documat-desarrollodelconocimientodidacticoenunplandeformac-1335

5/20/2018 Documat-DesarrolloDelConocimientoDidacticoEnUnPlanDeFormac-1335

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DESARROLLO DEL CONOCIMIENTODIDCTICO EN UN PLAN DE FORMACININICIAL DE PROFESORES DE MATEMTICAS

DE SECUNDARIA

TESIS DOCTORAL


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PEDRO GMEZ

DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO

DIDCTICO EN UN PLAN DE FORMACININICIAL DE PROFESORES DE MATEMTICASDE SECUNDARIA

Memoria de tesis doctoral realizada bajo la direccin del Doctor Luis Rico Romerodel Departamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de Granada.

Universidad de GranadaDepartamento de Didctica de la Matemtica

2007


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ISBN 978-84-690-8620-9

Este estudio se realiz en el seno del grupo de investigacin Didctica de la Matemtica. Pensamiento Numrico, dela Universidad de Granada, del Plan Andaluz de Investigacin, Desarrollo e Innovacin de la Junta de

Andaluca (FQM-0193).El estudio recibi el apoyo de dos proyectos del plan nacional de I+D+I, financiados por el Ministerio deEducacin y Ciencia y cofinanciados con fondos FEDER, con referencias BSO2002 02799 y SEJ200507364/EDUC, respectivamente.

Reservados todos los derechos

Pedro Gmez GuzmnUniversidad de La Rioja

Logroo, 2007

Universidad de La RiojaBiblioteca UniversitariaC/ Piscinas s/n26006 LOGROOLA RIOJA ESPAA

E-mail: [email protected] web: dialnet.unirioja.es


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NDICE

1. Una Aproximacin a Cuatro Cuestiones Generales sobre el Profesorde Matemticas 1

1. Cuatro Cuestiones Generales sobre el Profesor de Matemticas 2

2. Roles, Perodos y Contribuciones 4

3. Encuentro de Dos Vertientes en la Formacin de Profesores de

Matemticas de Secundaria 5

4. Evaluacin de un Modelo de Formacin 7

5. Anlisis de la Estrategia de Delimitacin 8

6. Otra Perspectiva en la Exploracin de la Formacin Inicial deProfesores de Matemticas de Secundaria 9

7. Cuatro Preguntas Generales, una Aproximacin Concreta 12

8. Dos Relatos Entrelazados 14

2. Anlisis Didctico. Una Conceptualizacin de la Enseanza de lasmatemticas 17

1. La Planificacin de Clase. Un Problema diario del Profesor de

Matemticas 18

2. Planificacin, Especificidad del Contenido y Pluralidad de Significadosde las Matemticas Escolares 22

3. Significado y Educacin Matemtica 23

4. Anlisis Didctico: un Procedimiento para Organizar la Enseanza de

las Matemticas 30

5. Creencias, Metas y Contextos 33

6. Inicio del Ciclo 35

7. Anlisis de Contenido 36

8. Anlisis Cognitivo 56


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ii ndice

9. Anlisis de Instruccin 76

10. Anlisis de Actuacin 93

11. Contribuciones del Anlisis Didctico a la Reflexin sobre la

Planificacin en Matemticas 95

3. Conocimiento Didctico y Competencias del Profesor de Matemticas 103

1. Conocimiento Pedaggico de Contenido: una Nocin Potente 104

2. Conocimiento Didctico en la Formacin Inicial de Profesores de

Matemticas de Secundaria 116

3. Competencias Profesionales y la Formacin del Profesor de

Matemticas 122

4. Anlisis Didctico y Capacidades del Profesor de Matemticas 130

5. Conocimiento Pedaggico de Contenido, Conocimiento Didctico y

Competencia de Planificacin del Profesor de Matemticas 134

4. Aprendizaje de los Futuros Profesores 137

1. Contexto: Diseo y Desarrollo de la Asignatura 138

2. Aproximacin Sociocultural al Aprendizaje de los Futuros Profesores 140

3. Teora Social del Aprendizaje 141

4. Dos Comunidades de Prctica y Significados Parciales 1465. Gnesis Instrumental: Conceptualizacin del Trabajo de un Grupo 148

6. Desarrollo del Conocimiento Didctico 152

7. Factores de Desarrollo 155

8. Aprendizaje, Desarrollo del Conocimiento Didctico y Anlisis de las

Producciones 159

9. Competencias y Desarrollo del Conocimiento Didctico 160

5. Diseo de Planes de Formacin Inicial de Profesores de Matemticas

de Secundaria 163

1. Problemtica del Diseo de Planes de Formacin Inicial de Profesores

de Matemticas 164

2. Diversidad en Formacin Inicial de Profesores de Matemticas de

Secundaria 172

3. Historia de la Asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato 180

4. Diseo Curricular de la Asignatura en el Curso 20002001 186

5. Fundamentacin del Diseo 196


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ndice iii

6. La Asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato duranteel Curso 2000-2001 199

1. Descripcin General del Desarrollo de la Asignatura 200

2. Desarrollo del Anlisis Didctico en la Asignatura 206

3. Organizacin de la Informacin Obtenida Durante el Desarrollo de la

Asignatura 227

7. Caracterizacin del Aprendizaje de los Futuros Profesores deMatemticas 231

1. De una Pregunta General a unos Objetivos de Investigacin 232

2. Metodologa: Seleccin de unas Opciones 233

3. Fuentes de Informacin: una Aproximacin Naturalista 238

4. Cuatro Estudios 239

8. Cuatro Estados de Desarrollo del Conocimiento Didctico 241

1. De las 72 Transparencias a los Cuatro Estados de Desarrollo 242

2. Cuatro Estados de Desarrollo del Conocimiento Didctico 256

3. Estados de Desarrollo, Evolucin y Progreso de los Grupos 258

4. Una Primera Aproximacin al Desarrollo del Conocimiento Didctico 265

5. Cuestiones Abiertas 268

9. Complejidad del Conocimiento Didctico 269

1. Identificacin y Caracterizacin de los Significados Parciales 271

2. Estructura Conceptual y Gnesis Instrumental 272

3. Sistemas de Representacin: la Importancia de lo Simblico 292

4. Heterogeneidad Fenomenolgica 305

5. Puesta en Prctica del Conocimiento Didctico 314

6. Complejidad del Conocimiento Didctico sobre el Anlisis deContenido 322

10. Una Comunidad de Prctica 331

1. Comunidades de Prctica y Aprendizaje de los Futuros Profesores 333

2. Teora Social del Aprendizaje de Wenger 334

3. De una Teora a unos Instrumentos de Codificacin, Anlisis E

Interpretacin 336

4. Compromiso Mutuo 348

5. Empresa Conjunta 375


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iv ndice

6. Repertorio Compartido 383

7. Emergencia de una Comunidad de Prctica y Desarrollo del

Conocimiento Didctico 401

8. Comunidad de Prctica: una Herramienta para Ver, Pensar y Actuar 405

11. Un Fenmeno, Cuatro Puntos de Vista 411

1. Cuatro Diseos Relacionados 412

2. Evolucin de los significados de los Organizadores del Currculo 413

3. Evolucin del Conocimiento Didctico 421

4. Conjeturas de Explicacin del Desarrollo del Conocimiento Didctico 424

5. Gnesis Instrumental en la Prctica de la Asignatura 4296. Complejidad de la Formacin Inicial de Profesores de Matemticas de

Secundaria 435

12. Una Etapa en mi Reflexin sobre el Profesor de Matemticas deSecundaria 437

1. Contribuciones a la Reflexin sobre el Profesor de Matemticas de

Secundaria 438

2. De la Investigacin a la Prctica 442

3. Limitaciones y Cuestiones Abiertas 4434. El Final de una Etapa; el Comienzo de Otra 444

Agradecimientos 447

15. Referencias 449


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1

UNA APROXIMACIN A CUATROCUESTIONES GENERALES SOBRE ELPROFESOR DE MATEMTICAS

Qu matemticas aprenden los escolares y cmo las aprenden depende de la ins-truccin que ellos reciben en la escuela (Ball, Lubienski y Mewborn, 2001, p.435; Wood, 2002, p. 202). El profesor de matemticas es el principal responsablede esta instruccin. l es quien, con sus conocimientos y sus creencias y dentro deunos contextos culturales, sociales, polticos, curriculares e institucionales, decidequ tipos de experiencias matemticas viven sus estudiantes en el aula (Kilpatrick,Swafford y Findell, 2001, pp. 314-315). Durante un tiempo, la investigacin eneducacin matemtica centr su atencin en los procesos cognitivos de los escola-res y en los aspectos curriculares de la enseanza y el aprendizaje de las matem-ticas. Sin embargo, el reconocimiento de la importancia del papel del profesor en

el aprendizaje de los escolares explica, al menos parcialmente, el intenso desarro-llo que, durante los ltimos quince aos, ha tenido la investigacin sobre el profe-sor de matemticas (Sfard, Hashimoto, Knijnik, Robert y Skovsmose, 2004). Elconocimiento del profesor y los programas en los que l se forma o se desarrollaprofesionalmente han sido dos de los focos de atencin dentro de la literatura deinvestigacin (Ball, 2004, p. 441). Y, aunque se argumenta que la formacin ini-cial de profesores tiene poco impacto en sus creencias y conocimiento (Johnston,1992; Zeichner y Tabachnick, 1981)1, los programas de formacin inicial y per-

1Otros estudios muestran lo contrario (e.g., Darling-Hammond, 2000, p. 166). Por ejemplo, Ensor

(2001, p. 316) muestra que los futuros profesores recontextualizan en la prctica lo que aprendenen su formacin inicial.


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2 Captulo 1

manente de profesores de matemticas se estn convirtiendo en un punto centraldel inters en la investigacin sobre el profesor (15th ICMI Study, 2005, pp. 280-282).

1. CUATRO CUESTIONES GENERALES SOBRE ELPROFESOR DE MATEMTICAS

Cules son las principales cuestiones que, sobre el profesor de matemticas, sehan abordado desde que Shulman (1986, pp. 9-10) introdujo la nocin de conoci-miento pedaggico de contenido y puso de manifiesto que no bastaba con el co-nocimiento profundo de la disciplina (y algn conocimiento de pedagoga) paratener xito como profesor? A continuacin, presento una visin general de las in-

quietudes que algunos investigadores en formacin de profesores de matemticashan formulado en los ltimos diez aos. Al final de este apartado, recojo, en cua-tro preguntas generales, aquellas cuestiones que son ms relevantes para el pro-yecto que presento en este documento y que me permiten ubicar y justificar suspropsitos en el contexto de la investigacin en educacin matemtica.

