 2 Características de la simbolización de un racional

positivo como fracción decimal

Aprendizajes

El alumno:

A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás

la característica que define la expresión de un racional

como fracción decimal y el proceso para convertir esta

última en una fracción o quebrado.

Serás capaz de convertir una fracción decimal de un

racional a su expresión como fracción o quebrado

Introducción:

Hemos visto que una fracción p/q tiene una simbolización equivalente como

fracción decimal, la cual se obtiene dividiendo p entre q. Pero existen casos en

que al realizar la división la expresión decimal resulta con una extensión infinita.

A través de casos concretos conocerás la característica de la expresión como

fracción decimal de un racional y dada una expresión de este tipo, la manera de

convertirla en una fracción.

Actividad 1 Lectura y comprensión


Transforma las fracciones siguientes a su expresión decimal

a) 2/3

respuesta individual____________ respuesta por equipo____________

respuesta grupal

_____________________________________________________

b) 5/7

respuesta individual____________ respuesta por equipo

____________________

respuesta grupal

_____________________________________________________

c) 45/108

respuesta individual____________ respuesta por

equipo____________________

respuesta

grupal_____________________________________________________

d) 18/13


equipo____________________

19

respuesta

grupal_____________________________________________________

e) 29/4


equipo____________________

respuesta

grupal_____________________________________________________

Como podrás darte cuenta, en todas estas transformaciones las

expresiones decimales, a partir de cierto momento, una o un grupo de

cifras se repite indefinidamente, así:

2/3 = .66666666…, el 6 se repite indefinidamente.

5/7 = .714285714285714285714…el grupo de cifras 142857 se repite

indefinidamente.

45/108 = .4166666666…, el 6 se repite indefinidamente.

18/13 = 1.384615384615384…, el grupo 384615 se repite indefinidamente.

29/4 = 7.25 lo cual es equivalente a: 29/4 = 7.250000…, el grupo 0 se repite

indefinidamente

Ahora piensa al azar cualquier fracción y transfórmala en su expresión

decimal

¿pasa lo mismo que en los casos anteriores?

Respuesta individual____________________

Compara lo que obtuviste con las respuestas de tus demás compañeros

¿qué sucede?

Todas estas expresiones decimales se llaman “periódicas”

Conclusión:

Toda expresión de un racional como fracción, en su expresión

decimal es periódica.

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Reflexión:

Uno puede preguntarse si toda expresión decimal periódica es la expresión

de un racional como una fracción.

La respuesta es afirmativa, veamos esto con algunos ejemplos:

a) 2.46 787878…

simbolicemos esta expresión como S, y multipliquémosla primero por

100 y luego por 10000, esto es: 100S y 10000S

los resultados son: 100S = 246.787878… y 10000S = 24678.787878…

Ahora restemos 10000S –100 S

El resultado es 9900S = 24432

luego S = 24432/9900. Esto es: 2.46787878… es equivalente a la

fracción: 24432/9900

b) 1.6573563563563563…

Repite lo que hicimos en el caso anterior representando la fracción

decimal 1.657356356356…con S y multiplícala por una potencia de

10de tal manera que el punto decimal se recorra hasta que empieza el

periodo y por una potencia de 10 de tal manera que el punto decimal

se recorra hasta que empiece el segundo periodo.

Respuesta individual:

c) Considera las fracciones decimales periódicas siguientes y

transfórmalas, si es posible, a fracciones

d) .3575757575…

e) 3.4251671671671…

f) considera al azar una fracción decimal periódica y encuentra, si es

posible, una fracción que le sea equivalente.

Respuestas individuales:

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Respuestas consensuadas:

Conclusión:

Toda fracción decimal periódica tiene como equivalente una fracción, esto

es, representa un racional

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simbolizaciones

Sub-tema 3 Fracciones equivalentes

Aprendizajes

A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás

que una fracción tiene como equivalentes una infinidad de

fracciones.

Dada una fracción, obtendrás fracciones equivalentes a

ella.

Comprenderás el concepto de fracción irreducible

Introducción:

En la actividad 1 del subtema 1, hemos encontrado que las fracciones 13/5 y 14/4

tienen fracciones equivalentes respectivamente a 26/10 y 35/10. Podemos

observar que 26/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de

13/5 por 2 y que 35/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador

de 14/4 por 25 y la fracción resultante dividiendo su numerador y denominador

entre 10.

En este subtema se pretende que, básicamente en una actividad de ejercitación,

conozcas la manera de obtener fracciones equivalentes a una dada.

Actividad 1, para

el Sub – tema 3

Lectura y comprensión

Considera la fracción siguiente

25/15

Multiplica el numerador y el denominador de ella por cualquier número entero y

obtén la expresión decimal de la fracción original y de las que generaste.

¿Qué ocurre?

Respuesta individual_______________________________________________

Respuesta por equipo______________________________________________

Respuesta consensuada____________________________________________

Ahora divide el numerador y el denominador de 25/15 por un número entero de

tal manera que los resultados también sean enteros y obtén sus respectivas

expresiones como fracciones decimales

¿Qué ocurre?

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Respuesta individual______________________________________________

Respuesta por equipo _____________________________________________

Respuesta consensuada____________________________________________

Conclusión: Cuando una fracción p/q es multiplicada en su numerador y

denominador por un mismo número entero, la fracción resultante es equivalente

a la original. También, cuando una fracción p/q es dividida en su numerador y

denominador por un mismo número entero, de tal forma que los resultados sean

también números enteros, la fracción resultante es equivalente a la original.

Introspección sobre lo hecho anteriormente en esta actividad

Se sabe que un número primo es aquél cuyos divisores son únicamente él mismo

y la unidad.

En base a la anterior definición obtén fracciones equivalentes a 75/30 dividiendo

sucesivamente entre los primos que nos den como resultados números enteros,

a estos se les llama divisores primos comunes del numerador como del

denominador.

¿es posible seguir dividiendo el último resultado entre otros

primos?

Cuando sucede esto se dice que la fracción 75/30 se ha reducido a su mínima

expresión 5/2 o se ha obtenido su fracción equivalente irreducible.

Ejercicios:

Obtén las fracciones equivalentes irreducibles de las fracciones siguientes:

270/80 =

35/5 =

75

30=

75

330

3

=25

10=

25

510

5

=5

2

24

46/25 =

170/70 =


simbolizaciones

Sub-tema 4 Números Irracionales

Aprendizajes

Comprenderás el concepto de número irracional a

través de las exposiciones del profesor y la lectura

de este apartado que implica una mínima

participación de tu parte.

Introducción:

Hasta este momento uno puede preguntarse si toda longitud, una vez que se ha

escogido una unidad de medida, tiene por medida un número racional de la forma

p/q. Esto es, ¿siempre es posible encontrar una sub – unidad de la unidad que

mida exactamente a la longitud por medir?.

Actividad 1, para el

Sub – tema 4

Lectura y comprensión

Instrucciones

o Lee con cuidado el texto siguiente contestando a las

preguntas que se te hacen.

o Cualquier duda consúltala con tu profesor


La recta numérica

Uno puede representar en una recta los números que representan las medidas

de longitud de cualquier segmento en la forma siguiente:

Primero tome un punto P cualquiera de la recta como el origen para medir las

longitudes y tome otro punto P1 a su derecha de tal suerte que la medida del

segmento que empieza en P y termina P1, sea la unidad. Ahora repita

sucesivamente esta unidad hacia la derecha determinando los puntos P2 , P3, …

25

Ello determinará los números enteros 1, 2, 3, 4,…etc. los cuales serán las

medidas de los segmentos PP1, PP2, PP3,PP4, etc.

Ilustración:

Con ello, a cualquier otro punto Q de la recta se le asignará un número que será

la medida del segmento PQ. La pregunta es: ¿a Q siempre le corresponderá un

racional p/q? o ¿la longitud PQ siempre será medible con la unidad PP1 o con una

fracción de ella?

Para contestar esta pregunta construyamos un segmento de la manera siguiente:

Tomemos el segmento unidad y reproduzcámoslo sobre el punto que representa

al 1 y perpendicular a él.

Con ello formamos un triángulo rectángulo con medida de catetos iguales a 1 e

hipotenusa que por el teorema de Pitágoras será: . Con un compás

con eje de giro en 0 y amplitud AB, trazamos una circunferencia que corte a la

recta en un punto D, al cual asignaremos el número que será la longitud del

segmento AD

12 +12 = 2

2

1

2

4

3

5

0

P

P1

P2 P3

1 2 43 50

A

B

26

¿dicho segmento es medible con una sub – unidad de la unidad?, esto es: √𝟐 =

p/q, donde podemos suponer que la fracción está en su forma irreducible ( p

y q no tienen factores comunes)

Supongamos que la respuesta es afirmativa

Entonces:

Si elevamos ambos miembros de la igualdad al cuadrado, obtenemos:

2 = p2/q2 y por propiedad de la división: 2q2=p2, esto quiere decir que p2 es un

número par

Entonces ¿p es par o impar?

Respuesta:

individual _____________________ Respuesta consensuada_______________

Luego, p se puede escribir como 2S y 2q2= 4S2 y dividiendo entre 2 obtenemos:

q2=2S2.

Esto es: q2 es un número par.

Si q2 es un número par, ¿q es impar o par?

Respuesta:

individual ______________________ Respuesta

consensuada_______________

Luego entonces hemos encontrado que tanto p como q son pares, que quiere

decir que tienen como factor común a 2.

¡Pero esto es una contradicción con el supuesto original de que p y q no

tenían factores comunes!

¿Cómo explica esto?

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Respuesta:

individual

_________________________________________________________

Respuesta consensuada

_______________________________________________________

Luego entonces no es un racional y se la clasifica como número

“irracional”

Conclusión:

La medida de la longitud de un segmento puede ser racional o irracional.

Esto es, existen números racionales e irracionales para medir la longitud de

cualquier segmento en la recta numérica.

La unión del conjunto de números racionales positivos con los irracionales

positivos forman el conjunto de números “Reales Positivos”


simbolizaciones

Sub-tema 5 Números negativos

Aprendizajes

A través de las exposiciones del profesor y la lectura de

este apartado que implica una mínima participación de

tu parte:

Comprenderás el concepto de número negativo

Operarás con los números negativos y positivos

Introducción:

Tal vez en tu experiencia adquirida en la secundaria hayas comprendido que los

números negativos son los que se determinan cuando, en la recta numérica, dado

un real positivo, tomas a la izquierda del 0 su simétrico y, cuándo operabas con

12 +12 = 2

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ellos, las reglas de operación te las aprendiste simplemente de memoria sin

justificación alguna.

En éste subtema encontrarás actividades que te llevarán a comprender un

número negativo más allá de ser una cantidad simplemente con posición relativa

al cero y encontrarás sentido para las reglas con que se operan.

Actividad 1, para el

Sub – tema 5

Lectura y comprensión sobre el significado de –a, donde

a es un real positivo

Instrucciones


Consideremos la situación siguiente:

Desde una plataforma retráctil colocada a una altura de 200 metros sobre el nivel

del piso, se lanza verticalmente y hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial

de 150 m/seg.

Un observador colocado a nivel de la plataforma, comienza a observar la altura

del proyectil en relación a el nivel en que se encuentra la plataforma.

En física se sabe que la altura “y” del proyectil en relación a la posición de la

plataforma está dada en metros por la siguiente fórmula:

y = 150t – 5t2 donde t es el tiempo de vuelo medido en segundos.

Ilustración:

Contesta las preguntas siguientes:

200m

0 m. Plataforma que se retira

después del lanzamiento

29

Según el modelo:

a) ¿cuál es la posición del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 0?

Respuesta individual: ______________ Respuesta consensuada:

______________

b) ¿cuál es la posición del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 3

segundos?


______________

c) ¿cuál es la altura y del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 30

segundos?


______________

d) ¿cómo se interpreta esto?


______________

Como es obvio, el proyectil después de este último momento seguirá bajando

El modelo y = 150t – 5t2 que predice la posición del proyectil en relación a la

plataforma ¿seguirá funcionando?

Veamos si la respuesta es afirmativa y bajo que convenciones

Por ejemplo, ¿ que predice el modelo para 31 segundos?

Y= 150(31) – 5(312) = 4650 – 4805 ¿pero qué es esto? A un número menor

estamos restando un número mayor, ¿ tienen sentido esto?. Para tratar de dar

sentido a lo encontrado ejecutemos la resta en la forma siguiente:

y = 4650 – (4650 + 155) = 4650 - 4650 – 155 = 0 -155 ¿qué significado tiene este

resultado?.

Para darle sentido convengamos que y = 0 – 155 = - 155 o de otra forma: 4650

– 4805 = -(4805 – 4650) = - 155, donde el signo menos lo que indica es que el

proyectil se encuentra a 155 metros por debajo del cero (o posición de la

plataforma).

¿Esta predicción tendrá sentido en el fenómeno con el que estamos tratando?

Contestemos las preguntas siguientes:

Si es cierto que el proyectil se encuentra a 155 m por debajo de la plataforma, ¿a

qué altura del piso se encontrará?

30


________________________________________________

Respuesta consensuada:

_____________________________________________

Para ver si la anterior predicción es correcta, pensemos ahora en la forma

siguiente:

Supongamos que existe un segundo observador pero que se encuentra a nivel

del piso y comienza a medir el tiempo simultáneamente con el primer observador,

esto es: observa la posición del proyectil a partir del piso al mismo tiempo que el

primer observador.

Ilustración:

¿cuál crees que sea el modelo que predice la posición del proyectil con respecto

al piso?

Respuesta

individual:_________________________________________________

________________________________________________________________

__

Respuesta

consensuada:_____________________________________________

________________________________________________________________

__

Para ver si tu modelo es correcto, contesta las preguntas siguientes y compara

tus respuestas con las que se obtienen en base al primer modelo:

200m

Plataforma que se retira

después del lanzamiento

0 m

31

a) ¿cuál es la altura sobre el piso del proyectil cuando t = 0?


___________________________________________


________________________________________

b) ¿cuál es la altura sobre el piso del proyectil cuando t = 3 segundos?


___________________________________________


________________________________________

c) ¿cuál es la altura y del proyectil cuando t = 30 segundos?


___________________________________________


________________________________________

Ahora, con este último modelo encuentra la altura sobre el piso cuando hayan

transcurrido 31 segundos.


________________________________________________


_____________________________________________

Compara esta Respuesta consensuada con la respuesta que se obtenía como

consecuencia del primer modelo.

Conclusiones:

Nuestras convenciones de que 4560 – 4805 = -(4805 – 4560) = - 155 y que este

resultado significa que tenemos 155 unidades por debajo del cero (o si esto se

interpreta en la recta numérica, tenemos 155 unidades a la izquierda del 0), nos

llevan a predicciones correctas y por lo tanto las tomaremos como convenciones

matemáticas adecuadas para estudiar tal fenómeno.

Conclusión:

De esta manera podemos convenir que todo real positivo a tiene asociado una

cantidad que se encuentra a la izquierda del cero y que se simboliza como – a.

Actividad 2, para el sub

– tema 5

Lectura y comprensión sobre la aceptación de –a,

como un número, donde a es un real positivo

Instrucciones

o lee con cuidado el texto siguiente.

o Trabajando en casa, contesta las preguntas que

se te hacen

o En clase, participa en la discusión que llevará a las

respuestas y conclusiones consensuadas


Introducción:

Hemos significado –a simplemente como la posición respecto al cero de una

cantidad a. ¿pero –a podemos aceptarlo como un número? y ¿estos negativos

junto con los positivos conforman un nuevo conjunto de números que coexisten

con los reales positivos?.

Para aceptar esto, es necesario que en este nuevo conjunto de números se

puedan definir las operaciones de suma, resta, multiplicación, y división, de tal

suerte que se mantengan las propiedades que ellas tenían en los reales positivos;

además que conduzcan a predicciones correctas en problemas teóricos y

prácticos.

La aceptación de los negativos como números reales tuvo lugar por los siglos VI

y VII, y no por muchos matemáticos.

Tenemos entonces que la comprensión de un negativo como un número real, no

es un asunto fácil, por ejemplo algunos filósofos cuestionaban respecto a la

existencia de 0 –a: ¿cómo que a la nada restamos una cantidad?

Tratemos de lograr esta comprensión mediante las actividades siguientes:

Consideremos la siguiente situación:

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 95 Km/h partiendo de una ciudad

A.

En un punto que se encuentra a una distancia de 332.5 Km de A, una persona

comienza a observar la posición del automóvil respecto a la ciudad A: Esto es, el

cronómetro empieza ha contar el tiempo cuando el automóvil pasa por ese punto.

Ilustración:

33

Encuentra el modelo algebraico que predice la distancia “y” del móvil, medida a

partir de la posición de la ciudad A.

Sugerencia: puedes auxiliarte de una tabla como la siguiente:

t : tiempo medido a partir del

observador, en horas

y: distancia del móvil medida a partir

de la posición de la ciudad A

0

1

2

3.5

.

.

.

t Respuesta

Individual

Respuesta

consensuada

Utiliza el modelo para predecir la posición del móvil en t = 6.5 horas.

Respuesta individual: ________________ Respuesta consensuada:

___________________

¿Puede el modelo predecir la posición del móvil una hora antes de que el

observador comienza a medir el tiempo?, esto es: cuando el tiempo es -1.

Si la respuesta es afirmativa, la posición sería:

332.5 metros

Posición del observador cuando t = 0

y = distancia del móvil a partir de A en un tiempo t, medido por el observador

34

Y = 332.5 + 95(- 1) = 332.5 + ¿______?

El segundo sumando es la multiplicación de un número positivo por lo que sería

un número negativo, ¿a qué es igual esta multiplicación?

Hay tres opciones:

a) es igual a cero

b) es un número positivo

c) es un número negativo.

Las dos primeras opciones resultan absurdas, luego sólo nos quedaría la tercera,

esto es:

y = 332.5 +(-95). Esto tendría sentido si aceptamos que que la suma de un número

positivo con un número negativo es equivalente a una resta, esto es: y = 332.5

+(-95) = 332.5 – 95 = 237.5 kilómetros.

En resumen hemos hecho dos convenciones: la multiplicación de un

número positivo por un número negativo es igual a un número negativo

y, que la suma de un número positivo con un número negativo, es

equivalente a una resta.

Pero falta ver si estas convenciones son adecuadas, esto es, ¿con ellas el modelo

predice correctamente?

Para decidirlo, pensemos en la forma siguiente:

Coloquemos en la ciudad A a otro observador que empieza a medir el tiempo a

partir de que el móvil sale de la ciudad A.

¿Cuál sería el modelo que predice la posición del móvil en relación a A?

Respuesta individual: _______________________________________________


____________________________________________

35

Con este modelo, ¿cómo calcularíamos la posición del móvil cuando haya

transcurrido un tiempo (medido por el segundo observador) una hora antes de

que el primero comenzó a observar?.

Lo que primero que tenemos que hacer es calcular el tiempo (medido por el

segundo observador) que al móvil le lleva recorrer 332.5 kilómetros. Esto lo

hacemos encontrando t en:

332.5 = 95t, y obtenemos: t = 3.5 horas.

Luego, una hora antes de que el primer observador comenzó a medir el tiempo,

para el segundo habrá transcurrido 3.5 – 1 horas o sea 2.5 horas.

Entonces la posición del móvil, según el segundo modelo es y = 95(2.5) = 237.5

kilómetros

Lo cuál coincide con la predicción del primer modelo si aceptamos las

convenciones hechas es ese momento.

¿qué pasa con las otras posibilidades de multiplicación?

b). Un número negativo por un número negativo

Hay dos opciones:

i). es un número negativo

ii).es un positivo

La primera opción no puede ser posible pues ya hemos aceptado que un número

positivo por un número negativo es negativo.

Luego, un número negativo por un número negativo debe ser un número

positivo.

Ejemplo: (-3/4)x(-5/8) = +(3/4)x(5/8) = +15/32

c) ¿A que es igual un número negativo por un número positivo?.

Si aceptamos que el conjunto de los números positivos junto con los números

negativos e incluido el 0, deben compartir las propiedades de las operaciones en

los positivos, la multiplicación debe ser conmutativa, luego:

36

Un número negativo por un número positivo debe ser un número negativo,

esto es:

-bxa = ax(-b) = - axb, donde a y b son números positivos.

Ejemplo: (-3/4)x2 = - (3/4)x2 = - 6/4 = -3/2

De lo anterior se deduce que -1(b) = -(1xb) = -b, donde b es positivo

¿Cómo se tendría que definir la división?

a). ¿A qué es igual –b/a, donde a y b son positivos?

Como debe mantenerse la propiedad: “en una división el dividendo es igual al

divisor por el cociente” deberíamos tener:

-b/a = c entonces: -b = axc, pero como a es positivo, c debe ser negativo por la

convención hecha anteriormente de que un número positivo por un número

negativo es igual a un número negativo.

De esta manera definimos:

-b/a = -(b/a), donde a y b son positivos

b). ¿A qué es igual a/-b, donde a y b son positivos?

Por la propiedad de toda división deberíamos tener:

a/-b = c entonces a = (-b)xc, y como a es positivo, entonces c debería ser negativo

por la definición hecha anteriormente “un número negativo por un número

negativo es un número positivo”

Luego definimos:

a/-b = -(a/b)

¿Cómo se tendría que definir la suma?

a). ¿A qué es igual a + (-b) donde a y b son positivos y b > a?

A través de la situación física del proyectil, hemos convenido que:

a + (-b) = - (b-a)

37

b). ¿A qué es igual a + (-b) donde a y b son positivos y a > b?

A través de la situación física del automóvil descrita anteriormente, hemos

aceptado como convención adecuada la siguiente: “la suma de un positivo con un

negativo, es equivalente a una resta aritmética, entonces definimos:

a + (-b) = a – b, que por la condición de que a > b, es un número positivo

c) ¿A qué es igual –b +(- c) donde b y c son positivos?

Para ello consideremos la siguiente interpretación de los negativos: un número

negativo en contexto de una situación real puede interpretarse como las deudas

de una persona, así para simbolizar que una persona debe $3, lo indicamos con

– 3 .

