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DEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPONTIFICIA DE?L PERÚUNIVERSIDAD CATÓLICA
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DOCUMENTO DE TRABAJO N° 329
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito
DOCUMENTO DE TRABAJO N° 329
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito
Mayo, 2012
DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
DOCUMENTO DE TRABAJO 329 http://www.pucp.edu.pe/departamento/economia/images/documentos/DDD329.pdf
© Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, © Cecilia Garavito
Av. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú. Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - 4951 Fax: (51-1) 626-2874 [email protected] www.pucp.edu.pe/departamento/economia/
Encargado de la Serie: Luis García Núñez Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, [email protected]
Cecilia Garavito MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES Lima, Departamento de Economía, 2012 (Documento de Trabajo 329) PALABRAS CLAVE: Comportamiento microeconómico: principios; economía del consumidor: teoría.
Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-05921 ISSN 2079-8466 (Impresa) ISSN 2079-8474 (En línea) Impreso en Cartolán Editora y Comercializadora E.I.R.L. Pasaje Atlántida 113, Lima 1, Perú. Tiraje: 100 ejemplares
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito
RESUMEN Este es el primer capítulo de un libro sobre Microeconomía de pre grado, que además de presentar los temas estudiados a nivel intuitivo, gráfico y matemático, incorpora los elementos instituciones y de contexto de un país como el Perú, así como las relaciones de género allí donde es pertinente. En este capítulo presentamos el modelo simple del consumidor. Así partimos de las condiciones de óptimo del consumidor para llegar al análisis de dualidad y presentar los efectos sustitución e ingreso ordinarios. Luego del análisis de las curvas de demanda ordinaria y compensada, y el concepto de elasticidad precio e ingreso, llegamos finalmente a la Ecuación de Slutsky. Asimismo, presentamos la teoría de preferencia revelada y de allí seguimos con las diversas formas de medir los cambios en el bienestar del consumidor ante cambios en los precios. Finalmente derivamos la curva de demanda de mercado y los conceptos de ingreso medio y marginal. Allí donde es pertinente el capítulo profundiza en los diversos temas con ejemplos tomados de la realidad peruana. Palabras clave: Comportamiento microeconómico: principios; economía del consumidor: teoría.
ABSTRACT
This is the first chapter of a book about pre graduate Microeconomics, which not only presents the themes to study at an intuitive, graphic and mathematical level, but also introduces the institutional and contextual elements of a country like Peru, as much as the gender relationships where it is pertinent. In this chapter we present the simple model of consumer. We start from the conditions of optimization and go the duality analysis in order to present the substitution and ordinary income effects. After deriving the ordinary and compensated demand curves, and add the concept of price and income elasticity, we finally get to the Slutsky Equation. We also present the revealed preferences theory, and then we follow with the different ways of measuring the changes in consumer’s welfare when prices change. Finally we derive the market demand curve and the concepts of average and marginal income. There where it is pertinent, this chapter deepens the study of the different themes with examples from Peruvian reality. Keyword: Microeconomic Behavior: Underlying Principles, Consumer Economics: Theory
1
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito1
1. INTRODUCCIÓN
El estudio de las elecciones del consumidor parte de un modelo simple
donde el individuo busca maximizar una función que representa sus
objetivos, sujeto a restricciones relacionadas con su participación en el
mercado. Así, dadas sus preferencias y la existencia de escasez, el individuo
escogerá aquella combinación de bienes que le permita maximizar su
bienestar. El bienestar del individuo está representado por una función de
preferencias, y la escasez por una recta de presupuesto. Sin embargo, el
individuo no está aislado sino que forma parte de una familia, y en algunos
casos trabaja en una empresa, o forma parte de alguna organización. En
resumen, el individuo vive en sociedad y las instituciones de ésta influyen en
su comportamiento económico. Adicionalmente, en la sociedad existen roles
más o menos flexibles asignados a los géneros, roles que no solamente
limitan sus posibilidades de elección, sino que también afectan sus
preferencias.
Ejemplo 1.1: Decisiones Individuales versus Decisiones Familiares
Cada mes deben hacerse compras de bienes y servicios para el hogar. Los bienes de consumo diario (como los alimentos) deben comprarse con una frecuencia mayor que los bienes de consumo durable (como los accesorios del hogar), y hay servicios que deben pagarse una vez al mes (energía, agua). Si el hogar es unipersonal, podemos decir que la decisión depende de las preferencias y restricción de presupuesto de un individuo, pero si hay más de una persona, esa abstracción tan simple no necesariamente refleja la realidad. Becker (1965, 1993) asume que existe un jefe de hogar benevolente de manera que si bien son sus preferencias las que cuentan, se preocupa por los demás miembros del hogar. Para el caso de Canadá, Browning y Chiappori (1998) demuestran que el modelo unitario no explica las decisiones familiares. En el caso del Perú, Monge (2004) encuentra evidencia empírica que permite rechazar el modelo unitario para el caso de los gastos en comida, en educación y en salud de los miembros del hogar; y Garavito (2012) encuentra evidencia de que el género es importante en las decisiones familiares sobre la educación de los hijos. 1 Profesora Principal del Departamento de Economía de la Pontificia Universidad
Católica del Perú.
2
Ejemplo 1.2: Preferencias y Género
En el análisis de las elecciones del consumidor, se asume que las preferencias están dadas, y que existe altruismo al interior de la familia. Sobre el primer punto, Folbre (1986, 1996), Folbre y Nelson (2000), y Woolley (1992) señalan que existe una contradicción lógica al suponer un comportamiento altruista dentro del hogar, y uno competitivo en el mercado. Sobre el segundo punto, Sen (1989) señala que las percepciones de los géneros sobre el propio bienestar se ven alteradas por la socialización diferencial que reciben, como cuando a las mujeres se le enseña que siempre debe poner el bienestar del resto de la familia sobre el suyo.
En este capítulo vamos a ocuparnos de la teoría del consumidor,
analizando cómo la decisión de un individuo sobre los bienes y servicios que
consume se expresa a través de demandas individuales, las cuales pueden
agregarse para obtener la curva de demanda de mercado. En el siguiente
capítulo vamos a analizar las extensiones de ese modelo simple.
El consumidor desea consumir una canasta de bienes, dadas sus
preferencias. Sin embargo, los ingresos de que dispone y los precios de los
bienes representan límites a su capacidad de consumo. Es así que el
consumidor debe encontrar el equilibrio entre sus preferencias subjetivas y
su restricción de presupuesto (ingresos y precios de mercado de los bienes y
servicios que desea consumir). Entonces, como primer paso debemos definir
la función de preferencias del individuo.
2. PREFERENCIAS Y UTILIDAD
Para definir la función de preferencias del individuo partimos de una
serie de supuestos sobre su comportamiento. El modelo más simple asume
que el individuo elige entre conjuntos de bienes y servicios a los cuales
llamamos canastas de consumo. Si la canasta de consumo )(Y está
compuesta por m bienes, podemos expresarla por medio de la siguiente
ecuación:
),...,,( 21 myyyY = )(i
3
Donde jy representa la cantidad del bien o servicio j que el individuo i
consume. El consumidor debe poder decidir qué canasta prefiere, es decir,
cuál le permitirá obtener un mayor nivel de bienestar. Necesitamos entonces
una función de preferencias sobre el conjunto de canastas de bienes Ω .
Debemos poder responder a preguntas como: ¿Por qué algunas personas
prefieren el cine y otras los libros? ¿Por qué algunas personas prefieren una
combinación de ambos y no otra? ¿Por qué algunos bienes son consumidos
solamente por un grupo de personas y no por otro? ¿Por qué el bienestar de
algunas personas depende del bienestar de otras? ¿Cómo decide la familia
qué y cuánto consumir? Muchas de estas preguntas se pueden contestar con
el modelo más simple, por lo cual empezaremos con él. El resto de preguntas
las desarrollaremos en el capítulo siguiente.
2.1 Axiomas de la Elección Racional
Sea Ω un conjunto convexo2 de canastas de consumo, donde cada
canasta contiene m bienes ),...,,( 21 myyy . Para poder derivar la función de
preferencias o de utilidad partimos de los siguientes supuestos:
Reflexividad: Este supuesto es sobre todo una condición matemática, pero se
puede interpretar como la necesidad de que la canasta de bienes no esté
vacía. Matemáticamente, dada la canasta )',...,','(' 21 myyyY = , debe cumplirse
la siguiente relación:
''~YY La canasta Y es “al menos tan buena como” si misma
Completitud: Dadas dos canastas de bienes, el consumidor debe poder elegir
entre ambas. Entonces, decimos que dadas las canastas 'Y e "Y , donde
)',...,','(' 21 myyyY = e )",...,","(" 21 myyyY = , se cumple una de las siguientes
relaciones:
"' YY La canasta 'Y “es preferida a” la canasta "Y
2 Ver el Apéndice Matemático.
4
'" YY La canasta "Y “es preferida a” la canasta 'Y
"~' YY La canasta 'Y “es equivalente a” la canasta "Y
Transitividad: Una vez que establecemos que las canastas de bienes no
pueden estar vacías, y que el consumidor siempre puede elegir entre dos de
ellas, la transitividad nos asegura coherencia en el orden de dichas
elecciones. Así tenemos que dadas las canastas 'Y , "Y e "'Y , donde la
canasta )"',...,"',"'("' 21 myyyY = se cumple que:
Si "' YY , e "'" YY , entonces '"' YY
También se cumple que:
Si "~' YY , e "'~" YY , entonces '"~' YY
Es decir, si la canasta 'Y es preferida a (es equivalente a) la canasta "Y , y la
canasta "Y es preferida a (es equivalente a) la canasta '"Y , entonces la
canasta 'Y es preferida a (es equivalente a) la canasta '"Y .