Cooney (1994), en su artculo de revisin, pregunta: Qu tipos de conoci-mientos necesitan los profesores para ser eficientes? Qu tipos de experienciasdeben vivir los profesores para construir ese conocimiento? (p. 608)2; Quperspectivas tericas nos pueden permitir comprender las experiencias que vivenlos profesores? Qu perspectivas tericas nos pueden permitir desarrollar pro-gramas de investigacin y desarrollo que empujen nuestros esfuerzos hacia ade-

lante? (pp. 627-628).Por su parte, Simon (2000, pp. 335-336) argumenta que se requiere una base

de conocimientos sobre diferentes aspectos relacionados con el profesor:

Se necesita una base de conocimientos que gue los programas de for-macin de profesores nveles y eficaces. Esta base de conocimientos de-be incluir la identificacin de los aspectos claves del conocimiento y lashabilidades del profesor (los objetivos de la formacin de profesores),esquemas que permitan describir cmo se desarrollan ese conocimiento

y esas habilidades y modelos tiles del tipo de intervencin que puedenpromover ese desarrollo.

Jaworski (2002, p. 90) detalla estas cuestiones al formular las siguientes pregun-tas:

Cundo y cmo aprenden matemticas nuestros estudiantes y cul es lanaturaleza de su conocimiento y comprensin matemticos? Cmo sedesarrolla el conocimiento pedaggico? De qu manera los futuros

profesores enlazan sus conocimientos de matemticas y pedagoga paraplanificar eficazmente la enseanza en el aula?En qu momentos o eta-pas ellos comienzan a relacionar su conocimiento de estas reas con una

2

Excepto que indique lo contrario, las citas de documentos cuyos originales no estn en espaolhan sido traducidas por m.


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Una Aproximacin 3

conciencia del pensamiento y comprensin matemticos de los escolaresy con las situaciones y cuestiones sociales que rodean las aulas?

En este sentido, Ball (2001, p. 437) argumenta queel desarrollo profesional carece de un currculo para el aprendizaje delos profesores, un currculo que considere las prcticas que se esperaque ellos desarrollen, el conocimiento matemtico que requieren tales

prcticas y la atencin a lo que ellos ya conocen y creen es decir, loque ellos traen a la formacin.

Kilpatrick (2003a), en su propuesta para un centro para la competencia (profi-ciency) en la enseanza de las matemticas, identifica seis prioridades, formula-das como preguntas:

1. Dnde y cmo los profesores usan las matemticas en su trabajo?2. Qu conocimiento matemtico, habilidades y disposiciones estn in-volucrados en la enseanza competente de las matemticas?

3. Cmo pueden los profesores, en formacin y en ejercicio, desarrollarsu conocimiento matemtico y usarlo ms eficazmente en la enseanza?

4. Qu constituye una oportunidad de aprendizaje profesional en ma-temticas, de tal forma que la prctica de la instruccin y su desarrollosean centrales en ese aprendizaje?

5. Cules son las caractersticas de las oportunidades de desarrollo

profesional eficaces, de alta calidad y perdurables para profesores detodos los niveles?

6. Qu se necesita para desarrollar alianzas y colaboraciones produc-tivas en las comunidades que puedan contribuir al aprendizaje profesio-nal de los profesores de matemticas?

Hay, por lo tanto, una variedad de preguntas no resueltas en relacin con el profe-sor de matemticas. Estas cuestiones tienen que ver, de manera general, con laenseanza que el profesor realiza en el aula, con el conocimiento y habilidadesque pone en juego al hacerlo, con los procesos de aprendizaje en virtud de los cua-les l desarrolla esos conocimientos y esas habilidades, y con los contextos de

formacin en los que se crean las oportunidades de aprendizaje para ello. Desde laperspectiva de la formacin inicial de profesores de matemticas de secundaria,identifico, por lo tanto, cuatro cuestiones sobre las que hay inters en el contextode la investigacin en educacin matemtica:

1. Qu caracteriza la actuacin eficaz y eficiente3del profesor en el aula de ma-temticas?

3 La literatura sobre enseanza utiliza el trmino effectiveness o effective teaching (e.g.,Cheng, Mok y Tsui, 2001; Grouws y Cooney, 1988; Kinach, 2002; Loughran, 2002). Aunque eltrmino se origin en la tradicin de los estudios de proceso-producto que buscaban identificar

los comportamientos caractersticos de los buenos profesores, se ha continuado utilizando paradescribir una enseanza de calidad que logra los objetivos que se propone. sta es la acepcin ge-


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4 Captulo 1

2. Cules deben ser los conocimientos, capacidades y actitudes de un profesorque acta eficaz y eficientemente?

3. Cmo se deben disear e implantar los programas de formacin inicial deprofesores de matemticas de secundaria de tal forma que se apoye y fomenteel desarrollo de estos conocimientos, capacidades y actitudes?

4. Qu caracteriza los procesos de aprendizaje de los futuros profesores de ma-temticas de secundaria que participan en este tipo de programas de formacininicial?

2. ROLES, PERODOS Y CONTRIBUCIONESEste trabajo se enmarca dentro del contexto de estas cuatro preguntas generales.

Es un trabajo sobre diseo de programas de formacin inicial y sobre aprendizajede futuros profesores de matemticas de secundaria. En l, propongo avances parala conceptualizacin de la formacin inicial de profesores de matemticas de se-cundaria dentro del contexto espaol y exploro qu y cmo aprende un grupo defuturos profesores que particip en un programa de este tipo. Se trat de la asigna-turaDidctica de la Matemtica en el Bachilleratoque se ofreci a estudiantes dematemticas de quinto ao de la Universidad de Granada durante el curso 2000-2001 (Rico y Segovia, 1999).

Yo asum diversos roles a lo largo de este proyecto. Mi primer rol fue de di-seador de currculo. Asist a la asignatura durante la mayor parte del curso ante-rior a aquel en el que se recogi la informacin para la indagacin emprica. Du-rante ese tiempo, trabaj en dos actividades. Por un lado, produje una propuestapara modificar el diseo curricular de la asignatura. Por el otro, desarroll las pri-meras ideas de una conceptualizacin de la formacin inicial de profesores de ma-temticas de secundaria que permitiera justificar ese nuevo diseo. Mi segundo rolfue de formador. Compart la responsabilidad del diseo y desarrollo de la asigna-tura con mi director de tesis, Luis Rico. Estuve a cargo, entre otras cosas, de aque-lla parte de la asignatura sobre la que se hizo la indagacin emprica. Finalmente,mi tercer rol fue como investigador. Dise y llev a cabo un proyecto con el pro-psito de comprender el aprendizaje de los grupos de futuros profesores que parti-ciparon en la asignatura. ste es, por lo tanto, un proyecto de investigacin sobre

mi prctica profesional (Ponte, Serrazina, Sousa y Fonseca, 2003) y la de mi di-rector de tesis4.Desarroll el proyecto en tres perodos, que corresponden a los tres roles que

acabo de describir. En el primer perodo, produje avances en la conceptualizacinde la asignatura como fundamento para su diseo curricular. En el segundo pero-do, tuvo lugar el desarrollo de la asignatura y el proceso de recoleccin de infor-

neral del trmino eficacia (como la capacidad para obrar o para conseguir un resultado determi-nado), mientras que la eficiencia se refiere a la capacidad para lograr un fin empleando los mejoresmedios posibles.4Por esta razn, acorde con la posicin de Burton (2002) y siguiendo las guas del Manual de la

Sociedad Americana de Psicologa (2001), en el que me baso para escribir este documento, utiliza-r la voz activa como estilo de redaccin.


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Una Aproximacin 5

macin para la indagacin emprica. Y, en el tercer perodo, analic esa informa-cin, produje unos resultados y redact el reporte correspondiente.

Mis contribuciones a las preguntas que formul al comienzo de este captulose construyeron a partir de tres dimensiones:

! una aproximacin a la conceptualizacin de la formacin inicial de profe-sores de matemticas de secundaria dentro del contexto espaol;

! una propuesta de diseo curricular para la asignatura Didctica de la Mate-mtica en el Bachillerato de la Universidad de Granada; y

!

la descripcin y caracterizacin de algunos aspectos del aprendizaje de losgrupos de futuros profesores que participaron en la asignatura5.

A continuacin, presento el proceso que dio lugar a la problemtica de inves-tigacin de la que me ocup y que es objeto del proyecto que reseo en este do-cumento. El proceso se inicia con el encuentro de dos vertientes en la investiga-

cin en formacin de profesores de secundaria: la lnea de investigacin enformacin inicial de profesores de matemticas de secundaria que se vena desa-rrollando en el seno del Grupo Pensamiento Numricode la Universidad de Gra-nada (Rico, 2004a) y mi experiencia como formador e investigador en los pro-gramas de formacin permanente de profesores de matemticas de secundaria enuna empresa docente", en Bogot, Colombia (Gmez, Perry, Valero, Castro yAgudelo, 1998; ued, 2004). Como resultado de este encuentro y del anlisis de losproyectos de investigacin que se venan realizando en Granada, dise una pers-pectiva para la exploracin de la formacin inicial de profesores de matemticasde secundaria, que describo ms adelante en este captulo. Este proyecto se articu-

la dentro del contexto de esa perspectiva.

3. ENCUENTRO DE DOS VERTIENTES EN LA FORMACINDE PROFESORES DE MATEMTICAS DE SECUNDARIA

El problema que abordo en este proyecto surge del encuentro de dos vertientes enla formacin de profesores de matemticas de secundaria que se venan realizandodurante el final de la dcada de los ochenta y la dcada de los noventa. La primeravertiente tena lugar en Granada, Espaa, en el contexto de la formacin inicial delos futuros profesores de matemticas en la Universidad de Granada. La segunda

vertiente tena lugar en Bogot, Colombia, en el contexto de los proyectos de for-macin permanente de profesores de secundaria que desarroll una empresa do-cente", centro de investigacin en educacin matemtica de la Universidad de losAndes. A continuacin, describo cada una de estas vertientes.

