doctorado en ciencias veterinarias de la unne
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Doctorado en Ciencias Veterinarias de la
UNNE
Diseño Experimental 2019
Un experimento factorial no constituye un
nuevo diseño experimental, sino un diseño para
la formación de los tratamientos, y pueden ser
conducidos bajo los lineamientos de cualquier
diseño experimental tal como el DCA, el
DBCA o el DCL
Experimentos factoriales
Un experimento factorial es aquél en el que se
estudian simultáneamente varios factores, de
modo que los tratamientos se forman por todas
las combinaciones de los niveles de los factores
Ventajas y desventajas de los experimentos factoriales
Ventajas
* Permite obtener más información que en unexperimento unifactorial, ya que se estudian losefectos principales, los efectos simples y lasinteracciones entre los factores.
* Todas las unidades intervienen en laformación de los efectos principales y de lainteracción, por lo que el número de repeticioneses elevado para estos casos.
Desventajas
* Se requiere un mayor número de unidades
experimentales que en los experimentos unifactoriales.
* Dados que todos los niveles de un factor se
combinan con todos los niveles de los otros, por
requerimiento del análisis estadístico, algunas
combinaciones que no son de interés se incluyen también
en el experimento.
* El análisis estadístico y la interpretación de los resultados
son más complicados que en los experimentos
unifactoriales. La dificultad aumenta cuando hay más
factores.
Notación y definiciones
Factor
Tipo de tratamiento
Niveles de un factor
Categorías distintas del factor
Tipos de factores
Factores cuantitativos
Factores cualitativos
Tipos de experimentos factoriales
Definidos por el número de factores y niveles
Notación de factoriales
2 Factores con 2 niveles cada uno : 2 x 2
2A2B
22
3 Factores con 3 niveles cada uno:3 x 3
3A3B3C
33
1 Factor con 2 niveles y 1 con 3 niveles:2 x 3
2A3B
Ejemplo 1
En una prueba de engorde de novillos se decidiósuplementar la alimentación estándar con 4 nivelesde proteína y 3 niveles de vitamina.
Factorial 4x3:
P1V1 P2V1 P3V1 P4V1
P1V2 P2V2 P3V2 P4V2
P1V3 P2V3 P3V3 P4V3
Ejemplo 2
› Se desea estudiar el efecto de 4 suplementos con 2antibióticos sobre el contenido de proteina bruta en lecheobtenida de Holando argentina.
Ejemplo 3
› Considérese un experimento para evaluar rendimientos devariedades de soja.
› Supóngase que tambien es de interés un segundo factor,distancia entre surcos.
› Se puede planear un experimento con dos factores en el quelos tratamientos consisten en todas las combinaciones entrevariedades y distancias.
Ejemplo 4
Un experimento para comparar los efectos delfósforo y potasio en distintos niveles. Seestudiaran todas las combinaciones conjuntas.
• Factor A:• Niveles a1, a2, a3
• Factor B:• Niveles b1, b2, b3
• Tratamientos:b1 a1b1
a1 b2 a1b2 b3 a1b3b1 a2b1
a2 b2 a2b2 b3 a2b3b1 a3b1
a3 b2 a3b2 b3 a3b3
Nomenclatura
Efectos en los experimentos factoriales
Efecto simple
Comparación entre los niveles de un factor a unsolo nivel de otro factor
Efecto principal
Comparación entre los niveles de un factorpromediados para todos los niveles de otro factor
Efecto de interacción
Miden las diferencias entre los efectos simplesde un factor a distintos niveles de otro.
Modelo estadístico lineal
Dos factores, A y B; A a “i” niveles, B a “j” niveles
En un DCA el modelo aditivo lineal es:
rkbjai
y ijkijjiijk
...1 ...1 ...1
En un DBCA el modelo aditivo lineal es:
rkbjai
y ijkkijjiijk
...1 ...1 ...1
Estimación de los efectos (DCA)
Los parámetros del modelo se estiman por el
método de los mínimos cuadrados, minimizando la
siguiente expresión:
Supuestos del modelo estadístico
22 i j k
ijjiijk
i j k
ijk yQ
Con las siguientes restricciones:
j
iji
iji j
ji 0 0 0 0
La aplicación del método proporciona las siguientes
estimaciones:
.ijijkijk...j....i.ijij
....j.j.....i...
yyˆ yyyyˆ
yyˆ yyˆ yˆ
2
1 1 1.