Luego si la persona debía b pesos y contrae otra deuda de c pesos, su deuda

actual se encontraría sumando a –b la deuda – c , esto es su deuda será de – b

+(- c ) y obviamente su deuda total será: - (b + c), un número negativo, así:

- b + (-c) = - (b + c), un número negativo

Una convención importante en el conjunto de los números reales

(positivos y negativos):

En la aritmética escolar de los números reales positivos, se consideran cuatro

operaciones básicas: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Cuando la aritmética se extiende a los números reales positivos y negativos, sólo

se consideran dos operaciones: la suma y la multiplicación. Nosotros en el

tratamiento de esta unidad consideraremos tres operaciones: la suma, la

multiplicación y la división; las dos últimas ya hemos visto cómo se definen, nos

falta ver cómo la resta se funde con la operación suma

Definición:

Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a – b = a + (-1xb)

Ejemplo: -3 – (-4) = -3 +(-1x(-4)) = -3 + (4) = -(4-3) = -1

Ejercicios de aplicación

Realiza las operaciones siguientes

Ejercicio 1 (-3)x4 =

Ejercicio 2 (-3/5)x(8/15)=

38

Ejercicio 4 6/5 =

Ejercicio 5 24/(-4) =

Ejercicio 6 (-8)/24 =

Ejercicio 7 6 + (-5)=

Ejercicio 8 7 + (-14) =

Ejercicio 9 (-6) + 7 =

Ejercicio 10 3/8 + (-5/7) =

Ejercicio 11

8 – 2(4 – 10) =

Para el profesor:

Para corregir las posibles respuestas incorrectas en

es conveniente que sigas las reglas:

Primero: se efectúan las operaciones encerradas

en los signos de agrupación

Segundo: se realizan las multiplicaciones y

divisiones que aparecen de izquierda a derecha

Tercero: se realizan las sumas que aparecen de

izquierda a derecha.

Tema 2 Las operaciones con los Racionales y su significado contextual

Introducción

El enfoque didáctico de la materia propone como columna vertebral la actividad

de resolución de problemas en la adquisición del conocimiento matemático, lo

cual implica tu capacidad para llevar a cabo esta actividad.

La actividad de resolución de problemas tiene como condiciones:

a). La capacidad para interpretar relaciones contextuales como operaciones

aritméticas.

b). La capacidad para efectuar estas operaciones, capacidad que lograrás

eficientemente cuando las reglas tengan sentido para ti, esto es cuando dichas

reglas surjan por descubrimiento en el contexto de resolución de problemas.

c). La capacidad para analizar relaciones contextuales presentes en el

planteamiento de un problema, engarzando unas con otras y traduciendo dichos

39

engarzamientos como una secuencia de operaciones que te llevarán a resolver el

problema

En este tema, desarrollarás dichas capacidades a través de la actividad de

resolución de problemas auxiliándote de estrategias llamadas heurísticas

Instruccione

s

o Como tarea extra-clase, desarrollarás en forma individual as

actividades que se te plantean, registrando tus respuestas en

el campo de respuesta individual.

o Ya en clase debes participar en la discusión de tales

actividades a fin de que tu actividad individual sea

retroalimentada, registrando los consensos a los que se

llegue, en el campo de respuesta consensuada.

o Si hay dificultades en la captura de las respuestas, en el

archivo, hazlo en papel sin descuidar el registro de la actividad

a la que respondes.

Sub-tema 1 Resolución de problemas con una sola operación

Aprendizajes

El alumno:

a) El alumno operará correctamente la suma, resta, división de

fracciones.

b) Traducirá aritméticamente relaciones contextuales.

Actividad 1

Resolución de problemas que llevan a una suma o resta y las

estrategias heurísticas: “dibujar un diagrama” “reducir un

problema a uno que se sabe resolver”


Instrucciones

Para el alumno:

En tu trabajo en casa:

o Lee con cuidado cada problema que se te propone resolver

tratando de seguir las sugerencias que se te hacen para su

resolución.

Resuelve los problemas siguientes:

Problema 1

Dos varillas se soldarán una tras otra. Una de ellas mide 3/5 de

metro y la otra 5/8 de metro. ¿Cuál será la longitud de la varilla

resultante?

40

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar

Traducción de una relación contextual como una suma

Regla para la suma de dos fracciones con distinto

denominador

Promover la habilidad para la generalización

Promover la habilidad para la inversión de un tren de

pensamiento

Sugerencias

heurísticas

Para la comprensión del problema:

¿cuál es la incógnita?

¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en otras

palabras: ¿qué condición debe satisfacer la incógnita?

Para la elaboración de un plan de resolución:

Plantéate un problema más sencillo. Por ejemplo: cambie los

datos (sin cambiar de su representación como fracciones) por

otros que sepa operar y vea si esto le es útil para resolver el

problema planteado.

Para la etapa de retrospección:

Inventa y resuelve un problema análogo al anterior

En la operación que empleaste, considera uno de los datos

como la incógnita y toma como datos el resultado de la

operación y el otro dato, ¿cómo encuentras esta nueva

incógnita?

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Conclusión: Respuesta individual:

41

¿qué se

hace para

sumar dos

fracciones?


Problema 2

Una pipa llena una alberca (originalmente vacía) a 3/7 de su

capacidad. Posteriormente se abre el desagüe y vacía los 2/5 de

su capacidad. ¿Qué parte de la capacidad queda?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar

Traducción de una relación contextual como una resta

Regla para la resta de dos fracciones con distinto

denominador



pensamiento

Sugerencias

heurísticas






Plantéate un problema más sencillo. Por ejemplo: cambie los

datos (sin cambiar de su representación como fracciones) por

otros que sepa operar y vea si esto le es útil para resolver el

problema planteado.


a) Inventa y resuelve un problema análogo al anterior

b) En la operación que empleaste, considera uno de los datos

como la incógnita y toma como datos el resultado de la operación

y el otro dato, ¿cómo encuentras esta nueva incógnita?

Respuesta

individual

42

Respuesta

consensuada

Conclusión

¿qué se

hace para

restar dos

fracciones?

Respuesta individual

Respuesta consensuada

Problema 3

Un campesino siembra el primer día 800 m2 y el segundo

3000000 cm2, ¿cuántos metros cuadrados sembró en los dos

días?

Conocimient

os que se

pretende

generar


Condición que deben satisfacer los datos para ser sumados



pensamiento

Sugerencias

heurísticas






¿Hay que modificar los datos?



43




Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 4 Rosario se comió 1/3 de un pastel y Guadalupe 2/5 partes del

mismo pastel, ¿Qué parte del pastel comieron entre las dos?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar


Consolidar la regla para sumar fracciones con distinto

denominador



pensamiento

Sugerencias

heurísticas






¿Hay que modificar los datos?






Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

44

Problema 5 Rubén tiene $2350 y Armando $1500. ¿En cuánto excede lo que

tiene Rubén a lo que tiene Armando?

Conocimient

os que se

pretende

generar

La relación exceso como una resta

Sugerencias

heurísticas





Para la ejecución del plan de resolución:

Checa la corrección de cada paso que das






Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 6

Una planta tiene una altura de 28/5 de metro, al transcurrir una

semana su altura alcanza los 27/3 de metro. ¿cuánto creció esa

semana?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar


Consolidar la regla para sumar fracciones con distinto

denominador


Promover la habilidad para la inversión de un tren de pensamiento

Sugerencias

heurísticas


45











Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 7 La velocidad de un móvil pasa de 120 km/hora a 90 km /hora. ¿En

cuánto disminuyó su velocidad?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Traducción de una relación contextual como una resta



pensamiento

Sugerencias

heurísticas









46




Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 8 Pedro dice a Juan: Si Yo te doy $15, tendremos igual cantidad de

dinero. ¿En cuánto excede lo que tiene Pedro a lo que tiene Juan

Sugerencias

heurísticas

Construye un diagrama que represente la situación planteada,

partiendo del estado después del movimiento de dinero y luego

piense hacia atrás y represente esto en el diagrama. Esto es,

parte dibujando el diagrama que represente la igualdad de dinero

y bajo qué condiciones se logra

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Cierre de la

actividad

Evaluación del aprendizaje en la actividad 1

Tu profesor te planteará, para trabajo individual, otros problemas

cuya solución implique la traducción de una relación contextual

en una operación de suma o resta.

Actividad 2

Resolución de problemas que llevan a una multiplicación o

a una división y las estrategias heurísticas: “dibujar un

diagrama” “reducir un problema a uno que se sabe resolver”

Problema 1 Un pedazo rectangular de cartulina ilustración tiene dimensiones

2/3 de m. por 3/5 de m. ¿Cuál es su área?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

El área como una multiplicación

Los procedimientos para multiplicar dos fracciones



pensamiento

47

generar o

consolidar

Sugerencias

heurísticas


a) ¿cuál es la incógnita?

b) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en

otras palabras: ¿qué condición debe satisfacer la

incógnita?

Para la elaboración de un plan:

Construya un diagrama que represente la situación. Dibuja un

diagrama que represente la unidad de área y divide sus

dimensiones en tercios y quintos respectivamente




a) Comprueba que la solución encontrada es la correcta

b) Inventa y resuelve un problema análogo al anterior

c) En la operación que empleaste, considera uno de los datos



Respuesta

individual

48

Respuesta

consensuada

Problema 2 Un pedazo rectangular de cartulina ilustración tiene dimensiones

a/b de m. por c/d de m. ¿Cuál es su área?

Habilidad

que se

pretende

promover

Habilidad para generalizar a partir de casos particulares

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Si el problema anterior no te fue suficiente para que logres la

generalización, pide a tu profesor te plantee otros ejemplos.

49

Problema 3 Un móvil se mueve a una velocidad uniforme de 120 Km/h durante

5.5 horas. ¿Qué distancia recorrerá en ese tiempo?

Conocimient

o que se

pretende

generar

Traducción como una multiplicación de una relación entre una

cantidad y la intensidad de ésta por unidad de otra cantidad y la

extensión de ésta última.

Definición: Se llama intensidad de una cantidad A sobre otra

cantidad B a la cantidad de A que corresponde por unidad de la

cantidad B y se calcula dividiendo A entre B.

Sugerencias

heurísticas


c) ¿cuál es la incógnita?

d) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en


incógnita?


a) Considera las definiciones de los términos mencionados en el

problema

b) Emplea una tabla o un diagrama y traduce el proceso que

sigues en el intento por encontrar la solución, empleando la

tabla o diagrama, como una operación aritmética.









50

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 4 Un móvil se mueve a una velocidad uniforme de 27/5 Km/h

durante 25/6 horas. ¿Qué distancia recorrerá en ese tiempo?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar

Traducción como una operación, de una relación entre una

cantidad y la intensidad de ésta por unidad de otra cantidad y

la extensión de ésta última.

Consolidar el algoritmo para multiplicar fracciones


Promover la habilidad para invertir un tren de pensamiento

Sugerencias

heurísticas


e) ¿cuál es la incógnita?

f) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en


incógnita?


Considera las definiciones de los términos mencionados en el

problema

Emplea una tabla o un diagrama y traduce el proceso que sigues

en el intento por encontrar la solución, empleando la tabla o

diagrama, como una operación aritmética.









51

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 5 En la compra de un artículo que cuesta $2550, se hace un

descuento del 30% ¿cuánto ahorra quien lo compre?

Conocimient

os que se

pretenden

consolidar

Traducción de una relación entre una cantidad y una fracción

de ésta como una multiplicación.

Consolidar el algoritmo para multiplicar fracciones

El % como una fracción decimal o fracción.

Estrategias

heurísticas

sugeridas


g) ¿cuál es la incógnita?

h) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en


incógnita?


a) Considera los significados de los términos mencionados en el

problema

b) Emplea un diagrama y traduce el proceso que sigues en el

intento por encontrar la solución empleando el diagrama,

como una operación aritmética.









Respuesta

individual

52

Respuesta

consensuada

Problema 6 Una persona invierte $3000 recibiendo mensualmente el 15% de

lo invertido. ¿en cuántos pesos creció su capital el primer mes?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Traducción del porcentaje de una cantidad como una

operación.

El % como una representación de un racional en su forma de

fracción decimal

El 1% de una cantidad como la centésima parte de la cantidad

El % como la razón en que se encuentra una cantidad a otra

(las dos refiriéndose a la misma unidad).

Un racional como la razón en que se encuentra una parte de

un todo al todo.



pensamiento

Sugerencias

heurísticas







problema

b) Construya un diagrama que represente la situación









53

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 7

El saldo de una cuenta de crédito bancario es de $15000,

recibiendo una amonestación del 20% mensual, sobre el saldo,

por no pago del mínimo a pagar. Si la persona, al transcurrir un

mes, no paga en el límite establecido por el Banco. ¿A cuánto

asciende la amonestación?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Consolidación de:

La traducción del porcentaje de una cantidad como una

operación

El % como una representación de un racional en su forma de

fracción decimal

El 1% de una cantidad como la centésima parte de la cantidad

El % como la razón en que se encuentra una cantidad a otra

(las dos refiriéndose a la misma unidad).

Un racional como la razón en que se encuentra una parte de

un todo al todo.



pensamiento

Sugerencias

heurísticas







problema





54






Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 8 Una persona debe $45000 y paga los ¾ de su deuda. ¿Cuánto

pagó?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Traducción de la fracción de una cantidad como una operación

aritmética.

Traducción de la relación contextual: razón en que se

encuentra una parte de una cantidad a la cantidad, como una

fracción.

Consolidación de la propiedad: dividendo = cociente x divisor



pensamiento

Sugerencias

heurísticas


i) ¿cuál es la incógnita?

j) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en


incógnita?



problema




55







Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 9 El precio original de un artículo es $3755. En una oferta solo se

paga el 70% de este costo, ¿cuánto le cuesta a quien lo compre?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar

La relación de una parte del todo al todo como una fracción

La traducción de una parte de un todo, como la multiplicación

del todo por la fracción que esta parte representa en relación

del todo

El algoritmo para multiplicar fracciones

El % como una fracción decimal o fracción.



Estrategias

heurísticas

sugeridas


k) ¿cuál es la incógnita?

l) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en


incógnita?



problema

b) Emplea un diagrama y traduce el proceso que sigues en el

intento por encontrar la solución empleando el diagrama,

como una operación aritmética.



56







Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 10

Una varilla que mide 234 cm es medida con otra que mide 32 cm.

¿Cuál es la medida de la primer varilla cuando se mide con la

segunda?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar

La traducción de la relación contextual de medir como una

operación aritmética.



Sugerencia

heurística



b) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en otras




problema

b) Emplea un diagrama o tabla y traduce el proceso que sigues

en el intento por encontrar la solución, empleando el diagrama

o tabla, como una operación aritmética.





57





Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 11 Una varilla que mide 3/8 de metro es medida por otra que mide

2/5 de metro, ¿cuál es su nueva medida?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Traducción del proceso de medida como la operación

aritmética.

Los procedimientos para dividir dos fracciones.



Sugerencias

heurísticas







problema

b) Inventa un problema en el mismo contexto pero con datos que

faciliten la visualización en un diagrama y ver si esto es útil

para resolver el problema original.






58




Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 12

Un móvil se mueve a velocidad constante de 61/3 Km/h. Si recorre

una distancia de 122/5 Km, ¿cuánto tiempo le lleva recorrer esta

distancia?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Traducción como una operación aritmética de una relación

entre una cantidad A y otra B, cuando se da como dato la

cantidad A y la intensidad de A sobre B

Consolidar la división entre fracciones



pensamiento

Sugerencias

heurísticas







problema

b) Emplea una tabla o un diagrama y traduce el proceso para

obtener la respuesta como una operación aritmética

59









Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 13

Una alberca, originalmente vacía, es llenada por una pipa

llenando el 35% de su capacidad cada hora. ¿Cuánto tiempo le

llevará llenar por completo la alberca?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Considerar el todo como la unidad

Traducir como una operación aritmética la relación entre una

cantidad A y otra B, cuando se dan como datos A (considerada

como la unidad), y la intensidad de A sobre B.

Consolidar la interpretación del % como una fracción.

Consolidar la operación de división entre fracciones.



pensamiento

Sugerencias

heurísticas





60


problema

b) Emplea una tabla o un diagrama y traduce el proceso para










Problema 14

En un problema se dan como datos una cantidad A y C que es

igual a la intensidad de A sobre otra B (C = A/B). Encuentra la

cantidad B

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar


Estrategias

heurísticas

sugeridas


a) Inventa uno o varios problemas como el 14 pero con datos

numéricos y ve si esto te sirve para responder el problema 14

Problema 15 Una persona hereda 5/3 de un terreno y vende 1/8 de su herencia,

¿qué parte del terreno original vendió?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar

Traducción como una operación aritmética de la parte que

representa de un todo, una fracción de otra parte del todo.

Una fracción como la razón en que se encuentran dos partes

del todo, en este caso: la incógnita a 5/3.

Consolidar la relación : dividendo = (divisor)(cociente)



61

Sugerencias

heurísticas

c) ¿cuál es la incógnita?

d) ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en otras



c) Considera los significados de los términos mencionados en el

problema

d) Emplea una tabla o un diagrama y traduce el proceso para










Problema 16 Verónica toma 3/7 de un pastel y Guadalupe se come 2/5 de la

parte de Verónica. ¿Qué parte del pastel se comió Guadalupe?

Habilidades

que se

pretende

promover

La generalización

Sugerencias

heurísticas

¿Has resuelto un problema similar?

Cierre de la

actividad


El profesor debe plantear, para trabajo individual, otros problemas

cuya solución implique la traducción de una relación contextual

en una operación aritmética.

Sub - tema

2

Resolución de problemas con más de una operación

Propósitos Promover la capacidad de análisis – síntesis en situaciones

que implican más de una operación.

Consolidar las operaciones con fracciones.

62

Promover las estrategias heurísticas: trazar un diagrama,

pensar en casos extremos, usar problemas del mismo tipo ya

resueltos, pensar hacia tras.

Promover la habilidad de generalización


Instrucciones

Para el alumno:

En tu trabajo en casa:

o Lee con cuidado cada problema que se te propone resolver

tratando de seguir las sugerencias que se te hacen para su

tratamiento.

o En el espacio reservado a la respuesta individual:

a) escribe la resolución al problema o tu intento de resolución

b) escribe tus dudas para que en el trabajo en clase las

plantees a tus compañeros o al profesor e insiste hasta

lograr comprensión

Actividad 1 Resuelve los problemas siguientes

Problema 1 De un terreno, una persona recibe 3/5 de él y vende ¼ de lo que

le tocó, ¿con qué parte del terreno se quedó?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Consolidación del todo como la unidad

Promover la habilidad de análisis – síntesis

Traducción como una secuencia de operaciones de la relación

entre dos partes de un todo cuando una de las partes está

dada como una fracción de otra parte

Consolidación de las operaciones de multiplicación y resta

entre fracciones



aprendizaje

Sugerencias

heurísticas

¿Cuál es la incógnita?

¿cómo está relacionada la incógnita con los datos?

¿Qué se puede encontrar con los datos numéricos dados?

En caso de que no se pueda responder a la anterior pregunta:

¿Hay un problema ya visto que te pueda servir?.

63

En el caso de la etapa retrospectiva: inventa un problema que se

pueda resolver de la misma manera

Problema 2 Sobre un artículo se hace un descuento del 25% pagándose

$1500. ¿cuál es el costo original del artículo?

Conocimiento

s y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Consolidar la interpretación del % como una fracción

Traducción como una secuencia de operaciones, la relación

entre dos partes de un todo y el todo (lo que se pagó, lo que

se descontó y el precio original del artículo), cuando una de

las partes es una fracción del todo



Estrategias

heurísticas

sugeridas



b) ¿qué relación guarda la incógnita con los datos?


a) Construya un diagrama que ilustre las relaciones en el

problema y vea si esto le sirve

Para la ejecución del plan:

Vea si cada paso es correcto

Para la etapa retrospectiva

a) Inventa un problema del mismo tipo con el mismo contexto de

contenido o con distinto contexto

b) Construye un problema a partir del problema 2, pero dando

como dato numérico lo que era la incógnita en él y sustituye

como incógnita uno de los datos. Resuelve el problema

Problema 3

En una carnicería se destazaron 136 animales entre pollos y

conejos. Si se tiraron 362 patas. ¿Cuántos pollos y cuántos

conejos se destazaron?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar

Promover la habilidad para realizar el proceso de análisis –

síntesis

Promover la habilidad para generalizar


El uso de la estrategia heurística: pensar en casos extremos

64

Sugerencias

heurísticas

En el caso de comprensión del problema:

¿cuál es la incógnita o incógnitas?

¿cómo está relacionada esta incógnita o incógnitas con los

datos?

En el caso de la etapa de elaborar un plan:

Haz un diagrama, ¿esto te sirvió? ¿ qué dificultades

encuentras en el diagrama para responder la pregunta?

Piensa en un caso extremo, por ejemplo: supón que todos

los animales son pollos y saca las consecuencias de ello.

En el caso de la etapa retrospectiva:

inventa un problema que se pueda resolver de la misma

manera

Problema 4

En cada una de cuatro bodegas hay igual cantidad de sillas. Si de

cada una se sacan 90 sillas, quedan en las cuatro juntas una

cantidad de sillas igual a las que había en una de ellas. ¿Cuántas

sillas había en cada bodega?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretenden

generar o

consolidar

Promover la habilidad para el análisis – síntesis


El uso de la estrategia: elaborara un diagrama

Sugerencias

heurísticas



¿Cómo están relacionadas esta o estas incógnitas con los

datos?

En el caso de elaboración de un plan:

Haz un diagrama que represente la acción de quitar y su

resultado y en el mismo diagrama representa el resultado

final.

En el caso de la visión retrospectiva:

65

Inventa un problema que se pueda resolver de la misma

manera, cambiando el contexto y los datos.

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 5

En la sala de conferencias de un congreso había un cierto número

de bancas y un cierto número de personas. Cuando las personas

fueron sentadas de 5 en 5, cuatro quedaron paradas, y cuando

fueron sentadas de 6 en 6, sobraron 2 bancas. ¿Cuántas

personas y cuántas bancas había en la sala?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



El uso de la estrategia: elaborara un diagrama

Sugerencias

heurísticas


¿cuáles son las incógnitas?

¿Cómo están relacionadas estas incógnitas y los datos?

En el caso de elaboración de un plan y cuando el alumno no ha

logrado concebir un plan exitoso:

Haz un diagrama que represente las bancas y el resultado

de sentar de 5 en 5, luego haz otro diagrama que represente

las bancas y pregúntate ¿cómo pasar del primer diagrama al

segundo, esto es, el caso en que se sientan de 6 en 6


Inventa un problema que se pueda resolver de la misma manera,

cambiando el contexto y los datos.

66

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 6

Tenía cierta cantidad de huevos, primero vendí la mitad mas

medio huevo, luego de lo que me quedó vendí la mitad mas medio

huevo, luego de lo que me quedo vendí la mitad mas medio

huevo, si al final me quede con un huevo, ¿Cuántos tenia

originalmente?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



El uso de la estrategia: pensar hacia atrás

Sugerencias

heurísticas






Piensa hacia atrás, esto es: parte tu razonamiento de la

última situación de venta.




Respuesta

individual

67

Respuesta

consensuada

Problema 7

Un automóvil hace un recorrido de 562Km en 8 horas. Una parte

lo hace a una velocidad constante de 60Km/h y otro a 120Km/h.