Luis Rico imparti por primera vez la asignatura Didctica de la Matemticaen el Bachillerato en 1987. l la describe en detalle en su proyecto docente (Rico,1992, p. captulo III). Como es natural, el diseo de la asignatura ha evolucionado

5 Estas cuestiones sern descritas en detalle en otros captulos de este documento. No obstante,vale la pena aclarar que la conceptualizacin y el diseo curricular que se mencionan aqu involu-cran una posicin con respecto al aprendizaje de los futuros profesores. Por otro lado, en el tercer

punto (i.e., la indagacin emprica) me refiero a la descripcin y caracterizacin del aprendizaje delos grupos de futuros profesores que tuvo lugar con motivo del desarrollo de la asignatura.


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6 Captulo 1

en el tiempo6. El propsito de la asignatura es el de contribuir a la formacin delfuturo profesor de matemticas de secundaria en dos dimensiones: el inicio de suparticipacin en las prcticas de la comunidad de educadores matemticos y eldesarrollo de los conocimientos y capacidades necesarios para la planificacin deunidades didcticas. En el curso 1999-2000 se consideraron los siguientes temas:historia de las matemticas y de la educacin matemtica en Espaa, la nocin decurrculo y anlisis de proyectos curriculares, los fundamentos de las matemticasescolares (matemticas, aprendizaje y enseanza) y los organizadores del curr-culo. Los organizadores del currculo hacen referencia a aquellos conocimientosque adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseo, desa-rrollo y evaluacin de unidades didcticas (Rico, 1997c, p. 45). La nocin de sis-temas de representacin es un ejemplo de un organizador del currculo. El anlisisde un tema matemtico especfico (e.g., la funcin cuadrtica) desde la pers-

pectiva de los sistemas de representacin permite recabar y organizar informacinsobre uno de los mltiples significados de este tema, dentro del contexto de lasmatemticas escolares. Otros organizadores del currculo son la historia, la feno-menologa, los errores y dificultades o los materiales y recursos. La articulacinde los organizadores del currculo como herramientas conceptuales y metodolgi-cas para el anlisis de un tema matemtico y la organizacin de la informacinque surge de ese anlisis para el diseo de unidades didcticas se denominaba enese momento el modelo de los organizadores del currculo, al que har referen-cia ms adelante en este captulo. Este modelo era la pieza central del diseo de lasegunda parte de la asignatura7. En esta parte, los futuros profesores se organiza-ban en grupos, escogan un tema matemtico especfico, recogan y organizaban

informacin sobre ese tema, y producan el correspondiente diseo de una unidaddidctica.

Durante varios aos antes del comienzo de este proyecto, yo trabaj en unaempresa docente". All ejerc funciones de director, investigador y formador deprofesores. Como investigador y formador de profesores de matemticas, parti-cip, con mis colegas, en varios proyectos de formacin permanente de profesoresde matemticas de secundaria. En ellos, fuimos paulatinamente diseando, llevan-do a la prctica y evaluando esquemas de trabajo que centraban su atencin en elanlisis de temas de las matemticas escolares, el diseo de actividades a partir deesos anlisis, la puesta en juego de esos diseos y la evaluacin de los resultados

(Gmez, 1999; Gmez y Carulla, 2001a, 2001b; Gmez et al., 1998; Perry, Vale-ro, Castro, Gmez y Agudelo, 1998).En estos proyectos de investigacin y formacin trabajbamos con profesores

de matemticas de secundaria en ejercicio. Los profesores se organizaban en gru-pos. Cada grupo estaba compuesto por profesores de una misma institucin. Lasdirectivas de la institucin apoyaban y participaban en el trabajo de sus profesores(Valero, Perry y Gmez, 1997). Todos los grupos trabajaban sobre un mismo te-ma matemtico y utilizaban herramientas conceptuales y metodolgicas de anli-

6Describir en detalle el diseo curricular de la asignatura para el curso 20002001 en el captulo5.7

Tambin era el foco de inters de la lnea de investigacin que se estaba desarrollando en esemomento y que describir en el siguiente apartado.


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Una Aproximacin 7

sis de las matemticas escolares que denominbamos, en conjunto, anlisis didc-tico. Cada grupo realizaba un proceso cclico de anlisis, diseo curricular, desa-rrollo curricular y evaluacin, y presentaba sistemticamente su trabajo en clasedurante cada una de las fases del ciclo. Adicionalmente, realizbamos reunionesperidicas de asesora con cada grupo por separado en las que formadores y pro-fesores discutamos sobre el avance de los trabajos.

Llegu, por lo tanto, a Granada con una cierta experiencia en formacin per-manente de profesores de matemticas de secundaria. Pero, era esta experienciavlida en la formacin inicial de profesores? Qu aspectos de los dos tipos deformacin eran comunes? Cmo compaginar mi experiencia como investigador yformador en Colombia con la lnea de investigacin que se vena desarrollando enGranada? Como un primer paso para responder estas preguntas, describo a conti-nuacin las principales caractersticas de dicha lnea de investigacin, tal y como

se encontraba en el momento en que comenc a trabajar en mi proyecto y, por lotanto, a formar parte de ella.

4. EVALUACIN DE UN MODELO DE FORMACINEn el apartado anterior me refer al modelo de los organizadores del currculodentro del contexto de la asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato.Al final de la dcada de los noventa, Luis Rico haba iniciado una lnea de inves-tigacin en formacin de profesores cuyo foco principal era la evaluacin de esemodelo (Bedoya, 2002, pp. 58-63; Ortiz, 2002, p. 39; Rico, Gmez, Moreno,

Romero, Lupiez, Gilet al., 2003). Dado que la idea de evaluar el modelo erabastante compleja y general, se dise y desarroll una estrategia de concrecinque se utiliz en las tesis doctorales de Evelio Bedoya (2002) y Jos Ortiz (2002).A continuacin describo esta estrategia, dado que ella se constituy en el punto departida de mi trabajo. La delimitacin del problema se ejecut en las siguientesdimensiones:

Se selecciona una parte del modelo.Estos dos proyectos de investigacin se cen-traron en aspectos especficos del modelo. Evelio Bedoya trabaj con calculadorasgrficas (como recurso) y sistemas de representacin, en el contexto de la funcincuadrtica. Por su parte, Jos Ortiz utiliz tambin las calculadoras grficas, perocentr su atencin en los procesos de modelizacin en el rea del lgebra lineal.Los dos proyectos exploraron el papel del organizador del currculo corres-pondiente en el desarrollo de competencias de diseo curricular. De esta manera,no haba necesidad de abordar la globalidad de los organizadores del currculo y laatencin se poda centrar en el trabajo de los futuros profesores en algunos as-pectos particulares del modelo.

La experiencia se realiza por fuera del contexto de la asignatura.En los dos pro-yectos de investigacin a los que me refiero, se dise un programa de formacinde profesores especfico y de corta duracin que se realiz en al menos dos oca-siones. En ellos participaron una variedad de alumnos en el caso de Ortiz(2002, p. 156), por ejemplo, participaron tanto licenciados en matemticas, como

estudiantes de matemticas de diferentes especialidades y diferentes cursos.


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8 Captulo 1

Objetivos y diseos de investigacin especficos.Los dos proyectos buscaron ex-plorar y caracterizar las competencias didcticas desarrolladas por los participan-tes durante los programas de formacin correspondientes. En los dos estudios sehizo un anlisis detallado de las actitudes de los participantes hacia el uso de latecnologa y los resultados de este anlisis guiaron una parte importante de lasconclusiones.

5. ANLISIS DE LA ESTRATEGIA DE DELIMITACINLa evaluacin de programas de formacin que involucran la tecnologa es un pro-ceso complejo (Howland y Wedman, 2004, p. 259) y estos dos proyectos hicieroncontribuciones importantes dentro del contexto de la educacin matemtica. Sudiseo y sus contribuciones me permitieron reflexionar sobre el problema general

de la evaluacin del modelo de los organizadores del currculo, con el propsitode disear mi proyecto. En este apartado, presento algunas reflexiones que, reco-nociendo las aportaciones de estos trabajos, sirven de base para la estrategia con laque abord el mismo problema.

El modelo de los organizadores del currculo forma parte de un diseo curri-cular global dentro de la asignatura. Este modelo involucra una variedad de ele-mentos que interactan entre s conceptual y metodolgicamente. Por ejemplo,desde el punto de vista conceptual, los organizadores del currculo, como herra-mientas de anlisis de un tema matemtico y de diseo de unidades didcticas, serelacionan directamente con la nocin de currculo y con los fundamentos de las

matemticas escolares (ver captulo 2).Por otro lado, el modelo de los organiza-dores pretende ser el ncleo de un procedimiento de diseo curricular. Para quetenga sentido, este diseo debe involucrar idealmente todos los elementos del mo-delo (Gmez, 2002a, pp. 347-349). En el caso de los dos estudios a los que meestoy refiriendo, y dados sus propsitos y su extensin temporal, no se pretendahacer referencia a todos estos elementos, ni a las bases conceptuales sobre las quese fundamenta el modelo. Tampoco se buscaba realizar un trabajo de diseo curri-cular en toda su extensin.

Como mencion arriba, quienes participaron en estos programas de formacinprovenan de diversos mbitos y tenan diversas formaciones y experiencias do-centes que no necesariamente correspondan a la formacin y experiencia de los

alumnos de la asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato, dentro laque se haba desarrollado y se utilizaba el modelo. Por lo tanto, sus resultados sereferan a esos participantes, y no se pretenda extenderlos al contexto de la asig-natura.

Los estudios tuvieron que enfrentar las restricciones naturales de un proyectode grado en cuanto a la amplitud de sus objetivos de investigacin. En este as-pecto, se enfocaron en el anlisis de algunas de las producciones y actuaciones delos participantes. Por un lado, la pregunta cmo aprenden los profesores? noformaba parte de sus objetivos. Por otro lado, y, de nuevo, teniendo en cuenta lasrestricciones naturales dentro de las que se realizaron los estudios, el anlisis de lainformacin recogida en ellos se restringi tambin a algunos aspectos especficosdel aprendizaje de los participantes. Por ejemplo, se enfatiz el estudio de las acti-


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Una Aproximacin 9

tudes de los participantes hacia la tecnologa y se focaliz la investigacin al temamatemtico tratado en los cursos. En este sentido, el nfasis estuvo ms en elaprendizaje de un tema matemtico, del manejo de un recurso didctico (la tecno-loga) y del uso de una herramienta conceptual y metodolgica (sistemas de repre-sentacin o modelizacin).