2
1 1........
2
1 1 1 1 1.....
2.....
2...
a
i
b
j
n
kijijk
a
i
b
jjiij
a
i
b
j
n
k
a
i
b
jjiijk
yyyyyyn
yyanyybnyy
Partición de la suma de cuadrado total
Análisis de la variancia
Análisis de la variancia para un diseño de
tratamientos con dos factores. Diseño
completamente al azar (DCA), efectos fijos.
Fuente de Variación
g.l. SC CM F
Factor A a-1 SCACMA=SCA/(a-1) CMA/ CME
Factor B b–1 SCB CMB=SCB/(b-1) CMB/ CME
Interacción AB
(a-1)(b-1) SC(AB) CM(AB)/(a-1)(b-1) CMAB/ CME
Error ab(r-1) SCE CME/ ab(r-1)
Total rab-1 SCTotal
HIPÓTESIS (modelo a efectos fijos)
Para la interacción
H0: ()11 = ()12 = . . . = ()ij i=1 . . . a; j=1 . . . b
H1: al menos un ()ij difiere de los restantes
Para los efectos principales
H0: 1 = 2 = . . . = i i=1 . . . a
H1: al menos un i difiere de los restantes
H0: 1 = 2 = . . . = i j=1 . . . b
H1: al menos un i difiere de los restantes
Errores estándares (una media)
rCMESceldasdemediaslasPara
arCMESBfactorelPara
brCMESAfactorelPara
ijy
jy
iy
.
..
..
*
*
Errores estándares (diferencia de dos medias)
rCMESceldas de medias las Para
arCMESB factor el Para
brCMESA factor el Para
jiij
jj
ii
yy
yy
yy
2
*2
*2
' .'.
' ....
'....
Un ejemplo:
Factor A con 2 niveles y Factor B con 2 niveles = 4 Tratamientos.
Repeticiones = 5.
Diseño: Completamente Aleatorizado.
Modelo Lineal Aditivo: Yij = µ + i + ij
Hipótesis: H0: i = 0
Ha: i ≠ 0
FV GL SC CM F
Tratam.
3
1539,41
513,14
21,60**
Error
16 379,92 23,75
Total 19 1919,33
ARREGLO FACTORIAL 2x2
ARREGLO FACTORIAL 2x2
Un ejemplo:
Factor A con 2 niveles y Factor B con 2 niveles = 4 Tratamientos.
Repeticiones = 5.
Partición de los GL tratamientos:
Diseño: Completamente Aleatorizado.
Modelo Lineal Aditivo: Yijk = µ + i + βj + (β)ij + ijk
Hipótesis: H0: i = 0 H0: βj = 0 H0: (β)ij = 0
Ha: i ≠ 0 Ha: βj ≠ 0 Ha: (β)ij ≠ 0
FV GL SC CM F FV GL SC CM F
A 1 1256,75 1256,75 52,92
B 1 8,71 8,71 <1
Tratam.