¿Cuántas horas viajó a 60Km/h y cuántas a 120Km/h?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



El uso de la estrategia: ver si se ha resuelto un problema del

mismo tipo

Promover la abstracción de la estructura de relaciones en dos

problemas y encontrar diferencias

Estrategias

heurísticas

sugeridas




Piensa en un plan de resolución



Piensa si has resuelto un problema del mismo tipo pero con

distinto contexto de contenido


Inventa un problema que se pueda resolver de la misma manera,

cambiando el contexto y los datos.

Respuesta

individual

68

Respuesta

consensuada

Problema 8

La azúcar blanca cuesta 5 pesos el kilo y la azúcar morena cuesta

4 pesos el kilo. En una caja ya tengo 60 kilos de azúcar morena;

¿cuántos kilos de azúcar blanca debo agregar para que pueda

vender tal caja en 450 pesos?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



El uso de la estrategia: ver si se ha resuelto un problema

parecido

Promover la abstracción de la estructura de relaciones en un

problema

Estrategias

heurísticas

que se

pretende

generar o

consolidar






Piensa si has resuelto un problema del mismo tipo pero con

distinto contexto de contenido




Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

69

Problema 9

Discutían Areli y Miguel sobre quién tenía más dinero y Areli dijo

a Miguel: Si yo te doy $15 tendremos igual cantidad de dinero,

pero en cambio, si tu me los das, yo tendré el doble de lo que te

quede a ti. ¿Cuánto tiene Areli y cuánto tiene Miguel?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



El uso de la estrategia: el uso de un diagrama para ayudar en

el proceso de análisis - síntesis

Promover la abstracción de la estructura de relaciones en un

problema

Estrategias

heurísticas

que se

pretende

generar o

consolidar



¿Cuáles son las condiciones a las que están sujetas las

incógnitas?



Elabora un diagrama que represente las dos condiciones de

tal manera que puedas comparar las acciones en cada una

de ellas, por ejemplo:

Para iniciar el diagrama, primero contesta ¿quién tiene más?

Diagrama para la primera condición:

A M A

$15

$15

Situación original

M

Resultado de la

primera acción

70

¿El diagrama anterior te dice algo sobre lo que tienen Areli y

Miguel originalmente?

Respuesta

individual:___________________________________

Respuesta

consensuada:________________________________

Diagrama para la segunda condición:

¿El anterior diagrama te dice algo sobre lo que le quedó a Miguel

después de la segunda acción?

Respuesta

individual:___________________________________________

__________

Respuesta

consensuada:________________________________


$15

Situación original Resultado de la

segunda acción

A M A M

$15

$15

$15

71



Respuesta

individual al

problema

Respuesta

consensuada

al problema

Problema 10

Entre Areli y Miguel tienen $3505. Areli se gastó 2/5 de su dinero

y Miguel la mitad de su dinero, resultando con ello que ambos

tienen igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tenían cada uno?

Conocimient

os y

habilidades

que se

pretende

generar o

consolidar



Promover la habilidad para abstraer la estructura de

relaciones de un problema

El uso de la estrategia: pensar si el método de solución de

algún problema visto anteriormente puede ser útil

Estrategias

heurísticas

que se

pretende

generar o

consolidar

Decide que estrategias seguirás para resolver el problema




Respuesta

individual

72

Respuesta

consensuada

Cierre de la

actividad


El profesor debe plantear, para trabajo individual, otros problemas

cuya solución implique la ejecución de una secuencia de

operaciones donde la representación de las cantidades estén

dadas en sus diversas simbolizaciones.

Actividad 2 Clasificando problemas

Propósitos

Promover la habilidad para la generalización clasificando una lista

de problemas como problemas de un tipo o como problemas en

los que se puede usar uno ya resuelto

Instrucciones

La lista de problemas siguiente contiene problemas cuyas

incógnitas y relaciones entre ellas y los datos son las mismas que

las que están presentes en algún problema de: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 o 10 de la actividad 1. Tu debes señalar con esos códigos

aquellos problemas que correspondan. También hay problemas

que no corresponden a ningún tipo, los cuales señalarás con

“no”. Hay también problemas para los que en la resolución

puedes usar algún problema de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, ellos

señálalos con a1 o a2, etc.

Una vez hecha la clasificación, resuélvelos.

Problema

En un corral hay pollos y conejos, cuento las cabezas y son 44,

cuento las patas y son 122. ¿Cuántos conejos y cuántos pollos

son?.

Una línea hidráulica de longitud 233m. contiene 34 tubos de 5m.

y 8m. ¿Cuántos tubos de 5 y cuántos de 8 contiene?

problema Se tienen $11.30 en 78 monedas de a 20 cts. y de 10 cts.

¿Cuántas monedas son de 10 cts. y cuántas de 20 cts.?

Problema Hay un cierto número de jaulas y un cierto número de conejos. Si

en cada jaula se mete un conejo, uno queda fuera. Si en cada

73

jaula se meten dos conejos, dos jaulas quedarán vacías.

¿Cuántas jaulas y cuántos conejos hay?

Problema

Alejandra pagó $21.43 por una colección de 7 películas. Algunas

le costaron $3.94 y las demás $1.89. ¿Cuántas películas de cada

tipo compró?

Problema

Un camión se renta en un precio fijo. Si todos los asientos se

llenan, cada pasajero pagaría $150. Pero si faltan 5 pasajeros,

cada uno de los asistentes tendría que pagar $168.75. ¿Cuántos

asientos tiene el autobús y cuál es el precio de la renta?.

Problema

¿Cuánto fríjol de $10 el kilogramo y cuánto de a $15 el kilogramo

deberán mezclarse para obtener 100 kilogramos de una mezcla

que por su venta se obtenga $1295?

Problema

En una reunión reciente de la Nacional Collegiate Athletic

Association hubo 11000 asistentes, quienes pagaron un total de

de $79000 en inscripciones al evento. Los estudiantes pagaron

$5 cada uno y los no estudiantes $8 cada uno. ¿Cuántos

asistentes hubo de cada tipo?

Problema

En una barata de 3x1 (pague una y lleve tres), en realidad se

obtuvo un descuento de $500 por camisa, ¿Cuál era el costo

original de cada camisa?

Problema

. Un automóvil hace un recorrido de 450 km. durante 5 horas

moviéndose siempre a velocidad uniforme. Si 150 km. los recorrió

a una velocidad de 60km/h y el resto a otra velocidad, ¿a qué

velocidad uniforme se movió después de los primeros 150km.?

Problema

Entre Víctor y Miguel tienen $1505. Víctor se gasta 2/5 partes de

su dinero, pero después, Miguel le da ¼ de su dinero, resultando

con ello que a ambos les queda igual cantidad de dinero

Cierre de la

actividad

Evaluación:

1. Armando presto la mitad de sus discos de acetato mas medio

disco a Gerardo, y aun así este pudo escuchar la totalidad de

lo prestado. ¿Cómo fue posible esto?.

2. De acuerdo a un plan, una fábrica de muebles debe hacer un

cierto número de mesas en un cierto tiempo, haciendo 48

74

mesas por día. Sin embargo hace dos mesas más cada día

terminando el trabajo 3 días antes. ¿Cuántas mesas y en que

tiempo se tenían que hacer?.

3. Un papá puso a su hijo 20 problemas. Por cada problema bien

resuelto el padre da su hijo $6 pesos y por cada no resuelto el

hijo debió pagar $4. Si al final el hijo ha ganado $50, ¿cuántos

resolvió bien?.

4. Un contratista mezcló dos lotes de concreto que tenían 9.3%

y 11.3% de cemento para obtener 4500 lb de concreto que

contiene 10.8% de cemento. ¿Cuántas libras de cada tipo de

concreto utilizó?

Tema 3 Potencias y radicales

Introducción:

En muchos contextos, por ejemplo en Física o en Álgebra, aparecen expresiones

que indican que una misma cantidad será multiplicada varias veces por si misma.

Por ejemplo 24 o 105, las cuales significan realizar las multiplicaciones siguientes:

2x2x2x2 y 10x10x10x10x10, trabajar con estos significados resulta tedioso. Pero

esto puede resolverse de una forma económica.

Para ello definiremos el concepto de Potencia entera positiva de un número y las

operaciones que se pueden realizar con ellas. Posteriormente generalizaremos el

concepto y sus operaciones

Aprendizajes Operarás correctamente con potencias y

radicales con la misma base

Sub – tema 1

Definición de potencia entera positiva de

un número y las operaciones de

multiplicación, división y potencia de una

potencia

Aprendizajes

75

Comprenderás el concepto de potencia

entera de un número.

Operarás con potencias enteras con la

misma base

Actividad 1 Definición de potencia entera positiva de

un número

Propósitos

Comprenderás el concepto de potencia entera

de un número


El concepto de potencia entera positiva de un número:

Las multiplicaciones:

a) 3x3x3x3x3x3

b) (2/3)x(2/3)x(2/3)

c) (√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)

Se sintetizan mediante los símbolos: 36, (2/3)3 y (√𝟐)𝟑respectivamente

Tomando en cuenta lo anterior, sintetiza mediante un símbolo las multiplicaciones

siguientes:

1. (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) =

2. (21/4) (21/4) (21/4) (21/4) =

3. (3.1416) (3.1416) (3.1416) =

4. (4) (4) (4) =

5. (a)(a)(a)(a)(a) =

6. (a)(a)(a)…(a)(a) =

Definiciónes:

1. Se llama “Potencia n – ésima de un número real “a” y se simboliza como

(a)n a la multiplicación siguiente:

(a)(a)(a)(a)…(a), esto es, la multiplicación de a, n veces.

n veces

76

Tomando en consideración la anterior definición, escribe el significado de los

símbolos siguientes:

1. (-3)4 =

2. (-5)3 =

3. (√𝟓𝟑

)7 =

4. (6)5 =

2. En la potencia (a)n , a recibe el nombre de Base de la Potencia y n

Exponente de la Potencia.

Tomando en consideración las definiciones anteriores, identifica las bases y los

exponentes de las potencias siguientes:

1. (-6)4 , su base es___, su exponente es______

2. (2)4 , su base es___, su exponente es______

3. (- 𝟓

𝟕)4 , su base es_____, su exponente es______

4. (√𝟐)3, su base es________, su exponente es ________

Actividad 2 Operaciones con potencias de la misma

base

Propósitos

En esta actividad veremos que las potencias

de un número se pueden multiplicar, dividir y

elevar a un exponente obteniendo como

resultado otra potencia del mismo número


Multiplicación entre potencias enteras positivas con la misma base

Considera las multiplicaciones siguientes:

1. (3)4(3)2, según el significado de los símbolos:

(3)4(3)2= (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) = (3)6

2. (−𝟕

𝟐)3(−

𝟕

𝟐)5 = (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) (−

𝟕

𝟐) = (−

𝟕

𝟐)8

3. Generalización, escribe el resultado de la multiplicación siguiente en

forma de una potencia

(a)n(a)m =

77

Conclusión:

La multiplicación de dos potencias con la misma base es igual:

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____

División de dos potencias con la misma base y el exponente del

divisor menor que el del dividendo

Considera las divisiones siguientes:

1. (𝟐)𝟓

(𝟐)𝟑 Considerando las definiciones de los símbolos:

(𝟐)𝟓

(𝟐)𝟑=

(𝟐)(𝟐)(𝟐)(𝟐)(𝟐)

(𝟐)(𝟐)(𝟐)

y por definición de multiplicación de fracciones:

(𝟐)𝟓

(𝟐)𝟑=

(𝟐)(𝟐)(𝟐)(𝟐)(𝟐)

(𝟐)(𝟐)(𝟐)= (

𝟐

𝟐) (

𝟐

𝟐) (

𝟐

𝟐) (

𝟐

𝟏) (

𝟐

𝟏) = (𝟏)(𝟏)(𝟏)(𝟐)(𝟐) = 𝟐𝟐

2. (−𝟑)𝟒

(−𝟑𝟐) considerando la definición de los símbolos:

(−𝟑)𝟒

(−𝟑)𝟐=

(−𝟑)(−𝟑)(−𝟑)(−𝟑)

(−𝟑)(−𝟑)


(−𝟑)𝟒

(−𝟑)𝟐=

(−𝟑)(−𝟑)(−𝟑)(−𝟑)

(−𝟑)(−𝟑)(−𝟑)= (

−𝟑

−𝟑) (

−𝟑

−𝟑) (

−𝟑

−𝟑) (

−𝟑

𝟏) (

−𝟑

𝟏)

= (𝟏)(𝟏)(𝟏)(−𝟑)(−𝟑) = (−𝟑)𝟐

3. (√𝟐)

𝟓

(√𝟐)𝟐 Considerando las definiciones de los símbolos:

(√𝟐)𝟓

(√𝟐)𝟐

= (√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)

(√𝟐)(√𝟐)


78

(√𝟐)𝟓

(√𝟐)𝟐

= (√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)(√𝟐)

(√𝟐)(√𝟐)=

(√𝟐)

(√𝟐)

(√𝟐)

(√𝟐)

(√𝟐)

(𝟏)

(√𝟐)

(𝟏)

(√𝟐)

(𝟏)

= (𝟏)(𝟏)(√𝟐)(√𝟐)(√𝟐) = (√𝟐)𝟑

Considerando los 3 casos anteriores di a que es igual

𝒂𝒏

𝒂𝒎 𝒄𝒐𝒏 𝒏 > 𝒎


______________________________________________


___________________________________________

Conclusión:

La división entre potencias de la misma base cuando el exponente del

dividendo es mayor que el del divisor, es igual a:

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____

Potencia de una potencia

Considera las potencias siguientes elevadas a los exponentes indicados y

exprésalas como una potencia de la misma base

1. ((2)5)3 = ((2)(2)(2)(2)(2))3 = (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

= (2)15

2. ((−𝟐

𝟓)

𝟑

)𝟐

= ((−𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓))

𝟐

=

= (−𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) (−

𝟐

𝟓) = (−

𝟐

𝟓)

𝟔

Considerando los dos ejercicios anteriores:

3. ¿A qué es igual (an)m?


_______________________________________________

79


____________________________________________

Conclusión:

Cuando una potencia se eleva a un exponente entero positivo, el resultado

es otra potencia con _______________________________________________

Sub – tema 2 Definición de potencia entera negativa de

un número.

Aprendizajes

Comprenderás el concepto de potencia

entera negativa de un número

Actividad 1 Definición de potencia entera negativa de

un número

Introducción a la actividad

En el subtema anterior hemos definido

potencia entera positiva de un número como el

símbolo que representa una multiplicación

repetida con ese número.

¿Tendrá sentido definir una potencia cuando

el exponente es negativo?, esto es ¿qué

significaría 2-3?.

Obviamente, el significado de tal expresión ya

no puede ser el multiplicar el 2, menos tres

veces por si mismo. No obstante, se le puede

dar significado a potencias de ese tipo como lo

veremos en seguida


primero veamos que significaría a0:

80

Consideremos la división entre las potencias ap y ap donde p es un entero positivo

y a un número real, esto es: 𝒂𝒑

𝒂𝒑

Tomando en cuenta la propiedad general de una división aritmética:

𝒂𝒑

𝒂𝒑 = 1

Ahora considerando las reglas vistas para operar potencias con la misma base y

exponente positivo:

𝒂𝒑

𝒂𝒑= 𝒂𝒑−𝒑 = 𝒂𝟎

Entonces: a0 = 1

Ahora veamos qué significaría a-p , donde a es un número real y p entero

positivo y por lo tanto – p un entero negativo:

Tomando en cuenta las reglas para operar con potencias con exponente entero

positivo ahora incluyendo el exponente 0, ¿A qué es igual 𝟏

𝒂𝒑 ?

Por lo visto anteriormente:

𝟏

𝒂𝒑=

𝒂𝟎

𝒂𝒑= 𝒂𝟎−𝒑 = 𝒂− 𝒑

Luego entonces:

𝒂− 𝒑 = 𝟏

𝒂𝒑

Cierre de la actividad:

Ejercicios de significación:

Escriba el significado de las potencias siguientes:

1) 2-3 =

2) (√𝟑)−𝟓

=

3) (𝟖

𝟕)

−𝟑

=

4) (−𝟐𝟎

𝟓𝟏)

−𝟕

=

Sub - tema 3 Potencia de un número con exponente

fraccionario.

81

Propósito

Comprenderás el significado de una potencia

cuando el exponente es una fracción


En los dos sub – temas anteriores hemos dado

significado a la potencia an cuando a es un real

y n es un entero (positivo o negativo)

¿Tendrá sentido ahora hablar de una potencia

de la forma 𝑎𝑝

𝑞, donde a es un real, p y q dos

enteros?. La respuesta a ello es afirmativa

pero excepto en el caso siguiente:

Si a es negativo, p impar y q cualquier número

entero positivo par.


Consideremos la pregunta siguiente:

¿Es posible expresar el resultado de la raíz q – ecima, de una potencia como una

potencia con la misma base de la potencia del sub - radicando?

Demos respuesta a la pregunta considerando la definición de la raíz q – ecima y

la condición de que el resultado pueda expresarse como una potencia con la

misma base que la potencia que aparece en el sub - radicando en los casos

siguientes:

1) √𝟐𝟒𝟑 ¿es posible de ser expresado como 𝟐𝒙?, esto es:

¿es posible que √𝟐𝟒𝟑= 𝟐𝒙?.

Si esto fuera posible, por definición de raíz cúbica, deberíamos tener:

(𝟐𝒙)𝟑 = 𝟐𝟒

ahora, suponiendo que sigue siendo válida la regla para elevar a un exponente

una potencia, tendríamos:

𝟐𝟑𝒙 = 𝟐𝟒

de donde concluiríamos que 3x debe ser igual a 4 o 3x = 4, y por lo tanto: x debería

ser 4/3, si todo lo anterior es aceptado, entonces podemos definir que:

𝟐𝟒𝟑 = √𝟐𝟒𝟑

82

lo que le da sentido aritmético a la potencia 𝟐𝟒

𝟑.

En general se define:

𝒂𝒑

𝒒 = √𝒂𝒑𝒒, para todos los casos excepto para a negativo p impar y q

número entero positivo par. …………………………………

Ejercicios de comprensión del concepto:

Escribe el significado aritmético de las siguientes potencias y calcula con

calculadora su valor:

1) 𝟒𝟓

𝟐

Respuesta individual: 𝟒𝟓

𝟐 =

Respuesta consensuada: 𝟒𝟓

𝟐 =

2) (−𝟑)𝟒

𝟑

Respuesta individual: (−𝟑)𝟒

𝟑 =

Respuesta consensuada: (−𝟑)𝟒

𝟑 =

3) (𝟒

𝟑)

𝟓

𝟔

Respuesta individual: (𝟒

𝟑)

𝟓

𝟔=

Respuesta consensuada: (𝟒

𝟑)

𝟓

𝟔=

¿Existe como número real la potencia siguiente?, Argumenta aritméticamente

tu respuesta:

(−𝟑)𝟑𝟐



83

Sub – tema 4

Multiplicación y división entre potencias de

la misma base y potencia de una potencia,

con exponentes enteros o fraccionarios

Aprendizajes

Operarás con potencias de la misma base sin

importar que el exponente sea entero o

fraccionario.


Por cuestiones de tiempo, te presentaremos

las reglas para operar con potencias sin

justificación a lo que seguirá una serie de

ejercicios para lograr que las retengas.


Convención:

La multiplicación, división y potencia de una potencia cuando los exponentes son

enteros o fraccionarios deben seguir las mismas reglas que cuando los

exponentes son enteros positivos.

Así:

Regla para la multiplicación entre potencias de la misma base y

exponentes enteros o fraccionarios:

Si a es un número real, n y m son números enteros o fraccionarios,

entonces:

(𝒂𝒏)(𝒂𝒎) = 𝒂𝒏+𝒎

Regla para la división entre potencias de la misma base y exponentes

enteros o fraccionarios:


entonces:

𝒂𝒏

𝒂𝒎= 𝒂𝒏−𝒎

Regla para obtener una potencia de una potencia cuando los

exponentes son enteros o fraccionarios:

84


entonces:

(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏𝒎

Ejercitación para la comprensión de las reglas:

Efectúa las operaciones siguientes aplicando las reglas para operar con potencias

de la misma base

Operación Respuestas individuales y consensuadas

1) (𝟕𝟓) (𝟕𝟐

𝟑) Respuesta individual:


2) (𝟕𝟓−𝟐)(𝟕𝟓𝟐) Respuesta individual:


3) (𝟏𝟎𝟖𝟑𝟔)(𝟏𝟎𝟖−𝟑𝟓) Respuesta individual:


4) ((−𝟐)𝟕

𝟔) ((−𝟐)−𝟑) Respuesta individual:


5) [(𝟐𝟓

𝟗)

𝟑

𝟐] [(

𝟐𝟓

𝟗)

−𝟏

] Respuesta individual:


6) (−𝟕)𝟐

(−𝟕)𝟑 Respuesta individual:


7) 𝟑𝟒

𝟑𝟑𝟐



8) (

𝟑

𝟓)

𝟏𝟐

(𝟑

𝟓)

𝟏



9) (𝟓𝟏

𝟐)𝟐



10) (𝟓−𝟏

𝟐)𝟐



85

Tema 4 Expresando la Generalidad

Introducción:

El expresar la generalidad es una de las funciones del álgebra y es así mismo,

una actividad para promover el paso de la Aritmética al Álgebra.

Las actividades que enseguida te proponemos pretenden promover la expresión

de la generalidad apoyándose en la aritmética, la visualización y la habilidad para

descubrir patrones numéricos y geométricos

Aprendizajes

Reconocerás patrones numéricos y geométricos en

situaciones problemáticas y modelarás la forma general

de su comportamiento.

Habilidades que se

pretende promover

Habilidad para la generalización y su expresión

Estrategias que se

pretende promover

El uso de diagramas y tablas, el análisis de casos

particulares el usar un problema ya resuelto y el pensar

hacia atrás

Actividad 1 Resolución de problemas


Problema 1 Encuentra una fórmula para calcular la suma de los

ángulos internos de un polígono de n lados

Sugerencias

heurísticas

Elabora una tabla donde registres esta suma para los

casos de 3, 4, 5, 6, etc. para ello, auxíliate de dibujos

donde trates de visualizar si un caso conocido puede

servirte.


86

Respuesta

consensuada

Problema 2 Encuentra la fórmula para calcular el número de

diagonales de un polígono de n lados

Sugerencias

heurísticas

Elabora una tabla donde registres el número de

diagonales para polígonos de 3, 4, 5, 6, etc. expresando

este número indicando la secuencia de operaciones que

hay que realizar sin efectuar las operaciones. Para realizar

lo anterior, auxíliate de dibujos


Respuesta

consensuada

87

Problema 3 Dados n puntos en el plano, encuentra la fórmula para

calcular el número de rectas que pasan por esos puntos.