No Saturación: Pasamos ahora a comparar las canastas tomando en cuenta
las cantidades de los diversos bienes que poseen. Dado que un consumidor
siempre prefiere más bienes a menos bienes (no saturación), una canasta 'Y
será preferida a otra canasta "Y , si 'Y contiene al menos más de un bien y
no menos del resto de bienes otro. Por ejemplo dadas las siguientes canastas
de dos bienes cada una )','(' 21 yyY = e )","(" 21 yyY = , 'Y será preferida a "Y
en los siguientes casos:
Si "' ii yy = , e "' jj yy > 2,1, =∀ ji
Si "' ii yy > , e "' jj yy >
Continuidad: Cuando un individuo escoge entre canastas, asumimos que
todos los bienes en la canasta tienen la misma importancia, que no hay
jerarquías entre estos. Es decir, el tipo de bienes al interior de la canasta no
5
determina la elección, sino las cantidades de estos bienes, tal como se vio en
el axioma anterior. De esta manera estamos dejando de lado otros
supuestos posibles sobre la forma en que los consumidores eligen los
bienes3, con el fin de obtener una función de utilidad con ciertas
características que la hacen más sencilla.
Formalmente, suponemos que los conjuntos 1Ψ y 2Ψ , definidos de la
siguiente manera: }'/{1 YYY =Ψ y }'/{2 YYY =Ψ , son cerrados y limitados
por su frontera. Este axioma implica que si un individuo dice que 'Y es
preferida a "Y , cualquier canasta entre 'Y e "Y será también preferida a "Y .
Otra manera de verlo es decir que el lugar geométrico de las canastas menos
preferidas que el conjunto 1Ψ , y preferidas al conjunto 2Ψ es una función
continua.
2.2 La Función de Utilidad
A partir de los supuestos anteriores se puede derivar una función de
utilidad para los m bienes y/o servicios que consume el individuo:
),...,,()( 21 myyyUYUU == )(ii
Donde la función de utilidad U es un indicador del orden de satisfacción que
el consumidor obtiene a partir de los bienes y servicios consumidos. Por lo
tanto si calculamos un valor a partir de una forma funcional específica, éste
será arbitrario e indicará solamente dicho orden de satisfacción. Entonces, si
tenemos dos canastas 'Y e "Y , se cumple lo siguiente:
)"()'( YUYU > ⇔ "' YY
)"()'( YUYU ≥ ⇔ ''~YY
)"()'( YUYU = ⇔ "~' YY
3 Específicamente, la teoría de las Preferencias Lexicográficas, donde existe una
jerarquía entre los bienes al interior de una canasta.
6
2.3 Curvas de Indiferencia
La curva de indiferencia nos muestra las distintas canastas o
combinaciones de bienes que mantienen el nivel de utilidad constante. Si
fijamos este nivel en U0:
),...,,( 210 nyyyUU = )(iii
En la Figura 1.1 podemos ver una curva de indiferencia para el caso de dos
bienes. La pendiente de esta curva es negativa y representa la tasa de
cambio entre ambos bienes, es decir, a cuánto de 2y está dispuesto a
renunciar el consumidor para obtener una unidad más de 1y , manteniendo el
nivel de utilidad constante. Vemos asimismo que la curva es convexa. Esto
se debe a que a medida que el individuo tiene menos 2y está dispuesto a
renunciar a menos de éste bien a cambio de más 1y .
Figura 1.1: Curva de indiferencia para el caso de dos bienes. La pendiente
de la curva de indiferencia es el cociente entre la reducción en el consumo
del bien 2y y el aumento consiguiente en el consumo del bien 1y , necesario
para mantener el nivel de utilidad constante.
7
Si tomamos diferenciales totales a la expresión )(iii :
22
11
0 0 dydy
dUdy
dy
dUdU +==
Reordenando la expresión, obtenemos la relación marginal de sustitución en
el consumo )(21yyRMSC , la cual representa pendiente de la curva de
indiferencia. Esta relación es decreciente debido a que depende de la escasez
relativa de ambos bienes.
2
1
2
1
1
221 U
U
dydU
dydU
dy
dyRMSC yy −=−== )(iv
8
3. CONJUNTO FACTIBLE Y RECTA DE PRESUPUESTO
El conjunto factible es la capacidad de compra del consumidor, y la
recta de presupuesto el límite máximo de dicha capacidad de compra.
Partimos de que el consumidor conoce su ingreso y los precios de mercado
de los bienes que va a comprar, y asumimos que su demanda de bienes es
muy pequeña en relación a la demanda agregada de cada bien, por lo que no
puede influir en los precios.
3.1 El Conjunto Factible
Supongamos que los precios de los bienes 1y e 2y son 1P y 2P ,
respectivamente. Si el ingreso del consumidor es constante e igual a I
entonces:
IyPyP ≤+ 2211 )(v
Es el conjunto factible del consumidor, donde el gasto total en ambos bienes
puede ser menor o igual al ingreso total. El conjunto factible representa la
capacidad de compra de bienes del consumidor, es decir, su ingreso real, y
como tal será mayor a mayor ingreso del consumidor y a menores precios.
(Ver Figura 1.2).
3.2 La Recta de Presupuesto
Debido al axioma de no saturación asumimos que el consumidor gasta
todo su ingreso, en cuyo caso obtenemos la recta de presupuesto:
IyPyP =+ 2211 )(vi
En la Figura 1.2 podemos ver el conjunto factible y la recta de presupuesto.
La pendiente de la recta de presupuesto es la relación de intercambio )(RI
en el consumo y nos muestra los precios relativos, es decir, dice a qué tasa
es posible intercambiar los dos bienes en el mercado.
9
Figura 1.2: Conjunto Factible y Recta de Presupuesto. El Conjunto Factible
es el conjunto de todas las canastas que el individuo puede comprar,
mientras que la Recta de Presupuesto es el lugar geométrico de las canastas
que el individuo efectivamente compra cuando gasta todo su ingreso. La
pendiente de la recta de presupuesto o relación de intercambio (RI) es el
negativo del cociente entre el precio del bien 1y y el precio del bien 2y .
Si tomamos diferenciales a la recta de presupuesto, dado que el ingreso es
constante, obtenemos una expresión matemática para la relación de
intercambio del mercado )(RI :
2
1
1
221 P
P
dy
dyRI yy −==
)(vii
Ejemplo 1.3 A mediados de los años 80 en el Perú había alta inflación y
escasez de productos. En estos años el consumidor muchas veces tenía que
comprar otros productos para obtener los que realmente necesitaba. Así, era
común tener que comprar, por ejemplo, dos paquetes de fideos para sopa
10
por cada tarro de leche. Esto cambiaba el conjunto factible del consumidor,
introduciendo una restricción adicional. Así, si 1y es la leche y 2y una bolsa
de fideos, el conjunto factible era el siguiente:
IyPyP ≤+ 2211
12 2yy ≥
Como podemos ver la figura siguiente, el conjunto factible es solamente la
zona achurada:
11
4. LA ELECCIÓN OPTIMA DEL CONSUMIDOR
Entonces, dadas sus preferencias y sus restricciones, asumimos que el
consumidor busca maximizar su función de utilidad sujeta a su recta de
presupuesto. Formalmente, y para dos bienes, el problema económico del
consumidor es el siguiente:
Max ),( 21 yyUU =
..as 2211 yPyPI +=
Construimos el Lagrangiano y obtenemos las condiciones de
maximización de primer y segundo orden:
)(),( 221121 yPyPIyyU −−+=Λ λ
0111
=−∂=∂
Λ∂P
dy
U
yλ )(viii
0222
=−∂=∂
Λ∂P
dy
U
yλ )(ix
02211 =−−=∂Λ∂
yPyPIλ
)(x
Dividiendo la expresión )(viii entre la expresión )(ix , obtenemos la
condición de equilibrio del consumidor:
2
1
2
2
1
1
P
P
yU
yU
=
∂∂
∂∂
)(xi
Lo cual quiere decir que en el óptimo la relación marginal de
sustitución en el consumo es igual a la relación de intercambio del mercado.
Las condiciones de segundo orden garantizan que el óptimo sea un máximo4.
4 Ver el Apéndice Matemático.
12
En la Figura 1.3 podemos ver la condición de equilibrio del consumidor,
donde dada su recta de presupuesto y su función de utilidad, éste consumirá
la canasta ),( 21AA yyA = . Si reemplazamos ambos puntos en la función de
utilidad tendremos el nivel de Utilidad Directa en el punto A :
),( 21AA
A yyUU = )(xii
Figura 1.3: El equilibrio se obtiene cuando la RMSC (relación de intercambio
subjetiva) se iguala a la RI del mercado (relación de intercambio objetiva).
La pendiente de la recta de presupuesto (RI) es el negativo del cociente
entre el precio del bien 1y y el precio del bien 2y .
Tomando diferenciales totales a la expresión )(xi obtenemos:
)()( 222121112212111221 dyUdyUPdPUdyUdyUPdPU ++=++
13
Si 021 == dPdP , entonces:
0221122
112211
1
2 >−−
=UPUP
UPUP
dy
dy
Si 011 == dydP , entonces:
0221122
1
2
2 <−
−=UPUP
U
dP
dy
Si 012 == dydP , entonces:
0221122
2
1
2 >−
=UPUP
U
dP
dy
Lo cual nos permite reemplazar )(xi con una expresión equivalente:
),,( 2112
−++= PPyfy )(xiii
Reemplazando la expresión )(xiii en la expresión )(x obtenemos:
),,( 211211 PPyfPyPI +=
Despejando 1y en función de los parámetros, y asumiendo que 1y y 2y son
bienes normales, obtenemos la curva de demanda del bien 1y :
),,( 2111
++−= IPPyy dd )(xiv
Con lo cual la demanda individual del bien 1y depende negativamente de su
propio precio, y positivamente del precio del bien 2y y del ingreso. Si
reemplazamos la expresión )(xiv en la expresión )(xiii , obtenemos la curva
de demanda individual del bien 2y :
14
),,( 2122
+−+= IPPyy dd )(xv
Ambas curvas de demanda individual son homogéneas de grado cero en los
precios y en el ingreso5. Esto significa que el dinero no afecta las decisiones
reales, ya que si elevamos el ingreso de un individuo y los precios de los
bienes que compra en la misma proporción, se mantienen constantes tanto
los precios relativos como su ingreso real, y por lo tanto, la canasta de
consumo elegida no cambia.
Ejemplo 1.4 Siguiendo con el problema presentado en el Ejemplo 1.3,
veamos que sucede con la condición de óptimo del consumidor si dicha
canasta no es alcanzable con la restricción de cantidades proporcionales de
bienes )2( 12 yy ≥ 6. Entonces si bien el consumidor maximizaría su utilidad en
el punto A si no existiera dicha restricción, debido a que existe el punto
óptimo es 'A :
I/P2
0
y2
y1I/P2
y2=2y1
A
A’
5 Ver el Apéndice Matemático. 6 Este sería un caso de solución de esquina. Ver las condiciones de primer
orden de Kuhn – Tucker en el Apéndice Matemático.