Finalmente, los dos estudios se enfrentaron al problema de darle significado ala frase evaluacin del modelo de los organizadores del currculo. Mientras queEvelio Bedoya no centr su atencin en el significado de la evaluacin, Jos Ortizabord este problema desde la perspectiva de la evaluacin de programas de for-macin (Ortiz, 2002, pp. 195-196). Sin embargo, como he mencionado en los p-rrafos anteriores, el problema de la evaluacin del modelo de los organizadoresdel currculo debera idealmentetener en cuenta los objetivos para los que el mo-delo se desarroll y el contexto dentro del cual se pretendan lograr esos objetivos.

Por el otro lado, la idea del modelo de los organizadores del currculo no era, enese momento, una idea completamente desarrollada conceptualmente y esto im-plic que, en cada estudio, se propusiera una interpretacin de la misma. En otroproyecto de investigacin que estamos desarrollando en la actualidad nos hemosenfrentado a este mismo problema (Rico et al., 2003, p. 294). El modelo de losorganizadores del currculo se utiliza en diversos mbitos y con diferentes inter-pretaciones8.

6. OTRA PERSPECTIVA EN LA EXPLORACIN DE LA

FORMACIN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMTICASDE SECUNDARIAYo entr a trabajar en esta lnea de investigacin cuando Evelio Bedoya ya habarecogido la informacin de su proyecto y se encontraba analizndola, y Jos Ortizestaba diseando el curso de formacin en el que iba a recoger la informacin desu estudio. En principio, yo deba trabajar dentro del mismo esquema de estos dosproyectos. Sin embargo, antes de aproximarme a la definicin de mi problema deinvestigacin y teniendo en cuenta los comentarios que present en el apartadoanterior, me pareci importante reflexionar sobre dos cuestiones:

! Qu es el modelo de los organizadores del currculo y qu papel juega

dentro de la asignatura?! Cmo evaluareste modelo?

Como resultado de estas reflexiones, decid abordar el problema desde una pers-pectiva diferente a la de los estudios de Evelio Bedoya y Jos Ortiz. Debe ser cla-ro que esta nuevaperspectiva no habra sido posible sin las contribuciones de es-tos dos estudios. Ellos abrieron el camino en el que pude enfocar mi investigacinpor lneas diferentes. Las principales caractersticas de esta perspectiva fueron lassiguientes:

8En particular, adems de la Universidad de Granada, el modelo se utiliza explcitamente en la

Universidad de Almera (Moreno, 1998, pp. 51-62) y en la Universidad de Cantabria (Gonzlez,2002, pp. 97-102).


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10 Captulo 1

!

concretar un significado para la nocin de modelo de los organizadoresdel currculo;

! centrar la investigacin en el aprendizaje de los grupos de futuros profeso-res;

! focalizar el trabajo en el anlisis de contenido9;! estudiar los procesos de aprendizaje, ms que los resultados;! explorar el aprendizaje de los grupos de profesores;!

asumir una posicin con respecto al aprendizaje de los futuros profesores;y

! realizar la investigacin dentro del contexto de la asignatura.

A continuacin, explico brevemente cada una de estas cuestiones.

Concretar un significado para la nocin de modelo de los organizadores del cu-

rrculo. Al abordar este problema y comenzar a revisar la literatura de investiga-cin sobre formacin y conocimiento de profesores de matemticas, ca en lacuenta de que, para darle un significado a la idea del modelo de los organizadoresdel currculo, era necesario abordar el problema de organizar y estructurar el dise-o de la asignatura. El modelo en cuestin era una de las piezas de dicho progra-ma de formacin. Mi respuesta a este problema consisti en un ejercicio de revi-sin de la conceptualizacin de la asignatura en el que identifiqu, basado en laliteratura, las principales cuestiones que se deben abordar en un plan de formacininicial de profesores de matemticas de secundaria e indiqu cmo se abordanesas cuestiones dentro de la asignatura (captulos 2, 3 y 5). Este ejercicio me per-miti, por un lado, hacer una descripcin estructurada del diseo curricular de la

asignatura y, por el otro, avanzar en el fundamento de este diseo. Adicionalmen-te, en este ejercicio de conceptualizacin, hice explcita con carcter operativo laidea de anlisis didctico como descripcin del procedimiento que idealmentedebera realizar un profesor de matemticas a la hora de disear, llevar a la prcti-ca y evaluar unidades didcticas (Gmez, 2002b, pp. 261-285; captulo 2). Intro-duje entonces el anlisis didctico como un nuevo nivel para la nocin de currcu-lo (Rico, 1997b, pp. 408-410) en el que se enfatiza el proceso de diseo curriculara nivel local. La nocin de anlisis didctico me permiti entonces construir unadefinicinfuncionalde la idea de conocimiento didctico, dentro de este contextolocal, como el conocimiento que el profesor pone en juego y desarrolla cuandorealiza el anlisis didctico (Gmez, 2002b, pp. 285-287; captulo 3).

Centrar la investigacin en el aprendizaje de los grupos de futuros profesores .Para dotar de significado a la idea de evaluacin dentro del proyecto, decid que elfoco de atencin de la investigacin fuese el aprendizaje de los futuros profesoresque participaron en la asignatura. Sera una evaluacin del desarrollode la asig-natura, desde el punto de vista del logro de sus objetivos. En trminos de la no-cin de calidad, la investigacin se centrara en la eficaciadel plan de formacin,teniendo como teln de fondo las nociones de relevancia y eficiencia (Rico et al.,2003, pp. 291-292). El propsito era entonces el de explorar quaprenden los fu-

9

Describo el anlisis de contenido, en particular, y el anlisis didctico, en general, en el captulo2.


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Una Aproximacin 11

turos profesores en la asignatura y cmo lo aprenden. ste era, por supuesto, unproyecto ambicioso. Por esa razn, decid centrar mi atencin en uno de los temasque componen los contenidos de la asignatura.

Focalizar el trabajo en el anlisis de contenido. El anlisis de contenido es uno delos cuatro anlisis que componen el anlisis didctico (Gmez, 2002b, pp. 262-271; captulo 2). Decid escoger esta parte del contenido de la asignatura comofoco de atencin por varias razones. Estudiar el aprendizaje de los futuros profe-sores sobre todo el contenido de la asignatura habra implicado un nivel de explo-racin que no me habra permitido profundizar en las caractersticas especficasdel conocimiento y las competencias que desarrollaron los futuros profesores enella. Era necesario enfocar la atencin sobre una parcela especfica de ese conte-nido. Teniendo en cuenta los avances que haba hecho en la conceptualizacin dela asignatura, no se trataba de escoger algunos organizadores del currculo para

realizar la investigacin. Dentro de esta conceptualizacin, el anlisis de conteni-do tiene una coherencia interna que lo haca apropiado para su exploracin. Porotro lado, el anlisis de contenido es el primer anlisis que se trabaja en la asigna-tura y resultaba natural escogerlo como principal foco de atencin dentro de estanueva estrategia de investigacin. Finalmente, mi inters se centraba en tomar elanlisis de contenido como contexto y herramienta para explorar y caracterizar elaprendizaje de los grupos de futuros profesores, al buscar responder a dos pregun-tas: qu aprenden? y cmo lo aprenden?

Estudiar los procesos de aprendizaje, ms que los resultados. Los estudios deEvelio Bedoya y Jos Ortiz estudiaron en profundidad los resultados de un plan de

formacin relativamente corto. En estos estudios, se describe y caracteriza en de-talle una foto del conocimiento didctico de los participantes en los planes deformacin. Por mi parte, yo me interes en el carcter evolutivode esos procesosde aprendizaje. Siguiendo la metfora, yo quera llegar a describir y caracterizaruna pelcula, ms que una foto. Yo pensaba que, de esta manera, sera posibleexplorar, no solamente las dificultades que los grupos de futuros profesores tenanque afrontar en el tiempo, sino tambin describir y caracterizar los procesos envirtud de los cuales estas dificultades se consolidaban o se superaban y en qumedida ellos lograban los objetivos de la asignatura.

Explorar el aprendizaje de los grupos de profesores. En el nuevo diseo de la

asignatura, los futuros profesores trabajan en grupos la mayor parte del tiempo(captulo 5) y son los principales actores de su propio proceso de aprendizaje. Eneste sentido, el nuevo diseo de la asignatura redujo la importancia de las sesionesexpositivas por parte de los formadores e increment la importancia de la exposi-cin en pblico del trabajo de los grupos y de la discusin y crtica conjunta deesas presentaciones. Aunque hubo algunos trabajos que se realizaron de maneraindividual, el grueso de las presentaciones y los documentos fueron el productodel trabajo en grupo de los futuros profesores. Este aspecto del diseo de la asig-natura tena que ver con la importancia que los formadores le dimos (y le damos)a la colaboracin y al desarrollo de comunidades de prctica como aspecto centralde las competencias de un profesor de matemticas. Por lo tanto, en vez de poner


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12 Captulo 1

el foco de la investigacin en el aprendizaje de los futuros profesores individuales,decid centrar mi atencin en el aprendizaje de los grupos de futuros profesores.

Asumir una posicin con respecto al aprendizaje de los futuros profesores. Miinters en los procesos de aprendizaje de los futuros profesores implicaba la nece-sidad de asumir una posicin explcita acerca de cmo ellos aprenden en el con-texto de un plan de formacin. Mientras que el diseo y el desarrollo de la asigna-tura se realizaron, en su momento, con una posicin de corte de constructivismosocial (e.g., Nuthall, 2002, pp. 43-75), pero esta posicin no se hizo explcita en eldiseo de la asignatura, en el caso del proceso de investigacin que iba a realizar,era necesario asumir explcitamente una posicin. Por razones que se explican enel captulo 4, decid aproximarme al aprendizaje de los grupos de futuros profeso-res desde la perspectiva de la teora social del aprendizaje de Wenger (1998). Paraello, seleccion, interpret y adapt los aspectos ms relevantes de esta teora a las

caractersticas y propsitos del estudio.Realizar la investigacin dentro del contexto de la asignatura. Los puntos anterio-res hicieron evidente la necesidad de realizar la investigacin dentro del contextomismo de la asignatura, en cambio de disear un plan de formacin alternativo,como fue el caso en los estudios de Evelio Bedoya y Jos Ortiz. Decid que laesencia de la informacin que utilizara en mis anlisis sera aquella que surge na-turalmente dentro de la asignatura. Sera una investigacin de corte naturalista(Erlandson, Harris, Skipper y Allen, 1993).