Sugerencias

heurísticas

Selecciona las estrategias heurísticas convenientes para

elaborar un plan y su ejecución

Aprendizajes que

se pretenden

Promover la independencia en la resolución de problemas


Respuesta

consensuada

88

Problema 4

En un programa de ahorro se obtiene como ganancia el

15% anual. Encuentra la fórmula para calcular el capital

obtenido al transcurrir x años.

Sugerencias

heurísticas

Selecciona las estrategias heurísticas convenientes para

trazar un plan y su ejecución


Respuesta

consensuada

Problema 5

Se llama números triangulares aquello números que

pueden ser representados por un conjunto de puntos

ordenados en una configuración geométrica que

corresponde a un triángulo, por ejemplo:

1er número

triangular

2º 3º

89

Encuentra una fórmula para encontrar el número de

puntos que tiene el enésimo número triangular

Sugerencias

heurísticas

Para trazar un plan:

En los ejemplos dados trata de visualizar un patrón en el

conteo de los puntos

Problema 6

Se llama número cuadrado aquellos números que pueden

ser representados por un conjunto de puntos ordenados

en una configuración geométrica que corresponde a un

cuadrado, por ejemplo:

Encuentra una fórmula para encontrar el número de

puntos que contiene el enésimo número cuadrado

Sugerencias

heurísticas

¿Algún problema visto con anterioridad puede servirte

para elaborar un plan?


1er Número

cuadrado

2º 3º

90

Respuesta

consensuada

Problema 7 Encuentra una fórmula para encontrar la suma siguiente:

1 + 2 + 3 + 4+ 5 +…+n

Sugerencias

heurísticas

Para elaborar un plan:

¿Alguno o algunos de los problemas antecedentes

puede ayudarte?

Si no te fue posible aprovechar la anterior sugerencia

considera la sugerencia siguiente:

En cada uno de los casos anteriores de números

cuadrados, ¿puedes trazar una línea que te sirva para

visualizar la aplicación de la solución de un problema

anterior?


Respuesta

consensuada

91

Problema 8

Observa la secuencia numérica siguiente:

1, 3, 5, 7, 9,…

Encuentra la forma que tiene el enésimo término, esto es,

el término que se encuentra en el lugar n de la lista

Sugerencias

heurísticas

Para elaborar un plan:

Busca cómo encontrar uno de los términos a partir del

anterior

En la reflexión sobre lo logrado:

¿El anterior resultado puede ser usado para para resolver

otro problema?

¿puedes generalizar el problema original?

Problema 9

El juego llamado Torre de Hanói consiste en lo siguiente:

Se tiene una base con tres vástagos alineados y un cierto

número de discos de distinto diámetro que pueden

insertarse en los vástagos.

El juego consiste en originalmente tener insertados los

discos en el vástago de la izquierda ordenados de mayor

a menor diámetro de abajo hacia arriba y lograr pasar tal

torre al vástago de la derecha siguiendo las reglas

siguientes:

1ª un disco puede pasar de su posición inicial a cualquiera

de los vástagos restantes.

2ª nunca un disco de menor diámetro puede ir colocado

debajo de uno de mayor diámetro.

El problema consiste en hallar la forma para calcular el

número mínimo de pasos que son necesarios para

alcanzar la meta del juego cuando se tengan n discos

92

Sugerencias

heurísticas

puedes emplear el dibujo siguiente, donde es posible

mover los discos señalándolos con el cursor y

arrastrándolos. Al colocar un disco en otra posición,

hazlo dejando entre ellos una distancia de

aproximadamente un centímetro, de lo contrario los

discos se moverán de sus posiciones

Primero intenta con casos de 1, 2, 3, 4, etc. discos. Si

no descubres un patrón de comportamiento, intenta lo

siguiente:

En el dibujo anterior, coloca la posición de los discos

cuando ya se tenga oportunidad de pasar el disco más

grande al vástago de la derecha para los casos 3 o 4

discos, ¿encuentras un comportamiento semejante en

los dos casos?, ¿esto te sirve?. Aunque no hayas

resuelto el problema para ningún caso simboliza con

N2 el número de pasos para 2 discos y así con N3 , N4

para tres y cuatro discos.

Ahora si, analiza los casos 1, 2, 3, 4, etc. discos y

registra el número de pasos sin realizar las

operaciones sólo indicando la secuencia. A lo más

puedes transformar la expresión quitando paréntesis o

simbolizando potencias. Esto es si tienes una

expresión como: a(a + b) se puede transformar como

aa + ab = a2 + ab.

93

Respuesta Individual

Número de

discos

Número de pasos

1

2

3

4

n

Respuesta

consensuada

Número de discos Número de pasos

1

2

3

4

n

Cierre de la

actividad

Evaluación:

Resuelve los problemas siguientes:

1. En una reunión asisten “n” personas y cada uno de

ellos saluda a los demás. ¿Cuántos saludos distintos

se dieron entre todos?.

2. En la sucesión: 2, 7, 12, 17,…

Encontrar la fórmula para encontrar el enésimo término.

3. En la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, …

Encontrar la fórmula para encontrar el enésimo término.

4. En la tabla siguiente se registran algunos valores que

corresponden a una variable y dependiendo de los

valores que toma otra variable x.

x y

1 -1

2 2

3 7

94

4 14

Encuentra la fórmula para encontrar y a partir de x

Actividad final: Presentación de examen escrito

El examen tendrá un contenido que se ajuste a lo que debes ser capaz de

realizar al final de la unidad y que aparece expresado en el propósito general

de la unidad.

95

Unidad 2: Variación directamente proporcional y funciones lineales.

Presentación.

En esta unidad aprenderás el significado de variación entre dos magnitudes,

variable dependiente e independiente, razón de cambio entre dos variables

relacionadas, representación tabular de la variación directamente proporcional entre

dos magnitudes, el patrón gráfico de una variación directamente proporcional,

interpretación de los puntos del patrón gráfico como estados de la variación no

registrados en una representación tabular, el punto en el origen y la inclinación del

gráfico como indicadores esenciales de una variación directamente proporcional.

Asimismo, denotarás la expresión 𝑦 = 𝑘𝑥 como representación de una variación

directamente proporcional, el parámetro 𝑘 como la rapidez de variación o razón de

cambio, el parámetro 𝑘 como indicador de la inclinación del gráfico de la variación,

𝑘 como una constante en una variación directamente proporcional.

Por otro lado, aprenderás el concepto de función lineal, representación analítica de

una función lineal, identificación de los elementos definitorios de una función lineal

empleando las representaciones gráfica y analítica como condición inicial y rapidez

de variación.

Asignatura Matemáticas 1

Unidad Unidad 2. Variación directamente proporcional y funciones

lineales.

Propósito de la

unidad

Al finalizar, el alumno:

Modelará y analizará situaciones que involucren la variación

entre dos cantidades en los casos en que la razón de sus

incrementos sean proporcionales; utilizando los registros

tabular, gráfico y algebraico, con la finalidad de que se inicie

en el estudio de la variación, la idea de relación funcional, sus

conceptos asociados y, continúe la comprensión del lenguaje

algebraico como la representación de la generalidad.

Tema 1 Variación directamente proporcional

96

Sub-tema 1 Problemas de aplicación para iniciar la unidad.

Aprendizajes

Con estos problemas se pretende que adquieras los

conceptos mínimos, como son variación entre dos variables,

variable dependiente e independiente, razón de cambio y

constante de proporcionalidad.

Planeación

Fase de

planeación

Inicio, intermedio, fin

Se te enviará por correo el archivo sobre la actividad

que se tratará en la sesión, para que lo trabajes en

clase, en equipos de cuatro y consensuen las

respuestas solicitadas.

Posteriormente, a manera de tarea extra clase,

realizarás actividades prácticas y responderás a las

preguntas que se hacen.

Finalmente resolverás ejercicios que garanticen la

comprensión de procedimientos y conceptos

Referencias Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013).

Matemática: razonamiento y aplicaciones. (12ª. ed.) México:

Pearson. Addison Wesley.

A continuación se proponen actividades para el logro del aprendizaje de la temática

Variación directamente proporcional

Objetivo (s) de

la actividad:

Se espera que al término de la actividad de aprendizaje,

adquieras la habilidad para reconocer una relación de

variación directamente proporcional, determines la expresión o

modelo algebraico de una variación directamente proporcional

y resuelvas problemas verbales sobre variación directamente

proporcional.

Duración de la

actividad

Tres sesiones de dos horas en el salón de clase.

Cuatro horas de trabajo extra clase

Recursos y

herramientas

Pizarrón blanco, plumines y borrador

Archivo electrónico

97

Evaluación Examen


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de la actividad, deberás ser capaz de:

Utilizar un registro tabular y un modelo

algebraico, para representar una variación

directamente proporcional.

Resolver problemas

Introducción:

Antecedentes:

¿Qué es razón?

La razón entre dos cantidades es el resultado de compararlas. Dos cantidades

pueden compararse de manera aritmética, hallando en cuánto excede una a la

otra; es decir, restando una cantidad de la otra.

Por ejemplo: Si la edad de Don Pancho es de 60 años y su hijo Rodolfo tiene 15

años. La comparación aritmética es: 60 – 15 = 45 significa que Don Pancho

es 45 años más grande que su hijo.

Asimismo, dos cantidades pueden compararse de manera geométrica, hallando

cuántas veces contiene una a la otra; es decir, dividiéndolas entre sí.

Por ejemplo, si se hace la comparación geométrica con los datos del ejemplo

anterior; 𝟔𝟎

𝟏𝟓= 𝟒 significa que Don Pancho tiene 4 veces la edad de su hijo

Rodolfo. Por otro lado, si se hiciera la comparación como 𝟏𝟓

𝟔𝟎=

𝟏

𝟒 significa que

la edad de Rodolfo es la cuarta parte de la edad de su padre.

98

En este tema, es de interés para nuestro estudio, la comparación o razón

geométrica.

¿Qué es una proporción?

Cuando dos cantidades están en la misma razón geométrica que otras dos,

se dice que el primer par está en la misma proporción que el otro par

Por ejemplo:

60 y 15 están en la misma proporción que 20 y 5 porque

𝟔𝟎

𝟏𝟓=

𝟐𝟎

𝟓 ( ésta última se obtuvo dividiendo entre 3 las dos primeras

que se comparan)

60 y 15 están en la misma proporción que 240 y 60 porque

𝟔𝟎

𝟏𝟓=

𝟐𝟒𝟎

𝟔𝟎 ( ésta última se obtuvo multiplicando por 4 las dos primeras

que se comparan)

Propiedad fundamental de las proporciones geométricas.

En toda proporción 𝒂

𝒃=

𝒄

𝒅 entonces a * d = b * c

En la proporción, a y d son llamados extremos de la proporción.

Son llamados medios de la proporción b y c.

La propiedad fundamental de las proporciones establece que:

“el producto de los extremos es igual al producto de los medios”.

Verificando las proporciones anteriores:

99

𝟔𝟎

𝟏𝟓=

𝟐𝟎

𝟓 entonces (60)(5) = (15)(20)

300 = 300

ambos productos dan 300, lo que comprueba la propiedad.

De igual manera, 𝟔𝟎

𝟏𝟓=

𝟐𝟒𝟎

𝟔𝟎 entonces ( ) ( ) = ( ) ( )

Ambos productos dan como resultado: __________

Variación directamente proporcional.

Recordemos que cantidad constante, es la que tiene un valor fijo y determinado y

cantidad variable es la que puede tomar diversos valores; es aquella que varía.

Por ejemplo:

Si un metro de tela cuesta $20.00, el costo de una pieza de tela dependerá del

número de metros que se quiera comprar. Si la pieza de tela que quiero comprar

es de 4 metros, el costo será de 4 x $20.00 = $80.00

En este ejemplo, el costo de 1 metro de tela que es $20.00 no varía, por lo que

esa cantidad es constante. Por otro lado, el número de metros de la pieza de tela

que quiero comprar y su correspondiente costo, toman diversos valores, son

cantidades variables.

Además, ¿de qué depende el costo de una pieza de tela? Del número de metros

que se quiera comprar. Entonces, el costo de la pieza de tela es la variable

dependiente. Y el número de metros es la variable independiente.

Definición:

Cuando dos variables relacionadas tienen una variación tal que si una

aumenta la otra aumenta en la misma proporción o si una disminuye

100

la otra disminuye en la misma proporción, se dice que la variación

entre ellas es directamente proporcional.

La constante de proporcionalidad.

Siguiendo con el ejemplo de la pieza de tela.

Si quisiera comprar 5 m, 9 m, 14 m de tela; el costo sería de $20.00 * 5 = $100.00,

$20.00 * 9 = $180.00, $20.00 * 14 = $280.00, respectivamente.

Encontramos que:

$100.00/5 = $20.00, $180.00/9 = $20.00, $280.00/14 = $20.00

Lo que nos hace ver que la relación entre las dos variables es directamente

proporcional

Ahora, vamos a expresar la situación anterior en términos generales:

Si denotamos con la letra Y al costo de la pieza, con X el número de metros.

Entonces, se tendría una expresión como la siguiente:

Y = $20.00 * X …….. (expresión 1)

y si despejamos resulta que 𝒀

𝑿= $𝟐𝟎. 𝟎𝟎

Por lo tanto, Y/X es la razón entre las variables y se observa que $20.00 es

constante, a ésta cantidad se le llama la constante de proporcionalidad.

101

Por lo general, a la constante de proporcionalidad se le denota con una k, por lo

que la expresión 1, resulta:

Y = k * X

Que es la expresión que denota una variación directamente proporcional y se lee

como: “ Y varía directa y proporcionalmente como X”

Ejemplos:

1. La circunferencia C de un círculo de radio r está dada por C = 2r. Se

observa que se parece a la expresión Y = k * X. Aquí, C varía directamente como

el radio r , y el valor de 2 es la constante de proporcionalidad.

2. El área A de un círculo de radio r está dada por A = r2. Se observa que A

varía directamente como el cuadrado de r, y es la constante de

proporcionalidad.

3. El volumen V de un cubo de lado “a” está dado por V = a3. En este caso, V

varía directamente con el cubo del lado a, y la constante de proporcionalidad es

1.

Actividades de aprendizaje

Instrucciones:

De manera individual, analiza el problema y contesta lo que se pide. En equipos

de 4 alumnos discutan el problema y lleguen a un consenso. De manera grupal

discutan la solución del problema.

102

Situación problemática:

Una pipa reparte agua a domicilio y cobra a cada consumidor cierta cantidad de

dinero por cada litro suministrado.

Completa la siguiente tabla:

Litros

(L) 250 900 1500 2000 3000

Costo

($) 600 2250 3300

a) ¿Qué criterio usaste para llenar la tabla?

_______________________________________________________________

b) ¿Cuál es el costo por litro de agua?

___________________________________________________

c) Toma un par de razones y comprueba la propiedad fundamental de las

proporciones

_____________________________________________

d) ¿Qué valor encontraste para la constante de proporcionalidad?

________________________________

e) ¿Cuál es la variable dependiente? __________________ ¿Cuál es la

variable independiente?_____________________________

f) Escribe una expresión o modelo matemático para relacionar la variación

proporcional directa entre las dos variables. _________________________

Actividad de refuerzo

La siguiente tabla muestra algunos datos que relacionan el salario devengado y

el tiempo en horas laboradas, de un trabajador.

103

Tiempo

(Hr) 40 90 130

Salario

($) 385 660 1430

a) Completa la tabla

b) ¿Qué procedimiento usaste para llenar la tabla?

___________________________________________________________

c) Si el salario aumenta, ¿qué pasa con el tiempo, aumenta o disminuye?

_____________________________________________________________

d) Si el tiempo disminuye, ¿qué pasa con el salario, aumenta o

disminuye?___________________________________________________

e) ¿Cuál es el salario del trabajador, por hora trabajada?

______________________________________________________________

f) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones, tomando un par de

razones. _______________________________________________

g) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

_____________________________________

h) ¿Cuál es la variable dependiente? __________________ ¿Cuál es la

variable independiente?_____________________________

i) Escribe una expresión o modelo matemático para relacionar la variación

proporcional directa entre las dos variables. _________________________

Problema para trabajo extra clase

1. Un tractor, en un camino se mueve a una velocidad constante de 20 km/h.

Calcular la distancia que recorre en 20 minutos, 45 minutos, 55 minutos, 1

hr y 10 minutos, 1 hr y 25 minutos, 1 hr y 50 minutos, 2 hr y 15 minutos.

Llena la tabla siguiente:

Tiempo

(t)

104

Distancia

(d)

Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? _____________________

b) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la

variable independiente? ______________________

c) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones.

____________________________________________________

d) Escribe la expresión o modelo matemático que relaciona las dos

variables. _____________________________________

Generalización

En general, se dice que la variable Y es directamente proporcional a la variable X

si:

Y = k * X

donde K es una constante, llamada constante de proporcionalidad directa.

Ejemplo 1: Si Y es directamente proporcional a X, y Y = 8 cuando X = 4 ¿cuál es

el valor de la constante de proporcionalidad?

Solución: Como Y es directamente proporcional a X, entonces Y = k * X

Sustituyendo los valores dados en la expresión Y = k * X, se tiene:

8 = k * 4, despejando 8 / 4 = k

Por tanto, k = 2 es el valor de la constante de proporcionalidad

Resultando la expresión matemática: Y = 2 X

105

Ejemplo 2:

La distancia que un objeto recorre al caer, a partir del reposo, es directamente

proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Si un objeto cae 78.48 metros

en 4 segundos, ¿cuánto habrá caído al final de 6 segundos?

Solución: Si D es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. De acuerdo al

enunciado dado, es posible escribir la expresión o modelo matemático:

D = k * t2

Despejando k, k = D / t2

y sustituyendo los valores iniciales de D= 78.48 m y

t= 4 seg, se tiene:

k = 78.48m/ (4 seg)2

por lo que k = 4.905 m/ seg2

Ahora que ya conocemos la constante de proporcionalidad, se tiene que:

D = 4.905 t2

Ahora respondamos la pregunta cuando t = 6 segundos:

Sustituimos los valores en la expresión: D = 4.905 t2

D = (4.905 m/s2

)(6seg)2

Haciendo operaciones

D = 176.58 m es la distancia recorrida en 6 segundos.

Ejercicio de refuerzo.

Tres personas realizaron un trabajo por el cual cobraron $ 5,737.50. ¿Cuánto

dinero le toca a cada uno, si Hugo trabajó 12 días; Paco trabajó 18 días y Luis

trabajó 15 días?

¿Cuáles son las variables?

__________________________________________________

106

¿Cuál es la variable dependiente? ___________________________________ y

la variable independiente _______________________________

Escriba la expresión o modelo matemático que relaciona las variables:

_______________________________

¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

______________________________________

¿Cuánto cobra cada persona? Hugo = ______________

Paco= _________________ Luis = __________________

Problemas extra clase:

1. El perímetro de un cuadrado varía directamente con su lado. Escriba la

ecuación o modelo matemático.

2. El área de un círculo varía directamente como el cuadrado del radio. Escriba

la ecuación o modelo matemático.

3. Encuentre la constante de proporcionalidad, cuando s varía directamente

como el cuadrado de t, cuando s = 50, t = 10

4. Encuentra la constante de proporcionalidad, cuando y varía directamente

como x, cuando y = 15, x = 1/3

5. Encuentra la constante de proporcionalidad, cuando d varía directamente con

t, si d = 183, t = 3

107

6. Hugo, Paco y Luis se asocian para iniciar un negocio. Hugo invierte $3,876.00;

Paco invierte $ 4,578.00 y Luis invierte $ 2,955.00. Asimismo, quedan de

acuerdo en que las utilidades (o las pérdidas) serán repartidas en forma

directamente proporcional al capital invertido. ¿Cuánto recibe cada uno si la

utilidad generada en el primer año de trabajo fue de $ 28522.50?

7. Según la Ley de Hooke, la fuerza F requerida para mantener estirado un

resorte que aumenta x unidades a su longitud, es directamente proporcional

a x. Si se necesita una fuerza de 20 kg para que se estire 3 cm. ¿cuál es su

estiramiento si se usan 72 kg?

8. El costo C de producir x número de artículos, varía directamente como x. Si

cuesta $560.00 producir 70 artículos. ¿Cuál es el costo C cuando se desea

producir 400 artículos?

9. Si una pelota rueda por un plano inclinado, la distancia recorrida varía

directamente como el cuadrado del tiempo. Si la pelota recorre 12 cm en 2

segundos. ¿qué distancia recorrerá en 3 seg?

10. Se necesita una fuerza de 2.4 kg para estirar un resorte 1.8 cm más de su

longitud natural. Aplicando la Ley de Hooke, determinar la fuerza necesaria

para que el resorte estire 3 cm más de su longitud natural.

11. El volumen V de una esfera varía directamente como el cubo de su radio r.

Si V = 288 cm3, cuando r = 6 cm. Encuentre V, cuando r = 2 cm.

12. La presión en un punto de un líquido es directamente proporcional a la

distancia de la superficie del líquido al punto. La presión a una profundidad de

2 pies en un tanque de aceite es de 118 lb/pie2. Determina la presión a una

profundidad de 5 pies.

13. El periodo de un péndulo simple, es decir, el tiempo requerido para una

oscilación completa, varía directamente con la raíz cuadrada de su longitud.

Si el periodo de un péndulo de 60 cm. de longitud es de 1.5 segundos.

Determina el periodo de un péndulo de 90 cm.

108

14. Un motociclista acróbata ha efectuado un salto de 150 pies. Su velocidad a la

salida de la rampa era de 70 millas/hora. Se sabe que el alcance de un

proyectil es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Si el

motociclista puede alcanzar una velocidad de salida de la rampa de 80

millas/hora y mantener el equilibrio adecuado, calcule el alcance posible de tal

salto.

15. La policía puede estimar, algunas veces, la velocidad V a la que viajaba un

automóvil antes de frenar a partir de la longitud L de las marcas de las llantas

sobre el pavimento. Suponga que en una superficie seca la longitud L = 15 m.

cuando V = 60 km/h. Suponiendo que la velocidad es directamente

proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de las marcas, estimar la

velocidad, si la longitud de las marcas es de 45 m.

16. El peso umbral W de una persona se define como aquel peso no saludable a

partir del cual la mortalidad aumenta significativamente. Para hombres de

edad media, este peso es directamente proporcional a la tercera potencia de

la estatura. Para un hombre de 1.80 m. de altura, el peso umbral W es de

alrededor de 82 kg. Calcular el peso umbral para un individuo de 1.72 m. de

altura.

17. La fuerza requerida para mantener comprimido un resorte de metal,

reduciendo su longitud natural, es directamente proporcional al cambio de

dicha longitud. Si hacen falta 235 kg. para mantener comprimido el resorte,

disminuyendo su longitud natural de 18 cm. a 15 cm. ¿qué fuerza se necesita

para comprimirlo hasta reducirlo a una longitud de 12 cm?