15
En la siguiente sección llevaremos a cabo el análisis de estática comparativa,
donde veremos los efectos sobre las variables endógenas del modelo ),( 21 yy de los cambios en las variables exógenas ),,( 21 PPI .
Efecto Ingreso y Curva de Engel
La función de demanda de la expresión )(xiv puede rescribirse de la
siguiente manera:
=
+−
IP
Pyy dd ,
2
111
)(xvi
Donde la cantidad demandada del bien 1y dependerá negativamente de los
precios relativos y positivamente del ingreso nominal. Si tomamos
diferenciales totales:
dII
yP
Pd
PP
ydy
ddd
∂∂
+
∂
∂= 1
2
1
2
1
11 )(xvii
Si el ingreso aumenta y los precios relativos se mantienen constantes
podemos trazar la Trayectoria de Expansión del Ingreso (TEI), que unirá los
puntos óptimos del consumidor. Sabemos que si la cantidad demandada de
un bien aumenta al aumentar el ingreso, se trata de un Bien Normal; en este
caso la TEI tendrá una pendiente positiva (ver Figura 1.4). Si la cantidad
demandada del bien disminuye al aumentar el ingreso, se trata de un Bien
Inferior y la TEI tiene pendiente negativa (ver Figura 1.5).
A partir de la TEI es posible derivar la Curva de Engel para cada bien, la
cual es el lugar geométrico de los cambios en las cantidades óptimas
demandadas de un bien ante cambios en el ingreso, manteniendo los precios
relativos constantes. La pendiente será positiva si se trata de un bien normal
y negativa si se trata de un bien inferior. En la Figura 1.6 podemos ver una
Curva de Engel para el caso de un bien normal.
16
Figura 1.4: La Trayectoria de Expansión del Ingreso tiene pendiente positiva
porque los dos bienes son normales.
Figura 1.5: La Trayectoria de Expansión del Ingreso tiene pendiente negativa
porque el bien 2y es inferior.
17
Figura 1.6: La Curva de Engel es el lugar geométrico de los cambios en las
cantidades óptimas demandadas de un bien ante cambios en el ingreso del
individuo, manteniendo los precios relativos constantes.
4.1 Elasticidad - Ingreso
La Elasticidad – Ingreso se define como el cambio porcentual en la
cantidad consumida óptima de un bien, ante un cambio de %1 en el ingreso
nominal, manteniendo los precios relativos constantes.
∂∂
=∂
∂
=1
11
1
,1 y
I
I
y
II
yy
Iyη )(xviii
Dado que la elasticidad – ingreso nos muestra los cambios en el consumo de
los bienes ante cambios en el ingreso de los individuos es posible estimar los
efectos de políticas de ingresos sobre el consumo. La elasticidad – ingreso
toma diferentes valores de acuerdo al tipo de bien:
18
1,1 >Iyη Bienes de lujo
1,1 =Iyη Servicios
10 ,1 << Iyη Bienes esenciales
0,1 <Iyη Bienes inferiores
En el Cuadro 1.1 podemos ver las elasticidades – ingreso de demanda para
algunos bienes de consumo, por estratos de ingresos. Los datos son de Lima
Metropolitana y se obtuvieron a partir de la Encuesta Nacional de Propósitos
Múltiples (ENAPROM) para los años 1983 y 1984. Como podemos ver las
elasticidades difieren entre los hogares pertenecientes a los diferentes
estratos de ingresos; por ejemplo, en el caso de los pasajes en ómnibus,
éste es claramente inferior para el estrato alto, mientras la cerveza blanca es
un bien de lujo para los estratos bajo y medio. La leche evaporada, en
cambio, tiene elasticidad menor a uno en hogares pertenecientes a los tres
estratos.
Cuadro 1.1
Elasticidades Ingreso por Bienes de Consumo Específicos
Bienes Estrato Bajo Estrato Medio Estrato AltoPapa Blanca 0.522 0.211Gas Propano 0.209 0.214 0.146Margarina Envasada 0.305 0.376 0.578Aceite Vegetal 0.447 0.401 0.380Res, Bisteck 0.536 0.757 0.262Leche Evaporada 0.769 0.645 0.426Limón 0.490 0.532 0.572Detergente 0.367 0.428 0.304Bebidas Gaseosas 1.065 0.84 0.601Cerveza Blanca (botella) 1.676 1.526 0.604Pasaje en Omnibus o Micro 0.424 0.318 -0.189Pasaje en Taxi 0.782 0.733Gasolina 1.733 0.717Fuente: INEI (1996)
19
Otra manera de medir la respuesta de la demanda ante cambios en los
ingresos es a partir de la elasticidad gasto – ingreso:
IyIg
II
yy
II
yPyP
II
yPyP
,11
1
11
11
11
11
,1
)()(
ηη =∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
=
)(xix
Podemos ver en la expresión )(xix que dado que el precio del bien es
exógeno, la elasticidad gasto – ingreso es igual a la elasticidad ingreso de
demanda.
4.2 Efecto Sustitución y Curva de Demanda
Si hacemos 0=dI en la expresión )(xvii obtenemos la Trayectoria de
Expansión del Precio (TEP), la cual une los puntos óptimos del consumidor
cuando los precios relativos cambian y el ingreso nominal se mantiene
constante. En este caso debemos tomar en cuenta que si bien la caída del
precio de un bien lo hace relativamente más barato con respecto al resto de
bienes, también implica un aumento del ingreso real del individuo. Es así
que separamos el efecto del cambio del precio sobre el consumo del bien
(Efecto Precio) en dos partes: El cambio en la cantidad demandada cuando
los precios relativos cambian, si el ingreso real se mantiene constante
(Efecto Sustitución); y el cambio en la cantidad demandada, a precios
relativos constantes, cuando se permite que el ingreso real cambie. Para
poder determinar estos efectos que definir lo que entendemos por Ingreso
Real Constante en este contexto.
4.3.1 Ingreso Real Constante a la Hicks7
Hicks define el Ingreso Real en relación a la utilidad que el individuo
obtiene de los bienes que consume, de manera que para este autor el
ingreso real se mantiene constante si al cambiar los precios relativos la
nueva canasta elegida permite al consumidor mantener el nivel de utilidad 7 J. Hicks (1968).
20
inicial. En la Figura 1.7 podemos ver cómo al caer los precios relativos
debido a la reducción de 1P , el individuo pasa de consumir la canasta A a
consumir la canasta B . Este cambio en los precios relativos da lugar
entonces a un Efecto Sustitución a la Hicks, donde a los nuevos precios y
manteniendo el nivel de utilidad constante el individuo consumiría la canasta
hC . Dado que el ingreso real si varía, aumentando en este caso, si
suponemos que los dos bienes son normales el individuo consumirá más de
ambos bienes, pasando de la canasta hC a la canasta B (Efecto Ingreso).
Entonces la suma de ambos efectos medirá el cambio total en el consumo del
bien 1y debido al cambio en los precios relativos (Efecto Precio).
Figura 1.7: La suma del efecto sustitución a la Hicks )( 11hCA yy → y el efecto
ingreso )( 11BC yy h → es igual al efecto precio )( 11
BA yy → .
21
A partir de la Figura 1.7 obtenemos la curva de demanda ordinaria del bien
1y , cuya pendiente será negativa. Nos preguntamos entonces ¿qué sucederá
con la pendiente de la curva de demanda si el bien 1y es inferior? Como
veremos más adelante en la sección 4.4 esto dependerá de los valores
absolutos de los efectos sustitución e ingreso.
4.3.2 Ingreso Real Constante a la Slutsky8
Existe otra definición del ingreso real que utilizaremos cuando
estudiemos la Teoría de las Preferencias Reveladas, pero que conviene
estudiar aquí. Slutsky define el Ingreso Real en relación a la canasta inicial
que el individuo consume, de manera que el ingreso real se mantiene
constante si al cambiar los precios relativos el individuo podría en principio
consumir la misma canasta si así lo deseara. En la Figura 1.8 podemos ver
cómo al caer los precios relativos debido a la reducción de 1P , el individuo
pasa de consumir la canasta A a consumir la canasta B . Este cambio en los
precios relativos da lugar entonces a un Efecto Sustitución a la Slutsky,
donde a los nuevos precios y manteniendo la posibilidad de consumir la
canasta inicial el individuo consumiría la canasta sC . Si bien hemos dibujado
las curvas de indiferencia que pasan por las canastas A y B como
referencia, la elección del punto sC no se hace a partir de éstas. Dada la
canasta A , al caer el precio de 1y , éste bien se hace relativamente más
barato que el bien 2y , y por lo tanto el individuo pasará a consumir la
canasta sC , la cual es parte de un grupo de canastas a las que ahora tiene
acceso y que antes no estaban a su alcance. Dado que el ingreso real si
varía, aumentando en este caso, si suponemos que los dos bienes son
normales, el individuo ahora consumirá más de ambos bienes, pasando de la
canasta sC a la canasta B (Efecto Ingreso). Nuevamente, la suma de ambos
efectos mide el cambio total en el consumo del bien 1y debido al cambio en
los precios relativos, y se denomina Efecto Precio. Finalmente hemos
indicado donde se encuentra el punto hC de Hicks con fines de comparación.
8 R.G.D. Allen (1936).
22
Como se puede ver, si ambos bienes son normales, el efecto sustitución a la
Slutsky será mayor que el efecto sustitución a la Hicks.
Figura 1.8: La suma del efecto sustitución a la Slustky )( 11sCA yy → y el
efecto ingreso )( 11BC yy s → es igual al efecto precio )( 11
BA yy → .
4.3 Curvas de Demanda: Análisis Gráfico
La Curva de Demanda Ordinaria de un bien es el lugar geométrico de
las cantidades totales consumidas a cada precio, y su forma depende de la
suma de los efectos sustitución e ingreso. Las Curvas de Demanda
Compensadas son curvas de demanda en las cuales el ingreso real se
mantiene constante, y por lo tanto su forma solamente depende del efecto
sustitución. En la Figura 1.9 vemos las curvas de demanda ordinaria )(cdo ,
compensada a la Hicks )(cdch y compensada a la Slutsky cdcs( ) para el caso
de un bien normal. Vemos así que las curvas de demanda compensadas son
menos elásticas que la curva de demanda ordinaria, debido a que cuando el
23
bien es normal los efectos sustitución e ingresos se refuerzan y las curvas de
demanda compensadas solamente tienen el efecto sustitución.