3
1539,41
513,14
21,60
AB 1 273,95 273,95 11,5
Error
16 379,92 23,75 Error 16 379,92 23,75
Total 19 1919,33 Total 19 1919,33
Cuatro lotes de 6 animales, cada uno de igual peso
inicial, fueron sometidos a diferentes tipos de
alimentos durante un cierto período, acusando los
siguientes aumentos de peso:
Tratamientos
a1b1 a1b0 a0b1 a0b0
64 78 75 55
72 91 93 66
68 97 78 49
77 82 71 64
56 85 63 70
95 70 76 68
Total 432 503 456 372
Medias 72 83,3 76 62
EJEMPLO FACTORIAL 2X2
Entero (a1)
A: Grano de Maíz
Molido (a0)
Con vitamina (b1)
B: Vitamina
Sin vitamina (b0)
AB
Total Mediab1 b0
a1 432 503 935 77,92
a0 456 372 828 69,00
Total 888 875 1763
Media 74,00 72,92 73,458
Variable N R² R² Aj CV
peso 24 0,41 0,32 14,18
Cuadro de Análisis de la Varianza
F.V. SC gl CM F p-valor
Modelo 1485,13 3 495,04 4,56 0,0137
A 477,04 1 477,04 4,40 0,0490
B 7,04 1 7,04 0,06 0,8016
A*B 1001,04 1 1001,04 9,22 0,0065
Error 2170,83 20 108,54
Total 3655,96 23
Análisis de la varianza
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 108,5417 gl: 20
A Medias n E.E.0 69,00 12 3,011 77,92 12 3,01
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 108,5417 gl: 20
B Medias n E.E.0 72,92 12 3,011 74,00 12 3,01
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 108,5417 gl: 20
A B Medias n E.E.0 0 62,00 6 4,251 1 72,00 6 4,250 1 76,00 6 4,251 0 83,83 6 4,25
Gráfico de la interacción A*B
Un proceso de producción química consiste de unaprimera reacción con un alcohol y una segundareacción con una base. Se realizó un experimentofactorial 3 x 2, con tres alcoholes y dos bases, concuatro reacciones réplica en un diseño totalmente alaleatorizado. Los datos se reunieron como porcentajede la reacción.
EJEMPLO DISEÑO FACTORIAL – DOS FACTORES CUALITATIVOS
BaseAlcohol
1 2 3
191,3 89,8 89,3 88,1 89,5 87,6
90,7 91,4 90,4 91,4 88.3 90,3
287,3 89,4 92,3 91,5 93,1 90,7
91,5 88,3 90,6 94,7 91,5 89,8
Base
Alcohol
A
1 2 3 Total
B
1 363,3 352,9 355,7 1078,2
2 356,5 369,1 365,1 1090,7
Total 719,8 728,3 720,8 2168,9
Análisis de la varianza
Variable N R² R² Aj CV porc 24 0,4820 0,3381 1,5855
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V. SC gl CM F p-valorModelo 34,3833 5 6,8767 3,3499 0,0259base 6,6150 1 6,6150 3,2225 0,0894alcohol 5,4758 2 2,7379 1,3338 0,2883 base*alcohol 22,2925 2 11,1463 5,4298 0,0143Error 36,9500 18 2,0528Total 71,3333 23
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 2,0528 gl: 18
base Medias n E.E. 2 90,8917 12 0,41361 89,8417 12 0,4136
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 2,0528 gl: 18
alcohol Medias n E.E. 2 91,0375 8 0,50663 90,1000 8 0,50661 89,9625 8 0,5066
Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones
Error: 2,0528 gl: 18
base alcohol Medias n E.E. 2 2 92,2750 4 0,71642 3 91,2750 4 0,71641 1 90,8000 4 0,71641 2 89,8000 4 0,71642 1 89,1250 4 0,71641 3 88,9250 4 0,7164
Alcohol base Resumen porcen1 1 Media 90,80001 2 Media 89,1250
2 1 Media 89,80002 2 Media 92,2750
3 1 Media 88,92503 2 Media 91,2750
Contrastes
base*alcohol SC gl CM F p-valorbas1 vs bas2 en a1 5,6112 1 5,6112 2,7335 0,1156bas1 vs bas2 en a2 12,2513 1 12,2513 5,9681 0,0251bas1 vs bas2 en a3 11,0450 1 11,0450 5,3805 0,0323Total 28,9075 3 9,6358 4,6940 0,0136