18. Para un cuerpo que cae libremente a partir del reposo y solo bajo la influencia

de la gravedad, el número de metros S que el cuerpo cae es directamente

proporcional al cuadrado del tiempo t, medido en segundos. Un cuerpo cae

desde una altura de 176.40 m y llega al suelo en 6 segundos. ¿qué cantidad

de metros recorrió durante los primeros 3 segundos?

19. La presión P ejercida por cierto líquido en un punto dado varía directamente

con la profundidad D del punto, bajo la superficie del líquido. La presión

ejercida a una profundidad de 15 m. es de 50 kg. por centímetro cuadrado.

¿qué presión ejerce ese líquido a una profundidad de 25 m.?

109

Tabla y gráfica de una variación directamente proporcional

Objetivo (s) de la actividad El alumno al terminar esta actividad, será capaz

de graficar una variación directamente proporcional mediante los datos de

una tabla, podrá interpretar la información que brinda la gráfica.

Para iniciar esta temática, veamos unos ejemplos.

Ejemplo 1.

Supongamos que un auto va a una velocidad de 80 km por hora y que mantiene

esa velocidad constante a lo largo de una autopista. ¿Qué distancia ha recorrido

en 20 min, 50 min, 1 hr y 10 min, 1 hr y 15 min, 1 hr y 40 min, 2 hr y 30 min?

Solución.

Conviene escribir el tiempo en función de minutos, para tener mejor claridad y

anotar en una tabla esa información. En esta situación problemática, intervienen

dos variables: Tiempo (T) y Distancia (D)

Contesta lo que se pide.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la

variable independiente? ______________________

110

b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

________________________

c) ¿Cuál es la expresión o modelo matemático que involucra las dos

variables? _____________________________

d) ¿Con la información anterior es posible llenar la tabla? ______

Llena los datos faltantes de la tabla:

Tiempo

(T) 20 min 50 min 60 min 70 min 75 min 100

min

150

min

Distancia

(D) 80

Con la información obtenida en la tabla, grafica las parejas de puntos en el plano

cartesiano siguiente, considerando en el eje X la variable Tiempo (T) y en el eje

Y la variable Distancia (D).

111

La información que brinda la gráfica es muy valiosa, ya que al utilizarla se

puede determinar en cualquier momento de tiempo la distancia recorrida

y viceversa.

Por ejemplo, utilizando la gráfica contesta lo siguiente:

a) Distancia recorrida en 30 min: ________

b) Tiempo que lleva el vehículo en recorrer 40 km: _______

c) Distancia recorrida en 80 min: __________

d) Tiempo que lleva el vehículo en recorrer 140 km: _________

e) Distancia que ha recorrido el vehículo en 5 min: _________

f) Tiempo que lleva el auto en recorrer 130 km: _____________

g) Distancia que ha recorrido el auto en 1hr y media: _________

Ejemplo 2. La siguiente gráfica representa el costo de diferentes

cantidades de azúcar. En el eje X se representa la cantidad de azúcar en

kilos y en el eje Y se representa el costo en pesos.

112

Contesta lo siguiente:

a) ¿Cuál es el costo de 3 kg de azúcar? ___________________

b) Si pago $90.00, ¿cuántos kilos de azúcar me dan? __________

c) ¿Cuál es el costo de 3.5 kg de azúcar?

d) Si pago $22.50, ¿Cuántos kilos de azúcar recibo? _______________

e) Si pago $95.00, ¿Cuántos kilo s de azúcar me dan? _____________

f) ¿Cuánto pago por 4.5 k de azúcar? ___________________

g) ¿Cuáles son las variables que intervienen en el ejemplo? __________

h) ¿Cuál es la variable dependiente? ______________________

i) ¿Cuál es la variable independiente? ___________________

j) Escribe la expresión o modelo matemático que representa la variación

directamente proporcional ______________________________

k) ¿Cuánto pago por 3.750 kg de azúcar? _________________

l) Pagué $32.50, ¿Cuántos kilos de azúcar me dan? _____________

Cierre de la actividad.

Evaluación

Objetivo (s) de la actividad Evaluar los conocimientos adquiridos en la

temática

Instrucciones. Resuelve los siguientes ejercicios y contesta lo que se pide.

1. Dada la siguiente información, determina si los datos son parte de una

variación directamente proporcional y explica tu respuesta.

Piezas

(núm.) 4 15 23 36 42 50

Costo

($) 28 105 161 242 294 350

113

Respuesta: ___________________________________________________

____________________________________________________________

2. Llena la tabla siguiente y contesta lo que se pide. Suponiendo que el

peso de una persona es directamente proporcional a su estatura, se tiene

la siguiente información.

Peso

(kg) 70.125 75.650 79.475

Estatura

(m) 1.60 1.72 1.82 1.87 1.93

a) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

________________________

b) Escribe la expresión o modelo matemático que relaciona las dos variables.

____________________________________

c) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la variable

independiente? ______________________

d) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones.

____________________________________________________

3. El importe del impuesto sobre venta de un auto nuevo es directamente

proporcional al precio de venta del auto. Si un auto cuyo costo es de

$165,000.00 paga $6,600.00 de impuesto.

a) ¿Cuál es el precio de venta de un auto nuevo que tiene un impuesto

sobre venta de $8,560.00?

b) ¿Cuál es el impuesto sobre venta de un auto nuevo cuyo costo es de

$194,500?

114

4. Se asocian tres personas para un negocio e invierten $5,000.00,

$7,500.00 y $9,000.00 cada uno. Al cabo de un año han ganado

$6,450.00 en ganancia. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada

uno, si hacen un reparto directamente proporcional al capital invertido?

5. Bajo ciertas condiciones, el tiempo t de exposición que se necesita para

hacer una ampliación de un negativo varía directamente con el área A de

la ampliación. Si toma 12 segundos hacer una ampliación de 3.75 cm x

5.50 cm.

a)¿cuánto tiempo tomará hacer una ampliación de 15 cm x 22 cm.?

b)¿Cuánto tiempo tardará hacer una ampliación de 26.25 cm x 38.5 cm?

6. Llena la siguiente tabla, considerando que Y varia directamente con X.

Determina la expresión o modelo matemático que relaciona ambas

variables y realiza la gráfica correspondiente.

x 2 5 8

y 16 19.2 41.6

Tema 2: Función lineal.

Presentación.

En este tema comprenderás el significado de razón de cambio estudiada en el tema

de variación directamente proporcional, la cual te permitirá ver la relación entre dos

cantidades que están cambiando y la relacionarás con la pendiente de una recta,

comprenderás el significado de la intersección de la gráfica con el eje y (estado

inicial), podrás a partir de un problema dado crear el modelo que lo resuelve, podrás

representar dicho modelo en una tabla de valores y podrás representarlos en el

plano cartesiano para visualizar la gráfica que lo representa, podrás pasar de

cualquiera de las representación a las otras.

115

Con las siguientes actividades aprenderás el concepto o proceso que queremos que

domine satisfactoriamente.

Tema 2 Función lineal


Aprendizajes Con estos problemas los adquirirás, el concepto de razón de

cambio entre dos variables.


Actividad

Objetivo(s) de la actividad:

Al término de esta actividad habrás recordado el

concepto de razón de cambio.

Introducción:

La razón de cambio te permitirá ver la relación entre dos cantidades que están

cambiando. Si una cantidad depende de la otra, entonces la siguiente expresión es

verdadera.

Razón de cambio = 𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

Cuando se hace alusión a la gráfica de una recta a esta razón de cambio se le

denomina pendiente de la recta y esta relación ya vista anteriormente se le conoció

como la constante de proporcionalidad.

Actividades prácticas para el aprendizaje.

Actividad 1

Explorarás razones de cambio.

La siguiente gráfica muestra segmentos de recta en el plano cartesiano.

116

Contesta las siguientes preguntas

a) ¿Cuál es el cambio vertical de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?

b) ¿Cuál es el cambio horizontal de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?

c) Halla la razón de cambio vertical a cambio horizontal para cada segmento de

recta.

d) ¿Qué sección es la más inclinada?

Actividad 2.

Esta actividad es con el firme propósito de que practiques lo aprendido y verifiques

si tu aprendizaje ha sido significativo.

Según los datos en la siguiente tabla.

Costo de alquiler de una computadora.

Número

de días.

Costo.

1 $600

2 $750

117

3 $900

4 $1050

5 $1200

a) ¿Es igual la razón de cambio para cada par de días consecutivos?

b) ¿Qué representa la razón de cambio?

c) Halla la razón de cambio usando los días 5 y 2.

d) ¿Crees que hallar la razón de cambio sólo para un par de días significa que la

razón de cambio es igual para todos los datos? Explica.

Problemas complementarios.

1) Halla la razón de cambio para cada situación.

a) Un bebe mide 18 pulgadas al nacer y 27 pulgadas a los 10 meses.

b) El costo de los boletos para grupos en un museo es de $480 para cuatro personas

y $780 para 10 personas.

c) Conduces 48 kilómetros en una hora y 152 kilómetros en cuatro horas.



Aprendizajes Con estos problemas adquirirás, los siguientes conceptos:

función lineal, pendiente de una recta y ordenada al origen.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de modelar una

función lineal que te lleve a la solución de una situación

problemática.

Introducción:

118

En el siguiente actividad tu meta será aprender los conceptos de función lineal así

como los significados de los parámetros que intervienen en ellos como: el parámetro

m (rapidez de variación constante) y el parámetro b (condición inicial), ya el

significado de m fue expuesto anteriormente solo que se le dio el nombre de razón

de cambio, de aquí en adelante siempre te referirás a este concepto como pendiente

de la recta la cual se define como sigue:

m = razón de cambio = 𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.

Esto lo podrás expresar en forma simbólica como:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏


Actividad 2

Modelarás funciones lineales que resuelven una situación problemática.

Con las siguientes estrategias de aprenderás el concepto de función lineal.

1) Un tanque de gas con capacidad de 500 litros tiene un 10% de su capacidad y

se ha encomendado a una pipa repartidora que lo llene hasta un 80%. Cada minuto

se le proporciona 50 litros a dicho recipiente.

a) ¿Qué cantidad de litros tenía el tanque antes de llegar la pipa?

b) Elabore una tabla para indicar el nivel del tanque para cada minuto de llenado.

c) ¿En qué tiempo llenará la pipa el tanque?

d) Encuentre un modelo algebraico que satisfaga las condiciones impuestas en el

problema.

e) Represente gráficamente el modelo algebraico en el plano cartesiano.

f) ¿Cuál es el rango de valores para las dos variables involucradas en el problema?

g) Repita el problema para tanques con capacidad de 300, 750, 1000 y 1500 litros

respectivamente.

119

2) Un tanque tiene una capacidad de 500 litros, pero por razones de seguridad solo

está permitido que esté a una capacidad de 80%.

a) ¿Qué cantidad de litros tiene el tanque al 80% de su capacidad?

b) Elabore una tabla que relacione el tiempo y el consumo por día, sí el gasto diario

es de 20 litros.

c) ¿Qué tiempo deberá transcurrir para cargar el tanque nuevamente?

d) ¿Qué modelo algebraico satisface las condiciones del problema?

e) Elabore una gráfica que represente este modelo en el plano cartesiano.

f) La representación gráfica es una recta.

g) ¿Cuál es el intervalo de valores para las variables involucradas en el modelo?

h) Repita el problema para tanques de capacidad 200, 400, 600 y 1000 litros

respectivamente.

La siguiente actividad es de refuerzo para que el alumno practique el conocimiento

adquirido y se dé cuenta que lo aprendido ha sido significativo en su aprendizaje.

1) La señora Carmen va a abrir una cuenta de ahorros en Bancomer, la cantidad

inicial con la cuenta asciende a $50000 a la que le acumulará mensualmente

$10000. ¿Cuánto tendrá ahorrado al cabo de un año?

2) Dado que una batería estaba produciendo una corriente de 1.05 amperes a las

12 horas (mediodía) y que la corriente producida estaba decreciendo a la razón de

0.005 amperes/por hora, encuentre la corriente que estaría produciendo t horas

después de mediodía y en particular a media noche

3) El costo de adaptar un nuevo cable y clavija para una cortadora de setos es de

C pesos cuando la longitud del cable es de x metros, donde C = 45 + 27x.

a) Cuál podría ser el significado del término constante, 45?

b) Cuál podría ser el significado del coeficiente, 27?

c) ¿Cuál sería la pendiente de la gráfica de C contra x?

d) ¿Qué longitud del cable daría un costo $855?

120

4) La ganancia hecha en una sola jornada de un tren es de P pesos cuando hay x

asientos vacíos, donde P = 25.5 – 0.4x.

a) ¿Cuál piensa usted que es el significado del término constante 25?

b) ¿Es la gráfica de P contra x una línea recta? Sí es así, ¿cuál es su pendiente? Si

no, ¿qué tipo de curva es?

c) ¿Cuál es el número mínimo de asientos vacíos que ocasionan que el tren tenga

pérdida en una sola jornada?

d) Sugiera un significado para el coeficiente, - 0 4.

5) El señor Vera midió la cantidad de petróleo que el depósito de su calefacción

central 10 días después de que fue llenado y encontró que era 1420 litros. Después

de otros 30 días la midió de nuevo y encontró que la cantidad de petróleo era de

880 litros.

a) Encuentre la relación entre el número de litros de petróleo en el depósito y el

número de días después de que fue llenado el depósito, suponiendo que el número

de litros disminuyó uniformemente conforme el número de días aumentó.

b) ¿Qué cantidad de petróleo contenía el depósito cuando acababa apenas de ser

llenado?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de petróleo utilizada cada día por el sistema de

calefacción central del señor Vera?

d) Sí el señor Vera ordena más petróleo cuando la cantidad en el depósito se redujo

a 700 litros, ¿qué tan seguido ordena petróleo para este depósito?

e) Él está considerando tener adaptado un nuevo calentador de agua que usará en

promedio, únicamente 15 litros de petróleo por día. ¿Qué tan seguido tendrá que

ordenar petróleo para el nuevo calentador?


Sub-tema 3 Pasando del registro tabular al modelo algebraico.

Aprendizajes

121

Con estos problemas adquirirás la habilidad siguiente, dada una

tabla de valores construirás el modelo algebraico que lo

representa.

Desarrollo de la actividad.

Actividad.

Objetivo (s) de la

actividad:


función lineal a partir de una tabla de valores dada.

Introducción

Lograrás aprendizaje si desarrollas satisfactoriamente uno o dos de los ejercicios

propuestos, para encontrar el parámetro m será necesario que trabajes con la

fórmula que calcula la rapidez de variación constante 𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 y que para que

encuentres el parámetro b (condición inicial) tomarás otro punto de la tabla y lo

evaluarás en el modelo lineal 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃


Actividad 3

Encontrarás la función lineal a partir de una tabla de valores dada.

Escribe una función lineal para cada relación dada.

1)

𝑎 −2 −1 0 1 2

𝑏 20 17 14 11 8

2)

𝑥 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 5 10 15 20 25

122

3)

𝑥 0 1 2 3 4

𝑦 5 8 11 14 17

4)

𝑛 1 2 3 4 5

𝑓(𝑛) 1 4 7 10 13

5)

𝑥 2 4 5 7 10

𝑦 −2 0 1 3 6

6)

𝑥 −2 −1 1 2 4

𝑔(𝑥) 13 12 10 9 7

7)

8)

𝑛 −4 −2 0 2 4

𝑥 3 6 9 12 15

𝑦 −1 −3 −5 −7 −9

123

𝑚(𝑛) −11 −3 5 13 21

9)

𝑥 0 6 12 18 24

ℎ(𝑥) −2 0 2 4 6

10)

𝑟 −4 −2 4 6 8

𝑓(𝑟) 26 18 10 6 2


Sub-tema 4 Encontrarás un modelo lineal a partir de una tabla incompleta, y

que tú completarás con el modelo encontrado.

Aprendizajes Con estos problemas aprenderás a obtener un modelo lineal, que

te sirva para completar una tabla dada.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:


función lineal a partir de una tabla con algunos valores dados

y encontrarás los valores faltantes.

Introducción:

Para lograr este aprendizaje te sugerimos que desarrolles satisfactoriamente uno

de los ejercicios propuestos, haciendo hincapié en que para encontrar el

parámetro m es necesario que trabajes con la fórmula que calcula la rapidez de

variación constante 𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 y que para que encuentres el parámetro b

(condición inicial) tomes otro punto de la tabla y lo evalúes en el modelo lineal 𝒚 =

𝒎𝒙 + 𝒃, para que completes los valores que no están determinados en la tabla.

124

Actividades prácticas para el aprendizaje

Actividad 4

Copia y completa la tabla para cada ecuación.

a)

𝑥 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 12 24 36

b)

𝑥 −4 −2 0 2 4

𝑔(𝑥) −2 −1 2

c)

𝑥 -3 -1 1 2 4

ℎ(𝑥) 18 17 −17

d)

𝑥 −2 0 2 4 6

𝑝(𝑥) 2 3 4


Sub-tema 5 Graficarás una función lineal a partir de sus parámetros,

pendiente y ordenada al origen.

Aprendizajes

Con esta actividad aprenderás a graficar una función lineal

tomando en consideración como modifican a la gráfica la

variación de los parámetros m y b.


125

Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al terminar esta actividad el serás capaz de graficar una

función lineal a partir de como modifican a la gráfica los

parámetros m y b solamente, sin hacer uso de una tabla de

valores.

Introducción:

Para lograr el aprendizaje te sugerimos que en equipo discutas con tus

compañeros este contenido, para que de esta manera logres el objetivo que se

pretende que alcances.


Actividad 5

Graficarás funciones lineales.

Forma: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃

Como afectan o modifican a la gráfica la variación de los parámetros m y b.

Graficarás funciones fijando uno de los parámetros y variando el otro.

Caso 1) Grafica 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃, para 𝒎 = 𝟏 y 𝒃 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 − 𝟏, 𝒚 − 𝟐.

a) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟎 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙

b) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

c) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟐 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐

d) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = −𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟏

e) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = −𝟐 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐

Tabula algunos valores de x con 𝒙 ∈ 𝓡 en una misma tabla. Después grafica todas

las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada

una de las gráficas.

Llena la siguiente tabla.

𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

126

−2

−1

0

1

2

-

Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro

b.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____

Caso 2: Grafica 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 para 𝒃 = 𝟏 𝒚 𝒎 = 𝟏, 𝟐, 𝟎, −𝟏 𝒚 − 𝟐

a) Para 𝒎 = 𝟎 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝟏

b) Para 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

127

c) Para 𝒎 = 𝟐 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏

d) Para 𝒎 = −𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟏

e) Para 𝒎 = −𝟐 𝒚 𝒃 = 𝟏 obtendrás: 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏

Tabula algunos valores de x con 𝒙 ∈ 𝓡 en una misma tabla. Después grafica todas

las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada

una de las gráficas.

Llena la siguiente tabla.

𝑥 𝑓(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = −2𝑥1

−2

−1

0

1

2

-

128

Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro

𝒎.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____


Sub-tema 6 Dada el modelo que representa una función lineal. Elaborarás

una tabla de parejas ordenadas (𝑥, 𝑦). Después trasladarás estas

parejas ordenadas a un plano cartesiano para hacer su

representación gráfica.

Aprendizajes

Con esta actividad se espera que aprendas a graficar una función

lineal dado su modelo algebraico.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de graficar una

función lineal a partir del modelo algebraico que la

representa.

Introducción:

Para que logres este aprendizaje te sugiero, que discutas este contenido con tus

compañeros de equipo para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,

toma como ejemplo uno de los ejercicios y los restantes hazlos como tarea, para

que de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.


Actividad 6

129

Dadas las siguientes funciones, elabora su gráfica en el plano cartesiano.

a) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟑 b) 𝒚 = 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙 − 𝟐

c) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓 d) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = −𝟑

𝟒𝒙 + 𝟒


Sub-tema 7 Dada una gráfica en el plano cartesiano, encontrarás el modelo

funcional que la representa.

Aprendizajes

Con esta actividad se espera que aprendas a encontrar un

modelo algebraico dado una gráfica en el plano cartesiano.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de encontrar una

función lineal a partir de una representación gráfica en el

plano cartesiano.

Introducción:

Para que logres este aprendizaje te sugiero que trabajes con tu equipo para

discutir este contenido, para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,

toma como ejemplo uno de los ejercicios y los demás hazlos de tarea para que

de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.


130

Actividad 7

Dadas las siguientes gráficas escribe la función lineal que representa

a) b)

c) d)

e) f)

131


Sub-tema 8 Problemas de aplicación.

Aprendizajes

Con esta serie de problemas se espera que adquieras la

habilidad para resolver situaciones reales donde interviene para

darles respuesta, una función lineal de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏,

se pretende también que, esto lo lleves a cabo aplicando el

modelo de George Polya para resolver problemas.


Actividad.

Para trabajar esta actividad te recomiendo que trabajes en equipo con tus

compañeros para resolver algunos problemas para que logres una mayor

comprensión de los mismos y adquieras un conocimiento más significativo y de

esta manera puedas resolver las demás situaciones problemáticas que se te

encomendarán como tarea extra clase.

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad será capaz de resolver

problemas de aplicación en diferentes contextos,

aplicando las heurísticas de Polya.

Introducción:

132

Para resolver problemas aplicando el modelo de George Polya deberás

considerar las siguientes etapas para su consecución.

1) Comprenderás el problema.

2) Concebirás un plan.

a) Determinarás la relación entre los datos y la incógnita.

b) De no encontrar una relación inmediata, puedes considerar problemas

auxiliares.

c) Obtendrás finalmente un plan de solución.

3) Ejecutará del plan.

4) Examinarás la solución obtenida.


Actividad 9

Modelación matemática: Emplearás de funciones lineales.

Objetivo: Encontrarás una función lineal y la utilizarás para hacer predicciones.

Te sugiero repasar la solución del siguiente ejemplo, para que comprendas su

método de solución, para que después tu solito resuelvas otros que se te

plantearán.

Ejemplo.

Se sabe que los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayores temperaturas y

con menor frecuencia a menores temperaturas. Por consiguiente, el número de

chirridos es una función de la temperatura.

Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en una tabla.

Temperatura °C 6 8 10 15 20

Número de chirridos

por minuto.

11 29 47 75 108

¿Podrás predecir el número de chirridos por minuto para una temperatura de

18°C? Si un modelo lineal se ajusta razonablemente bien a los datos, podrás

133

utilizar una función lineal como un modelo matemático de la situación. En tal caso,

puedes usar el modelo (la función lineal) para hacer predicciones.

Utiliza los datos reunidos en la tabla anterior para predecir el número de chirridos

por minuto cuando la temperatura es de 18°C. Aplica las heurísticas para resolver

problemas.

Entiendes el plan.

Pregunta: ¿Podrás ajustar una función lineal a los datos? De ser así, ¿Cuál será

el número de chirridos por minuto correspondiente a una temperatura de 18°?