Figura 1.9: El efecto precio )( 11BA yy → es igual a la suma del efecto
sustitución a la Hicks )( 11hCA yy → y el Efecto ingreso )( 11
BC yy h → . Asimismo,
el efecto precio es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky
)( 11sCA yy → y el correspondiente efecto ingreso )( 11
BC yy s → .
En el caso de un bien inferior, el efecto ingreso será negativo y contrario al
efecto sustitución, por lo cual se pueden dar dos situaciones de acuerdo a las
magnitudes relativas de ambos efectos. En la Figura 1.10 vemos el caso en
que el valor absoluto del efecto ingreso es menor que el valor absoluto del
efecto sustitución, por lo cual si bien la curva de demanda ordinaria será
menos elástica que las curvas de demanda compensadas, la primera tendrá
una pendiente positiva.
0y1
P1
AP1A
P1B
y1A y1Ch y1Cs y1B
cdo
cdch cdcs
cdch
cdcs
cdo
24
Figura 1.10: El efecto Precio )( 11BA yy → es igual a la suma del efecto
Sustitución a la Hicks )( 11hCA yy → y el efecto ingreso )( 11
BC yy h → . Asimismo,
es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky )( 11sCA yy → y el efecto
ingreso )( 11BC yy s → .
Finalmente, en la Figura 1.11 podemos ver el caso de un bien inferior donde
el valor absoluto del efecto ingreso es mayor que el valor absoluto del efecto
sustitución, la curva de demanda ordinaria tendrá pendiente positiva. A este
bien se le conoce como Bien Giffen9.
9 Para un análisis de este tipo de bienes y de la hambruna en Irlanda leer G.
Dwyer Jr. y C. Lindsay (1984).
25
Figura 1.11: El efecto precio )( 11BA yy → es igual a la suma del efecto
sustitución a la Hicks )( 11hCA yy → y el efecto ingreso )( 11
BC yy h → . Asimismo,
es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky )( 11sCA yy → y el efecto
ingreso )( 11BC yy s → .
4.4 Elasticidad – Precio de Demanda
La Elasticidad – Precio de demanda mide el cambio porcentual en la
cantidad consumida de un bien cuando su precio cambia en %1 ,
manteniendo el ingreso nominal constante. Esta elasticidad se mide sobre la
Curva de Demanda Ordinaria.
∂∂
=∂
∂
=1
1
1
1
1
1
1
1
,1 1 y
P
P
y
PP
yy
Pyη )(xx
La elasticidad – precio de demanda puede tomar diferentes valores, los
cuales están asociados a diferentes tipos de bienes:
26
11,1 −<Pyη Bienes no esenciales
11,1 −=Pyη Servicios
011,1 <<− Pyη Bienes esenciales
01,1 >Pyη Bienes Giffen
Es posible también medir la elasticidad – precio sobre las Curvas de
Demanda Compensadas, en cuyo caso siempre será negativa ya que
depende solamente del efecto sustitución.
En el Cuadro 1.2 podemos ver las elasticidades – precio de demanda para
algunos bienes de consumo, por estratos de ingresos. Los datos son de la
ENAPROM de 1983 y 1984 para Lima Metropolitana. Como podemos ver las
elasticidades precio de demanda difieren entre los hogares pertenecientes a
los diferentes estratos de ingresos; por ejemplo, en el caso del aceite vegetal
y las bebidas gaseosas solamente los hogares del estrato alto tienen una
elasticidad menor a -1.
Cuadro 1.2 Elasticidades Precio de Demanda por Bienes de Consumo Específicos
Bienes Estrato Bajo Estrato Medio Estrato AltoPapa Blanca -0.37 -0.37Gas Propano -1.03 -0.86 -0.85Margarina Envasada -0.95 -1.07Aceite Vegetal -1.46 -1.46 -0.93Res, Bisteck -0.71 -0.52Leche Evaporada -1.41 -1.17 -1.05Limón -0.63 -0.76 -0.73Detergente -0.82 -0.97 -0.83Bebidas Gaseosas -1.21 -1.19 -0.91Cerveza Blanca (botella) -0.99Pasaje en Omnibus o Micro -0.50 -0.40 -1.05Pasaje en Taxi -0.22Gasolina -0.44 -0.49Fuente: INEI (1996)
27
4.5 Elasticidad – Precio Cruzada Bruta
La Elasticidad – Precio Cruzada Bruta es el cambio porcentual en la
cantidad consumida de un bien, ante un cambio de 1% en el precio de otro
bien, manteniendo el ingreso nominal constante.
∂∂
=∂
∂
=1
2
2
1
2
2
1
1
, 21 y
P
P
y
PP
yy
Pyη )(xxi
La Elasticidad - Precio Cruzada Bruta puede tener distintos signos, de
acuerdo a la relación entre ambos bienes:
021 , >Pyη Bienes sustitutos brutos
021 , =Pyη No hay relación entre los bienes
021 , <Pyη Bienes complementarios brutos
La Elasticidad – Precio Cruzada Neta se mide sobre las curvas de demanda
compensada, y por lo tanto es negativa cuando solamente hay dos bienes.
En el Cuadro 1.3 podemos ver las elasticidades – precio cruzadas y de
demanda para dos bienes de bienes de consumo, por estratos de ingresos.
Los datos son de la ENAPROM. Como podemos ver no solamente las
elasticidades difieren entre los hogares pertenecientes a los estratos alto y
bajo de ingresos, sino que en caso del estrato alto el kerosene y el gas
propano no son sustitutos como sí lo son en el caso del estrato bajo.
28
Cuadro 1.3 Elasticidades Precio y Cruzadas por Bienes de Consumo Específicos
4.6 Identidades de las Elasticidades
Existen ciertas relaciones entre las elasticidades que pueden derivarse
a partir del modelo simple de la demanda del consumidor. Si partimos de la
restricción de presupuesto:
IyPyP =+ 2211 )(xxii
Derivando )(xxii con respecto al ingreso I obtenemos:
122
11 =
∂∂=
∂∂
+
∂∂
I
I
I
yP
I
yP
Si multiplicamos y dividimos cada término de la suma por el ingreso, así
como por la cantidad del bien correspondiente y reordenamos, obtenemos:
12
222
1
111 =
∂∂
+
∂∂
y
I
I
y
I
yP
y
I
I
y
I
yP
Trabajando con la expresión, derivamos la Identidad de Engel:
1)1( ,, 21=−+ IyIy kk ηη )(xxiii
Bienes Estrato Bajo Estrato AltoKerosene Gas Propano Kerosene Gas propano
Kerosene -0.78 0.34 -0.59 n.r.Gas Propano 0.29 -1.03 n.r. -0.85Fuente: INEI (1996)
29
Donde I
yPk 11= , y
I
yPk 221 =− . Esta expresión nos dice que para un
individuo dado la suma ponderada de las elasticidades ingreso de su
demanda de los bienes que consume es igual a 1, donde las ponderaciones
son los porcentajes de su ingreso que gasta en el bien respectivo. Si ahora
derivamos la expresión )(xxii con respecto a 1P obtenemos:
011
221
1
11 =
∂∂=
∂∂
++
∂∂
P
I
P
yPy
P
yP
Reordenando la expresión hallada:
11
22
1
11 y
P
yP
P
yP −=
∂∂
+
∂∂
Trabajando con esta expresión tal como en el caso anterior obtenemos la
Identidad de Cournot:
kkk PyPy −=−+1211 ,, )1( ηη )(xxiv
Esta expresión nos dice que para un individuo la suma ponderada de las
elasticidades de todos los bienes que consume con respecto al precio de uno
de los bienes es igual al negativo del porcentaje de su ingreso que gasta en
dicho bien, donde las ponderaciones son los porcentajes de su ingreso que
gasta en cada bien. Si ahora partimos de la ecuación de demanda individual,
y recordamos que esta es homogénea de grado cero en los precios e
ingresos, por la ecuación de Euler obtenemos:
II
yP
P
yP
P
ynyd
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
= 12
2
11
1
11
Como 0=n , entonces:
30
II
yP
P
yP
P
y
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
= 12
2
11
1
10
Si dividimos toda la identidad entre 1y , y reordenamos, obtenemos la
Restricción de Homogeneidad:
0,,, 12111=++ IyPyPy ηηη )(xxv
Esta restricción nos dice que para un individuo la suma de las elasticidades
precio de demanda, cruzada y de ingresos de un bien es igual a cero.
5. FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA
Otra manera de expresar el nivel de utilidad se puede obtener si
reemplazamos las ecuaciones )(xiv y )(xv en la función de utilidad, con lo
cual obtenemos una expresión donde el nivel de utilidad depende no de las
cantidades consumidas (Utilidad Directa) sino de los precios e ingresos, que
determinan dichas cantidades, a la cual llamamos Función de Utilidad
Indirecta:
)],,(),,,([ 212211 IPPyIPPyUV dd= )(xxvi
Para establecer los signos de la función, debemos derivarla con respecto a
las variables exógenas. Así, si derivamos la función de utilidad indirecta con
respecto al ingreso:
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
I
y
y
y
y
U
I
y
y
y
y
U
I
V d
d
d
d2
2
2
2
1
1
1
1
Dado que la derivada de una función de demanda con respecto a un punto
particular es igual a 1, la expresión anterior se transforma en:
31
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
I
y
y
U
I
y
y
U
I
V dd2
2
1
1
Por otro lado sabemos por las expresiones )(viii y )(ix que:
jj
Py
U λ=∂∂
Donde λ es el multiplicador lagrangiano del problema de maximización de
utilidad. Por lo tanto:
λλλ =∂∂=
∂∂
+
∂∂
=∂∂
I
I
I
yP
I
yP
I
V dd2211
Esto quiere decir que λ es equivalente a la “utilidad marginal” del dinero, es
decir nos dice en cuanto aumenta la utilidad de un individuo ante un
incremento en una unidad monetaria en su ingreso nominal:
λ=∂∂
I
V )(xxvii
Si ahora derivamos la función de utilidad indirecta con respecto a uno de sus
precios, obtenemos la siguiente expresión:
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
1
2
2
2
21
1
1
1
11 P
y
y
y
y
U
P
y
y
y
y
U
P
V d
d
d
d
Haciendo los reemplazos pertinentes, obtenemos:
dddd
yyP
I
P
yP
P
yP
P
V11
11
22
1
11
1
λλλ −=
−
∂∂=
∂∂
+∂∂
=∂∂
32
Donde λ representa la variación en la utilidad del individuo por el cambio en
el ingreso real, e dy1 representa la reducción del poder de compra del
ingreso monetario en ese punto. Esta expresión se denomina Identidad de
Roy.
dyP
V1
1
λ−=∂∂ )(xxviii
Esto se cumple para los precios de todos los bienes de la canasta elegida.