Análisis de la varianza
alcohol Variable N R² R² Aj CV 1 porc 8 0,3309 0,2194 1,5287
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)F.V. SC gl CM F p-valorModelo 5,6113 1 5,6113 2,9670 0,1358base 5,6113 1 5,6113 2,9670 0,1358Error 11,3475 6 1,8913Total 16,9588 7
alcohol Variable N R² R² Aj CV 2 porc 8 0,4439 0,3512 1,7568
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)F.V. SC gl CM F p-valorModelo 12,2513 1 12,2513 4,7895 0,0712base 12,2513 1 12,2513 4,7895 0,0712Error 15,3475 6 2,5579Total 27,5988 7
alcohol Variable N R² R² Aj CV 3 porc 8 0,5185 0,4383 1,4510
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)F.V. SC gl CM F p-valorModelo 11,0450 1 11,0450 6,4622 0,0440base 11,0450 1 11,0450 6,4622 0,0440Error 10,2550 6 1,7092Total 21,3000 7
Se diseñó un experimento factorial para estudiar el efecto de laalimentación temprana de calostro sobre los niveles deinmunoglobulina, en terneras. El factor A fue la cantidad de alimentosuministrado (0,5 ó 1,5 kg.) y el factor B fue el momento de laprimera alimentación (1, 4, 7 y 10 horas) después de nacidas. Untiempo después el experimento se repitió. Considerar los dosexperimentos como bloques. Los valores registrados fueron unidadesturbidimétricas relativo al sulfato de bario estándar de 20, cuando lasangre se muestreó 48 horas después del nacimiento. El calostro fuemezclado para eliminar la variación entre madres.
Bloque CantidadMomento de la primera
alimentación1 4 7 10
1 0,5 12,9 5,6 2,8 1,2
1 1,5 11,7 10,7 9,9 7,4
2 0,5 11,0 5,0 2,0 1,1
2 1,5 14,0 13,7 12,4 7,2
EJEMPLO DISEÑO FACTORIAL – DOS FACTORES CUANTITATIVOS
Análisis de la varianza
Variable N R² R² Aj CV Unidades 16 0,964 0,923 15,945
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V. SC gl CM F p-valor
Modelo 306,580 8 38,323 23,332 0,000Bloque 1,103 1 1,103 0,671 0,439Cantidad 128,823 1 128,823 8,431 <0,0001 Momento 142,673 3 47,558 28,954 0,000Cantid.*Mom. 33,983 3 11,328 6,896 0,0169 Error 11,498 7 1,643
Total 318,078 15
Momento SC gl CM F p-valor
lineal/0,50 124,61 1 124,61 75,84 <0,0001
cuadrático/0,50 14,58 1 14,58 8,87 0,0206
cubico /0,50 0,44 1 0,44 0,27 0,6194
lineal/1,50 31,33 1 31,33 19,07 0,0033
cuadrático/1,50 5,12 1 5,12 3,12 0,1207
cubico/1,50 0,58 1 0,58 0,35 0,5727
Error 11,498 7 1,643
Cantidad 1 -1
Momento L -3 -1 1 3 -3 -1 1 3
Momento Q 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
Momento C -1 3 -3 1 -1 3 -3 1
Cant.x M.L -3 -1 1 3 3 1 -1 3
Cant.x M.Q 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
Cant.x M.C -1 3 -3 1 1 -3 3 -1
Contrastescantidad*momento SC gl CM F p-valor Contraste1 15,48800 1 15,48800 9,42953 0,0180Contraste2 18,49000 1 18,49000 11,25723 0,0122Contraste3 0,00450 1 0,00450 0,00274 0,9597Total 33,98250 3 11,32750 6,89650 0,0169
Coeficientes de los contrastescantidad*momento Ct.1 Ct.2 Ct.3 0,50:1,00 -3,00000 1,00000 -1,000000,50:4,00 -1,00000 -1,00000 3,000000,50:7,00 1,00000 -1,00000 -3,000000,50:10,00 3,00000 1,00000 1,000001,50:1,00 3,00000 -1,00000 1,000001,50:4,00 1,00000 1,00000 -3,000001,50:7,00 -1,00000 1,00000 3,000001,50:10,00 -3,00000 -1,00000 -1,00000