7. CUATRO PREGUNTAS GENERALES, UNAAPROXIMACIN CONCRETAAl comienzo de este captulo, suger cuatro preguntas generales sobre la actua-cin, el conocimiento, la formacin y el aprendizaje del profesor de matemticas.Basndome en la literatura reciente, mostr la relevancia de estas preguntas en elcontexto actual de la investigacin en educacin matemtica, en particular, y eneducacin, en general. stas son preguntas de investigacin con implicacionesprcticas evidentes, al menos desde la perspectiva del diseo y desarrollo de pro-gramas de formacin de profesores de matemticas. Las preguntas eran las si-guientes:

1. Qu caracteriza la actuacin eficaz y eficiente del profesor en el aula de ma-temticas?

2. Cules deben ser los conocimientos, capacidades y actitudes de un profesorque acta eficaz y eficientemente?

3. Cmo se deben disear e implantar los programas de formacin inicial deprofesores de matemticas de secundaria de tal forma que se apoye y fomenteel desarrollo de estos conocimientos, capacidades y actitudes?

4. Qu caracteriza los procesos de aprendizaje de los futuros profesores de ma-temticas de secundaria que participan en este tipo de programas de formacin

inicial?


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Una Aproximacin 13

Este trabajo se enmarca dentro de la esfera de accin de estas preguntas generales.Para cada una de ellas determino un contexto concreto de trabajo, que describo acontinuacin.

Con respecto a la primera pregunta, propongo, desde una perspectiva concep-tual, una descripcin del procedimiento ideal que el profesor de matemticas de-bera realizar a la hora de disear, llevar a la prctica y evaluar unidades didcti-cas (el anlisis didctico). La propuesta se restringe a la problemtica de abordarun tema matemtico especfico y estudiar las implicaciones de tener en cuenta estaespecificidad para efectos del diseo y desarrollo curricular. Esto significa que noabordo temas como la gestin de clase o la problemtica del diseo curricularglobal en el que participa el profesor de matemticas (tanto el de una asignatura,como el que tiene lugar dentro de la institucin educativa) (Rico, 1997b, p. 409).

En segundo lugar, establezco los conocimientos y capacidades que el profesor

debera tener y desarrollar para realizar el anlisis didctico (el conocimiento di-dctico). Por lo tanto, esta interpretacin del conocimiento didctico no tiene encuenta en detalle aquellas competencias del profesor de matemticas que, siendonecesarias, no son especficas a un tema matemtico particular. Esto significa, porejemplo, que no profundizo en temas como el conocimiento pedaggico general,las actitudes o el pensamiento del profesor en la prctica.

En lo que respecta a los objetivos de un plan de formacin, centro la atencinen el desarrollo de los conocimientos y capacidades necesarios para planificarunidades didcticas. Adicionalmente, circunscribo el trabajo al entorno de la asig-natura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato de la Universidad de Grana-da. Esto implica poner el foco de atencin en la formacin inicial de profesores de

matemticas de secundaria en el contexto espaol.Finalmente, estudio y caracterizo el aprendizaje (desde una perspectiva evolu-

tiva) de los futuros profesores que cursaron esta asignatura durante el curso 2000-2001. De estos grupos de futuros profesores, exploro y caracterizo (basado en lateora social del aprendizaje de Wenger) el proceso en virtud del cual uno de ellosconstituy, desarroll y consolid una comunidad de prctica. En este contexto,describo sus procesos de negociacin de significado10.

En otras palabras, abordo unas preguntas generales con una aproximacinconcreta, con la intencin de contribuir a la reflexin sobre ellas. En el contextoque he delimitado, establezco dos objetivos generales para este proyecto:

1. avanzar en la conceptualizacin de las actividades del profesor de matemticasde secundaria, de su conocimiento didctico y del diseo de planes de forma-cin inicial, y

2. describir y caracterizar el desarrollo del conocimiento didctico de los gruposde futuros profesores que participaron en la asignatura Didctica de la Mate-mtica en el Bachillerato del curso 2000-2001 con respecto a los organizado-res del currculo correspondientes al anlisis de contenido.

10Los trminos comunidad de prctica y procesos de negociacin de significado forman parte

de la estructura conceptual de la teora social de aprendizaje de Wenger (1998) que describo en elcaptulo 5.


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14 Captulo 1

Parto de la conjetura de que es posible lograr el primer objetivo a partir de unavisin funcional de la formacin inicial de profesores de matemticas de secunda-ria y de su conocimiento didctico. Establezco los siguientes objetivos especficosque desarrollar con ms detalle a lo largo de este documento:

! introducir y caracterizar un significado de la expresin anlisis didctico,como conceptualizacin de la actuacin del profesor en sus actividades dediseo, desarrollo y evaluacin de unidades didcticas;

!

incorporar un significado del trmino conocimiento didctico, como unaherramienta conceptual para abordar la problemtica del conocimiento delprofesor de matemticas; y

! avanzar en la conceptualizacin y la fundamentacin del diseo curricularde la asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato de la Uni-versidad de Granada.

Para el planteamiento emprico que establezco en el segundo objetivo general,parto de dos conjeturas. La primera, que es posible organizar y caracterizar el de-sarrollo del conocimiento didctico de los grupos de futuros profesores que parti-ciparon en la asignatura. La segunda, que es posible abordar el aprendizaje de ungrupo de futuros profesores desde la perspectiva sociocultural. Establezco enton-ces dos objetivos especficos:

! describir, caracterizar y explicar el desarrollo del conocimiento didcticode los grupos de futuros profesores que participaron en una versin de laasignatura y

!

describir y caracterizar las actividades por fuera del aula de un grupo de

futuros profesores cuando preparan su trabajo para la asignatura.Hasta ahora, he demarcado una problemtica de investigacin en relacin con elprofesor de matemticas (las cuatro preguntas generales) y he justificado la rele-vancia de este trabajo en el contexto de esa problemtica. Por otro lado, he descri-to el proceso que dio lugar al diseo del proyecto como consecuencia del encuen-tro de dos vertientes de investigacin en formacin de profesores de matemticasy he presentado las principales caractersticas de este diseo. Finalmente, he enu-merado los objetivos que pretendo acometer, como estrategia concreta para abor-dar las cuatro preguntas generales que delimitan la problemtica de investigacinanterior. A continuacin, describo el contenido de este documento.

8. DOS RELATOS ENTRELAZADOSMis contribuciones en este proyecto se refieren a dos dimensiones de la problem-tica de la formacin de profesores: por un lado, la fundamentacin, diseo y desa-rrollo de un plan de formacin inicial de profesores de matemticas de secundaria;por el otro, la exploracin del aprendizaje de los grupos de futuros profesores queparticiparon en una versin de ese plan. Este documento se organiza alrededor deesas dos dimensiones y tiene tres partes.


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Una Aproximacin 15

8.1. Fundamentacin, Diseo y Desarrollo de la Asignatura Didctica de laMatemtica en el BachilleratoEn esta parte del documento, abordo cuatro cuestiones. En primer lugar, describoel anlisis didctico, como procedimiento que un profesor de matemticas de se-cundaria debera idealmente realizar a la hora de disear, desarrollar y evaluarunidades didcticas, y el conocimiento didctico, como el conocimiento que elprofesor pone en juego y desarrolla cuando realiza el anlisis didctico. En segun-do lugar, asumo una posicin con respecto al aprendizaje de los futuros profesoresen formacin. En tercer lugar, presento los avances realizados en la conceptuali-zacin de la asignatura Didctica de la Matemtica en el Bachillerato, como fun-damento para su diseo curricular. En cuarto lugar, expongo el desarrollo curricu-lar de esta asignatura durante el curso 2000-2001. Cada una de estas cuestionescorresponde a un captulo del documento.

8.2. Aprendizaje de los Grupos de Futuros Profesores que Participaron en laAsignaturaLa segunda parte se refiere al proyecto de indagacin emprica sobre el aprendiza-je de los grupos de futuros profesores. Propongo inicialmente el diseo de investi-gacin. El proyecto est compuesto por cuatro estudios.

En el primer estudio, identifico y caracterizo cuatro estados de desarrollo delconocimiento didctico de los grupos de futuros profesores. En este estudio, ana-lizo las transparencias utilizadas por los grupos de futuros profesores en sus pre-sentaciones en clase, utilizando un esquema de corte cuantitativo que me permiticomparar el trabajo de los grupos y, por lo tanto, no tena en cuenta la especifici-

dad de los temas de cada uno de los grupos.En el segundo estudio, parto de los resultados del primer estudio para caracte-

rizar el aprendizaje de los grupos de futuros profesores, teniendo en cuenta la es-pecificidad de los temas trabajados por ellos. En este estudio analizo, con unaaproximacin cualitativa, las transparencias utilizadas por los grupos de futurosprofesores, las transcripciones de las grabaciones de audio de las sesiones de clasey las transcripciones de entrevistas que realic a algunos de los grupos.

En el tercer estudio, exploro y caracterizo la puesta en prctica del conoci-miento didctico de los grupos de futuros profesores, al analizar los trabajos fina-les presentados por ellos.

Finalmente, en el cuarto estudio, caracterizo los procesos de negociacin designificado del grupo de futuros profesores que trabaj en el tema de la funcincuadrtica, al analizar las transcripciones de las grabaciones de audio de sus reu-niones por fuera de clase cuando producan los trabajos para la asignatura.

8.3. Resultados, Implicaciones y ConclusionesFinalmente, en la tercera parte del documento recojo los resultados de las dosprimeras partes con el propsito de exponer y justificar mis contribuciones a lascuatro preguntas generales con las que se inicia este captulo.


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2

ANLISIS DIDCTICO. UNACONCEPTUALIZACIN DE LAENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

Cmo organizar la instruccin matemtica? sta es una de las cuestiones msimportantes que se deben tratar en la educacin matemtica (Krainer, 1993, pp.66-67). En este captulo abordo esta cuestin. Para ello, propongo, desde unaperspectiva conceptual, una descripcin de un procedimiento ideal, el anlisis di-dctico, que el profesor de matemticas puede utilizar a la hora de disear, llevar ala prctica y evaluar unidades didcticas. La propuesta se restringe a la problem-tica de abordar temas matemticos especficos y de estudiar las implicaciones detener en cuenta esta especificidad para efectos del diseo y desarrollo curricular.Por lo tanto, no abordo temas como la gestin de clase o la problemtica del dise-o curricular global en el que participa el profesor de matemticas (tanto el de

una asignatura, como el que tiene lugar dentro de la institucin educativa). De estamanera, propongo una respuesta parcial a la primera de las cuatro preguntas queformul en el captulo 1: Qu caracteriza la actuacin eficaz y eficiente del pro-fesor en el aula de matemticas?