De esta manera, tenemos finalmente los signos de la función de utilidad
indirecta:
),,( 21
+−−= IPPVV )(xxix
Entonces, si los bienes consumidos son normales, un mayor ingreso nominal
con precios constantes (mayor ingreso real) llevará a un mayor nivel de
utilidad (indirecta). Asimismo, mayores precios de los bienes con un ingreso
nominal constante (menor ingreso real) llevará a una reducción de la
utilidad.
6. FUNCIÓN DE GASTO MÍNIMO
Hemos definido el problema del consumidor como la asignación de sus
recursos escasos (ingreso) entre fines diversos (gasto en bienes). La
expresión matemática de ese problema es la maximización de la función de
utilidad del individuo bajo la restricción de su recta de presupuesto. ¿Qué
sucede si lo que el individuo desea es mantener determinado nivel de utilidad
0U dados los precios de los bienes, y gastando el mínimo posible? La
expresión matemática de este problema sería la minimización del gasto G ,
bajo la restricción de alcanzar el nivel de Utilidad 0U . Este problema es el
dual del problema de maximización de la utilidad:
33
Min 2211 yPyPG +=
..as ),( 210 yyUU =
Construimos el Lagrangiano y obtenemos las condiciones de minimización de
primer orden:
)],([ 2102211 yyUUyPyP −++=Λ λ
0111
=−=∂
Λ∂UP
yλ )(xxx
0222
=−=∂
Λ∂UP
yλ )(xxxi
0),( 210 =−=∂Λ∂
yyUUλ
)(xxxii
Dividiendo )(xxx entre )(xxxi obtenemos la condición de equilibrio del
consumidor:
2
1
2
2
1
1
P
P
yU
yU
=
∂∂
∂∂
)(xxxiii
Lo cual quiere decir que la relación marginal de sustitución en el consumo
debe ser igual a la relación de intercambio del mercado. Las condiciones de
segundo orden nos garantizan que el punto obtenido sea un mínimo10. En la
Figura 1.12 podemos ver la condición de equilibrio del consumidor, donde
dada su recta de presupuesto y su función de utilidad, éste consumirá la
canasta ),( 21AA yyA = .
10 Ver el Apéndice Matemático.
34
Si reemplazamos ambos puntos en la Recta de Presupuesto obtendremos el
Gasto en el punto A :
AA
A yPyPG 2211 += )(xxxiv
Tal como lo hicimos para el problema de maximización de utilidad, tomamos
diferenciales totales a la expresión )(xxxiii y obtenemos los signos de la
siguiente expresión:
),,( 2112
−++= PPyfy )(xxxv
Figura 1.12: El equilibrio se obtiene cuando la RMSC (subjetiva) se iguala a
la RI del mercado (objetiva). La pendiente de la recta de presupuesto (RI)
es el negativo del cociente entre el precio del bien 1y y el precio del bien 2y .
35
Reemplazando )(xxxxv en la restricción de utilidad:
)],,(,[ 21110 PPyfyUU =
Despejamos 1y en función de los parámetros y obtenemos la curva de
demanda compensada a la Hicks del bien 1y :
),,( 02111
++−= UPPyy hh )(xxxvi
Si reemplazamos la expresión )(xxxvi en la expresión )(xxxv , obtenemos la
curva de demanda compensada a la Hicks del bien 2y :
),,( 02122
+−+= UPPyy hh
)(xxxvii
Ambas curvas de demanda son homogéneas de grado cero en los precios.
Esto significa que si ambos precios cambian en la misma proporción,
manteniendo el ingreso real constante (a la Hicks), la canasta de consumo
elegida no cambiará. Si ahora reemplazamos )(xxxvi y )(xxxvii en la función
de gasto, obtenemos la Función de Gasto Mínimo:
),(),,(),,( 0,210212202111 UPPmUPPyPUPPyPm hh =+= )(xxxviii
Para establecer los signos de esta función, debemos derivarla con respecto a
las variables exógenas. Así, si derivamos la función de gasto mínimo con
respecto al precio de uno de los bienes:
( )1
11
22111
1
22
1
111
1 P
Iy
P
yPyPy
P
yP
P
yPy
P
m hhh
hhh
h
∂∂+=
∂+∂
+=
∂∂
+
∂∂
+=∂∂
Como la derivada del ingreso con respecto a cualquiera de los precios es
igual a cero, obtenemos el Lema de Shephard:
36
hyP
m1
1
=∂∂
)(xxxix
Lo cual quiere decir que es posible derivar la curva de demanda compensada
a la Hicks a partir de la Función de Gasto Mínimo. Por otro lado sabemos que
si una función ),( yxf tiene derivadas parciales continuas, entonces yxxy ff = .
Dado que en el caso de la función de gasto mínimo, sus derivadas existen y
son continuas (Lema de Shephard), entonces tenemos la segunda propiedad
de dicha función:
21
2
12
2
PP
m
PP
m
∂∂=
∂∂∂
)(xl
Es decir, en el caso de las segundas derivadas cruzadas, el orden en el cual
se derive la función no altera el resultado. La expresión )(xl también implica
que los efectos precio cruzados son simétricos:
1
2
2
1
dP
y
P
y hh ∂=
∂∂
Finalmente, sabemos que si el precio de uno de los bienes aumenta, el
consumidor tendrá que aumentar su gasto mínimo para mantener 0U , pero
que debido al efecto sustitución consumirá menos del bien relativamente
más caro y más del otro bien. Es decir, el gasto mínimo aumentará pero
menos que proporcionalmente al aumento del precio del bien:
021
2
<∂∂P
m )(xli
Es decir, la segunda derivada de la función con respecto a uno de los precios
será menor que cero. Esto implica que la curva de demanda compensada
siempre tiene pendiente negativa:
37
01
1 <∂∂
P
y h
En la siguiente sección vamos a estudiar los efectos sustitución e ingreso en
forma matemática, a partir de las funciones de utilidad indirecta y de gasto
mínimo.
7. LA ECUACIÓN DE SLUTSKY
La Ecuación de Slutsky es la expresión matemática del efecto precio,
el cual es igual a la suma del efecto sustitución y el efecto ingreso. A partir
de análisis de la sección anterior, sabemos que se cumple lo siguiente:
MaxIPPV =),,( 21 ),( 21 yyUU = )(xlii
..as 2211 yPyPI +=
MinUPPm =),,( 021 2211 yPyPG += )(xliii
..as ),( 210 yyUU =
Si evaluamos la función de gasto mínimo para un nivel de utilidad igual al de
la utilidad indirecta de la expresión )(xlii , obtenemos el ingreso del
consumidor:
IIPPVPPm ≡)],,(,,[ 2121 )(xliv
Asimismo, si evaluamos la función de utilidad indirecta para un nivel de
gasto igual al gasto mínimo de la expresión )(xliii , obtenemos la utilidad
dada en dicha expresión:
002121 )],,(,,[ UUPPmPPV ≡ )(xlv
38
A partir de las expresiones anteriores se derivan las siguientes:
)],,(,,[),,( 21211211 IPPVPPyIPPy hd ≡ )(xlvi
)],,(,,[),,( 0212110211 UPPmPPyUPPy dh ≡ )(xlvii
Entonces, derivamos la Ecuación de Slutsky a partir de la expresión )(xlvi .
Derivando dicha expresión con respecto a 1P :
∂∂
∂∂
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
1
0
0
1
1
1
1
1
P
V
V
U
U
y
P
y
P
y hhd
Dado que 10 =
∂∂
V
U, y dy
P
V1
1
λ−=∂∂
, la expresión se transforma en:
dhhd
yU
y
P
y
P
y1
0
1
1
1
1
1
∂∂
−
∂∂
=
∂∂ λ )(xlviii
Pero sabemos que:
0
10
0
11
U
y
I
V
V
U
U
y
I
y hhd
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂
∂ λ
Si multiplicando ambos términos por dy1 , obtenemos:
dhd
d yU
y
I
yy 1
0
111
∂∂
=
∂
∂ λ )(xlix
Sustituyendo )(xlix en )(xlviii , obtenemos la Ecuación de Slutsky:
∂
∂−
∂∂
=
∂∂
I
yy
P
y
P
y dd
hd1
11
1
1
1 )(l
39
Donde podemos ver que el efecto precio es igual al efecto sustitución a la
Hicks más el efecto ingreso. Es posible, asimismo, presentar esta misma
ecuación con elasticidades. Así, multiplicando todo por
1
1y
P , obtenemos:
∂
∂−
∂∂
=
∂∂
1
111
1
1
1
1
1
1
1
1
y
P
I
yy
P
y
y
P
P
y
y
P dd
hd
Si multiplicamos y dividimos el último término por el ingreso, obtenemos:
∂
∂
−=
1
1111,, 1111 y
I
I
y
I
yPy
ddd
PyPy hd ηη
Lo cual es igual a:
IyPyPy dhd k,,, 11111
ηηη −= )(li
Es posible asimismo derivar las expresiones )(l y )(li para el caso de los
efectos precio cruzados:
∂
∂−
∂∂
=
∂∂
I
yy
P
y
P
y dd
hd1
22
1
2
1 )(lii
IyPyPy dhd k,,, 12121
)1( ηηη −−= )(liii
40
8. LA TEORÍA DE LA PREFERENCIA REVELADA
La teoría de la preferencia revelada busca explicar el comportamiento
del consumidor a partir de las canastas que éste efectivamente consume11.
Esta teoría se basa en los siguientes supuestos:
- El consumidor gasta todo su ingreso.