Datos: Los grillos chirrían 11 veces por minuto a 6°C, 29 veces por minuto a 8°C,

y así sucesivamente, tal como se indica en la tabla.

Desarrolla y lleva a cabo un plan.

En primer lugar, traza una gráfica de los datos para determinar si una función

lineal proporciona un buen ajuste. Haz una gráfica con un eje t (temperatura) y un

eje c (chirridos por minuto), y representa los datos. Podrás ver que se encuentran

aproximadamente sobre una recta. Por lo tanto, puedes utilizar una función lineal

para modelar la situación.

La recta la colocarás de forma que algunos puntos estén por encima y otros por

debajo de ella, de modo que cada punto se encentre cerca de la misma.

Podrás utilizar dos de los puntos dados que se encuentran cerca de la recta para

encontrar una función. Escoge los puntos (6,11) y (20, 109), pues la recta por ellos

es muy cercana a la recta que queremos ajustar sobre el dominio de datos.

Con los puntos dados puedes encontrar la razón promedio, como sigue:

𝒂 =𝒄𝟐 − 𝒄𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏=

𝟏𝟎𝟗 − 𝟏𝟏

𝟐𝟎 − 𝟔=

𝟗𝟖

𝟏𝟒= 𝟕

Luego, tu modelo será:

𝒄 = 𝟕𝒕 + 𝒃

Por lo que, si tomas el punto (6,11) y lo sustituyes en el modelo anterior, como

sigue:

𝟏𝟏 = 𝟕(𝟔) + 𝒃

𝟏𝟏 = 𝟒𝟐 + 𝒃 ∴ 𝒃 = 𝟏𝟏 − 𝟒𝟐 = 𝟑𝟏

Por lo tanto, tu modelo lineal es:

𝒄 = 𝟕𝒕 − 𝟑𝟏

134

Utilizando el modelo anterior encontrarás que cuando t = 18, c = 7(18) – 31 = 95.

Comprueba si tu resultado satisface las condiciones del problema.

De esta manera, cuando la temperatura es de 18°C, los grillos chirrían unas 95

veces por minuto.

Tu respuesta es razonable pues 95 se encuentra entre 47 y 109, y es más cercano

a este último número.

Actividades de refuerzo.

Te propongo los siguientes problemas de aplicación para que compruebes si el

aprendizaje que adquiriste te fue significativo. Si no ocurre lo anterior te sugiero

consúltame para que te aclare las dudas que tengas o te repita nuevamente los

procesos que no asimilaste, esto lo palearemos fuera de horario de calse.

1) Se ha visto en el atletismo que ciertos records en las carreras han cambiado

con el tiempo de acuerdo con funciones lineales. En 1920 el record de los 100

metros planos era de 10.43 segundos.

En 1983 era de 9.93 segundos. Sea R el record en los 100 metros planos y t el

número de años transcurridos desde 1920.

a) Ajusta una función lineal a los datos.

b) Utiliza la función para predecir el record en el año 2000; en el año 2050.

c) ¿En qué año el record será de 9 segundos?

2) Un experimento químico generó las siguientes temperaturas para una solución

respecto al tiempo.

a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala.

Tiempo ( minutos) 5 15 25 30 32

Temperatura ( °F ) 75 130 175 200 210

135

b) Predice la temperatura de la solución después de 8 minutos.

c) Predice el tiempo que tardará la temperatura en alcanzar los 60°F.

Directrices para que encuentres funciones lineales.

a) Representa gráficamente los datos.

b) Si los datos se encuentran aproximadamente sobre una recta, se puede utilizar

una función lineal.

c) Traza una recta de modo que aproximadamente la mitad de los puntos se

encuentren por encima de ella y la otra mitad por debajo.

d) encuentra las coordenadas de dos de los puntos dados que se encuentren

sobre o muy cerca de la recta.

e) Recurre a la ecuación de los datos para encontrar una función lineal.

3) El costo del transporte en taxi es de $30 por el primer 𝟏

𝟓de milla. Por tres millas

el costo es de $86.

a) Ajusta una función lineal a los puntos dados.

b) utiliza una función lineal para encontrar el costo de un viaje de 7 millas.

c) ¿Qué distancia puede viajar una persona por $400?

4) Si rentas un automóvil por un día y Ingreso 100 kilómetros, el costo es de $600.

Si viajas 150 kilómetros, el costo es de $750.

a) Ajusta una función lineal a los datos dados.

b) Utiliza la función para calcular cuánto costará rentar el automóvil p0r un día

para realizar un viaje de 200 kilómetros.

5) Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año

específico. Éstos eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos.

Ingreso (en miles de dólares ) 8 15 25 40 75

136

Impuestos ( en dólares) 24 70 180 300 560

a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínela.

b) Predice el impuesto que se debe pagar a un ingreso 55000 dólares.

c) Predice el ingreso correspondiente a un impuesto de 240 dólares.

6) Usa los datos de cada tabla y represéntalos en el plano cartesiano.

1)

x 1 2 3 4 5

y 2 -3 8 9 -25

a) Ajusta los datos a una función lineal.

b) Predice para que valor de x es y igual 15.

c) Predice para que valor de y es x igual a 8.

2)

x 1 2 3 4 5

y 21 15 12 9 7

a) Ajusta los datos a una función lineal.

b) Predice para que valor de x es y igual 15.

c) Predice para que valor de y es x igual a 10.

7) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.

137

Longitud y masa de los huevos de ave.

a) Traza una recta de ajuste

b) Escribe su ecuación.

c) Usa la ecuación para predecirla masa de un huevo que tiene 8 centímetros de

largo.

8) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.

Calorías y grasa en comidas rápidas seleccionadas.

Grasa (gramos). 6 7 10 19 20 27 36

Calorías. 276 260 220 388 430 550 633

a) Traza una recta de ajuste

b) Escribe su ecuación.

Tipo de huevo. Longitud (cm). Masa (gramos).

Golondrina. 1.9 2.0

Vencejo. 2.5 3.6

Tórtola. 3.1 9.0

Perdiz. 3.6 14.0

Búho. 3.9 20.7

Golondrina. 4.0 19.0

Gallina pequeña. 5.3 42.5

Garza. 6.0 60.0

Gallina grande. 6.3 63.8

138

c) Calcula el número de calorías en comidas rápidas seleccionadas.

9) Estudios realizados por el célebre italiano Leonardo da Vinci, sobre las

proporciones humanas, indican que la estatura y la envergadura (distancia que

hay, con los brazos extendidos, entre las puntas de los dedos de ambas manos)

de una persona son prácticamente iguales.

Los registros a continuación contienen las estaturas y envergaduras (en pulgadas)

de un grupo de 28 personas.

Datos (estatura, envergadura):

(60,61), (65,65), (68,67), (72,73), (61,62), (63,63), 70,71),

(75,74), (71,72), (62,60), (65,65), (66,68), (62,62), (72,73),

(70,70), (69,68), (69,70), (60,61), (63,63), (64,64), (71,71),

(68,67), (69,70), (70,72), (65,65), (64,63), (71,70), (67,67).

Representa en un plano cartesiano los puntos que corresponden a estas

mediciones.

Observa detenidamente la forma de la nube de puntos que acabas de representar.

Según lo que has aprendido de las gráficas de funciones lineales.

a) Escribe un modelo lineal (función lineal) que se ajuste al conjunto de datos.

b) Predice la envergadura para una persona que tiene una estatura de 50

pulgadas.

c) Predice la estatura para una persona cuya envergadura es de 77 pulgadas.

10) a) Haz Una gráfica con los datos de la temperatura promedio del mes de julio

y la precipitación anual de las ciudades de la siguiente tabla.

139

Ciudad Temperatura promedio

de julio (ºF).

Precipitación promedio

anual (pulgadas).

Nueva York 76.4 42.8

Baltimore 76.8 41.84

Atlanta 78.6 48.61

Jacksonville 81.3 52.76

Washington, D.C. 78.9 39.00

Boston 73.5 43.81

Miami 82.5 57.55

b) Halla una función lineal que se ajuste a los datos dados.

c) Calcula el promedio de precipitación para una ciudad con una temperatura

promedio de 75º F en julio.

11) Los estudiantes midieron los diámetros y circunferencias de las partes

superiores de diversos cilindros. A continuación aparecen los datos que reunieron.

Diámetro

(en centímetros)

3 3 5 6 8 8 9.5 10 10 12

Circunferencia

(en centímetros)

9.3 9.5 16 18.8 25 25.6 29.5 31.5 30.9 39.5

a) Representa gráficamente los datos.

b) Halla el modelo lineal que mejor se ajusta a los datos dados.

c) ¿Qué significa la pendiente de la función?

140

d) Halla el diámetro de un cilindro con una circunferencia de 45 centímetros.

e) Halla la circunferencia para un cilindro que tiene un diámetro 15 centímetros.

12) Compras una tarjeta telefónica de $240. Cada minuto cuesta $6.

a) Elabora una tabla para el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono

durante 0, 10, 20, 30, 40 y 50 minutos.

b) Según la tabla, ¿Cuál es el valor de la tarjeta después de haber hablado durante

30 minutos?

c) Si quedan $180 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?

d) Si quedan $40 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?

e) ¿Cuál es la intersección en el eje x en la gráfica de los datos de la tabla?

f) ¿Qué significado tiene, si es que hay, intersección con el eje x?

g) ¿Cuál es la intersección con el eje y de la gráfica de los datos de la tabla?

h) ¿Qué significado tiene, si existe dicha intersección?

i) ¿Qué ecuación describe el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono

durante x minutos?

Compara funciones lineales.

1) A un individuo que aspira a un puesto de ventas se le ofrecen dos planes

alternos de pago salarial.

Plan A: Un salario base de $12000 mensuales más una comisión del 4% de las

ventas totales durante el mes.

Plan B: Un salario base $14000 al mes más una comisión del 4% de las ventas

totales durante el mes.

a) Para cada plan, formula una función que exprese los ingresos mensuales como

una función del

total de ventas x.

b) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan B?

c) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan A?

141

d) ¿En algún momento los salarios para cada plan serán los mismos?

2) Un antropólogo puede utilizar funciones lineales para estimar la estatura de un

hombre o una mujer, dada la longitud de ciertos huesos. El húmero es el hueso

del brazo entre el hombro y el codo. La altura, en centímetros, de un hombre con

un húmero de longitud x está dada por M(x) = 2.89x + 70.64. La estatura, en

centímetros de una mujer con un húmero de longitud x dada por F(x)

= 2.75x + 71.48. En algunas ruinas, se han encontraron húmeros de longitud de

45 centímetros.

a) Suponiendo que el hueso pertenecía a un hombre, ¿Cuál era su estatura?

b) Suponiendo que el hueso pertenecía a una mujer, ¿cuál era su estatura?

c) ¿Para qué estatura serían iguales la longitud del húmero de una mujer y la

longitud del húmero de un hombre.

3) Supón que tiene que elegir entre las siguientes compañías para rentar un

automóvil. Puedes suponer que el costo de la gasolina será el mismo.

Compañía A: $600 por día y $2 por milla.

Compañía B: $280 por día y $3 por milla.

Determina a cuál compañía acudirías en cada situación. Justifica tu elección.

a) Necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 375 millas.

b) necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 1200 millas.

c) Necesitas rentar un automóvil durante 12 días para un viaje de 3000 millas.

d) ¿Cuál es la cantidad en millas por día para la que una compañía se convierte

en una mejor elección que la otra?

e) La compañía C cobra $500 por día más $4 por milla, pero las primeras 100

millas no se pagan.

¿Para cuáles situaciones en los incisos a), b) y c) sería más económica la

compañía C?

4) Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para

adultos y niños.

142

Dos fórmulas que permiten modificar las dosificaciones en adultos y niños son:

Regla de Couling: 𝒚 =𝟏

𝟐𝟒(𝒕 + 𝟏)𝒂

Regla de Friend: 𝒚 =𝟐

𝟐𝟓𝒕𝒂

Donde a denota la dosis para adulto (𝒆𝒏 𝒎𝒍) y t, la edad de los niños (𝒆𝒏 𝒂ñ𝒐𝒔).

a) Si a=100, grafica las dos ecuaciones lineales en el mismo plano coordenado

para𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐

b) ¿Para qué edad las dos ecuaciones especifican la misma dosis?

5) Un economista modela el mercado del trigo mediante las funciones lineales

siguientes:

Función de oferta: f(p) = 8.33p – 14.58

Función de demanda: f(p) = - 1.39p + 23.35

Aquí p es el precio por bushel (en dólares) f(p) la cantidad de busheles producidos

y vendidos (en millones).

a) ¿En qué punto el precio es tan bajo que no se produce trigo?

b) ¿En qué punto el precio es tan elevado que no se vende trigo?

c) Trace la gráfica de las rectas de oferta y demanda en el mismo plano cartesiano

y determine el punto de equilibrio. Estime el precio de equilibrio y las cantidades

producidas y vendidas en ese punto.

6) Los talleres aplicación están modificando los salarios de sus empleados. La

administración está considerando dos planes, ambos en base en un salario fijo

más una comisión en porcentaje por ventas al menudeo. El plan A $6000 de

salario más 6% de ventas, y el pan B $3000 de salario más 10% de ventas.

a) Escribe un modelo lineal para cada uno de los planes.

b) Traza cada una de las gráficas para cada modelo lineal en el mismo plano

cartesiano.

c) ¿Para qué nivel de ventas serán iguales los planes?

d) ¿Bajo qué condiciones preferiría un empleado el plan A?

e) ¿Qué tipo de empleado preferiría el plan B?

143

7) Martin sale de su casa a las 7 a.m. en su bicicleta y circula a 20 millas por hora.

Juan sale de la misma casa dos horas después en un auto y circula a 45 millas

por hora a lo largo de la ruta de Martin. Sea t la entrada del número de horas

después de las 7 a.m., y sea d la salida en millas, con d = vt.

a) Trazar una gráfica para cada persona, que muestre la distancia en millas que

recorre cada una entre las 7 a.m. y el mediodía.

b) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Martin desde casa?

c) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Juan desde casa?

d) ¿Cuál es la intersección de las dos gráficas?

e) ¿Qué significado tiene dicha intersección?

f) ¿Quién tiene la gráfica con mayor pendiente Martin o Juan? ¿Por qué?

g) ¿Por qué empieza la gráfica de Juan en (2, 0) y no en el origen?

Propuesta para evaluarte sobre el tema de funciones lineales.

Para evaluar los aprendizajes de la unidad te recomendamos resuelvas el

siguiente cuestionario.

Propuesta de examen para evaluar los conocimientos que adquiriste por en el

tema.

Nombre del alumno: ___________________________________ Grupo:

______

Número de cuenta: __________________ Calificación: ________

Instrucciones: Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1) Halla la tasa de cambio para situación.

144

a) Crecer de 1.4 metros a 1.6 metros en un año.

b) Recorrer 3 millas en 15 minutos y 7 millas en 55 minutos.

c) Leer 8 páginas en 9 minutos y 22 páginas en 30 minutos.

2) Representa gráficamente cada función sin tabular, solamente haciendo uso la

razón de cambio y de la condición inicial.

a) 𝒚 =𝟏

𝟐𝒙 + 𝟑 b) 𝒚 = −

𝟑

𝟒𝒙 − 𝟖

3) Relaciona cada ecuación con su gráfica cada marca de la escala representa

una unidad.

1) 2)

4) Escribe una ecuación para la recta con la razón de cambio y la condición inicial

dada.

a) m = -7, b = -1/3 b) m = 8/3, b = 2/3

5) Una tienda de música está ofreciendo cupones de promoción para sus CD. El

precio normal de un CD es de $280. Con un cupón los clientes obtienen un

descuento de $80 del total de la compra.

145

a) Escriba el modelo lineal que resuelve el problema, donde c es la cantidad de

CD y t el costo total de la compra.

b) Representa gráficamente la ecuación.

c) Halla en costo total por la venta de 6 CD.

6) Grafica los datos de la siguiente tabla.

𝑥 1 2 3 4 5

𝑦 2 −3 8 9 −25

7) ¿Es mejor alquilar un helicóptero a un consto de $1625 por día, con un cargo

por distancia de $50 por kilómetro o a $2000 por día con una distancia permitida

ilimitada? Justifica tu respuesta.

146

Unidad 3:

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Presentación

Resolver un problema de encontrar una cantidad desconocida con el lenguaje

algebraico, implica expresar en este lenguaje la condición que ésta debe satisfacer

para ser solución del problema y posteriormente transformar la condición

considerando su interpretación fuera del contexto del problema.

En esta unidad se te proponen una serie de actividades cuya ejecución te

desarrollará la habilidad para resolver un problema con el lenguaje algebraico,

haciendo uso de procesos numéricos y propiedades de las operaciones aritméticas.

Asignatura Matemáticas 1

Unidad Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Propósito de la

unidad

Serás capaz de modelar y resolver situaciones problemáticas

que conduzcan a una ecuación de primer grado con una

incógnita, esto lo harás manipulando algebraicamente el

modelo, con la finalidad de que la representación algebraica

sea una herramienta en la resolución de tales situaciones.

Planeación

Fase de

planeación

A manera de tarea extra-clase, ejecutarás las

actividades prácticas y responderás a las preguntas

que se hacen, registrando sus respuestas en el campo

de respuesta individual del archivo enviado por el

profesor; ya en clase, participarás en un equipo para el

consenso de respuestas y anotarás estos consensos

en el campo de respuesta por equipo y grupalmente

redactarás las conclusiones a las que se llegan a partir

147

de la actividad, conclusiones que finalmente el

profesor sintetizará o corregirá. Finalmente resolverá

ejercicios que garanticen la comprensión de

procedimientos y conceptos

Referencias Para el alumno:

Tema 1 El lenguaje algebraico como representación de la

generalidad, la obtención de una ecuación

Introducción

A fin de que adquieras la habilidad para establecer algebraicamente la condición

que debe satisfacer la cantidad desconocida en un problema, se te proponen

actividades de generalización del proceso de resolución por tanteo.

Planeación

especifica

• Se sugieren siete horas para el tratamiento de este tema

Sub-tema 1 La ecuación como la condición simbólica que debe

satisfacer la incógnita en un problema.

El uso del paréntesis en la representación algebraica.

Aprendizajes

Comprenderás el concepto de “ecuación” en el contexto de

la resolución de problemas y lo expresarás en el lenguaje

algebraico.

Encontrarás sentido al uso del paréntesis


Actividad 1

Situación

problemática 1

Supón que intentas resolver el problema siguiente por el

método del tanteo. Este consiste en proponer un valor para la

cantidad desconocida y posteriormente ver si este valor es

solución del problema.

Problema:

Un automóvil parte de un punto A hacia otro punto B siguiendo

una trayectoria recta con una velocidad uniforme de 40.5 km/h.

148

Dos horas después, sale de A hacia B otro automóvil con

velocidad uniforme de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurrirá, a

partir de que el primer automóvil inició su movimiento, para que

el segundo automóvil alcance al primero?.


Supón un valor para esta incógnita

¿éste valor es solución del problema?

Si no lo es, supón otro valor para la incógnita e investiga si es

solución del problema:

En el proceso que sigues para ver si un valor propuesto para

149

la incógnita es solución del problema:

¿Qué es lo que no varía?

¿Qué es lo que si varía?

Ahora supón que una persona intenta resolver el problema

siguiendo un método igual al que empleaste, pero sólo

entiende que debe suponer un valor para la incógnita y no sabe

que hacer para ver si es solución del problema.

Tu que pretendes ayudarlo, le vas a decir paso a paso, lo que

tiene que hacer para cualquier valor que él proponga.

En la tabla siguiente escribe verbalmente el procedimiento que

debe seguir

Pasos Descripción verbal

Sólo emplea el número de pasos necesarios y suficientes

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

.

150

.

.

Paso final La solución será un valor de t que

satisfaga:

Si lo anterior no se satisface hay que

reiniciar el proceso pero con otro valor

Ahora en la tabla siguiente escribe cada uno de los pasos pero

sin usar palabras: sólo símbolos de operación, números y el

símbolo t para representar el valor que se le desea dar a la

incógnita, además si en un paso se va a operar el resultado de

un paso anterior por otra cantidad, encierra entre paréntesis la

simbolización de tal paso y usa el símbolo adecuado para dar

el último paso.

Pasos Representación simbólica

Paso 1

Paso 2

Paso 3

.

.

.

Paso final

A esta última

representación

se le llama

ecuación

La solución será un valor de t que

satisfaga:

151

algebraica

Conclusión:

En términos generales, ¿cómo definirías ecuación en el

contexto de un problema?



Actividad 2 Obtención de una ecuación

Propósito Consolidar lo aprendido en la actividad antecedente

Instrucciones Para responder a lo que se te pide en la situación problemática

siguiente, procede como en la anterior

Situación

problemática 2

Obtén la ecuación que debe satisfacer la incógnita en el

problema siguiente:

¿Cuántas libras de chocolate que cuestan $5 por libra se

podrán mezclar con 8 libras de chocolate que cuestan $5.6 por

libra, para producir una mezcla que se pueda vender a $5.4

por libra?.




152

Actividad 3 Obtén la ecuación que debe satisfacer la incógnita en los

problemas siguientes:

Instrucciones

Para obtener la ecuación intenta primero dar el paso final que

se da en el método del tanteo. Si no te es posible sigue el

método empleado en la actividad 1

Propósito Dado un problema, paulatinamente lograrás escribir la

ecuación que debe satisfacer la incógnita en un problema

Problema 1

Disputaban Antonio y Pedro sobre cuál de los dos tiene más

dinero, y dijo Antonio: Si me das $3 tendré el doble de dinero

que que tendrás tu; pero si te los doy yo, tendremos igual

cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Sugerencia

Heurística

¿Puedes trabajar con una sola incógnita?, por ejemplo con la

cantidad de dinero que tiene Antonio

Problema 2

Antonio y Basilio hermanos, tienen distinta cantidad de dinero:

si el padre da $14 a Basilio tendrán igual cantidad, pero si se

los da a Antonio, éste tendrá el triple que aquél. ¿Cuánto

dinero tenía cada uno?

Sugerencia

heurística

Busca cómo trabajar con una sola incógnita

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 3

Se quiere hacer una mezcla de dos tipos de chocolates. Un

tipo de chocolate cuesta $4.60 por libra y el otro $5.00 por libra.

Si la mezcla debe tener 8 libras que se pueda vender a $4.90

por libra, ¿Cuántas libras de cada tipo de chocolate se deben

153

mezclar?

Sugerencia

heurística


Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 4

Un padre pone 12 problemas a su hijo con la condición de que

por cada problema que resuelva correctamente el muchacho

recibirá $10 y por cada problema que resuelva incorrectamente

o no resuelva, perderá $6. Después de trabajar en los 12

problemas el muchacho recibe $72. ¿Cuántos problemas

resolvió correctamente?