La reflexin que presento en este captulo se fundamenta en los trabajos deLuis Rico y sus colaboradores (Rico, 1992; Rico, 1995a, 1998a, 1998b, 1997e;Rico, Castro, Castro, Coriat, Marn, Puig et al., 1997a) y de Martin Simon (Si-mon, 1995a; Simon, 1995b, 1997; Simon y Tzur, 2004). Estos investigadores handesarrollado dos herramientas para la planificacin de clase (los organizadores delcurrculo y la trayectoria hipottica de aprendizaje, respectivamente) con las quebuscan abordar dos problemas relacionados con esta actividad del profesor: la

brecha entre el diseo curricular global y la planificacin local (Rico) y la parado-


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18 Captulo 2

ja de la planificacin (Simon). Con el anlisis didctico, pretendo organizar yadaptar esas herramientas en el contexto de la planificacin local y de la forma-cin inicial de profesores de matemticas de secundaria y propongo un avance enla reflexin sobre esos dos problemas.

1. LA PLANIFICACIN DE CLASE. UN PROBLEMA DIARIODEL PROFESOR DE MATEMTICAS

La planificacin y la gestin de clase son dos de los problemas que el profesordebe resolver en su actividad docente. Los estndares nacionales e internaciona-les, las directivas gubernamentales y la planeacin estratgica de la institucineducativa determinan los contextos social, educativo e institucional en los que se

produce el diseo curricular global de cada asignatura. Sin embargo, este diseocurricular global no aporta necesariamente pautas especficas para el da a da dela prctica docente de los profesores. Usualmente los profesores planifican y rea-lizan sus clases con ayuda de su experiencia y de los documentos y materiales deapoyo disponibles, y, muchos de ellos, se basan exclusivamente en las propuestasde los libros de texto. Si esperamos que los profesores de matemticas aborden sutrabajo diario de manera sistemtica y reflexiva, basndose en un conocimientoprofesional, entonces ellos deberan conocer y utilizar principios, procedimientosy herramientas que, fundamentados en la didctica de la matemtica, les permitandisear, evaluar y comparar las tareas y actividades de enseanza y aprendizajeque pueden conformar su planificacin de clase.

Rico (1997a) y Segovia y Rico (2001) han identificado esta problemtica alponer de manifiesto las dificultades de los profesores con la nocin de currculoen el nivel de la planificacin global. En este nivel, el profesor debe identificarunos objetivos, unos contenidos, una metodologa y un esquema de evaluacincon los que pretende describir el currculo como plan de formacin para una asig-natura o para una porcin amplia de una asignatura. Hay que diferenciar entre losproblemas de diseo curricular global (para la totalidad de una asignatura, porejemplo) y los problemas de diseo curricular local (para una unidad didctica ouna hora de clase sobre una estructura matemtica especfica o uno o ms aspectosde ella). Si tiene en cuenta nicamente los problemas de diseo curricular global

(con el esquema de objetivos, contenidos, metodologa y evaluacin), entonces elprofesor tiende a ver la planificacin como la secuenciacin de contenidos mate-mticos y a considerar la enseanza como el cubrimiento de estos contenidos.Al no considerar las problemticas conceptuales, cognitivas y de instruccin delas estructuras matemticas especficas, el profesor se ve obligado a describir losobjetivos, la metodologa y la evaluacin en trminos generales. Por lo tanto, loque diferencia a las distintas parcelas del diseo curricular global son los conteni-dos (Rico, 1997c, pp. 40-41). Cuando tratamos a nivel local los problemas de di-seo curricular y nos concentramos en una estructura matemtica especfica, esposible ampliar esta visin de la planificacin y de la enseanza (p. 55). El anli-sis didctico, introducido por Rico (Rico, 1997c, p. 55) y que desarrollo en este

captulo, es una conceptualizacin de ese nivel de la planificacin. Es un proce-


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Anlisis Didctico 19

dimiento con el que es posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes ymltiples significados del contenido matemtico escolar, para efectos de disear,llevar a la prctica y evaluar actividades de enseanza y aprendizaje11.

La brecha entre la planificacin global (de una asignatura) y la planificacinlocal (de una unidad didctica o una hora de clase) no es el nico problema al que,desde el punto de vista de la planificacin, se debe enfrentar el profesor. Si el pro-fesor asume una posicin constructivista del aprendizaje de los escolares, como,en principio, se espera que lo haga de acuerdo con la mayora de las directivas cu-rriculares, entonces l se enfrenta a lo que Simon y Tzur (2004, p. 92), citando aAinley y Pratt (2002, p. 18) denominan la paradoja de la planificacin. Esta pa-radoja seala que, si el profesor asume una posicin constructivista con respectoal aprendizaje de los escolares, entonces l se enfrenta a una disyuntiva entre:

! su intencin de lograr unos objetivos de aprendizaje y cubrir un contenido

previamente establecidos; lo que implica disear tareas en las que el con-tenido matemtico que se trabaja sea claro y los escolares puedan saberqu es lo que tienen que hacer, y

!

su deseo de atender a, y sacar partido de las actuaciones de los escolares alabordar la tarea; lo que implica disear tareas que los induzcan a crear suspropias construcciones y que fomenten un ambiente de negociacin en elaula, en el que exista una cierta ambigedad sobre lo que hay que hacer,cmo se debe hacer y cmo se determina si lo que se hace es vlido.

Analizar en detalle las implicaciones de la paradoja de la planificacin en losapartados 8 y 9. En este captulo, tambin considero algunas de las cuestiones que

mencion en Gmez (2000) con relacin al modelo de los organizadores del cu-rrculo propuesto por Rico et al. (1997a). En particular, presento una estructuraconceptual que organiza y relaciona las nociones de la educacin matemtica queestos autores proponen. En este sentido, una parte importante del captulo se basaen los trabajos que Rico ha desarrollado en este tema (ver, por ejemplo, Rico,1995a, 1998a, 1998b, 1997e; Rico et al., 1997a). Este esfuerzo de sistematizacintambin surge de la experiencia que he vivido al tener la oportunidad de compartircon Luis Rico la responsabilidad docente en la asignatura Didctica de la Mate-mtica en el Bachillerato durante tres aos y de discutir con l, con Jos Luis Lu-piez12, Mara Jos Gonzlez13y con otros colegas sobre la problemtica de laformacin inicial de profesores de matemticas de secundaria. A continuacin,

describo brevemente algunas de las caractersticas de la nocin de currculo, con

11 La expresin anlisis didctico es genrica. Yo utilizar esta expresin con un significadoconcreto, relacionado con el proceso de planificacin local, que me propongo describir en estecaptulo. En la lnea de investigacin en la que se enmarca este trabajo, Gonzlez (1998) utilizaesta expresin para referirse a un mtodo de revisin de antecedentes en la investigacin en didc-tica de la matemtica. Una bsqueda en Google en septiembre de 2005 con los trminos didacti-cal analysis y anlisis didctico produjo ms de 9.300 resultados, siendo ste un indicativo de lanecesidad de concretar el significado de esta expresin genrica. El uso de esta expresin en elcontexto de la investigacin en educacin matemtica en Espaa se ha discutido recientemente(ver Gallardo y Gonzlez, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006; Gmez, 2006a; Gon-zlez, 2006).12

Profesor ayudante de Didctica de la Matemtica en la Universidad de Granada.13Profesora Titular de Universidad de Didctica de la Matemtica en la Universidad de Cantabria.


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20 Captulo 2

el propsito de dar un marco conceptual al proceso de planificacin del profesor.Despus abordo la nocin de significado en la educacin matemtica comoprembulo a la descripcin del anlisis didctico. Presento los cuatros anlisis quelo componen: de contenido, cognitivo, de instruccin y de actuacin. Termino elcaptulo con unas reflexiones sobre las contribuciones del anlisis didctico a lareflexin sobre la planificacin en matemticas.

1.1. Anlisis Didctico como Nivel del CurrculoEn Rico (1997b) se estudian cuatro niveles de reflexin sobre el currculo. Paracada uno de estos niveles, es posible determinar unas componentes que corres-ponden a cada una de las dimensiones, como se muestra en la Tabla 114.

Dimensiones del currculo

1dimensin 2dimensin 3dimensin 4dimensinCultural/ con-

ceptualCognitiva ode desarrollo

tica o for-mativa

Social

Teleolgico ode fines

Fines cultura-les

Fines forma-tivos

Fines polti-cos

Fines sociales

Disciplinasacadmicas

Epistemologae Historia de la

Matemtica

Teoras delaprendizaje

Pedagoga Sociologa

Sistema edu-cativo Conocimiento Alumno Profesor Aula

Planificacinpara los pro-

fesoresContenidos Objetivos Metodologa Evaluacin

Niveles

Anlisis di-dctico

Anlisis decontenido

Anlisis cog-nitivo

Anlisis deinstruccin

Anlisis deactuacin

Tabla 1. Componentes del currculo segn los niveles y dimensiones (Rico, 1997b,p. 409)15

Los primeros dos niveles son tericos. El primero considera las finalidades para laeducacin matemtica. El segundo nivel considera las disciplinas que fundamen-tan la nocin de currculo y que aportan la informacin necesaria para el estudiodel currculo de matemticas. El tercer nivel representa la reflexin curricularcuando el mbito de actuacin es la institucin educativa y el encargado es la ad-ministracin. El nivel de planificacin para los profesores representa la versinms conocida del currculo. Es el esquema con el que tradicionalmente se descri-ben los planes de formacin a cargo de un profesor o grupo de profesores en el

14La tabla en Rico (1997b, p. 409) incluye los primeros cuatro niveles, cuyo orden he invertido

para efectos de claridad en la introduccin del anlisis didctico como ltimo nivel.


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Anlisis Didctico 21

espacio de un aula. El anlisis didctico, que desarrollo en este captulo y que ubi-co en la ltima fila de la Tabla 1, se constituye en otro nivel del currculo, comoprocedimiento de planificacin local de los profesores.