- Existe una sola canasta elegida para un conjunto dado de precios e
ingreso, y un solo conjunto de precios e ingreso para cada canasta.
8.1 Preferencia Directa
Sean las canastas )','(' 21 yyY = y )","(" 21 yyY = , canastas elegidas a los
precios )','(' 21 PPP = y )","(" 21 PPP = . Si se cumple:
"'"''''' 22112211 yPyPyPyP +≥+
Dado que el consumidor siempre escoge la canasta más preferida que puede
afrontar, 'Y será preferida a "Y en forma directa. En la Figura 1.13
podemos ver que la canasta "Y era asequible a los precios 'P , y sin embargo
no fue elegida.
11 Ver P. Samuelson (1971), publicado por primera vez en 1947; y H. S.
Houthakker (1950).
41
Figura 1.13: En este caso vemos que a los precios 'P , la canasta 'Y es
preferida en forma directa a la canasta "Y .
8.2 Preferencia Indirecta
Sean las canastas ),( 02
01
0 yyY = , )','( 21' yyY = y )","(" 21
' yyY = ,
elegidas a los precios ),( 02
01
0 PPP = , )','( 21' PPP = y )","(" 21
' PPP = . Si se
cumple:
"" 20
210
10
20
20
10
1 yPyPyPyP +≥+ ( 0Y es preferida a "Y )
022
0112211 '''''' yPyPyPyP +≥+ ( 'Y es preferida a 0Y )
Entonces, 'Y es preferida a "Y en forma indirecta.
42
Figura 1.14: En este caso vemos que a los precios 'P , la canasta 'Y es
preferida en forma directa a la canasta °Y ; y la canasta °Y es preferida en
forma directa a la canasta "Y a los precios °P . Por lo tanto la canasta 'Y es
preferida en forma indirecta a la canasta "Y .
Una pregunta que surge en este punto es ¿cómo podemos saber si el
consumidor se comporta de acuerdo al modelo maximizador? Para esto la
teoría desarrolla axiomas sobre el comportamiento del individuo.
8.3 Axioma Débil de la Preferencia Revelada (WARP)
Si la canasta 'Y es revelada preferida en forma directa a la canasta "Y
, y ambas canastas son distintas, entonces la canasta "Y no puede ser
revelada preferida a la canasta 'Y en forma directa. Matemáticamente:
Si "''' YPYP ≥ , entonces no puede ser que ""'" YPYP ≤ .
43
Es decir, las preferencias se mantienen así las evaluemos con otro vector de
precios.
8.4 Axioma Fuerte de la Preferencia Revelada (SARP)
Si la canasta 'Y es revelada preferida en forma indirecta a la canasta
"Y , y ambas canastas son distintas, entonces la canasta "Y no puede ser
revelada preferida a la canasta 'Y en forma indirecta. Matemáticamente:
Si 0''' YPYP ≥ y "00 YPYP o≥ , entonces no puede ser que
""'" YPYP ≤ .
Ambos axiomas pueden analizarse gráfica y numéricamente por medio de la
compensación de ingresos a lo Slutsky. Así, es posible recuperar las curvas
de indiferencia a partir de los puntos de consumo revelados, como podemos
ver en el Ejemplo 1.5.
Ejemplo 1.5 Suponga que el individuo escoge las canastas iY , iiY , iiiY y ivY
a los siguientes precios relativos: 4.125, 1.157, 2.111 y 0.233. Como
podemos ver, cuando se elige iiiY la canasta iY no está disponible. Lo mismo
podemos decir con respecto a iiY y así sucesivamente. Si comparamos iY
con iiY , o iiiY con ivY , podemos suponer que una curva de indiferencia pasa
por ambas. De esta manera podemos recuperar la función de preferencias a
partir de los puntos elegidos por el consumidor.
44
9. EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
Existen varias formas de medir el cambio en el bienestar del
consumidor cuando los precios varían. Una de ellas es el Excedente del
Consumidor, el cual se define como la diferencia entre el precio máximo que
el consumidor estaría dispuesto a pagar antes de quedarse sin el bien, y el
precio que efectivamente paga. La presentación gráfica más común es la
mostrada en la Figura 1.15, donde el excedente del consumidor es igual al
área entre la curva de demanda y la línea de precio.
45
Figura 1.15: El excedente del consumidor es igual al área bajo la curva de
demanda y sobre la línea de precio, que representa la diferencia entre los
que el consumidor estaría dispuesto a gastar antes de quedarse sin el bien y
lo que efectivamente gasta.
Sin embargo esta es una medida gruesa del excedente del consumidor. Una
medida más precisa se obtiene a partir de las curvas de indiferencia, tal
como se puede ver en las Figuras 1.16 y 1.1712. Así, partimos del siguiente
problema del consumidor:
Max 21 )( yyvU +=
..as 2211 yPyPI +=
Donde ambos bienes son normales. Dado que la función de utilidad es cuasi
– lineal (no lineal en 1y ) la relación marginal de sustitución en el consumo
entre ambos bienes solamente depende de dicho bien:
12 Ver J. Hicks (1936).
46
1
1
2
1
1
2
121 y
vyv
yU
yU
dy
dyRMSC yy ∂
∂−=∂
∂−=
∂∂
∂∂
−==
Esto quiere decir que la curva de demanda del bien 1y no tiene efecto
ingreso:
),( 2111 PPyy dd = )(liv
Si además asumimos que 12 =P , cuando el consumidor gasta todo su ingreso
en el bien 2y entonces Iy =2 . En la Figura 1.16 vemos que el segmento
FC es igual a I y por lo tanto es una representación del ingreso total del
individuo. Si el consumidor parte del punto donde gasta todo su ingreso en
2y y se mueve a lo largo de la recta de presupuesto hacia el punto A
alcanzará un nivel de utilidad más alto que el anterior, y el segmento FA será igual al gasto en 1y )( AG . Si ahora reducimos el ingreso del consumidor
hasta que el óptimo esté en el punto B , veremos que el nivel de utilidad
será igual al que el consumidor tenía antes de comprar el bien 1y . Por lo
tanto, el excedente del consumidor será igual al segmento AB , que
representa en dinero el cambio en los niveles de utilidad entre ambos
puntos. Se puede demostrar que en este caso, la medida del excedente del
consumidor es igual área representada en la Figura 1.1513.
13 Ver J. Hicks, op. cit.
47
Figura 1.16: En caso de una curva de demanda ordinaria sin efecto ingreso
(curva de utiidad cuasi – lineal), el excedente del consumidor será igual al
segmento AB que representa la diferencia entre los que el consumidor
estaría dispuesto a gastar antes de quedarse sin el bien y lo que
efectivamente gasta.
Pero ¿qué sucede si la curva de demanda tiene efecto ingreso, y se trata de
un bien normal? En ese caso, la curva de demanda del bien 1y será la
siguiente:
),,( 2111 IPPyy dd = )(lv
En este caso el excedente del consumidor será menor que el segmento AB e
igual al segmento 'AB como puede verse en la Figura 1.17, ya que al
reducirse el ingreso del individuo hasta que regrese a la utilidad inicial,
consumirá menos de ambos bienes. Por lo tanto, el excedente del
consumidor será menor que el área achurada de la Figura 1.15.
48
Figura 1.17: En caso de una curva de demanda ordinaria de un bien normal,
el excedente del consumidor será igual al segmento ABAB <' que representa
la diferencia entre los que el consumidor estaría dispuesto a gastar antes de
quedarse sin el bien y lo que efectivamente gasta.
De manera similar, en el caso que el bien 1y sea inferior, el excedente del
consumidor será mayor que el segmento AB , ya que al reducirse el ingreso
el individuo consumirá más del bien 1y . En consecuencia, el excedente del
consumidor será mayor al área achurada de la Figura 1.15.
10. MEDICIÓN DE BENEFICIOS DE LOS CAMBIOS EN LOS PRECIOS
El efecto de un cambio en los precios es la variación en el nivel de
bienestar del individuo. Una manera de medir este cambio es a partir del
excedente del consumidor, como hemos visto en la sección anterior. Sin
embargo, esta medida depende de las funciones de utilidad, las cuales no
49
son observables; asimismo, la forma de las funciones de utilidad afectan el
resultado. Una segunda forma de medir el cambio en el bienestar de los
individuos es por medio de la Variación Compensadora y la Variación
Equivalente, las cuales miden el cambio en el bienestar del individuo ante
cambios en los precios, en términos monetarios.
10.1 Variación Compensadora
La variación compensadora )(VC mide la cantidad de dinero que
tendría que quitársele al consumidor si el precio del bien cae, para
mantenerlo en el nivel de utilidad inicial a los nuevos precios. En el caso en
que el precio del bien se eleve, la )(VC sería la cantidad de dinero que habría
que darle al consumidor para mantenerlo en el nivel de utilidad inicial a los
nuevos precios.
En la Figura 1.18 podemos ver que el nivel de utilidad es el mismo en los
puntos A y 'B ; por lo tanto, los niveles de utilidad indirecta serán iguales
también:
0
'0 ),(),( UVCIPVIPV F
BA =−=
Donde 0P y FP son los vectores de precios inicial y final e I es el ingreso del
individuo. Operativamente también podemos definir la VC como la diferencia
entre el gasto en B y el gasto en 'B . Si el precio del bien 1y cae tenemos:
),(),( 0UPmUPmVC FFF −=
Sin embargo, el gasto en B es igual al gasto en A , por lo cual la expresión
anterior es equivalente a la siguiente expresión:
∂∂=−=
01
1
11
000 ),(),(P
P
F
F
dPP
mUPmUPmVC
50
Por lo tanto, la variación compensadora será igual a la integral sobre los
precios de la curva de demanda compensada a la Hicks en 0U :
=0
1
1
10
211 ),,(P
P
h
F
dPUPPyVC )(lvi
Figura 1.18: La VC es la diferencia entre el gasto en B (o en A ) y en 'B ,
mientras que la VE es la diferencia entre el gasto en 'A (o en B ) y en A .
10.2 Variación Equivalente
La variación equivalente )(VE mide la cantidad de dinero que tendría
que dársele al consumidor cuando se enfrenta a los precios iniciales para que
alcance el nivel de utilidad que tendría si el precio del bien cae. En el caso
en que el precio del bien se eleve, la VE sería la cantidad de dinero que
habría que quitarle al consumidor para que enfrentándose a los precios
iniciales su utilidad fuera la que tendrá con los nuevos precios.