Sugerencia

heurística


Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 5

Once personas iban a comprar una finca que vale $214500.00

contribuyendo por partes iguales. Se suman otros amigos y

deciden formar parte de la sociedad, con lo cual cada uno

aporta $3000.00 menos. ¿Cuántos fueron los que se

sumaron?

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 6

Un camión con 40 asientos se renta a precio fijo,

contribuyendo cada pasajero por partes iguales. Si faltan 4

personas, cada uno de los asistentes pagará $40 pesos más.

¿cuánto debía pagar cada pasajero cuando el autobús se

154

llenaba?

Sugerencias

heurísticas



¿qué condición debe satisfacer la incógnita para ser solución

del problema?

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problemas para consolidar el aprendizaje y para evaluar

Problemas

Para cada uno de los problemas siguientes obtén la

ecuación que representa la condición que debe satisfacer

la incógnita

Problema 1

Compré cierto número de cuadernos a $16 pesos cada uno y

me sobraron $3. Si cada cuaderno me hubiera costado $20 no

me hubiera sobrado dinero alguno. ¿Cuántos cuadernos se

compraron?

Sugerencia

heurística

Ve como trabajar con una sola incógnita, por ejemplo con el

número de camisas que se compraron

Problema 2

En una tienda, aparece la siguiente promoción:

“50% de descuento en camisas y un descuento adicional de

20% sobre este descuento”.

Si el costo original de una camisa es de $1500, ¿cuánto se

pagará con la promoción?

Problema 3 Con la misma promoción anterior:

Si una persona pagó $700 por una camisa, ¿Cuál era el costo

155

original de la camisa?

Tema 2 ¿Cómo usar la ecuación para resolver un problema?

Planeación

específica

Se sugieren ocho horas para el tratamiento de este tema

Introducción

Una vez obtenida la ecuación algebraica que debe satisfacer la incógnita en un

problema, ésta puede ser usada para encontrar la solución considerándola como un

conjunto de relaciones operativas, de igualdad y sus propiedades generales.

El uso de la ecuación para encontrar la incógnita en un problema consiste en

transformar la ecuación original en una sucesión de ecuaciones equivalentes hasta

llegar a una que haga evidente la solución por ejemplo: ax = b.

En este tema encontrarás una serie de actividades que te llevarán a las reglas que

se usan para transformar una ecuación en otras equivalentes, aplicando las

propiedades de las operaciones aritméticas

Sub-tema 1 Propiedades generales de las operaciones: suma, resta,

multiplicación y división

Aprendizajes

Ante la ejecución en casos concretos, generalizarás las

siguientes propiedades:

En una suma, uno de los sumandos es igual a la suma

menos el otro sumando.

En una resta el minuendo es igual al resultado de la resta

más el sustraendo.

En una multiplicación, uno de los factores es igual al

resultado de la multiplicación entre el otro factor.

En una división, el dividendo es igual al divisor por el

cociente.


156

Se han realizado las sumas de dos números, pero alguien ha borrado

uno de los sumandos y el problema consiste en restaurarlo.

a)

+ 36.5 = 26

b). 𝟑𝟐. 𝟒𝟏 + [ ] = 𝟐𝟎

Conclusión:

En una suma, uno de los sumandos es igual a:___________________________

Se han realizado las restas de dos números, pero alguien ha borrado

uno de los sumandos y el problema consiste en restaurarlo.

a). [ ] − 𝟐𝟑. 𝟓 = 𝟒𝟒. 𝟕𝟓

b). [ ] − 𝟐𝟓

𝟕 =

𝟐𝟑

𝟒

Conclusión:

En una resta, el minuendo es igual a:__________________________________

Se han realizado las multiplicaciones de dos números, pero alguien ha

borrado uno de los sumandos y el problema consiste en restaurarlo.

a) [ ][− 𝟏𝟓] = 𝟐𝟑

b) [𝟐𝟎][ ] = −𝟑𝟎

Conclusión:

En una multiplicación, uno de los factores es igual a:

_______________________________________________________________

Se han realizado las divisiones entre dos números, pero alguien ha

borrado el dividendo y el problema consiste en restaurarlo.

a) [ ]

𝟐𝟓= 𝟒𝟎

157

b) [ ]

𝟑

𝟓

= 𝟐𝟓

𝟒

Conclusión:

En una división, el dividendo es igual a:

_______________________________________________________________

Sub-tema 2 La estructura operatoria de una ecuación y su uso en la

transformación de una ecuación

Aprendizajes

Una vez expresada algebraicamente la condición que

satisface la incógnita en un problema, la utilizarás para

resolverlo.

El empleo de las reglas de transposición o las propiedades de

la igualdad.

En el proceso anterior el alumno comprenderá la prioridad de

las operaciones

Actividad 1 Comprensión de la estructura operatoria de una ecuación

y su uso para encontrar la incógnita

Problema para la

ejemplificación

¿Cuántas libras de chocolate que cuestan $5 por libra se

podrán mezclar con 8 libras de chocolate que cuestan $5.6 por

libra, para producir una mezcla que se pueda vender a $5.4

por libra?.

Solución

En este problema ya hemos encontrado la ecuación que

representa condición que debe satisfacer la incógnita, siendo

esta:

5x + 8(5.6) = 5.4(8 + x).

158

Aquí conviene eliminar el paréntesis aplicando la ley

distributiva sobre la suma y efectuar las operaciones

aritméticas:

5x + 44.8 = 5.4(8) + 5.4x

5x + 44.8 = 43.2 + 5.4x.

Como 5 está multiplicando a x, ¿podemos pasar el 5 al otro

miembro dividiendo?, esto es ¿ 𝑥 + 44.8 = 43.2+5.4𝑥

5?

Para responder a esto, introduzcamos el concepto de

estructura operatoria de la ecuación en la forma siguiente:

Cuando dos cantidades sean operadas, esto lo indicaremos

encerrando cada una de las cantidades en rectángulos, por

ejemplo en la ecuación anterior tenemos indicado que 5 es

multiplicado por x esto es 5x lo representaremos por:

Si este producto posteriormente se operará con otra expresión,

esto lo indicaremos encerrando la anterior expresión en un

rectángulo, lo que indica que estamos considerando el

resultado de la operación, esto es:

5

5x

5

5x

159

Siguiendo estas reglas la estructura operatoria de la ecuación

quedaría como sigue:

Si nosotros queremos pasar alguna cantidad del lado izquierdo

al lado derecho, consideramos el lado derecho como el

resultado de la sucesión de operaciones en el lado izquierdo

de la forma siguiente:

Si nos fijamos en los rectángulos últimos, visualizamos la

estructura operatoria siguiente:

¡La estructura de una suma! luego aplicando la propiedad: en

una suma, uno de los sumandos es igual al resultado de la

suma menos el otro sumando, podemos obtener la

transformación siguiente:

O sea: 5x = 43.2 + 5.4x – 44.8

Que es equivalente a 5x = 5.4x – 1.6

5x5x + 44.8 = 43.2 +5.4x

5 x + 44.8 5.4

= 43.2 + x

+ 44.8 = 43.2 + 5 x

5.4 x

5x = 43.2 + 5.4x - 44.8

160

¿Qué sigue?. Nuestra pretensión es llegar a una

transformación del tipo x = b o b=x, donde b es un número.

En nuestra ecuación ¿qué haríamos como siguiente paso?

Podemos hacer cualquiera de las siguientes dos cosas:

intentar tener en el lado derecho los términos en x o tenerlos

del lado izquierdo

Si optamos por la primer opción: como del lado izquierdo

aparentemente no hay operación que no sea la multiplicación

por 5. Conviene hacer la transformación siguiente:

0 + 5x = 5.4x – 1.6

Como queremos mover una cantidad del lado izquierdo al

derecho, éste lo consideramos como el resultado de la

secuencia operatoria de la izquierda. Luego la estructura

operatoria sería:

¡La estructura de una suma! luego aplicando la propiedad: en

una suma, uno de los sumandos es igual al resultado de la

suma menos el otro sumando, podemos obtener la

transformación siguiente:

o

0 = 5.4x – 16 – 5x

0 + 5x 5.4x – 1.6 =

0 5.4x – 1.6 = - 5x

161

Simplificando términos semejantes:

0 = .4x – 1.6

Ahora sería conveniente dejar el término en x solo en el lado

derecho, es obvio que la estructura de la última ecuación es:

¡La estructura de una resta!, luego podemos aplicar la

propiedad: el minuendo es igual al resultado de la resta más el

sustraendo, esto es:

0 + 1.6 = .4x o 1.6 = .4x, la cual tiene la siguiente estructura:

¡La estructura de una multiplicación! Luego podemos aplicar la

propiedad: uno de los factores en una multiplicación es igual al

producto entre el otro factor.

Esto es: 1.6/.4 = x o x = 4

¡Hemos encontrado la solución! Hay que agregar 4 libras de

chocolate que cuesta $5.

Conclusión:

Para resolver un problema con una incógnita mediante la

ecuación que representa la condición que debe satisfacer

la incógnita, hay que transformar la ecuación en otras

equivalentes empleando algunas o todas las reglas

mencionadas en la introducción, solo hay que identificar

la última operación que se hace en el miembro de la

ecuación de donde se desea remover un término. Ello nos

dirá cuál es el término que se puede mover o transponer.

Sub - tema 3 Consolidación de lo aprendido.

Instrucciones

Resuelve los problemas siguientes con el método algebraico

o Si no te es posible obtener la ecuación directamente del

análisis del problema, procede simulando la resolución por

0 = .4x - 1.6

1.6 = .4 x

162

el método de tanteo que usamos en el primer problema

planteado como introductorio

o Una vez que obtengas la ecuación que representa la

condición que debe satisfacer la incógnita, para su

transformación, debes identificar la última operación que se

realiza en el miembro del que has decidido transponer al

otro miembro. Ello te dirá qué término puedes transponer.

o Si tienes dificultades para identificar la última operación

intenta visualizar la estructura operatoria hasta que esto ya

no te sea necesario. Para no tener errores al visualizar la

estructura operatoria, siempre debes interpretar en el

contexto del problema la secuencia de operaciones

representadas en la ecuación, por ejemplo:

En la ecuación: 8 – 6(x – 2) = 300 puede ocurrir un error al

visualizar la estructura como:

Para ver si esto es correcto debes preguntarte qué es lo que

se resta en el contexto del problema.

Problema 1

Preguntó una hija a su madre que edad tenía, contestó ésta:

tu edad es ahora la quinta parte de la mía; pero hace cuatro

años, tu edad era la séptima parte de la que tengo hoy: ¿cuál

es la edad de la madre y de la hija

Sugerencias

heurísticas


Intenta trabajar con una sola incógnita

Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 2 Dos ciclistas salen a las 5 de la mañana de dos puntos

opuestos, distantes entre si 144km: recorriendo el primero 14

8 - 6 X - 2 = 300

163

Km/h y el segundo 10 Km/h. ¿A qué horas se encontrarán? ¿A

qué distancia de los puntos de partida?*

Sugerencias

heurísticas

¿Cuáles son las incógnitas?


Dibuja un diagrama que represente la situación descrita

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 3

Un ganadero tiene 480 reses entre las cuales hay triple número

de blancas que de pintas, y doble número de negras que de

blancas. ¿Cuántas hay de cada clase?*

Sugerencias

heurísticas



Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

Problema 4

En un teatro las entradas de adulto cuestan $120 y las

entradas de adolecente $40. Concurrieron 732 espectadores y

se recaudaron $70560. ¿Cuántos espectadores eran adultos?,

¿cuántos eran adolecentes?**

Sugerencias

heurísticas



Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 5 Un vendedor de frijol en un tianguis para aparentar un mejor

precio y calidad sobre sus competidores, mezcla Frijol de $30

con frijol de $20 para obtener una mezcla de 50 kilogramos

164

que pueda vender a $24 sin perder en lo invertido. ¿Cuántos

kilogramos de cada precio debe mezclar?

Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 6

Un vendedor a granel, tiene 100 litros de anticongelante al 80%

de sustancia activa. Pero sus clientes le piden anticongelante

al 60%. Luego el saca un cierto número de litros y los sustituye

por agua para obtener el anticongelante que le demandan.

¿Cuántos litros de anticongelante debió sacar y sustituir por

agua?

Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 7

Un vendedor a granel, tiene 200 litros de anticongelante al 80%

de sustancia activa. Pero sus clientes le piden anticongelante

al 50%. Luego el agrega un cierto número de litros de agua

para obtener el anticongelante que le demandan. ¿Cuántos

litros de agua agregó?

Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 8

De acuerdo a un plan, una fábrica de muebles debe hacer un

cierto número de mesas en un cierto tiempo, haciendo 48

mesas por día. Sin embargo hace dos mesas más cada día

terminando el trabajo 3 días antes. ¿Cuántas mesas y en que

tiempo se tenían que hacer?.***

Solución

individual

Solución

consensuada

165

Problema 9

Un contratista mezcló dos lotes de concreto que tenían 9.3% y

11.3% de cemento para obtener 4500 lb de concreto que

contiene 10.8% de cemento. ¿Cuántas libras de cada tipo de

concreto utilizó?

Solución

individual

Solución

consensuada

Problema 10

Un traficante de ganado fue a una feria, vistos los carneros que

había, dijo: si los pago a $800 me sobran $320 y si los pago a

$900 me faltan $1280. ¿Cuántos carneros había?, ¿cuánto

dinero llevaba? y a ¿cuánto debía pagarlos para que no le

sobrara ni le faltara?*

Sugerencias

heurísticas


Intenta trabajar con una sola incógnita, pensando si una de

ellas se puede calcular de dos maneras distintas

Respuesta

individual

Respuesta

consensuada

166

Unidad 4. Sistema de ecuaciones lineales

Propósitos Al finalizar: Serás capaz de modelar y resolver

situaciones problemáticas que conduzcan a sistemas

de ecuaciones lineales de orden 2x2 y 3x3, a fin de que

avances en la utilización de la representación

algebraica como un sistema de símbolos útiles en la

resolución de tales situaciones.

Presentación

Las siguientes actividades tienen como objetivo introducirte al estudio de los

sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3, en la primera parte se presentan 3

actividades, las primeras dos abordan los métodos de igualación y sustitución; la

tercera trata de un sistema que no tiene solución.

Estas actividades deberás resolverlas primero de manera individual y después

discutirlas en equipo y luego de manera grupal para que comparen respuestas. Una

vez hecho lo anterior, tu profesor te propondrá problemas y ejercicios para que los

resuelvas y reafirmes tus conocimientos.

Se te recomienda que investigues en la bibliografía que viene al final de las

actividades con la finalidad de que conozcas más del tema.

Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 𝟐×𝟐

Introducción:

Un sistema de ecuaciones lineales 2×2, consta de 2 ecuaciones lineales con dos

incógnitas. De acuerdo con el tipo de solución los sistemas de ecuaciones se

pueden clasificar en compatible e incompatible; los sistemas compatibles a su vez

se dividen en determinados e indeterminados, los determinados son aquellos que

tienen una única solución, mientras que los indeterminados tienen una infinidad

de soluciones. Finalmente, los sistemas incompatibles son aquellos que no tienen

solución.

167

Actividad 1 Método igualación

Objetivo (s) de la actividad

Identificarás las dos condiciones que deben satisfacer la solución del

problema planteado

Resolverás el problema a través de diferentes representaciones:

tabulación, gráfica y algebraica.

Concluirás que los pasos algebraicos que se emplearon es el método de

igualación.


Realiza lo que se te pide para resolver el problema siguiente:

Entre Miguel y Víctor tienen $1080. Si Miguel gasta 𝟐

𝟓 de su dinero y Víctor la

mitad del suyo, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tiene

cada uno?


a) Si observas, el problema considera dos condiciones que la solución debe

cumplir, ¿cuáles son esas condiciones? Represéntalas algebraicamente

168

b) En matemáticas, en la resolución de algunos problemas a veces es exitoso

considerar por separado las condiciones que deben satisfacer lo buscado,

procede tomando en cuenta esta sugerencia

Condición 1

Supongamos que Miguel tiene $642.8, ¿cuánto dinero tiene Víctor? __________.

Usando este razonamiento llena la siguiente tabla

Verifica los valores que obtuviste en la tabla con los de tus compañeros.

Condición 2

169

Llena la tabla 2 a partir de la condición 2.

Observa los valores de la tabla 2, ¿alguno cumple con la condición 1?

¿Existe un par de valores en la tabla 2 que cumplan con la condición 1?

Para la condición 2 se tienen muchas soluciones, sin embargo, no todas cumplen

con la condición 1. Lo mismo pasa con los valores de la condición 1, no todos

cumplen la condición 2.

c) Grafica los valores de la tabla 1 en el siguiente plano cartesiano

170

Ubica en el eje 𝒙 el 175, ¿qué valor de 𝒚 le corresponde? ______. ¿Qué

interpretación tienen estos valores?

Ubica el punto (900,180) ¿qué significado tiene el valor 180?

La gráfica que obtuviste, ¿qué es lo que representa?

De acuerdo a lo anterior, la pareja que representa cualquier solución

considerando la condición 1 podrá expresarse en forma general como

171

Ahora consideremos la condición 2, grafica los valores de la tabla 2 en el plano

cartesiano anterior, ¿qué tipo de gráfica resultó?

¿Cuál es el patrón geométrico que sigue esta nueva gráfica?

De acuerdo a lo anterior, la pareja que representa cualquier solución tiene la forma

general

172

Observa las gráficas y responde:

¿Qué pasa con las gráficas?

¿Cómo interpretas esto?

¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

De acuerdo con el problema, ¿qué interpretación tiene dicho punto?

d) En el inciso anterior, escribiste la forma que tienen las soluciones para las dos

situaciones del problema, también observaste que las gráficas obtenidas se

intersectan en un punto. ¿qué pasa con dichos patrones algebraicos en el punto

de intersección?

Escribe dicha situación de manera algebraica

De ello se concluye que

173

Si observas te ha quedado una ecuación de primer grado con una sola variable,

la cual si resuelves te da como resultado

¿Cómo determinas el otro valor desconocido?

Estos dos resultados que obtuviste son la solución del problema, y si observas

son el punto de intersección de las gráficas.

e) Escribe con tus propias palabras los pasos algebraicos que seguiste para

determinar la solución del problema.

Actividad 2 Método sustitución

174


Identificarás las dos condiciones que deben satisfacer la solución del

problema planteado

Resolverás el problema a través de diferentes representaciones:

tabulación, gráfica y algebraica.

Concluirás que los pasos algebraicos que emplearon es el método de

sustitución.



La suma de dos números es 108 y el doble del número mayor excede en 𝟑𝟎𝟓

𝟐

al triple del menor. Hallar dichos números.


a) Si observas, el problema considera dos condiciones que la solución debe

cumplir, ¿cuáles son esas condiciones? Represéntalas algebraicamente

175

b) En matemáticas, en la resolución de algunos problemas a veces es exitoso

considerar por separado las condiciones que deben satisfacer lo buscado,

procede tomando en cuenta esta sugerencia

Condición 1

Supongamos que el número mayor es 85, ¿cuál es el número menor?

__________.

Usando este razonamiento llena la siguiente tabla

Verifica los valores que obtuviste en la tabla con los de tus compañeros.

176

Condición 2

Llena la tabla 2 a partir de la condición 2.

Observa los valores de la tabla 2, ¿alguno cumple con la condición 1?

¿Existe un par de valores en la tabla 2 que cumplan con la condición 1?

Para la condición 2 se tienen muchas soluciones, sin embargo, no todas cumplen

con la condición 1. Lo mismo pasa con los valores de la condición 1, no todos

cumplen la condición 2.

c) Grafica los valores de la tabla 1 en el siguiente plano cartesiano

Ubica en el eje 𝒙 el 68, ¿qué valor de 𝒚 le corresponde? ______. ¿Qué

interpretación tienen estos valores?

Ubica el punto (23,85) ¿qué significado tiene el valor 85?

177

La gráfica que obtuviste, ¿qué es lo que representa?

De acuerdo a lo anterior, la pareja que representa cualquier solución

considerando la condición 1 podrá expresarse en forma general como

Ahora consideremos la condición 2, grafica los valores de la tabla 2 en el plano

cartesiano anterior, ¿qué tipo de gráfica resultó?

¿Cuál es el patrón algebraico que sigue esta nueva gráfica?

178

De acuerdo a lo anterior, la pareja que representa cualquier solución tiene la forma

general

Observa las gráficas y responde:

¿Qué pasa con las gráficas?

¿Cómo interpretas esto?

¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

De acuerdo con el problema, ¿qué interpretación tiene dicho punto?

d) En el inciso anterior, escribiste la forma que tienen las soluciones para las dos

situaciones del problema, también observaste que las gráficas obtenidas se

intersectan en un punto. Es decir, hay un punto con coordenadas (x , 108 – x) de

la condición 1que satisface también la condición 2.

¿Qué quiere decir que hay una coordenada de la forma (x, 108 – x) que debe

satisfacer la condición 2, la cual la hemos expresado como:

179

______________________________________________


________________________________________________________________

________________________________________________________________

____


________________________________________________________________

________________________________________________________________

____

Escribe dicha situación de manera algebraica

Si observas te ha quedado una ecuación de primer grado con una sola incógnita,

la cual si resuelves te da como resultado


_______________________________________________

180

Respuesta consensuada en el equipo:

_________________________________

Respuesta consensuada en el grupo:

_________________________________

¿Cómo determinas el otro valor desconocido?

Estos dos resultados que obtuviste son la solución del problema, y si observas

son el punto de intersección de las gráficas.

e). Escribe con tus propias palabras los pasos algebraicos que seguiste para

determinar la solución del problema.

182

Actividad 3. Sistemas de ecuaciones sin solución

Objetivos de la actividad:

El alumno

Identificará las condiciones del problema,

Planteará las expresiones algebraicas,

Aplicará algún método de resolución de sistemas de ecuaciones

(igualación o sustitución),

Determinará si existe o no solución.



Una persona que cobra por entrar a ver un programa de TV $5.00 por cada

adulto y $2.00 por cada niño recolectó $43.00 y además nos informa que diez

veces el número de adultos más cuatro veces el de los niños, daba un total

de 93 personas ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron a ver el

programa?

a) ¿Cuáles son las incógnitas?

b) ¿Cuáles son las condiciones del problema?

183

c) ¿Cuáles son las expresiones algebraicas?

184

d) Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de igualación o de

sustitución. Escribe tu solución

¿Qué sucede?

Para explicar lo que ha ocurrido, grafica las soluciones de cada una de las

ecuaciones

185

¿Qué puedes concluir sobre el sistema de ecuaciones a partir de lo que ocurre en

le gráfica?


_____________________________________________________


____________________________________________________

Observa ahora el sistema de ecuaciones que modela el problema

¿Puedes encontrar algún comportamiento de sus coeficientes?