1.2. Nocin de Currculo y Trabajo del ProfesorLa nocin de currculo es una herramienta bsica para el trabajo del profesor. Losdocumentos curriculares que sirven de gua y condicionan el trabajo del profesorestn, en general, estructurados a partir de esta nocin. En estos documentos, paracada asignatura se enumeran los contenidos y se describen los objetivos, la meto-dologa y los esquemas de evaluacin. En este sentido, la nocin de currculo esun elemento central de la comunicacin entre la administracin educativa y el pro-fesor. Para efectos de concretar su trabajo dentro los contextos educativos e insti-tucionales, el profesor debe conocer y manejar adecuadamente esta nocin (al

menos al nivel denominado planificacin para los profesores en la Tabla 1). Porlo tanto, esta nocin debe formar parte fundamental de los planes de formacin deprofesores. No obstante, como se argument en el apartado anterior, este nivel delcurrculo no es necesariamente eficaz cuando el profesor aborda el problema deplanificar unidades didcticas:

Necesitamos un nuevo nivel de reflexin curricular conectado con laprogramacin y, por tanto, nuevas herramientas conceptuales con lasque trabajar en este nivel y mediante las que abordar las tareas de dise-o, desarrollo y evaluacin de unidades didcticas en el rea de mate-mticas. La caracterizacin operacional del currculo mediante objeti-

vos, contenidos, metodologa y evaluacin, no es inadecuada, slo lo essu empleo en tareas de diseo y planificacin del trabajo para el aula,sin criterios de referencia. (Rico, 1997c, p. 42)

Por esta razn incorporo un nuevo nivel en la Tabla 1. En este nivel, el de la pla-nificacin local, las componentes de la nocin de currculo incluyen las herra-mientas que le permitirn al profesor abordar la planificacin de unidades didcti-cas para cada tema, teniendo en cuenta la especificidad del mismo. Con ellas, elprofesor podr concretar (y diferenciar) los objetivos, el contenido, la metodologay la evaluacin de cada tema en su planificacin. Al dar lugar a este nivel de con-crecin, la nocin de currculo adquiere mayor potencia como herramienta de co-municacin y crtica entre los profesores, la administracin educativa y los mate-riales curriculares. El profesor puede dialogar con sus colegas ms all de ladiscusin tradicional sobre los contenidos; analizar, evaluar y seleccionar otraspropuestas de planificacin; y abordar los contenidos de los libros de texto de unamanera sistemtica.

1.3. Consideracin Funcional de las Matemticas Escolares

Este trabajo se enmarca dentro de una lnea de investigacin en el que se asumeuna consideracin funcionalde las matemticas como modo de interpretar el cu-rrculo (Rico, Castro, Castro, Coriat y Segovia, 1997b, p. 284). Esta visin fun-cional y pragmtica de las matemticas escolares tambin se subraya en el proyec-

to de evaluacin PISA 2003 de la OCDE. Rico (2005) al referirse a las variables


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que configuran la estrategia para seleccionar las tareas de evaluacin en este estu-dio16, seala que (p. 17):

Estas tres variables responden a un modelo funcional sobre el aprendi-zaje de las matemticas, que postula unas tareas, unas herramientasconceptuales y un sujeto que, al tratar de abordar las tareas mediantelas herramientas disponibles, moviliza y pone de manifiesto su compe-tencia en la ejecucin de los procesos correspondientes.

La consideracin funcional del currculo de matemticas afecta al modo en que seconsideran los fines prioritarios que sustentan el currculo e impregna a las distin-tas componentes curriculares; tambin afecta al modo de entender los roles y lasfunciones de profesores y alumnos y al modo de interpretar el contenido de lasmatemticas escolares. En particular, esta posicin funcional con respecto al cu-

rrculo me servir de marco de referencia cuando, en el siguiente apartado, carac-terice los significados de un concepto en las matemticas escolares.

2. PLANIFICACIN, ESPECIFICIDAD DEL CONTENIDO YPLURALIDAD DE SIGNIFICADOS DE LAS MATEMTICAS

ESCOLARESLa nocin de planificacin que utilizar en este captulo va ms all de aqullaque se expresa en un documento en el que se describe un plan. Me intereso por la

planificacin a nivel local. sta es una actividad que el profesor no est, en gene-ral, obligado a compartir o justificar formalmente. Por lo tanto, en la mayora delas ocasiones el profesor no produce un documento para su planificacin local y,si lo produce, ste slo contiene un esquema no necesariamente articulado de laleccin. Me refiero, ms bien, a lo que Schoenfeld (2000a, p. 250), citando a Mo-rine-Dershimer (1979), denomina imagen de una leccin:

La imagen de una leccin de un profesor incluye todo lo que el profesorse imagina que puede suceder en la leccin la secuencia del da, las

formas de interaccin con los estudiantes, qu es flexible y qu no lo es(e.g., comenzar recogiendo las tareas del da anterior, y, en ese mo-mento, atender, durante diez minutos, a todas las preguntas que quieranhacer), y su sensacin de cmo se puede desarrollar la discusin. Ensituaciones normales, la mayor parte de la imagen de la leccin del pro-

fesor no est articulada (p. 250)

La planificacin es una de las actividades ms importantes en el trabajo del profe-sor (Ball, 2003, p. 3; Van Der Valk y Broekman, 1999) y es una de sus competen-cias (Kilpatrick et al., 2001, p. 380; Recio, 2004). Pero, como seal en el aparta-do anterior, el profesor debe abordar diferentes tipos de planificacin. Cuando laplanificacin es local, el foco de atencin del profesor es un tema (concepto o es-

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Contenido matemtico al que se refieren los problemas, competencias para resolver los proble-mas y situaciones y contextos en los que se localizan los problemas.


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tructura matemtica) matemtico especfico. La especificidad del contenido ma-temtico es una variable central en la actividad diaria del profesor (Timmerman,2003, p. 155). En este nivel, la planificacin del profesor debe tener en cuenta lacomplejidad del contenido matemtico desde diversos puntos de vista: cuandolas matemticas se ensean desde una perspectiva pluralista, entonces se puedenver desde mltiples perspectivas perspectivas que motivan a los profesores aconsiderar no solamente los diferentes significados de las matemticas, sino tam-bin su diversidad en su enseanza (Cooney, 2004, p. 511). De hecho, la nego-ciacin y construccin de esta multiplicidad de significados debe ser uno de los

propsitos centrales de la interaccin en el aula. sta es la posicin que, desdecomienzos de la dcada de los noventa, Rico y sus colaboradores han propuestocomo aproximacin a la planificacin de unidades didcticas en Espaa (Rico,1992; Rico, 1995a, 1998a, 1998b, 1997e; Rico et al., 1997a). Esta propuesta se

centra en la idea de que la planificacin de una unidad didctica o de una hora declase se debe fundamentar en la exploracin y estructuracin de los diversos signi-ficados de la estructura matemtica objeto de esa planificacin. Los organizadoresdel currculo propuestos por Rico (1997a, p. 44) son herramientas conceptuales ymetodolgicas que le permiten al profesor recabar, organizar y seleccionar infor-macin sobre estos mltiples significados17. Para efectos de abordar la descripcindel anlisis didctico y su relacin con los organizadores del currculo, consideroa continuacin la interpretacin que hacemos de la nocin de significado en edu-cacin matemtica.

3. SIGNIFICADO Y EDUCACIN MATEMTICALa extensin y profundidad de los significados que construyen los escolares en elaula (y, por consiguiente, la calidad de su aprendizaje) se realiza atendiendo a losdistintos modos de expresin y de uso con que se manejen los conceptos, a la ca-pacidad para conectar diversas estructuras y utilizar diferentes procedimientos, ala diversidad de los problemas que pueden interpretarse, abordarse y resolverse,en definitiva, considerando la riqueza de conexiones de significados que seestablecen para un determinado concepto o conjunto de conceptos matemticos.En otras palabras, parte relevante del aprendizaje matemtico de los escolares selleva a cabo en el aula, cuando ellos negocian y construyen significados con moti-

vo de las actividades propuestas por el profesor (Biehler, 2005, pp. 61-62; Brom-me y Steinbring, 1994, p. 218). Cules son los significados de un concepto ma-temtico que pueden ser objeto de la interaccin en el aula? Cules son lossignificados que se considera relevante desarrollar? En este apartado, abordo estaspreguntas y asumo una posicin con respecto a ellas. Mi propsito es mostrar lautilidad de abordar la nocin de significado en las matemticas escolares desdeuna perspectiva amplia que vaya ms all del significado simblico con el que

17Se puede considerar a Wittmann (1984) como un precursor de la idea de organizador del curr-culo. l introdujo la nocin de unidad de enseanza, compuesta por objetivos, materiales, pro-

blemas matemticos y trasfondo matemtico y psicolgico (p. 30). Las unidades de enseanzapermiten organizar el conocimiento didctico de manera eficaz para la enseanza (p. 33).


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tradicionalmente se identifican las matemticas acadmicas o disciplinares18.Desde esta perspectiva, postulo que, en el mbito escolar, un concepto matemticopuede ser estudiado desde una variedad de significados. En este apartado, intro-duzco una seleccin de estos significados que desarrollar en el resto de este cap-tulo.

3.1. Nocin de Significado19

Los lingistas consideran el lenguaje organizado mediante trminos y conceptos yestructurado en oraciones. La filosofa analtica, el positivismo lgico y otros fil-sofos que se han ocupado del lenguaje han prestado atencin especial al significa-do lingstico de trminos y sentencias, de oraciones, conceptos y relaciones, esdecir, al modo en que el lenguaje se relaciona con la realidad. Lugar destacadoocupa el estudio de las condiciones que establecen la veracidad o falsedad de las

oraciones en cuestin, que en filosofa, se plantea desde Scrates.En filosofa del lenguaje, el significado de una palabra la relaciona externa-mente con el mundo e internamentecon otras palabras. Una teora semntica tratade explicar esta doble conexin externa e interna de palabras y conceptos, catego-rizar las expresiones del lenguaje y describir las condiciones para la veracidad delas oraciones (Honderich, 2001, p. 609).

El lenguaje consta de palabras, que se ordenan en secuencias o sentencias.Con las palabras expresamos nuestras ideas y pretendemos comunicar con losotros. A causa de nuestras convenciones, las palabras se refieren a cosas o tienensignificados. Una sentencia completa expresa una proposicin, que puede ser ver-dadera o falsa. La verdad o falsedad de una sentencia depender de que el mundo

satisfaga alguna condicin, conocida como la condicin-de-verdad de la sentencia.