51
En la Figura 1.18 podemos ver que el nivel de utilidad es el mismo en los
puntos 'A y B ; por lo tanto, los niveles de utilidad indirecta serán iguales
también:
FFBA UIPVVEIPV ==+ ),(),( 0
'
Operativamente también podemos definir la VE como la diferencia entre el
gasto en 'A y el gasto en A . Si el precio del bien 1y cae tenemos:
),(),( 000 UPmUPmVE F −=
Sin embargo, como ya dijimos arriba, el gasto en B es igual al gasto en A ,
por lo cual la expresión anterior es equivalente a la siguiente expresión:
∂∂=−=
01
1
11
0 ),(),(P
P
FFF
F
dPP
mUPmUPmVE
Por lo tanto, la Variación Equivalente es igual a la integral sobre los precios
de la curva de demanda compensada a la Hicks en FU :
=0
1
1
1211 ),,(P
P
Fh
F
dPUPPyVE )(lvii
En la Figura 1.19 podemos ver la curva de demanda ordinaria para el bien 1y
, así como las curvas de demanda compensadas para los niveles de utilidad 0U y FU . El área entre las dos líneas de precios y la curva )( 0
1 Uyh
representa la Variación Compensadora, mientras que el área entre las dos
líneas de precios y la curva )(1Fh Uy representa la Variación Equivalente.
Vemos así que el área bajo la curva de demanda ordinaria (la variación del
excedente del consumidor) sobreestima la VC y subestima la VE .
52
Figura 1.19: La VC subestima el cambio en el bienestar ante un cambio en
los precios medido por el excedente del consumidor, mientras que la VE lo
sobreestima.
11. LOS NÚMEROS ÍNDICES
Una manera más de estimar los cambios en el bienestar ante una
variación en los precios son los Números Índices, tanto de Cantidades como
de Precios. En el caso de los índices de cantidades, éstos nos permiten
estimar el bienestar obtenido a partir del consumo de canastas de bienes en
periodos diferentes. Los principales índices son el de Laspeyres y el de
Paasche.
53
11.1 Índices de Cantidades
El Índice de Cantidades de Laspeyres estima el cambio en el bienestar
a partir del consumo de dos canastas distintas, ambas evaluadas a los
mismos precios, en este caso los del año base. El Año Base es aquel año
en el cual no hay mayores cambios ni perturbaciones en las variables
económicas. Por otro lado, llamamos Año Dado al año corriente para el cual
estamos evaluando el índice.
Si partimos de que 0Y y iY son las canastas consumidas en los años base y
dado, respectivamente, y 0P y iP los vectores de precios correspondientes,
el índice de cantidades de Laspeyres se mide por la siguiente fórmula:
= 00
0
0 YP
YPL
iqi )(lviii
Si solamente existieran dos bienes en la economía, podemos ver en la Figura
1.20 que el conjunto factible que pasa por la canasta elegida en el año base
es mayor que el que pasa por la canasta elegida en el año dado, evaluada a
los precios del año base. Por lo tanto, el individuo estará mejor en el año
base que en el año dado.
54
Figura 1.20: La canasta 0Y es elegida a los precios 0P y la canasta 1Y a los
precios 1P . Si evaluamos la canasta 1Y a los precios 0P , el conjunto factible
(ingreso real) es menor que el conjunto factible que pasa por la canasta 0Y .
Operativamente entonces cuando el consumidor está mejor en el año base
que en el año dado se cumple que:
> iYPYP 000
Si dividimos la expresión anterior entre 00YP , obtenemos la siguiente
desigualdad:
> 00
0
1YP
YP i
55
De acuerdo a la definición del índice de cantidades de Laspeyres podemos
decir que:
10
<qiL
)(lix
Es decir, cuando el índice de cantidades de Laspeyres es menor que 1 el
individuo estará mejor en el año base que en el año dado. Sin embargo, si
el índice de cantidades de Laspeyres fuera mayor que 1, no podemos decir
que el individuo está mejor en el año dado, ya que en dicho caso es posible
trazar dos conjuntos de curvas de indiferencia con información contradictoria
a través de ambos puntos.
El Índice de cantidades de Paasche estima el cambio el cambio en el
bienestar a partir del consumo de dos canastas distintas, ambas evaluadas a
los mismos precios, en este caso los del año dado. El índice de cantidades
Paasche se calcula por medio de la siguiente fórmula:
= 00 YP
YPP
i
iiqi )(lx
Si tenemos solamente dos bienes, vemos en la Figura 1.21 que el conjunto
factible que pasa por la canasta del año dado es mayor que el que pasa por
la canasta del año base, ambas canastas elegidas evaluadas a los precios del
año dado. Por lo tanto, el individuo estará mejor en el año dado que en el
año base.
Figura 1.21: La canasta 0Y es elegida a los precios 0P y la canasta 1Y a los
precios 1P . Si evaluamos la canasta 0Y a los precios 1P , el conjunto factible
(ingreso real) es menor que el conjunto factible que pasa por 1Y .
56
0 y1
y2
Y1
Y0
y11 y1
0
y20
y21
Operativamente cuando el consumidor está mejor en el año dado que en el
año base se cumple que:
> 0YPYP iii
Si dividimos la expresión anterior por 0YPi , entonces obtenemos:
10 >
YP
YPi
ii
Lo cual quiere decir que:
10
>qiP
)(lxi
Es decir, cuando el índice de cantidades de Paasche es mayor que 1 podemos
decir que el individuo está mejor en el año dado. Sin embargo, si el índice
57
de cantidades de Paasche fuera menor que 1, no podemos decir que el
individuo está mejor en el año base, ya que existe ambigüedad por la misma
razón que en el caso del Índice de Laspeyres.
En general, si los precios caen las cantidades consumidas aumentan,
aumentando el bienestar. El índice de cantidades de Laspeyres sobreestima
el incremento en el bienestar del individuo ya que el numerador valora los
bienes comprados en el periodo i a los precios, más altos, del periodo base.
En el caso del índice de Paasche, el incremento en el bienestar se subestima,
tal como se puede ver en la Figura 1.22.
El Indice de Laspeyres mide el cambio en el bienestar como el cambio entre
los niveles de utilidad entre 0Y y LX , cuando la utilidad solamente cambia
hasta el nivel que pasa por 1Y . El Indice de Paasche mide el cambio en el
bienestar como el cambio entre los niveles de utilidad de PX e 1Y , cuando
cambia entre el nivel de 0Y y el de 1Y .
Un índice que corrige estos problemas es el Índice Ideal de Fisher, el cual es
igual al producto geométrico de los índices de Laspeyres y de Paasche:
= q
iqi
qi PLF
000 )(lxii
Figura 1.22: Cuando evaluamos la canasta 1Y a los precios del año base
)( 0P , alcanzamos un nivel de utilidad superior (canasta LX ) al verdadero.
Cuando evaluamos la canasta 0Y a los precios del año dado )( 1P ,
alcanzamos un nivel de utilidad inferior (canasta PX ) al verdadero.
58
11.2 Índices de Precios
Los índices de precios nos permiten medir los cambios en el costo de
vida, pero también nos permiten medir los cambios en el bienestar. En el
caso del Índice de Precios de Laspeyres, éste estima el cambio en el costo de
vida entre el año dado y el año base, manteniendo las canastas constantes,
siendo en este caso las del año base. El índice de precios de Laspeyres se
mide por la siguiente fórmula:
= 00
0
0 YP
YPL
ipi )(lxiii
El índice de precios de Laspeyres también puede escribirse de la siguiente
forma:
59
0000
00
00.W
P
P
YP
YP
P
PL
iipi
=
= )(lxiv
Donde 0W es el gasto en cada bien de la canasta del periodo base como
proporción del gasto total en dicho periodo. También puede escribirse de la
siguiente manera:
= −
−
10
10
0 i
iipi P
P
P
PWL )(lxv
Donde )( 01
PPi−
es la ponderación móvil y representa la “historia” del índice.
Esta es una manera corriente de calcular los índices de precios ya que
incorpora la inflación anterior y presente.
El Índice de Precios de Paasche estima el cambio en el costo de vida entre el
año dado y el año base, manteniendo la canasta del año dado constante. La
fórmula es la siguiente:
=
i
iipi YP
YPP 00
)(lxvi
Para estimar el cambio en el bienestar por medio de los índices de precios,
partimos del resultado anterior para el índice de cantidades de Paasche
> 1
0
qiP , es decir, que el individuo está mejor en el año dado. Dicha
expresión es igual a:
10 >
YP
YPi
ii
60
Lo cual es equivalente a:
> 0YPYP iii
Si dividimos la expresión anterior entre 00YP , obtenemos:
> 00
0
0 YP
YP
YP
YP i
i
ii
Donde = 00 YP
YPi
ii
iε es el Índice de Gasto. Entonces, podemos decir que el
consumidor estará mejor en el año dado si el índice de gasto es mayor que el
índice de precios de Laspeyres:
pii L00
>ε
)(lxvii
Si ahora partimos del resultado anterior para el índice de cantidades de
Laspeyres
< 1
0
qiL , es decir que estamos mejor en el año base, dicha
expresión es equivalente a:
100
0
<
YP
YP i
Lo cual es equivalente a:
< 000 YPYP i
61
Si dividimos la expresión anterior entre iiYP , entonces tenemos:
<
iiii
i
YP
YP
YP
YP 000
Si invertimos esta expresión obtenemos lo siguiente:
00i
piP ε>
)(lxviii
Es decir, el consumidor estará mejor en el año base si el índice de precios de
Paasche es mayor que el índice de gasto.
Tal como en el caso de los índices de cantidades, el índice de precios de
Laspeyres sobreestima el alza en el costo de vida, mientras que el índice de
precios de Paasche lo subestima. Asimismo, el índice ideal de Precios de
Fisher corrige estos problemas:
= p
ipi
pi PLF
000 )(lxix
12. LA CURVA DE DEMANDA DE MERCADO
La curva de demanda de mercado se obtiene a partir de la suma
horizontal de las curvas de demanda individuales. Es decir, a cada precio se
suman las cantidades demandadas de cada individuo para obtener la
cantidad total demandada por la economía. En la Figura 1.23 vemos el caso
donde solamente hay dos individuos en la sociedad.