______________________________________________________


___________________________________________________

Conclusión: Un sistema de ecuaciones de primer grado no tiene solución si los

coeficientes de las respectivas variables en los dos sistemas son tales que uno

se puede obtener multiplicando por un número el otro.

Cierre de las actividades

a). Resuelve los problemas siguientes aplicando los métodos de igualación y

sustitución:

1) Elena tiene 𝟖 𝒂ñ𝒐𝒔 más que Emma. Hallar sus edades actuales sabiendo que:

a) Hace 𝟏𝟒 𝒂ñ𝒐𝒔 la edad de Elena era el doble que la de Emma.

b) Dentro de dos años la edad de Elena será el triple que la de Emma.

c) Dentro de 𝟓 𝒂ñ𝒐𝒔 la edad de Elena será el doble que la que tenia Emma hace

𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔.

2) Hallar dos ángulos que están en la razón 5 : 4 sabiendo que:

a) Son adyacentes y su suma vale 𝟒𝟓𝒐.

b) Son complementarios.

c) Son suplementarios.

186

d) El mayor es igual a la mitad del menor más 𝟑𝟎𝒐.

e) El menor es igual a las 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 del mayor màs 𝟐𝟓𝒐.

f) Son ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

g) Pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es igual a su diferencia.

h) El primero es uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles y el segundo

es igual al doble del ángulo desigual.

3) Siendo 𝒍 𝒚 𝟐𝒍 − 𝟐𝟎 la base y la altura de un rectángulo, respectivamente, hallar

dichas dimensiones sabiendo que:

a) El perímetro vale 𝟓𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

b) El semi-perímetro es 𝟐𝟐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

c) El perímetro menos el lado 𝑩𝑪 es igual a 𝟐𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

d) Si se aumentan las dimensiones en 𝟏𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔, el perímetro del rectángulo que

resulta vale 𝟕𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

e) Si la altura no varía, pero la base se duplica, el perímetro se convierte en

𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒆𝒏𝒕ì𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

f) Es un cuadrado.

g) El perímetro de un cuadrado, cuyo lado es igual a la altura del rectángulo,

excede en 𝟏𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 al perímetro de un triángulo equilátero de base igual a dicho

lado.

4) El precio de la entrada a un espectáculo es $𝟏𝟎 para los niños y $𝟐𝟓 para

adultos. Hallar el número de niños y adultos que van a dicho espectáculo sabiendo

que:

a) El número total de asistentes fue de 𝟒𝟎 y el precio de todas las entradas

$𝟔𝟒𝟎𝟎𝟎.

b) El precio total de las entradas fue de 𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎 y asistieron el doble de niños que

de adultos.

c) El precio total de las entradas fue de $𝟔𝟐𝟓𝟎𝟎 y asistieron 𝟏𝟎 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔 más que

adultos.

d) Asistieron 𝟏𝟓 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔 𝒎à𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒅𝒖𝒍𝒕𝒐𝒔 y el precio total de las entradas de

aquéllos fue igual al total de las entradas de éstos.

187

5) Dos trenes salen en el mismo instante de la misma estación dirigiéndose en

sentidos contrarios. Hallar la velocidad e cada uno de ellos sabiendo que al cabo

de 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 la distancia que los separa es de 𝟑𝟔𝟎 𝒌𝒊𝒍ò𝒎𝒂𝒕𝒓𝒐𝒔 y que la velocidad

de uno de ellos es 𝟑 𝒌𝒎

𝒉𝒐𝒓𝒂 menos que el doble de la del otro.

6) Se consideran dos móviles que parten en el mismo instante del mismo punto y

se dirigen en sentido contrario. Hallar:

a) El tiempo que transcurre hasta que su distancia de separación sea de

𝟐𝟏𝟎 𝒌𝒊𝒍ò𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 sabiendo que sus velocidades so de 𝟐𝟓 𝒚 𝟏𝟓 𝒌𝒎

𝒉𝒐𝒓𝒂.

b) La velocidad de uno de ellos sabiendo que la del otro es de 𝟑𝟗 𝒌𝒎.

𝒉𝒐𝒓𝒂 y que al

cabo de 𝟕 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 la distancia que los separa es de 𝟕𝟎𝟕 𝒌𝒎.

c) Las velocidades de cada uno de ellos sabiendo que están en la razón 𝟔 ∶ 𝟓 y

que al cabo de 𝟏𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 la distancia que los separa es de 𝟑𝟎𝟖 𝒌𝒎.

7) Hallar el precio de una camisa y el de un sombrero sabiendo que:

𝟔 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒔𝒂𝒔 y 𝟖 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐𝒔 cuestan $𝟔𝟒𝟎 y que 𝟒 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒔𝒂𝒔 𝒚 𝒖𝒏 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐

cuestan $𝟐𝟏𝟎.

8) El doble de un número supera en 𝟗 al triple de otro, mientras que 𝟏𝟐 veces el

segundo excede en 𝟏𝟐 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos números

9) Si se resta 𝟒 numerador y se suma al denominador de una fracción, su valor

resulta ser 𝟏

𝟐 . Si se suma 𝟐 tanto al numerador como al denominador, el valor

que se obtiene es 𝟐

𝟑. Hallar la fracción.

10) Catalina invirtió pate de su dinero al 𝟖% y el resto al 𝟏𝟐%. El ingreso obtenido

por ambas inversiones totalizó $𝟐𝟒𝟒𝟎. Si hubiera intercambiado sus inversiones

habría totalizado $𝟐𝟕𝟔𝟎. ¿Qué cantidad de dinero había en cada inversión?

11) Hace 𝟓 años la de un muchacho era 𝟏

𝟓 de la que tenía su papá, y dentro de 𝟏𝟎

años el hijo tendrá la mitad de la edad del papá. Determine las edades actuales.

12) Si 𝟔 libras de naranjas y 𝟓 de manzanas cuestan $419, mientras que 𝟓 libras

de naranjas y 𝟕 de manzanas cuestan $488, determine el precio por libra de cada

fruta.

188

13) Un hombre compró cierto número de libros. Si hubiera comprado 5 libros más

por el mismo dinero, cada libro le habría costado $2 menos y si hubiera comprado

5 libros menos por el mismo dinero, hubiera pagado $4 menos por cada libro.

14) Un pájaro volando a favor del viento recorre 55 km en 1 hora, y en contra del

viento 25 km en una hora. Hallar la velocidad en km por hora del viento y la del

pájaro volando en aire tranquilo.

Cierre de las actividades

b). De los sistemas de ecuaciones siguientes, identifica aquellos que tienen

solución y los que no tienen solución:

Bibliografía

Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013). Matemática:

razonamiento y aplicaciones. (12ª. ed.) México: Pearson. Addison Wesley.

Allen, R. (2008). Álgebra intermedia. México: Pearson.

García, M. (2005). Matemáticas I para preuniversitarios. México: esfinge.

Tema 2: Sistemas equivalentes de ecuaciones y el método de triangulación


El alumno:

Comprende el concepto de sistemas equivalentes de ecuaciones

lineales en el caso de sistemas lineales 3x3.

Obtiene sistemas equivalentes de ecuaciones lineales.

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3 a través de

obtener un sistema triangular equivalente de ecuaciones.

Recursos:

Computadora, tableta (ipad o Android), celular

Acceso a internet.

Duración de la actividad:

189

Extraclase: 2 horas

Clase: Una de 2 horas.

Encontrar las soluciones para los siguientes sistemas de ecuaciones:

{

𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟏𝟐

−𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟖

Para encontrar las soluciones en Wolfram Alpha se usa la aplicación para el

celular (en Android o IOS la cual es de paga) o se visita la página

http://www.wolframalpha.com/

Se usa la función solve y cada ecuación separada por una coma de esta manera

Dando como resultado:

Wolfram Alpha puede expresar las soluciones de manera exacta o podemos ver

en su representación decimal, presionando Approximate form

http://www.wolframalpha.com/

190

En el caso de GeoGebra para usar el CAS podemos ir a la página de

www.geogebra.org ya sea desde el navegador de la computadora o del celular,

o usando la aplicación de la tableta o computadora.

Entrando a la vista de CAS se introducen las ecuaciones a la función Solve de

esta manera:

Dando como resultado

El CAS de GeoGebra también permite hacer operaciones con las ecuaciones

por ejemplo multiplicar toda por un número:

También permite hacer operaciones con ecuaciones como la siguiente:

Se pedirá a los estudiantes que practiquen encuentren soluciones a sistemas de

ecuaciones usando alguna de las dos herramientas, y en GeoGebra operen

ecuaciones, como el ejemplo que se muestra para que conozcan la herramienta

de CAS de GeoGebra

En clase:

http://www.geogebra.org/

191

Se pide al estudiante que encuentre la solución del siguiente sistema de

3x3

(𝑨) {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎

𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛 = −𝟓𝟖

Ahora se pedirá que se multiplique, la primera ecuación por 5, la segunda

por 2, y la tercera por 3

Ahora con el nuevo sistema

(𝑩) {

𝟓(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝟏𝟏𝟎𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎

𝟑(𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛) = −𝟏𝟕𝟒

(Si desea evitar las multiplicaciones como 5(x+y+z) se puede usar el

comando simplifica)

Se le pide al estudiante que lo resuelva

192

Se pregunta a los estudiantes

¿Qué ocurrió?

¿Y si multiplicamos por otros números diferentes de 0, cada ecuación?

¿Será el mismo resultado?

Dejando la primera ecuación nos queda el sistema que se pide resolver a

los estudiantes:

(𝑪) {𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝒙 − 𝟕𝒛 = −𝟑𝟔

¿Qué ocurrió?

¿Por qué al sumar las ecuaciones al sumarse, el sistema resultante tiene

las mismas soluciones?

Ahora usando el sistema de ecuaciones C, se pide a los estudiantes que

multipliquen por -2 la primera ecuación, por -5 la segunda, y por (1/2) la

tercera.

193

Ahora se pide que se resuelva el sistema:

(𝑫) {

−𝟐(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝟒𝟒−𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟓𝒛 = 𝟎𝟏

𝟐(𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛) = −𝟐𝟗

Se vuelve a preguntar a los estudiantes

¿Qué ocurre?

¿Por qué vuelven a surgir las mismas soluciones?

Los sistemas B,C,D

(𝑨) {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎

𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛 = −𝟓𝟖 (𝑩) {

𝟓(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝟏𝟏𝟎𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎

𝟑(𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛) = −𝟏𝟕𝟒

(𝑪) {𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝒙 − 𝟕𝒛 = −𝟑𝟔

(𝑫) {

−𝟐(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝟒𝟒−𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟓𝒛 = 𝟎𝟏

𝟐(𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛) = −𝟐𝟗

Surgen de multiplicar el sistema A, por números diferentes de cero, o

sumar las ecuaciones, o multiplica y sumar las ecuaciones, y siempre

tendrán las soluciones que el sistema original A.

194

A estos sistemas se les llama sistemas equivalentes de ecuaciones, los

cuales tienen las mismas soluciones, y mediante sumas de ecuaciones o

multiplicación de enteros a toda la ecuación y sumas de las ecuaciones

podemos transformarlas en cualquiera de ellas.

Esta propiedad nos puede ayudar para encontrar soluciones a sistemas de

ecuaciones 3x3.

Regresemos a la ecuación (A)

(𝑨) {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎

𝒙 − 𝒚 − 𝟖𝒛 = −𝟓𝟖

Nos gustaría usar las propiedades anteriores para resolver el sistema.

Eliminemos una de las variables, x es la elegida, para ese propósito,

multiplicamos, la primera ecuación por -2 y la sumamos a la segunda.

De igual manera hacemos lo mismo para la segunda ecuación y la tercera

la cual la multiplicamos por -2.

Quedando el siguiente sistema (2x2

(𝑨′) {−𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟒𝟒𝟑𝒚 + 𝟏𝟑𝒛 = 𝟏𝟏𝟔

De la misma manera eliminamos ahora y, para lo cual multiplicamos por (-

1/3) la segunda ecuación y la sumamos a la primera. Quedándonos la

siguiente ecuación:

−𝟐

𝟑𝒛 = −

𝟏𝟔

𝟑

195

El sistema A, lo podemos escribir como:

(𝑨′′) {𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐−𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟒𝟒

𝒛 = 𝟓𝟖

Dicho sistema equivalente se puede resolver de manera algebráica

sustituyendo z=8 en la segunda ecuación, de tal manera que obtenemos

y=4, y estos dos valores se sustituyen en la primera ecuación obtieniendo

x=10.

Este método también es conocido como eliminación o suma y resta, y se

puede usar para cualquier sistema de ecuaciones de nxn para encontrar su

solución.

Resuelve los siguientes problemas usando lo antes visto:

1) Futbol Americano. En la temporada regular de 2004 de la NFL, 19 jugadores

anotaron 100 o más puntos. Los tres jugadores con la mayor cantidad de puntos

fueron Adam Vinatieri (Nueva Inglaterra), Jasón Elam (Denver) y Jeff Reed

(Pittsburgh). Estos tres jugadores anotaron un total de 304 puntos. Vinatieri anotó

17 puntos más que Reed. Juntos Vinatieri y Reed anotaron 7 puntos más que el

doble de puntos que anotó Elam. Determine el número de puntos que anotaron

Vinatieri, Elam y Reed.

2) Súper Tazones. El Súper Tazón XXIX se celebró el 6 de febrero de 2005, en

Jacksonville, Florida. A lo largo de los años, los estados de Florida, California y

Louisiana, en este orden, han sido anfitriones del Súper Tazón un total de 32

veces, Florida ha tenido 3 Súper Tazones más que Louisiana. Juntos Florida y

Louisiana han tenido un Súper Tazón menos que el doble que ha tenido California.

Determine el número de Súper Tazones que ha albergado cada uno de estos

estados.

3) Boletos de Concierto. Para un concierto de Soggy Bottom Boys están

disponibles tres clases de boletos: Al frente, piso principal y palco. Los boletos

196

más caros, del frente, son dos veces más caros que los boletos de palco. Los

boletos de palco cuestan $10 menos que los boletos del piso principal y $30

menos que los boletos de enfrente. Determine el precio de cada clase de boleto.

4) Triángulo. La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180º. El

Angulo más pequeño del triángulo tiene una medida de 2/3 la medida del segundo

ángulo más pequeño. El ángulo más grande tiene una medida que es 30º menos

que tres veces la medida del segundo ángulo. Determine la medida de cada

ángulo.

5) En una fábrica hay tres máquinas,A,B y C. Cuando las tres están trabajando,

producen 222 trajes por día. Si A y B trabajan, pero C no, producen 159 por día. Si

B y C trabajan, pero A no, producen 147 trajes por día. ¿Cuál es la producción

diaria de cada máquina?

6) La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el

segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los

números.

7) La edad de Tomás es la suma de las edades de Carmen y Daniel. La edad de

Carmen es 2 años más que la suma de las edades de Daniel y Marco. La edad de

Daniel es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42.

¿Qué edad tiene Tomás?

8) Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las

calificaciones del primero y el tercero de ellos excede su tercera calificación en 61

puntos. Su primera calificación supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra las

tres calificaciones.

9) Patricia recogió fresas durante tres días. En total recogió 87 kg. El martes

recogió 15 kg más que el lunes. El miércoles recogió 3 kg menos que el martes.

¿Cuántos kg recogió en cada día?

197

10) Olimpiadas de verano de 2004. En los Juegos Olímpicos de 2004 en Grecia,

los países que ganaron la mayor cantidad de medallas de oro fueron Estados

Unidos, China y Rusia. Juntos, estos tres países ganaron un total de 94 medallas

de oro. Estados Unidos ganó tres medallas de oro más que China. Reunidas las

medallas de oro ganadas por Estados Unidos y Rusia es dos menos que el doble

del número de medallas de oro ganadas por China. Determine el número de

medallas de oro ganadas por cada país.

11) Flujo de Corriente. En electrónica es necesario analizar el flujo de corriente a

través de redes(o trayectorias) en un circuito. En tres trayectorias (A, B y C) de un

circuito, las relaciones son las siguientes:

I_A+I_B+I_C=0

-8I_B+10I_C=0

4I_A-8I_B=6

Donde, I_A,I_B e I_C representan la corriente en las trayectorias A,B y C,

respectivamente. Determine la corriente en cada trayectoria de circuito.

12) Tomás David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando

trabajan juntos. Tomás y David juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora,

mientras Tomás y Carla, juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora.

¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado.

Actividad: Sistemas equivalentes de ecuaciones sin soluciones o con

soluciones infinitas


El alumno:

Identificará sistemas de ecuación es las cuales no tienen soluciones

o tienen una cantidad infinita de soluciones.

Veamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 3x3 y busquemos la

solución.

198

(𝑨) {

𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎

Si multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos a la primera nos

queda usando el CAS de GeoGebra para eliminar la variable x

Y reemplazamos la primera ecuación por lo resultante

(𝑨) {𝟎 = 𝟎

𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎

Para eliminar a x en la segunda ecuación multiplicamos la segunda ecuación por

-3 y la segunda por 4, las sumamos y reemplazamos el resultado en la segunda

ecuación.

(𝑨) {𝟎 = 𝟎

−𝟑𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟑𝟒𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎

Ordenamos el sistema de tal manera que nos quede triangular, primero la

tercera ecuación, después la segunda, y al final la primera.

(𝑨′) {𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎−𝟑𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟑𝟒

𝟎 = 𝟎

¿Qué se puede observar?

¿Se puede resolver el sistema con solo esas dos ecuaciones?

Se observa que no es posible resolver el sistema, solo si se le diera un

valor a x, por ejemplo x=1, se tendría que:

199

Para x=-2

Es evidente que los valores de x, z, cambian para diferentes valores de x

Se pregunta a los estudiantes ¿Cuántas soluciones hay?

La cantidad de soluciones de este sistema es infinita.

Ahora veamos el siguiente caso:

(𝑩) {

−𝟔𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟑𝟎𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟗

Se procede de la misma manera que anteriores ejercicios, sumemos las dos

primeras ecuaciones para eliminar alguna variable, en este caso x, para lo cual

multiplicaremos por 3 la segunda ecuación y la sumamos a la primera.

Dando como resultado :

¡Sabemos que 0 no es igual a 27!

¿Qué está incorrecto?

Si observamos la multiplicación de 3 a la segunda ecuación nos queda:

200

Viendo está ecuación con la primera vemos que la primera parte de la ecuación

es la misma con signo opuesto:

𝟔𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 − 𝟑𝒛

Pero la igual es diferente, lo que en realidad nos indicaría que hay que buscar 3

números que cumplen que son iguales a 3, y al mismo tiempo 30, lo cual es

imposible.

Este tipo de sistemas que llevan a igualdades que parecen ilógicas, no

tienen solución.

Se sugiere analizar los siguientes ejemplos y ver si tienen solución, cantidad

infinita solución o ninguna:

(𝟏) {

𝒙 + 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟎𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟐𝟎

𝟓𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝒛 = 𝟗

(𝟐) {

𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟗𝟒𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟗𝒛 = −𝟏𝟎

−𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛 = −𝟐

(𝟑) {

−𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟏

𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟒

Actividad adicional: Las edades


El alumno:

Identificará las tres condiciones que deben satisfacer la solución del

problema planteado

Resolverá el problema a través de sustitución

Visualizará la solución del sistema del problema planteado


201


La suma de la edad de Pedro, la de su papá y su hermana dan como resultado

54 años, el doble de la suma de la edad de los hermanos es igual a la del papá,

y seis veces la diferencia de la edad de Pedro con su hermana es igual a la de

su papá.


Suponemos que “x” representa la edad de Pedro, “y” la edad de su papá y “z” la

de su hermana.

Si observas, el problema considera tres condiciones que la solución debe

cumplir, ¿cuáles son esas condiciones?, represéntalas algebraicamente

Condición 1 Condición 2 Condición 3

Las condiciones esperadas serían las siguientes:

Condición 1

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟓𝟒

Condición 2

𝟐(𝒙 + 𝒛) = 𝒚

Condición 3

𝟔(𝒙 − 𝒛) = 𝒚

En la actividad anterior realizaste una gráfica dónde encontrabas los puntos que

cumplían con las dos condiciones, pero en está tenemos tres condiciones, así

que las soluciones para cada condición es de la forma (x,y,z) y nos gustaría

encontrar dónde se cumplen las tres condiciones.

¿Cómo escribirías las tres condiciones de tal manera que puedas poner la edad

de la hermana de pedro con respecto a las edades de pedro y la su papá?

202

Se espera que el estudiante despeje z para cada ecuación

Condición 1 (ecuación 1)

𝒛 = −𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝟒


𝒛 = −𝒙 +𝟏

𝟐𝒚


𝒛 = 𝒙 −𝟏

𝟔𝒚

Así como en la actividad anterior graficaste cada condición (ecuación) y te diste

cuenta que daba como resultado una recta, ahora tienes tres edades así que la

gráfica resultante es un plano en tres dimensiones (no es necesario que la

grafiques) cada una de las ecuaciones tienen las siguientes gráficas.

Ecuación 1

203

Ecuación 2

Ecuación 3

De manera análoga a la actividad anterior nos gustaría saber cuál es la solución

entre dos condiciones la cual nos daba como resultado un punto (x,y) en este

ejemplo ahora tenemos que la “intersección” entre la condición 1 y la condición 2

que algebraicamente significa que igualemos los valores de las ecuaciones 1 y 2

−𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝟒 = −𝒙 +𝟏

𝟐𝒚

Simplificando nos queda:

𝒚 = 𝟑𝟔

Gráficamente da como resultado la intersección entre los dos planos

correspondientes a las condiciones 1 y 2, la cual es una recta.

204

El mismo procedimiento lo hacemos ahora con las condiciones 2 y 3 de manera

algebraica es igualar las ecuaciones 2 y 3

−𝒙 +𝟏

𝟐𝒚 = 𝒙 −

𝟏

𝟔𝒚

Simplificando

𝒚 = 𝟑𝒙

De igual manera gráficamente da como resultado la intersección entre los

dos planos correspondientes a las condiciones 2 y 3, otra recta.

205

El problema ahora se ha reducido a uno dos ecuaciones que representan rectas

en el espacio.

Quedando {𝒚 = 𝟑𝒙𝒚 = 𝟑𝟔

Usando los métodos de la actividad anterior llegamos a que x=12, y=36.

Dichos valores ahora los sustituimos en la primera condición.

(𝟏𝟐) + 𝟑𝟔 + 𝒛 = 𝟓𝟒

La cual se transforma en una ecuación de primer grado.

Dónde el resultado de z=6

Gráficamente el problema lo podemos representar:

El resultado del problema es que la edad de Pedro es de 12 años, de su papá

es de 36 y la de su hermana es de 6.

Para hacer esta manipulación podemos ver las gráficas en la siguiente dirección

http://ggbm.at/QBSfA37q

http://ggbm.at/QBSfA37q

documento de trabajo para el alumno · unidad 3: ecuación de primer grado con una incógnita ......

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