3.2. Nocin de Significado en FregeFrege establece la diferencia entre signo y significado y, dentro del significado deun trmino, distingue entre sentido y referencia. Esta distincin la enuncia, en pri-mer lugar, para los trminos o nombres propios y la extiende, posteriormente, aenunciados, proposiciones y conceptos. Con las nociones de sentido y referenciaFrege marc los fundamentos de la moderna teora semntica hace ms de un si-

glo. La primera precisin la establece para los nombres propios u objetos (Frege,

1998c, 27):

Es natural entonces que a un signo (nombre, unin de palabras, signoescrito), adems de lo designado, que podra llamarse la referencia del

18Con matemticas acadmicas, me refiero a las matemticas que se ensean y aprenden en laslicenciaturas de matemticas. Por su lado, las matemticas disciplinares aluden a la actividad delos matemticos profesionales y las matemticas aplicadas al uso de las matemticas en activi-dades profesionales o disciplinas cientficas. Finalmente, las matemticas escolares se refieren alas matemticas cuando se consideran con la finalidad de ser enseadas y aprendidas en la escuela.19 Para efectos del anlisis de contenido que describir ms adelante, no es necesaria unaaproximacin social a la nocin de significado. Basta con una extensin y adaptacin de las ideasoriginales de Frege. sta es una idea original de Luis Rico. En las siguientes secciones transcribo

el desarrollo que l ha hecho de esta idea. Por esta razn, utilizo la primera persona del plural en laredaccin.


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signo, va unido lo que yo quisiera llamar el sentido del signo, en el cualse halla contenido el modo de darse Un nombre propio expresa su sen-tido, se refiere a su referencia o la designa. Con un signo expresamos susentido y designamos su referencia.

As pues, Frege establece un primer tringulo semntico Signo-Sentido-Referencia,para los objetos (Ver Figura 1), en el cual por nombre o signo entien-de cualquier designacin que represente un nombre propio, cuya referencia sea unobjeto determinado, pero no un concepto o una relacin. Actualiza as toda unatradicin, que inicia Aristteles, segn la cual las palabras son los signos de lasideas y las ideas son los signos de las cosas.

Sentido

Signo Referencia

Expresa Determina

Designa

Figura 1. Tringulo semntico (trmino)20

Con posterioridad, Frege extiende la distincin semntica entre sentido y referen-cia a los enunciados o proposiciones. Comienza por afirmar que un enunciadocompleto contiene un pensamiento, es decir, es una frase con contenido objetivo,apto para ser propiedad comn de muchos, y sostiene que el pensamiento que ex-presa un enunciado es su sentido, no su referencia. Puesto que la bsqueda de laverdad es lo que incita a avanzar del sentido a la referencia, y de acuerdo con su

preocupacin por el fundamento lgico, argumenta y establece que la referencia

de un enunciado es su veracidad o falsedad y su sentido es el pensamiento que

expresa ( 34):

La bsqueda de la verdad es la que incita a avanzar del sentido a la re-ferencia. El valor veritativo de un enunciado es su referencia Cadaenunciado asertivo, en el que tenga importancia la referencia de las pa-labras, debe ser considerado, pues, como un nombre propio, y su refe-rencia, caso de que exista, es o bien lo verdadero o bien lo falso.

La referencia, lo que marca la objetividad para un enunciado, es su veracidad. Es-tablecida esta importante distincin, Frege extiende el tringulo semntico a todotrmino conceptual, ya que en la ciencia interesa la pregunta por la verdad y, porello, es necesario asociar una referencia a los trminos conceptuales. Al igual quela referencia de un nombre propio es el objeto que designa, un trmino conceptualse refiere aun concepto,si se emplea del modo conveniente en lgica.

20

Frege no dio ningn nombre para la relacin entre sentido y referencia. Nosotros la denomina-mos determina siguiendo a Oldager (2004, p. 21).


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Frege establece la referencia de los trminos conceptuales en el propio con-cepto, que suele venir dado por su extensin, es decir, por los objetos que caenbajo el concepto ya que son stos los que le proporcionan valor veritativo; igual-mente, establece el sentido del concepto en su contenido o intensin (compren-sin, en sentido conjuntista) (Frege, 1998a, 133):

Aquello a lo que se refieren dos trminos conceptuales es lo mismo si yslo si las extensiones de concepto correspondientes coinciden. La ex-tensin de los conceptos es preferible a su contenido (intensin) ya quelo esencial para la lgica es la referencia de los trminos y no su senti-do Para cada objeto debe poderse determinar si cae bajo un conceptoo no; un trmino conceptual que no satisfaga este requisito carece de re-

ferencia.

As pues, Frege establece las nociones de sentido y referencia para un trminoconceptual; de estas nociones afirma: El trmino conceptual debe tener un senti-do y, para su uso cientfico, una referencia ( 135). Extiende as a los conceptosel tringulo semntico.

En la nocin de Frege para significado de un trmino conceptual, el tringulosemntico viene dado por el signoo trminocon el que se expresa, por su referen-ciao concepto propiamente tal, y por su sentido o modo en que vienen dados losobjetos que caen bajo el concepto.

Frege utiliza frecuentemente las matemticas como ejemplo para sus defini-ciones y nociones tericas. Por ejemplo, cuando caracteriza el baricentro como lainterseccin de las medianas ay bde un tringulo, y luego como interseccin de

las medianas by c, dice que se trata de dos sentidos distintos para una misma re-ferencia, ya que se trata de dos modos de darse lo designado con el trmino bari-centro(Frege, 1998c, 26).

Tambin distingue el signo 7, los sentidos 2 + 5 y 3 + 4 y la referenciao concepto de nmero siete (Frege, 1998b, 3). Para entender la idea de con-cepto de un nmero adopta la visin: Uno es cardinal "#$, Uno es el trmino;su referencia es el concepto de uno. Pero hay distintos sentidos para este trmino:

! S1: menor nmero natural! S2: divisor de cualquier nmero! S3: mitad de dos, etc.

Estos distintos sentidos son modos de referirse al concepto de uno. Frege esta-blece que el significado de un trmino conceptual, para una proposicin y un usodeterminados, viene dado por la conexin entre el trmino, su referencia o con-cepto y el sentido en que se usa.

3.3. Tres Dimensiones del Significado de un Concepto en las MatemticasEscolaresEl tringulo semntico propuesto por Frege identifica los elementos constitutivosdel significado de un trmino conceptual desde una perspectiva estrictamente l-gica y formal. Dado que nuestro inters por el significado de los conceptos mate-mticos est centrado en el mbito de la matemtica escolar, adaptamos las ideas

de Frege para considerar un sistema de relaciones ms amplio.


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Nuestra propuesta interpreta las ideas de Frege al enfatizar el hecho de quelos sentidos en los que se usa un trmino conceptual matemtico implican, por unlado, los modos en los que se establecen relaciones con otros trminos conceptua-les matemticos, y, por el otro, las diferentes formas en las que el trmino concep-tual y estas relaciones se pueden representar. Adicionalmente, y siendo coherentescon nuestra posicin con respecto al currculo de matemticas, adoptamos un pun-to de vista funcional, en virtud del cual el sentido en el que se usa un trmino con-ceptual matemtico tambin incluye los fenmenos que sustentan el concepto. Enla matemtica escolar, los fenmenos se presentan mediante un contexto o situa-cin en que el concepto toma sentido, o tambin mediante un problema que seaborda y da sentido al concepto.

Nuestra posicin atiende a algunas de las ideas de Steinbring (1997, pp. 51-52) y su propuesta de tringulo epistemolgico, en el sentido de admitir la

creencia de que los dominios de aplicacin (el uso de un concepto dentro y fuerade las matemticas) son constitutivos de lo que podemos llamar el significado delconcepto (Biehler, 2005, p. 69).

En definitiva, nuestra propuesta aborda el significado de un concepto mate-mtico atendiendo a tres dimensiones que denominamos sistemas de representa-cin, estructura conceptual y fenomenologa (Ver Figura 2):

! En los sistemas de representacinincluimos las diferentes maneras en lasque se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos.

! En la estructura conceptual incluimos las relaciones del concepto conotros conceptos, atendiendo tanto a la estructura matemtica de la que elconcepto forma parte, como a la estructura matemtica que dicho concepto

configura.!

En lafenomenologaincluimos aquellos fenmenos (contextos, situacioneso problemas) que pueden dar sentido al concepto.

Estructura conceptual

FenomenologaSistemas de

representacin

Figura 2. Las tres dimensiones del significado de un concepto en la matemticaescolar

Analizar y describir en detalle cada una de estas dimensiones ms adelante(apartado 7 de este captulo).

3.4. Significado de un Concepto Matemtico y Planificacin de ClaseLas tres dimensiones del significado de un concepto en la matemtica escolar quehemos propuesto en el apartado anterior ponen en evidencia una de las cuestionescentrales de la problemtica de la planificacin de clase: la multiplicidad de signi-

ficados de un concepto en las matemticas escolares. Un concepto matemtico

tiene una multiplicidad de significados porque:


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!

su estructura conceptual es compleja, dando lugar a una pluralidad de rela-ciones con otros conceptos matemticos;

! hay una diversidad de modos en los que el concepto y sus relaciones conotros conceptos se pueden representar; y

! hay una variedad de fenmenos que le dan sentido.

Esta multiplicidad de significados de un concepto matemtico implica que, paraefectos de planificar una hora de clase o una unidad didctica, el profesor debe:

1. recabar la informacin necesaria que le permita identificar dichos significados;

2. organizar esta informacin de tal forma que sea til para la planificacin; y

3. seleccionar, a partir de esta informacin, aquellos significados que l considerarelevantes para la instruccin.

En los primeros dos pasos, el profesor debe asegurarse de la completitud y cohe-rencia de la informacin recogida: por un lado, esta informacin debe incluir to-dos los significados que puedan ser relevantes para la reflexin sobre y la realiza-cin de la planificacin y, por el otro, debe ser vlida con respecto alconocimiento matemtico establecido para las estructuras matemticas involucra-das. Mostrar ms adelante (apartado 7 de este captulo) que la informacin queresulta de los dos primeros pasos puede llegar a ser excesiva para los propsitosde la planificacin de la instruccin. Por esta razn es necesario que se realice eltercer paso: la seleccin de los significados de referencia21.

Este proceso de seleccin de significados est condicionado por diversos fac-tores. En primer lugar, la programacin de comienzo de curso determina lo que

denominar el contenido propuesto22que establece una primera delimitacin delos significados de un concepto dado que se consideran relevantes a nivel institu-cional. En segundo lugar, a lo largo del desarrollo de la asignatura y a la hora deplanificar una hora de clase o una unidad didctica, el profesor debe realizar unsegundo proceso de seleccin. En este momento, el profesor debe seleccionar lossignifi

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