62
Figura 1.23: El consumidor 2 comienza a demandar el bien Y a un precio
mayor que el consumidor 1. Los niveles de precios donde las cantidades son
iguales a cero son los “precios de reserva” de cada consumidor, y
representan el máximo precio que estarían dispuestos a pagar por el bien.
Donde Ddd Yyy =+ 21 , siendo djy la curva de demanda del individuo j , y DY
la curva de demanda agregada de la economía. Si tenemos n individuos, la
demanda agregada del bien Y será:
=
=n
j
jD yY1
)(lxx
12.1 Determinantes de la Curva de Demanda Agregada
La curva de demanda agregada depende del precio del bien )(P , del
precio de otros bienes, sustitutos )( SP o complementarios )( CP , del ingreso
promedio de la sociedad )(I , de su distribución )( Iδ , de las preferencias )(G
y del número de personas en la sociedad )( CN :
),,,,,,( CICS NGIPPPYY δ= )(lxxi
La curva de demanda agregada es homogénea de grado cero en los precios y
en el ingreso promedio, en forma similar al caso de las curvas de demanda
individuales.
63
12.2 Ingreso Total, Medio y Marginal
El Ingreso Total de los productores por la venta del bien Y en el
mercado es igual a:
YYPIT ).(= )(lxxii
Definimos el Ingreso Medio de los productores como:
)(YPY
ITIMe == )(lxxiii
Es decir, el ingreso medio es igual a la curva de demanda inversa.
Finalmente, el Ingreso Marginal es igual al cambio en el ingreso total de los
productores cuando la cantidad del bien cambia:
Y
YPYYP
Y
YYP
Y
ITIMg
∂∂+=
∂∂=
∂∂= )()(]).([)(
Si tomamos P como factor común, obtenemos:
+=
∂∂
+=
PY
YPY
YP
P
YYPIMg
,
11)()(1)(η
)(lxxiv
En el siguiente capítulo vamos a analizar las aplicaciones a la teoría del
consumidor, entre las que se encuentran el modelo de compra y venta, el
modelo de oferta de trabajo, y el modelo de consumo inter temporal.
64
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Economics Studies, Vol. 3, No 2, February, pp. 120 – 129. Becker, G. 1993 The Allocation of Time and Goods over Time. In G. Becker, Human
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September. Browning, M. y P. Chiappori 1998 Efficient Intra-Household Allocations: A General Characterization and
Empirical Tests. Econometrica, Vol. 66(6). Dwyer, G. Jr. y C. Lindsay 1984 Robert Giffen and the Irish Potato. The American Economic Review,
Vol. 74, No 1, March. Figueroa, A. 1996 Teorías Económicas del Capitalismo. Lima: Fondo Editorial de la
Pontificia Universidad Católica del Perú. Folbre, N. 1996 Engendering economics: New perspectives on women, work and
demographic change. In M. Bruno y B. Pleskovic (editors), Annual World Bank Conference on Development Economics – 1995.
1986 Hearts and Spades: Paradigms of household economics. World
Development, Vol. 14, No. 2. Folbre, N. y J. Nelson 2000 For Love or Money – Or both? Journal of Economic Perspectives, Vol.
14(4), Fall, pp. 123 – 140. Garavito, C. 2012 Asignación de la Fuerza Laboral Juvenil entre Trabajo y Educación: El
caso del Perú Urbano. Lima: Departamento de Economía de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Hicks, J. 1968 Valor y Capital. Investigaciones sobre algunos principios
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65
Houthakker, H.S. 1950 Revealed Preference and the Utility Function. Economica, New Series,
Vol. 17, No 66, May. Instituto Nacional de Estadística e Informática 1996 Elasticidades de la Demanda de los Principales Bienes y Servicios
Consumidos por las Familias en Lima Metropolitana. Lima. Disponible en:
http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0095/n00.htm Monge, A. 2004 Unitary or Collective Models? Theoretical Insights and Preliminary
Evidence from Peru. Apuntes, Revista de Ciencias Sociales, No 55, Segundo Semestre. Centro de Investigaciones de la Universidad del Pacífico.
Samuelson, P. 1971 Fundamentos del Análisis Económico. Tercera Edición. Buenos Aires:
Editorial El Ateneo. Publicado por primera vez en 1947. Sen, A. 1989 Gender and cooperative conflicts. En I. Tinker (editor), Persistent
Inequalities. Women and world development. New York: Oxford University Press.
Woolley, F. 1991 The feminist challenge to neoclassical economics. Cambridge Journal
of Economics, Vol. 17(4), December.
66
APÉNDICE MATEMÁTICO
1. Conjunto Convexo
Un conjunto Ω es convexo si cualquier combinación lineal de sus
elementos se encuentra dentro del mismo conjunto. Matemáticamente,
),...,,,( 321 nYYYY=Ω es un conjunto convexo ⇔ [ ]1,0,1
∈∀Ω∈=
j
n
j
jjY θθ .
2. Función (Transformación) Monótona
Una función )(xf es monótona creciente, si valores cada vez mayores de
la variable x conducen siempre a valores cada vez mayores de )(xf . La
función será monótona decreciente si valores mayores de x conducen a
valores cada vez menores de )(xf .
3. Funciones Homogéneas y Homotéticas
Una función ),( 21 xxfy = es homogénea si se cumple lo siguiente:
yxxf vλλλ =),( 21
Donde v es el grado de homogeneidad de la función. Si 1=v se dice que la
función es homogénea y lineal.
Una función ),( 21 xxfy = es homotética si la se cumple lo siguiente:
=
∂∂
∂∂
1
2
2
1
y
yg
xf
xf
Asimismo, una función homotética es una transformación monótona de una
función homogénea de grado 1. Si le sumamos una constante, sigue siendo
homotética, pero ya no es homogénea. Entonces, una función homogénea
siempre es homotética, si bien lo contrario no necesariamente se cumple.
67
4. Condiciones de Primer y Segundo Orden con Restricciones de Igualdad
Para un problema de óptimo con restricciones de igualdad como el
siguiente:
Max ),( 21 yyUU =
..as 2211 yPyPI +=
Las condiciones de primer orden serán las siguientes:
01111
=−=∂
Λ∂PU
yλ
02122
=−=∂
Λ∂PU
yλ
02211 =−+ IyPyP
Las condiciones de segundo orden se obtienen a partir del determinante de
la matriz Hessiana Orlada. Así vemos que si como determinante de la matriz
siguiente es menor que cero, el punto óptimo es un máximo:
020
112
21221222
1
22212
12111
21
<+−== UPUPPUP
UUP
UUP
PP
H
5. Condiciones de Óptimo de Kuhn – Tucker
Para un problema de óptimo con restricciones de desigualdad como el
siguiente:
Max ),( 21 yyUU =
..as 2211 ypypI +≥
68
12 2yy ≥
Las condiciones de primer orden serán las siguientes:
02 21111
≤−−∂∂=
∂Λ∂ λλ p
y
U
y 01 ≥y 02 211
11 =
−−
∂∂ λλ py
Uy
022122
≤+−∂∂=
∂Λ∂ λλ p
y
U
y 02 ≥y 0221
22 =
+−
∂∂ λλ py
Uy
02211 ≤−+ Iypyp 01 ≥λ 0)( 22111 =−+ Iypypλ
02 21 ≤− yy 02 ≥λ 0)2( 212 =− yyλ
ÚLTIMAS PUBLICACIONES DE LOS PROFESORES DEL DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
Libros Felix Jiménez 2012 Crecimiento económico: enfoques y modelos. Lima, Fondo Editorial, Pontificia
Universidad Católica del Perú. Janina León Castillo y Javier M. Iguiñiz Echeverría (Eds.) 2011 Desigualdad distributiva en el Perú: Dimensiones. Lima, Fondo Editorial, Pontificia
Universidad Católica del Perú. José Rodríguez y Albert Berry (Eds.) 2010 Desafíos laborales en América Latina después de dos décadas de reformas
estructurales. Bolivia, Paraguay, Perú (1997-2008). Lima, Fondo Editorial, Pontificia Universidad Católica del Perú e Instituto de Estudios Peruanos.
José Rodríguez y Mario Tello (Eds.) 2010 Opciones de política económica en el Perú 2011-2015. Lima, Fondo Editorial,
Pontificia Universidad Católica del Perú. Felix Jiménez 2010 La economía peruana del último medio siglo. Lima, Fondo Editorial, Pontificia
Universidad Católica del Perú. Felix Jiménez (Ed.) 2010 Teoría económica y Desarrollo Social: Exclusión, Desigualdad y Democracia.
Homenaje a Adolfo Figueroa. Lima, Fondo Editorial, Pontificia Universidad Católica del Perú.
José Rodriguez y Silvana Vargas 2009 Trabajo infantil en el Perú. Magnitud y perfiles vulnerables. Informe Nacional 2007-
2008. Programa Internacional para la Erradicación del Trabajo Infantil (IPEC). Organización Internacional del Trabajo.
Óscar Dancourt y Félix Jiménez (Ed.) 2009 Crisis internacional. Impactos y respuestas de política económica en el Perú. Lima,
Fondo Editorial, Pontificia Universidad Católica del Perú. Alfredo Dammert y Raúl García 2009 Los Jones quieren casa nueva. Cómo entender la nueva crisis económica mundial.
Fondo Editorial, Pontificia Universidad Católica del Perú.
Serie: Documentos de Trabajo No. 328 “Orígenes históricos de la desigualdad en el Perú”. Carlos Contreras, Stephan
Gruber y Cristina Mazzeo. Mayo, 2012. No. 327 “Residual Based Test for Cointegration with GLS Detrented Data”. Pierre Perron
y Gabriel Rodríguez. Marzo, 2012 No. 326 “Cuál es el costo de la contaminación ambiental minera sobre los recursos
hídricos en el Perú?: Comentarios”. Alfredo Dammert, Arturo Vásquez, Raúl García, Víctor Zurita, Humberto Ortiz y Erix Ruiz. Noviembre, 2011.
No. 325 “Some Stylized Facts of Returns in the Foreign Exchange and Stock Markets in
Peru”. Alberto Humala y Gabriel Rodríguez. Setiembre, 2011. No. 324 ¿Barreras lingüísticas en la educación? La influencia de la lengua materna en la
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